Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Faktoriser venstre side

Begge ledd har faktoren \(x\), derfor kan vi skrive \(x^2-5x=x\left(x-5\right)\).

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

Likningen blir \[x\left(x-5\right)=0\] og et produkt er null bare når minst én faktor er null.

Steg 3 — Løs hver faktor

\[x=0 \quad \textext{eller}\quad x-5=0\]

Steg 4 — Finn løsningene

Fra \(x-5=0\) får vi \(x=5\).

Steg 5 — Kontroller

For \(x=0\) blir venstre side \(0\). For \(x=5\) blir \(25-25=0\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 - 5*x
print('Faktorisert uttrykk:', factor(uttrykk))
losninger = solve(Eq(uttrykk, 0), x)
print('Løsninger:', losninger)
for verdi in losninger:
    print(f'Kontroll for x = {verdi}:', simplify(uttrykk.subs(x, verdi)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Isoler potensen

Del begge sider på \(3\): \[10^x=1000\]

Steg 2 — Skriv \(1000\) som tierpotens

\[1000=10^3\]

Steg 3 — Sammenlikn eksponentene

Når \(10^x=10^3\), må \(x=3\).

Steg 4 — Kontroller

\(3\cdot10^3=3\cdot1000=3000\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Pow, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(3*10**x, 3000)
losninger = solve(likning, x)
print('Likning:', likning)
print('Løsninger:', losninger)
for verdi in losninger:
    venstre = 3*10**verdi
    print(f'Venstre side når x = {verdi}:', venstre)
    print('Differanse fra 3000:', simplify(venstre - 3000))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Vi må ha \(x+15>0\), altså \(x>-15\).

Steg 2 — Del på 4

\[\lg\left(x+15\right)=2\]

Steg 3 — Skriv om logaritmen

\(\lg A=2\) betyr \(A=10^2\). Dermed får vi \[x+15=100\]

Steg 4 — Løs for \(x\)

\[x=100-15=85\]

Steg 5 — Kontroller definisjonsmengden

\(85+15=100>0\), så løsningen er gyldig.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(4*log(x + 15, 10), 8)
losninger = solve(likning, x)
print('Likning:', likning)
print('Løsninger:', losninger)
for verdi in losninger:
    kontroll = 4*log(verdi + 15, 10)
    print(f'Venstre side når x = {verdi}:', kontroll)
    print('Differanse fra 8:', simplify(kontroll - 8))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \(ab\).

Steg 2 — Utvid hvert ledd

\[\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{ab},\quad \dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{ab}\]

Steg 3 — Samle i én brøk

\[\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}+\dfrac{a+1}{ab}=\dfrac{b-a+a+1}{ab}\]

Steg 4 — Forkort telleren

\(-a+a=0\), derfor blir telleren \(b+1\).

Steg 5 — Oppgi forutsetning

Vi må ha \(a e0\) og \(b e0\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify, together
a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = 1/a - 1/b + (a + 1)/(a*b)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Samlet på fellesnevner:', together(uttrykk))
print('Forenklet uttrykk:', simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Samle potenser i telleren

\[4a^6b^{-2}a^4=4a^{10}b^{-2}\]

Steg 2 — Regn ut nevneren

\[\left(2ab^{-1}\right)^2=4a^2b^{-2}\]

Steg 3 — Sett inn

\[\dfrac{4a^{10}b^{-2}}{4a^2b^{-2}}\]

Steg 4 — Forkort like faktorer

Faktorene \(4\) og \(b^{-2}\) forkortes bort.

Steg 5 — Bruk potensregelen

\[\dfrac{a^{10}}{a^2}=a^{8}\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = 4*a**6*b**(-2)*a**4 / (2*a*b**(-1))**2
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Forenklet uttrykk:', simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Splitt første logaritme

\[\lg\left(3a\right)=\lg3+\lg a\]

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[\lg a^3=3\lg a\]

Steg 3 — Sett inn

\[\lg3+\lg a-3\lg a+2\lg a\]

Steg 4 — Samle \(\lg a\)-ledd

\(\lg a-3\lg a+2\lg a=0\).

