Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser leddene

Funksjonen består av et tredjegradsledd, et førstegradsledd og en konstant: \(2x^3\), \(-5x\) og \(2\).

Steg 2 — Bruk potensregelen

For \(2x^3\) får vi \[\left(2x^3\right)^\prime=2\cdot 3x^2=6x^2\]

Steg 3 — Deriver førstegradsleddet

\[\left(-5x\right)^\prime=-5\]

Steg 4 — Deriver konstantleddet

\[2^\prime=0\]

Steg 5 — Sett sammen uttrykket

\[f^\prime\left(x\right)=6x^2-5\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 5*x + 2
fp = diff(f, x)
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", fp)
print('Kontroll: diff(2*x**3 - 5*x + 2, x) =', fp)

# Utskrift:
# f(x) = 2*x**3 - 5*x + 2
# f'(x) = 6*x**2 - 5
# Kontroll: diff(2*x**3 - 5*x + 2, x) = 6*x**2 - 5

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk den deriverte

Fra 1) har vi \(f^\prime\left(x\right)=6x^2-5\).

Steg 2 — Sett inn \(x=1\)

\[f^\prime\left(1\right)=6\cdot 1^2-5=1\]

Steg 3 — Finn punktet på grafen

\[f\left(1\right)=2\cdot 1^3-5\cdot 1+2=-1\]

Steg 4 — Tolk den deriverte

Den deriverte er stigningstallet til tangenten i punktet der \(x=1\).

Steg 5 — Beskriv grafen

Grafen går gjennom \(\left(1,-1\right)\), og tangenten der har stigningstall \(1\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 5*x + 2
fp = diff(f, x)
x0 = 1
y0 = f.subs(x, x0)
stigning = fp.subs(x, x0)
tangent = expand(y0 + stigning*(x - x0))
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", fp)
print('Punkt på grafen:', (x0, y0))
print('Stigningstall f'(1) =', stigning)
print('Tangent:', tangent)

# Utskrift:
# f(x) = 2*x**3 - 5*x + 2
# f'(x) = 6*x**2 - 5
# Punkt på grafen: (1, -1)
# Stigningstall f'(1) = 1
# Tangent: x - 2

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser nevnerne

\[2x+4=2\left(x+2\right),\qquad 3x+6=3\left(x+2\right)\]

Steg 2 — Finn fellesnevner

En passende fellesnevner er \(6\left(x+2\right)\).

Steg 3 — Utvid første brøk

\[\dfrac{3}{2\left(x+2\right)}=\dfrac{9}{6\left(x+2\right)}\]

Steg 4 — Utvid andre brøk

\[\dfrac{2-x}{3\left(x+2\right)}=\dfrac{2\left(2-x\right)}{6\left(x+2\right)}=\dfrac{4-2x}{6\left(x+2\right)}\]

Steg 5 — Trekk fra tellerne

\[\dfrac{9-\left(4-2x\right)}{6\left(x+2\right)}=\dfrac{5+2x}{6\left(x+2\right)}\]

Steg 6 — Skriv pent

\[\dfrac{2x+5}{6\left(x+2\right)}\] med \(x eq -2\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
uttrykk = 3/(2*x + 4) - (2 - x)/(3*x + 6)
forenklet = simplify(uttrykk)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Forenklet uttrykk:', factor(forenklet))
print('Definisjonskrav: x != -2')
print('Kontroll ved x=1:')
print('Opprinnelig =', N(uttrykk.subs(x, 1)))
print('Forenklet =', N(forenklet.subs(x, 1)))

# Utskrift:
# Opprinnelig uttrykk: -(2 - x)/(3*x + 6) + 3/(2*x + 4)
# Forenklet uttrykk: (2*x + 5)/(6*(x + 2))
# Definisjonskrav: x != -2
# Kontroll ved x=1:
# Opprinnelig = 0.388888888888889
# Forenklet = 0.388888888888889

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv tallpotenser som brøker

\[2^{-1}=\dfrac{1}{2},\qquad 4^{-1}=\dfrac{1}{4}\]

Steg 2 — Del tallfaktorene

\[\dfrac{2^{-1}}{4^{-1}}=\dfrac{1/2}{1/4}=2\]

Steg 3 — Del \(a\)-potensene

\[\dfrac{a}{a^{-2}}=a^{1-\left(-2\right)}=a^3\]

Steg 4 — Del \(b\)-potensene

\[\dfrac{b^{-1}}{b^2}=b^{-1-2}=b^{-3}=\dfrac{1}{b^3}\]

Steg 5 — Sett sammen

\[2\cdot a^3\cdot b^{-3}=\dfrac{2a^3}{b^3}\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = (2**(-1)*a*b**(-1))/(4**(-1)*a**(-2)*b**2)
forenklet = simplify(uttrykk)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Forenklet uttrykk:', forenklet)
print('Faktorisert/pen form:', factor(forenklet))
print('Kontroll ved a=2, b=4:')
print('Opprinnelig =', N(uttrykk.subs({a:2,b:4})))
print('Forenklet =', N(forenklet.subs({a:2,b:4})))

# Utskrift:
# Opprinnelig uttrykk: 2.0*a**3/b**3
# Forenklet uttrykk: 2.0*a**3/b**3
# Faktorisert/pen form: 2.0*a**3/b**3
# Kontroll ved a=2, b=4:
# Opprinnelig = 0.250000000000000
# Forenklet = 0.250000000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk sumregelen

\[\lg A+\lg B+\lg C=\lg\left(A\cdot B\cdot C\right)\]

