S1 eksamenVår 2013

Matematikk S1 eksamen – vår 2013

ifingo
Norsk (Bokmål)

Matematikk S1 eksamen vår 2013 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt tydelig. Hver deloppgave har transkribert oppgave, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med original/nøytral kodevisning uten rosa highlight.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aLogaritmer

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x+3=5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Definisjonskrav

\(x>0\), fordi logaritmen bare er definert for positive tall.

Steg 2 — Isoler logaritmen

\[2\lg x=2\Rightarrow \lg x=1\]

Steg 3 — Gå fra logaritme til potens

\(\lg x=1\) betyr \(x=10^1\).

Steg 4 — Kontroller

\(2\lg 10+3=5\).

Steg 5 — Konkluder

Løsningen er lovlig.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(2*lg(x)+3=5)
→ \(x=10\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = 10
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))
print('Kontroll:', 2*log(10,10)+3)

# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(x=10\).
Del 1 · Oppgave 1bAndregradslikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2x^2+2x=12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Standardform

\[2x^2+2x-12=0\]

Steg 2 — Del på 2

\[x^2+x-6=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+x-6=(x+3)(x-2)\]

Steg 4 — Nullprodukt

\(x=-3\) eller \(x=2\).

Steg 5 — Kontroller

Begge verdiene gir 12 i opprinnelig likning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(2x^2+2x=12)
→ \(x=-3\lor x=2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = solve(Eq(2*x**2+2*x,12),x)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))
for r in solve(Eq(2*x**2+2*x,12),x): print('kontroll', r, 2*r**2+2*r)

# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(x=-3\) eller \(x=2\).
Del 1 · Oppgave 2Likningssystem

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningssystemet ved regning \[\begin{cases}y=6-x^2\\ y+4=-3x\end{cases}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Skriv begge som uttrykk for \(y\)

Andre likning gir \(y=-3x-4\).

Steg 2 — Sett lik hverandre

\[6-x^2=-3x-4\]

Steg 3 — Løs andregradslikningen

\[x^2-3x-10=0=(x-5)(x+2)\]

Steg 4 — Finn \(y\)

For \(x=5\) er \(y=-19\). For \(x=-2\) er \(y=2\).

Steg 5 — Konkluder

Begge punktene ligger på begge grafene.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs({y=6-x^2,y+4=-3x},{x,y})
→ \((-2,2),(5,-19)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = solve([Eq(y,6-x**2), Eq(y+4,-3*x)], [x,y], dict=True)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \((5,-19)\) og \((-2,2)\).
Del 1 · Oppgave 3aPotensregning

Oppgave 3a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[\dfrac{2^{-3}\cdot a^0\cdot (ab)^2}{2^{-4}\cdot a^{-1}\cdot b^2}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Bruk \(a^0=1\)

Telleren blir \(2^{-3}a^2b^2\).

Steg 2 — Potens med 2

\(2^{-3}/2^{-4}=2^1=2\).

Steg 3 — Potens med \(a\)

\(a^2/a^{-1}=a^3\).

Steg 4 — Potens med \(b\)

\(b^2/b^2=1\).

Steg 5 — Skriv svaret

\[2a^3\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle((2^(-3)*a^0*(a*b)^2)/(2^(-4)*a^(-1)*b^2))
→ \(2a^3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = (2**(-3)*a**0*(a*b)**2)/(2**(-4)*a**(-1)*b**2)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(2a^3\).
Del 1 · Oppgave 3bLogaritmeregler

Oppgave 3b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[\lg((ab)^2)-\lg\left(\dfrac{a^3}{b^2}\right)+\lg(ab^2)\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Samle logaritmene

\(\lg A-\lg B+\lg C=\lg(AC/B)\).

Steg 2 — Sett inn

\[\lg\left(\dfrac{(ab)^2\cdot ab^2}{a^3/b^2}\right)\]

Steg 3 — Forenkle inni logaritmen

Inni logaritmen får vi \(b^6\).

Steg 4 — Bruk potensregelen

\(\lg(b^6)=6\lg b\).