Steg 5 — Krav til \(a\)

Uttrykket er definert for \(a>0\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log
from sympy.assumptions import Q

a = symbols('a', positive=True)
uttrykk = log(3*a, 10) - log(a**3, 10) + 2*log(a, 10)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Utvidet med logaritmeregler:', expand_log(uttrykk, force=True))
print('Forenklet uttrykk:', simplify(expand_log(uttrykk, force=True)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Definer variabler

La \(b\) være prisen for én barnebillett og \(v\) være prisen for én voksenbillett.

Steg 2 — Familien Hansen

Tre barnebilletter og to voksenbilletter koster 290 kroner: \[3b+2v=290\]

Steg 3 — Familien Sørensen

Fem barnebilletter og tre voksenbilletter koster 460 kroner: \[5b+3v=460\]

Steg 4 — Skriv systemet samlet

\[\begin{cases}3b+2v=290\\ 5b+3v=460\end{cases}\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq
b, v = symbols('b v')
print('Likning for Hansen:', Eq(3*b + 2*v, 290))
print('Likning for Sørensen:', Eq(5*b + 3*v, 460))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Start med systemet

\[\begin{cases}3b+2v=290\\ 5b+3v=460\end{cases}\]

Steg 2 — Eliminer \(v\)

Multipliser første likning med 3 og andre likning med 2: \[9b+6v=870\] \[10b+6v=920\]

Steg 3 — Trekk likningene fra hverandre

\[(10b+6v)-(9b+6v)=920-870\Rightarrow b=50\]

Steg 4 — Finn \(v\)

Sett \(b=50\) inn i \(3b+2v=290\): \[150+2v=290\Rightarrow v=70\]

Steg 5 — Kontroller

\(5\cdot50+3\cdot70=250+210=460\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
b, v = symbols('b v')
losning = solve((Eq(3*b + 2*v, 290), Eq(5*b + 3*v, 460)), (b, v))
print('Løsning:', losning)
print('Kontroll Hansen:', 3*losning[b] + 2*losning[v])
print('Kontroll Sørensen:', 5*losning[b] + 3*losning[v])

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Flytt alt til én side

\[x^2-2x-3\ge0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\]

Steg 3 — Finn nullpunkter

Nullpunktene er \(x=3\) og \(x=-1\).

Steg 4 — Fortegnsdrøft

Produktet er positivt utenfor nullpunktene og negativt mellom dem.

Steg 5 — Ta med endepunktene

Siden ulikheten er \(\ge0\), tar vi med \(-1\) og \(3\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
uttrykk = x**2 - 2*x - 3
print('Faktorisert uttrykk:', uttrykk.factor())
print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(uttrykk >= 0, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Start med toppen

Den første raden er \(1\).

Steg 2 — Bygg hver rad

Hver rad starter og slutter med 1. Tallene inni er summen av de to tallene over.

Steg 3 — Skriv radene

De sju første radene er \(1\), \(1\ 1\), \(1\ 2\ 1\), \(1\ 3\ 3\ 1\), \(1\ 4\ 6\ 4\ 1\), \(1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1\), \(1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1\).

Steg 4 — Kontroller symmetri

Hver rad er symmetrisk. For eksempel er rad 6: \(1,6,15,20,15,6,1\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
for n in range(7):
    rad = [comb(n, r) for r in range(n + 1)]
    print(f'Rad {n}:', rad)

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Bruk formelen

\[\dbinom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\left(n-r\right)!}\]

Steg 2 — Regn \(\dbinom{6}{3}\)

\[\dbinom{6}{3}=\dfrac{6!}{3!3!}=20\]

Steg 3 — Regn \(\dbinom{4}{2}\)

\[\dbinom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=6\]

Steg 4 — Kontroller i Pascal

Verdiene finnes også i rad 6 og rad 4 i Pascals trekant.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print('C(6, 3) =', comb(6, 3))
print('C(4, 2) =', comb(4, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Velg modell

Dette er hypergeometrisk fordi vi trekker uten tilbakelegging fra en gruppe med jenter og gutter.

