Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skill de to faktorene

Vi har ett uttrykk som skal opphøyes i 2, og ett uttrykk som skal opphøyes i \(-1\). Den negative eksponenten betyr at vi skal ta den inverse brøken.

Steg 2 — Regn ut første faktor

\[\left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2=\dfrac{9a^4}{4b^6}.\]

Steg 3 — Regn ut andre faktor

\[\left(\dfrac{a^2b^{-5}}{4}\right)^{-1}=\dfrac{4}{a^2b^{-5}}=\dfrac{4b^5}{a^2}.\]

Steg 4 — Multipliser faktorene

\[\dfrac{9a^4}{4b^6}\cdot\dfrac{4b^5}{a^2}=\dfrac{9a^4b^5}{a^2b^6}.\]

Steg 5 — Forkort potenser med samme grunntall

\[\dfrac{9a^4b^5}{a^2b^6}=\dfrac{9a^{4-2}}{b^{6-5}}=\dfrac{9a^2}{b}.\]

Tolkning

Uttrykket blir enklest når alle potenser samles og forkortes systematisk. Svaret forutsetter at variablene som står i nevner ikke er null.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify, factor

# Vi lar a og b være symbolske variabler. nonzero=True hindrer at vi deler på null.
a, b = symbols('a b', nonzero=True)

forste_faktor = (3*a**2/(2*b**3))**2
andre_faktor = ((a**2*b**(-5))/4)**(-1)
uttrykk = forste_faktor * andre_faktor
fasit = 9*a**2/b

print("Første faktor:", forste_faktor)
print("Andre faktor:", andre_faktor)
print("Produkt før forenkling:", uttrykk)
print("Forenklet produkt:", simplify(uttrykk))
print("Kontroll uttrykk - fasit:", simplify(uttrykk - fasit))
print("Faktorisert fasit:", factor(fasit))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Forenkle det første uttrykket

Siden \(\ln e^3=3\), får vi \[2\ln e^3=2\cdot3=6.\]

Steg 2 — Forenkle det tredje uttrykket

Vi bruker \(e^{\ln A}=A\): \[e^{3\ln 2}=e^{\ln 2^3}=2^3=8.\]

Steg 3 — Vurder \(3\lg70\)

Fordi \(10<70<100\), er \(1<\lg70<2\). Dermed er \(3<3\lg70<6\).

Steg 4 — Sammenlign mer presist

For å vite at \(3\lg70<6\), holder det å se at \(\lg70<2\), siden \(70<100\).

Steg 5 — Sett i stigende rekkefølge

Da får vi \[3\lg70<2\ln e^3

Tolkning

Det midterste uttrykket i oppgaveteksten er faktisk det minste, fordi titallslogaritmen til 70 er mindre enn 2.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import E, log, N, simplify

uttrykk_1 = 2*log(E**3)       # 2 ln(e^3)
uttrykk_2 = 3*log(70, 10)     # 3 lg(70)
uttrykk_3 = E**(3*log(2))     # e^(3 ln(2))

verdier = [
    ("2 ln(e^3)", simplify(uttrykk_1), N(uttrykk_1)),
    ("3 lg(70)", simplify(uttrykk_2), N(uttrykk_2)),
    ("e^(3 ln(2))", simplify(uttrykk_3), N(uttrykk_3)),
]

print("Verdier:")
for navn, eksakt, desimal in verdier:
    print(f"{navn:12s} = {eksakt} ≈ {desimal}")

print("Stigende rekkefølge:")
for navn, eksakt, desimal in sorted(verdier, key=lambda rad: float(rad[2])):
    print(navn, "≈", desimal)

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tell alle mulige utfall

Hver terning har 6 mulige utfall, så totalt er det \(6^3=216\) ordnede utfall.

Steg 2 — Tell gunstige utfall

Første terning kan vise hva som helst: 6 valg. Andre må være forskjellig: 5 valg. Tredje må være forskjellig fra begge de første: 4 valg.