Steg 2 — Multipliser argumentene

\[a^2b\cdot ab^2\cdot \dfrac{a}{b^3}=a^{2+1+1}b^{1+2-3}\]

Steg 3 — Forenkle potensene

\[a^{4}b^0=a^4\]

Steg 4 — Skriv som én logaritme

\[\lg\left(a^4\right)\]

Steg 5 — Bruk potensregelen

\[\lg\left(a^4\right)=4\lg a\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

a, b = symbols('a b', positive=True)
uttrykk = log(a**2*b, 10) + log(a*b**2, 10) + log(a/b**3, 10)
samlet = logcombine(uttrykk, force=True)
forenklet = simplify(samlet)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Samlet logaritme:', samlet)
print('Forenklet:', forenklet)
print('Som 4*lg(a):', 4*log(a, 10))
print('Kontroll ved a=10, b=2:')
print('Opprinnelig =', N(uttrykk.subs({a:10,b:2})))
print('Forenklet =', N((4*log(a,10)).subs(a,10)))

# Utskrift:
# Opprinnelig uttrykk: log(a**2*b)/log(10) + log(a*b**2)/log(10) + log(a/b**3)/log(10)
# Samlet logaritme: log(a**4)/log(10)
# Forenklet: log(a**4)/log(10)
# Som 4*lg(a): 4*log(a)/log(10)
# Kontroll ved a=10, b=2:
# Opprinnelig = 4.00000000000000
# Forenklet = 4.00000000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer ukjente

La \(v\) være voksenbillett og \(b\) være barnebillett.

Steg 2 — Skriv første likning

To voksne og to barn kostet 220 kroner: \[2v+2b=220\]

Steg 3 — Skriv andre likning

Én voksen og tre barn kostet 190 kroner: \[v+3b=190\]

Steg 4 — Forenkle første likning

\[2v+2b=220\Rightarrow v+b=110\Rightarrow v=110-b\]

Steg 5 — Sett inn i andre likning

\[110-b+3b=190\Rightarrow 2b=80\Rightarrow b=40\]

Steg 6 — Finn voksenprisen

\[v=110-40=70\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

v, b = symbols('v b')
likninger = [Eq(2*v + 2*b, 220), Eq(v + 3*b, 190)]
losning = solve(likninger, (v, b), dict=True)[0]
print('Likningssystem:', likninger)
print('Løsning:', losning)
print('Barnebillett:', losning[b], 'kr')
print('Voksenbillett:', losning[v], 'kr')
print('Kontroll familie 1:', 2*losning[v] + 2*losning[b])
print('Kontroll familie 2:', losning[v] + 3*losning[b])

# Utskrift:
# Likningssystem: [Eq(2*b + 2*v, 220), Eq(3*b + v, 190)]
# Løsning: {v: 70, b: 40}
# Barnebillett: 40 kr
# Voksenbillett: 70 kr
# Kontroll familie 1: 220
# Kontroll familie 2: 190

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett funksjonene lik hverandre

Skjæringspunkter har samme \(x\)- og \(y\)-verdi: \[x^2-x-2=x+1\]

Steg 2 — Flytt alt til én side

\[x^2-2x-3=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\]

Steg 4 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=3\quad \text{eller}\quad x=-1\]

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene med \(g\)

\[g\left(3\right)=4,\qquad g\left(-1\right)=0\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
f = x**2 - x - 2
g = x + 1
likning = Eq(f, g)
xverdier = solve(likning, x)
punkter = [(verdi, g.subs(x, verdi)) for verdi in xverdier]
print('f(x) =', f)
print('g(x) =', g)
print('Likning f(x)=g(x):', likning)
print('x-verdier:', xverdier)
print('Skjæringspunkter:', punkter)
for punkt in punkter:
    print('Kontroll punkt', punkt, ': f =', f.subs(x, punkt[0]), 'g =', g.subs(x, punkt[0]))

# Utskrift:
# f(x) = x**2 - x - 2
# g(x) = x + 1
# Likning f(x)=g(x): Eq(x**2 - x - 2, x + 1)
# x-verdier: [-1, 3]
# Skjæringspunkter: [(-1, 0), (3, 4)]
# Kontroll punkt (-1, 0) : f = 0 g = 0
# Kontroll punkt (3, 4) : f = 4 g = 4

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Samle ledd med \(a\)

\[a+ab=a\left(1+b\right)\]

Steg 2 — Flytt \(b^2\)

\[a\left(1+b\right)=1-b^2\]

Steg 3 — Faktoriser høyre side

\[1-b^2=\left(1-b\right)\left(1+b\right)\]

Steg 4 — Del på \(1+b\)

Hvis \(b eq -1\), får vi \[a=1-b\]

Steg 5 — Kommenter særtilfellet

Hvis \(b=-1\), blir likningen \(a-a+1=1\), som er sann for alle \(a\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

a, b = symbols('a b')
likning = Eq(a + a*b + b**2, 1)
losning = solve(likning, a)
print('Likning:', likning)
print('Løsning for a:', losning)
print('Faktorisert høyre side 1-b**2:', factor(1 - b**2))
print('Kontroll med a=1-b:')
print(simplify((a + a*b + b**2 - 1).subs(a, 1-b)))
print('Særtilfelle b=-1 gir:', simplify((a + a*b + b**2).subs(b, -1)))

# Utskrift:
# Likning: Eq(a*b + a + b**2, 1)
# Løsning for a: [1 - b]
# Faktorisert høyre side 1-b**2: -(b - 1)*(b + 1)
# Kontroll med a=1-b:
# 0
# Særtilfelle b=-1 gir: 1

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Se på koeffisienten foran \(x^2\)

Siden \(2>0\), vender parabelen oppover.

