Fullstendig, ryddig og kontrollert løsningsforslag til eksamenssettet. Hver deloppgave er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med Python/SymPy og GeoGebra CAS der det er relevant.
Del 1 uten hjelpemidlerDel 2 med hjelpemidlerMathJax-formatNøytral Python-visning
Fasit: \(\frac{2}{a}\), der \(a\neq0\) og \(b\neq0\).
Del 1 · Oppgave 4Andregradsulikhet
Oppgave 4
Oppgave:
Løs ulikheten \(x^2-3x+2\ge 0\).
Vis løsning
Vi faktoriserer venstre side:
\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\]
Nullpunktene er \(x=1\) og \(x=2\). Siden koeffisienten foran \(x^2\) er positiv, vender parabelen oppover. Uttrykket er derfor positivt eller null utenfor intervallet mellom nullpunktene.
Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
Vis løsning
Vi starter med \(1\). Hver ny rad får \(1\) ytterst, og hvert indre tall er summen av de to tallene rett over.
Rad
Tall
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
7
1 7 21 35 35 21 7 1
Python-kontroll
from math import comb
for n in range(8):
rad = [comb(n, k) for k in range(n + 1)]
print(f"Rad {n}:", rad)
# Utskrift:
# Rad 0: [1]
# Rad 1: [1, 1]
# Rad 2: [1, 2, 1]
# Rad 3: [1, 3, 3, 1]
# Rad 4: [1, 4, 6, 4, 1]
# Rad 5: [1, 5, 10, 10, 5, 1]
# Rad 6: [1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]
# Rad 7: [1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1]
GeoGebra CAS-kontroll
1
Sekvens({Binomial(n,k)},k,0,n), n=0..7
Pascal-radene 0 til 7
Fasit: De åtte første radene er rad \(0\) til rad \(7\) som vist i tabellen.
Del 1 · Oppgave 5bHypergeometrisk sannsynlighet
Oppgave 5b
Oppgave:
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Du trekker tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging. Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
Vis løsning
Totalt antall måter å trekke 3 kuler fra 7 kuler er \(\binom{7}{3}\). For å få tre blå må vi velge alle de 3 kulene fra de 4 blå:
from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x, y = symbols('x y')
linjer = [Eq(x, 0), Eq(y, 8), Eq(x + y, 10), Eq(3*x - 2*y, -2)]
punkter = []
for i in range(len(linjer)):
for j in range(i + 1, len(linjer)):
sol = solve([linjer[i], linjer[j]], (x, y), dict=True)
for p in sol:
X, Y = p[x], p[y]
if X >= 0 and Y <= 8 and X + Y <= 10 and 3*X - 2*Y <= -2:
punkter.append((X, Y))
print("Hjørnepunkter:")
for p in punkter:
print(p)
# Utskrift:
# Hjørnepunkter:
# (0, 8)
# (0, 1)
# (2, 8)
# (18/5, 32/5)
GeoGebra CAS-kontroll
1
Intersect(x=0, 3x-2y=-2)
(0,1)
2
Intersect(y=8, x+y=10)
(2,8)
3
Intersect(x+y=10, 3x-2y=-2)
(18/5,32/5)
Fasit: Skraver firkanten med hjørner \((0,1)\), \((0,8)\), \((2,8)\) og \(\left(\frac{18}{5},\frac{32}{5}\right)\).
Del 1 · Oppgave 7aRasjonal funksjon
Oppgave 7a
Oppgave:
Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=\frac{2x-1}{x+2}\), \(x\neq -2\). Lag en skisse av grafen.
Vis løsning
Vi finner de viktigste egenskapene før vi skisserer grafen.
Vertikal asymptote får vi når nevneren er null:
\[x+2=0\quad\Rightarrow\quad x=-2\]
For store \(|x|\) er forholdet mellom de ledende leddene \(\frac{2x}{x}=2\). Derfor er horisontal asymptote
\[y=2\]
Nullpunktet finner vi ved \(2x-1=0\), altså \(x=\frac12\). Skjæring med \(y\)-aksen er
\[f(0)=\frac{-1}{2}=-\frac12\]
Skissen skal derfor ha to grener, en på hver side av \(x=-2\), med horisontal asymptote \(y=2\).
