ifingo · Matematikk S1 · LK20

Matematikk S1 eksamen Høst 2022 – løsningsforslag

Originalt, komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert fra Udir-settet og løst med trinnvis forklaring, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og realistisk Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med algebra, derivasjon, logaritmer, grenseverdi og sannsynlighet uten hjelpemidler.

Del 1 · Oppgave 1Potensregning

Oppgave 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[\left(2a^{-2}b\right)^{-1}\cdot\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^2\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk negativ eksponent

Negativ eksponent betyr invers: \[\left(2a^{-2}b\right)^{-1}=\dfrac{1}{2a^{-2}b}.\]

Steg 2 — Flytt \(a^{-2}\)

Siden \(a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}\), får vi \[\dfrac{1}{2a^{-2}b}=\dfrac{a^2}{2b}.\]

Steg 3 — Kvadrer brøken

\[\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^2=\dfrac{b^4}{a^2}.\]

Steg 4 — Multipliser faktorene

\[\dfrac{a^2}{2b}\cdot\dfrac{b^4}{a^2}=\dfrac{b^3}{2}.\]

Steg 5 — Kontroller at alt er forkortet

Både \(a^2\) og én faktor \(b\) er forkortet, så svaret kan ikke forenkles mer.

Tolkning

Uttrykket ender uten \(a\), fordi \(a\)-potensene kansellerer nøyaktig.

Vanlig feil: Å tolke \(\left(2a^{-2}b\right)^{-1}\) som bare at tallet 2 får negativ eksponent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Forenkle((2*a^(-2)*b)^(-1)*(b^2/a)^2)

→ \(\dfrac{b^3}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, factor

a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = (2*a**(-2)*b)**(-1) * (b**2/a)**2
forenklet = simplify(uttrykk)
print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Forenklet uttrykk:", forenklet)
print("Faktorisert kontroll:", factor(forenklet))
print("Kontroll uttrykk - fasit:", simplify(uttrykk - b**3/2))

Fasit: \(\dfrac{b^3}{2}\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 2aDerivasjon og marginaltolkning

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(O\) gitt ved \(O(x)=-0{,}05x^2+100x-10\,000\) er en modell for overskudd i kroner per uke. Bestem \(O^{\prime}(500)\). Gi en tolkning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[O^{\prime}(x)=-0{,}10x+100.\]

Steg 2 — Sett inn \(x=500\)

\[O^{\prime}(500)=-0{,}10\cdot500+100=50.\]

Steg 3 — Husk enheten

\(O\) måles i kroner og \(x\) i enheter, derfor måles \(O^{\prime}(500)\) i kroner per enhet.

Steg 4 — Tolk som marginalendring

Når produksjonen er omtrent \(500\) enheter, øker overskuddet med omtrent \(50\) kroner per ekstra solgte enhet.

Steg 5 — Rimelighetskontroll

Siden \(500\) ligger før toppunktet til parabelen, skal den deriverte være positiv. Det stemmer.

Tolkning

Overskuddet øker fortsatt ved 500 enheter, men veksten avtar fordi grafen er en parabel som vender nedover.

Vanlig feil: Å tolke \(50\) som overskuddet, ikke som endring i overskudd per ekstra enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Derivert(-0.05*x^2+100*x-10000)

→ \(-0{,}1x+100\)

(-0.1*500+100)

→ \(50\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, N

x = symbols('x')
O = -0.05*x**2 + 100*x - 10000
O_derivert = diff(O, x)
verdi = O_derivert.subs(x, 500)
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O_derivert)
print("O'(500) =", N(verdi))
print("Tolkning: ca. 50 kroner mer i overskudd per ekstra enhet ved x=500")

Fasit: \(O^{\prime}(500)=50\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 2bAndregradsfunksjon og maksimum

Oppgave 2b

Oppgave:

Hva er det maksimale overskuddet denne bedriften kan ha hver uke, ifølge modellen \(O\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk at parabelen vender nedover

Koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, så funksjonen har et maksimum i toppunktet.