Steg 2 — Tell gunstige utvalg

Vi velger 2 av 4 jenter og 1 av 2 gutter: \[\dbinom{4}{2}\dbinom{2}{1}=6\cdot2=12\]

Steg 3 — Tell alle utvalg

Totalt velger vi 3 av 6 personer: \[\dbinom{6}{3}=20\]

Steg 4 — Regn sannsynligheten

\[P=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}=0{,}60\]

Steg 5 — Tolk

Det er 60 prosent sannsynlighet for at gruppen består av to jenter og én gutt.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
gunstige = comb(4, 2) * comb(2, 1)
alle = comb(6, 3)
sannsynlighet = gunstige / alle
print('Gunstige utvalg:', gunstige)
print('Alle mulige utvalg:', alle)
print('Sannsynlighet som brøk:', f'{gunstige}/{alle}')
print('Sannsynlighet som desimaltall:', sannsynlighet)

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Skriv om første ulikhet

\(2y+x\ge1\) gir \(y\ge\dfrac{1-x}{2}\).

Steg 2 — Skriv om andre ulikhet

\(y-x\ge -4\) gir \(y\ge x-4\).

Steg 3 — Tredje grense

\(y\le0\) betyr at området ligger på eller under x-aksen.

Steg 4 — Finn hjørner

Skjæringene blir \((1,0)\), \((4,0)\) og \((3,-1)\).

Steg 5 — Skravering

Området er trekanten som ligger over de to skrå linjene og under x-aksen.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
linje1 = Eq(y, (1 - x)/2)
linje2 = Eq(y, x - 4)
linje3 = Eq(y, 0)
print('Skjæring linje1 og linje3:', solve((linje1, linje3), (x, y)))
print('Skjæring linje2 og linje3:', solve((linje2, linje3), (x, y)))
print('Skjæring linje1 og linje2:', solve((linje1, linje2), (x, y)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Bruk hjørnene

En lineær størrelse får ekstremverdi i et hjørne av det lukkede trekantområdet.

Steg 2 — Regn i \((1,0)\)

\[2\cdot0-1=-1\]

Steg 3 — Regn i \((4,0)\)

\[2\cdot0-4=-4\]

Steg 4 — Regn i \((3,-1)\)

\[2\cdot\left(-1\right)-3=-5\]

Steg 5 — Velg minste verdi

Den minste verdien er \(-5\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

vertices = [(1, 0), (4, 0), (3, -1)]
verdier = []
for x, y in vertices:
    verdi = 2*y - x
    verdier.append((verdi, x, y))
    print(f'Punkt ({x}, {y}): 2y - x = {verdi}')
print('Minste verdi:', min(verdier))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Les av y-aksen

Grafen skjærer y-aksen ved \(y=4\). Derfor er \(f(0)=4\).

Steg 2 — Les av x-verdien 4

Når \(x=4\), ligger grafen på x-aksen. Derfor er \(f(4)=0\).

Steg 3 — Kontroller med funksjonsform senere

Dette stemmer med funksjonen vi finner i d.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, simplify
x = symbols('x')
f = -Rational(1, 2)*x**2 + x + 4
print('Funksjon brukt til kontroll:', f)
print('f(0) =', simplify(f.subs(x, 0)))
print('f(4) =', simplify(f.subs(x, 4)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Les av to punkter på tangenten

Tangenten går gjennom \((0,6)\) og \((6,0)\).

Steg 2 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{0-6}{6-0}=-1\]

Steg 3 — Bruk y-akseskjæringen

Siden linjen skjærer y-aksen i 6, er konstantleddet 6.

Steg 4 — Skriv likningen

\[t: y=-x+6\]

Steg 5 — Kontroller tangentpunktet

Ved \(x=2\) får vi \(y=-2+6=4\), som passer med punktet på grafen.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, simplify
x = symbols('x')
t = -x + 6
print('Tangenten:', Eq(symbols('y'), t))
print('t(2) =', simplify(t.subs(x, 2)))
print('Stigningstall:', -1)

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Bruk toppunktet

Grafen har toppunkt ved omtrent \(x=1\). Der er stigningstallet 0, så \(f^\prime(1)=0\).

Steg 2 — Bruk tangenten

Tangenten i \(x=2\) har stigningstall \(-1\). Derfor er \(f^\prime(2)=-1\).

