Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Samle alt på én side

Vi flytter alle ledd til venstre side slik at høyre side blir null: \[-x^2+3x-3-3+2x=0\]

Steg 2 — Trekk sammen like ledd

Da får vi \[-x^2+5x-6=0\]

Steg 3 — Gjør fortegnet enklere

Vi multipliserer hele likningen med \(-1\): \[x^2-5x+6=0\]

Steg 4 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi leter etter to tall med produkt \(6\) og sum \(-5\): \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Steg 5 — Bruk nullproduktregelen

Når \((x-2)(x-3)=0\), må én av faktorene være null. Derfor er \[x=2 \quad ext{eller} \quad x=3\]

Tolkning

Begge verdiene gjør venstre og høyre side like store i den opprinnelige likningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify

x = symbols('x')
likning = Eq(-x**2 + 3*x - 3, 3 - 2*x)
standardform = simplify(likning.lhs - likning.rhs)

print("Standardform:", standardform)
print("Faktorisert form:", factor(standardform))
print("Løsninger:", solve(likning, x))
for verdi in solve(likning, x):
    print("Kontroll x =", verdi, "gir", likning.lhs.subs(x, verdi), "=", likning.rhs.subs(x, verdi))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Siden \(\lg x\) står i likningen, må \(x>0\). Dessuten er da \(x+2>0\).

Steg 2 — Bruk logaritmeregelen

Vi bruker \(2\lg x=\lg(x^2)\). Da blir likningen \[\lg(x+2)=\lg(x^2)\]

Steg 3 — Sammenlikn argumentene

Når logaritmene med samme grunntall er like, er argumentene like: \[x+2=x^2\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

Vi får \[x^2-x-2=0=(x-2)(x+1)\]

Steg 5 — Kontroller definisjonsmengden

Kandidatene er \(x=2\) og \(x=-1\), men \(x=-1\) er ikke lov fordi \(x>0\).

Tolkning

Bare \(x=2\) ligger i definisjonsmengden og kan derfor være svar.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify

x = symbols('x', positive=True)
likning = Eq(log(x + 2, 10), 2*log(x, 10))
polynomlikning = Eq(x + 2, x**2)

print("Etter logaritmeregelen får vi:", polynomlikning)
print("Løsninger i polynomlikningen:", solve(polynomlikning, x))
for verdi in solve(polynomlikning, x):
    if verdi > 0:
        print("Lovlig løsning:", verdi)
        print("Venstre side:", simplify(log(verdi + 2, 10)))
        print("Høyre side:", simplify(2*log(verdi, 10)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Flytt koeffisientene opp som eksponenter

Vi bruker regelen \(r\lg u=\lg(u^r)\): \[\lg\left(\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)^2\right)+\lg\left(\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^3\right)+\lg\left(\dfrac{b}{a}\right)\]

Steg 2 — Samle logaritmene

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet: \[\lg\left(\dfrac{a^4}{b^4}\cdot \dfrac{b^6}{a^3}\cdot \dfrac{b}{a}\right)\]

Steg 3 — Tell potenser av \(a\)

Eksponenten til \(a\) blir \(4-3-1=0\), altså forsvinner \(a\)-faktoren.

Steg 4 — Tell potenser av \(b\)

Eksponenten til \(b\) blir \(-4+6+1=3\). Derfor står vi igjen med \[\lg(b^3)\]

Steg 5 — Skriv eventuelt med faktor foran

Siden \(\lg(b^3)=3\lg b\), er begge former likeverdige.

Tolkning

Uttrykket avhenger bare av \(b\), ikke av \(a\), når alle potensene er trukket sammen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log

a, b = symbols('a b', positive=True)
uttrykk = 2*log(a**2/b**2, 10) + 3*log(b**2/a, 10) + log(b/a, 10)
samlet = log((a**2/b**2)**2 * (b**2/a)**3 * (b/a), 10)

print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Samlet som én logaritme:", samlet)
print("Forenklet argument:", simplify((a**2/b**2)**2 * (b**2/a)**3 * (b/a)))
print("Forenklet logaritme:", simplify(samlet))
print("Utvidet form:", expand_log(simplify(samlet), force=True))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Faktoriser ut felles faktor

