Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Se etter faktorisering

Vi trenger to tall med produkt \(2\) og sum \(-3\). Tallene er \(-1\) og \(-2\).

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én av faktorene være null.

Steg 4 — Løs faktorene

\[x-1=0 \Rightarrow x=1\quad \text{eller}\quad x-2=0 \Rightarrow x=2\]

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

\(1^2-3\cdot1+2=0\) og \(2^2-3\cdot2+2=0\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 - 3*x + 2
print('Faktorisert uttrykk:', factor(uttrykk))
losninger = solve(Eq(uttrykk, 0), x)
print('Løsninger:', losninger)
for verdi in losninger:
    print(f'Kontroll for x = {verdi}:', simplify(uttrykk.subs(x, verdi)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk at logaritmen er én-entydig

Når \(\lg A=\lg B\) og begge uttrykkene er positive, må \(A=B\).

Steg 2 — Sjekk definisjonskrav

Vi må ha \(4x+3>0\), altså \(x>-\dfrac{3}{4}\).

Steg 3 — Fjern logaritmen

\[4x+3=7\]

Steg 4 — Løs likningen

\[4x=4 \Rightarrow x=1\]

Steg 5 — Kontroller definisjonsmengden

For \(x=1\) er \(4x+3=7>0\), så løsningen er gyldig.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(log(4*x + 3, 10), log(7, 10))
losninger = solve(likning, x)
print('Løsninger:', losninger)
for verdi in losninger:
    venstre = log(4*verdi + 3, 10)
    hoyre = log(7, 10)
    print(f'x = {verdi}, venstre side =', venstre)
    print(f'x = {verdi}, høyre side   =', hoyre)
    print('Differanse:', simplify(venstre - hoyre))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Utvid første kvadrat

\[\left(2x-3\right)^2=4x^2-12x+9\]

Steg 2 — Utvid andre kvadrat med faktoren \(-3\)

\[-3\left(x-2\right)^2=-3\left(x^2-4x+4\right)=-3x^2+12x-12\]

Steg 3 — Bruk konjugatsetningen

\[\left(x-1\right)\left(x+1\right)=x^2-1\]

Steg 4 — Samle ledd

\[4x^2-12x+9-3x^2+12x-12+x^2-1=2x^2-4\]

Steg 5 — Eventuell faktorisering

Uttrykket kan også skrives som \(2\left(x^2-2\right)\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, factor
x = symbols('x')
uttrykk = (2*x - 3)**2 - 3*(x - 2)**2 + (x - 1)*(x + 1)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Utvidet uttrykk:', expand(uttrykk))
print('Faktorisert form:', factor(expand(uttrykk)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Flytt negativ potens

Å dele på \(\left(a^3b\right)^{-2}\) er det samme som å multiplisere med \(\left(a^3b\right)^2\).

Steg 2 — Skriv om

\[\dfrac{a^2b^3}{\left(a^3b\right)^{-2}}=a^2b^3\left(a^3b\right)^2\]

Steg 3 — Bruk potens av produkt

\[\left(a^3b\right)^2=a^6b^2\]

Steg 4 — Multipliser potenser med samme grunntall

\[a^2b^3\cdot a^6b^2=a^{8}b^{5}\]

Steg 5 — Oppgi forutsetning

Uttrykket forutsetter at \(a e0\) og \(b e0\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = a**2*b**3 / (a**3*b)**(-2)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Forenklet uttrykk:', simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Oversett areal

Arealet til et rektangel er lengde ganget med bredde: \(xy\).

Steg 2 — Bruk arealopplysningen

Siden arealet er 6, får vi \[xy=6\]

Steg 3 — Oversett omkrets

Omkretsen er summen av alle sidene: \(2x+2y\).

Steg 4 — Bruk omkretsopplysningen

Siden omkretsen er 11, får vi \[2x+2y=11\]

Steg 5 — Sett systemet samlet

\[\begin{cases}xy=6\2x+2y=11\end{cases}\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq
x, y = symbols('x y')
likning_1 = Eq(x*y, 6)
likning_2 = Eq(2*x + 2*y, 11)
print('Likning 1:', likning_1)
print('Likning 2:', likning_2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk omkretslikningen

Fra \(2x+2y=11\) får vi \(x+y=\dfrac{11}{2}\).

