Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser struktur

Funksjonen er en brøk med teller \(u=e^{2x}\) og nevner \(v=x\). Derfor er kvotientregelen en trygg metode.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

Vi får \(u^{\prime}=2e^{2x}\) ved kjerneregelen og \(v^{\prime}=1\).

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}=\dfrac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}\cdot1}{x^2}.\]

Steg 4 — Faktoriser telleren

\[2xe^{2x}-e^{2x}=e^{2x}(2x-1).\]

Steg 5 — Skriv svaret samlet

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}.\]

Tolkning

Den deriverte forteller momentant vekst for funksjonen. Uttrykket gjelder for \(x\ne0\), siden funksjonen ikke er definert i \(x=0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, exp, diff, simplify, factor

x = symbols('x')
f = exp(2*x)/x
f_derivert = diff(f, x)
fasit = exp(2*x)*(2*x - 1)/x**2

print("Funksjonen f(x):", f)
print("Derivert direkte med sympy:", f_derivert)
print("Forenklet derivert:", simplify(f_derivert))
print("Faktorisert form:", factor(f_derivert))
print("Kontroll f_derivert - fasit:", simplify(f_derivert - fasit))
print("Definisjonsmengde: x må være ulik 0")

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Forstå løkka

Løkka øker \(x\) så lenge \(O(x+1)>O(x)\). Det betyr at programmet går videre så lenge funksjonsverdien øker når \(x\) økes med 1.

Steg 2 — Finn differansen

\[O(x+1)-O(x)=-0{,}1((x+1)^2-x^2)+2000.\]

Steg 3 — Forenkle differansen

Siden \((x+1)^2-x^2=2x+1\), får vi \[O(x+1)-O(x)=1999{,}9-0{,}2x.\]

Steg 4 — Finn når løkka fortsatt kjører

Løkka kjører så lenge \[1999{,}9-0{,}2x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<9999{,}5.\]

Steg 5 — Bruk heltallslogikken

Når \(x=9999\), er differansen positiv, så programmet øker til \(10000\). Når \(x=10000\), er differansen negativ, så løkka stopper.

Steg 6 — Les av utskriften

Derfor blir verdien som skrives ut \(10000\).

Tolkning

Programmet finner heltallsverdien der funksjonen ikke lenger øker når vi går ett steg videre.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def O(x):
    return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000

x = 0
antall_runder = 0

print("Startverdi x:", x)
print("O(0):", O(0))
print("O(1):", O(1))
print("O(1) > O(0):", O(1) > O(0))

while O(x + 1) > O(x):
    if x in [0, 1, 9998, 9999, 10000]:
        print(f"Før økning: x={x}, O(x+1)-O(x)={O(x+1)-O(x):.4f}")
    x = x + 1
    antall_runder = antall_runder + 1

print("Antall ganger løkka kjørte:", antall_runder)
print("Stoppverdi x:", x)
print("O(x+1)-O(x) ved stopp:", O(x + 1) - O(x))
print("Utskrift fra programmet:", x)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Gjør om til samme grunntall

Siden \(100^x=(10^2)^x=10^{2x}\), kan likningen skrives med \(10^x\).

Steg 2 — Sett en ny variabel

La \(u=10^x\). Da er \(10^{2x}=u^2\).

Steg 3 — Løs andregradslikningen

Likningen blir \[u^2-3u=4\quad\Longleftrightarrow\quad u^2-3u-4=0.\]

Steg 4 — Faktoriser

\[u^2-3u-4=(u-4)(u+1).\] Dermed er \(u=4\) eller \(u=-1\).

Steg 5 — Forkast umulig løsning

Siden \(u=10^x\) alltid er positiv, kan vi ikke ha \(u=-1\). Derfor må \(10^x=4\).

Steg 6 — Ta logaritme

\[x=\lg4.\]

Tolkning

Løsningen er eksakt \(\lg4\), omtrent \(0{,}602\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log, N, simplify

x, u = symbols('x u')
likning_u = Eq(u**2 - 3*u, 4)
los_u = solve(likning_u, u)

print("Likning i u:", likning_u)
print("Løsninger for u:", los_u)
print("Bare positive u-verdier kan være 10^x")

x_losning = log(4, 10)
kontroll = 100**x_losning - 3*10**x_losning

print("Eksakt x:", x_losning)
print("Desimalverdi x:", N(x_losning))
print("Venstre side satt inn:", simplify(kontroll))
print("Høyre side:", 4)
print("Kontroll venstre - høyre:", simplify(kontroll - 4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Se på graden i teller og nevner

Både teller og nevner har høyeste grad \(2\). Da bestemmes grenseverdien av koeffisientene foran \(x^2\).