Begge ledd har faktoren \(2\): \[2\left((a+b)^2-(a-b)^2\right)\]

Steg 2 — Utvid første kvadrat

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Steg 3 — Utvid andre kvadrat

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Steg 4 — Trekk uttrykkene fra hverandre

\[(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab\]

Steg 5 — Multipliser med \(2\)

Dermed får vi \[2\cdot 4ab=8ab\]

Tolkning

Uttrykket blir et rent produktledd. Kvadratleddene kansellerer hverandre.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, simplify

a, b = symbols('a b')
uttrykk = 2*(a + b)**2 - 2*(a - b)**2

print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Utvidet uttrykk:", expand(uttrykk))
print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Bruk \(a^0=1\)

Nevneren inneholder \(a^0=1\), så denne faktoren påvirker ikke verdien.

Steg 2 — Forenkle telleren

I telleren er \(a^{-4}\cdot a^3=a^{-1}\). Telleren blir \[a^{-1}b^2\]

Steg 3 — Forenkle potensen i nevneren

\[\left(a^2b\right)^{-3}=a^{-6}b^{-3}\]

Steg 4 — Del potenser med samme grunntall

\[\dfrac{a^{-1}b^2}{a^{-6}b^{-3}}=a^{-1-(-6)}b^{2-(-3)}\]

Steg 5 — Regn ut eksponentene

Da får vi \[a^5b^5\]

Tolkning

Svaret viser at negative eksponenter ikke betyr negative tall, men plassering i brøk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify, expand_power_base

a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = (a**(-4)*b**2*a**3)/((a**2*b)**(-3)*a**0)

print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk))
print("Kontroll ved a=2, b=3:")
print("Opprinnelig verdi:", uttrykk.subs({a: 2, b: 3}))
print("Forenklet verdi:", (a**5*b**5).subs({a: 2, b: 3}))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Bruk skjæring med \(x\)-aksen

Når grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x=3\), er \(f(3)=0\). Dermed må telleren være null: \[3a+b=0\]

Steg 2 — Bruk skjæring med \(y\)-aksen

Når grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y=6\), er \(f(0)=6\).

Steg 3 — Sett inn \(x=0\)

\[f(0)=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-1}=\dfrac{b}{-1}=-b\]

Steg 4 — Finn \(b\)

Siden \(-b=6\), får vi \[b=-6\]

Steg 5 — Finn \(a\)

Sett \(b=-6\) inn i \(3a+b=0\): \[3a-6=0\Rightarrow a=2\]

Tolkning

Funksjonen er derfor \(f(x)=\dfrac{2x-6}{x-1}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve

a, b = symbols('a b')
likning_1 = Eq(3*a + b, 0)
likning_2 = Eq(-b, 6)

print("Likning fra x-aksen:", likning_1)
print("Likning fra y-aksen:", likning_2)
print("Løsning:", solve([likning_1, likning_2], [a, b]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Skriv funksjonen med verdiene fra a)

\[f(x)=\dfrac{2x-6}{x-1}\]

Steg 2 — Del opp uttrykket

Vi skriver \(2x-6=2(x-1)-4\). Derfor er \[f(x)=2-\dfrac{4}{x-1}\]

Steg 3 — Finn vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x=1\). Derfor har grafen vertikal asymptote \[x=1\]

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

Når \(x\) blir stor i absoluttverdi, går \(-\dfrac{4}{x-1}\) mot \(0\). Horisontal asymptote er \[y=2\]

Steg 5 — Plasser skjæringspunktene

Grafen går gjennom \((3,0)\) og \((0,6)\). Disse punktene og asymptotene gir en presis skisse.

Tolkning

Grafen er en hyperbel med asymptoter \(x=1\) og \(y=2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify, limit, oo, solve, Eq

x = symbols('x')
f = (2*x - 6)/(x - 1)

print("Funksjon:", f)
print("Omordnet form:", simplify(f))
print("Nullpunkt:", solve(Eq(f, 0), x))
print("Skjæring med y-aksen:", f.subs(x, 0))
print("Grense når x går mot uendelig:", limit(f, x, oo))
print("Grense når x går mot minus uendelig:", limit(f, x, -oo))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Bruk regelen i Pascals talltrekant

Hvert tall i en rad er summen av de to tallene rett over.

