Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Finn fellesnevner

Nevnerne er \(\left(x-1\right)^2\) og \(x-1\). Fellesnevneren er derfor \(\left(x-1\right)^2\).

Steg 2 — Utvid den andre brøken

Vi ganger teller og nevner i den andre brøken med \(x-1\): \[\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}\]

Steg 3 — Trekk sammen tellerne

\[\dfrac{x^2}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x^2-2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}\]

Steg 4 — Forenkle telleren

\[x^2-2\left(x-1\right)=x^2-2x+2\]

Steg 5 — Skriv svaret med betingelse

Siden nevneren ikke kan være null, må \(x\ne 1\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, simplify, factor

x = symbols('x')
uttrykk = x**2/(x - 1)**2 - 2/(x - 1)
forenklet = simplify(uttrykk)

definisjon = 'x != 1'
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Forenklet uttrykk:', forenklet)
print('Faktorisert teller:', factor((x - 1)**2 * forenklet))
print('Betingelse:', definisjon)
print('Kontroll ved x = 3:')
print('Opprinnelig:', uttrykk.subs(x, 3))
print('Forenklet:', forenklet.subs(x, 3))

# Utskrift:
# Opprinnelig uttrykk: -2/(x - 1) + x**2/(x - 1)**2
# Forenklet uttrykk: (x**2 - 2*x + 2)/(x - 1)**2
# Faktorisert teller: x**2 - 2*x + 2
# Betingelse: x != 1
# Kontroll ved x = 3:
# Opprinnelig: 5/4
# Forenklet: 5/4

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Regn ut potensen i telleren

\[\left(2a^2\right)^2=2^2\cdot \left(a^2\right)^2=4a^4\]

Steg 2 — Sett dette inn i uttrykket

\[\dfrac{\left(2a^2\right)^2\cdot b}{a^3\cdot b^{-2}}=\dfrac{4a^4b}{a^3b^{-2}}\]

Steg 3 — Bruk potensregelen for samme grunntall

\[\dfrac{a^4}{a^3}=a^{4-3}=a\]

Steg 4 — Behandle \(b\)-potensene

\[\dfrac{b^1}{b^{-2}}=b^{1-\left(-2\right)}=b^3\]

Steg 5 — Samle faktorene

\[\dfrac{4a^4b}{a^3b^{-2}}=4ab^3\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, simplify

a, b = symbols('a b')
uttrykk = ((2*a**2)**2 * b)/(a**3 * b**(-2))
forenklet = simplify(uttrykk)

print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Forenklet uttrykk:', forenklet)
print('Kontroll ved a = 2, b = 3:')
print('Opprinnelig:', uttrykk.subs({a: 2, b: 3}))
print('Forenklet:', forenklet.subs({a: 2, b: 3}))

# Utskrift:
# Opprinnelig uttrykk: 4*a*b**3
# Forenklet uttrykk: 4*a*b**3
# Kontroll ved a = 2, b = 3:
# Opprinnelig: 216
# Forenklet: 216

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Isoler tierpotensen

Vi deler begge sider på \(2\): \[10^{2x}=1000\]

Steg 2 — Skriv \(1000\) som tierpotens

\[1000=10^3\]

Steg 3 — Sammenlikn eksponentene

Når grunntallet er likt, får vi \[2x=3\]

Steg 4 — Løs for \(x\)

\[x=\dfrac{3}{2}=1{,}5\]

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

\[2\cdot 10^{2\cdot 1{,}5}=2\cdot 10^3=2000\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational

x = symbols('x')
likning = Eq(2*10**(2*x), 2000)
losning = solve(likning, x)

print('Likning:', likning)
print('Løsning:', losning)
print('Kontroll:')
for verdi in losning:
    venstre = 2*10**(2*verdi)
    print('x =', verdi, 'gir venstre side =', venstre)
print('Forventet høyre side =', 2000)

# Utskrift:
# Likning: Eq(2*10**(2*x), 2000)
# Løsning: [3/2]
# Kontroll:
# x = 3/2 gir venstre side = 2000
# Forventet høyre side = 2000

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Sjekk definisjonsmengden

Siden \(\lg x\) inngår, må \(x>0\). Da er også \(x^2>0\).

Steg 2 — Bruk logaritmeregel

For \(x>0\) er \(\lg\left(x^2\right)=2\lg x\).

Steg 3 — Sett inn regelen

\[2\lg x+3\lg x-15=0\]

Steg 4 — Samle logaritmeleddene

\[5\lg x=15\]

Steg 5 — Løs logaritmelikningen

\[\lg x=3\Rightarrow x=10^3=1000\]

Steg 6 — Kontroller definisjonen

\(1000>0\), så løsningen er gyldig.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify

x = symbols('x', positive=True)
likning = Eq(log(x**2, 10) + 3*log(x, 10) - 15, 0)
losning = solve(likning, x)

print('Likning:', likning)
print('Løsning:', losning)
print('Kontroll:')
for verdi in losning:
    verdi_i_likning = simplify(log(verdi**2, 10) + 3*log(verdi, 10) - 15)
    print('x =', verdi, 'gir venstre side =', verdi_i_likning)

# Utskrift:
# Likning: Eq(log(x**2)/log(10) + 3*log(x)/log(10) - 15, 0)
# Løsning: [1000]
# Kontroll:
# x = 1000 gir venstre side = 0

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk punktet \(\left(1,4\right)\)

At grafen går gjennom punktet betyr \(f\left(1\right)=4\): \[a\cdot 1^2+b\cdot 1+5=4\]