Steg 2 — Finn diskriminanten

\[D=\left(-4\right)^2-4\cdot 2\cdot 6=16-48=-32\]

Steg 3 — Tolk diskriminanten

Siden \(D<0\), har uttrykket ingen nullpunkter.

Steg 4 — Bruk parabelretningen

En oppadvendt parabel uten nullpunkter ligger alltid over \(x\)-aksen.

Steg 5 — Konkluder

Derfor er \(2x^2-4x+6>0\) for alle reelle \(x\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x', real=True)
uttrykk = 2*x**2 - 4*x + 6
D = discriminant(uttrykk, x)
losning = solve_univariate_inequality(uttrykk > 0, x)
print('Uttrykk:', uttrykk)
print('Diskriminant:', D)
print('Nullpunkter:', solve(Eq(uttrykk, 0), x))
print('Løsning:', losning)
for test in [-2, 0, 1, 3]:
    print('x =', test, 'gir', uttrykk.subs(x, test))

# Utskrift:
# Uttrykk: 2*x**2 - 4*x + 6
# Diskriminant: -32
# Nullpunkter: []
# Løsning: True
# x = -2 gir 22
# x = 0 gir 6
# x = 1 gir 4
# x = 3 gir 12

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn startverdien

\[f\left(0\right)=4\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^0=4\]

Steg 2 — Finn flere punkter

\[f\left(1\right)=2,\quad f\left(2\right)=1,\quad f\left(3\right)=0{,}5\]

Steg 3 — Tolk vekstfaktoren

Vekstfaktoren er \(\dfrac{1}{2}\), så funksjonen halveres hver gang \(x\) øker med \(1\).

Steg 4 — Tegn kurven

Kurven starter i \(\left(0,4\right)\) og faller mot \(x\)-aksen uten å bli negativ.

Steg 5 — Husk definisjonsmengden

Vi tegner bare delen der \(x\ge 0\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
f = 4*(Rational(1, 2))**x
punkter = [(i, simplify(f.subs(x, i))) for i in range(0, 6)]
print('f(x) =', f)
print('Punkter til tegning:')
for p in punkter:
    print(p)
print('Horisontal asymptote: y = 0')

# Utskrift:
# f(x) = 4*2**(-x)
# Punkter til tegning:
# (0, 4)
# (1, 2)
# (2, 1)
# (3, 1/2)
# (4, 1/4)
# (5, 1/8)
# Horisontal asymptote: y = 0

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk formelen

\[\binom{8}{3}=\dfrac{8!}{3!\left(8-3\right)!}\]

Steg 2 — Forkort fakultetene

\[\binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}\]

Steg 3 — Regn ut telleren

\[8\cdot 7\cdot 6=336\]

Steg 4 — Regn ut nevneren

\[3\cdot 2\cdot 1=6\]

Steg 5 — Del

\[\binom{8}{3}=\dfrac{336}{6}=56\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

n, r = 8, 3
verdi = binomial(n, r)
print('n =', n)
print('r =', r)
print('binomial(8, 3) =', verdi)
print('Kontroll med fakulteter:', factorial(8)/(factorial(3)*factorial(5)))

# Utskrift:
# n = 8
# r = 3
# binomial(8, 3) = 56
# Kontroll med fakulteter: 56

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn antall gutter og jenter

Like mange gutter som jenter betyr \(4\) gutter og \(4\) jenter.

Steg 2 — Tell gunstige utvalg

Vi velger \(2\) av \(4\) gutter og \(1\) av \(4\) jenter: \[\binom{4}{2}\binom{4}{1}\]

Steg 3 — Tell alle utvalg

Vi velger \(3\) av \(8\): \[\binom{8}{3}\]

Steg 4 — Sett opp sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{4}{2}\binom{4}{1}}{\binom{8}{3}}\]

Steg 5 — Regn ut

\[P=\dfrac{6\cdot 4}{56}=\dfrac{24}{56}=\dfrac{3}{7}\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

gunstige = binomial(4, 2)*binomial(4, 1)
alle = binomial(8, 3)
P = Rational(gunstige, alle)
print('Gunstige utvalg:', gunstige)
print('Alle utvalg:', alle)
print('Sannsynlighet som brøk:', P)
print('Sannsynlighet som desimaltall:', N(P))

# Utskrift:
# Gunstige utvalg: 24
# Alle utvalg: 56
# Sannsynlighet som brøk: 3/7
# Sannsynlighet som desimaltall: 0.428571428571429

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk komplement

Minst én jente er komplementet til ingen jenter.