Steg 2 — Del alle ledd på \(x^2\)

\[\dfrac{x^2+x-12}{2x^2-18}=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{12}{x^2}}{2-\dfrac{18}{x^2}}.\]

Steg 3 — Bruk at småbrøkene går mot null

Når \(x\to\infty\), går \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{12}{x^2}\) og \(\dfrac{18}{x^2}\) mot 0.

Steg 4 — Ta grensen

\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{12}{x^2}}{2-\dfrac{18}{x^2}}=\dfrac{1}{2}.\]

Steg 5 — Kontroller at nevneren ikke går mot null

Nevneruttrykket etter deling går mot \(2\), så grenseverdien eksisterer.

Tolkning

For store \(x\)-verdier vil brøken ligge nær \(0{,}5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit, oo, simplify

x = symbols('x')
uttrykk = (x**2 + x - 12)/(2*x**2 - 18)
grense = limit(uttrykk, x, oo)

print("Uttrykk:", uttrykk)
print("Grenseverdi når x går mot uendelig:", grense)
print("Desimalkontroll for store x-verdier:")
for verdi in [10, 100, 1000, 10000]:
    print(f"x={verdi:5d}: verdi ≈ {float(uttrykk.subs(x, verdi)):.8f}")
print("Kontroll mot 1/2:", simplify(grense - 1/2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn totalt antall måter

Det er \(4+3+2=9\) kuler totalt. To kuler uten rekkefølge kan velges på \(\binom{9}{2}=36\) måter.

Steg 2 — Tell to røde

Antall måter å trekke to røde på er \(\binom{4}{2}=6\).

Steg 3 — Tell to blå

Antall måter å trekke to blå på er \(\binom{3}{2}=3\).

Steg 4 — Tell to gule

Antall måter å trekke to gule på er \(\binom{2}{2}=1\).

Steg 5 — Lag sannsynligheten

Gunstige trekk er \(6+3+1=10\). Derfor er \[P=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}.\]

Tolkning

Sannsynligheten for samme farge er \(\dfrac{5}{18}\), litt under en tredel.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction

rod, bla, gul = 4, 3, 2
totalt = rod + bla + gul
alle = comb(totalt, 2)
gunstige = comb(rod, 2) + comb(bla, 2) + comb(gul, 2)
sannsynlighet = Fraction(gunstige, alle)

print("Totalt antall kuler:", totalt)
print("Alle mulige trekk av to kuler:", alle)
print("To røde:", comb(rod, 2))
print("To blå:", comb(bla, 2))
print("To gule:", comb(gul, 2))
print("Gunstige trekk:", gunstige)
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Desimalverdi:", float(sannsynlighet))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Del kulene i gule og ikke-gule

Det er 2 gule kuler og \(4+3=7\) kuler som ikke er gule.

Steg 2 — Tell gunstige trekk

Nøyaktig én gul betyr at vi velger 1 av de 2 gule og 1 av de 7 andre: \[\binom{2}{1}\binom{7}{1}=14.\]

Steg 3 — Tell alle trekk

Alle mulige trekk av to kuler er fortsatt \(\binom{9}{2}=36\).

Steg 4 — Lag sannsynligheten

\[P=\dfrac{14}{36}.\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}.\]

Tolkning

Sannsynligheten for nøyaktig én gul kule er \(\dfrac{7}{18}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction

gule = 2
ikke_gule = 7
totalt = 9
alle = comb(totalt, 2)
gunstige = comb(gule, 1) * comb(ikke_gule, 1)

print("Gule kuler:", gule)
print("Ikke-gule kuler:", ikke_gule)
print("Alle trekk:", alle)
print("Gunstige trekk for nøyaktig én gul:", gunstige)
print("Sannsynlighet:", Fraction(gunstige, alle))
print("Desimalverdi:", gunstige/alle)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk gjennomsnittlig vekstfart

Gjennomsnittlig vekstfart i \([0,4]\) er \(\dfrac{F(4)-F(0)}{4-0}\). Vi må derfor se etter en graf der \(F(4)-F(0)=2\).

Steg 2 — Vurder den blå grafen \(g\)

Den blå grafen er en rett linje med stigning omtrent \(\dfrac{1}{2}\). Da er også den deriverte \(\dfrac{1}{2}\), ikke 1. Derfor kan det ikke være \(g\).

Steg 3 — Vurder den røde grafen \(h\)

Fra figuren ser vi at \(h(0)\) og \(h(4)\) omtrent er like. Da blir gjennomsnittlig vekstfart omtrent 0, ikke \(\dfrac{1}{2}\).