Steg 3 — Kontroll med funksjonen

Funksjonen i d gir \(f^\prime(x)=-x+1\).

Steg 4 — Sett inn

\(f^\prime(1)=0\), og \(f^\prime(2)=-1\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, simplify
x = symbols('x')
f = -Rational(1, 2)*x**2 + x + 4
fp = diff(f, x)
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", fp)
print("f'(1) =", simplify(fp.subs(x, 1)))
print("f'(2) =", simplify(fp.subs(x, 2)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Sett opp generell form

La \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Steg 2 — Bruk \(f(0)=4\)

Da får vi \(c=4\).

Steg 3 — Bruk \(f(2)=4\)

Tangentpunktet gir \(4a+2b+4=4\), altså \(2a+b=0\).

Steg 4 — Bruk \(f^\prime(2)=-1\)

Siden \(f^\prime(x)=2ax+b\), får vi \(4a+b=-1\).

Steg 5 — Løs systemet

Fra \(2a+b=0\) og \(4a+b=-1\) får vi \(a=-\dfrac12\) og \(b=1\).

Steg 6 — Skriv uttrykket

\[f(x)=-\dfrac12x^2+x+4\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, diff, simplify
x, a, b, c = symbols('x a b c')
f = a*x**2 + b*x + c
fp = diff(f, x)
likninger = [Eq(f.subs(x, 0), 4), Eq(f.subs(x, 2), 4), Eq(fp.subs(x, 2), -1)]
losning = solve(likninger, (a, b, c), dict=True)[0]
print('Likninger:', likninger)
print('Parametere:', losning)
funksjon = f.subs(losning)
print('f(x) =', funksjon)
print('f(4) =', simplify(funksjon.subs(x, 4)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Les av høyre grense

Den loddrette grensen er \(x=4\), og området ligger til venstre: \(x\le4\).

Steg 2 — Finn øvre skrå linje

Linjen går gjennom \((0,3)\) og \((4,7)\), så stigningstallet er 1 og likningen er \(y=x+3\). Området ligger under: \(y\le x+3\).

Steg 3 — Finn nedre skrå linje

Linjen går gjennom \((0,3)\) og omtrent \((4,0{,}5)\). Stigningstallet er \(-\dfrac58\), så linjen er \(y=3-\dfrac58x\).

Steg 4 — Velg riktig side

Området ligger over den nedre linjen: \(y\ge3-\dfrac58x\).

Steg 5 — Samle ulikhetene

\[x\le4,\quad y\le x+3,\quad y\ge3-\dfrac58x\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, simplify
x = symbols('x')
y_ovre = x + 3
y_nedre = 3 - Rational(5, 8)*x
print('Øvre linje:', y_ovre)
print('Nedre linje:', y_nedre)
print('Øvre verdi ved x=4:', simplify(y_ovre.subs(x, 4)))
print('Nedre verdi ved x=4:', simplify(y_nedre.subs(x, 4)))
print('Ulikheter: x <= 4, y <= x + 3, y >= 3 - 5*x/8')

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Bruk vertikal asymptote

Nevneren er null når \(cx-1=0\), altså \(x=\dfrac1c\). Siden asymptoten er \(x=1\), får vi \(c=1\).

Steg 2 — Bruk horisontal asymptote

For store \(x\) nærmer \(\dfrac{ax+b}{cx-1}\) seg \(\dfrac{a}{c}\). Siden asymptoten er \(y=3\), får vi \(a=3c=3\).

Steg 3 — Les av y-akseskjæringen

Grafen skjærer y-aksen ved \(y=6\). Dermed er \(f(0)=6\).

Steg 4 — Finn \(b\)

\[f(0)=\dfrac{b}{-1}=-b=6\Rightarrow b=-6\]

Steg 5 — Kontroller nullpunktet

Med \(a=3\), \(b=-6\), \(c=1\) får vi teller \(3x-6\), som er null ved \(x=2\), slik figuren viser.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x, a, b, c = symbols('x a b c')
losning = solve((Eq(1/c, 1), Eq(a/c, 3), Eq(-b, 6)), (a, b, c), dict=True)[0]
print('Parametere:', losning)
f = (3*x - 6)/(x - 1)
print('f(x) =', f)
print('Vertikal asymptote fra nevner x - 1 = 0: x = 1')
print('Horisontal asymptote a/c =', simplify(3/1))
print('f(0) =', simplify(f.subs(x, 0)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Velg variabler

Vi lar \(x\) være år etter 1870 og bruker økningen siden 1800 som responsvariabel.