Steg 2 — Ingen jenter betyr bare gutter

Sannsynligheten for \(0\) jenter er \[\dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{8}{3}}\]

Steg 3 — Sett opp komplementet

\[P\left(\text{minst én jente}\right)=1-\dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{8}{3}}\]

Steg 4 — Regn ut

\[1-\dfrac{4}{56}=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}\]

Steg 5 — Tolk

Det er svært sannsynlig å få minst én jente når vi trekker tre elever fra fire jenter og fire gutter.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

ingen_jenter = binomial(4, 3)/binomial(8, 3)
minst_en_jente = 1 - ingen_jenter
print('P(ingen jenter) =', Rational(ingen_jenter))
print('P(minst én jente) =', Rational(minst_en_jente))
print('Desimaltall:', N(minst_en_jente))

# Utskrift:
# P(ingen jenter) = 1/14
# P(minst én jente) = 13/14
# Desimaltall: 0.928571428571429

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — To mulige utfall

Hver ørret må enten være smittet eller ikke smittet.

Steg 2 — Fast sannsynlighet

Sannsynligheten for smitte må være den samme for hver ørret: \(p=0{,}30\).

Steg 3 — Uavhengighet

Utfallet for én fanget ørret må ikke påvirke utfallet for en annen.

Steg 4 — Fast antall forsøk

Vi fanger et fast antall: \(n=5\).

Steg 5 — Tilfeldig utvalg

Ørretene må være fanget tilfeldig fra den aktuelle bestanden.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

n = 5
p = Rational(30, 100)
print('Antall forsøk n =', n)
print('Sannsynlighet for smitte p =', p)
print('Modell: X ~ Binomisk(n=5, p=0.30)')
print('Forutsetninger: to utfall, fast p, uavhengighet, fast n og tilfeldig utvalg')

# Utskrift:
# Antall forsøk n = 5
# Sannsynlighet for smitte p = 3/10
# Modell: X ~ Binomisk(n=5, p=0.30)
# Forutsetninger: to utfall, fast p, uavhengighet, fast n og tilfeldig utvalg

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall smittede ørreter blant de fem. Da er \(X\sim B\left(5,0{,}30\right)\).

Steg 2 — Velg riktig hendelse

Hendelsen er: alle 5 er smittet.

Steg 3 — Bruk binomisk modell

Vi bruker \[P\left(X=k\right)=\binom{{5}}{{k}}0{,}30^k0{,}70^{{5-k}}\] når hendelsen gjelder et bestemt antall.

Steg 4 — Regn digitalt

CAS/Python gir sannsynligheten uten avrundingsfeil underveis.

Steg 5 — Avrund

Vi oppgir svaret som desimaltall med passende antall siffer.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

from math import comb
p = 0.30
q = 1 - p
n = 5
verdi = 0.3**5
print('n =', n)
print('p =', p)
print('q =', q)
print('Hendelse: alle 5 er smittet')
print('Sannsynlighet =', verdi)
print('Avrundet =', round(verdi, 5))

# Utskrift:
# n = 5
# p = 0.3
# q = 0.7
# Hendelse: alle 5 er smittet
# Sannsynlighet = 0.00243
# Avrundet = 0.00243

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall smittede ørreter blant de fem. Da er \(X\sim B\left(5,0{,}30\right)\).

Steg 2 — Velg riktig hendelse

Hendelsen er: akkurat 3 er smittet.

Steg 3 — Bruk binomisk modell

Vi bruker \[P\left(X=k\right)=\binom{{5}}{{k}}0{,}30^k0{,}70^{{5-k}}\] når hendelsen gjelder et bestemt antall.

Steg 4 — Regn digitalt

CAS/Python gir sannsynligheten uten avrundingsfeil underveis.

Steg 5 — Avrund

Vi oppgir svaret som desimaltall med passende antall siffer.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

from math import comb
p = 0.30
q = 1 - p
n = 5
verdi = comb(5,3)*0.3**3*0.7**2
print('n =', n)
print('p =', p)
print('q =', q)
print('Hendelse: akkurat 3 er smittet')
print('Sannsynlighet =', verdi)
print('Avrundet =', round(verdi, 5))

# Utskrift:
# n = 5
# p = 0.3
# q = 0.7
# Hendelse: akkurat 3 er smittet
# Sannsynlighet = 0.1323
# Avrundet = 0.1323

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall smittede ørreter blant de fem. Da er \(X\sim B\left(5,0{,}30\right)\).

Steg 2 — Velg riktig hendelse

Hendelsen er: høyst 3 er smittet.

Steg 3 — Bruk binomisk modell

Vi bruker \[P\left(X=k\right)=\binom{{5}}{{k}}0{,}30^k0{,}70^{{5-k}}\] når hendelsen gjelder et bestemt antall.

Steg 4 — Regn digitalt

CAS/Python gir sannsynligheten uten avrundingsfeil underveis.

Steg 5 — Avrund

Vi oppgir svaret som desimaltall med passende antall siffer.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

from math import comb
p = 0.30
q = 1 - p
n = 5
verdi = sum(comb(5,k)*0.3**k*0.7**(5-k) for k in range(0,4))
print('n =', n)
print('p =', p)
print('q =', q)
print('Hendelse: høyst 3 er smittet')
print('Sannsynlighet =', verdi)
print('Avrundet =', round(verdi, 5))

# Utskrift:
# n = 5
# p = 0.3
# q = 0.7
# Hendelse: høyst 3 er smittet
# Sannsynlighet = 0.96922
# Avrundet = 0.96922

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall smittede ørreter blant de fem. Da er \(X\sim B\left(5,0{,}30\right)\).

