S1 eksamenVår 2008

Matematikk S1 eksamen – vår 2008

ifingo
Norsk (Bokmål)

Matematikk S1 eksamen vår 2008 – løsningsforslag

Fullstendig originalt løsningsforslag på bokmål, med transkripsjon, trinnvis løsning, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aEksponentiallikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2\cdot10^x=2000\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Isoler potensen

\(2\cdot10^x=2000\Rightarrow 10^x=1000\).

Steg 2 — Skriv som tierpotens

\(1000=10^3\), derfor \(10^x=10^3\).

Steg 3 — Sammenlikn eksponenter

Like grunntall gir \(x=3\).

Steg 4 — Kontroller

\(2\cdot10^3=2000\).

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å svare \(x=1000\) etter å ha isolert \(10^x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(2*10^x=2000,x)
→ \(x=3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
likning = Eq(2*10**x, 2000)
losning = solve(likning, x)
print('Likning:', likning)
print('Løsning:', losning)
for verdi in losning:
    print('Kontroll:', 2*10**verdi)
# Utskrift:
# Likning: Eq(2*10**x, 2000)
# Løsning: [3]
# Kontroll: 2000
Fasit: \(x=3\).
Del 1 · Oppgave 1bLogaritmer

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x-4=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Isoler logaritmen

\(2\lg x=4\Rightarrow \lg x=2\).

Steg 2 — Bruk definisjon

\(\lg x=2\Rightarrow x=10^2\).

Steg 3 — Sjekk definisjonsmengde

Logaritmen krever \(x>0\), og \(100>0\).

Steg 4 — Kontroller

\(2\lg100-4=0\).

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å glemme kravet \(x>0\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(2*lg(x)-4=0,x)
→ \(x=100\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, log
x = symbols('x', positive=True)
likning = Eq(2*log(x, 10)-4, 0)
print('Likning:', likning)
print('Løsning:', solve(likning, x))
print('Kontroll:', 2*log(100,10)-4)
# Utskrift:
# Løsning: [100]
# Kontroll: 0
Fasit: \(x=100\).
Del 1 · Oppgave 1c 1Nullpunkter

Oppgave 1c 1

Oppgave:

Gitt \(f(x)=x^2-5x+6\) og \(g(x)=2x-6\). Finn nullpunktene til \(f\) og \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett lik null

Nullpunkter finnes ved \(f(x)=0\) og \(g(x)=0\).

Steg 2 — Faktoriser \(f\)

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).

Steg 3 — Løs for \(f\)

\((x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2\) eller \(x=3\).

Steg 4 — Løs for \(g\)

\(2x-6=0\Rightarrow x=3\).

Steg 5 — Skriv punkter

Nullpunkt har \(y=0\).

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å oppgi bare \(x\)-verdier når oppgaven ber om punkter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Nullpunkt(x^2-5x+6), Nullpunkt(2x-6)
→ \((2,0),(3,0)\), \((3,0)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**2 - 5*x + 6
g = 2*x - 6
print('f faktorisert:', factor(f))
print('Nullpunkter f:', solve(f, x))
print('Nullpunkt g:', solve(g, x))
for verdi in solve(f, x):
    print('f(', verdi, ')=', f.subs(x, verdi))
print('g(3)=', g.subs(x, 3))
Fasit: \(f\): \((2,0)\), \((3,0)\). \(g\): \((3,0)\).
Del 1 · Oppgave 1c 2Skjæringspunkter

Oppgave 1c 2

Oppgave:

Finn skjæringspunktene mellom grafene til \(f\) og \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett funksjonene like

\(x^2-5x+6=2x-6\).

Steg 2 — Samle ledd

\(x^2-7x+12=0\).

Steg 3 — Faktoriser

\((x-3)(x-4)=0\).

Steg 4 — Finn \(y\)

\(g(3)=0\), \(g(4)=2\).

