En kinosal har 80 seter. En voksenbillett koster 100 kroner og en barnebillett 60 kroner. Ved en forestilling var salen fullsatt. De samlede billettinntektene var 6 000 kroner. Hvor mange voksne og hvor mange barn var til stede på forestillingen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Styret i en ungdomsklubb består av to jenter og fire gutter. To fra styret er invitert til et møte i kommunen for å legge fram klubbens ønsker. Bestem sannsynligheten for at én gutt og én jente møter dersom de trekkes ut på en tilfeldig måte.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Velg modell
Vi trekker uten tilbakelegging fra en gruppe med 2 jenter og 4 gutter. Dette er en hypergeometrisk situasjon.
Steg 2 — Tell alle mulige par
Det er \(\binom{6}{2}=15\) måter å velge 2 personer fra 6 på.
Steg 3 — Tell gunstige par
Vi skal ha én jente og én gutt: \[\binom{2}{1}\binom{4}{1}=2\cdot4=8\]
Fasit: Toppunktet er \(\left(1,1\right)\). Det finnes ikke bunnpunkt.
Del 1 · Oppgave 2cFunksjoner
Oppgave 2c
Oppgave:
Tegn grafen til \(f\) når \(x\in\left\langle -3,3\right
angle\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Bruk kjent form
\(f\left(x\right)=-x^2+2x\) er en andregradsfunksjon med negativ \(x^2\)-koeffisient, så parabelen vender nedover.
Steg 2 — Marker nullpunktene
Fra a) har vi \(x=0\) og \(x=2\).
Steg 3 — Marker toppunktet
Fra b) har vi toppunktet \(\left(1,1\right)\).
Steg 4 — Finn noen støttepunkter
\(f\left(-3\right)=-15\), \(f\left(3\right)=-3\).
Steg 5 — Tegn parabelen
Tegn en jevn parabel gjennom punktene, med toppunkt i \(\left(1,1\right)\).
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å tegne parabelen som en rett linje mellom punktene. En andregradsfunksjon skal tegnes som en jevn kurve.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Funksjon(-x^2+2x,-3,3)
→ nedovervendt parabel
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
x = symbols('x')
f = -x**2 + 2*x
punkter = [(i, f.subs(x, i)) for i in range(-3, 4)]
print('f(x) =', f)
print('Tabellpunkter fra x=-3 til x=3:')
for p in punkter:
print(p)
print('Toppunkt:', (1, f.subs(x, 1)))
print('Nullpunkter:', solve(Eq(f, 0), x))
# Utskrift:
# f(x) = -x**2 + 2*x
# Tabellpunkter fra x=-3 til x=3:
# (-3, -15)
# (-2, -8)
# (-1, -3)
# (0, 0)
# (1, 1)
# (2, 0)
# (3, -3)
# Toppunkt: (1, 1)
# Nullpunkter: [0, 2]
Fasit: Grafen er en nedovervendt parabel med toppunkt \(\left(1,1\right)\) og nullpunkter \(0\) og \(2\).
Del 1 · Oppgave 2dFunksjoner
Oppgave 2d
Oppgave:
Tegn grafen til \(g\left(x\right)=2x-4\) i samme koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Identifiser linjen
\(g\left(x\right)=2x-4\) er en lineær funksjon med stigningstall \(2\).
Steg 2 — Finn konstantleddet
Linjen skjærer \(y\)-aksen i \(-4\).
Steg 3 — Finn et punkt til
Når \(x=2\), er \(g\left(2\right)=0\).
Steg 4 — Tegn linjen
Tegn linjen gjennom \(\left(0,-4\right)\) og \(\left(2,0\right)\).
Steg 5 — Sammenlikn med \(f\)
Linjen legges i samme koordinatsystem som parabelen fra c).
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å bruke \(-4\) som stigningstall. \(-4\) er konstantleddet.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
g(x):=2x-4
→ rett linje
2
g(0)
→ \(-4\)
3
g(2)
→ \(0\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
x = symbols('x')
g = 2*x - 4
punkter = [(0, g.subs(x, 0)), (2, g.subs(x, 2)), (3, g.subs(x, 3))]
print('g(x) =', g)
print('Stigningstall:', 2)
print('Punkter på linjen:', punkter)
print('Linjen kan tegnes gjennom de to første punktene.')
# Utskrift:
# g(x) = 2*x - 4
# Stigningstall: 2
# Punkter på linjen: [(0, -4), (2, 0), (3, 2)]
# Linjen kan tegnes gjennom de to første punktene.
Fasit: Grafen til \(g\) er linjen gjennom \(\left(0,-4\right)\) og \(\left(2,0\right)\).