Steg 2 — Forenkle første likning

\[a+b=-1\]

Steg 3 — Bruk punktet \(\left(-1,8\right)\)

At grafen går gjennom punktet betyr \(f\left(-1\right)=8\): \[a\cdot \left(-1\right)^2+b\cdot \left(-1\right)+5=8\]

Steg 4 — Forenkle andre likning

\[a-b=3\]

Steg 5 — Løs likningssystemet

Legg sammen likningene: \[\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=-1+3\Rightarrow 2a=2\Rightarrow a=1\]

Steg 6 — Finn \(b\)

Sett \(a=1\) inn i \(a+b=-1\): \[1+b=-1\Rightarrow b=-2\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve

a, b, x = symbols('a b x')
f = a*x**2 + b*x + 5
likninger = [Eq(f.subs(x, 1), 4), Eq(f.subs(x, -1), 8)]
losning = solve(likninger, (a, b))

print('Likninger:')
for likning in likninger:
    print(likning)
print('Løsning:', losning)
print('Kontrollfunksjon:', f.subs(losning))
print('f(1) =', f.subs(losning).subs(x, 1))
print('f(-1) =', f.subs(losning).subs(x, -1))

# Utskrift:
# Likninger:
# Eq(a + b + 5, 4)
# Eq(a - b + 5, 8)
# Løsning: {a: 1, b: -2}
# Kontrollfunksjon: x**2 - 2*x + 5
# f(1) = 4
# f(-1) = 8

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Start med formelen

\[A=\dfrac{\left(a+b\right)h}{2}\]

Steg 2 — Fjern nevneren

Ganger begge sider med \(2\): \[2A=\left(a+b\right)h\]

Steg 3 — Del på høyden

For \(h\ne 0\): \[\dfrac{2A}{h}=a+b\]

Steg 4 — Isoler \(b\)

\[b=\dfrac{2A}{h}-a\]

Steg 5 — Sett inn tall

\[b=\dfrac{2\cdot 40}{5}-7=16-7=9\]

Steg 6 — Kontroller i opprinnelig formel

\[\dfrac{\left(7+9\right)\cdot 5}{2}=\dfrac{80}{2}=40\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify

A, a, b, h = symbols('A a b h')
formel = Eq(A, (a + b)*h/2)
losning_b = solve(formel, b)[0]
verdi = losning_b.subs({A: 40, a: 7, h: 5})
kontroll = ((7 + verdi)*5)/2

print('Formel:', formel)
print('Løst for b:', losning_b)
print('b når A = 40, a = 7 og h = 5:', verdi)
print('Kontrollareal:', kontroll)

# Utskrift:
# Formel: Eq(A, h*(a + b)/2)
# Løst for b: 2*A/h - a
# b når A = 40, a = 7 og h = 5: 9
# Kontrollareal: 40

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Velg modell

Dette er en binomisk modell med \(n=3\), \(p=0{,}1\) og uavhengige kast. Vi skal finne \(P\left(X=1\right)\).

Steg 2 — Skriv binomisk formel

\[P\left(X=k\right)=inom{n}{k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}\]

Steg 3 — Sett inn \(n=3\), \(k=1\), \(p=0{,}1\)

\[P\left(X=1\right)=inom{3}{1}\cdot 0{,}1^1\cdot 0{,}9^2\]

Steg 4 — Regn ut

\[P\left(X=1\right)=3\cdot 0{,}1\cdot 0{,}81=0{,}243\]

Steg 5 — Tolk

Sannsynligheten er \(24{,}3\ \%\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import binomial, Rational, N

n = 3
p = Rational(1, 10)
k = 1
sannsynlighet = binomial(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

print('n =', n)
print('p =', p)
print('k =', k)
print('Sannsynlighet eksakt:', sannsynlighet)
print('Sannsynlighet desimal:', N(sannsynlighet))
print('Sannsynlighet i prosent:', N(100*sannsynlighet), '%')

# Utskrift:
# n = 3
# p = 1/10
# k = 1
# Sannsynlighet eksakt: 243/1000
# Sannsynlighet desimal: 0.243000000000000
# Sannsynlighet i prosent: 24.3000000000000 %

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk komplement

Minst 1 fisk er det motsatte av 0 fisk. Derfor er \[P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)\]

Steg 2 — Finn sannsynligheten for 0 fisk

\[P\left(X=0\right)=0{,}9^3\]

Steg 3 — Regn ut komplementet

\[P\left(X\ge 1\right)=1-0{,}9^3\]

Steg 4 — Regn ferdig

\[1-0{,}729=0{,}271\]

Steg 5 — Tolk

Sannsynligheten for minst én fisk i tre kast er \(27{,}1\ \%\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import Rational, N

p_fisk = Rational(1, 10)
p_ingen_fisk = 1 - p_fisk
n = 3
sannsynlighet = 1 - p_ingen_fisk**n
print('Sannsynlighet for fisk i ett kast:', p_fisk)
print('Sannsynlighet for ingen fisk i ett kast:', p_ingen_fisk)
print('Antall kast:', n)
print('P(minst én fisk) eksakt:', sannsynlighet)
print('P(minst én fisk) desimal:', N(sannsynlighet))
print('P(minst én fisk) i prosent:', N(100*sannsynlighet), '%')