Python-kontroll
from sympy import symbols, limit, oo, solve
x = symbols('x')
f = (2*x - 1)/(x + 2)
print("f(x) =", f)
print("Vertikal asymptote: x = -2")
print("Grense når x går mot uendelig:", limit(f, x, oo))
print("Grense når x går mot minus uendelig:", limit(f, x, -oo))
print("Nullpunkt:", solve(2*x - 1, x))
print("Skjæring med y-aksen:", f.subs(x, 0))
# Utskrift:
# f(x) = (2*x - 1)/(x + 2)
# Vertikal asymptote: x = -2
# Grense når x går mot uendelig: 2
# Grense når x går mot minus uendelig: 2
# Nullpunkt: [1/2]
# Skjæring med y-aksen: -1/2
Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til \(g(x)=2x^3+3x^2-12x\).
Vis løsning
Fra forrige del har vi
\[g'(x)=6(x+2)(x-1)\]
Kritiske punkter er derfor \(x=-2\) og \(x=1\).
Fortegnet til \(g'\) er positivt før \(-2\), negativt mellom \(-2\) og \(1\), og positivt etter \(1\). Derfor har grafen toppunkt ved \(x=-2\) og bunnpunkt ved \(x=1\).
\[g(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-12(-2)=20\]
\[g(1)=2+3-12=-7\]
Python-kontroll
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
g = 2*x**3 + 3*x**2 - 12*x
gp = diff(g, x)
kritiske = solve(gp, x)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for a in kritiske:
print("x =", a, "gir g(x) =", g.subs(x, a))
print("g''(x) =", diff(gp, x).subs(x, a))
# Utskrift:
# Kritiske x-verdier: [-2, 1]
# x = -2 gir g(x) = 20
# g''(x) = -18
# x = 1 gir g(x) = -7
# g''(x) = 18
Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(g\) i intervallet \([0,2]\).
Vis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart på \([a,b]\) er
\[\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\]
Her er \(a=0\) og \(b=2\):
\[g(0)=0\]
\[g(2)=2\cdot 2^3+3\cdot2^2-12\cdot2=16+12-24=4\]
Dermed blir gjennomsnittlig vekstfart
\[\frac{4-0}{2-0}=2\]
Python-kontroll
from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
g = 2*x**3 + 3*x**2 - 12*x
a, b = 0, 2
vekstfart = (g.subs(x, b) - g.subs(x, a))/(b - a)
print("g(0) =", g.subs(x, a))
print("g(2) =", g.subs(x, b))
print("Gjennomsnittlig vekstfart:", simplify(vekstfart))
# Utskrift:
# g(0) = 0
# g(2) = 4
# Gjennomsnittlig vekstfart: 2
GeoGebra CAS-kontroll
1
(g(2)-g(0))/(2-0)
2
Fasit: Den gjennomsnittlige vekstfarten er \(2\).
Del 1 · Oppgave 8dMomentan vekstfart
Oppgave 8d
Oppgave:
Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er \(24\).
Vis løsning
Momentan vekstfart er den deriverte. Vi løser derfor
\[g'(x)=24\]
Siden \(g'(x)=6x^2+6x-12\), får vi
\[6x^2+6x-12=24\]
\[x^2+x-6=0\]
\[(x+3)(x-2)=0\]
Altså \(x=-3\) eller \(x=2\). Punktene er
\[g(-3)=9,\qquad g(2)=4\]
Python-kontroll
from sympy import symbols, diff, solve, Eq
x = symbols('x')
g = 2*x**3 + 3*x**2 - 12*x
gp = diff(g, x)
losninger = solve(Eq(gp, 24), x)
print("Løsninger for g'(x)=24:", losninger)
for a in losninger:
print("Punkt:", (a, g.subs(x, a)))
# Utskrift:
# Løsninger for g'(x)=24: [-3, 2]
# Punkt: (-3, 9)
# Punkt: (2, 4)
GeoGebra CAS-kontroll
1
Løs(Derivert(g)=24,x)
{-3,2}
2
g(-3), g(2)
9, 4
Fasit: Punktene er \((-3,9)\) og \((2,4)\).