Steg 2 — Tenk røtter

Hvis to tall har sum \(\dfrac{11}{2}\) og produkt \(6\), er de røtter i likningen \[t^2-\dfrac{11}{2}t+6=0\]

Steg 3 — Fjern brøk

\[2t^2-11t+12=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[2t^2-11t+12=\left(2t-3\right)\left(t-4\right)\]

Steg 5 — Finn sidene

\[t=\dfrac{3}{2}\quad \text{eller}\quad t=4\]

Steg 6 — Kontroller

\(4\cdot \dfrac{3}{2}=6\), og \(2\cdot4+2\cdot\dfrac{3}{2}=11\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x, y = symbols('x y')
losninger = solve((Eq(x*y, 6), Eq(2*x + 2*y, 11)), (x, y))
print('Løsninger for sidene:', losninger)
for L, B in losninger:
    print('Areal:', simplify(L*B))
    print('Omkrets:', simplify(2*L + 2*B))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Skriv leddene i vanlig rekkefølge

\[-5x+x^2=x^2-5x\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-5x=x\left(x-5\right)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[x=0\quad \text{eller}\quad x=5\]

Steg 4 — Lag fortegnsdrøfting

Produktet \(x\left(x-5\right)\) er negativt eller null mellom nullpunktene.

Steg 5 — Ta med endepunktene

Siden ulikheten er \(\le0\), tar vi med \(0\) og \(5\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
ulikhet = x**2 - 5*x <= 0
print('Ulikhet:', ulikhet)
print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(ulikhet, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Skriv radene fra rad 0 til rad 6

De 7 første radene er \(1\), \(1\ 1\), \(1\ 2\ 1\), \(1\ 3\ 3\ 1\), \(1\ 4\ 6\ 4\ 1\), \(1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1\), \(1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1\).

Steg 2 — Bruk formel for binomialkoeffisient

\[\dbinom{7}{4}=\dfrac{7!}{4!\,3!}\]

Steg 3 — Forkort

\[\dfrac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35\]

Steg 4 — Koble til Pascals talltrekant

Tallet \(\dbinom{7}{4}\) ligger i rad 7 dersom vi starter med rad 0. Verdien er \(35\).

Steg 5 — Kontroll

Symmetrien gir \(\dbinom{7}{4}=\dbinom{7}{3}=35\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
for n in range(7):
    rad = [comb(n, r) for r in range(n + 1)]
    print(f'Rad {n}:', rad)
print('C(7, 4) =', comb(7, 4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Tolk symbolet

\(\dbinom{7}{4}\) betyr antall måter å velge 4 objekter blant 7 når rekkefølgen ikke betyr noe.

Steg 2 — Lag en konkret situasjon

En klasse skal velge en komité på 4 elever blant 7 kandidater.

Steg 3 — Forklar hvorfor rekkefølge ikke betyr noe

De fire samme elevene gir samme komité uansett hvilken rekkefølge de blir valgt i.

Steg 4 — Bruk verdien fra a

Antall mulige komiteer er \(\dbinom{7}{4}=35\).

Steg 5 — Presiser modellen

Modellen passer bare hvis alle valg av 4 personer er mulige og ingen person kan velges mer enn én gang.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb, perm
print('Antall komiteer når rekkefølgen ikke betyr noe:', comb(7, 4))
print('Antall ordnede valg av 4 blant 7:', perm(7, 4))
print('Forskjellen viser hvorfor kombinasjon er riktig her.')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Første siffer

Første siffer kan være \(1,2,\ldots,9\). Det gir 9 valg.

Steg 2 — De tre neste sifrene

Hvert av de tre neste sifrene kan være \(0,1,\ldots,9\), altså 10 valg hver.