Steg 2 — Velg riktig hendelse

Hendelsen er: minst 1 er smittet.

Steg 3 — Bruk binomisk modell

Vi bruker \[P\left(X=k\right)=\binom{{5}}{{k}}0{,}30^k0{,}70^{{5-k}}\] når hendelsen gjelder et bestemt antall.

Steg 4 — Regn digitalt

CAS/Python gir sannsynligheten uten avrundingsfeil underveis.

Steg 5 — Avrund

Vi oppgir svaret som desimaltall med passende antall siffer.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

from math import comb
p = 0.30
q = 1 - p
n = 5
verdi = 1-0.7**5
print('n =', n)
print('p =', p)
print('q =', q)
print('Hendelse: minst 1 er smittet')
print('Sannsynlighet =', verdi)
print('Avrundet =', round(verdi, 5))

# Utskrift:
# n = 5
# p = 0.3
# q = 0.7
# Hendelse: minst 1 er smittet
# Sannsynlighet = 0.83193
# Avrundet = 0.83193

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen

Startbeløpet er verdien når \(t=0\).

Steg 2 — Sett inn \(t=0\)

\[K\left(0\right)=30000\cdot 1{,}035^0\]

Steg 3 — Bruk at \(a^0=1\)

\[K\left(0\right)=30000\]

Steg 4 — Tolk

Det ble satt inn 30000 kroner.

Steg 5 — Kontroller enheten

Kapitalen er oppgitt i kroner.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

t = symbols('t')
K = 30000*1.035**t
start = K.subs(t, 0)
print('K(t) =', K)
print('K(0) =', start)
print('Startbeløp i kroner:', start)

# Utskrift:
# K(t) = 30000*1.035**t
# K(0) = 30000
# Startbeløp i kroner: 30000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett inn \(t=8\)

\[K\left(8\right)=30000\cdot 1{,}035^8\]

Steg 2 — Regn potensen

\[1{,}035^8pprox 1{,}3168\]

Steg 3 — Multipliser

\[K\left(8\right)pprox 30000\cdot 1{,}3168\]

Steg 4 — Avrund

\[K\left(8\right)pprox 39504\]

Steg 5 — Tolk

Beløpet er kapitalen etter renter i 8 år.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

t = symbols('t')
K = 30000*1.035**t
verdi = K.subs(t, 8)
print('K(t) =', K)
print('K(8) eksakt i modellen =', verdi)
print('K(8) numerisk =', N(verdi))
print('Avrundet til nærmeste krone =', round(float(verdi)))

# Utskrift:
# K(t) = 30000*1.035**t
# K(8) eksakt i modellen = 39504.1888764454
# K(8) numerisk = 39504.1888764454
# Avrundet til nærmeste krone = 39504

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[30000\cdot 1{,}035^t=40000\]

Steg 2 — Del på 30000

\[1{,}035^t=\dfrac{40000}{30000}=\dfrac{4}{3}\]

Steg 3 — Ta logaritme

\[t\lg\left(1{,}035\right)=\lg\left(\dfrac{4}{3}\right)\]

Steg 4 — Løs for \(t\)

\[t=\dfrac{\lg\left(4/3\right)}{\lg\left(1{,}035\right)}\]

Steg 5 — Regn ut

\[tpprox 8{,}36\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

t = symbols('t')
likning = Eq(30000*1.035**t, 40000)
losning = solve(likning, t)[0]
print('Likning:', likning)
print('Løsning t =', losning)
print('Numerisk t =', N(losning))
print('Kontroll K(t) =', N(30000*1.035**losning))

# Utskrift:
# Likning: Eq(30000*1.035**t, 40000)
# Løsning t = log(4/3)/log(1.035)
# Numerisk t = 8.36169746388452
# Kontroll K(t) = 40000.0000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk definisjonen

Gjennomsnittlig vekstfart fra \(0\) til \(15\) er \[\dfrac{K\left(15\right)-K\left(0\right)}{15-0}\]

Steg 2 — Finn \(K\left(0\right)\)

\[K\left(0\right)=30000\]

Steg 3 — Finn \(K\left(15\right)\)

\[K\left(15\right)=30000\cdot 1{,}035^{15}pprox 50157{,}09\]

Steg 4 — Regn vekstfarten

\[\dfrac{50157{,}09-30000}{15}pprox 1343{,}81\]

Steg 5 — Tolk enheten

Enheten er kroner per år.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

t = symbols('t')
K = 30000*1.035**t
K0 = K.subs(t, 0)
K15 = K.subs(t, 15)
vekstfart = (K15 - K0)/15
print('K(0) =', K0)
print('K(15) =', N(K15))
print('Gjennomsnittlig vekstfart =', N(vekstfart))
print('Avrundet til kroner per år =', round(float(vekstfart)))

# Utskrift:
# K(0) = 30000
# K(15) = 50157.0869822585
# Gjennomsnittlig vekstfart = 1343.80579881723
# Avrundet til kroner per år = 1344

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk inntekt = pris ganger antall

\[I\left(x\right)=x\cdot P\left(x\right)\]

Steg 2 — Sett inn prisfunksjonen

\[I\left(x\right)=x\left(300-0{,}1x\right)\]

Steg 3 — Multipliser ut

\[I\left(x\right)=300x-0{,}1x^2\]