Steg 2 — Bruk datapunktene

Punktene er \((0,5)\), \((20,7)\), \((60,15)\), \((80,25)\), \((100,45)\), \((130,85)\).

Steg 3 — Velg eksponentiell regresjon

Dataene øker raskere og raskere, derfor passer en modell \(E(x)=A\cdot B^x\).

Steg 4 — Regresjonsresultat

Eksponentiell regresjon gir omtrent \[E(x)=4{,}55\cdot1{,}0224^x\]

Steg 5 — Koble til CO2-konsentrasjon

Hvis vi vil modellere konsentrasjonen direkte, kan vi skrive \[K(x)=280+E(x)\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
x = np.array([0, 20, 60, 80, 100, 130], dtype=float)
y = np.array([5, 7, 15, 25, 45, 85], dtype=float)
# Eksponentiell regresjon: ln(y) = ln(A) + x*ln(B)
stigning, konstant = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
A = np.exp(konstant)
B = np.exp(stigning)
print('A =', A)
print('B =', B)
print(f'Modell: E(x) = {A:.3f} * {B:.5f}^x')
for xi, yi in zip(x, y):
    modell = A * B**xi
    print(f'x={xi:5.0f}, observert={yi:6.2f}, modell={modell:8.3f}')

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Skriv modellen

\[K(x)=280+5{,}0\cdot1{,}022^x\]

Steg 2 — Velg passende intervall

Siden tabellen går fra 1870 til 2000, er \(0\le x\le130\) naturlig. For prediksjon kan vi utvide til \(x=180\).

Steg 3 — Tegn grafen

I GeoGebra kan vi skrive funksjonen direkte og sette x-aksen til år etter 1870.

Steg 4 — Tolk form

Grafen er voksende og krummer oppover fordi vekstfaktoren \(1{,}022>1\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
def K(t):
    return 280 + 5.0*(1.022**t)
print('K(0) =', K(0))
print('K(130) =', K(130))
print('K(180) =', K(180))
print('Grafen er voksende fordi vekstfaktoren 1.022 er større enn 1.')

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Finn \(x\)-verdien

Året 2050 er \(2050-1870=180\) år etter 1870.

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[K(180)=280+5{,}0\cdot1{,}022^{180}\]

Steg 3 — Regn digitalt

Dette gir omtrent \(531{,}3\).

Steg 4 — Tolk enhet

Enheten er ppm, altså parts per million.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import pow
x_2050 = 2050 - 1870
K_2050 = 280 + 5.0 * pow(1.022, x_2050)
print('År etter 1870:', x_2050)
print('K(180) =', K_2050)
print('Avrundet til nærmeste ppm:', round(K_2050))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[280+5{,}0\cdot1{,}022^x=425\]

Steg 2 — Isoler eksponentialleddet

\[5{,}0\cdot1{,}022^x=145\]

Steg 3 — Løs med CAS

CAS gir \(x\approx154{,}7\).

Steg 4 — Regn om til årstall

\(1870+154{,}7\approx2024{,}7\).

Steg 5 — Tolk

Modellen passerer 425 ppm omtrent i løpet av 2025.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, nsolve
x = symbols('x')
likning = Eq(280 + 5.0*1.022**x, 425)
losning = nsolve(likning, 150)
aar = 1870 + float(losning)
print('Løsning i år etter 1870:', losning)
print('Årstall:', aar)
print('Avrundet år:', round(aar))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Deriver modellen

For \(K(x)=280+5\cdot1{,}022^x\) er \[K^\prime(x)=5\cdot1{,}022^x\cdot\ln(1{,}022)\]

Steg 2 — Sett inn \(x=120\)

\[K^\prime(120)=5\cdot1{,}022^{120}\cdot\ln(1{,}022)\]

Steg 3 — Regn ut

Dette gir omtrent \(1{,}48\).