Steg 2 — Finn toppunktets \(x\)-verdi

For \(ax^2+bx+c\) er \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Her er \(a=-0{,}05\) og \(b=100\): \[x=-\dfrac{100}{2\cdot\left(-0{,}05\right)}=1000.\]

Steg 3 — Sett inn i modellen

\[O(1000)=-0{,}05\cdot1000^2+100\cdot1000-10\,000.\]

Steg 4 — Regn ut

\[O(1000)=-50\,000+100\,000-10\,000=40\,000.\]

Steg 5 — Kontroller med den deriverte

\[O^{\prime}(1000)=-0{,}10\cdot1000+100=0.\] Det bekrefter toppunktet.

Tolkning

Det største ukentlige overskuddet modellen gir, er \(40\,000\) kroner ved produksjon og salg av \(1000\) enheter.

Vanlig feil: Å finne \(x=1000\), men ikke sette verdien inn i \(O(x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Ekstremalpunkt(-0.05*x^2+100*x-10000)

→ \((1000,40000)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, N

x = symbols('x')
O = -0.05*x**2 + 100*x - 10000
O_derivert = diff(O, x)
kritiske = solve(O_derivert, x)
print("O'(x) =", O_derivert)
print("Kritisk x-verdi:", kritiske)
for xverdi in kritiske:
    print("O(", xverdi, ") =", N(O.subs(x, xverdi)))
print("Andrederivert:", diff(O, x, 2), "< 0, altså maksimum")

Fasit: Maksimalt overskudd er \(40\,000\) kroner. (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 3Logaritmer

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(x-3\right)+\lg x=1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Vi må ha \(x-3>0\) og \(x>0\). Dermed må \(x>3\).

Steg 2 — Bruk produktregelen

\[\lg\left(x-3\right)+\lg x=\lg\left(x\left(x-3\right)\right).\]

Steg 3 — Skriv høyre side som logaritme

Siden \(1=\lg 10\), får vi \[\lg\left(x\left(x-3\right)\right)=\lg 10.\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x\left(x-3\right)=10\quad\Longrightarrow\quad x^2-3x-10=0.\]

Steg 5 — Faktoriser og sjekk domenet

\[x^2-3x-10=\left(x-5\right)\left(x+2\right).\] Kandidatene er \(x=5\) og \(x=-2\). Bare \(x=5\) oppfyller \(x>3\).

Tolkning

Logaritmene gjør at den negative løsningen ikke er lovlig, selv om den løser andregradslikningen.

Vanlig feil: Å glemme definisjonsmengden og ta med \(x=-2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(log10(x-3)+log10(x)=1,x)

→ \(x=5\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, factor

x = symbols('x')
polynom = x*(x - 3) - 10
kandidater = solve(polynom, x)
print("Domenekrav: x > 3")
print("Polynom etter logaritmeregler:", polynom)
print("Faktorisert:", factor(polynom))
print("Kandidater:", kandidater)
for verdi in kandidater:
    print(f"x={verdi}: er x > 3?", verdi > 3)
print("Gyldig løsning:", [v for v in kandidater if v > 3])

Fasit: \(x=5\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 4Grenseverdi

Oppgave 4

Oppgave:

Bestem grenseverdien \[\lim_{h\to0}\dfrac{\left(4+h\right)^2-4^2}{h}.\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Utvid kvadratet

\[\left(4+h\right)^2=16+8h+h^2.\]

Steg 2 — Trekk fra \(4^2\)

\[\left(4+h\right)^2-4^2=16+8h+h^2-16=8h+h^2.\]

Steg 3 — Faktoriser teller

\[8h+h^2=h\left(8+h\right).\]

Steg 4 — Forkort med \(h\)

For \(h\ne0\) er \[\dfrac{h\left(8+h\right)}{h}=8+h.\]

Steg 5 — La \(h\) gå mot 0

\[\lim_{h\to0}\left(8+h\right)=8.\]

Tolkning

Grenseverdien er den momentane vekstfarten til \(x^2\) i punktet \(x=4\), altså \(2\cdot4=8\).