Steg 3 — Bruk multiplikasjonsprinsippet

\[9\cdot10\cdot10\cdot10=9000\]

Steg 4 — Kontroller modellen

Siffer kan gjentas, siden oppgaven ikke sier at gjentakelser er forbudt i a.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

antall_forste = 9
antall_andre = 10
antall_tredje = 10
antall_fjerde = 10
totalt = antall_forste * antall_andre * antall_tredje * antall_fjerde
print('Antall valg for første siffer:', antall_forste)
print('Antall valg for hvert av de tre neste:', antall_andre)
print('Totalt antall pinkoder:', totalt)

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Første siffer

Første siffer kan ikke være 0, så vi har 9 valg.

Steg 2 — Andre siffer

Når første siffer er brukt, er 9 sifre igjen. Nå kan 0 brukes.

Steg 3 — Tredje og fjerde siffer

Deretter er det 8 valg og 7 valg.

Steg 4 — Multipliser

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Tallet er mindre enn \(9000\), fordi vi har lagt til en ekstra begrensning.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

valg = [9, 9, 8, 7]
totalt = 1
for plass, antall in enumerate(valg, start=1):
    totalt *= antall
    print(f'Etter plass {plass}: {totalt} mulige delkoder')
print('Totalt uten gjentakelser:', totalt)

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x=-c\). Siden asymptoten er \(x=-1\), må \(c=1\).

Steg 2 — Bruk x-akseskjæring

Når grafen skjærer x-aksen ved \(x=2\), er telleren null: \(2a+b=0\).

Steg 3 — Bruk y-akseskjæring

\(g\left(0\right)=\dfrac{b}{c}=b\), siden \(c=1\). Vi får \(b=-4\).

Steg 4 — Finn \(a\)

Fra \(2a+b=0\) og \(b=-4\) får vi \(2a-4=0\), altså \(a=2\).

Steg 5 — Skriv funksjonen

\[g\left(x\right)=\dfrac{2x-4}{x+1}\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x, a, b, c = symbols('x a b c')
losning = solve((Eq(c, 1), Eq(2*a + b, 0), Eq(b/c, -4)), (a, b, c), dict=True)
print('Parametere:', losning)
g = (2*x - 4)/(x + 1)
print('Funksjonsuttrykk:', g)
print('x-akseskjæring, teller ved x=2:', simplify((2*x - 4).subs(x, 2)))
print('y-akseskjæring g(0):', simplify(g.subs(x, 0)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk funksjonen fra a

Vi tegner \(g\left(x\right)=\dfrac{2x-4}{x+1}\).

Steg 2 — Vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x=-1\), så den vertikale asymptoten er \(x=-1\).

Steg 3 — Horisontal asymptote

Gradene i teller og nevner er like. Horisontal asymptote er forholdet mellom ledende koeffisienter: \(y=2\).

Steg 4 — Marker skjæringspunkter

Grafen går gjennom \(\left(2,0\right)\) og \(\left(0,-4\right)\).

Steg 5 — Tegn greinene

Grafen nærmer seg asymptotene uten å krysse den vertikale asymptoten.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit, oo, simplify
x = symbols('x')
g = (2*x - 4)/(x + 1)
print('g(x) =', g)
print('Vertikal asymptote: x = -1')
print('Grense mot uendelig:', limit(g, x, oo))
print('g(0) =', simplify(g.subs(x, 0)))
print('g(2) =', simplify(g.subs(x, 2)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk definisjonen

Gjennomsnittlig vekstfart er \(\dfrac{K\left(100\right)-K\left(0\right)}{100-0}\).

Steg 2 — Regn ut \(K\left(0\right)\)

\[K\left(0\right)=1000\]

Steg 3 — Regn ut \(K\left(100\right)\)

\[K\left(100\right)=0{,}1\cdot100^2+30\cdot100+1000=5000\]

Steg 4 — Sett inn i brøken

\[\dfrac{5000-1000}{100}=40\]

Steg 5 — Tolk enheten

I gjennomsnitt øker kostnaden med 40 kroner per ekstra enhet fra 0 til 100 enheter.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, simplify
x = symbols('x')
K = Rational(1, 10)*x**2 + 30*x + 1000
K0 = K.subs(x, 0)
K100 = K.subs(x, 100)
gjennomsnitt = simplify((K100 - K0)/(100 - 0))
print('K(0) =', K0)
print('K(100) =', K100)
print('Gjennomsnittlig vekstfart =', gjennomsnitt, 'kroner per enhet')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Deriver kostnadsfunksjonen

\[K^{\prime}\left(x\right)=0{,}2x+30\]