Del 1 · Oppgave 2eFunksjoner
Oppgave 2e
Oppgave:
Bestem skjæringspunktene mellom \(f\) og \(g\) ved regning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Sett funksjonene lik hverandre
\[-x^2+2x=2x-4\]
Steg 2 — Trekk fra \(2x\)
\[-x^2=-4\]
Steg 3 — Multipliser med \(-1\)
\[x^2=4\]
Steg 4 — Finn \(x\)-verdiene
\[x=-2\quad\text{eller}\quad x=2\]
Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene
\[g\left(-2\right)=-8,\qquad g\left(2\right)=0\]
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å svare bare med \(x\)-verdiene. Skjæringspunkter skal ha både \(x\)- og \(y\)-koordinat.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Løs(-x^2+2x=2x-4,x)
→ \(x=-2\lor x=2\)
2
(-2,g(-2)),(2,g(2))
→ \(\left(-2,-8\right),\left(2,0\right)\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
x = symbols('x')
f = -x**2 + 2*x
g = 2*x - 4
xverdier = solve(Eq(f, g), x)
punkter = [(r, g.subs(x, r)) for r in xverdier]
print('Likning f(x)=g(x):', Eq(f, g))
print('x-verdier:', xverdier)
print('Skjæringspunkter:', punkter)
for r in xverdier:
print('Kontroll x =', r, ': f =', f.subs(x, r), 'g =', g.subs(x, r))
# Utskrift:
# Likning f(x)=g(x): Eq(-x**2 + 2*x, 2*x - 4)
# x-verdier: [-2, 2]
# Skjæringspunkter: [(-2, -8), (2, 0)]
# Kontroll x = -2 : f = -8 g = -8
# Kontroll x = 2 : f = 0 g = 0
Fasit: Skjæringspunktene er \(\left(-2,-8\right)\) og \(\left(2,0\right)\).
Del 2 — med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 3aSannsynlighet
Oppgave 3a
Oppgave:
Lars skal velge hvilken av tre kopper som inneholder kaffemerke A. Bestem sannsynligheten for at han velger riktig kopp dersom han bare gjetter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Tell alternativer
Det finnes tre kopper, og akkurat én av dem inneholder A.
Steg 2 — Anta gjetting
Hvis Lars bare gjetter, er alle tre kopper like sannsynlige.
Steg 3 — Tell gunstige utfall
Det er ett gunstig utfall: koppen med A.
Steg 4 — Regn sannsynligheten
\[P=\dfrac{1}{3}\]
Steg 5 — Tolk
Dette er omtrent \(33{,}3\,\%\).
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å tenke at sannsynligheten er \(1/2\) fordi svaret er riktig eller feil. Her finnes tre konkrete valg.
Forklar hvorfor fem nye blindtester blir et binomisk forsøk dersom Lars ikke har denne evnen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Fast antall forsøk
Det skal gjøres fem nye tester, altså \(n=5\).
Steg 2 — To mulige utfall
I hver test er resultatet enten riktig eller feil.
Steg 3 — Samme sannsynlighet
Ved ren gjetting er sannsynligheten for riktig svar \(p=\dfrac{1}{3}\) i hver test.
Steg 4 — Uavhengighet
Rekkefølgen på koppene trekkes tilfeldig hver gang, så vi kan modellere testene som uavhengige.
Steg 5 — Konklusjon
Antall riktige svar \(X\) kan modelleres binomisk: \(X\sim \operatorname{Bin}\left(5,\dfrac{1}{3}\right)\).
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å bruke hypergeometrisk modell. Her gjentas samme type forsøk flere ganger med fast sannsynlighet.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Binomial(5,1/3)
→ binomisk modell
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
n = 5
p = Rational(1, 3)
print('Antall forsøk n =', n)
print('Sannsynlighet for riktig svar i hvert forsøk p =', p)
print('Mulige utfall i hvert forsøk: riktig eller feil')
print('Modell: X ~ Bin(5, 1/3)')
# Utskrift:
# Antall forsøk n = 5
# Sannsynlighet for riktig svar i hvert forsøk p = 1/3
# Mulige utfall i hvert forsøk: riktig eller feil
# Modell: X ~ Bin(5, 1/3)
Fasit: Dette kan modelleres med \(X\sim \operatorname{Bin}\left(5,\dfrac{1}{3}\right)\).