Del 1 · Oppgave 9aFortegnslinje for derivert
Oppgave 9a
Oppgave:
Nedenfor ser du fortegnslinjen til \(f'(x)\), for en funksjon \(f\). Bruk fortegnslinjen til å bestemme hvor grafen til \(f\) stiger, og hvor den synker.
Vis løsning
Av fortegnslinjen ser vi at \(f'(x)=0\) ved \(x=-2\) og \(x=1\). Den deriverte er positiv på venstre side av \(1\) og negativ på høyre side av \(1\). Ved \(x=-2\) er den deriverte null uten at fortegnet skifter.
Derfor stiger grafen når \(f'(x)>0\), altså for \(x<1\), bortsett fra at tangenten er horisontal akkurat ved \(x=-2\). Grafen synker når \(x>1\).
Python-kontroll
from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
# En mulig derivert med samme fortegnslinje:
fp = -(x + 2)**2*(x - 1)
print("Mulig f'(x):", factor(fp))
for test in [-3, -1, 2]:
print("x =", test, "gir f'(x) =", fp.subs(x, test))
# Utskrift:
# Mulig f'(x): -(x - 1)*(x + 2)**2
# x = -3 gir f'(x) = 4
# x = -1 gir f'(x) = 2
# x = 2 gir f'(x) = -16
GeoGebra CAS-kontroll
1
f\'(x)=-(x+2)^2(x-1)
positiv før 1, negativ etter 1
Fasit: Grafen stiger for \(x<1\) og synker for \(x>1\).
Del 1 · Oppgave 9bSkisse fra fortegnslinje
Oppgave 9b
Oppgave:
Lag en skisse som viser hvordan grafen til \(f\) kan se ut.
Vis løsning
En mulig graf må ha disse egenskapene:
Den stiger fram til \(x=1\).
Den har horisontal tangent ved \(x=-2\), men ikke topp eller bunn der, fordi fortegnet til \(f'\) ikke skifter.
Den har toppunkt ved \(x=1\), fordi \(f'\) går fra positiv til negativ.
Etter \(x=1\) synker grafen.
En funksjon som passer med fortegnslinjen, er en antiderivert av
\[f'(x)=-(x+2)^2(x-1)\]
For eksempel kan vi velge
\[f(x)=-\frac14x^4-x^3+4x\]
Denne gir riktig form på skissen.
Python-kontroll
from sympy import symbols, integrate, factor, diff
x = symbols('x')
fp = -(x + 2)**2*(x - 1)
f = integrate(fp, x)
print("Valgt f'(x):", factor(fp))
print("En mulig f(x):", f)
print("Kontroll, derivert av f:", factor(diff(f, x)))
# Utskrift:
# Valgt f'(x): -(x - 1)*(x + 2)**2
# En mulig f(x): -x**4/4 - x**3 + 4*x
# Kontroll, derivert av f: -(x - 1)*(x + 2)**2
GeoGebra CAS-kontroll
1
Integral(-(x+2)^2(x-1),x)
-x^4/4 - x^3 + 4x + C
Fasit: Skissen skal vise stigende graf fram til \(x=1\), horisontal tangent ved \(x=-2\), toppunkt ved \(x=1\), og synkende graf etter \(x=1\).
Del 2 - Med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 1CAS og lineært likningssystem
Oppgave 1
Oppgave:
Einar selger torsk og sei. Én dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei for 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei for 8390 kroner. Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme prisen per kilogram for hver fisketype.
Vis løsning
La \(t\) være prisen per kilogram torsk og \(s\) være prisen per kilogram sei.
Fasit: Torsk kostet \(24{,}50\) kr/kg og sei kostet \(20{,}50\) kr/kg.
Del 2 · Oppgave 2aBinomisk modell
Oppgave 2a
Oppgave:
Et fly har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter, er 6 %. La \(X\) være antall passasjerer som møter. Hva må vi forutsette for å bruke en binomisk modell?