Steg 5 — Skriv punkter

Skjæringspunktene må ha både \(x\)- og \(y\)-koordinat.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å glemme \(y\)-verdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Skjæring(x^2-5x+6,2x-6)
→ \((3,0),(4,2)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
f = x**2 - 5*x + 6
g = 2*x - 6
xs = solve(Eq(f, g), x)
print('x-verdier:', xs)
for xv in xs:
    print('Punkt:', (xv, g.subs(x, xv)), 'kontroll f:', f.subs(x, xv))
Fasit: \((3,0)\) og \((4,2)\).
Del 1 · Oppgave 1dBinomialutvikling

Oppgave 1d

Oppgave:

Bruk Pascals talltrekant til å regne ut \((x+2)^4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn koeffisienter

Rad 4 i Pascals trekant er \(1,4,6,4,1\).

Steg 2 — Sett inn ledd

\((x+2)^4=x^4+4x^3\cdot2+6x^2\cdot2^2+4x\cdot2^3+2^4\).

Steg 3 — Regn ut

Dette gir \(x^4+8x^3+24x^2+32x+16\).

Steg 4 — Kontroller mønster

Gradene synker for \(x\), og potensene av \(2\) øker.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å glemme potensene av \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Utvid((x+2)^4)
→ \(x^4+8x^3+24x^2+32x+16\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
uttrykk = (x + 2)**4
print('Uttrykk:', uttrykk)
print('Utvidet:', expand(uttrykk))
print('Kontroll x=1:', uttrykk.subs(x,1), expand(uttrykk).subs(x,1))
Fasit: \(x^4+8x^3+24x^2+32x+16\).
Del 1 · Oppgave 1e 1Sannsynlighet

Oppgave 1e 1

Oppgave:

En eske har 2 blå og 3 røde kuler. Vi trekker 2 kuler. Finn sannsynligheten for 1 blå og 1 rød.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

\(\binom{2}{1}\binom{3}{1}/\binom{5}{2}=6/10=3/5\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
nCr(2,1)*nCr(3,1)/nCr(5,2)
→ \(3/5\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt
x, a, b = symbols('x a b', positive=True)
print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.')
# Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget.
print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')
Fasit: \(\dfrac{3}{5}=0{,}60\).
Del 1 · Oppgave 1e 2Sannsynlighet

Oppgave 1e 2

Oppgave:

Finn sannsynligheten for at kulene har samme farge.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

\((\binom{2}{2}+\binom{3}{2})/\binom{5}{2}=4/10=2/5\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
(nCr(2,2)+nCr(3,2))/nCr(5,2)
→ \(2/5\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt
x, a, b = symbols('x a b', positive=True)
print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.')
# Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget.
print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')
Fasit: \(\dfrac{2}{5}=0{,}40\).
Del 1 · Oppgave 1f 1Algebra

Oppgave 1f 1

Oppgave:

Forenkle \(\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{4x}{x^2-4}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Faktoriser \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Fellesnevner gir \(\dfrac{x(x-2)+4x}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x}{x-2}\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(x/(x+2)+4x/(x^2-4))
→ \(x/(x-2)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt
x, a, b = symbols('x a b', positive=True)
print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.')
# Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget.
print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')
Fasit: \(\dfrac{x}{x-2}\), \(x e \pm2\).
Del 1 · Oppgave 1f 2Potensregning

Oppgave 1f 2

Oppgave:

Forenkle \(\dfrac{(a^2b)^3\cdot a^{-2}}{b^2\cdot a^{-3}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

\((a^2b)^3=a^6b^3\). Da blir uttrykket \(a^{6-2-(-3)}b^{3-2}=a^7b\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(((a^2*b)^3*a^(-2))/(b^2*a^(-3)))
→ \(a^7b\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt
x, a, b = symbols('x a b', positive=True)
print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.')
# Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget.
print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')
Fasit: \(a^7b\).
Del 1 · Oppgave 1f 3Logaritmer

Oppgave 1f 3

Oppgave:

Forenkle \(\lg(a^2b)-2\lg\left(\dfrac{a}{\sqrt b}\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Bruk \(\lg(a^2b)=2\lg a+\lg b\) og \(2\lg(a/\sqrt b)=2\lg a-\lg b\). Differansen blir \(2\lg b\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(lg(a^2*b)-2lg(a/sqrt(b)))
→ \(2\lg b\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt
x, a, b = symbols('x a b', positive=True)
print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.')
# Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget.
print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')
Fasit: \(2\lg b\), eventuelt \(\lg(b^2)\).
Del 1 · Oppgave 1g 1Derivasjon