Steg 4 — Vurder den oransje grafen \(f\)

Grafen til \(f\) ser ut til å gå fra omtrent \((0,0)\) til omtrent \((4,2)\). Da blir gjennomsnittlig vekstfart \(\dfrac{2-0}{4}=\dfrac{1}{2}\).

Steg 5 — Sjekk den momentane vekstfarten

Ved \(x=1\) ser tangenten til den oransje grafen ut til å ha stigning omtrent 1. Det passer med kravet om derivert lik 1.

Steg 6 — Konkluder

Funksjonen er derfor \(f\).

Tolkning

Dette er en grafisk oppgave: både sekantstigning i intervallet og tangentstigning ved ett punkt må stemme.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, simplify

# En modell som passer den oransje grafen visuelt, er en nedadgående parabel
# med f(0)=0, f(4)=2 og f'(1)=1.
x = symbols('x')
f = -x**2/8 + 5*x/4

gjennomsnitt = (f.subs(x, 4) - f.subs(x, 0))/(4 - 0)
derivert = diff(f, x)
verdi_derivert_1 = derivert.subs(x, 1)

print("Modell for den oransje grafen f:", f)
print("f(0):", f.subs(x, 0))
print("f(4):", f.subs(x, 4))
print("Gjennomsnittlig vekstfart [0,4]:", simplify(gjennomsnitt))
print("f'(x):", derivert)
print("f'(1):", simplify(verdi_derivert_1))
print("Konklusjon: grafen som passer begge kravene, er f")

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser uavhengige valg

Et antrekk består av ett valg fra hver av fem kategorier.

Steg 2 — Bruk multiplikasjonsprinsippet

Når valgene kan kombineres fritt, multipliserer vi antall valg i hver kategori.

Steg 3 — Sett opp produktet

\[10\cdot20\cdot15\cdot15\cdot5.\]

Steg 4 — Regn ut

\[10\cdot20\cdot15\cdot15\cdot5=225000.\]

Steg 5 — Sjekk enheten

Svaret er antall mulige antrekk, ikke kroner eller sannsynlighet.

Tolkning

Drakt & Søm kan lage 225 000 ulike komplette antrekk med dagens beholdning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import prod

kategorier = {
    "hodeplagg": 10,
    "skjorter": 20,
    "jakker": 15,
    "bukser": 15,
    "skopar": 5,
}

print("Antall valg i hver kategori:")
for navn, antall in kategorier.items():
    print(f"{navn:10s}: {antall}")

antrekk = prod(kategorier.values())
print("Produkt:", " * ".join(str(v) for v in kategorier.values()))
print("Antall mulige antrekk:", antrekk)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tell skoene

Bedriften har 5 skopar, altså 10 enkeltsko.

Steg 2 — Tell alle måter å velge 3 sko

Tore tar 3 sko uten rekkefølge. Totalt antall valg er \(\binom{10}{3}=120\).

Steg 3 — Tell gunstige valg

For at han skal få med et par, velger vi først hvilket par han får: 5 valg. Deretter velger vi den tredje skoen blant de 8 andre skoene.

Steg 4 — Regn gunstige valg

\[5\cdot8=40.\] Et valg av 3 sko kan ikke inneholde to hele par, så vi dobbelteller ikke.

Steg 5 — Finn sannsynligheten

\[P=\dfrac{40}{120}=\dfrac{1}{3}.\]

Tolkning

Sannsynligheten for at de tre skoene inneholder minst ett komplett par er \(\dfrac{1}{3}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
from itertools import combinations

sko = list(range(10))
# Parene er (0,1), (2,3), ..., (8,9)
par = [{2*i, 2*i + 1} for i in range(5)]
alle_valg = list(combinations(sko, 3))

def har_skopar(valg):
    valgt = set(valg)
    return any(p.issubset(valgt) for p in par)

gunstige = [valg for valg in alle_valg if har_skopar(valg)]

print("Totalt antall valg av 3 sko:", len(alle_valg))
print("Antall valg med minst ett skopar:", len(gunstige))
print("Sannsynlighet:", Fraction(len(gunstige), len(alle_valg)))
print("Desimalverdi:", len(gunstige)/len(alle_valg))
print("Første fem gunstige valg:", gunstige[:5])

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv dagens produkt

Dagens antall antrekk er \(10\cdot20\cdot15\cdot15\cdot5=225000\).

Steg 2 — Tenk marginal effekt

Et nytt plagg i en kategori øker produktet mest dersom det legges til i kategorien med færrest valg. Derfor er skopar-kategorien mest effektiv i starten.