Vanlig feil: Å sette \(h=0\) inn før man har forkortet, som gir \(0/0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Grenseverdi(((4+h)^2-4^2)/h,h,0)

→ \(8\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, limit, expand, factor

h = symbols('h')
uttrykk = ((4 + h)**2 - 4**2)/h
print("Uttrykk:", uttrykk)
print("Teller utvidet:", expand((4 + h)**2 - 4**2))
print("Teller faktorisert:", factor((4 + h)**2 - 4**2))
print("Forkortet uttrykk:", factor((4 + h)**2 - 4**2)/h)
print("Grenseverdi:", limit(uttrykk, h, 0))

Fasit: \(8\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 5aSannsynlighet uten tilbakelegging

Oppgave 5a

Oppgave:

I en krukke er det 2 hvite og 6 svarte kuler. Du skal tilfeldig trekke 2 kuler uten tilbakelegging. Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene er hvit.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk komplement

«Minst én hvit» er komplementet til «ingen hvite», altså to svarte.

Steg 2 — Finn sannsynlighet for to svarte

\[P(\text{to svarte})=\dfrac{6}{8}\cdot\dfrac{5}{7}=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}.\]

Steg 3 — Bruk komplementregelen

\[P(\text{minst én hvit})=1-P(\text{to svarte}).\]

Steg 4 — Regn ut

\[1-\dfrac{15}{28}=\dfrac{13}{28}.\]

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Det er få hvite kuler, så sannsynligheten bør være under \(0{,}5\). \(\dfrac{13}{28}\approx0{,}464\), som er rimelig.

Tolkning

Sannsynligheten for minst én hvit kule er omtrent \(46{,}4\) prosent.

Vanlig feil: Å regne som om trekkene var med tilbakelegging.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

1-(6/8)*(5/7)

→ \(\dfrac{13}{28}\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction

p_to_svarte = Fraction(6, 8) * Fraction(5, 7)
p_minst_en_hvit = 1 - p_to_svarte
print("P(to svarte) =", p_to_svarte)
print("P(minst én hvit) =", p_minst_en_hvit)
print("Desimalverdi =", float(p_minst_en_hvit))

Fasit: \(\dfrac{13}{28}\approx0{,}464\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 5bAlgoritme og sannsynlighet

Oppgave 5b

Oppgave:

I en annen krukke ligger det 2 hvite kuler og et ukjent antall svarte kuler. Du trekker 2 uten tilbakelegging. Lag en algoritme for å bestemme minste antall svarte kuler når sannsynligheten for 2 svarte skal være minst 50 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Definer variabelen

La \(s\) være antallet svarte kuler. Totalt er det da \(s+2\) kuler.

Steg 2 — Skriv sannsynlighetsmodellen

Uten tilbakelegging blir \[P(\text{to svarte})=\dfrac{s}{s+2}\cdot\dfrac{s-1}{s+1}.\]

Steg 3 — Sett opp kravet

Vi ønsker \[\dfrac{s}{s+2}\cdot\dfrac{s-1}{s+1}\ge 0{,}50.\]

Steg 4 — Algoritmeidé

Start med \(s=2\), regn sannsynligheten, øk \(s\) med 1 til kravet er oppfylt.

Steg 5 — Kontroll av minste verdi

For \(s=5\) er sannsynligheten \(\dfrac{20}{42}<0{,}5\). For \(s=6\) er den \(\dfrac{30}{56}>0{,}5\).

Tolkning

Algoritmen finner minste mulige antall svarte kuler ved systematisk prøving fra lave verdier.

Vanlig feil: Å bruke \(\dfrac{s}{s+2}\cdot\dfrac{s}{s+2}\), som tilsvarer trekk med tilbakelegging.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

s:=6; s/(s+2)*(s-1)/(s+1)

→ \(\dfrac{15}{28}>0{,}5\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction

s = 1
while True:
    if s >= 2:
        sannsynlighet = Fraction(s, s + 2) * Fraction(s - 1, s + 1)
        print(f"s={s:2d}: P(to svarte) = {sannsynlighet} = {float(sannsynlighet):.4f}")
        if sannsynlighet >= Fraction(1, 2):
            print("Minste antall svarte kuler:", s)
            break
    s += 1

Fasit: Minste antall svarte kuler er \(6\). (bekreftet digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 dokumenterer digitale metoder med CAS/GeoGebra og Python der det er naturlig.

