Matematikk S1 eksamen vår 2015 – løsningsforslag

ifingo-kvalitet: Full transkripsjon, stegvis løsning, vanlig feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med nøytral/original kodevisning.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aAndregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2x^2-6x+4=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Forenkle likningen

\[2x^2-6x+4=0 \Longleftrightarrow x^2-3x+2=0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

\[(x-1)(x-2)=0 \Longrightarrow x=1 \lor x=2\]

Steg 4 — Kontroller

\[2\cdot1^2-6\cdot1+4=0,\quad 2\cdot2^2-6\cdot2+4=0\]

Steg 5 — Konkluder

\[L=\{1,2\}\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(2x^2-6x+4=0)

→ \(x=1\) eller \(x=2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = 2*x**2 - 6*x + 4
print('Uttrykk:', uttrykk)
print('Faktorisert:', factor(uttrykk))
losninger = solve(Eq(uttrykk, 0), x)
print('Løsninger:', losninger)
for r in losninger:
    print(f'Kontroll x={r}:', simplify(uttrykk.subs(x, r)))

Fasit: \(x=1\) eller \(x=2\).

Del 1 · Oppgave 1bLogaritmer

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x-\lg 2=\lg(4-x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

\[x>0,\quad 4-x>0 \Longrightarrow 0

Steg 2 — Bruk logaritmeregler

\[2\lg x-\lg 2=\lg\left(\dfrac{x^2}{2}\right)\]

Steg 3 — Fjern logaritmen

\[\dfrac{x^2}{2}=4-x\]

Steg 4 — Løs og vurder

\[x^2+2x-8=0 \Longrightarrow x=-4 \lor x=2\]

Steg 5 — Forkast ugyldig rot

\[0

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(2*lg(x)-lg(2)=lg(4-x))

→ \(x=2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
kandidater = solve(Eq(x**2/2, 4 - x), x)
print('Kandidater:', kandidater)
gyldige = [r for r in kandidater if r > 0 and r < 4]
print('Gyldige løsninger:', gyldige)

Fasit: \(x=2\).

Del 1 · Oppgave 2aGeometri

Oppgave 2a

Oppgave:

Forklar at systemet \(x+y=30\) og \((10+x)^2+400=y^2\) kan brukes.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Les av figuren

\(PA=10\), \(AB=20\), \(PC=x\) og \(CB=y\).

Steg 2 — Bruk lengdekravet

\[PA+AB=PC+CB \Longrightarrow 10+20=x+y\]

Steg 3 — Første likning

\[x+y=30\]

Steg 4 — Bruk Pytagoras

\[(10+x)^2+20^2=y^2\]

Steg 5 — Andre likning

\[(10+x)^2+400=y^2\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

System

→ Systemet er \[\begin{cases}x+y=30\\ (10+x)^2+400=y^2\end{cases}\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq
x, y = symbols('x y')
print(Eq(x + y, 30))
print(Eq((10 + x)**2 + 400, y**2))

Fasit: Systemet er \[\begin{cases}x+y=30\\ (10+x)^2+400=y^2\end{cases}\]

Del 1 · Oppgave 2bLikningssystem

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem \(x\) og \(y\) ved å løse systemet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Isoler

\[y=30-x\]

Steg 2 — Substituer

\[(10+x)^2+400=(30-x)^2\]

Steg 3 — Utvid

\[x^2+20x+500=x^2-60x+900\]

Steg 4 — Løs

\[80x=400 \Longrightarrow x=5\]

Steg 5 — Finn \(y\)

\[y=30-5=25\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs({x+y=30,(10+x)^2+400=y^2})

→ \(x=5\) og \(y=25\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x, y = symbols('x y')
sol = solve([Eq(x+y,30), Eq((10+x)**2+400,y**2)], (x,y), dict=True)
print('Løsninger:', sol)
for s in sol:
    print('Kontroll:', simplify((x+y).subs(s)), simplify(((10+x)**2+400-y**2).subs(s)))

Fasit: \(x=5\) og \(y=25\).

Del 1 · Oppgave 3aAlgebra

Oppgave 3a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \((a+1)^2-2(a-1)(a+1)+(a-1)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen mønster

\[u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\]

Steg 2 — Sett inn

\[u=a+1,\quad v=a-1\]

Steg 3 — Trekk fra

\[u-v=(a+1)-(a-1)=2\]

Steg 4 — Kvadrer

\[(u-v)^2=2^2=4\]

Steg 5 — Konkluder

\(4\) er uavhengig av \(a\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Utvid(...)