# Utskrift:
# Sannsynlighet for fisk i ett kast: 1/10
# Sannsynlighet for ingen fisk i ett kast: 9/10
# Antall kast: 3
# P(minst én fisk) eksakt: 271/1000
# P(minst én fisk) desimal: 0.271000000000000
# P(minst én fisk) i prosent: 27.1000000000000 %

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk definisjonen

Gjennomsnittlig veksthastighet fra \(x=a\) til \(x=b\) er \[\dfrac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\]

Steg 2 — Finn \(f\left(0\right)\)

\[f\left(0\right)=2\cdot 0^3-6\cdot 0^2+3=3\]

Steg 3 — Finn \(f\left(2\right)\)

\[f\left(2\right)=2\cdot 2^3-6\cdot 2^2+3=16-24+3=-5\]

Steg 4 — Sett inn i formelen

\[\dfrac{f\left(2\right)-f\left(0\right)}{2-0}=\dfrac{-5-3}{2}=-4\]

Steg 5 — Tolk

I gjennomsnitt synker funksjonsverdien med \(4\) per \(x\)-enhet på intervallet.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, simplify

x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 6*x**2 + 3
x1 = 0
x2 = 2
f1 = f.subs(x, x1)
f2 = f.subs(x, x2)
gjennomsnitt = simplify((f2 - f1)/(x2 - x1))

print('f(x) =', f)
print('f(0) =', f1)
print('f(2) =', f2)
print('Gjennomsnittlig veksthastighet:', gjennomsnitt)

# Utskrift:
# f(x) = 2*x**3 - 6*x**2 + 3
# f(0) = 3
# f(2) = -5
# Gjennomsnittlig veksthastighet: -4

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(2x^3\right)=6x^2,\qquad \dfrac{d}{dx}\left(-6x^2\right)=-12x\]

Steg 2 — Deriver konstantleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(3\right)=0\]

Steg 3 — Skriv den deriverte

\[f'\left(x\right)=6x^2-12x\]

Steg 4 — Sett inn \(x=1\)

\[f'\left(1\right)=6\cdot 1^2-12\cdot 1=-6\]

Steg 5 — Tolk

Den momentane veksthastigheten ved \(x=1\) er stigningstallet til tangenten i punktet.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff

x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 6*x**2 + 3
f_derivert = diff(f, x)
verdi = f_derivert.subs(x, 1)

print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("f'(1) =", verdi)

# Utskrift:
# f(x) = 2*x**3 - 6*x**2 + 3
# f'(x) = 6*x**2 - 12*x
# f'(1) = -6

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk den deriverte

Fra forrige deloppgave har vi \[f'\left(x\right)=6x^2-12x=6x\left(x-2\right)\]

Steg 2 — Finn kritiske punkter

Sett \(f'\left(x\right)=0\): \[6x\left(x-2\right)=0\Rightarrow x=0\quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 3 — Lag fortegnsdrøfting

For \(x<0\) er \(6x\left(x-2\right)>0\). For \(02\) er uttrykket positivt.

Steg 4 — Klassifiser punktene

Ved \(x=0\) går den deriverte fra positiv til negativ, altså toppunkt. Ved \(x=2\) går den fra negativ til positiv, altså bunnpunkt.

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

\[f\left(0\right)=3,\qquad f\left(2\right)=-5\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, solve

x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 6*x**2 + 3
fp = diff(f, x)
kritiske = solve(fp, x)

print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", fp)
print('Kritiske x-verdier:', kritiske)
for verdi in kritiske:
    print('x =', verdi, 'gir punktet', (verdi, f.subs(x, verdi)))
print('Fortegn rundt x = 0 og x = 2:')
for test in [-1, 1, 3]:
    print("f'(", test, ') =', fp.subs(x, test))

# Utskrift:
# f(x) = 2*x**3 - 6*x**2 + 3
# f'(x) = 6*x**2 - 12*x
# Kritiske x-verdier: [0, 2]
# x = 0 gir punktet (0, 3)
# x = 2 gir punktet (2, -5)
# Fortegn rundt x = 0 og x = 2:
# f'( -1 ) = 18
# f'( 1 ) = -6
# f'( 3 ) = 18

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk punktene fra tidligere

Vi markerer toppunktet \(\left(0,3\right)\), bunnpunktet \(\left(2,-5\right)\), og tangentstigning \(f'\left(1\right)=-6\).

Steg 2 — Finn noen støttepunkter

\[f\left(-1\right)=2\left(-1\right)^3-6\left(-1\right)^2+3=-5\] og \[f\left(3\right)=54-54+3=3\]

Steg 3 — Marker sekanten fra a)

Gjennomsnittlig veksthastighet fra \(0\) til \(2\) er \(-4\), altså stigningstallet til sekanten gjennom \(\left(0,3\right)\) og \(\left(2,-5\right)\).

Steg 4 — Bruk fortegnet til den deriverte

Grafen stiger fram til \(x=0\), synker fra \(x=0\) til \(x=2\), og stiger igjen etter \(x=2\).

Steg 5 — Tegn en myk tredjegradsform

Skissen skal være en sammenhengende tredjegradsfunksjon med topp og bunn på riktig sted.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff

x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 6*x**2 + 3
fp = diff(f, x)
punkter = [-1, 0, 1, 2, 3]

print('Tabell for grafskisse:')
for verdi in punkter:
    print('x =', verdi, 'f(x) =', f.subs(x, verdi), "f'(x) =", fp.subs(x, verdi))
print('Sekantstigning fra 0 til 2:')
print((f.subs(x, 2) - f.subs(x, 0))/(2 - 0))

# Utskrift:
# Tabell for grafskisse:
# x = -1 f(x) = -5 f'(x) = 18
# x = 0 f(x) = 3 f'(x) = 0
# x = 1 f(x) = -1 f'(x) = -6
# x = 2 f(x) = -5 f'(x) = 0
# x = 3 f(x) = 3 f'(x) = 18
# Sekantstigning fra 0 til 2:
# -4

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Velg modell

Vi trekker \(10\) elever fra en klasse på \(27\) uten tilbakelegging. Derfor bruker vi hypergeometrisk sannsynlighet.