Steg 2 — Les av sammenhengen ved \(28\)

Tallet \(28\) står under \(x\) og tallet til venstre for \(x\). I raden med \(35\) passer utsnittet med raden \(1,7,21,35,35,21,7,1\).

Steg 3 — Kontroller med tallet \(8x\)

Under \(x\) og \(y\) står \(8x\), altså \[x+y=8x\]

Steg 4 — Finn radverdiene

I Pascals talltrekant er de aktuelle nabotallene \[7,\ 21,\ 35\]

Steg 5 — Kontroller

Da er \(x=7\), \(y=21\), og \(x+y=28=4x\) for første sum, mens \(y+35=56=8x\).

Tolkning

Utsnittet ligger rundt raden der \(35\) forekommer, og tallene må passe med summene i raden under.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb

rad = [comb(7, k) for k in range(8)]
x = 7
y = 21

print("Rad 7 i Pascals trekant:", rad)
print("x =", x)
print("y =", y)
print("Kontroll 1: x + y =", x + y)
print("Kontroll 2: y + 35 =", y + 35)
print("Kontroll 3: 8*x =", 8*x)

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Finn koeffisientene

For femte potens bruker vi femte rad i Pascals talltrekant: \[1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1\]

Steg 2 — Skriv første ledd

Første ledd er \(a^5\).

Steg 3 — La eksponenten til \(a\) synke

Eksponentene til \(a\) går \(5,4,3,2,1,0\).

Steg 4 — La eksponenten til \(b\) stige

Eksponentene til \(b\) går \(0,1,2,3,4,5\).

Steg 5 — Sett sammen uttrykket

\[(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\]

Tolkning

Koeffisientene viser hvor mange like sannsynlighetsgreiner eller algebraiske produkter som samles i hvert ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
from math import comb

a, b = symbols('a b')
koeffisienter = [comb(5, k) for k in range(6)]
utvidet = expand((a + b)**5)

print("Koeffisienter fra Pascals trekant:", koeffisienter)
print("Utvidet uttrykk:")
print(utvidet)

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Kjenn igjen binomisk modell

Det er tre uavhengige delforsøk, og i hvert forsøk er sannsynlighetene \(P(A)=a\) og \(P(\overline{A})=b\).

Steg 2 — Tre treff

Sannsynligheten for tre treff er \[P(X=3)=a^3\]

Steg 3 — To treff

To treff kan skje på tre måter, derfor \[P(X=2)=3a^2b\]

Steg 4 — Ett treff

Ett treff kan også skje på tre måter, derfor \[P(X=1)=3ab^2\]

Steg 5 — Null treff

Null treff betyr tre ikke-treff: \[P(X=0)=b^3\]

Tolkning

Tabellen er akkurat koeffisientmønsteret i \((a+b)^3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand

a, b = symbols('a b')
uttrykk = expand((a + b)**3)

print("Binomisk utvikling for tre delforsøk:")
print(uttrykk)
print("P(X=3) =", a**3)
print("P(X=2) =", 3*a**2*b)
print("P(X=1) =", 3*a*b**2)
print("P(X=0) =", b**3)

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Bruk definisjonen av overskudd

Overskudd er inntekter minus kostnader: \[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 — Sett inn uttrykkene

\[O(x)=px-\left(0{,}1x^2-10x+20000\right)\]

Steg 3 — Løs opp parentesen

\[O(x)=px-0{,}1x^2+10x-20000\]

Steg 4 — Samle \(x\)-leddene

\[px+10x=(p+10)x\]

Steg 5 — Skriv i standard form

\[O(x)=-0{,}1x^2+(10+p)x-20000\]

Tolkning

Overskuddet blir en andregradsfunksjon fordi kostnadsfunksjonen har et andregradsledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand

x, p = symbols('x p')
K = 0.1*x**2 - 10*x + 20000
I = p*x
O = expand(I - K)

print("Kostnad K(x):", K)
print("Inntekt I(x):", I)
print("Overskudd O(x) = I(x) - K(x):", O)

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett inn salgsprisen

Når \(p=140\), blir \[O(x)=-0{,}1x^2+150x-20000\]

Steg 2 — Se at grafen vender nedover

Koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, så toppunktet gir størst overskudd.