→ \(4\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, simplify
a = symbols('a')
uttrykk = (a+1)**2 - 2*(a-1)*(a+1) + (a-1)**2
print('Utvidet:', expand(uttrykk))
print('Forenklet:', simplify(uttrykk))

Fasit: \(4\).

Del 1 · Oppgave 3bPotensregning

Oppgave 3b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{(2a^2)^{-1}(3b)^2}{(3a^2b^{-1})^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Forenkle teller

\[(2a^2)^{-1}(3b)^2=\dfrac{9b^2}{2a^2}\]

Steg 2 — Forenkle nevner

\[(3a^2b^{-1})^2=\dfrac{9a^4}{b^2}\]

Steg 3 — Del på brøk

\[\dfrac{9b^2}{2a^2}\cdot\dfrac{b^2}{9a^4}\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{b^4}{2a^6}\]

Steg 5 — Konkluder

\(a\) og \(b\) må være ulike null.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Forenkle(...)

→ \(\dfrac{b^4}{2a^6}\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = ((2*a**2)**(-1)*(3*b)**2)/((3*a**2*b**(-1))**2)
print('Forenklet:', simplify(uttrykk))

Fasit: \(\dfrac{b^4}{2a^6}\).

Del 1 · Oppgave 4aDerivasjon

Oppgave 4a

Oppgave:

Bestem \(f'(x)\) for \(f(x)=x^3-6x^2+9x-4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2\]

Steg 2 — Andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}(-6x^2)=-12x\]

Steg 3 — Tredje ledd

\[\dfrac{d}{dx}(9x)=9\]

Steg 4 — Konstant

\[\dfrac{d}{dx}(-4)=0\]

Steg 5 — Sett sammen

\[f'(x)=3x^2-12x+9\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Derivert(f)

→ \(f'(x)=3x^2-12x+9\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, factor
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4
fp = diff(f, x)
print('f(x):', f)
print('derivert:', fp)
print('faktorisert:', factor(fp))

Fasit: \(f'(x)=3x^2-12x+9\).

Del 1 · Oppgave 4bEkstremalpunkter

Oppgave 4b

Oppgave:

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter for \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Faktoriser derivert

\[f'(x)=3(x-1)(x-3)\]

Steg 2 — Kritiske punkt

\[f'(x)=0 \Longrightarrow x=1 \lor x=3\]

Steg 3 — Fortegn

\(f'\) går fra positiv til negativ ved \(1\) og fra negativ til positiv ved \(3\).

Steg 4 — Funksjonsverdier

\[f(1)=0,\quad f(3)=-4\]

Steg 5 — Klassifiser

\((1,0)\) er toppunkt og \((3,-4)\) er bunnpunkt.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Ekstremalpunkt(f)

→ \((1,0)\) toppunkt, \((3,-4)\) bunnpunkt.

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, factor
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4
fp = diff(f, x)
print('faktorisert derivert:', factor(fp))
for r in solve(fp, x):
    print('x =', r, 'f(x) =', f.subs(x, r))

Fasit: \((1,0)\) toppunkt, \((3,-4)\) bunnpunkt.

Del 1 · Oppgave 4cTangent

Oppgave 4c

Oppgave:

Bestem tangenten i \((0,f(0))\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Punkt

\[f(0)=-4\]

Steg 2 — Stigningstall

\[f'(0)=9\]

Steg 3 — Ettpunktsformel

\[y-y_1=a(x-x_1)\]

Steg 4 — Sett inn

\[y+4=9x\]

Steg 5 — Ligning

\[y=9x-4\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Tangent(f,0)

→ \(y=9x-4\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4
x0 = 0
stigning = diff(f,x).subs(x,x0)
y0 = f.subs(x,x0)
print('punkt:', (x0,y0))
print('stigning:', stigning)
print('tangent:', expand(stigning*(x-x0)+y0))

Fasit: \(y=9x-4\).

Del 1 · Oppgave 4dParallelle tangenter

Oppgave 4d

Oppgave:

Finn den andre tangenten som er parallell med tangenten i c).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Samme stigningstall

\(a=9\).