Steg 2 — Identifiser tallene

Det er \(15\) elever som fikk hjelp og \(12\) som installerte selv. Vi ønsker \(6\) med hjelp og dermed \(4\) uten hjelp.

Steg 3 — Tell gunstige utvalg

\[inom{15}{6}inom{12}{4}\]

Steg 4 — Tell alle utvalg

\[inom{27}{10}\]

Steg 5 — Regn sannsynligheten

\[P=\dfrac{inom{15}{6}inom{12}{4}}{inom{27}{10}}pprox 0{,}294\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import binomial, N

hjelp = 15
selv = 12
utvalg = 10
onsket_hjelp = 6
onsket_selv = utvalg - onsket_hjelp

alle = binomial(hjelp + selv, utvalg)
gunstige = binomial(hjelp, onsket_hjelp) * binomial(selv, onsket_selv)
sannsynlighet = gunstige / alle

print('Alle utvalg:', alle)
print('Gunstige utvalg:', gunstige)
print('Sannsynlighet eksakt:', sannsynlighet)
print('Sannsynlighet desimal:', N(sannsynlighet, 12))

# Utskrift:
# Alle utvalg: 8436285
# Gunstige utvalg: 2478105
# Sannsynlighet eksakt: 2478105/8436285
# Sannsynlighet desimal: 0.293668954996

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Definer variabelen

La \(Y\) være antall elever som installerte selv blant de \(10\) uttrukne. Vi ønsker \(P\left(Y\ge 2\right)\).

Steg 2 — Bruk komplement

\[P\left(Y\ge 2\right)=1-P\left(Y=0\right)-P\left(Y=1\right)\]

Steg 3 — Regn \(P\left(Y=0\right)\)

\[P\left(Y=0\right)=\dfrac{inom{12}{0}inom{15}{10}}{inom{27}{10}}\]

Steg 4 — Regn \(P\left(Y=1\right)\)

\[P\left(Y=1\right)=\dfrac{inom{12}{1}inom{15}{9}}{inom{27}{10}}\]

Steg 5 — Sett sammen

\[P\left(Y\ge 2\right)=1-\dfrac{inom{12}{0}inom{15}{10}+inom{12}{1}inom{15}{9}}{inom{27}{10}}pprox 0{,}993\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import binomial, N

selv = 12
hjelp = 15
utvalg = 10
alle = binomial(selv + hjelp, utvalg)

p0 = binomial(selv, 0)*binomial(hjelp, 10)/alle
p1 = binomial(selv, 1)*binomial(hjelp, 9)/alle
p_minst_2 = 1 - p0 - p1

print('P(Y = 0):', N(p0, 12))
print('P(Y = 1):', N(p1, 12))
print('P(Y >= 2):', N(p_minst_2, 12))

# Utskrift:
# P(Y = 0): 0.000355607725756
# P(Y = 1): 0.00711960203891
# P(Y >= 2): 0.992524790236

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Velg modell

Vi kan bruke binomisk modell dersom hvert elevvalg kan regnes som uavhengig, og sannsynligheten \(p=0{,}30\) er den samme for hver elev.

Steg 2 — Definer variabelen

La \(X\) være antall elever som har fått hjelp blant \(24\). Da er \(X\sim \operatorname{Bin}\left(24,0{,}30\right)\).

Steg 3 — Skriv formelen

\[P\left(X=9\right)=inom{24}{9}\cdot 0{,}30^9\cdot 0{,}70^{15}\]

Steg 4 — Regn ut

\[P\left(X=9\right)pprox 0{,}122\]

Steg 5 — Tolk forutsetningene

Dette er rimelig hvis skolen er stor, utvalget er tilfeldig, og hver elevs behov for hjelp kan betraktes som uavhengig av de andre.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import binomial, Rational, N

n = 24
p = Rational(3, 10)
k = 9
sannsynlighet = binomial(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

print('Modell: X ~ Bin(24, 0.30)')
print('k =', k)
print('Sannsynlighet eksakt:', sannsynlighet)
print('Sannsynlighet desimal:', N(sannsynlighet, 12))
print('Sannsynlighet i prosent:', N(100*sannsynlighet, 6), '%')

# Utskrift:
# Modell: X ~ Bin(24, 0.30)
# k = 9
# Sannsynlighet eksakt: 78505137286237801/642775217703596250
# Sannsynlighet desimal: 0.122181349844
# Sannsynlighet i prosent: 12.2181 %

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk samme binomiske modell

Vi bruker \(X\sim \operatorname{Bin}\left(24,0{,}30\right)\).