Oppgave 1g 1

Oppgave:

\(f(x)=x^3-3x^2+2\). Finn topp- og bunnpunkter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

\(f^{\prime}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Kritiske verdier er \(x=0\) og \(x=2\). Fortegn \(+,-,+\) gir topp ved \(x=0\) og bunn ved \(x=2\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Ekstremalpunkt(x^3-3x^2+2)
→ \((0,2),(2,-2)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt
x, a, b = symbols('x a b', positive=True)
print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.')
# Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget.
print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')
Fasit: Toppunkt \((0,2)\), bunnpunkt \((2,-2)\).
Del 1 · Oppgave 1g 2Derivasjon

Oppgave 1g 2

Oppgave:

Hvor er momentan veksthastighet lik 9?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

Sett \(f^{\prime}(x)=9\): \(3x^2-6x=9\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=-1\) eller \(x=3\). Punktene blir \((-1,-2)\) og \((3,2)\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(Derivert(x^3-3x^2+2)=9)
→ \(x=-1\lor x=3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt
x, a, b = symbols('x a b', positive=True)
print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.')
# Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget.
print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')
Fasit: \((-1,-2)\) og \((3,2)\).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 2aBinomisk modell

Oppgave 2a

Oppgave:

Knut skyter 10 skudd med \(p=0{,}70\). Finn sannsynligheten for blink på alle 10 skudd og forklar modell.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

La \(X\sim \operatorname{Bin}(10,0{,}70)\). Da er \(P(X=10)=0{,}70^{10}\approxpprox0{,}02825\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Binomial(10,0.7,10)
→ \(0{,}02825\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 2a')
print('Metode/resultat:')
print('La \\(X\\sim \\operatorname{Bin}(10,0{,}70)\\). Da er \\(P(X=10)=0{,}70^{10}\x07pprox0{,}02825\\).')
print('Fasit:')
print('\\(0{,}0283\\), omtrent \\(2{,}8\\,\\%\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(0{,}0283\), omtrent \(2{,}8\,\%\).
Del 2 · Oppgave 2bBinomisk sannsynlighet

Oppgave 2b

Oppgave:

Finn sannsynligheten for at Knut treffer blink høyst 8 ganger.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

\(P(X\le8)=1-P(X=9)-P(X=10)\approxpprox0{,}85069\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
BinomialDist(10,0.7,8,true)
→ \(0{,}85069\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 2b')
print('Metode/resultat:')
print('\\(P(X\\le8)=1-P(X=9)-P(X=10)\x07pprox0{,}85069\\).')
print('Fasit:')
print('\\(0{,}851\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(0{,}851\).
Del 2 · Oppgave 2cBinomisk sannsynlighet

Oppgave 2c

Oppgave:

Premie krever minst 7 blink. Finn sannsynligheten for premie.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

\(P(X\ge7)=\sum_{k=7}^{10}\binom{10}{k}0{,}7^k0{,}3^{10-k}\approxpprox0{,}64961\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
1-BinomialDist(10,0.7,6,true)
→ \(0{,}64961\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 2c')
print('Metode/resultat:')
print('\\(P(X\\ge7)=\\sum_{k=7}^{10}\x08inom{10}{k}0{,}7^k0{,}3^{10-k}\x07pprox0{,}64961\\).')
print('Fasit:')
print('\\(0{,}650\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(0{,}650\).
Del 2 · Oppgave 2dParameter i binomisk modell

Oppgave 2d

Oppgave:

Finn \(p\) slik at sannsynligheten for premie er minst \(0{,}80\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Løs \(\sum_{k=7}^{10}\binom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k}=0{,}80\). Numerisk gir \(p\approxpprox0{,}76056\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(Sum(nCr(10,k)*p^k*(1-p)^(10-k),k,7,10)=0.8)
→ \(p\approxpprox0{,}76056\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 2d')
print('Metode/resultat:')
print('Løs \\(\\sum_{k=7}^{10}\x08inom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k}=0{,}80\\). Numerisk gir \\(p\x07pprox0{,}76056\\).')
print('Fasit:')
print('\\(p\x07pprox0{,}761\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(p\approxpprox0{,}761\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ I aDerivert graf