Steg 2 — Sett inn \(x=100\)

\[K^{\prime}\left(100\right)=0{,}2\cdot100+30=50\]

Steg 3 — Tolk marginalkostnaden

Når produksjonen er 100 enheter per dag, øker kostnaden omtrent med 50 kroner for én ekstra enhet.

Steg 4 — Sammenlikn med a

Dette er en momentan vekstfart, mens a ga gjennomsnittet over et helt intervall.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff
x = symbols('x')
K = Rational(1, 10)*x**2 + 30*x + 1000
K_derivert = diff(K, x)
print('K(x) =', K)
print("K'(x) =", K_derivert)
print("K'(100) =", K_derivert.subs(x, 100))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Sett opp inntekt

Inntekten er \(I\left(x\right)=60x\).

Steg 2 — Sett opp overskudd

\[O\left(x\right)=I\left(x\right)-K\left(x\right)=60x-\left(0{,}1x^2+30x+1000\right)\]

Steg 3 — Forenkle

\[O\left(x\right)=-0{,}1x^2+30x-1000\]

Steg 4 — Finn toppunktet

For en andregradsfunksjon \(ax^2+bx+c\) ligger toppunktets x-verdi ved \(-\dfrac{b}{2a}\). Her får vi \[x=-\dfrac{30}{2\cdot\left(-0{,}1\right)}=150\]

Steg 5 — Sjekk intervallet

\(150\) ligger i intervallet \(0\le x\le300\), så dette er mulig produksjon.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, solve, Eq, simplify
x = symbols('x')
K = Rational(1, 10)*x**2 + 30*x + 1000
I = 60*x
O = I - K
O_derivert = diff(O, x)
kritiske = solve(Eq(O_derivert, 0), x)
print('Overskuddsfunksjon O(x) =', O)
print("O'(x) =", O_derivert)
print('Kritiske punkter:', kritiske)
for verdi in kritiske:
    print('O(', verdi, ') =', simplify(O.subs(x, verdi)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Sett funksjonen lik null

\[-\dfrac{2}{3}x^3+3x^2=0\]

Steg 2 — Faktoriser ut \(x^2\)

\[x^2\left(-\dfrac{2}{3}x+3\right)=0\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Da må \(x^2=0\) eller \(-\dfrac{2}{3}x+3=0\).

Steg 4 — Løs faktorene

\[x=0\quad \text{eller}\quad x=\dfrac{9}{2}\]

Steg 5 — Sjekk definisjonsintervallet

Begge ligger i \(-1

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, solve, Eq, factor
x = symbols('x')
f = -Rational(2, 3)*x**3 + 3*x**2
print('Faktorisert f(x):', factor(f))
nullpunkter = solve(Eq(f, 0), x)
print('Nullpunkter:', nullpunkter)
for verdi in nullpunkter:
    print(f'f({verdi}) =', f.subs(x, verdi))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Deriver

\[f^{\prime}\left(x\right)=-2x^2+6x=-2x\left(x-3\right)\]

Steg 2 — Finn kritiske punkter

\[f^{\prime}\left(x\right)=0 \Rightarrow x=0\quad \text{eller}\quad x=3\]

Steg 3 — Bruk andrederivert

\[f^{\prime\prime}\left(x\right)=-4x+6\]

Steg 4 — Klassifiser

\(f^{\prime\prime}\left(0\right)=6>0\), så \(x=0\) gir bunnpunkt. \(f^{\prime\prime}\left(3\right)=-6<0\), så \(x=3\) gir toppunkt.