Steg 2 — Oversett «minst 9»

\[P\left(X\ge 9\right)=P\left(X=9\right)+P\left(X=10\right)+\cdots+P\left(X=24\right)\]

Steg 3 — Bruk komplement eller digital sum

Det er ofte mest praktisk å regne \[P\left(X\ge 9\right)=1-P\left(X\le 8\right)\]

Steg 4 — Regn med CAS eller Python

\[P\left(X\ge 9\right)pprox 0{,}275\]

Steg 5 — Tolk

Sannsynligheten er omtrent \(27{,}5\ \%\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import binomial, Rational, N, summation, symbols

n = 24
p = Rational(3, 10)
k = symbols('k', integer=True)

sum_sannsynlighet = summation(binomial(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k), (k, 9, n))
komplement = 1 - summation(binomial(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k), (k, 0, 8))

print('P(X >= 9) som sum:', N(sum_sannsynlighet, 12))
print('P(X >= 9) via komplement:', N(komplement, 12))
print('Differanse mellom metodene:', N(sum_sannsynlighet - komplement, 12))

# Utskrift:
# P(X >= 9) som sum: 0.274962968396
# P(X >= 9) via komplement: 0.274962968396
# Differanse mellom metodene: 0

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Finn dimensjonene

Siden det brettes to ganger langs kortsidene og én gang langs langsidene, blir lengden \(30-4x\) og bredden \(20-2x\).

Steg 2 — Skriv volumformelen

\[V=x\left(30-4x\right)\left(20-2x\right)\]

Steg 3 — Regn for \(x=1\)

\[V\left(1\right)=1\cdot 26\cdot 18=468\]

Steg 4 — Regn for \(x=2\)

\[V\left(2\right)=2\cdot 22\cdot 16=704\]

Steg 5 — Regn for \(x=3\) og \(x=4\)

\[V\left(3\right)=3\cdot 18\cdot 14=756,\qquad V\left(4\right)=4\cdot 14\cdot 12=672\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols

x = symbols('x')
V = x*(30 - 4*x)*(20 - 2*x)
print('Volumformel:', V)
print('Tabell:')
for hoyde in [1, 2, 3, 4]:
    print('høyde =', hoyde, 'cm, volum =', V.subs(x, hoyde), 'cm^3')

# Utskrift:
# Volumformel: x*(20 - 2*x)*(30 - 4*x)
# Tabell:
# høyde = 1 cm, volum = 468 cm^3
# høyde = 2 cm, volum = 704 cm^3
# høyde = 3 cm, volum = 756 cm^3
# høyde = 4 cm, volum = 672 cm^3

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Regresjonsidé

Tabellverdiene passer en tredjegradsmodell fordi volumet er produktet av tre lengder som alle avhenger av \(x\).

Steg 2 — Analyse av figuren

Høyden er \(x\), lengden er \(30-4x\), og bredden er \(20-2x\).

Steg 3 — Sett opp produktet

\[V\left(x\right)=x\left(30-4x\right)\left(20-2x\right)\]

Steg 4 — Multipliser parentesene

\[\left(30-4x\right)\left(20-2x\right)=600-140x+8x^2\]

Steg 5 — Gang med \(x\)

\[V\left(x\right)=x\left(600-140x+8x^2\right)=8x^3-140x^2+600x\]

Steg 6 — Gyldig intervall

Vi må ha \(30-4x>0\) og \(20-2x>0\), altså \(0

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, expand

x = symbols('x')
produktform = x*(30 - 4*x)*(20 - 2*x)
utvidet = expand(produktform)

print('Produktform:', produktform)
print('Utvidet form:', utvidet)
print('Kontroll mot tabell:')
for hoyde in [1, 2, 3, 4]:
    print(hoyde, 'gir', utvidet.subs(x, hoyde))
print('Gyldig intervall: 0 < x < 7.5')

# Utskrift:
# Produktform: x*(20 - 2*x)*(30 - 4*x)
# Utvidet form: 8*x**3 - 140*x**2 + 600*x
# Kontroll mot tabell:
# 1 gir 468
# 2 gir 704
# 3 gir 756
# 4 gir 672
# Gyldig intervall: 0 < x < 7.5

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Start med volumfunksjonen

\[V\left(x\right)=8x^3-140x^2+600x\] der \(0

Steg 2 — Deriver

\[V'\left(x\right)=24x^2-280x+600\]

Steg 3 — Sett den deriverte lik null

\[24x^2-280x+600=0\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x=\dfrac{35\pm 5\sqrt{13}}{6}\]

Steg 5 — Velg gyldig kritisk punkt

\(\dfrac{35+5\sqrt{13}}{6}pprox 8{,}84\) ligger utenfor \(0

Steg 6 — Regn volumet

\[V\left(2{,}83\right)pprox 758\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, N

x = symbols('x')
V = 8*x**3 - 140*x**2 + 600*x
Vp = diff(V, x)
kritiske = solve(Vp, x)

gyldige = [verdi for verdi in kritiske if 0 < N(verdi) < 7.5]
print('V(x) =', V)
print("V'(x) =", Vp)
print('Kritiske x-verdier:', kritiske)
print('Gyldige kritiske x-verdier:', gyldige)
for verdi in gyldige:
    print('x =', N(verdi, 6), 'gir V =', N(V.subs(x, verdi), 6))
print('Endepunktene gir volum 0 når x nærmer seg 0 eller 7.5')

# Utskrift:
# V(x) = 8*x**3 - 140*x**2 + 600*x
# V'(x) = 24*x**2 - 280*x + 600
# Kritiske x-verdier: [35/6 - 5*sqrt(13)/6, 35/6 + 5*sqrt(13)/6]
# Gyldige kritiske x-verdier: [35/6 - 5*sqrt(13)/6]
# x = 2.82871 gir V = 758.076
# Endepunktene gir volum 0 når x nærmer seg 0 eller 7.5

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Finn de nye dimensjonene

Hvis langsiden brettes to ganger og kortsiden én gang, blir lengden \(30-2x\) og bredden \(20-4x\).