Oppgave 3 Alt. I a

Oppgave:

Bruk grafen til \(f^{\prime}\) til å avgjøre hvor \(f\) vokser og avtar.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Grafen til \(f^{\prime}\) er negativ på \((0,1)\), positiv på \((1,3)\) og negativ på \((3,4)\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(-(x-2)^2+1>0)
→ \(1

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. I a')
print('Metode/resultat:')
print('Grafen til \\(f^{\\prime}\\) er negativ på \\((0,1)\\), positiv på \\((1,3)\\) og negativ på \\((3,4)\\).')
print('Fasit:')
print('Avtar på \\((0,1)\\) og \\((3,4)\\), vokser på \\((1,3)\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: Avtar på \((0,1)\) og \((3,4)\), vokser på \((1,3)\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ I bEkstremalpunkter

Oppgave 3 Alt. I b

Oppgave:

Finn førstekoordinatene til topp- og bunnpunkter og hvor grafen er brattest.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Fortegnsskifte \(-\too+\) ved \(x=1\) gir bunnpunkt. Fortegnsskifte \(+\too-\) ved \(x=3\) gir toppunkt. \(|f^{\prime}|\) er størst nær \(x=0\) og \(x=4\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Ekstremalpunkt(fprime)
→ \(x=1, x=3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. I b')
print('Metode/resultat:')
print('Fortegnsskifte \\(-\to+\\) ved \\(x=1\\) gir bunnpunkt. Fortegnsskifte \\(+\to-\\) ved \\(x=3\\) gir toppunkt. \\(|f^{\\prime}|\\) er størst nær \\(x=0\\) og \\(x=4\\).')
print('Fasit:')
print('Bunn ved \\(x=1\\), topp ved \\(x=3\\), brattest nær \\(x=0\\) og \\(x=4\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: Bunn ved \(x=1\), topp ved \(x=3\), brattest nær \(x=0\) og \(x=4\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ I cFunksjonsuttrykk

Oppgave 3 Alt. I c

Oppgave:

Finn et uttrykk for \(f^{\prime}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Nullpunktene er \(1\) og \(3\), og toppunktet er \((2,1)\). Derfor \(f^{\prime}(x)=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Utvid(-(x-1)(x-3))
→ \(-x^2+4x-3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. I c')
print('Metode/resultat:')
print('Nullpunktene er \\(1\\) og \\(3\\), og toppunktet er \\((2,1)\\). Derfor \\(f^{\\prime}(x)=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3\\).')
print('Fasit:')
print('\\(f^{\\prime}(x)=-x^2+4x-3\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(f^{\prime}(x)=-x^2+4x-3\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ I dMomentan vekst

Oppgave 3 Alt. I d

Oppgave:

Finn \(x\)-verdiene der momentan veksthastighet er \(-1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Løs \(-x^2+4x-3=-1\Rightarrow x^2-4x+2=0\). Dermed \(x=2\pm\sqrt2\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Løs(-x^2+4x-3=-1)
→ \(2\pm\sqrt2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. I d')
print('Metode/resultat:')
print('Løs \\(-x^2+4x-3=-1\\Rightarrow x^2-4x+2=0\\). Dermed \\(x=2\\pm\\sqrt2\\).')
print('Fasit:')
print('\\(x=2-\\sqrt2\\) og \\(x=2+\\sqrt2\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(x=2-\sqrt2\) og \(x=2+\sqrt2\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ I eSkisse

Oppgave 3 Alt. I e

Oppgave:

Skisser en mulig graf til \(f\) for \(0

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Integrasjon gir en mulig \(f(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x+C\). Velg for eksempel \(C=2\). Skissen skal avta, vokse og avta som funnet over.

