S1 eksamenVår 2010

Matematikk S1 eksamen – vår 2010

ifingo
Norsk (Bokmål)

Matematikk S1 eksamen vår 2010 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål med transkripsjon, stegvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og fyldig Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a 1Derivasjon

Oppgave 1a 1

Oppgave:

Gitt \(f\left(x\right)=2x^3-x^2\). Regn ut \(f\left(1\right)\) og \(f\'\left(1\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Regn funksjonsverdi

\[f\left(1\right)=2\cdot1^3-1^2=1\]

Steg 2 — Deriver

\[f\'\left(x\right)=6x^2-2x\]

Steg 3 — Sett inn

\[f\'\left(1\right)=4\]

Steg 4 — Skill begrepene

\(f\left(1\right)\) er punktets høyde, mens \(f\'\left(1\right)\) er stigningstall.

Steg 5 — Kontroller

Punktet er \(\left(1,1\right)\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å blande \(f\) og \(f'\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Derivert(2x^3-x^2)
→ \(6x^2-2x\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
f=2*x**3-x**2
fp=diff(f,x)
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", fp)
print('f(1) =', f.subs(x,1))
print("f'(1) =", fp.subs(x,1))
print('Punkt =', (1, f.subs(x,1)))
Fasit: \(f\left(1\right)=1\), \(f\'\left(1\right)=4\).
Del 1 · Oppgave 1a 2Grafisk tolkning

Oppgave 1a 2

Oppgave:

Bruk 1) til å beskrive grafen rundt punktet med førstekoordinat \(x=1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk punktet

Grafen går gjennom \(\left(1,1\right)\).

Steg 2 — Bruk stigningstall

Siden \(f\'\left(1\right)=4>0\), er grafen stigende.

Steg 3 — Tangent

Lokal tangent: \[y-1=4\left(x-1\right)\]

Steg 4 — Nærpunkt

For \(x\) nær \(1\) likner grafen linja \(y=4x-3\).

Steg 5 — Beskrivelse

Grafen går bratt oppover gjennom punktet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å beskrive hele grafen, ikke bare nærområdet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Tangent(2x^3-x^2,1)
→ \(y=4x-3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
f=2*x**3-x**2
x0=1; y0=f.subs(x,x0); m=diff(f,x).subs(x,x0)
tangent=expand(y0+m*(x-x0))
print('Punkt:', (x0,y0))
print('Stigningstall:', m)
print('Tangent:', tangent)
print('f(1.01) =', N(f.subs(x,1.01)))
print('tangent(1.01) =', N(tangent.subs(x,1.01)))
Fasit: Grafen er stigende gjennom \(\left(1,1\right)\), med tangentstigning \(4\).
Del 1 · Oppgave 1b 1Algebra

Oppgave 1b 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser

\(a-b\) er felles faktor.

Steg 2 — Samle parentes

\[\left(a-b\right)+\left(a+b\right)=2a\]

Steg 3 — Multipliser

\[2a\left(a-b\right)=2a^2-2ab\]

Steg 4 — Kontroller ved utviding

Utviding gir samme uttrykk.

Steg 5 — Skriv enklest

Faktorisert form er ofte ryddigst.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å glemme at \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Utvid((a-b)^2+(a+b)(a-b))
→ \(2a^2-2ab\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

a,b=symbols('a b')
ut=(a-b)**2+(a+b)*(a-b)
print('Opprinnelig:', ut)
print('Utvidet:', expand(ut))
print('Faktorisert:', factor(ut))
print('Kontroll a=5,b=2:', ut.subs({a:5,b:2}), factor(ut).subs({a:5,b:2}))
Fasit: \(2a\left(a-b\right)=2a^2-2ab\).
Del 1 · Oppgave 1b 2Potensregler

Oppgave 1b 2

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{a^2\cdot\left(a\cdot b^2\right)^2}{\left(a^2\right)^3\cdot b^3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Regn teller

\(\left(ab^2\right)^2=a^2b^4\), så telleren er \(a^4b^4\).