Steg 5 — Definisjon

Uttrykkene forutsetter positive logaritmeargumenter.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(lg((a*b)^2)-lg(a^3/b^2)+lg(a*b^2))
→ \(6\lg b\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = log(((a*b)**2*(a*b**2))/(a**3/b**2),10)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))
print('Inni logaritmen:', simplify(((a*b)**2*(a*b**2))/(a**3/b**2)))

# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(6\lg b\).
Del 1 · Oppgave 4aRasjonal funksjon

Oppgave 4a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x-3}\). Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Omskriv

\[f(x)=3+\dfrac{8}{x-3}\]

Steg 2 — Vertikal asymptote

Nevneren er null ved \(x=3\), så \(x=3\) er asymptote.

Steg 3 — Horisontal asymptote

\(8/(x-3)\to0\), så \(y=3\) er asymptote.

Steg 4 — Skjæringer

Nullpunkt \(x=1/3\), og \(f(0)=1/3\).

Steg 5 — Skisse

Tegn to grener rundt asymptotene.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Asymptote((3x-1)/(x-3))
→ \(x=3, y=3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = (3*x-1)/(x-3)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))
f=(3*x-1)/(x-3)
print('Apart:', apart(f,x))
print('Horisontal asymptote:', limit(f,x,oo))
print('Nullpunkt:', solve(Eq(f,0),x))

# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Asymptoter \(x=3\), \(y=3\); nullpunkt \(x=1/3\); y-skjæring \(1/3\).
Del 1 · Oppgave 4bVeksthastighet

Oppgave 4b

Oppgave:

Bestem gjennomsnittlig veksthastighet for \(f\) fra \(x=4\) til \(x=7\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Formel

\[\dfrac{f(7)-f(4)}{7-4}\]

Steg 2 — Beregn \(f(4)\)

\(f(4)=11\).

Steg 3 — Beregn \(f(7)\)

\(f(7)=5\).

Steg 4 — Sett inn

\[(5-11)/3=-2\]

Steg 5 — Tolk

Funksjonen avtar i gjennomsnitt med 2 per x-enhet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
(f(7)-f(4))/(7-4)
→ \(-2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = ((3*7-1)/(7-3)-((3*4-1)/(4-3)))/(7-4)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(-2\).
Del 1 · Oppgave 5aPascals trekant

Oppgave 5a

Oppgave:

Skriv opp de ni første radene av Pascals talltrekant.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Bygg prinsipp

Hver rad starter og slutter med 1.

Steg 2 — Indre tall

Hvert indre tall er summen av de to tallene over.

Steg 3 — Radene

\(1\); \(1,1\); \(1,2,1\); \(1,3,3,1\); \(1,4,6,4,1\); \(1,5,10,10,5,1\); \(1,6,15,20,15,6,1\); \(1,7,21,35,35,21,7,1\); \(1,8,28,56,70,56,28,8,1\).

Steg 4 — Kontroll

Rad 9 svarer til koeffisientene for \((a+b)^8\).

Steg 5 — Tolk

Tallene gir binomialkoeffisienter.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
PascalTrekant(9)
→ 9 rader

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = [ [binomial(n,k) for k in range(n+1)] for n in range(9) ]
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: De ni radene er skrevet i løsningen.
Del 1 · Oppgave 5bBinomialkoeffisienter

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem \(\binom{2}{0}\), \(\binom{3}{1}\), \(\binom{5}{2}\) og \(\binom{8}{3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Les i Pascals trekant

\(\binom{n}{r}\) står i rad \(n+1\).

Steg 2 — Første

\(\binom{2}{0}=1\).

Steg 3 — Andre

\(\binom{3}{1}=3\).

Steg 4 — Tredje

\(\binom{5}{2}=10\).

Steg 5 — Fjerde

\(\binom{8}{3}=56\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
BinomialKoefisient(2,0), ...
→ \(1,3,10,56\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = [binomial(2,0), binomial(3,1), binomial(5,2), binomial(8,3)]
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(1,3,10,56\).
Del 1 · Oppgave 5cHypergeometrisk

Oppgave 5c

Oppgave:

Fra 3 gutter og 5 jenter skal det velges en komité på 3 elever. Bestem sannsynligheten for 1 gutt og 2 jenter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell

Trekk uten tilbakelegging gir hypergeometrisk modell.

Steg 2 — Alle komiteer

\(\binom{8}{3}=56\).

Steg 3 — Gunstige

\(\binom{3}{1}\binom{5}{2}=30\).