Steg 5 — Finn y-verdiene

\[f\left(0\right)=0,\qquad f\left(3\right)=9\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, solve, Eq, simplify
x = symbols('x')
f = -Rational(2, 3)*x**3 + 3*x**2
fp = diff(f, x)
fpp = diff(fp, x)
kritiske = solve(Eq(fp, 0), x)
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
for verdi in kritiske:
    print('x =', verdi, 'f(x) =', simplify(f.subs(x, verdi)), "f''(x) =", fpp.subs(x, verdi))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk nullpunktene

Grafen skjærer x-aksen ved \(x=0\) og \(x=\dfrac{9}{2}\).

Steg 2 — Bruk ekstremalpunktene

Grafen har bunnpunkt \(\left(0,0\right)\) og topppunkt \(\left(3,9\right)\).

Steg 3 — Bruk intervallet

Vi tegner bare for \(-1

Steg 4 — Vurder form

Siden ledende ledd er negativt, faller grafen for store positive \(x\).

Steg 5 — Tegn en jevn kurve

Kurven berører x-aksen ved \(x=0\) og krysser ved \(x=\dfrac{9}{2}\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational
x = symbols('x')
f = -Rational(2, 3)*x**3 + 3*x**2
punkter = [-1, 0, 1, 3, Rational(9, 2), 5]
print('Verdier som kan brukes i skissen:')
for verdi in punkter:
    print(f'x = {verdi}, f(x) = {f.subs(x, verdi)}')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Finn punktet

\[f\left(1\right)=-\dfrac{2}{3}+3=\dfrac{7}{3}\]

Steg 2 — Finn stigningstallet

\[f^{\prime}\left(x\right)=-2x^2+6x\]

Steg 3 — Sett inn \(x=1\)

\[f^{\prime}\left(1\right)=-2+6=4\]

Steg 4 — Bruk punktform

\[y-\dfrac{7}{3}=4\left(x-1\right)\]

Steg 5 — Skriv på formen \(y=ax+b\)

\[y=4x-\dfrac{5}{3}\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, expand
x = symbols('x')
f = -Rational(2, 3)*x**3 + 3*x**2
fp = diff(f, x)
x0 = 1
y0 = f.subs(x, x0)
stigning = fp.subs(x, x0)
tangent = expand(stigning*(x - x0) + y0)
print('Punkt:', (x0, y0))
print('Stigningstall:', stigning)
print('Tangent:', tangent)

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk komplement

Minst én sekser er enklere å regne som \(1\) minus ingen seksere.

Steg 2 — Sannsynlighet for ingen sekser i ett kast

\(P\left(\text{ikke sekser}\right)=\dfrac{5}{6}\).

Steg 3 — Tre uavhengige kast

\[P\left(\text{ingen seksere på tre kast}\right)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^3\]

Steg 4 — Finn \(p\)

\[p=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^3=\dfrac{91}{216}\approx0{,}4213\]

Steg 5 — Tolk

En bestemt deltaker har omtrent \(42{,}13\ \%\) sannsynlighet for minst én sekser.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, N
p = 1 - Rational(5, 6)**3
print('Eksakt p =', p)
print('Desimal p =', N(p, 10))
print('Prosent =', N(100*p, 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Definer suksess

Suksess er at en deltaker får minst én sekser. Sannsynligheten er \(p\).

Steg 2 — Bare de to første lykkes

Da må deltaker 1 og 2 lykkes, mens deltaker 3 og 4 ikke lykkes.

Steg 3 — Multipliser uavhengige sannsynligheter

\[P=p^2\left(1-p\right)^2\]

Steg 4 — Sett inn \(p=\dfrac{91}{216}\)

\[P=\left(\dfrac{91}{216}\right)^2\left(\dfrac{125}{216}\right)^2\approx0{,}0595\]

Steg 5 — Tolk

Dette gjelder akkurat deltaker 1 og 2, ikke et vilkårlig par.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, N
p = 1 - Rational(5, 6)**3
sannsynlighet = p**2 * (1 - p)**2
print('p =', p)
print('P(bare deltaker 1 og 2 lykkes) =', sannsynlighet)
print('Desimal =', N(sannsynlighet, 10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Velg hvilke to som lykkes

Det kan gjøres på \(\dbinom{4}{2}=6\) måter.