Steg 2 — Regn nevner

\(\left(a^2\right)^3b^3=a^6b^3\).

Steg 3 — Trekk fra eksponenter

\[a^{4-6}b^{4-3}=a^{-2}b\]

Steg 4 — Skriv positiv eksponent

\[a^{-2}b=\dfrac{b}{a^2}\]

Steg 5 — Betingelse

\(a\ne0\) og \(b\ne0\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å regne \((a^2)^3\) som \(a^5\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(a^2*(a*b^2)^2/((a^2)^3*b^3))
→ \(\dfrac{b}{a^2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

a,b=symbols('a b')
ut=a**2*(a*b**2)**2/((a**2)**3*b**3)
print('Opprinnelig:', ut)
print('Forenklet:', simplify(ut))
print('Kontroll a=2,b=3:', simplify(ut).subs({a:2,b:3}))
Fasit: \(\dfrac{b}{a^2}\).
Del 1 · Oppgave 1b 3Logaritmer

Oppgave 1b 3

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg\left(a^2b\right)+\lg\left(\dfrac1{ab}\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk sumregel

\(\lg A+\lg B=\lg\left(AB\right)\).

Steg 2 — Multipliser argumenter

\[a^2b\cdot \dfrac1{ab}=a\]

Steg 3 — Skriv resultat

\[\lg a\]

Steg 4 — Sjekk definisjon

Logaritmeargumentene må være positive.

Steg 5 — Tolk

Uttrykket kollapser til én logaritme.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å multiplisere logaritmene i stedet for argumentene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
lg(a^2*b)+lg(1/(a*b))
→ \(\lg a\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

a,b=symbols('a b', positive=True)
ut=log(a**2*b,10)+log(1/(a*b),10)
print('Opprinnelig:', ut)
print('Samlet:', logcombine(ut, force=True))
print('Forenklet:', simplify(logcombine(ut, force=True)))
print('Kontroll a=10,b=2:', N(ut.subs({a:10,b:2})))
Fasit: \(\lg a\).
Del 1 · Oppgave 1c 1Eksponentiallikning

Oppgave 1c 1

Oppgave:

Løs likningen \(3\cdot 10^{3x}=3000\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Del på 3

\[10^{3x}=1000\]

Steg 2 — Skriv potens

\[1000=10^3\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[3x=3\]

Steg 4 — Løs

\[x=1\]

Steg 5 — Kontroll

\(3\cdot10^3=3000\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å isolere \(10^x\) i stedet for \(10^{3x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(3*10^(3x)=3000,x)
→ \(x=1\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
lik=Eq(3*10**(3*x),3000)
sol=solve(lik,x)
print('Likning:', lik)
print('Løsning:', sol)
for s in sol:
    print('Kontroll:', 3*10**(3*s))
Fasit: \(x=1\).
Del 1 · Oppgave 1c 2Logaritmelikning

Oppgave 1c 2

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x-\lg\left(\dfrac1x\right)=6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definisjon

\(x>0\).

Steg 2 — Logaritmeregel

\(\lg\left(1/x\right)=-\lg x\).

Steg 3 — Sett inn

\[2\lg x-\left(-\lg x\right)=6\]

Steg 4 — Løs

\[3\lg x=6\Rightarrow x=100\]

Steg 5 — Kontroller

\(x=100\) er positiv.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å miste minus foran \(\lg(1/x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(2*lg(x)-lg(1/x)=6,x)
→ \(x=100\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x', positive=True)
lik=Eq(2*log(x,10)-log(1/x,10),6)
sol=solve(lik,x)
print('Likning:', lik)
print('Løsning:', sol)
for s in sol:
    print('Kontroll venstre side:', simplify(2*log(s,10)-log(1/s,10)))
Fasit: \(x=100\).
Del 1 · Oppgave 1dUlikhet

Oppgave 1d

Oppgave:

Løs ulikheten \(-3\left(x+1\right)\left(x-2\right)>0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Nullpunkter

\(x=-1\) og \(x=2\).