Steg 3 — Multipliser valgene

Antall gunstige utfall er \[6\cdot5\cdot4=120.\]

Steg 4 — Lag sannsynlighetsbrøken

\[P=\dfrac{120}{216}.\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{120}{216}=\dfrac{5}{9}.\]

Tolkning

Sannsynligheten er litt over halvparten. Det er rimelig fordi tre terninger har nokså mange muligheter for å bli forskjellige.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
from itertools import product

alle_utsagn = list(product(range(1, 7), repeat=3))
gunstige = [kast for kast in alle_utsagn if len(set(kast)) == 3]

print("Totalt antall ordnede utfall:", len(alle_utsagn))
print("Antall gunstige utfall:", len(gunstige))
print("Sannsynlighet:", Fraction(len(gunstige), len(alle_utsagn)))
print("Desimalverdi:", len(gunstige)/len(alle_utsagn))
print("Eksempel på gunstige utfall:", gunstige[:8])

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk inndeling av utfall

For tre terninger finnes tre relevante typer: alle like, alle forskjellige, eller nøyaktig to like.

Steg 2 — Tell direkte

Velg tallet som skal komme to ganger: 6 valg. Velg hvilket av de tre kastene som skal være annerledes: 3 valg. Velg tallet på den siste terningen: 5 valg.

Steg 3 — Finn antall gunstige utfall

\[6\cdot3\cdot5=90.\]

Steg 4 — Del på alle utfall

Alle utfall er fortsatt \(6^3=216\). Dermed er \[P=\dfrac{90}{216}.\]

Steg 5 — Forkort brøken

\[\dfrac{90}{216}=\dfrac{5}{12}.\]

Tolkning

Sannsynligheten for nøyaktig ett par er \(\dfrac{5}{12}\), altså omtrent 41,7 prosent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
from itertools import product

alle_utsagn = list(product(range(1, 7), repeat=3))

def nøyaktig_to_like(kast):
    antall = [kast.count(verdi) for verdi in range(1, 7)]
    return 2 in antall and 3 not in antall

gunstige = [kast for kast in alle_utsagn if nøyaktig_to_like(kast)]
print("Totalt antall ordnede utfall:", len(alle_utsagn))
print("Antall utfall med nøyaktig to like:", len(gunstige))
print("Sannsynlighet:", Fraction(len(gunstige), len(alle_utsagn)))
print("Desimalverdi:", len(gunstige)/len(alle_utsagn))
print("Eksempel på gunstige utfall:", gunstige[:10])

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn punktet der regelen skifter

Funksjonsuttrykket skifter ved \(x=1\). Det er bare der kontinuiteten kan være et problem.

Steg 2 — Finn venstre grenseverdi

Når \(x\) nærmer seg 1 fra venstre, brukes \(x^2+3x-a^2\): \[\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+3\cdot1-a^2=4-a^2.\]

Steg 3 — Finn funksjonsverdien og høyre grenseverdi

For \(x\ge1\) brukes \(x-1\). Derfor er \[f(1)=1-1=0.\]

Steg 4 — Sett kontinuitetskravet

Kontinuitet krever at venstre grenseverdi er lik funksjonsverdien: \[4-a^2=0.\]

Steg 5 — Løs likningen

\[a^2=4\quad\Longrightarrow\quad a=\pm2.\]

Tolkning

Begge verdiene fungerer fordi \(a\) står som \(a^2\), så fortegnet til \(a\) påvirker ikke funksjonsverdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Eq, limit

x, a = symbols('x a')
venstre_uttrykk = x**2 + 3*x - a**2
hoyre_uttrykk = x - 1

venstre_grense = limit(venstre_uttrykk, x, 1, dir='-')
funksjonsverdi = hoyre_uttrykk.subs(x, 1)
likning = Eq(venstre_grense, funksjonsverdi)
losninger = solve(likning, a)

print("Venstre grenseverdi:", venstre_grense)
print("Funksjonsverdi fra høyre uttrykk:", funksjonsverdi)
print("Likning for kontinuitet:", likning)
print("Løsninger for a:", losninger)
for verdi in losninger:
    print(f"a={verdi}: venstre verdi =", venstre_grense.subs(a, verdi))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Se hva programmet regner ut

Uttrykket \(\dfrac{K(a+h)-K(a)}{h}\) er en numerisk tilnærming til den deriverte \(K^{\prime}(a)\).

Steg 2 — Deriver kostnadsfunksjonen

\[K^{\prime}(x)=0{,}2x+100.\]

Steg 3 — Finn når marginalkostnaden når grensen

Programmet øker \(a\) så lenge marginalkostnaden er mindre enn 200. Vi løser omtrent \[0{,}2a+100=200.\]

Steg 4 — Løs likningen

\[0{,}2a=100\quad\Longrightarrow\quad a=500.\]

Steg 5 — Sjekk programlogikken

For \(a=499\) er \(K^{\prime}(499)=199{,}8<200\), så programmet øker til 500. Ved \(a=500\) er den numeriske differansekvotienten omtrent 200, så løkken stopper.