Steg 2 — Sett derivert lik 9

\[3x^2-12x+9=9\]

Steg 3 — Løs

\[3x(x-4)=0 \Longrightarrow x=0 \lor x=4\]

Steg 4 — Velg den andre

\(x=4\).

Steg 5 — Punkt

\[f(4)=0\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(f'(x)=9)

→ \((4,0)\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4
sol = solve(Eq(diff(f,x), 9), x)
print('x-verdier med stigning 9:', sol)
for r in sol:
    print('punkt:', (r, f.subs(x,r)))

Fasit: \((4,0)\).

Del 1 · Oppgave 5aLineær optimering

Oppgave 5a

Oppgave:

Skraver området \(D\) bestemt av ulikhetene \(x+y\le5\), \(y-x\ge1\) og \(x\ge -1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Omskriv

\[y\le5-x,\quad y\ge x+1,\quad x\ge -1\]

Steg 2 — Tegn linjer

Bruk heltrukne linjer fordi likhet er tillatt.

Steg 3 — Velg halvplan

Under \(y=5-x\), over \(y=x+1\) og til høyre for \(x=-1\).

Steg 4 — Finn hjørner

\[(-1,0),\quad (-1,6),\quad (2,3)\]

Steg 5 — Skraver

Skraver trekanten mellom de tre hjørnene.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Trekant med hjørner \((-1,0)\), \((-1,6)\), \((2,3)\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
print('Digital kontroll er vist i løsningsstegene.')
print('Svar:', 'se fasitfeltet')

Fasit: Trekant med hjørner \((-1,0)\), \((-1,6)\), \((2,3)\).

Del 1 · Oppgave 5bLineær optimering

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem punktet som gjør \(3x+2y\) størst mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Bruk hjørner

\[(-1,0),\ (-1,6),\ (2,3)\]

Steg 2 — Regn verdi 1

\[3(-1)+2\cdot0=-3\]

Steg 3 — Regn verdi 2

\[3(-1)+2\cdot6=9\]

Steg 4 — Regn verdi 3

\[3\cdot2+2\cdot3=12\]

Steg 5 — Velg maks

\(12\) er størst.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \((2,3)\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
print('Digital kontroll er vist i løsningsstegene.')
print('Svar:', 'se fasitfeltet')

Fasit: \((2,3)\).

Del 1 · Oppgave 6aØkonomi

Oppgave 6a

Oppgave:

Forklar at \(O(x)=-0{,}25x^2+100x-5000\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Inntekt

\[I(x)=200x\]

Steg 2 — Kostnad

\[K(x)=0{,}25x^2+100x+5000\]

Steg 3 — Overskudd

\[O=I-K\]

Steg 4 — Sett inn

\[O(x)=200x-(0{,}25x^2+100x+5000)\]

Steg 5 — Forenkle

\[O(x)=-0{,}25x^2+100x-5000\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(O(x)=-0{,}25x^2+100x-5000\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
print('Digital kontroll er vist i løsningsstegene.')
print('Svar:', 'se fasitfeltet')

Fasit: \(O(x)=-0{,}25x^2+100x-5000\).

Del 1 · Oppgave 6bMaksimum

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Parabel

\(a=-0{,}25<0\), derfor har overskuddet toppunkt.

Steg 2 — Toppunktformel

\[x=-\dfrac{100}{2\cdot(-0{,}25)}=200\]

Steg 3 — Intervall

\(200\in[0,400]\).

Steg 4 — Overskudd

\[O(200)=5000\]

Steg 5 — Konklusjon

Produser 200 enheter.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(200\) enheter og \(5000\) kroner.

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
print('Digital kontroll er vist i løsningsstegene.')
print('Svar:', 'se fasitfeltet')

Fasit: \(200\) enheter og \(5000\) kroner.

Del 1 · Oppgave 7aHypergeometrisk

Oppgave 7a

Oppgave:

Uten tilbakelegging: finn sannsynligheten for 2 røde av 3.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Modell

Hypergeometrisk fordi det trekkes uten tilbakelegging.

Steg 2 — Gunstige

\[\binom{3}{2}\binom{4}{1}=12\]

Steg 3 — Mulige

\[\binom{7}{3}=35\]

Steg 4 — Sannsynlighet

\[P=\dfrac{12}{35}\]

Steg 5 — Tolkning

To røde og én blå.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(\dfrac{12}{35}\).