Steg 2 — Fortegnslinje

Undersøk intervallene før, mellom og etter nullpunktene.

Steg 3 — Testpunkt

I \((-1,2)\) blir uttrykket positivt.

Steg 4 — Streng ulikhet

Endepunktene tas ikke med.

Steg 5 — Svar

Løsningsmengden er intervallet mellom nullpunktene.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å dele på et negativt tall uten å snu ulikhetstegnet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(-3*(x+1)*(x-2)>0,x)
→ \(-1

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x', real=True)
ut=-3*(x+1)*(x-2)
print('Uttrykk:', ut)
print('Nullpunkter:', solve(Eq(ut,0),x))
print('Løsning:', solve_univariate_inequality(ut>0,x))
for test in [-2,0,3]:
    print('x=',test,'gir',ut.subs(x,test))
Fasit: \(-1
Del 1 · Oppgave 2aDerivert tabell

Oppgave 2a

Oppgave:

Den deriverte er \(f\'\left(x\right)=x^2-2x\). Fyll ut tabellen for \(x=-1,0,1,2,3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett inn \(-1\)

\(f\'\left(-1\right)=3\).

Steg 2 — Sett inn \(0\)

\(f\'\left(0\right)=0\).

Steg 3 — Sett inn \(1\)

\(f\'\left(1\right)=-1\).

Steg 4 — Sett inn \(2\)

\(f\'\left(2\right)=0\).

Steg 5 — Sett inn \(3\)

\(f\'\left(3\right)=3\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å sette inn i \(f\), ikke i \(f'\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
f'(-1),f'(0),f'(1),f'(2),f'(3)
→ \(3,0,-1,0,3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
fp=x**2-2*x
for v in [-1,0,1,2,3]:
    print('x =', v, "f'(x) =", fp.subs(x,v))
Fasit: Tabellen blir \(3,0,-1,0,3\).
Del 1 · Oppgave 2bVekstintervall

Oppgave 2b

Oppgave:

Tegn grafen til \(f\'\) og bruk den til å bestemme hvor grafen til \(f\) vokser og avtar.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser

\[f\'\left(x\right)=x\left(x-2\right)\]

Steg 2 — Nullpunkter

\(x=0\) og \(x=2\).

Steg 3 — Fortegn

Positiv for \(x<0\), negativ for \(02\).

Steg 4 — Konklusjon vekst

\(f\) vokser når \(f\'>0\).

Steg 5 — Konklusjon avtagning

\(f\) avtar når \(f\'<0\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å tegne \(f\) i stedet for \(f'\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Faktoriser(x^2-2x)
→ \(x\left(x-2\right)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
fp=x**2-2*x
print('Faktorisert:', factor(fp))
print('Nullpunkter:', solve(Eq(fp,0),x))
for v in [-1,1,3]: print(v, fp.subs(x,v))
Fasit: \(f\) vokser for \(x<0\) og \(x>2\), og avtar for \(0
Del 1 · Oppgave 3aLikningssystem

Oppgave 3a

Oppgave:

To terninger og én kule balanserer åtte staver. Én terning balanserer én kule og én stav. La \(x,y,z\) være vektene. Skriv likningene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Figur 1

\[2x+y=8z\]

Steg 2 — Figur 2

\[x=y+z\]

Steg 3 — Forklar variabler

\(x\) er terning, \(y\) kule, \(z\) stav.

Steg 4 — Likevekt

Hver likning uttrykker lik vekt på begge skåler.

Steg 5 — Samle

Dette er likningssystemet som brukes videre.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bytte om kule og stav i figur 2.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
{2x+y=8z,x=y+z}
→ Likningssystem

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x,y,z=symbols('x y z')
print(Eq(2*x+y,8*z))
print(Eq(x,y+z))
Fasit: \(2x+y=8z\) og \(x=y+z\).
Del 1 · Oppgave 3bSubstitusjon

Oppgave 3b

Oppgave:

Én terning skal balanseres med bare staver. Hvor mange staver trengs?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk likningene

\(2x+y=8z\), \(x=y+z\).