Steg 3 — Test 6 nye skopar

Da blir produktet \[10\cdot20\cdot15\cdot15\cdot11=495000,\] som fortsatt er mindre enn 542 000.

Steg 4 — Test ett ekstra hodeplagg i tillegg

Med 6 nye skopar og 1 nytt hodeplagg får vi \[11\cdot20\cdot15\cdot15\cdot11=544500.\]

Steg 5 — Sammenlign med kravet

\(544500>542000\), så 7 nye ting er nok.

Steg 6 — Begrunn minimalitet

Digital heltallskontroll viser at beste produkt med 6 nye ting er 495 000. Derfor kan ikke 6 nye ting være nok.

Tolkning

Minste antall nye plagg og/eller skopar er 7. En mulig løsning er 6 nye skopar og 1 nytt hodeplagg.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from itertools import product
from math import prod

base = [10, 20, 15, 15, 5]
maal = 542000

def fordelinger(total, k=5):
    if k == 1:
        yield (total,)
    else:
        for i in range(total + 1):
            for rest in fordelinger(total - i, k - 1):
                yield (i,) + rest

for nye in range(0, 20):
    best_produkt = -1
    best_fordeling = None
    for add in fordelinger(nye):
        produkt = prod(b + a for b, a in zip(base, add))
        if produkt > best_produkt:
            best_produkt = produkt
            best_fordeling = add
    print(f"Nye ting: {nye:2d}, beste produkt: {best_produkt:6d}, fordeling: {best_fordeling}")
    if best_produkt > maal:
        print("Første antall som passer:", nye)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv formelen

Gjennomsnittlig vekstfart i \([a,b]\) er \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Steg 2 — Finn \(f(1)\)

\[f(1)=1^2+2=3.\]

Steg 3 — Finn \(f(4)\)

\[f(4)=4^2+2=18.\]

Steg 4 — Regn vekstfarten

\[\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{18-3}{3}=5.\]

Steg 5 — Vurder påstanden

Påstanden er sann.

Tolkning

Funksjonen øker i gjennomsnitt med 5 y-enheter per x-enhet fra \(x=1\) til \(x=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify

x = symbols('x')
f = x**2 + 2
f1 = f.subs(x, 1)
f4 = f.subs(x, 4)
gjennomsnitt = (f4 - f1)/(4 - 1)

print("f(x):", f)
print("f(1):", f1)
print("f(4):", f4)
print("Gjennomsnittlig vekstfart:", simplify(gjennomsnitt))
print("Påstanden er:", "sann" if gjennomsnitt == 5 else "usann")

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Forstå hva påstanden sier

Påstanden sier at like grenseverdier i begge ender tvinger funksjonene til å være like for alle \(x\).

Steg 2 — Lag et moteksempel

Velg \(f(x)=0\) og \(g(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\).

Steg 3 — Sjekk grenseverdien mot \(\infty\)

\[\lim_{x\to\infty}0=0\quad\text{og}\quad\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^2+1}=0.\]

Steg 4 — Sjekk grenseverdien mot \(-\infty\)

\[\lim_{x\to-\infty}0=0\quad\text{og}\quad\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x^2+1}=0.\]

Steg 5 — Vis at funksjonene ikke er like

For eksempel er \(f(0)=0\), mens \(g(0)=1\).

Steg 6 — Konkluder

Påstanden er usann.

Tolkning

Like grenseverdier forteller bare om oppførselen langt ute på tallinja, ikke at funksjonene er identiske.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit, oo

x = symbols('x')
f = 0
g = 1/(x**2 + 1)

print("Moteksempel:")
print("f(x) =", f)
print("g(x) =", g)
print("lim f når x -> uendelig:", limit(f, x, oo))
print("lim g når x -> uendelig:", limit(g, x, oo))
print("lim f når x -> -uendelig:", limit(f, x, -oo))
print("lim g når x -> -uendelig:", limit(g, x, -oo))
print("f(0):", f)
print("g(0):", g.subs(x, 0))
print("Funksjonene er like:", f == g)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Vurder vanlig regel

Hvis \(a>0\) og \(a\ne1\), er funksjonen \(a^x\) en-til-en. Da følger \(x=y\).

Steg 2 — Les ordet «alltid» nøye

Påstanden gjelder alle reelle \(a\), så ett moteksempel er nok til å gjøre den usann.

Steg 3 — Velg \(a=1\)

Da blir \(1^x=1^y\). Begge sider er 1 for alle \(x\) og \(y\).