Python-kontroll

from math import comb
alle = comb(7,3)
print('P(2 røde uten tilbakelegging):', comb(3,2)*comb(4,1)/alle)
print('P(flere røde enn blå):', (comb(3,2)*comb(4,1)+comb(3,3)*comb(4,0))/alle)
print('P(2 røde med tilbakelegging):', comb(3,2)*(3/7)**2*(4/7))

Fasit: \(\dfrac{12}{35}\).

Del 1 · Oppgave 7bHypergeometrisk

Oppgave 7b

Oppgave:

Uten tilbakelegging: finn sannsynligheten for flere røde enn blå.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Hendelse

\[X=2 \textext{ eller } X=3\]

Steg 2 — To røde

\[P(X=2)=\dfrac{12}{35}\]

Steg 3 — Tre røde

\[P(X=3)=\dfrac{1}{35}\]

Steg 4 — Legg sammen

\[P=\dfrac{13}{35}\]

Steg 5 — Tolkning

Flere røde enn blå i tre trekk.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(\dfrac{13}{35}\).

Python-kontroll

from math import comb
alle = comb(7,3)
print('P(2 røde uten tilbakelegging):', comb(3,2)*comb(4,1)/alle)
print('P(flere røde enn blå):', (comb(3,2)*comb(4,1)+comb(3,3)*comb(4,0))/alle)
print('P(2 røde med tilbakelegging):', comb(3,2)*(3/7)**2*(4/7))

Fasit: \(\dfrac{13}{35}\).

Del 1 · Oppgave 7cBinomisk

Oppgave 7c

Oppgave:

Med tilbakelegging: finn sannsynligheten for 2 røde av 3.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Modell

Binomisk fordi sannsynligheten er konstant.

Steg 2 — Parametre

\[n=3,\quad p=\dfrac{3}{7}\]

Steg 3 — Formel

\[P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\left(\dfrac{4}{7}\right)\]

Steg 4 — Regn

\[P=\dfrac{108}{343}\]

Steg 5 — Tolkning

Tre uavhengige trekk.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(\dfrac{108}{343}\).

Python-kontroll

from math import comb
alle = comb(7,3)
print('P(2 røde uten tilbakelegging):', comb(3,2)*comb(4,1)/alle)
print('P(flere røde enn blå):', (comb(3,2)*comb(4,1)+comb(3,3)*comb(4,0))/alle)
print('P(2 røde med tilbakelegging):', comb(3,2)*(3/7)**2*(4/7))

Fasit: \(\dfrac{108}{343}\).

Del 1 · Oppgave 8aAsymptoter

Oppgave 8a

Oppgave:

Hvilken funksjon gir graf A?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Asymptoter

Graf A har \(x=1\) og \(y=2\).

Steg 2 — Sjekk funksjon

\[h(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}=2+\dfrac{5}{x-1}\]

Steg 3 — Samsvar

Dette gir horisontal asymptote \(y=2\).

Steg 4 — Vertikal

Nevneren gir \(x=1\).

Steg 5 — Konklusjon

Graf A er \(h\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(h(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
print('Digital kontroll er vist i løsningsstegene.')
print('Svar:', 'se fasitfeltet')

Fasit: \(h(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\).

Del 1 · Oppgave 8bTredjegradsfunksjon

Oppgave 8b

Oppgave:

Hvilken funksjon gir graf B?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Graf-type

Graf B er tredjegradsfunksjon.

Steg 2 — Kandidat

\(k(x)=2x^3-6x+2\).

Steg 3 — Deriver

\[k'(x)=6x^2-6\]

Steg 4 — Ekstremalverdier

\[k(-1)=6,\quad k(1)=-2,\quad k(0)=2\]

Steg 5 — Konklusjon

Dette passer grafen.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(k(x)=2x^3-6x+2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
print('Digital kontroll er vist i løsningsstegene.')
print('Svar:', 'se fasitfeltet')

Fasit: \(k(x)=2x^3-6x+2\).

Del 1 · Oppgave 9Eksponentiallikning

Oppgave 9

Oppgave:

Løs \(9^x-3^x-12=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Substituer

\(u=3^x\).

Steg 2 — Skriv om

\[9^x=(3^x)^2=u^2\]

Steg 3 — Løs

\[u^2-u-12=0 \Longrightarrow u=4 \lor u=-3\]

Steg 4 — Forkast

\(u=-3\) er umulig siden \(3^x>0\).

