Flytt alle ledd til én side:

\[x^2-2x-8=0\]

Vi faktoriserer fordi to tall med produkt \(-8\) og sum \(-2\) er \(-4\) og \(2\):

\[(x-4)(x+2)=0\]

Nullproduktregelen gir \(x-4=0\) eller \(x+2=0\).

Når \(\lg(A)=1\), må \(A=10^1=10\). Derfor får vi

\[3x+4=10\]

\[3x=6\]

\[x=2\]

Definisjonsmengden krever \(3x+4>0\), altså \(x>-\frac{4}{3}\). Løsningen \(x=2\) er derfor gyldig.

Først bruker vi potensreglene:

\[(ab^{-1})^3=a^3b^{-3}\]

Telleren blir da \(18b^4\cdot a^3b^{-3}=18a^3b\).

Nevneren blir

\[(3ab^2)^3=27a^3b^6\]

Dermed:

\[\frac{18a^3b}{27a^3b^6}=\frac{2}{3b^5}\]

Vi samler logaritmene:

\[\lg(2a)+\lg(5a)=\lg(10a^2)\]

Deretter trekker vi fra:

\[\lg(10a^2)-\lg a-\lg\left(\frac{a}{10^3}\right)\]

Dette tilsvarer

\[\lg\left(\frac{10a^2}{a\cdot \frac{a}{10^3}}\right)=\lg(10^4)=4\]

Uttrykket er definert for \(a>0\).

I Pascals talltrekant er hvert tall summen av de to tallene rett over. Derfor får vi

\[(y+42)+x=2x\]

og

\[x+y=210\]

Den første likningen gir \(x-y=42\). Vi løser systemet:

\[\begin{aligned}x-y&=42\\x+y&=210\end{aligned}\]

Adderer vi likningene, får vi \(2x=252\), altså \(x=126\). Da blir \(y=210-126=84\).

Rekkefølgen på bøkene spiller ingen rolle. Derfor bruker vi kombinasjoner:

\[\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56\]

Det finnes \(\binom{8}{4}=70\) mulige utvalg av 4 bøker. For å få alle de 3 riktige må han velge alle de riktige og én av de 5 andre:

\[\binom{3}{3}\binom{5}{1}=5\]

Sannsynligheten blir

\[\frac{5}{70}=\frac{1}{14}\approx0{,}0714\]

Vi tar med to tilfeller: nøyaktig 2 riktige og nøyaktig 3 riktige.

\[P(X\ge2)=\frac{\binom{3}{2}\binom{5}{2}+\binom{3}{3}\binom{5}{1}}{\binom{8}{4}}\]

\[P(X\ge2)=\frac{30+5}{70}=\frac{35}{70}=\frac{1}{2}\]

Vi deriverer:

\[K\prime(x)=0{,}8x+400\]

Setter inn \(x=200\):

\[K\prime(200)=0{,}8\cdot200+400=560\]

Dette betyr at når produksjonen er omtrent 200 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 560 kroner per ekstra enhet.

Overskuddet er

\[O(x)=I(x)-K(x)=(-0{,}6x^2+800x)-(0{,}4x^2+400x+30\,000)\]

\[O(x)=-x^2+400x-30\,000\]

Parabelen vender nedover. Toppunktet ligger ved

\[x=\frac{-b}{2a}=\frac{-400}{2\cdot(-1)}=200\]

Overskuddet blir

\[O(200)=-200^2+400\cdot200-30\,000=10\,000\]

Vi løser ulikheten \(O(x)>0\):

\[-x^2+400x-30\,000>0\]

Nullpunktene finner vi fra

\[-x^2+400x-30\,000=0\]

som gir \(x=100\) og \(x=300\). Siden parabelen vender nedover, er overskuddet positivt mellom nullpunktene.