Steg 4 — Sannsynlighet

\[P=30/56=15/28\]

Steg 5 — Tolk

Omtrent \(53{,}6\%\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
C(3,1)*C(5,2)/C(8,3)
→ \(15/28\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = Rational(binomial(3,1)*binomial(5,2), binomial(8,3))
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(15/28\approx0{,}536\).
Del 1 · Oppgave 5dKombinatorikk

Oppgave 5d

Oppgave:

Fra 8 elever skal det velges en komité. Komiteen kan settes sammen på 28 ulike måter. Hvor mange elever kan det være i komiteen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Likning

Vi må løse \(\binom{8}{r}=28\).

Steg 2 — Pascals rad

Raden for \(n=8\) inneholder \(1,8,28,56,70,56,28,8,1\).

Steg 3 — Les av

28 står ved \(r=2\) og \(r=6\).

Steg 4 — Symmetri

\(\binom{8}{2}=\binom{8}{6}\).

Steg 5 — Konkluder

Komiteen kan ha 2 eller 6 elever.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(C(8,r)=28)
→ \(r=2\lor r=6\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = [r for r in range(9) if binomial(8,r)==28]
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: 2 eller 6 elever.
Del 1 · Oppgave 6aDerivasjon

Oppgave 6a

Oppgave:

\(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+x^2-12x+1\). Bestem \(f\prime(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Deriver første ledd

\((2/3)x^3\) gir \(2x^2\).

Steg 2 — Deriver andre ledd

\(x^2\) gir \(2x\).

Steg 3 — Deriver tredje ledd

\(-12x\) gir \(-12\).

Steg 4 — Konstant

1 gir 0.

Steg 5 — Sett sammen

\[f\prime(x)=2x^2+2x-12\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Derivert((2/3)x^3+x^2-12x+1)
→ \(2x^2+2x-12\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = diff(Rational(2,3)*x**3+x**2-12*x+1,x)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(f\prime(x)=2x^2+2x-12\).
Del 1 · Oppgave 6bFortegnslinje

Oppgave 6b

Oppgave:

Tegn fortegnslinjen til \(f\prime(x)\), og avgjør hvor grafen stiger og synker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Faktoriser

\(f\prime(x)=2(x+3)(x-2)\).

Steg 2 — Nullpunkter

\(x=-3\) og \(x=2\).

Steg 3 — Fortegn

Positiv utenfor nullpunktene, negativ mellom dem.

Steg 4 — Stigning

Grafen stiger når \(f\prime(x)>0\).

Steg 5 — Synking

Grafen synker når \(f\prime(x)<0\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Faktoriser(2x^2+2x-12)
→ \(2(x+3)(x-2)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = factor(2*x**2+2*x-12)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))
for t in [-4,0,3]: print(t, (2*x**2+2*x-12).subs(x,t))

# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Stiger for \(x<-3\) og \(x>2\); synker for \(-3
Del 1 · Oppgave 7Modellering

Oppgave 7

Oppgave:

Tog A og tog B kjører 120 km. Tog A har fart \(v\) og tid \(t\). Tog B har fart \(v+20\) og bruker \(t-1\). Forklar systemet \(vt=120\), \((v+20)(t-1)=120\), og bestem fartene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Vei-fart-tid

Strekning = fart \(\cdot\) tid.

Steg 2 — Tog A

\(v\cdot t=120\).

Steg 3 — Tog B

\((v+20)(t-1)=120\).

Steg 4 — Løs systemet

Positiv løsning gir \(t=3\) og \(v=40\).

Steg 5 — Fartene

Tog B kjører \(40+20=60\) km/h.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs({v*t=120,(v+20)(t-1)=120},{v,t})
→ \(v=40,t=3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = solve([Eq(symbols("v")*symbols("t"),120), Eq((symbols("v")+20)*(symbols("t")-1),120)], [symbols("v"),symbols("t")], dict=True)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Tog A: 40 km/h. Tog B: 60 km/h.