Steg 4 — Lag konkret moteksempel

La \(x=2\) og \(y=5\). Da er \(1^2=1^5\), men \(2\ne5\).

Steg 5 — Konkluder

Påstanden er usann fordi den feiler for \(a=1\).

Tolkning

Regelen \(a^x=a^y\Rightarrow x=y\) krever at grunntallet er positivt og ulikt 1.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Eq

a = 1
x_verdi = 2
y_verdi = 5
venstre = a**x_verdi
hoyre = a**y_verdi

print("Velger a =", a)
print("Velger x =", x_verdi)
print("Velger y =", y_verdi)
print("a^x:", venstre)
print("a^y:", hoyre)
print("a^x = a^y:", venstre == hoyre)
print("x = y:", x_verdi == y_verdi)
print("Konklusjon: Påstanden er usann")

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk definisjonen av logaritme

For \(f(x)=\log_a(x)\) gjelder \(\log_a(a)=1\). Dermed er \(x=a\) når grafen har høyde 1.

Steg 2 — Les av punktet med \(y=1\)

På grafen ser vi at \(f(x)=1\) omtrent når \(x=5\).

Steg 3 — Finn grunntallet

Siden \(\log_a(a)=1\), gir avlesningen \(a=5\).

Steg 4 — Kontroller med et annet punkt

Grafen ser også ut til å ha \(f(25)=2\). Dette passer fordi \(25=5^2\), og \(\log_5(25)=2\).

Steg 5 — Konkluder

Derfor er \(a=5\).

Tolkning

Grunntallet bestemmer hvor grafen treffer linjen \(y=1\). Her er dette ved \(x=5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import log, N, simplify

a = 5
punkt_1 = log(5, a)
punkt_2 = log(25, a)

print("Foreslått grunntall a:", a)
print("log_a(5):", punkt_1)
print("log_a(25):", punkt_2)
print("Desimalkontroll log_a(5):", N(punkt_1))
print("Desimalkontroll log_a(25):", N(punkt_2))
print("Kontroll log_5(25) - 2:", simplify(punkt_2 - 2))
print("Konklusjon: a = 5")

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Velg modell

Hver pakke kan sees som et uavhengig Bernoulli-forsøk med vinnersannsynlighet \(p=\dfrac{1}{1000}=0{,}001\).

Steg 2 — Bruk komplement

Sannsynligheten for ikke å vinne på én pakke er \(0{,}999\). Etter \(n\) dager er sannsynligheten for ingen reise \(0{,}999^n\).

Steg 3 — Sett opp likningen

\[1-0{,}999^n=0{,}20.\]

Steg 4 — Løs for \(n\)

\[0{,}999^n=0{,}80\quad\Longrightarrow\quad n=\dfrac{\ln(0{,}80)}{\ln(0{,}999)}\approx223{,}03.\]

Steg 5 — Tolk heltall

Etter 223 hele dager er sannsynligheten litt under 20 %, mens etter 224 dager er den over 20 %. Derfor trengs 224 dager for å nå minst 20 %.

Steg 6 — Kontroller modellen

Modellen er geometrisk/binomisk fordi hver pakke har samme vinnersannsynlighet og vi antar uavhengighet mellom pakkene.

Tolkning

Det tar 224 dager før sannsynligheten er minst 20 %. Den kontinuerlige løsningen er omtrent \(223{,}03\) dager.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log, N

n = symbols('n')
p = 1/1000
n_kontinuerlig = log(0.80)/log(1 - p)

print("Vinnersannsynlighet per pakke:", p)
print("Sannsynlighet for ikke å vinne per pakke:", 1 - p)
print("Kontinuerlig løsning n:", N(n_kontinuerlig))

for dager in [223, 224]:
    sannsynlighet = 1 - (1 - p)**dager
    print(f"Etter {dager} dager: P(minst én reise) ≈ {sannsynlighet:.9f}")

print("Minste hele antall dager med minst 20 prosent:", 224)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn forventet premiekostnad for vanlig pakke

For vanlige pakker er premiekostnaden per pakke i gjennomsnitt \(\dfrac{5000}{1000}=5\) kroner.

Steg 2 — Finn forventet overskudd for vanlig pakke

\[40-10-5=25.\] Vanlige pakker gir altså forventet overskudd 25 kroner per pakke.

Steg 3 — Finn forventet premiekostnad for Gullknekk

For Gullknekk er premiekostnaden per pakke \(\dfrac{5000}{100}=50\) kroner.