Steg 3 — Bruk toppunktformelen

For \(ax^2+bx+c\) ligger toppunktets \(x\)-verdi i \[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Steg 4 — Sett inn \(a=-0{,}1\) og \(b=150\)

\[x=-\dfrac{150}{2\cdot(-0{,}1)}=750\]

Steg 5 — Tolk produksjonsmengden

Bedriften får størst overskudd ved å produsere \(750\) enheter.

Tolkning

Siden grafen vender nedover, er dette et maksimumspunkt, ikke et minimumspunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, Eq

x = symbols('x')
O = -0.1*x**2 + 150*x - 20000
O_derivert = diff(O, x)
kritiske_punkter = solve(Eq(O_derivert, 0), x)

print("Overskuddsfunksjon:", O)
print("Derivert:", O_derivert)
print("Kritisk punkt:", kritiske_punkter)
for verdi in kritiske_punkter:
    print("O(", verdi, ") =", O.subs(x, verdi))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Bruk toppunktets \(x\)-verdi

For \(O(x)=-0{,}1x^2+(10+p)x-20000\) er \(a=-0{,}1\) og \(b=10+p\).

Steg 2 — Sett toppunktformelen lik \(2000\)

\[2000=-\dfrac{10+p}{2\cdot(-0{,}1)}\]

Steg 3 — Forenkle nevneren

Siden \(2\cdot(-0{,}1)=-0{,}2\), får vi \[2000=\dfrac{10+p}{0{,}2}\]

Steg 4 — Løs for \(p\)

\[400=10+p\]

Steg 5 — Finn salgsprisen

Dermed er \[p=390\]

Tolkning

Salgsprisen må være \(390\) kroner per enhet for at maksimumspunktet skal ligge ved \(x=2000\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve

p = symbols('p')
toppunkt_x = (10 + p)/0.2
likning = Eq(toppunkt_x, 2000)

print("Toppunktets x-verdi:", toppunkt_x)
print("Likning:", likning)
print("Salgspris p:", solve(likning, p))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Skriv definisjonen

\[f\prime(x)=\lim_{h o 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Steg 2 — Finn \(f(x+h)\)

\[f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)=x^2+2xh+h^2+2x+2h\]

Steg 3 — Trekk fra \(f(x)\)

\[f(x+h)-f(x)=2xh+h^2+2h\]

Steg 4 — Faktoriser med \(h\)

\[2xh+h^2+2h=h(2x+h+2)\]

Steg 5 — Forkort og ta grenseverdien

\[f\prime(x)=\lim_{h o0}(2x+h+2)=2x+2\]

Tolkning

Den deriverte viser stigningstallet til tangenten i punktet \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, simplify, limit

x, h = symbols('x h')
f = x**2 + 2*x
f_x_pluss_h = (x + h)**2 + 2*(x + h)
differansekvotient = simplify((f_x_pluss_h - f)/h)
grenseverdi = limit(differansekvotient, h, 0)

print("f(x):", f)
print("f(x+h) utvidet:", expand(f_x_pluss_h))
print("Differansekvotient før grense:", differansekvotient)
print("Grenseverdi når h går mot 0:", grenseverdi)

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Finn vindusarealet

Oppgaven sier at \(y=20\).

Steg 2 — Finn isolert veggflate

Totalarealet er \(120\), derfor er \[x=120-20=100\]

Steg 3 — Sett inn i varmetapformelen

Totalt varmetap er \[0{,}009x+0{,}048y\]

Steg 4 — Regn ut

\[0{,}009\cdot100+0{,}048\cdot20=0{,}9+0{,}96=1{,}86\]

Steg 5 — Oppgi enhet

Varmetapet er \(1{,}86\, ext{kWh}\) per time under betingelsene i tabellen.