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1aBinomisk

Oppgave 1a

Oppgave:

En dag plukker epledyrkeren 70 epler. Bestem sannsynligheten for at akkurat 60 kan selges.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Binomial(70,0.8,60)
→ \(0{,}0623\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = binomial(70,60)*Rational(8,10)**60*Rational(2,10)**10
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(P(X=60)=\binom{70}{60}0{,}8^{60}0{,}2^{10}\approx0{,}0623\).
Del 2 · Oppgave 1bBinomisk

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at minst 60 av de 70 eplene kan selges.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
1-BinomialFordeling(70,0.8,59,true)
→ \(0{,}1468\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = sum(binomial(70,k)*Rational(8,10)**k*Rational(2,10)**(70-k) for k in range(60,71))
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(P(X\ge60)=\sum_{k=60}^{70}\binom{70}{k}0{,}8^k0{,}2^{70-k}\approx0{,}1468\).
Del 2 · Oppgave 1cHypergeometrisk

Oppgave 1c

Oppgave:

Kassen har 80 epler av sort A og 100 av sort B. En kunde kjøper 20 epler. Bestem sannsynligheten for akkurat 10 av hver sort.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
C(80,10)*C(100,10)/C(180,20)
→ \(0{,}1627\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = Rational(binomial(80,10)*binomial(100,10), binomial(180,20))
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(P=\dfrac{\binom{80}{10}\binom{100}{10}}{\binom{180}{20}}\approx0{,}1627\).
Del 2 · Oppgave 2aRegresjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Bruk eksponentiell regresjon på lufttrykkstabellen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
RegEksp(data)
→ \(1019{,}56\cdot0{,}88636^x\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = 1019.5601716945579*0.8863634868682747**x
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Modellen blir omtrent \(p(x)=1019{,}56\cdot0{,}88636^x\).
Del 2 · Oppgave 2bModellbruk

Oppgave 2b

Oppgave:

Titicacasjøen ligger 3,8 km over havet. Bestem lufttrykket.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
1019.56*0.88636^3.8
→ \(644{,}7\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = 1019.5601716945579*0.8863634868682747**3.8
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(p(3{,}8)\approx644{,}7\), altså omtrent 645 hPa.
Del 2 · Oppgave 2cLogaritmer

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem hvor høyt vi er når lufttrykket er 700 hPa.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(1019.56*0.88636^x=700)
→ \(x=3{,}12\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = log(700/1019.5601716945579)/log(0.8863634868682747)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(1019{,}56\cdot0{,}88636^x=700\) gir \(x\approx3{,}12\) km.
Del 2 · Oppgave 3aGraf

Oppgave 3a

Oppgave:

Tegn grafen til \(f(x)=x^4-4x^2\) for \(x\in[-2{,}5,2{,}5]\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Funksjon[x^4-4x^2,-2.5,2.5]
→ graf

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = x**4-4*x**2
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Grafen er partallssymmetrisk, har toppunkt i \((0,0)\) og bunnpunkter ved \((\pm\sqrt2,-4)\).
Del 2 · Oppgave 3bNullpunkter

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem grafens skjæringspunkter med koordinataksene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(x^4-4x^2=0)
→ \(-2,0,2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = solve(Eq(x**4-4*x**2,0),x)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)\). Punktene er \((-2,0)\), \((0,0)\), \((2,0)\).
Del 2 · Oppgave 3cDerivasjon

Oppgave 3c

Oppgave:

Bruk derivert til å bestemme stigning, synking og ekstremalpunkter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Ekstremalpunkt(x^4-4x^2)
→ \((\pm\sqrt2,-4),(0,0)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = [diff(x**4-4*x**2,x), solve(Eq(diff(x**4-4*x**2,x),0),x)]
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(f\prime(x)=4x(x^2-2)\). Synker på intervallene før \(-\sqrt2\) og mellom 0 og \(\sqrt2\). Stiger mellom \(-\sqrt2\) og 0 og etter \(\sqrt2\). Toppunkt \((0,0)\), bunnpunkter \((\pm\sqrt2,-4)\).
Del 2 · Oppgave 3dParameter

Oppgave 3d

Oppgave:

Funksjonen g er gitt ved g(x)=a*x^2 og skal gå gjennom de to bunnpunktene på grafen til f. Bestem a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(-4=a*(sqrt(2))^2,a)
→ \(a=-2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = solve(Eq(-4,a*(sqrt(2))**2),a)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Bruk \((\sqrt2,-4)\): \(-4=a(\sqrt2)^2=2a\), så \(a=-2\).
Del 2 · Oppgave 3eGraf

Oppgave 3e

Oppgave:

Tegn grafen til g i samme koordinatsystem som grafen til f.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
g(x):=-2x^2
→ graf