Steg 4 — Sett ukjent pris

La prisen være \(p\). Forventet overskudd blir \[p-10-50=p-60.\]

Steg 5 — Sett likt overskudd

\[p-60=25\quad\Longrightarrow\quad p=85.\]

Tolkning

Trollmat AS må ta 85 kroner per pakke Gullknekk for å ha samme forventede overskudd per pakke.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve

pris_vanlig = 40
produksjon = 10
reiseverdi = 5000
p_vanlig = 1/1000
p_gull = 1/100

forventet_overskudd_vanlig = pris_vanlig - produksjon - reiseverdi*p_vanlig
p = symbols('p')
forventet_overskudd_gull = p - produksjon - reiseverdi*p_gull
likning = Eq(forventet_overskudd_gull, forventet_overskudd_vanlig)
losning = solve(likning, p)[0]

print("Forventet overskudd vanlig pakke:", forventet_overskudd_vanlig)
print("Forventet overskudd Gullknekk:", forventet_overskudd_gull)
print("Likning:", likning)
print("Pris for Gullknekk:", losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tell forsøkene

I 52 uker kjøper Hassan \(5\cdot52=260\) vanlige pakker og \(2\cdot52=104\) Gullknekk-pakker.

Steg 2 — Sett vinnersannsynligheter

Vanlig pakke har \(p=0{,}001\), og Gullknekk har \(p=0{,}01\).

Steg 3 — Simuler én årsperiode

I én simulert årsperiode trekker vi 260 tilfeldige vanlige pakker og 104 tilfeldige Gullknekk-pakker og sjekker om minst én av dem gir gevinst.

Steg 4 — Gjenta mange ganger

Når vi gjentar mange årsperioder, blir andelen med minst én gevinst et estimat for sannsynligheten.

Steg 5 — Sammenlign med eksakt kontroll

Eksakt komplement gir \[1-0{,}999^{260}\cdot0{,}99^{104}\approx0{,}729.\]

Steg 6 — Konkluder

Simuleringen bør derfor ligge rundt \(0{,}73\), altså omtrent 73 %.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 0,73. I en simulering med mange repetisjoner vil resultatet variere litt, men bør ligge nær 73 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from random import random, seed

seed(3060)
antall_simuleringer = 200000
vanlige_per_ar = 5*52
gull_per_ar = 2*52
p_vanlig = 1/1000
p_gull = 1/100

antall_med_minst_en_reise = 0

for _ in range(antall_simuleringer):
    vunnet = False
    for _ in range(vanlige_per_ar):
        if random() < p_vanlig:
            vunnet = True
            break
    if not vunnet:
        for _ in range(gull_per_ar):
            if random() < p_gull:
                vunnet = True
                break
    if vunnet:
        antall_med_minst_en_reise += 1

simulert = antall_med_minst_en_reise / antall_simuleringer
eksakt = 1 - (1 - p_vanlig)**vanlige_per_ar * (1 - p_gull)**gull_per_ar

print("Antall simuleringer:", antall_simuleringer)
print("Vanlige pakker per år:", vanlige_per_ar)
print("Gullknekk-pakker per år:", gull_per_ar)
print("Antall år med minst én reise:", antall_med_minst_en_reise)
print("Simulert sannsynlighet:", simulert)
print("Eksakt kontroll:", eksakt)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett ukjent antall plasser

La \(n\) være antall parkeringsplasser Stephanie har.

Steg 2 — Skriv dagens inntekt

Når prisen er 1000 kroner og alle plassene er utleid, er inntekten \(1000n\).

Steg 3 — Finn hvor mange plasser hun mister ved 1500 kroner

Prisøkningen er \(1500-1000=500\) kroner. Siden hun mister én plass per 50 kroner, mister hun \(\dfrac{500}{50}=10\) plasser.

Steg 4 — Skriv ny inntekt

Ved pris 1500 kroner leier hun ut \(n-10\) plasser. Inntekten er \(1500(n-10)\).

Steg 5 — Bruk at inntekten er den samme

\[1000n=1500(n-10).\]

Steg 6 — Løs

\[1000n=1500n-15000\quad\Longrightarrow\quad500n=15000\quad\Longrightarrow\quad n=30.\]

Tolkning

Stephanie har 30 parkeringsplasser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve

n = symbols('n')
inntekt_na = 1000*n
mistede_plasser = (1500 - 1000)/50
inntekt_ny = 1500*(n - mistede_plasser)
likning = Eq(inntekt_na, inntekt_ny)
losning = solve(likning, n)[0]

print("Mistede plasser ved pris 1500:", mistede_plasser)
print("Dagens inntekt:", inntekt_na)
print("Ny inntekt:", inntekt_ny)
print("Likning:", likning)
print("Antall parkeringsplasser:", losning)
print("Kontroll dagens inntekt:", inntekt_na.subs(n, losning))
print("Kontroll ny inntekt:", inntekt_ny.subs(n, losning))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — La \(t\) være antall prisøkninger

La \(t\) være antall ganger prisen økes med 50 kroner. Da er prisen \(1000+50t\).