Vis løsning
En binomisk modell passer når vi har et fast antall forsøk, to mulige utfall i hvert forsøk, samme sannsynlighet i hvert forsøk og uavhengige forsøk.
Her betyr det:
Vi må ha et fast antall solgte billetter.
Hver passasjer enten møter eller møter ikke.
Sannsynligheten for å møte er den samme for alle, \(p=0{,}94\).
Om én passasjer møter, må ikke påvirke om en annen passasjer møter.
Python-kontroll
# Dette er en modellvurdering, ikke en ren regneoppgave.
solgte_billetter = 122
p_moter = 0.94
print("Antall forsøk n:", solgte_billetter)
print("Suksess: passasjeren møter")
print("Sannsynlighet for suksess p:", p_moter)
print("Modellkrav: faste n, to utfall, samme p, uavhengighet")
# Utskrift:
# Antall forsøk n: 122
# Suksess: passasjeren møter
# Sannsynlighet for suksess p: 0.94
# Modellkrav: faste n, to utfall, samme p, uavhengighet
GeoGebra CAS-kontroll
1
BinomiskModell(n,p)
n fast, to utfall, lik p, uavhengig
Fasit: Fast antall passasjerer, to utfall, lik sannsynlighet \(p=0{,}94\), og uavhengighet mellom passasjerene.
Del 2 · Oppgave 2bBinomisk kumulativ sannsynlighet
Oppgave 2b
Oppgave:
Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Vis løsning
Flyet har plass til 116 passasjerer. Når 122 billetter er solgt og hver passasjer møter med sannsynlighet \(0{,}94\), har vi
from math import comb
n = 122
p = 0.94
kapasitet = 116
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(kapasitet + 1))
print("n =", n)
print("p =", p)
print("P(X <= 116) =", sannsynlighet)
print("I prosent =", sannsynlighet*100)
# Utskrift:
# n = 122
# p = 0.94
# P(X <= 116) = 0.7466012313628733
# I prosent = 74.66012313628733
GeoGebra CAS-kontroll
1
BinomialCDF(122,0.94,116)
0.7466
Fasit: Sannsynligheten er omtrent \(0{,}747\), altså \(74{,}7\,\%\).
Del 2 · Oppgave 2cMaksimalt antall billetter
Oppgave 2c
Oppgave:
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass. Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge?
Vis løsning
Hvis selskapet selger \(n\) billetter, er
\[X\sim \operatorname{Bin}(n;0{,}94)\]
Kravet er
\[P(X\le116)\ge0{,}95\]
Vi prøver ulike verdier av \(n\) med CAS/regneark. Resultatet blir
Dermed er \(119\) det største antallet billetter som oppfyller kravet.
Python-kontroll
from math import comb
p = 0.94
kapasitet = 116
beste = None
for n in range(kapasitet, 140):
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(kapasitet + 1))
if sannsynlighet >= 0.95:
beste = (n, sannsynlighet)
print("Største n med sannsynlighet minst 0.95:", beste)
for n in [119, 120]:
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(kapasitet + 1))
print("n =", n, "P(X <= 116) =", sannsynlighet)
# Utskrift:
# Største n med sannsynlighet minst 0.95: (119, 0.9764077617635896)
# n = 119 P(X <= 116) = 0.9764077617635896
# n = 120 P(X <= 116) = 0.9339579076183413
GeoGebra CAS-kontroll
1
Sekvens(BinomialCDF(n,0.94,116),n,116{,}125)
n=119 er siste verdi med minst 0.95
Fasit: Flyselskapet kan maksimalt selge \(119\) billetter.
Del 2 · Oppgave 3aLineær optimering - modell
Oppgave 3a
Oppgave:
Frode og Peter lager fuglekasser. Type A tar 10 min hos Frode og 20 min hos Peter. Type B tar 30 min hos Frode og 30 min hos Peter. Frode kan jobbe 15 timer og Peter 20 timer. Forklar ulikhetene \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+3y\le90\), \(2x+3y\le120\).