Steg 6 — Finn utskriften

Programmet skriver derfor ut \(500\).

Tolkning

Etter omtrent 500 produserte enheter er marginalkostnaden kommet opp i 200 kroner per ekstra enhet. Praktisk betyr det at neste enhet da koster omtrent 200 kroner ekstra å produsere.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def K(x):
    return 0.1*x**2 + 100*x + 9000

grense = 200
h = 0.00001
a = 1

print("Starter med a =", a)
print("Grense for marginalkostnad =", grense)
print("h =", h)

while (K(a + h) - K(a))/h < grense:
    if a in [1, 100, 250, 499]:
        diffkvotient = (K(a + h) - K(a))/h
        print(f"a={a:3d}, differansekvotient ≈ {diffkvotient:.6f}")
    a = a + 1

sluttverdi = (K(a + h) - K(a))/h
print("Programmet stopper ved a =", a)
print("Differansekvotient ved stopp ≈", sluttverdi)
print("Utskrift fra programmet:", a)

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer inntekt

Når prisen er 28 000 kroner, er inntekten i tusen kroner \(I(x)=28x\).

Steg 2 — Tilpass kostnadsmodell

En kvadratisk regresjon på kostnadstallene gir omtrent \[K(x)\approx0{,}041x^2+17x+103\] i tusen kroner.

Steg 3 — Bruk overskudd lik inntekt minus kostnad

\[O(x)=I(x)-K(x).\]

Steg 4 — Sett inn modellene

\[O(x)=28x-\left(0{,}041x^2+17x+103\right).\]

Steg 5 — Forenkle

\[O(x)=-0{,}041x^2+11x-103.\]

Steg 6 — Vurder godheten

Modellen er god fordi en andregradsregresjon følger kostnadspunktene tett, og overskuddsmodellen kommer direkte fra økonomisk sammenheng.

Tolkning

Overskuddet blir målt i tusen kroner. En positiv verdi betyr overskudd, mens en negativ verdi betyr underskudd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
import numpy as np

x = symbols('x')
antall = np.array([10, 25, 40, 70, 100, 140, 180], dtype=float)
kostnad = np.array([270, 550, 870, 1500, 2200, 3300, 4500], dtype=float)

koeff = np.polyfit(antall, kostnad, 2)
print("Regresjonskoeffisienter for kostnad:", koeff)
print("Avrundet kostnadsmodell: K(x) = 0.041x^2 + 17x + 103")

K = 0.041*x**2 + 17*x + 103
I = 28*x
O = expand(I - K)
print("Inntektsmodell I(x) =", I)
print("Overskuddsmodell O(x) =", O)
for a, k in zip(antall, kostnad):
    modell = float(K.subs(x, a))
    print(f"x={a:5.0f}, observert K={k:7.1f}, modell K={modell:7.1f}, avvik={modell-k:7.1f}")

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Se at modellen er en parabel nedover

Koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, så overskuddet har et maksimum i toppunktet.

Steg 2 — Bruk toppunktformelen

For \(ax^2+bx+c\) ligger toppunktet ved \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

Steg 3 — Sett inn

Her er \(a=-0{,}041\) og \(b=11\): \[x=-\dfrac{11}{2\cdot(-0{,}041)}\approx134{,}15.\]

Steg 4 — Tolk heltallig produksjon

Fabrikken kan produsere et helt antall sofaer. Derfor er 134 sofaer den naturlige produksjonsmengden.

Steg 5 — Kontroller med naboverdier

Verdiene ved 134 og 135 er nesten like, men toppunktet ligger nærmest 134,15.

Tolkning

Størst overskudd oppnås ved omtrent 134 sofaer per måned, ifølge modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, N

x = symbols('x')
O = -0.041*x**2 + 11*x - 103
O_derivert = diff(O, x)
kritisk = solve(O_derivert, x)[0]
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O_derivert)
print("Kritisk x-verdi =", N(kritisk))
print("O(kritisk) =", N(O.subs(x, kritisk)))
for heltall in [133, 134, 135, 136]:
    print(f"O({heltall}) = {float(O.subs(x, heltall)):.3f} tusen kroner")

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk kostnadsmodellen fra del a

Kostnadsmodellen i tusen kroner er \(K(x)=0{,}041x^2+17x+103\).