Steg 2 — Sett \(y=x-z\)

Fra \(x=y+z\) får vi \(y=x-z\).

Steg 3 — Substituer

\[2x+x-z=8z\]

Steg 4 — Løs

\[3x=9z\Rightarrow x=3z\]

Steg 5 — Tolk

Én terning veier som tre staver.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å forsøke å finne gramverdier uten nok informasjon.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs({2x+y=8z,x=y+z},{x,y})
→ \(x=3z, y=2z\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x,y,z=symbols('x y z')
sol=solve([Eq(2*x+y,8*z), Eq(x,y+z)],(x,y),dict=True)
print(sol)
print('Antall staver per terning:', simplify(sol[0][x]/z))
Fasit: Det trengs \(3\) staver.

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 4aBinomisk modell

Oppgave 4a

Oppgave:

Skriv formel for sannsynligheten for at akkurat \(x\) av \(20\) pasienter blir friske når \(p=0{,}80\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 4a
→ \(P\left(X=x\right)=\binom{20}{x}0{,}8^x0{,}2^{20-x}\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x', integer=True)
formel=binomial(20,x)*Rational(4,5)**x*Rational(1,5)**(20-x)
print('X ~ Bin(20,0.80)')
print('P(X=x)=', formel)
Fasit: \(P\left(X=x\right)=\binom{20}{x}0{,}8^x0{,}2^{20-x}\).
Del 2 · Oppgave 4bBinomisk sannsynlighet

Oppgave 4b

Oppgave:

Finn sannsynligheten for at akkurat \(15\) blir friske.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 4b
→ \(P\left(X=15\right)\approx0{,}1746\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

n=20; p=Rational(4,5); k=15
P=binomial(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k)
print('P(X=15) eksakt:', P)
print('P(X=15) desimal:', N(P,10))
Fasit: \(P\left(X=15\right)\approx0{,}1746\).
Del 2 · Oppgave 4cKumulativ binomisk

Oppgave 4c

Oppgave:

Finn sannsynligheten for at minst \(15\) blir friske.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 4c
→ \(P\left(X\ge15\right)\approx0{,}8042\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

n=20; p=Rational(4,5)
P=sum(binomial(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(15,21))
print('P(X>=15) eksakt:', P)
print('P(X>=15) desimal:', N(P,10))
Fasit: \(P\left(X\ge15\right)\approx0{,}8042\).
Del 2 · Oppgave 4dKritisk grense

Oppgave 4d

Oppgave:

Bestem \(x\) slik at sannsynligheten for minst \(x\) friske er større enn \(0{,}9\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 4d
→ Største slike heltall er \(x=14\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

n=20; p=Rational(4,5)
for xverdi in range(21):
    hale=sum(binomial(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(xverdi,21))
    if hale>Rational(9,10): siste=(xverdi,hale)
print('Største x med P(X>=x)>0.9:', siste[0])
print('Hale:', N(siste[1],10))
Fasit: Største slike heltall er \(x=14\).
Del 2 · Oppgave 5aØkonomi

Oppgave 5a

Oppgave:

Finn \(K\left(300\right)\), \(I\left(300\right)\) og overskudd.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 5a
→ \(K=78000\), \(I=93000\), overskudd \(15000\) kroner.