Steg 2 — Sannsynlighet for ett bestemt par

Fra b er dette \(p^2\left(1-p\right)^2\).

Steg 3 — Multipliser

\[P=\dbinom{4}{2}p^2\left(1-p\right)^2\]

Steg 4 — Sett inn verdien

\[P=6\left(\dfrac{91}{216}\right)^2\left(\dfrac{125}{216}\right)^2\approx0{,}3568\]

Steg 5 — Tolk

Det er omtrent \(35{,}68\ \%\) sannsynlig at nøyaktig to av de fire får minst én sekser.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, binomial, N
p = 1 - Rational(5, 6)**3
sannsynlighet = binomial(4, 2) * p**2 * (1 - p)**2
print('p =', p)
print('Antall par =', binomial(4, 2))
print('Sannsynlighet =', sannsynlighet)
print('Desimal =', N(sannsynlighet, 10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Oversett år til \(x\)-verdier

Årene 1997, 2001, 2005, 2009 og 2013 gir \(x=0,4,8,12,16\).

Steg 2 — Bruk regresjonsmodell

En eksponentiell modell har form \(f\left(x\right)=a\cdot b^x\).

Steg 3 — Digital regresjon

Regresjon på punktene gir omtrent \[f\left(x\right)\approx324000\cdot1{,}083^x\]

Steg 4 — Tolk vekstfaktor

Vekstfaktoren \(1{,}083\) betyr at produksjonen multipliseres med \(1{,}083\) per år.

Steg 5 — Finn prosentvis vekst

\[1{,}083-1=0{,}083=8{,}3\ \%\]

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
x = np.array([0, 4, 8, 12, 16], dtype=float)
y = np.array([335000, 435000, 585000, 863000, 1170000], dtype=float)
koeff = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
ln_b, ln_a = koeff[0], koeff[1]
a = np.exp(ln_a)
b = np.exp(ln_b)
print('a ≈', round(a, 0))
print('b ≈', round(b, 3))
print('Modell: f(x) ≈ a*b**x')
print('Prosentvis vekst per år ≈', round((b - 1)*100, 2), 'prosent')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

Vi skal finne når \(324000\cdot1{,}083^x>2000000\).

Steg 2 — Løs med logaritmer eller CAS

\[x>\dfrac{\ln\left(\dfrac{2000000}{324000}\right)}{\ln\left(1{,}083\right)}\]

Steg 3 — Regn ut

\[x\approx22{,}83\]

Steg 4 — Oversett til årstall

\(1997+22{,}83\approx2019{,}83\). Produksjonen passerer derfor 2 000 000 tonn rundt slutten av 2019, altså i løpet av 2020 dersom vi bruker hele år.

Steg 5 — Tolk

Modellen sier når nivået blir høyere enn grensen, ikke nødvendigvis nøyaktig faktisk produksjon.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log, N
x = symbols('x')
losning = log(2000000/324000) / log(1.083)
aar = 1997 + losning
print('x-verdi etter 1997 =', N(losning, 8))
print('Årstall =', N(aar, 8))
print('Tolkning: i løpet av 2020 ved hele år')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk momentan vekstfart

Produksjonsveksten per år kan modelleres med \(f^{\prime}\left(x\right)\).

Steg 2 — Deriver modellen

\[f^{\prime}\left(x\right)=324000\cdot1{,}083^x\ln\left(1{,}083\right)\]

Steg 3 — Sett opp ulikheten

\[324000\cdot1{,}083^x\ln\left(1{,}083\right)>100000\]

Steg 4 — Løs digitalt

Løsningen gir \(x\approx16{,}97\).

Steg 5 — Oversett til år

\(1997+16{,}97\approx2013{,}97\). Veksten blir altså større enn \(100\ 000\) tonn per år rundt 2014.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import log, N
x_grense = log(100000/(324000*log(1.083))) / log(1.083)
aar = 1997 + x_grense
print('x-verdi etter 1997 =', N(x_grense, 8))
print('Årstall =', N(aar, 8))
print('Tolkning: veksten passerer 100000 tonn per år rundt 2014')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Ikke-negativ produksjon

Butikken kan ikke produsere negative kg, derfor \(x\ge0\) og \(y\ge0\).