Del 2 · Oppgave 3cBinomisk sannsynlighet
Oppgave 3c
Oppgave:
Bestem sannsynligheten for at Lars velger kaffemerke A minst fire av disse fem gangene, dersom han bare gjetter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Definer variabel
La \(X\) være antall riktige valg i fem tester. Da er \(X\sim \operatorname{Bin}\left(5,\dfrac{1}{3}\right)\).
Steg 2 — Skriv hendelsen
Minst fire riktige betyr \(X\ge 4\), altså \(X=4\) eller \(X=5\).
Fasit: Prisen bør være omtrent 26,11 kroner per enhet.
Del 2 · Oppgave 8aLineær optimering
Oppgave 8a
Oppgave:
La \(x\) være antall stoler og \(y\) antall bord som produseres per dag. Vis at opplysningene gir ulikhetene \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(y\le -0{,}06x+50{,}5\), \(y\le -0{,}25x+60\) og \(y\le -0{,}40x+81\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Ikke-negativ produksjon
Antall stoler og bord kan ikke være negative, derfor \(x\ge0\) og \(y\ge0\).
Hver ulikhet beskriver en kapasitetsgrense i én avdeling.
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å bytte om \(x\) og \(y\). Her er \(x\) stoler og \(y\) bord.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
3x+50y<=2525
→ \(y\le -0{,}06x+50{,}5\)
2
2x+8y<=480
→ \(y\le -0{,}25x+60\)
3
4x+10y<=810
→ \(y\le -0{,}40x+81\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
x, y = symbols('x y')
ulikheter = [3*x + 50*y <= 2525, 2*x + 8*y <= 480, 4*x + 10*y <= 810]
loest_for_y = [solve_univariate_inequality(u, y) for u in ulikheter]
print('Kapasitetsulikheter:')
for u in ulikheter:
print(u)
print('Løst for y:')
for u in loest_for_y:
print(u)
# Utskrift:
# Kapasitetsulikheter:
# 3*x + 50*y <= 2525
# 2*x + 8*y <= 480
# 4*x + 10*y <= 810
# Løst for y:
# y <= 101/2 - 3*x/50
# y <= 60 - x/4
# y <= 81 - 2*x/5
Fasit: Ulikhetene følger direkte av kapasitetsgrensene.
Del 2 · Oppgave 8bLineær optimering
Oppgave 8b
Oppgave:
En stol selges for 300 kroner, og et bord selges for 1 600 kroner. Bestem produksjonen som gir størst inntekt, og finn den største inntekten.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Lag inntektsfunksjon
\[R\left(x,y\right)=300x+1600y\]
Steg 2 — Finn hjørnepunkter
Aktuelle hjørnepunkter er \(\left(0,0\right)\), \(\left(0,50{,}5\right)\), \(\left(50,47{,}5\right)\), \(\left(140,25\right)\) og \(\left(202{,}5,0\right)\).
Dette er større enn inntekten i de andre hjørnepunktene.
Steg 5 — Konkluder
Maksimal inntekt fås ved 50 stoler og 47,5 bord. I praksis må heltall vurderes, men den lineære modellen gir dette optimumet.
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å teste bare ett tilfeldig punkt inne i området. Ved lineær optimering må hjørnepunktene undersøkes.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Maksimer(300x+1600y, vilkår)
→ \(x=50, y=47{,}5, R=91000\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
from fractions import Fraction
hjorners = [(0,0), (0,Fraction(101,2)), (50,Fraction(95,2)), (140,25), (Fraction(405,2),0)]
def R(x, y):
return 300*x + 1600*y
print('Hjørnepunkter og inntekter:')
for punkt in hjorners:
verdi = R(*punkt)
print(punkt, 'gir inntekt', verdi)
beste = max(hjorners, key=lambda P: R(*P))
print('Beste punkt:', beste)
print('Maksimal inntekt:', R(*beste))
# Utskrift:
# Hjørnepunkter og inntekter:
# (0, 0) gir inntekt 0
# (0, 101/2) gir inntekt 80800
# (50, 95/2) gir inntekt 91000
# (140, 25) gir inntekt 82000
# (405/2, 0) gir inntekt 60750
# Beste punkt: (50, 95/2)
# Maksimal inntekt: 91000
Fasit: Maksimal modellinntekt er 91 000 kroner ved \(x=50\) stoler og \(y=47{,}5\) bord.
Del 2 · Oppgave 8cKapasitetsutnyttelse
Oppgave 8c
Oppgave:
Ved produksjonsmengden fra b) blir ikke hele arbeidskapasiteten utnyttet fullt ut. Undersøk hvor mye den samlede arbeidskapasiteten kunne reduseres uten at det ville få betydning for produksjonen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Steg 1 — Bruk produksjonen fra b
Vi bruker \(x=50\) og \(y=47{,}5\).