Vis løsning
La \(x\) være antall kasser av type A og \(y\) antall kasser av type B. Antall kasser kan ikke være negativt, derfor:
\[x\ge0,\qquad y\ge0\]
Frode bruker \(10x+30y\) minutter. Han kan arbeide \(15\cdot60=900\) minutter:
\[10x+30y\le900\]
Deler på \(10\):
\[x+3y\le90\]
Peter bruker \(20x+30y\) minutter. Han kan arbeide \(20\cdot60=1200\) minutter:
\[20x+30y\le1200\]
Deler på \(10\):
\[2x+3y\le120\]
Python-kontroll
from sympy import symbols, simplify
x, y = symbols('x y')
frode_tid = 10*x + 30*y
peter_tid = 20*x + 30*y
print("Frode:", frode_tid, "<=", 15*60)
print("Delt på 10:", simplify(frode_tid/10), "<=", 90)
print("Peter:", peter_tid, "<=", 20*60)
print("Delt på 10:", simplify(peter_tid/10), "<=", 120)
# Utskrift:
# Frode: 10*x + 30*y <= 900
# Delt på 10: x + 3*y <= 90
# Peter: 20*x + 30*y <= 1200
# Delt på 10: 2*x + 3*y <= 120
GeoGebra CAS-kontroll
1
10x+30y<=900
x+3y<=90
2
20x+30y<=1200
2x+3y<=120
Fasit: Ulikhetene følger direkte av ikke-negative antall og tidsbegrensningene for Frode og Peter.
Del 2 · Oppgave 3bMulighetsområde
Oppgave 3b
Oppgave:
Skraver området avgrenset av \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+3y\le90\), \(2x+3y\le120\).
Vis løsning
Vi tegner grenselinjene \(x+3y=90\) og \(2x+3y=120\), sammen med koordinataksene.
Hjørnepunktene i området er:
\[(0,0),\quad (0,30),\quad (30,20),\quad (60,0)\]
Området er firkanten i første kvadrant som ligger under begge linjene.
Python-kontroll
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
linjer = [Eq(x,0), Eq(y,0), Eq(x+3*y,90), Eq(2*x+3*y,120)]
punkter = set()
for i in range(len(linjer)):
for j in range(i+1, len(linjer)):
for sol in solve([linjer[i], linjer[j]], (x,y), dict=True):
X, Y = sol[x], sol[y]
if X >= 0 and Y >= 0 and X + 3*Y <= 90 and 2*X + 3*Y <= 120:
punkter.add((X,Y))
print("Hjørnepunkter:")
for p in sorted(punkter):
print(p)
# Utskrift:
# Hjørnepunkter:
# (0, 0)
# (0, 30)
# (30, 20)
# (60, 0)
GeoGebra CAS-kontroll
1
Intersect(x+3y=90,2x+3y=120)
(30,20)
Fasit: Skraver firkanten med hjørner \((0,0)\), \((0,30)\), \((30,20)\) og \((60,0)\).
Del 2 · Oppgave 3cMaksimering av fortjeneste
Oppgave 3c
Oppgave:
Fortjenesten er 60 kr for type A og 150 kr for type B. Hvor mange av hver type bør de produsere for størst mulig fortjeneste?
Vis løsning
Fortjenestefunksjonen er
\[F(x,y)=60x+150y\]
Ved lineær optimering holder det å teste hjørnepunktene:
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
linjer = [Eq(x,0), Eq(y,0), Eq(x+3*y,108), Eq(2*x+3*y,120)]
punkter = set()
for i in range(len(linjer)):
for j in range(i+1, len(linjer)):
for sol in solve([linjer[i], linjer[j]], (x,y), dict=True):
X, Y = sol[x], sol[y]
if X >= 0 and Y >= 0 and X + 3*Y <= 108 and 2*X + 3*Y <= 120:
punkter.add((X,Y))
def F(X,Y): return 60*X + 150*Y
print("Mulige hjørnepunkter og fortjeneste:")
for p in sorted(punkter):
print(p, F(*p))
print("Beste:", max(punkter, key=lambda p: F(*p)))
# Utskrift:
# Mulige hjørnepunkter og fortjeneste:
# (0, 0) 0
# (0, 36) 5400
# (12, 32) 5520
# (60, 0) 3600
# Beste: (12, 32)
GeoGebra CAS-kontroll
1
Maksimer(60x+150y,{x+3y<=108,2x+3y<=120})
(12,32), verdi 5520
Fasit: De bør produsere \(12\) kasser av type A og \(32\) kasser av type B. Maksimal fortjeneste er \(5520\) kr.