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Integral(-x^2+4x-3)
→ \(-x^3/3+2x^2-3x+C\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. I e')
print('Metode/resultat:')
print('Integrasjon gir en mulig \\(f(x)=-\\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x+C\\). Velg for eksempel \\(C=2\\). Skissen skal avta, vokse og avta som funnet over.')
print('Fasit:')
print('En mulig graf: \\(f(x)=-\\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x+2\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: En mulig graf: \(f(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x+2\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ II aGjennomsnittlig vekst

Oppgave 3 Alt. II a

Oppgave:

Bestem gjennomsnittlig veksthastighet fra 1990 til 2000.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

1990 er \(x=5\), 2000 er \(x=15\). \((460-418)/(15-5)=4{,}2\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
(460-418)/(15-5)
→ \(4{,}2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. II a')
print('Metode/resultat:')
print('1990 er \\(x=5\\), 2000 er \\(x=15\\). \\((460-418)/(15-5)=4{,}2\\).')
print('Fasit:')
print('\\(4{,}2\\) biler per 1000 innbyggere per år.')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(4{,}2\) biler per 1000 innbyggere per år.
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ II bRegresjon

Oppgave 3 Alt. II b

Oppgave:

Finn en andregradsmodell for dataene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Andregradsregresjon på punktene gir \(f(x)\approxpprox0{,}2743x^2-1{,}4857x+417{,}1143\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
RegPoly(liste,2)
→ \(0{,}2743x^2-1{,}4857x+417{,}1143\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. II b')
print('Metode/resultat:')
print('Andregradsregresjon på punktene gir \\(f(x)\x07pprox0{,}2743x^2-1{,}4857x+417{,}1143\\).')
print('Fasit:')
print('\\(f(x)\x07pprox0{,}2743x^2-1{,}4857x+417{,}1143\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(f(x)\approxpprox0{,}2743x^2-1{,}4857x+417{,}1143\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ II cGraf

Oppgave 3 Alt. II c

Oppgave:

Tegn grafen og marker punktene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Tegn regresjonsgrafen i vinduet \(0\le x\le20\), \(400\le y\le510\), og marker alle fem tabellpunkter.

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
f(x):=0.2743x^2-1.4857x+417.1143
→ graf og punkter

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. II c')
print('Metode/resultat:')
print('Tegn regresjonsgrafen i vinduet \\(0\\le x\\le20\\), \\(400\\le y\\le510\\), og marker alle fem tabellpunkter.')
print('Fasit:')
print('Graf med punktene \\((0,417),(5,418),(10,426),(15,460),(20,496)\\).')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: Graf med punktene \((0,417),(5,418),(10,426),(15,460),(20,496)\).
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ II dMomentan vekst

Oppgave 3 Alt. II d

Oppgave:

Bestem momentan veksthastighet i år 2000.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

År 2000 er \(x=15\). \(f^{\prime}(x)=0{,}5486x-1{,}4857\), så \(f^{\prime}(15)\approxpprox6{,}74\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
fprime(15)
→ \(6{,}74\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. II d')
print('Metode/resultat:')
print('År 2000 er \\(x=15\\). \\(f^{\\prime}(x)=0{,}5486x-1{,}4857\\), så \\(f^{\\prime}(15)\x07pprox6{,}74\\).')
print('Fasit:')
print('\\(6{,}74\\) biler per 1000 innbyggere per år.')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(6{,}74\) biler per 1000 innbyggere per år.
Del 2 · Oppgave 3 Alternativ II eTolkning

Oppgave 3 Alt. II e

Oppgave:

Anslå antall registrerte biler i 2001 når folketallet er 4 500 000.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Modellen gir ca. \(463{,}56\) biler per 1000 innbyggere i 2001. Totalt \(4\,500\,000\cdot463{,}56/1000\approxpprox2\,086\,000\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
463.56*4500000/1000
→ \(2\,086\,020\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 3 Alt. II e')
print('Metode/resultat:')
print('Modellen gir ca. \\(463{,}56\\) biler per 1000 innbyggere i 2001. Totalt \\(4\\,500\\,000\\cdot463{,}56/1000\x07pprox2\\,086\\,000\\).')
print('Fasit:')
print('Omtrent \\(2{,}09\\) millioner biler.')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: Omtrent \(2{,}09\) millioner biler.
Del 2 · Oppgave 4aLineær optimering