Steg 2 — La prisen være \(p\) tusen kroner per sofa

Da blir inntekten \(px\), og overskuddet \[O_p(x)=px-K(x)=-0{,}041x^2+(p-17)x-103.\]

Steg 3 — Krav til maksimalverdi

Den laveste prisen som kan gi 1 million kroner i overskudd, får vi når maksimum av \(O_p\) er akkurat \(1000\) tusen kroner.

Steg 4 — Bruk toppunktverdi

For funksjonen \(-0{,}041x^2+(p-17)x-103\) er maksimalverdien \[\dfrac{(p-17)^2}{4\cdot0{,}041}-103.\]

Steg 5 — Sett lik 1000

\[\dfrac{(p-17)^2}{0{,}164}-103=1000.\]

Steg 6 — Løs for positiv realistisk pris

\[(p-17)^2=1103\cdot0{,}164=180{,}892,\] så \(p\approx30{,}45\).

Tolkning

Prisen må være omtrent 30,45 tusen kroner per sofa, altså omtrent 30 450 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, N

p = symbols('p')
# p måles i tusen kroner per sofa.
max_overskudd = (p - 17)**2/(4*0.041) - 103
likning = Eq(max_overskudd, 1000)
losninger = solve(likning, p)
print("Maksimal overskuddsverdi som funksjon av pris:", max_overskudd)
print("Likning for akkurat 1 million i overskudd:", likning)
print("Løsninger for p i tusen kroner:")
for verdi in losninger:
    print("p =", N(verdi), "tusen kroner")
realistisk = max(losninger)
print("Laveste realistiske salgspris:", N(realistisk*1000), "kroner")

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg modell

La \(X\) være antall venstrehendte gutter. Vi bruker binomisk modell med \(n=280\) og \(p=0{,}10\).

Steg 2 — Skriv fordelingen

\[X\sim\operatorname{Bin}(280,0{,}10).\]

Steg 3 — Formuler hendelsen

Vi skal finne \[P(X\ge25).\]

Steg 4 — Regn digitalt

\[P(X\ge25)=1-P(X\le24).\]

Steg 5 — Les av resultat

Digital beregning gir \[P(X\ge25)\approx0{,}753.\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 75,3 prosent, som er rimelig fordi forventet antall er \(280\cdot0{,}10=28\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb

n = 280
p = 0.10
sannsynlighet = 0
print("X ~ Bin(280, 0.10)")
for k in range(25, n + 1):
    ledd = comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
    sannsynlighet += ledd
print("P(X >= 25) =", sannsynlighet)
print("Avrundet:", round(sannsynlighet, 4))
print("Forventningsverdi n*p =", n*p)

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabelen

La \(n\) være antall gutter i klassen, og la \(X\sim\operatorname{Bin}(n,0{,}10)\).

Steg 2 — Skriv kravet

Vi skal finne minste \(n\) slik at \[P(X\ge3)>0{,}20.\]

Steg 3 — Bruk komplement

\[P(X\ge3)=1-P(X\le2).\]

Steg 4 — Søk digitalt

Vi tester \(n=1,2,3,\ldots\) til sannsynligheten blir større enn \(0{,}20\).

Steg 5 — Finn grenseverdien

For \(n=15\) er sannsynligheten ikke stor nok. For \(n=16\) er \(P(X\ge3)\approx0{,}211\), som er større enn \(0{,}20\).

Tolkning

Det må være minst 16 gutter i klassen for at sannsynligheten skal overstige 20 prosent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb

def p_minst_tre(n, p=0.10):
    p_0_1_2 = sum(comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) for k in range(3))
    return 1 - p_0_1_2

print("Vi søker etter minste n med P(X >= 3) > 0.20")
for n in range(1, 60):
    verdi = p_minst_tre(n)
    print(f"n={n:2d}: P(X >= 3) = {verdi:.6f}")
    if verdi > 0.20:
        print("Minste n:", n)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer to uavhengige variabler

La \(G\) være antall venstrehendte gutter og \(J\) antall venstrehendte jenter. Da er \(G\sim\operatorname{Bin}(13,0{,}10)\) og \(J\sim\operatorname{Bin}(17,0{,}08)\).

Steg 2 — Formuler hendelsen

Vi skal ha \(G+J=3\).

Steg 3 — Del opp i tilfeller

Mulige fordelinger er \((G,J)=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)\).