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
K=Rational(1,5)*x**2+200*x
I=-Rational(3,10)*x**2+400*x
print('K(300)=', K.subs(x,300))
print('I(300)=', I.subs(x,300))
print('Overskudd=', (I-K).subs(x,300))
Fasit: \(K=78000\), \(I=93000\), overskudd \(15000\) kroner.
Del 2 · Oppgave 5bOverskuddsfunksjon

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem \(P\left(x\right)\) og løs \(P\left(x\right)=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 5b
→ \(P\left(x\right)=-0{,}5x^2+200x\), nullpunkter \(0\) og \(400\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
P=-Rational(1,2)*x**2+200*x
print('P(x)=', P)
print('Faktorisert:', factor(P))
print('Nullpunkter:', solve(Eq(P,0),x))
Fasit: \(P\left(x\right)=-0{,}5x^2+200x\), nullpunkter \(0\) og \(400\).
Del 2 · Oppgave 5cMaksimering

Oppgave 5c

Oppgave:

Finn produksjonen som gir størst overskudd.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 5c
→ Maksimalt overskudd er \(20000\) kroner ved \(x=200\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x')
P=-Rational(1,2)*x**2+200*x
kritisk=solve(Eq(diff(P,x),0),x)[0]
print("P'(x)=", diff(P,x))
print('Kritisk x:', kritisk)
print('P(kritisk)=', P.subs(x,kritisk))
print('Andrederivert:', diff(P,x,2))
Fasit: Maksimalt overskudd er \(20000\) kroner ved \(x=200\).
Del 2 · Oppgave 6aUlikheter

Oppgave 6a

Oppgave:

Skraver området gitt ved \(x>0\), \(y>\dfrac2x+2\), \(2y-16<-4x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 6a
→ Området ligger for \(x>0\), over \(y=\dfrac2x+2\) og under \(y=8-2x\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x=symbols('x', positive=True)
sol=solve(Eq(2/x+2,8-2*x),x)
print('Nedre grense: y=2/x+2')
print('Øvre grense: y=8-2*x')
print('Skjæringer x:', sol)
for s in sol: print('Punkt:', (s, simplify(8-2*s)))
Fasit: Området ligger for \(x>0\), over \(y=\dfrac2x+2\) og under \(y=8-2x\).
Del 2 · Oppgave 6bLineær modell

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem ulikheter for laboratoriet. La \(x\) være assistenttimer og \(y\) teknikertimer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 6b
→ \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(4x+6y\le570\), \(x+y\le120\), \(y\le70\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x,y=symbols('x y')
for u in [x>=0,y>=0,4*x+6*y<=570,x+y<=120,y<=70]: print(u)
Fasit: \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(4x+6y\le570\), \(x+y\le120\), \(y\le70\).
Del 2 · Oppgave 6cMulighetsområde

Oppgave 6c

Oppgave:

Skraver området fra ulikhetene i b).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 6c
→ Området avgrenses blant annet av \(y=70\), \(x+y=120\) og \(4x+6y=570\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x,y=symbols('x y')
print('Skjæring prøver/tid:', solve([Eq(4*x+6*y,570),Eq(x+y,120)],(x,y)))
print('Skjæring prøver/y=70:', solve([Eq(4*x+6*y,570),Eq(y,70)],(x,y)))
print('Relevante hjørner: (0,0), (120,0), (75,45), (37.5,70), (0,70)')
Fasit: Området avgrenses blant annet av \(y=70\), \(x+y=120\) og \(4x+6y=570\).
Del 2 · Oppgave 6dOptimering

Oppgave 6d

Oppgave:

For \(570\) prøver: hvor mange timer må de arbeide for at samlet lønn blir størst?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/uttrykk

Vi setter opp riktig uttrykk fra oppgaveteksten.

Steg 2 — Digital eller algebraisk beregning

Utregningen gjennomføres trinnvis og kontrolleres med CAS/Python.

Steg 3 — Svarform

Svaret skrives med passende avrunding og enhet der det trengs.

Steg 4 — Kontroll

Innsetting eller sammenlikning med betingelser viser at svaret er rimelig.

Steg 5 — Tolkning

Resultatet knyttes tilbake til situasjonen i oppgaven.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å hoppe rett til desimaltall uten modell eller kontroll.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 6d
→ Assistenten \(37{,}5\) timer og teknikeren \(70\) timer.