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = -2*x**2
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Grafen er \(g(x)=-2x^2\), og den går gjennom de to bunnpunktene til \(f\).
Del 2 · Oppgave 4aLineær optimering

Oppgave 4a

Oppgave:

Forklar ulikhetene for produksjonen av Godlaks og Gladlaks og marker området.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Ulikheter[...]
→ mulighetsområde

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = [0,0]
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Ulikhetene kommer fra ikke-negativ produksjon, tilgang på stoff A og B og maksimal totalproduksjon: \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(0{,}3x+0{,}6y\le20\), \(0{,}7x+0{,}4y\le18\), \(x+y\le35\).
Del 2 · Oppgave 4bMaksimering

Oppgave 4b

Oppgave:

Bestem produksjonen som gir størst salgsinntekt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Maksimer(5000x+8500y)
→ \(x=10/3,y=95/3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = Rational(5000*10+8500*95,3)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Målfunksjonen \(I=5000x+8500y\) maksimeres i hjørnet \((10/3,95/3)\). Maksimal inntekt er \(857500/3\approx285833\) kroner.
Del 2 · Oppgave 5aKostnad

Oppgave 5a

Oppgave:

Kostnadsfunksjonen er f(x)=55+0,01*x^2. Kostnadene må ikke overstige 200. Hvor mange enheter kan høyst produseres?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(55+0.01x^2<=200)
→ \(x\le120{,}4\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = sqrt(14500)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: \(55+0{,}01x^2\le200\) gir \(x\le\sqrt{14500}\approx120{,}4\). Høyst 120 enheter.
Del 2 · Oppgave 5bOverskudd

Oppgave 5b

Oppgave:

Salgsinntekten er g(x)=1,6x. Finn produksjonsmengder som gir overskudd, og størst overskudd.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Maks(1.6x-(55+0.01x^2))
→ \(x=80,O=9\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = [solve(Eq(1.6*x-(55+0.01*x**2),0),x), (1.6*80-(55+0.01*80**2))]
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Overskudd \(O(x)=1{,}6x-55-0{,}01x^2\). Nullpunktene er 50 og 110. Overskudd for \(50
Del 2 · Oppgave 5cTangering

Oppgave 5c

Oppgave:

Forklar hvorfor minsteprisen finnes når h(x)=px tangerer f.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Tangent fra origo
→ én løsning

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = symbols("p")
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: For lav pris skjærer ikke inntektslinjen kostnadsgrafen. Ved minste balansepris har de akkurat ett felles punkt, altså tangering.
Del 2 · Oppgave 5dDerivert

Oppgave 5d

Oppgave:

Forklar at prisen er minst når p=f\prime(a), og bestem produksjonen når p=1,48.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(1.48=0.02a,a)
→ \(a=74\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = 1.48/0.02
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Linjen \(h(x)=px\) har stigningstall \(p\). Ved tangering må \(p=f\prime(a)=0{,}02a\). Med \(p=1{,}48\) får vi \(a=74\), omtrent 74 enheter.
Del 2 · Oppgave 5eDiskriminant

Oppgave 5e

Oppgave:

Likningen kan omformes til 0,01x^2-px+55=0. Bestem p som gir én løsning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Modell/metode

Vi velger modellen som passer situasjonen og skriver uttrykket matematisk.

Steg 2 — Innsetting

Tallene fra oppgaven settes inn i formelen eller funksjonsuttrykket.

Steg 3 — Utregning

CAS/Python brukes til nøyaktig kontroll, mens hovedregningen vises i teksten.

Steg 4 — Avrunding

Svaret avrundes bare etter at uttrykket er beregnet.

Steg 5 — Tolkning

Svaret tolkes med riktig enhet, sannsynlighet eller produksjonsmengde.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å bruke feil modell eller å runde av for tidlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(p^2-2.2=0)
→ \(p\approx1{,}48\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

# Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte.
x, y, a, b, p = symbols('x y a b p')
resultat = sqrt(2.2)
print('Resultat:')
print(resultat)
print('Forenklet resultat:')
print(simplify(resultat))


# Utskrift:
# Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.
Fasit: Én løsning krever diskriminant null: \(p^2-4\cdot0{,}01\cdot55=0\). Dermed \(p=\sqrt{2{,}2}\approx1{,}48\).