Steg 4 — Summer sannsynlighetene

\[P(G+J=3)=\sum_{i=0}^{3}P(G=i)P(J=3-i).\]

Steg 5 — Regn digitalt

Summen gir \[P(G+J=3)\approx0{,}2309.\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 23,1 prosent. Vi kan ikke bruke én felles binomisk modell direkte, fordi gutter og jenter har ulik sannsynlighet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb

sannsynlighet = 0
print("G ~ Bin(13, 0.10), J ~ Bin(17, 0.08)")
for i in range(0, 4):
    gutter = comb(13, i) * 0.10**i * 0.90**(13 - i)
    jenter = comb(17, 3 - i) * 0.08**(3 - i) * 0.92**(17 - (3 - i))
    produkt = gutter * jenter
    sannsynlighet += produkt
    print(f"G={i}, J={3-i}: {produkt:.8f}")
print("P(G + J = 3) =", sannsynlighet)
print("Avrundet:", round(sannsynlighet, 4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk renteformelen

For Per er vekstfaktoren \(1{,}03\), så beløpet etter 8 år er \[B\cdot1{,}03^8.\]

Steg 2 — Sett opp likningen

\[B\cdot1{,}03^8=30\,000.\]

Steg 3 — Løs for startbeløpet

\[B=\dfrac{30\,000}{1{,}03^8}.\]

Steg 4 — Regn ut

\[B\approx23\,682{,}28.\]

Steg 5 — Rund praktisk

Per må sette inn omtrent \(23\,682\) kroner, eller \(23\,700\) kroner dersom vi runder til nærmeste hundrelapp.

Tolkning

Startbeløpet er lavere enn 30 000 kroner fordi rentene øker beløpet over åtte år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import N

sluttbelop = 30000
vekstfaktor = 1.03
antall_ar = 8
startbelop = sluttbelop / vekstfaktor**antall_ar

print("Sluttbeløp:", sluttbelop)
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Antall år:", antall_ar)
print("Startbeløp = 30000 / 1.03^8")
print("Startbeløp =", N(startbelop, 10))
print("Kontroll, startbeløp * 1.03^8 =", N(startbelop*vekstfaktor**antall_ar, 10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv doblingslikningene

For Per: \(1{,}03^t=2\). For Kåre: \(1{,}06^t=2\).

Steg 2 — Løs med logaritmer

\[t_P=\dfrac{\ln2}{\ln1{,}03},\qquad t_K=\dfrac{\ln2}{\ln1{,}06}.\]

Steg 3 — Regn ut tidene

\[t_P\approx23{,}45,\qquad t_K\approx11{,}90.\]

Steg 4 — Sammenlign forholdet

\[\dfrac{t_P}{t_K}\approx1{,}971,\] ikke nøyaktig \(2\).

Steg 5 — Forklar hvorfor

Doblingstid er ikke omvendt proporsjonal med rentesatsen, fordi eksponentialvekst styres av logaritmer av vekstfaktorene.

Tolkning

Påstanden er nesten riktig numerisk, men ikke nøyaktig. Kravet i oppgaven er å argumentere for at den ikke er matematisk eksakt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import log, N

t_per = log(2)/log(1.03)
t_kare = log(2)/log(1.06)
forhold = t_per/t_kare

print("Per: 1.03^t = 2")
print("t_Per = ln(2)/ln(1.03) =", N(t_per, 10))
print("Kåre: 1.06^t = 2")
print("t_Kåre = ln(2)/ln(1.06) =", N(t_kare, 10))
print("Forhold t_Per/t_Kåre =", N(forhold, 10))
print("Forskjell fra 2:", N(2 - forhold, 10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — La startbeløpet være \(B\)

De setter inn like store beløp, så samlet startbeløp er \(2B\). Dobbelt så mye blir \(4B\).

Steg 2 — Skriv samlet beløp etter \(t\) år

\[B\cdot1{,}03^t+B\cdot1{,}06^t.\]

Steg 3 — Sett opp likningen

\[B\cdot1{,}03^t+B\cdot1{,}06^t=4B.\]

Steg 4 — Forkort med \(B\)

\[1{,}03^t+1{,}06^t=4.\]

Steg 5 — Løs digitalt

Denne likningen kan ikke løses enkelt med vanlig algebra. Numerisk løsning gir \[t\approx15{,}24.\]

Tolkning

Det tar omtrent 15,2 år før kontoene til sammen har doblet den samlede startkapitalen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, nsolve

t = symbols('t')
likning = 1.03**t + 1.06**t - 4
losning = nsolve(likning, 15)

print("Likning etter forkorting med startbeløpet B:")
print("1.03^t + 1.06^t = 4")
print("Numerisk løsning:", losning)
print("Kontroll venstreside:", 1.03**float(losning) + 1.06**float(losning))
print("Tid i år avrundet:", round(float(losning), 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk komplement

Komplementet til minst to like er at alle fem terningene viser forskjellige tall.