Steg 4 — Skriv i standardform

\[I\left(x\right)=-0{,}1x^2+300x\]

Steg 5 — Tolk

Inntekten avhenger både av antall solgte varer og prisen per vare.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
P = 300 - 0.1*x
I = expand(x*P)
print('P(x) =', P)
print('I(x) = x*P(x)')
print('I(x) =', I)
print('Kontroll ved x=100: pris =', P.subs(x, 100), 'inntekt =', I.subs(x, 100))

# Utskrift:
# P(x) = 300 - 0.1*x
# I(x) = x*P(x)
# I(x) = -0.1*x**2 + 300*x
# Kontroll ved x=100: pris = 290.000000000000 inntekt = 29000.0000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv funksjonene

\[K\left(x\right)=0{,}2x^2+20x+20000\] \[I\left(x\right)=-0{,}1x^2+300x\]

Steg 2 — Bruk definisjonsmengden

Begge grafene tegnes for \(0\le x\le 1000\).

Steg 3 — Velg vindu

Et godt vindu er \(x\) fra 0 til 1000 og \(y\) fra 0 til omtrent 320000.

Steg 4 — Tolk skjæringspunkter

Der grafene skjærer hverandre, er inntekt lik kostnad.

Steg 5 — Bruk grafen videre

Grafen brukes i c) til å se hvor bedriften går med overskudd.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

import numpy as np
x = symbols('x')
K = 0.2*x**2 + 20*x + 20000
I = -0.1*x**2 + 300*x
print('K(x) =', K)
print('I(x) =', I)
print('Punkter til graf:')
for verdi in [0, 100, 200, 500, 800, 1000]:
    print('x =', verdi, 'K =', N(K.subs(x, verdi)), 'I =', N(I.subs(x, verdi)))

# Utskrift:
# K(x) = 0.2*x**2 + 20*x + 20000
# I(x) = -0.1*x**2 + 300*x
# Punkter til graf:
# x = 0 K = 20000.0000000000 I = 0
# x = 100 K = 24000.0000000000 I = 29000.0000000000
# x = 200 K = 32000.0000000000 I = 56000.0000000000
# x = 500 K = 80000.0000000000 I = 125000.000000000
# x = 800 K = 164000.000000000 I = 176000.000000000
# x = 1000 K = 240000.000000000 I = 200000.000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Overskudd betyr inntekt større enn kostnad

Bedriften går med overskudd når \(I\left(x\right)>K\left(x\right)\).

Steg 2 — Sett opp ulikheten

\[-0{,}1x^2+300x>0{,}2x^2+20x+20000\]

Steg 3 — Flytt alt til venstre

\[-0{,}3x^2+280x-20000>0\]

Steg 4 — Finn nullpunktene

Løs \(-0{,}3x^2+280x-20000=0\).

Steg 5 — Bruk CAS

Nullpunktene er omtrent \(78{,}39\) og \(854{,}94\).

Steg 6 — Tolk fortegn

Parabelen vender nedover, så overskuddet er positivt mellom nullpunktene.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import *

x = symbols('x', real=True)
K = 0.2*x**2 + 20*x + 20000
I = -0.1*x**2 + 300*x
O = expand(I - K)
nullpunkter = solve(Eq(O, 0), x)
ulikhet = solve_univariate_inequality(O > 0, x)
print('K(x) =', K)
print('I(x) =', I)
print('O(x) = I(x) - K(x) =', O)
print('Nullpunkter:', [N(r) for r in nullpunkter])
print('Løsning O(x)>0:', ulikhet)
for test in [50, 100, 500, 900]:
    print('x =', test, 'O(x) =', N(O.subs(x, test)))

# Utskrift:
# O(x) = I(x) - K(x) = -0.3*x**2 + 280*x - 20000
# Nullpunkter: [78.3917425362261, 854.941590797107]
# Løsning O(x)>0: (78.3917425362261 < x) & (x < 854.941590797107)
# x = 50 O(x) = -6750.00000000000
# x = 100 O(x) = 5000.00000000000
# x = 500 O(x) = 45000.0000000000
# x = 900 O(x) = -11000.0000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk definisjonen

\[O\left(x\right)=I\left(x\right)-K\left(x\right)\]

Steg 2 — Sett inn funksjonene

\[O\left(x\right)=\left(-0{,}1x^2+300x\right)-\left(0{,}2x^2+20x+20000\right)\]

Steg 3 — Fjern parentesen

\[O\left(x\right)=-0{,}1x^2+300x-0{,}2x^2-20x-20000\]

Steg 4 — Samle andregradsledd

\[-0{,}1x^2-0{,}2x^2=-0{,}3x^2\]

Steg 5 — Samle førstegradsledd

\[300x-20x=280x\]

Steg 6 — Skriv resultatet

\[O\left(x\right)=-0{,}3x^2+280x-20000\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
K = 0.2*x**2 + 20*x + 20000
I = -0.1*x**2 + 300*x
O = expand(I - K)
print('I(x) =', I)
print('K(x) =', K)
print('O(x) = I(x) - K(x)')
print('O(x) =', O)

# Utskrift:
# I(x) = -0.1*x**2 + 300*x
# K(x) = 0.2*x**2 + 20*x + 20000
# O(x) = I(x) - K(x)
# O(x) = -0.3*x**2 + 280*x - 20000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk overskuddsfunksjonen

\[O\left(x\right)=-0{,}3x^2+280x-20000\]

Steg 2 — Legg merke til parabelretningen

Siden koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, har parabelen et toppunkt.