Steg 2 — Montering
\[3\cdot50+50\cdot47{,}5=2525\] Hele monteringskapasiteten brukes.
Steg 3 — Kontroll
\[2\cdot50+8\cdot47{,}5=480\] Hele kontrollkapasiteten brukes.
Steg 4 — Pakking
\[4\cdot50+10\cdot47{,}5=675\] Pakkeavdelingen bruker 675 av 810 minutter.
Steg 5 — Finn reduksjonen
\[810-675=135\] Den samlede kapasiteten kan reduseres med 135 minutter uten å påvirke denne produksjonen.
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å redusere kapasitet i en avdeling som allerede er fullt utnyttet. Da ville produksjonen endres.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
3*50+50*47.5
→ \(2525\)
2
2*50+8*47.5
→ \(480\)
3
4*50+10*47.5
→ \(675\)
4
810-675
→ \(135\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
x = Rational(50, 1)
y = Rational(95, 2)
montering = 3*x + 50*y
kontroll = 2*x + 8*y
pakking = 4*x + 10*y\ledig_pakking = 810 - pakking
print('Produksjon: x =', x, 'stoler, y =', y, 'bord')
print('Montering brukt:', montering, 'av 2525')
print('Kontroll brukt:', kontroll, 'av 480')
print('Pakking brukt:', pakking, 'av 810')
print('Ledig pakkekapasitet:', ledig_pakking)
print('Samlet mulig reduksjon:', ledig_pakking)
# Utskrift:
# Produksjon: x = 50 stoler, y = 95/2 bord
# Montering brukt: 2525 av 2525
# Kontroll brukt: 480 av 480
# Pakking brukt: 675 av 810
# Ledig pakkekapasitet: 135
# Samlet mulig reduksjon: 135
Fasit: Den samlede arbeidskapasiteten kan reduseres med 135 minutter per dag.
Del 2 · Oppgave 8dLineær optimering med ny inntekt
Oppgave 8d
Oppgave:
Bedriften lurer på om stolene burde selges for 400 kroner per stol, mens prisen på bord holdes uforandret på 1 600 kroner. Vis at den maksimale inntekten da er 96 000 kroner per dag. Forklar at det er mulig å oppnå denne inntekten ved mange ulike produksjonsmengder.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.
Kontrollulikheten er \(2x+8y\le480\), altså \[x+4y\le240\]
Steg 3 — Sett inn i inntekten
\[R_2=400\left(x+4y\right)\le400\cdot240=96000\]
Steg 4 — Vis at grensen kan nås
Punktene \(\left(50,47{,}5\right)\) og \(\left(140,25\right)\) ligger begge på \(x+4y=240\) og er tillatte.
Steg 5 — Forklar mange løsninger
Alle tillatte punkter på linjestykket mellom disse to punktene gir samme inntekt \(96000\).
Tolkning
Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.
Vanlig feil: Å tro at samme maksimalverdi bare kan oppnås i ett punkt. Her er målfunksjonen parallell med en aktiv begrensningslinje.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
400x+1600y=400(x+4y), x+4y<=240
→ \(R\le96000\)
2
R(50,47.5), R(140,25)
→ \(96000,96000\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import *
punkter = [(50, Rational(95,2)), (140, 25)]
def R2(x, y):
return 400*x + 1600*y
print('Ny inntekt: R2 = 400*x + 1600*y = 400*(x + 4*y)')
print('Kontrollbegrensning: 2*x + 8*y <= 480, altså x + 4*y <= 240')
print('Maksimal mulig inntekt:', 400*240)
for P in punkter:
x, y = P
print('Punkt', P, 'gir x+4y =', x + 4*y, 'og R2 =', R2(x, y))
print('Alle punkter på linjestykket mellom disse punktene har x+4y=240.')
# Utskrift:
# Ny inntekt: R2 = 400*x + 1600*y = 400*(x + 4*y)
# Kontrollbegrensning: 2*x + 8*y <= 480, altså x + 4*y <= 240
# Maksimal mulig inntekt: 96000
# Punkt (50, 95/2) gir x+4y = 240 og R2 = 96000
# Punkt (140, 25) gir x+4y = 240 og R2 = 96000
# Alle punkter på linjestykket mellom disse punktene har x+4y=240.
Fasit: Maksimal inntekt er 96 000 kroner, og den oppnås for alle tillatte punkter på linjestykket mellom \(\left(50,47{,}5\right)\) og \(\left(140,25\right)\).
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