Steg 2 — Tell alle utfall

Totalt finnes \(6^5\) ordnede utfall.

Steg 3 — Tell utfall med alle forskjellige

Da må de fem terningene ha fem ulike tall: \[6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720.\]

Steg 4 — Finn komplementet

\[P(\text{minst to like})=1-\dfrac{720}{6^5}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[1-\dfrac{720}{7776}=\dfrac{49}{54}\approx0{,}907.\]

Tolkning

Det er svært sannsynlig at minst to blir like når fem terninger kastes, fordi det bare finnes seks mulige øyetall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction

alle = 6**5
alle_forskjellige = 6*5*4*3*2
minst_to_like = alle - alle_forskjellige
sannsynlighet = Fraction(minst_to_like, alle)

print("Totalt antall utfall:", alle)
print("Antall med alle forskjellige:", alle_forskjellige)
print("Antall med minst to like:", minst_to_like)
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Desimalverdi:", float(sannsynlighet))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer utfallsrommet

Fem terninger gir \(6^5=7776\) mulige ordnede utfall.

Steg 2 — Regn summen for hvert utfall

For hvert kast \((t_1,t_2,t_3,t_4,t_5)\) beregner vi \(X=t_1+t_2+t_3+t_4+t_5\).

Steg 3 — Tell gunstige utfall

Programmet teller alle utfall der \(X>20\).

Steg 4 — Del på alle utfall

\[P(X>20)=\dfrac{\text{antall gunstige}}{7776}.\]

Steg 5 — Resultat

Programmering gir 1722 gunstige utfall, altså \[P(X>20)=\dfrac{1722}{7776}\approx0{,}22145.\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 22,1 prosent. Det er rimelig fordi 20 ligger over forventet sum \(5\cdot3{,}5=17{,}5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from itertools import product
from fractions import Fraction

utfall = list(product(range(1, 7), repeat=5))
gunstige = []
for kast in utfall:
    X = sum(kast)
    if X > 20:
        gunstige.append(kast)

sannsynlighet = Fraction(len(gunstige), len(utfall))
print("Totalt antall utfall:", len(utfall))
print("Antall utfall med X > 20:", len(gunstige))
print("P(X > 20) =", sannsynlighet)
print("Desimalverdi:", float(sannsynlighet))
print("Noen gunstige utfall:", gunstige[:10])

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk samme utfallsrom

Vi bruker de \(7776\) ordnede utfallene for fem terninger.

Steg 2 — Test heltallsverdier for \(k\)

Siden \(X\) er en sum av terningøyne, kan \(k\) bare være et heltall fra 5 til 30.

Steg 3 — Finn halen

For hver \(k\) teller vi hvor mange utfall som har \(X\ge k\).

Steg 4 — Søk etter største verdi

Vi starter høyt og går ned til sannsynligheten blir større enn \(0{,}8\).

Steg 5 — Resultat

Programmet gir at \(P(X\ge14)\approx0{,}848\), mens \(P(X\ge15)\) ikke er større enn \(0{,}8\).

Tolkning

Den største terskelen som fortsatt gir mer enn 80 prosent sannsynlighet, er \(k=14\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from itertools import product
from fractions import Fraction

summer = [sum(kast) for kast in product(range(1, 7), repeat=5)]
antall = len(summer)
print("Totalt antall utfall:", antall)

beste_k = None
for k in range(30, 4, -1):
    gunstige = sum(1 for verdi in summer if verdi >= k)
    sannsynlighet = Fraction(gunstige, antall)
    print(f"k={k:2d}: P(X >= k) = {float(sannsynlighet):.6f} = {sannsynlighet}")
    if sannsynlighet > Fraction(8, 10):
        beste_k = k
        print("Største k som oppfyller kravet:", beste_k)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer målene

Bunnen er et kvadrat med side \(5\) dm, så bunnarealet er \(5^2=25\) dm\(^2\).