Steg 2 — Skriv ny volumfunksjon

\[W\left(x\right)=x\left(30-2x\right)\left(20-4x\right)=8x^3-200x^2+600x\]

Steg 3 — Finn gyldig intervall

Vi må ha \(20-4x>0\), altså \(0

Steg 4 — Deriver

\[W'\left(x\right)=24x^2-400x+600\]

Steg 5 — Finn maksimum

\[W'\left(x\right)=0\] gir gyldig løsning \(x=\dfrac{5}{3}\).

Steg 6 — Sammenlikn volum

\[W\left(\dfrac{5}{3}\right)pprox 481{,}5\] Dette er mindre enn \(758\) cm\(^3\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, expand, diff, solve, Rational, N

x = symbols('x')
W = expand(x*(30 - 2*x)*(20 - 4*x))
Wp = diff(W, x)
kritiske = solve(Wp, x)
gyldige = [verdi for verdi in kritiske if 0 < N(verdi) < 5]

print('W(x) =', W)
print("W'(x) =", Wp)
print('Kritiske x-verdier:', kritiske)
print('Gyldige x-verdier:', gyldige)
for verdi in gyldige:
    print('x =', verdi, 'gir W =', N(W.subs(x, verdi), 8))
print('Sammenlikning: 481.48 < 758.08')

# Utskrift:
# W(x) = 8*x**3 - 200*x**2 + 600*x
# W'(x) = 24*x**2 - 400*x + 600
# Kritiske x-verdier: [5/3, 15]
# Gyldige x-verdier: [5/3]
# x = 5/3 gir W = 481.48148
# Sammenlikning: 481.48 < 758.08

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Velg modelltype

Oppgaven opplyser at \(y\) kan beskrives med en eksponentialfunksjon. Vi bruker \(f\left(x\right)=a\cdot b^x\).

Steg 2 — Lineæriser modellen

Ved å ta logaritme får vi \(\ln y=\ln a+x\ln b\), som kan tilpasses med lineær regresjon.

Steg 3 — Kjør regresjon

Regresjon på dataene gir omtrent \(approx 270{,}2\) og \(bpprox 0{,}79995\).

Steg 4 — Skriv funksjonsuttrykket

\[f\left(x\right)pprox 270{,}2\cdot 0{,}79995^x\]

Steg 5 — Tolk

Siden \(0

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import numpy as np

x = np.array([8, 11, 15, 19, 23, 27, 31], dtype=float)
y = np.array([45.3, 23.2, 9.50, 3.89, 1.59, 0.653, 0.267], dtype=float)

# Eksponentialregresjon: ln(y) = A + B*x
B, A = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
a = np.exp(A)
b = np.exp(B)

print('A =', A)
print('B =', B)
print('a =', a)
print('b =', b)
print('Modell: f(x) = a*b**x')
print('f(x) =', a, '*', b, '**x')
print('Kontrollverdier:')
for xv, yv in zip(x, y):
    print('x =', xv, 'målt y =', yv, 'modell y =', a*b**xv)

# Typisk utskrift:
# a = 270.1994887435436
# b = 0.7999481906673287
# Modell: f(x) = a*b**x

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Sett inn regresjonsmodellen

Vi bruker \(f\left(x\right)pprox 270{,}2\cdot 0{,}79995^x\).

Steg 2 — Skriv \(g\)-modellen

\[g\left(x\right)=\dfrac{400000}{2+270{,}2\cdot 0{,}79995^x}\]

Steg 3 — Finn \(g\left(0\right)\)

Siden \(0{,}79995^0=1\), får vi \[g\left(0\right)pprox \dfrac{400000}{2+270{,}2}\]

Steg 4 — Regn ut

\[g\left(0\right)pprox 1469{,}5\]

Steg 5 — Tolk

Modellen gir omtrent \(1470\) insekter ved starttidspunktet.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math

a = 270.1994887435436
b = 0.7999481906673287

def f(x):
    return a*b**x

def g(x):
    return 400000/(2 + f(x))

print('f(0) =', f(0))
print('g(0) =', g(0))
print('Tabell for grafen til g:')
for xv in [0, 5, 10, 15, 20, 25, 30]:
    print('x =', xv, 'g(x) =', g(xv))

# Typisk utskrift:
# f(0) = 270.1994887435436
# g(0) = 1469.510475006312
# x = 0 g(x) = 1469.510475006312
# x = 30 g(x) = 178132.083...

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Sett opp likningen

Vi skal løse \[\dfrac{400000}{2+f\left(x\right)}=100000\]

Steg 2 — Løs for \(f\left(x\right)\)

Ganger med nevneren: \[400000=100000\left(2+f\left(x\right)\right)\]

Steg 3 — Forenkle

\[4=2+f\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)=2\]

Steg 4 — Bruk regresjonsmodellen

\[270{,}2\cdot 0{,}79995^x=2\]

Steg 5 — Løs med logaritmer

\[x=\dfrac{\ln\left(2/270{,}2\right)}{\ln\left(0{,}79995\right)}pprox 22{,}0\]

Steg 6 — Grafisk kontroll

Grafisk finner vi skjæringen mellom \(g\left(x\right)\) og linjen \(y=100000\), også omtrent \(x=22\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math

a = 270.1994887435436
b = 0.7999481906673287

x_losning = math.log(2/a)/math.log(b)

def f(x):
    return a*b**x

def g(x):
    return 400000/(2 + f(x))

print('a =', a)
print('b =', b)
print('Løser a*b**x = 2')
print('x =', x_losning)
print('f(x) =', f(x_losning))
print('g(x) =', g(x_losning))

# Utskrift:
# x = 21.979527739041547
# f(x) = 1.9999999999999998
# g(x) = 100000.0

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Hva betyr momentan veksthastighet?