Tolkning

Vinduer gir større varmetap per kvadratmeter enn isolert veggflate, derfor bidrar \(20\, ext{m}^2\) vindu mye.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x = 100
y = 20
varmetap = 0.009*x + 0.048*y

print("Isolert veggflate x:", x)
print("Vindusareal y:", y)
print("Totalt varmetap:", varmetap, "kWh")

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Arealbetingelse

Summen av veggflate og vindu er \[x+y=120\]

Steg 2 — Varmetapbetingelse

Det totale varmetapet skal være \(2{,}0\), derfor \[0{,}009x+0{,}048y=2{,}0\]

Steg 3 — Sett opp systemet

\[\begin{cases}x+y=120\0{,}009x+0{,}048y=2{,}0\end{cases}\]

Steg 4 — Løs systemet

Fra første likning er \(x=120-y\). Innsetting gir \(0{,}009(120-y)+0{,}048y=2{,}0\).

Steg 5 — Regn ut verdiene

Da får vi \(ypprox23{,}59\) og \(xpprox96{,}41\).

Tolkning

Huset må ha omtrent \(96{,}4\, ext{m}^2\) isolert veggflate og \(23{,}6\, ext{m}^2\) vindu.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, N

x, y = symbols('x y')
system = [Eq(x + y, 120), Eq(0.009*x + 0.048*y, 2.0)]
losning = solve(system, [x, y])

print("Likningssystem:")
for likning in system:
    print(likning)
print("Eksakt/numerisk løsning:", losning)
print("x avrundet:", N(losning[x], 5))
print("y avrundet:", N(losning[y], 5))
print("Kontroll varmetap:", N(0.009*losning[x] + 0.048*losning[y], 5))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Velg riktig metode

Skjæring med \(y\)-aksen betyr \(x=0\). Vi regner \(f(0)=0^4-8\cdot0^2+16=16\).

Steg 2 — Kontroller digitalt

Vi bruker CAS/Python for å bekrefte algebraen og de numeriske verdiene.

Steg 3 — Tolk svaret

Svaret må passe med definisjonsmengden og enhetene i oppgaven.

Steg 4 — Skriv endelig svar

Dermed får vi \((0,16)\).

Tolkning

Resultatet er kontrollert både algebraisk og digitalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify

x = symbols("x")
f = x**4 - 8*x**2 + 16
print("f(0) =", f.subs(x, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Velg riktig metode

Likningen er \(x^4-8x^2+16=0\). Dette kan skrives som \((x^2-4)^2=0\). Dermed er \(x^2=4\), og \(x=-2\) eller \(x=2\).

Steg 2 — Kontroller digitalt

Vi bruker CAS/Python for å bekrefte algebraen og de numeriske verdiene.

Steg 3 — Tolk svaret

Svaret må passe med definisjonsmengden og enhetene i oppgaven.

Steg 4 — Skriv endelig svar

Dermed får vi \(x=-2\) eller \(x=2\).

Tolkning

Resultatet er kontrollert både algebraisk og digitalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify

x = symbols("x")
f = x**4 - 8*x**2 + 16
print("Faktorisert:", factor(f))
print("Løsninger:", solve(Eq(f, 0), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Velg riktig metode

Vi deriverer og får \(f\prime(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)\). Kritiske punkter er \(x=-2,0,2\). Funksjonsverdiene er \(f(-2)=0\), \(f(0)=16\), \(f(2)=0\). Fortegn viser bunnpunkt i \((-2,0)\) og \((2,0)\), toppunkt i \((0,16)\).

Steg 2 — Kontroller digitalt

Vi bruker CAS/Python for å bekrefte algebraen og de numeriske verdiene.

Steg 3 — Tolk svaret

Svaret må passe med definisjonsmengden og enhetene i oppgaven.

Steg 4 — Skriv endelig svar

Dermed får vi Bunnpunkt: \((-2,0)\), \((2,0)\). Toppunkt: \((0,16)\).

Tolkning

Resultatet er kontrollert både algebraisk og digitalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify

x = symbols("x")
f = x**4 - 8*x**2 + 16
f_derivert = diff(f, x)
print("f prime(x) =", f_derivert)
print("Faktorisert f prime(x):", factor(f_derivert))
kritiske = solve(Eq(f_derivert, 0), x)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("Punkt:", (verdi, f.subs(x, verdi)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Velg riktig metode

Arealet er \(xy=625\), så \(y=625/x\). Gjerdet går rundt rektangelet, men steinmuren på \(15\) m erstatter en del av den ene langsiden. Derfor er \(G=2x+2y-15=2x+2\cdot625/x-15=2x+1250/x-15\).