Steg 3 — Bruk toppunktformelen

For \(ax^2+bx+c\) ligger toppunktet ved \[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Steg 4 — Sett inn \(a=-0{,}3\) og \(b=280\)

\[x=-\dfrac{280}{2\cdot \left(-0{,}3\right)}=466{,}666\ldots\]

Steg 5 — Tolk i hele enheter

Bedriften bør produsere omtrent \(467\) enheter.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
O = -0.3*x**2 + 280*x - 20000
x_topp = -280/(2*(-0.3))
O_topp = O.subs(x, x_topp)
print('O(x) =', O)
print('x-verdi i toppunkt:', x_topp)
print('Overskudd i toppunkt:', N(O_topp))
print('Kontroll med derivert:')
print("O'(x) =", diff(O, x))
print('Løs O'(x)=0:', solve(Eq(diff(O, x), 0), x))

# Utskrift:
# O(x) = -0.3*x**2 + 280*x - 20000
# x-verdi i toppunkt: 466.6666666666667
# Overskudd i toppunkt: 45333.3333333333
# Kontroll med derivert:
# O'(x) = 280 - 0.6*x
# Løs O'(x)=0: [466.666666666667]

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk \(x\)-verdien fra 2)

Maksimum skjer ved \(xpprox 466{,}67\).

Steg 2 — Finn prisen

\[P\left(466{,}67\right)=300-0{,}1\cdot 466{,}67pprox 253{,}33\]

Steg 3 — Finn overskuddet

\[O\left(466{,}67\right)pprox 45333{,}33\]

Steg 4 — Tolk pris

Prisen per vare er omtrent 253 kroner.

Steg 5 — Tolk overskudd

Maksimalt ukentlig overskudd er omtrent 45 333 kroner.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
P = 300 - 0.1*x
O = -0.3*x**2 + 280*x - 20000
x_topp = Rational(1400, 3)  # 466.666...
pris = P.subs(x, x_topp)
overskudd = O.subs(x, x_topp)
print('x ved størst overskudd =', N(x_topp))
print('Pris P(x) =', N(pris))
print('Overskudd O(x) =', N(overskudd))
print('Avrundet pris:', round(float(pris), 2))
print('Avrundet overskudd:', round(float(overskudd), 2))

# Utskrift:
# x ved størst overskudd = 466.666666666667
# Pris P(x) = 253.333333333333
# Overskudd O(x) = 45333.3333333333
# Avrundet pris: 253.33
# Avrundet overskudd: 45333.33

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabler

La \(x\) være antall dukker og \(y\) være antall lekebiler.

Steg 2 — Skriv produksjonskravet

\[0{,}5x+0{,}25y\le 700\]

Steg 3 — Skriv malingskravet

\[x+0{,}25y\le 1100\]

Steg 4 — Skriv monteringskravet

\[0{,}2x+0{,}5y\le 1200\]

Steg 5 — Skriv målfunksjonen

Inntekten er \[I=900x+300y\]

Steg 6 — Finn hjørnepunkter

Vi undersøker hjørnepunktene i det mulige området.

Steg 7 — Sammenlikn inntekter

Størst inntekt fås i punktet \(\left(1000,800\right)\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

from itertools import combinations
x, y = symbols('x y', real=True)
linjer = [Eq(0.5*x + 0.25*y, 700), Eq(x + 0.25*y, 1100), Eq(0.2*x + 0.5*y, 1200), Eq(x, 0), Eq(y, 0)]
krav = [0.5*x + 0.25*y <= 700, x + 0.25*y <= 1100, 0.2*x + 0.5*y <= 1200, x >= 0, y >= 0]
maal = 900*x + 300*y
punkter = []
for l1, l2 in combinations(linjer, 2):
    sol = solve((l1, l2), (x, y), dict=True)
    for s in sol:
        xv, yv = float(s[x]), float(s[y])
        if all(bool(k.subs({x:xv, y:yv})) for k in krav):
            punkter.append((xv, yv, float(maal.subs({x:xv, y:yv}))))
print('Mulige hjørnepunkter og inntekt:')
for p in sorted(set(punkter)):
    print(p)
beste = max(punkter, key=lambda p:p[2])
print('Beste punkt:', beste)

# Utskrift:
# Mulige hjørnepunkter og inntekt:
# (0.0, 0.0, 0.0)
# (0.0, 2400.0, 720000.0)
# (800.0, 1200.0, 1080000.0)
# (1100.0, 0.0, 990000.0)
# (0.0, 2400.0, 720000.0)
# (250.0, 2300.0, 915000.0)
# (800.0, 1200.0, 1080000.0)
# (1100.0, 0.0, 990000.0)
# Beste punkt: (800.0, 1200.0, 1080000.0)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk anbefalt produksjon

Fra a) har vi \(x=800\) dukker og \(y=1200\) lekebiler.