Del 2 · Oppgave 1Binomisk sannsynlighet

Oppgave 1

Oppgave:

Undersøkelser viser at 70 prosent av kundene til en butikk er turister. En dag hadde butikken 145 kunder. Legg nødvendige forutsetninger til grunn, og bestem sannsynligheten for at minst 100 var turister.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Velg modell

Vi antar at hver kunde uavhengig kan regnes som turist med sannsynlighet \(p=0{,}70\). Da er \(X\sim\operatorname{Bin}\left(145,0{,}70\right)\).

Steg 2 — Formuler hendelsen

Vi skal finne \[P\left(X\ge100\right).\]

Steg 3 — Bruk komplement eller digital sum

\[P\left(X\ge100\right)=\sum_{k=100}^{145}\binom{145}{k}0{,}70^k0{,}30^{145-k}.\]

Steg 4 — Regn digitalt

CAS/Python gir \[P\left(X\ge100\right)\approx0{,}6453.\]

Steg 5 — Vurder rimelighet

Forventningsverdien er \(145\cdot0{,}70=101{,}5\), så sannsynligheten for minst 100 bør være litt over \(0{,}5\).

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(64{,}5\) prosent, gitt modellforutsetningene.

Vanlig feil: Å bruke normalfordeling uten å kontrollere eller dokumentere binomisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

1-BinomiskFordeling(145,0.7,99,true)

→ \(0{,}645337\)

Python-kontroll

from math import comb

n = 145
p = 0.70
sannsynlighet = 0
print("X ~ Bin(145, 0.70)")
for k in range(100, n + 1):
    ledd = comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
    sannsynlighet += ledd
print("P(X >= 100) =", sannsynlighet)
print("Avrundet til fire desimaler:", round(sannsynlighet, 4))
print("Forventningsverdi n*p =", n*p)

Fasit: \(P\left(X\ge100\right)\approx0{,}645\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 2aTangenter og areal

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(f\left(x\right)=1-x^2\), \(D_f=\left[0,1\right]\). Tangenten i \(P\left(a,f\left(a\right)\right)\) skjærer aksene i \(A\) og \(B\). Bestem arealet av \(\Delta OAB\) når \(P\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f^{\prime}(x)=-2x.\] Ved \(a=\dfrac{1}{2}\) er stigningstallet \(-1\).

Steg 2 — Finn tangentlikningen

Tangenten gjennom \(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\right)\) med stigningstall \(-1\) er \[y-\dfrac{3}{4}=-1\left(x-\dfrac{1}{2}\right).\]

Steg 3 — Skriv på formen \(y=mx+b\)

\[y=-x+\dfrac{5}{4}.\]

Steg 4 — Finn skjæringene med aksene

Y-aksen: \(B=\left(0,\dfrac{5}{4}\right)\). X-aksen: \(0=-x+\dfrac{5}{4}\), altså \(A=\left(\dfrac{5}{4},0\right)\).

Steg 5 — Regn arealet

\[\text{Areal}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{25}{32}.\]

Tolkning

Trekanten har kateter langs koordinataksene, så arealet er halvparten av produktet av skjæringsverdiene.

Vanlig feil: Å bruke punktets koordinater som trekantens kateter i stedet for tangentens akseskjæringer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Tangent(1-x^2,1/2)

→ \(y=-x+\dfrac{5}{4}\)

1/2*(5/4)*(5/4)

→ \(\dfrac{25}{32}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational, diff, simplify

x = symbols('x')
f = 1 - x**2
a = Rational(1, 2)
stigning = diff(f, x).subs(x, a)
punkt_y = f.subs(x, a)
tangent = punkt_y + stigning*(x - a)
y_skjaering = tangent.subs(x, 0)
x_skjaering = solve_later = simplify(-y_skjaering/stigning)
areal = simplify(Rational(1, 2)*x_skjaering*y_skjaering)
print("f'(x) =", diff(f, x))
print("Stigning i a=1/2:", stigning)
print("Tangent:", tangent)
print("x-skjæring:", x_skjaering)
print("y-skjæring:", y_skjaering)
print("Areal:", areal)