Steg 2 — Finn antall utleide plasser

Hun mister \(t\) plasser, så antall utleide plasser er \(30-t\).

Steg 3 — Skriv inntektsfunksjonen

\[R(t)=(1000+50t)(30-t).\]

Steg 4 — Utvid uttrykket

\[R(t)=30000+500t-50t^2.\] Dette er en parabel med negativ andregradskoeffisient.

Steg 5 — Finn toppunktet

Toppunktet ligger ved \[t=\dfrac{-500}{2\cdot(-50)}=5.\]

Steg 6 — Regn maksimal inntekt

\[R(5)=(1000+250)(30-5)=1250\cdot25=31250.\]

Tolkning

Største månedlige inntekt er 31 250 kroner. Det skjer når prisen er 1250 kroner og 25 plasser er utleid.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, diff, solve, Eq

t = symbols('t')
R = (1000 + 50*t)*(30 - t)
R_utvidet = expand(R)
R_derivert = diff(R, t)
toppunkt_t = solve(Eq(R_derivert, 0), t)[0]
maks_inntekt = R.subs(t, toppunkt_t)

print("Inntektsfunksjon R(t):", R)
print("Utvidet form:", R_utvidet)
print("R'(t):", R_derivert)
print("Toppunkt t:", toppunkt_t)
print("Pris ved toppunkt:", 1000 + 50*toppunkt_t)
print("Utleide plasser ved toppunkt:", 30 - toppunkt_t)
print("Maksimal månedlig inntekt:", maks_inntekt)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver inntektsfunksjonen

\[I^{\prime}(x)=250-x.\]

Steg 2 — Sett inn \(x=15\)

\[I^{\prime}(15)=250-15=235.\]

Steg 3 — Husk enheten

Siden \(I(x)\) er i 1000 kroner, betyr 235 at marginalinntekten er 235 000 kroner per ekstra motor.

Steg 4 — Tolk lokalt

Når bedriften selger rundt 15 båtmotorer per år, øker inntekten omtrent med 235 000 kroner dersom de selger én motor til.

Steg 5 — Skill inntekt og overskudd

Dette er marginalinntekt, ikke marginaloverskudd. Kostnadene er ikke trukket fra i denne deloppgaven.

Tolkning

\(I^{\prime}(15)=235\), altså omtrent 235 000 kroner per ekstra båtmotor ved 15 solgte motorer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff

x = symbols('x')
I = 250*x - 0.5*x**2
I_derivert = diff(I, x)
verdi = I_derivert.subs(x, 15)

print("Inntektsfunksjon I(x):", I)
print("I'(x):", I_derivert)
print("I'(15):", verdi)
print("Enhet: tusen kroner per motor")
print("Tolkning i kroner:", verdi*1000)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Lag overskuddsfunksjonen

Overskudd er inntekt minus kostnad: \[O(x)=I(x)-K(x).\]

Steg 2 — Sett inn uttrykkene

\[O(x)=250x-0{,}5x^2-(70x+600).\]

Steg 3 — Forenkle

\[O(x)=-0{,}5x^2+180x-600.\]

Steg 4 — Finn toppunktet

Dette er en parabel med negativ andregradskoeffisient. Toppunktet er \[x=\dfrac{-180}{2\cdot(-0{,}5)}=180.\]

Steg 5 — Finn overskuddet

\[O(180)=-0{,}5\cdot180^2+180\cdot180-600=15600.\]

Steg 6 — Bruk riktig enhet

\(15600\) betyr 15 600 000 kroner, siden funksjonene er gitt i 1000 kroner.

Tolkning

Overskuddet blir størst ved 180 solgte båtmotorer, og største overskudd er 15,6 millioner kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, Eq, expand

x = symbols('x')
I = 250*x - 0.5*x**2
K = 70*x + 600
O = expand(I - K)
O_derivert = diff(O, x)
x_topp = solve(Eq(O_derivert, 0), x)[0]
O_maks = O.subs(x, x_topp)

print("I(x):", I)
print("K(x):", K)
print("O(x)=I(x)-K(x):", O)
print("O'(x):", O_derivert)
print("O'(x)=0 gir x:", x_topp)
print("Maksimalt overskudd i tusen kroner:", O_maks)
print("Maksimalt overskudd i kroner:", O_maks*1000)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skill produksjon og salg

La \(x\) være antall produserte motorer. For \(x>50\) kan de selge \[50+0{,}90(x-50)=0{,}9x+5\] motorer.