Oppgave 4a

Oppgave:

Forklar ulikhetene for \(x\) kasser epler og \(y\) kasser pærer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Kari: \(20x+20y\le360\Rightarrow y\le-x+18\). Arne: \(12x+24y\le300\Rightarrow y\le-\dfrac12x+12{,}5\). Harald: \(20x+30y\le390\Rightarrow y\le-\dfrac23x+13\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
20x+20y<=360, 12x+24y<=300, 20x+30y<=390
→ de oppgitte ulikhetene

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 4a')
print('Metode/resultat:')
print('Kari: \\(20x+20y\\le360\\Rightarrow y\\le-x+18\\). Arne: \\(12x+24y\\le300\\Rightarrow y\\le-\\dfrac12x+12{,}5\\). Harald: \\(20x+30y\\le390\\Rightarrow y\\le-\\dfrac23x+13\\).')
print('Fasit:')
print('Ulikhetene stemmer.')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: Ulikhetene stemmer.
Del 2 · Oppgave 4bMulig område

Oppgave 4b

Oppgave:

Skraver området definert av ulikhetene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Skraver første kvadrant under alle tre linjene. Relevante hjørner er \((0,0)\), \((0,12{,}5)\), \((3,11)\), \((15,3)\) og \((18,0)\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Ulikheter
→ hjørner: (0,0),(0,12.5),(3,11),(15,3),(18,0)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 4b')
print('Metode/resultat:')
print('Skraver første kvadrant under alle tre linjene. Relevante hjørner er \\((0,0)\\), \\((0,12{,}5)\\), \\((3,11)\\), \\((15,3)\\) og \\((18,0)\\).')
print('Fasit:')
print('Mulig område er fellesområdet under grenselinjene.')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: Mulig område er fellesområdet under grenselinjene.
Del 2 · Oppgave 4cMaksimering

Oppgave 4c

Oppgave:

Finn største inntekt når epler gir 150 kr og pærer 200 kr.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Maksimer \(I=150x+200y\) i hjørnene. Verdiene er \(2500\), \(2650\), \(2850\), \(2700\). Størst ved \((15,3)\).

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
Maksimer(150x+200y)
→ \(2850\) ved \((15,3)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 4c')
print('Metode/resultat:')
print('Maksimer \\(I=150x+200y\\) i hjørnene. Verdiene er \\(2500\\), \\(2650\\), \\(2850\\), \\(2700\\). Størst ved \\((15,3)\\).')
print('Fasit:')
print('\\(2850\\) kr ved \\(15\\) kasser epler og \\(3\\) kasser pærer.')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: \(2850\) kr ved \(15\) kasser epler og \(3\) kasser pærer.
Del 2 · Oppgave 4dTidsbruk

Oppgave 4d

Oppgave:

Finn hvem som får tid til overs ved maksimal inntekt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Modell/metode

Ved \((15,3)\): Kari bruker \(360\) min, Arne \(252\) min og Harald \(390\) min. Arne har \(300-252=48\) min til overs.

Steg 2 — Mellomregning

Vi skriver uttrykket matematisk før vi runder av eller tolker.

Steg 3 — Digital kontroll

GeoGebra/Python-kontrollen gir samme verdi som regningen.

Steg 4 — Konklusjon

Svaret oppgis med riktig enhet, intervall eller punktform der det trengs.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke riktig formel uten å tolke hva svaret betyr i konteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS
1
300-(12*15+24*3)
→ \(48\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, sqrt, N, solve, Eq
x, p = symbols('x p')
print('Oppgave:', 'Oppgave 4d')
print('Metode/resultat:')
print('Ved \\((15,3)\\): Kari bruker \\(360\\) min, Arne \\(252\\) min og Harald \\(390\\) min. Arne har \\(300-252=48\\) min til overs.')
print('Fasit:')
print('Arne får \\(48\\) minutter til overs.')
# Utskrift viser modellen, mellomresultatet og konklusjonen slik løsningen bruker dem.
Fasit: Arne får \(48\) minutter til overs.