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

x,y=symbols('x y')
x_expr=solve(Eq(4*x+6*y,570),x)[0]
L=100*x_expr+175*y
print('x uttrykt ved y:', x_expr)
print('Lønn:', expand(L))
y_best=70; x_best=x_expr.subs(y,y_best)
print('Beste løsning:', x_best, y_best)
print('Kontroll prøver:', 4*x_best+6*y_best)
print('Lønn:', 100*x_best+175*y_best)
Fasit: Assistenten \(37{,}5\) timer og teknikeren \(70\) timer.
Del 2 · Oppgave 7 alternativ I aEksponentialgraf

Oppgave 7 alternativ I a

Oppgave:

Tegn grafen til \(f\left(t\right)=3{,}00-3{,}00\cdot10^{-0{,}0007t}\) når \(t\le3600\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ I a
→ Stigende graf fra \(0\) mot asymptoten \(y=3\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

t=symbols('t')
f=3-3*10**(-Rational(7,10000)*t)
for v in [0,600,1200,2400,3600]: print(v, N(f.subs(t,v),6))
print('Grense:', limit(f,t,oo))
Fasit: Stigende graf fra \(0\) mot asymptoten \(y=3\).
Del 2 · Oppgave 7 alternativ I bLogaritmer

Oppgave 7 alternativ I b

Oppgave:

Finn tiden før konsentrasjonen er \(2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ I b
→ \(t\approx682\) sekunder.

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

t=symbols('t')
sol=log(3,10)/Rational(7,10000)
print('t sekunder:', N(sol,8))
print('t minutter:', N(sol/60,6))
Fasit: \(t\approx682\) sekunder.
Del 2 · Oppgave 7 alternativ I cGjennomsnittlig vekst

Oppgave 7 alternativ I c

Oppgave:

Finn gjennomsnittlig veksthastighet de \(10\) første minuttene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ I c
→ \(0{,}00310\) millimol per liter per sekund.

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

t=symbols('t')
f=3-3*10**(-Rational(7,10000)*t)
gj=(f.subs(t,600)-f.subs(t,0))/600
print('f(0)=', f.subs(t,0))
print('f(600)=', N(f.subs(t,600),8))
print('Gjennomsnitt=', N(gj,8))
Fasit: \(0{,}00310\) millimol per liter per sekund.
Del 2 · Oppgave 7 alternativ I dMomentan vekst

Oppgave 7 alternativ I d

Oppgave:

Finn momentan veksthastighet når \(t=600\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ I d
→ \(f\'\left(600\right)\approx0{,}00184\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

t=symbols('t')
f=3-3*10**(-Rational(7,10000)*t)
fp=diff(f,t)
print("f'(t)=", fp)
print("f'(600)=", N(fp.subs(t,600),8))
Fasit: \(f\'\left(600\right)\approx0{,}00184\).
Del 2 · Oppgave 7 alternativ I eGrenseverdi

Oppgave 7 alternativ I e

Oppgave:

Hvilken konsentrasjon kan vi vente etter mange timer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ I e
→ Konsentrasjonen nærmer seg \(3{,}00\) millimol per liter.

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

t=symbols('t')
f=3-3*10**(-Rational(7,10000)*t)
print('Grense:', limit(f,t,oo))
print('f(10000)=', N(f.subs(t,10000),8))
Fasit: Konsentrasjonen nærmer seg \(3{,}00\) millimol per liter.
Del 2 · Oppgave 7 alternativ II aFjerdegradsregresjon

Oppgave 7 alternativ II a

Oppgave:

Finn en 4. gradsfunksjon \(f\) som passer best mulig med prisindeksdataene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ II a
→ \(f\left(x\right)\approx-0{,}150x^4+2{,}037x^3-7{,}703x^2+5{,}982x+99{,}839\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

import numpy as np
xv=np.array([0,1,2,3,4,5],float); yv=np.array([100,99.2,96.5,89.7,93.3,97.9])
f=np.poly1d(np.polyfit(xv,yv,4))
print(np.polyfit(xv,yv,4))
print(f)
Fasit: \(f\left(x\right)\approx-0{,}150x^4+2{,}037x^3-7{,}703x^2+5{,}982x+99{,}839\).
Del 2 · Oppgave 7 alternativ II bGrafvurdering

Oppgave 7 alternativ II b

Oppgave:

Tegn grafen til \(f\) sammen med punktene og vurder tilpasningen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ II b
→ Modellen passer godt i \(0\le x\le5\), men ekstrapolering videre er usikker.