Steg 2 — Salgsbegrensning

De får ikke solgt mer enn 550 kg totalt, derfor \(x+y\le550\).

Steg 3 — Torskebegrensning

Type A bruker \(0{,}6\) kg torsk per kg, og B bruker \(0{,}4\). Tilgangen er 300 kg: \(0{,}6x+0{,}4y\le300\).

Steg 4 — Seibegrensning

Type A bruker \(0{,}2\) kg sei per kg, og B bruker \(0{,}4\). Tilgangen er 200 kg: \(0{,}2x+0{,}4y\le200\).

Steg 5 — Modellkontroll

Alle ulikhetene er øvre grenser eller naturlige ikke-negativitetskrav.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
ulikheter = [x >= 0, y >= 0, x + y <= 550, 0.6*x + 0.4*y <= 300, 0.2*x + 0.4*y <= 200]
print('Ulikhetene i modellen:')
for u in ulikheter:
    print(u)

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Tegn grenselinjene

Tegn \(x=0\), \(y=0\), \(x+y=550\), \(3x+2y=1500\) og \(x+2y=1000\).

Steg 2 — Finn skjæringspunkter

Relevante hjørner blir \(\left(0,0\right)\), \(\left(500,0\right)\), \(\left(400,150\right)\), \(\left(100,450\right)\) og \(\left(0,500\right)\).

Steg 3 — Velg riktig side av linjene

Området skal ligge i første kvadrant og under alle tre begrensningslinjene.

Steg 4 — Skraver området

Skraver polygonet gjennom hjørnene i rekkefølge.

Steg 5 — Kontrollpunkt

Punktet \(\left(0,0\right)\) oppfyller alle ulikheter, så området ligger på samme side som origo for de tre ressurslinjene.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
linjer = [Eq(x + y, 550), Eq(3*x + 2*y, 1500), Eq(x + 2*y, 1000)]
print('Skjæringer mellom grenselinjer:')
for i in range(len(linjer)):
    for j in range(i + 1, len(linjer)):
        print(linjer[i], 'og', linjer[j], 'gir', solve((linjer[i], linjer[j]), (x, y)))
print('Relevante hjørner: (0,0), (500,0), (400,150), (100,450), (0,500)')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Finn råvarekostnad for A

Type A bruker \(0{,}6\) kg torsk og \(0{,}2\) kg sei. Kostnaden er \(0{,}6\cdot55+0{,}2\cdot35=40\) kr per kg.

Steg 2 — Finn dekningsbidrag for A

Salgspris er 70 kr, så bidraget er \(70-40=30\) kr per kg.

Steg 3 — Finn råvarekostnad for B

Type B koster \(0{,}4\cdot55+0{,}4\cdot35=36\) kr per kg.

Steg 4 — Finn dekningsbidrag for B

Salgspris er 61 kr, så bidraget er \(61-36=25\) kr per kg.

Steg 5 — Trekk fra faste kostnader

Fortjenesten blir \(30x+25y-5000\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational
kost_A = Rational(6, 10)*55 + Rational(2, 10)*35
kost_B = Rational(4, 10)*55 + Rational(4, 10)*35
bidrag_A = 70 - kost_A
bidrag_B = 61 - kost_B
print('Kostnad per kg A:', kost_A)
print('Dekningsbidrag per kg A:', bidrag_A)
print('Kostnad per kg B:', kost_B)
print('Dekningsbidrag per kg B:', bidrag_B)
print('Fortjeneste: 30*x + 25*y - 5000')

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk hjørneprinsippet

En lineær funksjon får maksimum i et hjørne av mulighetsområdet.

Steg 2 — Test hjørnene

Hjørnene er \(\left(0,0\right)\), \(\left(500,0\right)\), \(\left(400,150\right)\), \(\left(100,450\right)\), \(\left(0,500\right)\).

Steg 3 — Regn fortjenesten

\(F\left(500,0\right)=10000\), \(F\left(400,150\right)=10750\), \(F\left(100,450\right)=9250\), \(F\left(0,500\right)=7500\).