Steg 4 — Tolk enhet

Enheten er ppm per år.

Steg 5 — Forklar betydning

Rundt året \(1870+120=1990\) økte CO2-konsentrasjonen med omtrent \(1{,}48\) ppm per år ifølge modellen.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import log
x = 120
vekstfart = 5.0 * (1.022**x) * log(1.022)
print('x-verdi:', x)
print('År:', 1870 + x)
print('Momentan vekstfart K'(120):', vekstfart)
print('Avrundet:', round(vekstfart, 2), 'ppm per år')

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Fast antall forsøk

Simon passerer 10 lyskryss, altså \(n=10\).

Steg 2 — To mulige utfall

I hvert kryss kan vi registrere grønt eller ikke grønt.

Steg 3 — Samme sannsynlighet

Det er grønt i 24 av 60 sekunder, så \[p=\dfrac{24}{60}=0{,}40\]

Steg 4 — Uavhengighet

Oppgaven sier at lyskryssene virker uavhengig av hverandre.

Steg 5 — Konklusjon

Alle kravene for binomisk modell er oppfylt.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

sekunder_gront = 24
sekunder_totalt = 60
p = sekunder_gront / sekunder_totalt
n = 10
print('Antall forsøk n:', n)
print('Sannsynlighet p:', p)
print('Binomisk modell: X ~ Bin(n=10, p=0.40)')

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall kryss med grønt lys. Da er \(X\sim\operatorname{Bin}(10,0{,}40)\).

Steg 2 — Bruk binomisk formel

\[P(X=5)=\dbinom{10}{5}0{,}40^5\cdot0{,}60^5\]

Steg 3 — Regn ut

\[P(X=5)\approx0{,}2007\]

Steg 4 — Tolk

Sannsynligheten er omtrent 20,1 prosent.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
n = 10
p = 0.40
k = 5
sannsynlighet = comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)
print('n =', n)
print('p =', p)
print('k =', k)
print('P(X = 5) =', sannsynlighet)
print('Avrundet:', round(sannsynlighet, 4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Tolk hendelsen

Grønt oftere enn rødt betyr flere enn 5 grønne av 10 kryss, altså \(X\ge6\).

Steg 2 — Skriv summen

\[P(X\ge6)=\sum_{k=6}^{10}\dbinom{10}{k}0{,}40^k0{,}60^{10-k}\]

Steg 3 — Regn digitalt

Summen blir omtrent \(0{,}1662\).

Steg 4 — Tolk

Det er omtrent 16,6 prosent sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
n = 10
p = 0.40
sannsynlighet = 0
for k in range(6, 11):
    ledd = comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)
    sannsynlighet += ledd
    print(f'P(X = {k}) = {ledd:.10f}')
print('P(X >= 6) =', sannsynlighet)
print('Avrundet:', round(sannsynlighet, 4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Tolk hendelsen

Det skal være nøyaktig tre grønne kryss, og disse tre skal komme rett etter hverandre.

Steg 2 — Tell plasseringer

En blokk på tre grønne kan starte i kryss 1,2,\ldots,8. Det gir 8 mulige plasseringer.

Steg 3 — Sannsynlighet for én bestemt plassering

For én bestemt blokk er sannsynligheten \[0{,}40^3\cdot0{,}60^7\]

Steg 4 — Multipliser med 8

\[P=8\cdot0{,}40^3\cdot0{,}60^7\approx0{,}0143\]

Steg 5 — Tolk

Sannsynligheten er omtrent 1,43 prosent.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

p = 0.40
q = 1 - p
antall_plasseringer = 8
sannsynlighet_en_plassering = p**3 * q**7
sannsynlighet = antall_plasseringer * sannsynlighet_en_plassering
print('Antall mulige startposisjoner for blokken:', antall_plasseringer)
print('Sannsynlighet for én bestemt blokk:', sannsynlighet_en_plassering)
print('Total sannsynlighet:', sannsynlighet)
print('Avrundet:', round(sannsynlighet, 4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Kapasitet hunder

Det er plass til høyst 20 hunder: \(x\le20\).

Steg 2 — Kapasitet katter

Det er plass til høyst 30 katter: \(y\le30\).