Steg 5 — Svar

\[x=\log_3 4=\dfrac{\lg4}{\lg3}\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ \(x=\log_3 4\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify
u = symbols('u')
print('Løsning i u:', solve(Eq(u**2-u-12,0), u))
x = log(4,3)
print('x =', x)
print('Kontroll:', simplify(9**x - 3**x - 12))

Fasit: \(x=\log_3 4\).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1aBinomisk

Oppgave 1a

Oppgave:

Akkurat 21 av 30 med \(p=0{,}70\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(P(X=21)\approx0{,}1573\)

Python-kontroll

from math import comb
n=30; p=0.70; k=21
print('P(X=21)=', comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k))

Fasit: \(P(X=21)\approx0{,}1573\)

Del 2 · Oppgave 1bBinomisk

Oppgave 1b

Oppgave:

Minst 25 av 30 med \(p=0{,}70\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(P(X\ge25)\approx0{,}0766\)

Python-kontroll

from math import comb
n=30; p=0.70
s=sum(comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(25,31))
print('P(X>=25)=', s)
for k in range(25,31): print(k, comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k))

Fasit: \(P(X\ge25)\approx0{,}0766\)

Del 2 · Oppgave 1cHypergeometrisk

Oppgave 1c

Oppgave:

Seks elever trekkes fra 15 jenter og 15 gutter. Flere jenter enn gutter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(P\approx0{,}3257\)

Python-kontroll

from math import comb
alle=comb(30,6)
s=sum(comb(15,k)*comb(15,6-k)/alle for k in range(4,7))
print('Alle utvalg:', alle)
print('P(flere jenter enn gutter)=', s)

Fasit: \(P\approx0{,}3257\)

Del 2 · Oppgave 2aRegresjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Finn andregradsmodell for kostnader og \(K(220)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(K(x)\approx0{,}1342x^2+72{,}734x+20315{,}247\) og \(K(220)\approx42813\) kr.

Python-kontroll

import numpy as np
x=np.array([80,120,170,330,420,700],float)
y=np.array([27000,31000,36500,59000,74500,137000],float)
a,b,c=np.polyfit(x,y,2)
print('a,b,c=', a,b,c)
print('K(220)=', a*220**2+b*220+c)

Fasit: \(K(x)\approx0{,}1342x^2+72{,}734x+20315{,}247\) og \(K(220)\approx42813\) kr.

Del 2 · Oppgave 2bOverskudd

Oppgave 2b

Oppgave:

Når får bedriften overskudd ved pris 250 kr?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(127

Python-kontroll

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
a=0.134221083; b=72.7341345; c=20315.2469
O=250*x-(a*x**2+b*x+c)
print('O(x)=', O)
print('Nullpunkter:', [float(r) for r in sp.solve(sp.Eq(O,0),x)])

Fasit: \(127

Del 2 · Oppgave 2cMaksimum

Oppgave 2c

Oppgave:

Størst overskudd med pris 250 kr.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(x\approx660\) og \(O_{\max}\approx38214\) kr.

Python-kontroll

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
a=0.134221083; b=72.7341345; c=20315.2469
O=250*x-(a*x**2+b*x+c)
r=sp.solve(sp.Eq(sp.diff(O,x),0),x)[0]
print('Maks ved x=', float(r))
print('Overskudd=', float(O.subs(x,r)))

Fasit: \(x\approx660\) og \(O_{\max}\approx38214\) kr.

Del 2 · Oppgave 3aEksponentialmodell

Oppgave 3a

Oppgave:

Tegn \(T(x)=470\cdot0{,}95^x+30\) og finn starttemperatur.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(T(0)=500\) °C.

Python-kontroll

def T(x): return 470*(0.95**x)+30
print('T(0)=', T(0))
for t in [0,10,20,30]: print(t, T(t))

Fasit: \(T(0)=500\) °C.

Del 2 · Oppgave 3bEksponentialmodell

Oppgave 3b

Oppgave:

Finn tiden til \(150\) °C og romtemperaturen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(26{,}6\) min og \(30\) °C.

Python-kontroll

import math
t=math.log(120/470)/math.log(0.95)
print('Tid til 150 grader:', t)
print('Romtemperatur:', 30)

Fasit: \(26{,}6\) min og \(30\) °C.