Steg 4 — Velg størst verdi

Den største verdien er \(10750\) kroner.

Steg 5 — Oppgi produksjonsplan

Dette skjer ved \(x=400\) kg type A og \(y=150\) kg type B.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

hjorner = [(0, 0), (500, 0), (400, 150), (100, 450), (0, 500)]
def fortjeneste(x, y):
    return 30*x + 25*y - 5000
print('Fortjeneste i hjørnene:')
beste = None
for punkt in hjorner:
    verdi = fortjeneste(*punkt)
    print(punkt, '->', verdi)
    if beste is None or verdi > beste[1]:
        beste = (punkt, verdi)
print('Maksimum:', beste)

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Tolk \(x\)

\(x\) er tonn fisk. Ett tonn er 1000 kg.

Steg 2 — Finn antall kilogram

Når det selges \(x\) tonn, selges det \(1000x\) kg.

Steg 3 — Pris per kilogram

Prisen per kilogram er \(P\left(x\right)\) kroner.

Steg 4 — Inntekt er mengde ganger pris

\[I\left(x\right)=1000x\cdot P\left(x\right)\]

Steg 5 — Tolk enheten

Resultatet måles i kroner per uke.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, expand
x = symbols('x')
P = Rational(1, 2)*x**2 - 10*x + 60
I = 1000*x*P
print('P(x) =', P)
print('I(x) = 1000*x*P(x) =', expand(I))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Skriv inntektsfunksjonen

\[I\left(x\right)=1000x\left(0{,}5x^2-10x+60\right)\]

Steg 2 — Bruk graf eller derivasjon til kontroll

Maksimum i intervallet \(0\le x\le8\) finnes ved å undersøke toppunktet inne i intervallet og endepunktene.

Steg 3 — Digitalt maksimum

Graf/CAS gir maksimum ved \(x\approx4{,}56\).

Steg 4 — Finn inntekten

\[I\left(4{,}56\right)\approx113073\]

Steg 5 — Sammenlikn med endepunkt

\(I\left(8\right)=96000\), så indre maksimum er størst.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, solve, Eq, N
x = symbols('x')
I = 1000*x*(Rational(1, 2)*x**2 - 10*x + 60)
Ip = diff(I, x)
kritiske = solve(Eq(Ip, 0), x)
print('I(x) =', I)
print("I'(x) =", Ip)
print('Kritiske punkter:', kritiske)
for verdi in [0, 8] + kritiske:
    if 0 <= float(verdi) <= 8:
        print('x =', N(verdi, 8), 'gir I(x) =', N(I.subs(x, verdi), 10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Sett opp inntekten

\[I_a\left(x\right)=1000x\left(0{,}5x^2-ax+60\right)\]

Steg 2 — Deriver med hensyn på \(x\)

\[I_a^{\prime}\left(x\right)=1000\left(1{,}5x^2-2ax+60\right)\]

Steg 3 — Bruk at maksimum skjer ved \(x=3\)

Da må \(I_a^{\prime}\left(3\right)=0\).

Steg 4 — Sett inn og løs

\[1000\left(1{,}5\cdot3^2-2a\cdot3+60\right)=0\] \[13{,}5-6a+60=0\Rightarrow a=12{,}25\]

Steg 5 — Kontroller toppunkt

Andrederivert er \(I_a^{\prime\prime}\left(x\right)=1000\left(3x-2a\right)\). Ved \(x=3\) og \(a=12{,}25\) er denne negativ, så punktet er et maksimum.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, Eq, solve, simplify
x, a = symbols('x a')
I = 1000*x*(Rational(1, 2)*x**2 - a*x + 60)
Ip = diff(I, x)
likning = Eq(Ip.subs(x, 3), 0)
losning = solve(likning, a)
print('I_a(x) =', I)
print("I_a'(x) =", Ip)
print('Likning fra x = 3:', likning)
print('Løsning for a:', losning)
for verdi in losning:
    Ipp = diff(Ip, x)
    print("I_a''(3) når a =", verdi, 'er', simplify(Ipp.subs({x: 3, a: verdi})))