Steg 2 — Kontroller digitalt

Vi bruker CAS/Python for å bekrefte algebraen og de numeriske verdiene.

Steg 3 — Tolk svaret

Svaret må passe med definisjonsmengden og enhetene i oppgaven.

Steg 4 — Skriv endelig svar

Dermed får vi \(G(x)=\dfrac{1250}{x}+2x-15\), \(x>15\).

Tolkning

Resultatet er kontrollert både algebraisk og digitalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify

x = symbols("x")
x = symbols("x", positive=True)
y = 625/x
G = 2*x + 2*y - 15
print("y uttrykt ved x:", y)
print("G(x):", simplify(G))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Velg riktig metode

Grafen til \(G(x)=1250/x+2x-15\) tegnes for \(x>15\). Den synker først, har et minimum og stiger deretter. En egnet digital kommando er \(G(x)=1250/x+2x-15\) med definisjonsområde \(x>15\).

Steg 2 — Kontroller digitalt

Vi bruker CAS/Python for å bekrefte algebraen og de numeriske verdiene.

Steg 3 — Tolk svaret

Svaret må passe med definisjonsmengden og enhetene i oppgaven.

Steg 4 — Skriv endelig svar

Dermed får vi Grafen tegnes for \(x>15\) og har laveste punkt ved \(x=25\)..

Tolkning

Resultatet er kontrollert både algebraisk og digitalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify

x = symbols("x")
G = 1250/x + 2*x - 15
print("G(x):", G)
print("G(16):", G.subs(x, 16).evalf())
print("G(25):", G.subs(x, 25).evalf())
print("G(40):", G.subs(x, 40).evalf())

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Velg riktig metode

Vi deriverer \(G\): \(G\prime(x)=-1250/x^2+2\). Setter \(G\prime(x)=0\): \(2=1250/x^2\), altså \(x^2=625\). Siden \(x>15\), får vi \(x=25\). Da er \(y=625/25=25\), og \(G(25)=85\).

Steg 2 — Kontroller digitalt

Vi bruker CAS/Python for å bekrefte algebraen og de numeriske verdiene.

Steg 3 — Tolk svaret

Svaret må passe med definisjonsmengden og enhetene i oppgaven.

Steg 4 — Skriv endelig svar

Dermed får vi Korteste gjerde er \(85\) m. Rektangelet er et kvadrat på \(25\) m ganger \(25\) m..

Tolkning

Resultatet er kontrollert både algebraisk og digitalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify

x = symbols("x")
G = 1250/x + 2*x - 15
G_derivert = diff(G, x)
print("G prime(x):", G_derivert)
print("Kritiske punkter:", solve(Eq(G_derivert, 0), x))
print("G(25):", G.subs(x, 25))
print("y når x=25:", 625/25)

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Vi modellerer med \(X\sim \operatorname{Bin}(20,0{,}75)\). Da er \(P(X=15)=inom{20}{15}0{,}75^{15}0{,}25^5pprox0{,}2023\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(P(X=15)pprox0{,}202\).

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-11a")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(P(X=15)pprox0{,}202\\)")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Flere enn \(15\) betyr \(X\ge 16\). Vi summerer \(P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)+P(X=20)\). Dette gir omtrent \(0{,}4148\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(P(X>15)pprox0{,}415\).

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-11b")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(P(X>15)pprox0{,}415\\)")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Vi øker \(n\) og regner \(P(X\ge25)\) for \(X\sim \operatorname{Bin}(n,0{,}75)\). Minste \(n\) som gir sannsynlighet over \(0{,}95\), er \(n=39\). Da er sannsynligheten omtrent \(0{,}956\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(39\) personer.

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-11c")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(39\\) personer")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Grafen til \(F\) vender nedover. Toppunktet har \(x=-b/(2a)=-0{,}3/(2\cdot(-0{,}01))=15\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(15\) enheter.

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-12a")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(15\\) enheter")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Fortjeneste per enhet er \(F(x)\). Når bedriften selger \(x\) enheter, blir samlet overskudd antall enheter multiplisert med fortjeneste per enhet: \(O(x)=xF(x)\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(O(x)=x\cdot F(x)\).