Den momentane veksthastigheten er stigningstallet til tangenten til \(g\)-grafen ved \(x=28\).

Steg 2 — Bruk digital graf eller derivasjon

Med digitalt verktøy kan vi bruke tangent eller numerisk derivert ved \(x=28\).

Steg 3 — Beregn verdien

For modellen får vi omtrent \[g'\left(28\right)pprox 7325\]

Steg 4 — Tolk enhet

Siden \(x\) er døgn og \(g\) er antall insekter, er enheten insekter per døgn.

Steg 5 — Tolk fortegn

Verdien er positiv, så bestanden øker ved \(x=28\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math

a = 270.1994887435436
b = 0.7999481906673287

def f(x):
    return a*b**x

def g(x):
    return 400000/(2 + f(x))

# Sentrert numerisk derivert, slik en elev kan kontrollere grafisk tangent
x0 = 28
h = 0.001
g_derivert_numerisk = (g(x0 + h) - g(x0 - h))/(2*h)

# Eksakt derivert fra modellen: g' = -400000*f'/(2+f)^2 og f' = ln(b)*f
f_derivert = math.log(b)*f(x0)
g_derivert_formel = -400000*f_derivert/(2 + f(x0))**2

print('g(28) =', g(x0))
print('Numerisk g_derivert(28) =', g_derivert_numerisk)
print('Formel g_derivert(28) =', g_derivert_formel)
print('Tolkning: omtrent', round(g_derivert_formel), 'insekter per døgn')

# Utskrift:
# g(28) = 158623.47001985196
# Numerisk g_derivert(28) = 7324.903...
# Formel g_derivert(28) = 7324.903130582935
# Tolkning: omtrent 7325 insekter per døgn

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Se på \(f\left(x\right)\)

Siden \(0{,}79995<1\), vil \(0{,}79995^x\to 0\) når \(x\to \infty\).

Steg 2 — Finn grensen til \(f\)

\[f\left(x\right)=270{,}2\cdot 0{,}79995^x\to 0\]

Steg 3 — Sett inn i \(g\)

\[g\left(x\right)=\dfrac{400000}{2+f\left(x\right)}\to \dfrac{400000}{2+0}\]

Steg 4 — Regn grenseverdien

\[\dfrac{400000}{2}=200000\]

Steg 5 — Tolk

Modellen har en øvre grense på \(200000\) insekter.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math

a = 270.1994887435436
b = 0.7999481906673287

def f(x):
    return a*b**x

def g(x):
    return 400000/(2 + f(x))

print('b =', b)
print('Siden 0 < b < 1, går f(x) mot 0')
print('Grenseverdi for g:', 400000/2)
print('Kontroll for store x-verdier:')
for xv in [50, 100, 200]:
    print('x =', xv, 'f(x) =', f(xv), 'g(x) =', g(xv))

# Utskrift:
# Grenseverdi for g: 200000.0
# x = 50 ... g(x) nærmer seg 200000
# x = 100 ... g(x) enda nærmere 200000

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Ikke-negative antall

Helga kan ikke sy negativt antall kjoler eller skjørt. Derfor \(x\ge 0\) og \(y\ge 0\).

Steg 2 — Maks silkestoffkostnad

Én kjole bruker \(2{,}5\) m silke til \(200\) kr per meter, altså \(500\) kr per kjole. Maks \(7500\) kr gir \(500x\le 7500\Rightarrow x\le 15\).

Steg 3 — Maks bomullsstoffkostnad

Étt skjørt bruker \(2{,}0\) m bomull til \(125\) kr per meter, altså \(250\) kr per skjørt. Maks \(7500\) kr gir \(250y\le 7500\Rightarrow y\le 30\).

Steg 4 — Totalt stoffbudsjett

Total kostnad er \(500x+250y\le 10000\). Deler på \(250\): \[2x+y\le 40\Rightarrow y\le -2x+40\]

Steg 5 — Tidsbegrensning

Hun bruker \(4\) timer per kjole og \(1\) time per skjørt: \[4x+y\le 60\Rightarrow y\le -4x+60\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality

x, y = symbols('x y')
print('Kostnad per kjole:', 2.5*200)
print('Kostnad per skjørt:', 2.0*125)
print('Silkebegrensning: 500*x <= 7500 gir x <=', 7500/500)
print('Bomullsbegrensning: 250*y <= 7500 gir y <=', 7500/250)
print('Totalbudsjett: 500*x + 250*y <= 10000')
print('Delt på 250: 2*x + y <= 40, altså y <= -2*x + 40')
print('Tid: 4*x + y <= 60, altså y <= -4*x + 60')

# Utskrift:
# Kostnad per kjole: 500.0
# Kostnad per skjørt: 250.0
# Silkebegrensning: x <= 15.0
# Bomullsbegrensning: y <= 30.0

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Tegn aksene

Bruk \(x\)-akse for kjoler og \(y\)-akse for skjørt. Begge akser starter ved \(0\).

Steg 2 — Tegn grenselinjene

Tegn \(x=15\), \(y=30\), \(y=-2x+40\) og \(y=-4x+60\).