Steg 3 — Ikke-negative variabler

Antall dyr kan ikke være negative: \(x\ge0\), \(y\ge0\).

Steg 4 — Arbeidstid

24 timer er \(24\cdot60=1440\) minutter. Stellkravet gir \[45x+30y\le1440\]

Steg 5 — Forenkle arbeidstidsulikheten

Del på 15: \[3x+2y\le96\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
x, y = symbols('x y')
print('Hunder:', '0 <= x <= 20')
print('Katter:', '0 <= y <= 30')
print('Arbeidstid i minutter:', '45*x + 30*y <= 1440')
print('Forenklet arbeidstid:', '3*x + 2*y <= 96')

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Finn fortjeneste per dyr

Hund: \(350-100=250\) kroner. Katt: \(200-50=150\) kroner.

Steg 2 — Lag målfunksjon

\[F(x,y)=250x+150y\]

Steg 3 — Finn aktuelle hjørner

Fra området får vi hjørnene \((0,0)\), \((20,0)\), \((20,18)\), \((12,30)\), \((0,30)\).

Steg 4 — Regn fortjeneste

\(F(20,18)=250\cdot20+150\cdot18=7700\), som er størst.

Steg 5 — Tolk

Kennelen bør ha 20 hunder og 18 katter i opphold per døgn.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

vertices = [(0, 0), (20, 0), (20, 18), (12, 30), (0, 30)]
def F(x, y):
    return 250*x + 150*y
resultater = []
for punkt in vertices:
    verdi = F(*punkt)
    resultater.append((verdi, punkt))
    print(f'Punkt {punkt}: fortjeneste = {verdi}')
print('Beste punkt:', max(resultater))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Bruk toppunktbetingelsen

Når grafen har toppunkt ved \(x=3\), må \(f^\prime(3)=0\).

Steg 2 — Deriver funksjonen

\[f^\prime(x)=-72x^2+2ax-b^2\]

Steg 3 — Sett inn \(x=3\) i den deriverte

\[f^\prime(3)=-72\cdot9+6a-b^2=0\]

Steg 4 — Få første likning

\[-648+6a-b^2=0\Rightarrow6a-b^2=648\]

Steg 5 — Bruk punktet \((3,3)\)

\[f(3)=-24\cdot27+9a-3b^2-27=3\]

Steg 6 — Få andre likning

\[-675+9a-3b^2=3\Rightarrow9a-3b^2=678\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, expand, Eq, simplify
x, a, b = symbols('x a b')
f = -24*x**3 + a*x**2 - b**2*x - 27
fp = diff(f, x)
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", fp)
print("f'(3) =", expand(fp.subs(x, 3)))
print('f(3) =', expand(f.subs(x, 3)))
print('Betingelse f'(3)=0 gir:', Eq(6*a - b**2, 648))
print('Betingelse f(3)=3 gir:', Eq(9*a - 3*b**2, 678))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Bruk likningene fra a

\[6a-b^2=648\] \[9a-3b^2=678\]

Steg 2 — La CAS løse systemet

Vi løser systemet med ukjente \(a\) og \(b\).

Steg 3 — Resultat for \(a\)

CAS gir \(a=\dfrac{422}{3}\).

Steg 4 — Resultat for \(b\)

Siden \(b^2=196\), får vi \(b=14\) eller \(b=-14\).

Steg 5 — Kontroller toppunkt

\(f^{\prime\prime}(3)=-432+2a=-\dfrac{452}{3}<0\), så punktet er et toppunkt.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify
x, a, b = symbols('x a b')
likninger = [Eq(6*a - b**2, 648), Eq(9*a - 3*b**2, 678)]
losninger = solve(likninger, (a, b), dict=True)
print('Løsninger:', losninger)
for sol in losninger:
    f = -24*x**3 + sol[a]*x**2 - sol[b]**2*x - 27
    fp = diff(f, x)
    fpp = diff(fp, x)
    print('a =', sol[a], 'b =', sol[b])
    print('f(3) =', simplify(f.subs(x, 3)))
    print("f'(3) =", simplify(fp.subs(x, 3)))
    print("f''(3) =", simplify(fpp.subs(x, 3)))