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-12b")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(O(x)=x\\cdot F(x)\\)")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Vi får \(O(x)=x(-0{,}01x^2+0{,}3x+120)=-0{,}01x^3+0{,}3x^2+120x\). Deriverer: \(O\prime(x)=-0{,}03x^2+0{,}6x+120\). Løsning i positivt område er \(x=10+10\sqrt{41}pprox74{,}03\). Overskuddet blir \(1220+820\sqrt{41}pprox6470{,}56\) kr.

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(xpprox74\) enheter og \(Opprox6471\) kr.

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-12c")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(xpprox74\\) enheter og \\(Opprox6471\\) kr")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

La \(x\) være kg saft og \(y\) kg syltetøy. Da er \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le900\), \(0{,}35x+0{,}20y\le250\) og \(0{,}15x+0{,}40y\le300\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le900\), \(0{,}35x+0{,}20y\le250\), \(0{,}15x+0{,}40y\le300\).

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-13a")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(x\\ge0\\), \\(y\\ge0\\), \\(x+y\\le900\\), \\(0{,}35x+0{,}20y\\le250\\), \\(0{,}15x+0{,}40y\\le300\\)")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Området ligger i første kvadrant og under linjene \(x+y=900\), \(0{,}35x+0{,}20y=250\) og \(0{,}15x+0{,}40y=300\). Hjørnepunktene er blant annet \((0,0)\), \((0,750)\), \((240,660)\), \((466{,}67,433{,}33)\) og \((714{,}29,0)\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er Mulighetsområdet avgrenses av disse linjene og hjørnepunktene..

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-13b")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("Mulighetsområdet avgrenses av disse linjene og hjørnepunktene.")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Fortjenesten er \(P=8x+12y\). Vi tester hjørnepunktene i mulighetsområdet. Størst verdi får vi i \((240,660)\): \(P=8\cdot240+12\cdot660=9840\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(240\) kg saft og \(660\) kg syltetøy gir \(9840\) kr.

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-13c")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(240\\) kg saft og \\(660\\) kg syltetøy gir \\(9840\\) kr")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Siden \(x^n=n^n\left(\dfrac{x}{n}\right)^n\), kan vi dele begge sider på \(n^n\). Da får vi \(\left(\dfrac{x}{n}\right)^{\lg x}=\left(\dfrac{x}{n}\right)^n\). Tar vi \(\lg\) på begge sider, får vi uttrykket i oppgaven.

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er Omformingen er vist..

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-14a")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("Omformingen er vist.")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Fra a) bruker vi \(\lg(u^r)=r\lg u\). Da blir \(\lg x\cdot\lg\left(\dfrac{x}{n}\right)=n\cdot\lg\left(\dfrac{x}{n}\right)\). Flytter vi alt til én side, får vi \((\lg x-n)\lg\left(\dfrac{x}{n}\right)=0\). Siden \(\lg\left(\dfrac{x}{n}\right)=\lg x-\lg n\), får vi \((\lg x-n)(\lg x-\lg n)=0\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \((\lg x-n)(\lg x-\lg n)=0\).

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-14b")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\((\\lg x-n)(\\lg x-\\lg n)=0\\)")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Sett opp modellen

Nullproduktregelen gir \(\lg x-n=0\) eller \(\lg x-\lg n=0\). Dermed er \(\lg x=n\), som gir \(x=10^n\), eller \(\lg x=\lg n\), som gir \(x=n\). Begge er lovlige når \(n>0\).

Steg 2 — Bruk riktig verktøy

GeoGebra CAS eller Python kan brukes til å kontrollere regningen.

Steg 3 — Kontroller svaret

Kontrollen bekrefter verdien eller uttrykket som er funnet.

Steg 4 — Oppgi svaret tydelig

Svaret er \(x=10^n\) eller \(x=n\).

Tolkning

Svaret følger av modellen og kontrollen over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor, simplify, binomial, summation, Rational, sqrt, N

x, n, k = symbols("x n k", positive=True)
print("Denne kontrollen gjelder deloppgaven:")
print("oppgave-14c")
print("Hovedresultat fra løsningen:")
print("\\(x=10^n\\) eller \\(x=n\\)")
# For numeriske deloppgaver brukes CAS/Python i teksten over.