Grafisk tegner vi linjen \(y=0{,}5\) og leser av skjæringspunktet med grafen til \(g\). Av figuren ser skjæringen ut til å ligge ved \(x=3\). Vi kan kontrollere:

\[g(3)=0{,}5\cdot10^{1{,}5-0{,}5\cdot3}=0{,}5\cdot10^0=0{,}5\]

Vi setter inn uttrykket for \(g\):

\[0{,}5\cdot10^{1{,}5-0{,}5x}=5\]

Dividerer med \(0{,}5\):

\[10^{1{,}5-0{,}5x}=10\]

Da må eksponentene være like:

\[1{,}5-0{,}5x=1\]

\[-0{,}5x=-0{,}5\]

\[x=1\]

Fra grafen kan vi tegne en tangent i punktet der \(x=2\). Vi leser omtrent \(g(2)\approx1{,}58\). Tangenten faller omtrent 1,8 enheter i \(y\)-retning når \(x\) øker med 1. Derfor er

\[g\prime(2)\approx -1{,}8\]

Ved regning får vi

\[g\prime(x)=0{,}5\cdot10^{1{,}5-0{,}5x}\cdot\ln(10)\cdot(-0{,}5)\]

\[g\prime(2)\approx-1{,}82\]

Området ligger i første kvadrant, så \(x\ge0\) og \(y\ge0\). Linjen gjennom \((0,7)\) og \((6,4)\) har stigningstall

\[\frac{4-7}{6-0}=-\frac{1}{2}\]

og likning \(y=-\frac{1}{2}x+7\), altså \(x+2y\le14\). Linjen gjennom \((6,4)\) og \((7,0)\) har stigningstall \(-4\), og likning \(y=-4x+28\). Området ligger under denne linjen.

For en lineær funksjon i et polygon oppnås maksimum i et hjørne. Vi tester hjørnene:

\[\begin{array}{c|c}(x,y)&S=x+5y\\\hline(0,0)&0\\ (0,7)&35\\ (6,4)&26\\ (7,0)&7\end{array}\]

Størst verdi er \(35\), i punktet \((0,7)\).

Verdien i \((6,4)\) er \(6+4a\). Denne må være minst like stor som verdien i de andre hjørnene.

Sammenlignet med \((0,7)\):

\[6+4a\ge7a\quad\Rightarrow\quad a\le2\]

Sammenlignet med \((7,0)\):

\[6+4a\ge7\quad\Rightarrow\quad a\ge\frac{1}{4}\]

Sammenlignet med \((0,0)\) gir dette ingen strengere betingelse når \(a\ge\frac{1}{4}\). Derfor må

\[\frac{1}{4}\le a\le2\]

Med toppunkt \((2,3)\) kan funksjonen skrives på toppunktsform:

\[f(x)=a(x-2)^2+3\]

Grafen skjærer \(y\)-aksen i \(-5\), altså \(f(0)=-5\):

\[a(0-2)^2+3=-5\]

\[4a+3=-5\]

\[a=-2\]

Dermed

\[f(x)=-2(x-2)^2+3=-2x^2+8x-5\]

Vi bruker modellen \(g(x)=A\cdot B^x\). Eksponentiell regresjon på punktene gir omtrent

\[g(x)=79{,}623\cdot1{,}00201^x\]

Modellen betyr at forventet levealder øker med omtrent \(0{,}201\,\%\) per år i denne perioden.

I et koordinatsystem kan vi for eksempel bruke \(x\)-verdier fra \(0\) til \(80\). Grafen starter i \(f(0)=73{,}028\) og er svakt voksende, siden vekstfaktoren \(1{,}003>1\). Noen punkter:

\[f(0)=73{,}028,\quad f(30)\approx79{,}88,\quad f(50)\approx84{,}87\]

Vi løser

\[73{,}028\cdot1{,}003^x=85\]

\[1{,}003^x=\frac{85}{73{,}028}\]

\[x=\frac{\ln\left(\frac{85}{73{,}028}\right)}{\ln(1{,}003)}\approx50{,}68\]

Dette er omtrent \(50{,}68\) år etter 1988:

\[1988+50{,}68\approx2038{,}68\]

La \(t\) være år etter 2015. Modellen er \(h(t)=84\cdot b^t\). Siden 2095 er 80 år etter 2015, får vi

\[84\cdot b^{80}=89\]

\[b=\left(\frac{89}{84}\right)^{\frac{1}{80}}\]

Vi løser så

\[84\cdot b^t=100\]

Dette gir \(t\approx241{,}24\), og dermed \(2015+241{,}24\approx2256\).