Steg 2 — Bruk inntekt av solgte motorer

Inntekten blir \(I(0{,}9x+5)\), mens kostnaden fortsatt er \(K(x)\) fordi alle produserte motorer koster penger.

Steg 3 — Lag ny overskuddsfunksjon

\[O_q(x)=I(0{,}9x+5)-K(x).\]

Steg 4 — Forenkle digitalt/algebraisk

\[O_q(x)=-0{,}405x^2+150{,}5x+637{,}5.\]

Steg 5 — Finn toppunktet

\[O_q^{\prime}(x)=-0{,}81x+150{,}5.\] Dermed er \[x=\dfrac{150{,}5}{0{,}81}\approx185{,}8.\]

Steg 6 — Ta hensyn til hele motorer

Hele motorer gir størst verdi ved \(x=186\). Da selges omtrent \(0{,}9\cdot186+5=172{,}4\) motorer i modellen, og overskuddet blir omtrent \(14619{,}12\) tusen kroner.

Tolkning

Største overskudd blir omtrent 14,62 millioner kroner. Med heltallsproduksjon er \(x=186\) produserte motorer best i modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, diff, solve, Eq, N

x = symbols('x')
y = 0.9*x + 5              # antall solgte motorer når x > 50
I_y = 250*y - 0.5*y**2
K_x = 70*x + 600
Oq = expand(I_y - K_x)
Oq_derivert = diff(Oq, x)
x_kont = solve(Eq(Oq_derivert, 0), x)[0]

print("Solgte motorer som funksjon av produserte motorer:", y)
print("Ny overskuddsfunksjon Oq(x):", Oq)
print("Oq'(x):", Oq_derivert)
print("Kontinuerlig toppunkt x:", N(x_kont))
print("Solgte motorer ved kontinuerlig toppunkt:", N(y.subs(x, x_kont)))
print("Overskudd ved kontinuerlig toppunkt, tusen kroner:", N(Oq.subs(x, x_kont)))

for heltall in [185, 186]:
    print("x =", heltall)
    print("  solgte motorer i modellen:", N(y.subs(x, heltall)))
    print("  overskudd i tusen kroner:", N(Oq.subs(x, heltall)))
    print("  overskudd i kroner:", N(1000*Oq.subs(x, heltall)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett hendelser

La \(S\) være hendelsen «personen er smittet», og \(T\) hendelsen «testen er positiv». Vi ønsker \(P(S\mid T)\).

Steg 2 — Skriv kjente sannsynligheter

\[P(S)=0{,}01,\quad P(\overline S)=0{,}99,\quad P(T\mid S)=0{,}99.\]

Steg 3 — Finn falsk positiv-rate

Hvis personen ikke er smittet, viser testen riktig negativt med 98 %. Derfor er \[P(T\mid\overline S)=0{,}02.\]

Steg 4 — Bruk total sannsynlighet

\[P(T)=P(T\mid S)P(S)+P(T\mid\overline S)P(\overline S).\]

Steg 5 — Sett inn

\[P(T)=0{,}99\cdot0{,}01+0{,}02\cdot0{,}99=0{,}0297.\]

Steg 6 — Bruk Bayes formel

\[P(S\mid T)=\dfrac{0{,}99\cdot0{,}01}{0{,}0297}=\dfrac{1}{3}.\]

Tolkning

Selv om testen er god, er bare omtrent en tredel av positive tester sanne positive når bare 1 % av befolkningen er smittet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction

P_S = Fraction(1, 100)       # smittet
P_ikke_S = Fraction(99, 100) # ikke smittet
P_T_gitt_S = Fraction(99, 100)
P_T_gitt_ikke_S = Fraction(2, 100)

sann_positiv = P_T_gitt_S * P_S
falsk_positiv = P_T_gitt_ikke_S * P_ikke_S
P_T = sann_positiv + falsk_positiv
P_S_gitt_T = sann_positiv / P_T

print("P(S):", P_S)
print("P(ikke S):", P_ikke_S)
print("P(T | S):", P_T_gitt_S)
print("P(T | ikke S):", P_T_gitt_ikke_S)
print("Sann positiv andel:", sann_positiv)
print("Falsk positiv andel:", falsk_positiv)
print("Total positiv andel P(T):", P_T)
print("P(S | T):", P_S_gitt_T)
print("Desimalverdi:", float(P_S_gitt_T))