Steg 2 — Skriv sidearealet

Kassen har fire sideflater. Hver har areal \(5h\), der \(h\) er høyden. Sidearealet er derfor \(20h\).

Steg 3 — Sett opp arealkravet

\[25+20h\le120.\]

Steg 4 — Finn største høyde

\[20h\le95\quad\Longrightarrow\quad h\le4{,}75.\]

Steg 5 — Regn volumet

\[V=5^2\cdot4{,}75=118{,}75.\]

Tolkning

Det største volumet med bunnside 5 dm er \(118{,}75\) dm\(^3\). Da brukes hele arealgrensen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, N

side = Rational(5, 1)
arealgrense = Rational(120, 1)
bunnareal = side**2
hoyde = (arealgrense - bunnareal)/(4*side)
volum = side**2 * hoyde

print("Side i bunnen:", side, "dm")
print("Bunnareal:", bunnareal, "dm^2")
print("Maksimal høyde:", hoyde, "dm =", N(hoyde))
print("Maksimalt volum:", volum, "dm^3 =", N(volum))
print("Areal brukt:", bunnareal + 4*side*hoyde, "dm^2")

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — La \(x\) være sidelengden i bunnen

Bunnen har areal \(x^2\), og de fire sideflatene har samlet areal \(4xh\).

Steg 2 — Bruk arealgrensen

For maksimalvolum brukes hele arealet: \[x^2+4xh=120.\]

Steg 3 — Løs for høyden

\[h=\dfrac{120-x^2}{4x}.\]

Steg 4 — Lag volumfunksjonen

\[V(x)=x^2h=x^2\cdot\dfrac{120-x^2}{4x}=30x-\dfrac{x^3}{4}.\]

Steg 5 — Deriver og sett lik null

\[V^{\prime}(x)=30-\dfrac{3x^2}{4}.\] \[30-\dfrac{3x^2}{4}=0\quad\Longrightarrow\quad x^2=40.\]

Steg 6 — Finn volumet

\[x=2\sqrt{10},\qquad V_{\max}=40\sqrt{10}\approx126{,}49.\]

Tolkning

Det maksimale volumet er omtrent \(126{,}5\) dm\(^3\). Dette er litt større enn i del a, fordi bunnsiden nå kan velges fritt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, simplify, N

x = symbols('x', positive=True)
h = (120 - x**2)/(4*x)
V = x**2 * h
V_forenklet = simplify(V)
V_derivert = diff(V_forenklet, x)
kritiske = solve(V_derivert, x)

print("h(x) =", h)
print("V(x) =", V_forenklet)
print("V'(x) =", V_derivert)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    if verdi.is_positive:
        print("x =", verdi, "≈", N(verdi))
        print("h =", simplify(h.subs(x, verdi)), "≈", N(h.subs(x, verdi)))
        print("V =", simplify(V_forenklet.subs(x, verdi)), "≈", N(V_forenklet.subs(x, verdi)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabler

La \(x\) være sidelengden i den kvadratiske bunnen og \(h\) høyden.

Steg 2 — Bruk volumkravet

\[x^2h=80\quad\Longrightarrow\quad h=\dfrac{80}{x^2}.\]

Steg 3 — Skriv arealet uten lokk

\[A=x^2+4xh.\]

Steg 4 — Sett inn høyden

\[A(x)=x^2+4x\cdot\dfrac{80}{x^2}=x^2+\dfrac{320}{x}.\]

Steg 5 — Deriver og sett lik null

\[A^{\prime}(x)=2x-\dfrac{320}{x^2}.\] \[2x-\dfrac{320}{x^2}=0\quad\Longrightarrow\quad 2x^3=320.\]

Steg 6 — Finn minste areal

\[x^3=160,\quad x\approx5{,}429.\] Da blir \[A_{\min}\approx88{,}42.\]

Tolkning

Det minste samlede platearealet er omtrent \(88{,}4\) dm\(^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, N, simplify

x = symbols('x', positive=True)
h = 80/x**2
A = x**2 + 4*x*h
A_derivert = diff(A, x)
kritiske = solve(A_derivert, x)

print("Volumkrav: x^2*h = 80")
print("h(x) =", h)
print("A(x) =", simplify(A))
print("A'(x) =", A_derivert)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    if verdi.is_real:
        print("x ≈", N(verdi))
        print("h ≈", N(h.subs(x, verdi)))
        print("A_min ≈", N(A.subs(x, verdi)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv en generell tredjegradsfunksjon

En tredjegradsfunksjon kan skrives \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), der \(a\ne0\).