Del 2 · Oppgave 4aRegresjon
Oppgave 4a
Oppgave:
Tabellen viser antall pumper montert etter \(0,2,4,6,8\) timer: \(0,38,93,135,169\). Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom \(g\).
Fasit: Et mulig tredjegradspolynom er \(g(x)\approx -0{,}2604x^3+2{,}75x^2+15{,}7917x-0{,}5\).
Del 2 · Oppgave 4bGraftegner
Oppgave 4b
Oppgave:
I resten av oppgaven er \(f(x)=-0{,}26x^3+2{,}8x^2+16x\), \(0\le x\le9\), en modell for antall pumper etter \(x\) timer. Bruk graftegner til å tegne grafen.
Vis løsning
Grafen skal tegnes for \(0\le x\le9\). Noen nyttige punkter er:
\(x\)
\(f(x)\)
0
0
2
41,12
4
92,16
6
140,64
8
174,08
9
181,26
Grafen er voksende i intervallet, men vekstfarten avtar mot slutten av arbeidsdagen.
Python-kontroll
from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = -0.26*x**3 + 2.8*x**2 + 16*x
print("Funksjon:", f)
for verdi in [0, 2, 4, 6, 8, 9]:
print("x =", verdi, "f(x) =", round(float(f.subs(x, verdi)), 2))
# Utskrift:
# Funksjon: -0.26*x**3 + 2.8*x**2 + 16*x
# x = 0 f(x) = 0.0
# x = 2 f(x) = 41.12
# x = 4 f(x) = 92.16
# x = 6 f(x) = 140.64
# x = 8 f(x) = 174.08
# x = 9 f(x) = 181.26
GeoGebra CAS-kontroll
1
f(x)=-0.26x^3+2.8x^2+16x, 0<=x<=9
graf i grafikkfeltet
Fasit: Tegn \(f(x)=-0{,}26x^3+2{,}8x^2+16x\) for \(0\le x\le9\).
Del 2 · Oppgave 4cLønnsmodell og ulikhet
Oppgave 4c
Oppgave:
Arne kan velge 9 kroner per pumpe eller 190 kroner per time. Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
Vis løsning
Lønn per pumpe etter \(x\) timer er
\[L_p(x)=9f(x)\]
Lønn per time er
\[L_t(x)=190x\]
Vi må løse ulikheten
\[9f(x)>190x\]
Med \(f(x)=-0{,}26x^3+2{,}8x^2+16x\) får vi løsninger i arbeidsintervallet omtrent
\[2{,}33
Betaling per pumpe lønner seg altså når han jobber mer enn omtrent \(2{,}33\) timer og mindre enn omtrent \(8{,}44\) timer.
Python-kontroll
from sympy import symbols, nroots, Eq
x = symbols('x')
f = -0.26*x**3 + 2.8*x**2 + 16*x
forskjell = 9*f - 190*x
nullpunkter = nroots(forskjell)
print("Forskjell L_p - L_t:", forskjell)
print("Nullpunkter:", nullpunkter)
for test in [2, 3, 8, 9]:
print("x =", test, "forskjell =", round(float(forskjell.subs(x, test)), 2))
# Utskrift:
# Forskjell L_p - L_t: -2.34*x**3 + 25.2*x**2 - 46*x
# Nullpunkter: [0, 2.32913454158641, 8.44009622764436]
# x = 2 forskjell = -9.92
# x = 3 forskjell = 29.38
# x = 8 forskjell = 46.72
# x = 9 forskjell = -78.66
GeoGebra CAS-kontroll
1
Løs(9f(x)>190x,0<=x<=9)
2.33 < x < 8.44
Fasit: Det lønner seg med betaling per pumpe for omtrent \(2{,}33
Del 2 · Oppgave 4dStørst lønnsforskjell
Oppgave 4d
Oppgave:
Hvor mange timer må Arne jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