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

import numpy as np
xv=np.array([0,1,2,3,4,5],float); yv=np.array([100,99.2,96.5,89.7,93.3,97.9])
f=np.poly1d(np.polyfit(xv,yv,4))
for x,y in zip(xv,yv): print(x,y,round(float(f(x)),3))
print('f(8)=', round(float(f(8)),3))
Fasit: Modellen passer godt i \(0\le x\le5\), men ekstrapolering videre er usikker.
Del 2 · Oppgave 7 alternativ II cDerivasjon

Oppgave 7 alternativ II c

Oppgave:

Bestem når prisen når høyeste nivå ut fra \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ II c
→ Omtrent ved \(x=6{,}44\), prisindeks \(105{,}0\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

import numpy as np
xv=np.array([0,1,2,3,4,5],float); yv=np.array([100,99.2,96.5,89.7,93.3,97.9])
f=np.poly1d(np.polyfit(xv,yv,4)); fp=np.polyder(f)
c=[0,8]+[r.real for r in np.roots(fp) if abs(r.imag)<1e-8 and 0<=r.real<=8]
for z in c: print(round(float(z),6), round(float(f(z)),6))
Fasit: Omtrent ved \(x=6{,}44\), prisindeks \(105{,}0\).
Del 2 · Oppgave 7 alternativ II d 1Tredjegradsregresjon

Oppgave 7 alternativ II d 1

Oppgave:

Vis at en 3. gradsfunksjon \(g\) gir god tilnærming.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ II d 1
→ \(g\left(x\right)\approx0{,}537x^3-3{,}096x^2+1{,}697x+100{,}096\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

import numpy as np
xv=np.array([0,1,2,3,4,5],float); yv=np.array([100,99.2,96.5,89.7,93.3,97.9])
g=np.poly1d(np.polyfit(xv,yv,3))
print(np.polyfit(xv,yv,3))
print(g)
Fasit: \(g\left(x\right)\approx0{,}537x^3-3{,}096x^2+1{,}697x+100{,}096\).
Del 2 · Oppgave 7 alternativ II d 2Ekstrapolering

Oppgave 7 alternativ II d 2

Oppgave:

Finn \(f\left(9\right)\) og \(g\left(9\right)\) for 2. kvartal 2010.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les modellen/dataene

Vi bruker opplysningene i oppgaven direkte.

Steg 2 — Sett opp beregning

Metoden er regresjon, derivasjon, grenseverdi eller veksthastighet etter hva deloppgaven spør om.

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir tallverdien, og vi runder fornuftig.

Steg 4 — Tolk

Svaret tolkes i sekunder, kvartaler, prisindeks eller konsentrasjon.

Steg 5 — Kontroller

Resultatet sammenliknes med graf, tabell eller modellforutsetning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å bruke modellen uten å tolke intervallet eller enheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Oppgave 7 alternativ II d 2
→ \(f\left(9\right)\approx30{,}6\), \(g\left(9\right)\approx256{,}1\).

Kontroll (Python)

Python

from sympy import *

import numpy as np
xv=np.array([0,1,2,3,4,5],float); yv=np.array([100,99.2,96.5,89.7,93.3,97.9])
f=np.poly1d(np.polyfit(xv,yv,4)); g=np.poly1d(np.polyfit(xv,yv,3))
print('f(9)=', round(float(f(9)),3))
print('g(9)=', round(float(g(9)),3))
Fasit: \(f\left(9\right)\approx30{,}6\), \(g\left(9\right)\approx256{,}1\).