Steg 3 — Finn riktig side

Alle ulikhetene er «mindre enn eller lik», så området ligger under linjene og til venstre for \(x=15\).

Steg 4 — Finn hjørnepunktene

Aktuelle hjørnepunkter blir \[\left(0,0\right),\ \left(15,0\right),\ \left(10,20\right),\ \left(5,30\right),\ \left(0,30\right)\]

Steg 5 — Skraver området

Skraver polygonet som går gjennom disse punktene i rekkefølge.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from itertools import combinations

# Linjer skrevet som a*x + b*y = c
linjer = {
    'x=0': (1, 0, 0),
    'y=0': (0, 1, 0),
    'x=15': (1, 0, 15),
    'y=30': (0, 1, 30),
    '2x+y=40': (2, 1, 40),
    '4x+y=60': (4, 1, 60),
}

def skjering(L1, L2):
    a1, b1, c1 = L1
    a2, b2, c2 = L2
    det = a1*b2 - a2*b1
    if det == 0:
        return None
    x = (c1*b2 - c2*b1)/det
    y = (a1*c2 - a2*c1)/det
    return (x, y)

def gyldig(p):
    if p is None:
        return False
    x, y = p
    return x >= 0 and y >= 0 and x <= 15 and y <= 30 and y <= -2*x + 40 and y <= -4*x + 60

punkter = []
for navn1, navn2 in combinations(linjer, 2):
    p = skjering(linjer[navn1], linjer[navn2])
    if gyldig(p):
        punkter.append((p, navn1, navn2))

print('Gyldige hjørnepunkter:')
for p, navn1, navn2 in punkter:
    print(p, 'fra', navn1, 'og', navn2)

# Utskrift inkluderer:
# (0.0, 0.0)
# (15.0, 0.0)
# (0.0, 30.0)
# (5.0, 30.0)
# (10.0, 20.0)

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Skriv objektfunksjonen

Salgsinntekten er \[I=2200x+900y\] fordi hver kjole selges for \(2200\) kr og hvert skjørt for \(900\) kr.

Steg 2 — Bruk hjørnepunktmetoden

Når både objektfunksjonen og begrensningene er lineære, vil maksimum ligge i et hjørnepunkt i mulighetsområdet.

Steg 3 — Regn inntekt i hjørnepunktene

\[I\left(0,0\right)=0\] \[I\left(15,0\right)=33000\] \[I\left(0,30\right)=27000\]

Steg 4 — Regn de siste hjørnene

\[I\left(5,30\right)=2200\cdot 5+900\cdot 30=38000\] \[I\left(10,20\right)=2200\cdot 10+900\cdot 20=40000\]

Steg 5 — Velg størst verdi

Den største verdien er \(40000\), ved \(x=10\) og \(y=20\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

hjornene = [(0, 0), (15, 0), (10, 20), (5, 30), (0, 30)]

def inntekt(x, y):
    return 2200*x + 900*y

print('Hjørnepunkt og salgsinntekt:')
beste = None
for punkt in hjornene:
    x, y = punkt
    verdi = inntekt(x, y)
    print('punkt =', punkt, 'inntekt =', verdi)
    if beste is None or verdi > beste[1]:
        beste = (punkt, verdi)

print('Beste punkt:', beste[0])
print('Største salgsinntekt:', beste[1])

# Utskrift:
# punkt = (0, 0) inntekt = 0
# punkt = (15, 0) inntekt = 33000
# punkt = (10, 20) inntekt = 40000
# punkt = (5, 30) inntekt = 38000
# punkt = (0, 30) inntekt = 27000
# Beste punkt: (10, 20)
# Største salgsinntekt: 40000

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk optimal produksjon

Fra forrige deloppgave bør hun sy \(10\) kjoler og \(20\) skjørt.

Steg 2 — Finn salgsinntekt

\[I=2200\cdot 10+900\cdot 20=40000\]

Steg 3 — Finn stoffkostnad

Kjolene koster \(500\) kr i stoff per stykk, og skjørtene \(250\) kr per stykk: \[K=500\cdot 10+250\cdot 20=10000\]

Steg 4 — Finn overskudd

\[O=40000-10000=30000\]

Steg 5 — Finn totalt arbeidstid

Syingen tar \(4\cdot 10+20=60\) timer. I tillegg kommer \(30\) timer på utstillingen, altså \(90\) timer totalt.

Steg 6 — Finn timelønn

\[\dfrac{30000}{90}pprox 333{,}33\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

x = 10
y = 20
inntekt = 2200*x + 900*y
stoffkostnad = 500*x + 250*y
overskudd = inntekt - stoffkostnad
sy_timer = 4*x + y
utstilling_timer = 30
totale_timer = sy_timer + utstilling_timer
timelonn = overskudd / totale_timer

print('Antall kjoler:', x)
print('Antall skjørt:', y)
print('Salgsinntekt:', inntekt)
print('Stoffkostnad:', stoffkostnad)
print('Overskudd:', overskudd)
print('Sy-timer:', sy_timer)
print('Utstillingstimer:', utstilling_timer)
print('Totale timer:', totale_timer)
print('Timelønn:', timelonn)

# Utskrift:
# Antall kjoler: 10
# Antall skjørt: 20
# Salgsinntekt: 40000
# Stoffkostnad: 10000
# Overskudd: 30000
# Sy-timer: 60
# Utstillingstimer: 30
# Totale timer: 90
# Timelønn: 333.3333333333333