La \(x\) være antall skjermer av type A og \(y\) antall skjermer av type B. Siden antall ikke kan være negativt, må \(x\ge0\) og \(y\ge0\).

Avdeling 1 bruker \(6x+10y\) timer og har \(7800\) timer:

\[6x+10y\le7800\quad\Rightarrow\quad3x+5y\le3900\]

Avdeling 2 bruker \(2x+6y\) timer og har \(4200\) timer:

\[2x+6y\le4200\quad\Rightarrow\quad x+3y\le2100\]

Avdeling 3 bruker \(4x+4y\) timer og har \(4400\) timer:

\[4x+4y\le4400\quad\Rightarrow\quad x+y\le1100\]

For å tegne området tegner vi grenselinjene \(3x+5y=3900\), \(x+3y=2100\) og \(x+y=1100\), sammen med aksene. Det tillatte området ligger i første kvadrant og under alle grenselinjene.

Relevante hjørnepunkter er

\[(0,0),\quad(0,700),\quad(300,600),\quad(800,300),\quad(1100,0)\]

Disse punktene danner randen til området som skal skraveres.

Fortjenestefunksjonen er

\[F(x,y)=7000x+10\,000y\]

Vi regner verdien i hjørnene:

\[\begin{array}{c|c}(x,y)&F(x,y)\\\hline(0,0)&0\\ (0,700)&7\,000\,000\\ (300,600)&8\,100\,000\\ (800,300)&8\,600\,000\\ (1100,0)&7\,700\,000\end{array}\]

Størst verdi får vi i \((800,300)\).

Ved \((x,y)=(800,300)\) bruker avdelingene:

Avdeling 1:

\[6\cdot800+10\cdot300=7800\]

Avdeling 2:

\[2\cdot800+6\cdot300=3400\]

Avdeling 3:

\[4\cdot800+4\cdot300=4400\]

Avdeling 2 har tilgjengelig \(4200\) timer og bruker \(3400\), så den har \(4200-3400=800\) timer ledig.

For å bruke binomisk modell må vi anta at:

• Hver bil klassifiseres som enten elbil eller ikke elbil.
• Antall forsøk er fast, her \(n=100\).
• Sannsynligheten for elbil er den samme for hver bil, her \(p=0{,}125\) fra teksten om Hordaland.
• Observasjonene kan behandles som uavhengige.

Disse antakelsene er idealiseringer. Trafikkmønsteret ved Danmarks plass kan avvike fra hele Hordaland.

La \(X\) være antall elbiler blant 100 biler. Vi bruker \(X\sim\operatorname{Bin}(100,0{,}125)\). Vi skal finne

\[P(X\ge15)=1-P(X\le14)\]

Med binomisk fordeling får vi

\[P(X\ge15)\approx0{,}2648\]

Vi søker etter minste \(n\) slik at

\[P(X\ge20)>0{,}90,\quad X\sim\operatorname{Bin}(n,0{,}125)\]

Ved beregning får vi

\[P(X\ge20)\approx0{,}8970\quad\text{for }n=203\]

og

\[P(X\ge20)\approx0{,}9014\quad\text{for }n=204\]

Dermed er \(204\) det minste antallet.

La \(A\) være arealet til Andorra og \(L\) arealet til Liechtenstein. Da er

\[A+L=628\]

Det tredje landet er 60 % mindre enn Andorra, altså \(0{,}40A\). Samtidig er det 17 % større enn Liechtenstein, altså \(1{,}17L\). Derfor:

\[0{,}40A=1{,}17L\]

Da er

\[L=\frac{0{,}40}{1{,}17}A\]

Setter vi dette inn i \(A+L=628\), får vi

\[A+\frac{0{,}40}{1{,}17}A=628\]

\[A=468\]