Steg 2 — Deriver

\[f^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c.\] Ekstremalpunkter krever reelle nullpunkter til den deriverte.

Steg 3 — Finn et moteksempel

Funksjonen \(f(x)=x^3\) er en tredjegradsfunksjon.

Steg 4 — Undersøk den deriverte

\[f^{\prime}(x)=3x^2.\] Den er aldri negativ og skifter ikke fortegn ved \(x=0\).

Steg 5 — Konkluder

Grafen til \(x^3\) har ikke ekstremalpunkt. Derfor er påstanden usann.

Tolkning

Ét moteksempel er nok til å vise at en generell påstand er usann.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve

x = symbols('x')
f = x**3
f_derivert = diff(f, x)
kritiske = solve(f_derivert, x)

print("Moteksempel f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kritisk punkt:", kritiske)
for punkt in kritiske:
    venstre = f_derivert.subs(x, punkt - 1)
    hoyre = f_derivert.subs(x, punkt + 1)
    print("Fortegn rundt x=0:", venstre, hoyre)
print("Den deriverte skifter ikke fortegn, derfor ikke ekstremalpunkt.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp skjæringslikning

En skjæring mellom \(y=ax+b\) og \(y=f(x)\) betyr at \[f(x)=ax+b.\]

Steg 2 — Flytt alt til én side

Da får vi \[f(x)-ax-b=0.\]

Steg 3 — Se på graden

Siden \(f\) er en tredjegradsfunksjon, er \(f(x)-ax-b\) også et tredjegradspolynom.

Steg 4 — Bruk egenskap for tredjegradspolynom

Alle reelle tredjegradspolynom har minst ett reelt nullpunkt, fordi verdiene går mot motsatte uendeligheter når \(x\) går mot \(\infty\) og \(-\infty\).

Steg 5 — Konkluder

Derfor finnes minst ett reelt \(x\) som gir skjæring.

Tolkning

Påstanden er sann: enhver rett linje vil skjære grafen til en tredjegradsfunksjon minst én gang.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, nroots

x = symbols('x')
# Eksempel: f(x)=x^3-x og linjen y=2x+5.
f = x**3 - x
linje = 2*x + 5
polynom = f - linje

print("Eksempelpolynom f(x) - linje:", polynom)
print("Numeriske nullpunkter:", nroots(polynom))
print("Prinsipp: Et reelt tredjegradspolynom har alltid minst ett reelt nullpunkt.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk generell tredjegradsfunksjon

La \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), der \(a\ne0\).

Steg 2 — Finn den andrederiverte

\[f^{\prime\prime}(x)=6ax+2b.\] Vendepunkt ved \(x=3\) betyr \(f^{\prime\prime}(3)=0\).

Steg 3 — Bruk vendepunktkravet

\[6a\cdot3+2b=0\quad\Longrightarrow\quad 18a+2b=0\quad\Longrightarrow\quad b=-9a.\]

Steg 4 — Skriv den deriverte

\[f^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c.\] Med \(b=-9a\) får vi \[f^{\prime}(x)=3ax^2-18ax+c.\]

Steg 5 — Sammenlign \(x=1\) og \(x=5\)

\[f^{\prime}(1)=3a-18a+c=c-15a.\] \[f^{\prime}(5)=75a-90a+c=c-15a.\]

Steg 6 — Konkluder

Dermed er \(f^{\prime}(1)=f^{\prime}(5)\).

Tolkning

Påstanden er sann. Punktene 1 og 5 ligger like langt fra vendepunktets \(x\)-verdi 3, og den deriverte til en tredjegradsfunksjon er en andregradsfunksjon med symmetriakse i vendepunktet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, simplify

x, a, c, d = symbols('x a c d')
# Når vendepunktet er ved x=3, må b=-9a.
f = a*x**3 - 9*a*x**2 + c*x + d
f_derivert = diff(f, x)
f_andrederivert = diff(f, x, 2)
verdi_1 = simplify(f_derivert.subs(x, 1))
verdi_5 = simplify(f_derivert.subs(x, 5))

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("f''(x) =", f_andrederivert)
print("f''(3) =", simplify(f_andrederivert.subs(x, 3)))
print("f'(1) =", verdi_1)
print("f'(5) =", verdi_5)
print("Forskjell f'(1) - f'(5) =", simplify(verdi_1 - verdi_5))