Steg 2 — Bruk målfunksjonen

\[I=900x+300y\]

Steg 3 — Sett inn

\[I=900\cdot 800+300\cdot 1200\]

Steg 4 — Regn ut

\[I=720000+360000=1080000\]

Steg 5 — Tolk

Dette er største inntekt innenfor alle tidsbegrensningene.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = 800
y = 1200
inntekt = 900*x + 300*y
print('Antall dukker:', x)
print('Antall lekebiler:', y)
print('Inntekt = 900*x + 300*y')
print('Inntekt =', inntekt)
print('Produksjonstid:', 0.5*x + 0.25*y)
print('Malingstid:', x + 0.25*y)
print('Monteringstid:', 0.2*x + 0.5*y)

# Utskrift:
# Antall dukker: 800
# Antall lekebiler: 1200
# Inntekt = 900*x + 300*y
# Inntekt = 1080000
# Produksjonstid: 700.0
# Malingstid: 1100.0
# Monteringstid: 760.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Halvparten av melet

Halvparten av \(x\) kg er \(\dfrac{x}{2}\).

Steg 2 — Legg til et halvt kilogram

Baker 1 tar \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\).

Steg 3 — Finn resten

Resten er total mengde minus det baker 1 tar.

Steg 4 — Regn ut resten

\[x-\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\]

Steg 5 — Tolk

Uttrykkene viser hvor mye som tas og hvor mye som blir igjen.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
tar1 = x/2 + Rational(1, 2)
igjen1 = simplify(x - tar1)
print('Baker 1 tar:', tar1)
print('Igjen etter baker 1:', igjen1)
print('Kontroll: tatt + igjen =', simplify(tar1 + igjen1))

# Utskrift:
# Baker 1 tar: x/2 + 1/2
# Igjen etter baker 1: x/2 - 1/2
# Kontroll: tatt + igjen = x

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk resten fra a)

Etter baker 1 er det igjen \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\).

Steg 2 — Ta halvparten av resten

\[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{4}\]

Steg 3 — Legg til et halvt kilogram

\[\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}\]

Steg 4 — Finn resten

\[\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{4}\]

Steg 5 — Tolk

Resten blir mindre enn halvparten fordi baker 2 også tar \(0{,}5\) kg ekstra.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
igjen1 = x/2 - Rational(1, 2)
tar2 = simplify(igjen1/2 + Rational(1, 2))
igjen2 = simplify(igjen1 - tar2)
print('Igjen før baker 2:', igjen1)
print('Baker 2 tar:', tar2)
print('Igjen etter baker 2:', igjen2)
print('Kontroll:', simplify(tar2 + igjen2 - igjen1))

# Utskrift:
# Igjen før baker 2: x/2 - 1/2
# Baker 2 tar: x/4 + 1/4
# Igjen etter baker 2: x/4 - 3/4
# Kontroll: 0

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk resten etter baker 2

Etter baker 2 er det igjen \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{4}\).

Steg 2 — Ta halvparten

\[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{8}\]

Steg 3 — Legg til et halvt kilogram

\[\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\]

Steg 4 — Skriv \(\dfrac{1}{2}\) som \(\dfrac{4}{8}\)

\[\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{8}=\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{8}\]

Steg 5 — Tolk

Dette er mengden baker 3 tar.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
igjen2 = x/4 - Rational(3, 4)
tar3 = simplify(igjen2/2 + Rational(1, 2))
print('Igjen før baker 3:', igjen2)
print('Halvparten av resten:', simplify(igjen2/2))
print('Baker 3 tar:', tar3)

# Utskrift:
# Igjen før baker 3: x/4 - 3/4
# Halvparten av resten: x/8 - 3/8
# Baker 3 tar: x/8 + 1/8

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tolk høyre side

Når \(1\) kg er igjen av \(x\) kg, har bakerne tatt \(x-1\) kg til sammen.

Steg 2 — Summer det bakerne tar

\[\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{8}\right)=x-1\]

Steg 3 — Samle \(x\)-ledd og tallledd

\[\dfrac{7x}{8}+\dfrac{7}{8}=x-1\]

Steg 4 — Multipliser med 8

\[7x+7=8x-8\]

Steg 5 — Løs likningen

\[x=15\]

Steg 6 — Kontroller

Bakerne tar \(8\), \(4\) og \(2\) kg. Da er \(1\) kg igjen av \(15\) kg.

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import *

x = symbols('x')
tar1 = x/2 + Rational(1, 2)
tar2 = x/4 + Rational(1, 4)
tar3 = x/8 + Rational(1, 8)
likning = Eq(tar1 + tar2 + tar3, x - 1)
losning = solve(likning, x)[0]
print('Baker 1 tar:', tar1)
print('Baker 2 tar:', tar2)
print('Baker 3 tar:', tar3)
print('Likning:', likning)
print('Løsning x =', losning)
print('Kontroll:')
print('Baker 1 tar', tar1.subs(x, losning), 'kg')
print('Baker 2 tar', tar2.subs(x, losning), 'kg')
print('Baker 3 tar', tar3.subs(x, losning), 'kg')
print('Igjen:', losning - (tar1+tar2+tar3).subs(x, losning), 'kg')

# Utskrift:
# Baker 1 tar: x/2 + 1/2
# Baker 2 tar: x/4 + 1/4
# Baker 3 tar: x/8 + 1/8
# Likning: Eq(7*x/8 + 7/8, x - 1)
# Løsning x = 15
# Kontroll:
# Baker 1 tar 8 kg
# Baker 2 tar 4 kg
# Baker 3 tar 2 kg
# Igjen: 1 kg