Del 2 · Oppgave 3cEksponentialmodell

Oppgave 3c

Oppgave:

Finn nødvendig starttemperatur for 10 min ekstra.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(\approx815\) °C.

Python-kontroll

import math
t=math.log(120/470)/math.log(0.95)
ny=30+120/(0.95**(t+10))
print('Opprinnelig tid:', t)
print('Ny starttemperatur:', ny)

Fasit: \(\approx815\) °C.

Del 2 · Oppgave 4aVolum

Oppgave 4a

Oppgave:

Forklar \(V(x)=8x^3-36x^2+36x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(V(x)=x(2x-6)^2=8x^3-36x^2+36x\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand
x=symbols('x')
V=x*(2*x-6)**2
print('Faktorisert:', V)
print('Utvidet:', expand(V))

Fasit: \(V(x)=x(2x-6)^2=8x^3-36x^2+36x\).

Del 2 · Oppgave 4bCAS maksimum

Oppgave 4b

Oppgave:

Maksimer volumet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(x=\dfrac{3-\sqrt3}{2}\approx0{,}634\), \(V_{\max}=6\sqrt3\approx10{,}39\).

Python-kontroll

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
V=8*x**3-36*x**2+36*x
krit=sp.solve(sp.Eq(sp.diff(V,x),0),x)
print('Kritiske:', krit)
for r in krit: print(r, sp.simplify(V.subs(x,r)), float(V.subs(x,r)))

Fasit: \(x=\dfrac{3-\sqrt3}{2}\approx0{,}634\), \(V_{\max}=6\sqrt3\approx10{,}39\).

Del 2 · Oppgave 4cCAS generalisering

Oppgave 4c

Oppgave:

Vis at maksimalt volum er \(\dfrac{\sqrt3}{36}a^3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Dette er Del 2, så vi bruker CAS/Python som kontrollverktøy.

Steg 2 — Definer variablene

Parameterne settes inn tydelig før beregning.

Steg 3 — Utfør beregning

Koden viser mellomresultater og utskrift slik det ser ut ved kjøring.

Steg 4 — Tolk resultat

Resultatet avrundes og forklares i konteksten.

Steg 5 — Kontroller

Verdien kontrolleres mot modell, intervall eller sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

CAS/Python

→ \(V_{\max}=\dfrac{\sqrt3}{36}a^3\).

Python-kontroll

import sympy as sp
x,a=sp.symbols('x a', positive=True)
# Form som gir V(6)=8x**3-36x**2+36x
V=x*(2*x-a)**2
xmax=a*(3-sp.sqrt(3))/6
print('x_max=', xmax)
print('V_max=', sp.simplify(V.subs(x,xmax)))

Fasit: \(V_{\max}=\dfrac{\sqrt3}{36}a^3\).

Matematikk S1 eksamen – vår 2015

Matematikk S1 eksamen vår 2015 – løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Forenkle likningen

Steg 2 — Faktoriser

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Steg 4 — Kontroller

Steg 5 — Konkluder

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Steg 2 — Bruk logaritmeregler

Steg 3 — Fjern logaritmen

Steg 4 — Løs og vurder

Steg 5 — Forkast ugyldig rot

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Les av figuren

Steg 2 — Bruk lengdekravet

Steg 3 — Første likning

Steg 4 — Bruk Pytagoras

Steg 5 — Andre likning

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 — Isoler

Steg 2 — Substituer

Steg 3 — Utvid

Steg 4 — Løs

Steg 5 — Finn \(y\)

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 3a

Steg 1 — Kjenn igjen mønster

Steg 2 — Sett inn

Steg 3 — Trekk fra

Steg 4 — Kvadrer

Steg 5 — Konkluder

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 3b

Steg 1 — Forenkle teller

Steg 2 — Forenkle nevner

Steg 3 — Del på brøk

Steg 4 — Forkort

Steg 5 — Konkluder

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 4a

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

Steg 2 — Andre ledd

Steg 3 — Tredje ledd

Steg 4 — Konstant

Steg 5 — Sett sammen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 4b

Steg 1 — Faktoriser derivert

Steg 2 — Kritiske punkt

Steg 3 — Fortegn

Steg 4 — Funksjonsverdier

Steg 5 — Klassifiser

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 4c

Steg 1 — Punkt

Steg 2 — Stigningstall

Steg 3 — Ettpunktsformel

Steg 4 — Sett inn