Fasit: \(\dfrac{25}{32}\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 2bOptimalisering

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem det minste arealet \(\Delta OAB\) kan ha.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn tangent for generell \(a\)

\(f(a)=1-a^2\) og \(f^{\prime}(a)=-2a\). Tangenten blir \[y=1+a^2-2ax.\]

Steg 2 — Finn akseskjæringene

Y-skjæringen er \(1+a^2\). X-skjæringen er \(\dfrac{1+a^2}{2a}\).

Steg 3 — Lag arealfunksjon

\[A(a)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1+a^2}{2a}\cdot\left(1+a^2\right)=\dfrac{\left(1+a^2\right)^2}{4a}.\]

Steg 4 — Deriver og finn kritisk punkt

CAS gir \[A^{\prime}(a)=a^2+1-\dfrac{\left(a^2+1\right)^2}{4a^2}.\] Løsningen i \(0

Steg 5 — Regn minste areal

\[A\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=\dfrac{4\sqrt3}{9}\approx0{,}770.\]

Tolkning

Det minste arealet oppstår når tangentpunktet ligger ved \(a=\dfrac{1}{\sqrt3}\), ikke ved endepunktene.

Vanlig feil: Å minimere \(f(a)\) i stedet for arealet av trekanten dannet av tangenten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

A(a):=(1+a^2)^2/(4a)

→ \(A(a)=\dfrac{(1+a^2)^2}{4a}\)

Løs(Derivert(A(a))=0,a)

→ \(a=\dfrac{\sqrt3}{3}\)

A(sqrt(3)/3)

→ \(\dfrac{4\sqrt3}{9}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, simplify, N

a = symbols('a', positive=True)
A = (1 + a**2)**2/(4*a)
A_derivert = diff(A, a)
kritiske = solve(A_derivert, a)
print("A(a) =", A)
print("A'(a) =", simplify(A_derivert))
print("Kritiske verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    if verdi.is_real:
        print("a =", verdi, "gir A =", simplify(A.subs(a, verdi)), "≈", N(A.subs(a, verdi)))

Fasit: Minste areal er \(\dfrac{4\sqrt3}{9}\approx0{,}770\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3aRegresjon og modellvalg

Oppgave 3a

Oppgave:

Tabellen viser vareeksport fra Norge i milliarder kroner for årene 1980, 1990, 2000, 2010 og 2018: 91,7; 211,6; 529,8; 788,1; 1000,3. Lag to ulike modeller for å anslå verdien framover, og begrunn hvilken som passer best. Kall valgt modell \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Velg variabel

La \(x\) være antall år etter 1980.

Steg 2 — Lag lineær modell

Lineær regresjon gir omtrent \[L(x)=24{,}90x+36{,}32.\]

Steg 3 — Lag eksponentiell modell

Eksponentiell regresjon gir omtrent \[E(x)=109{,}05\cdot1{,}0660^x.\]

Steg 4 — Sammenlikn modellene

Dataene øker raskere enn lineært over store deler av perioden, og eksportverdier har ofte prosentvis vekst. Den eksponentielle modellen fanger dette bedre i framoveranslag.

Steg 5 — Definer valgt modell

Vi setter derfor \[g(x)=109{,}05\cdot1{,}0660^x.\]

Tolkning

Modellvalg er en vurdering: eksponentialmodellen passer best dersom vi antar prosentvis vekst videre, men alle langtidsframskrivinger er usikre.

Vanlig feil: Å oppgi en modell uten å forklare hva \(x\) betyr.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

RegEksp({(0,91.7),(10,211.6),(20,529.8),(30,788.1),(38,1000.3)})

→ \(109{,}05\cdot1{,}0660^x\)

RegLin(...)

→ \(24{,}90x+36{,}32\)

Python-kontroll

import numpy as np

x = np.array([0, 10, 20, 30, 38], dtype=float)
y = np.array([91.7, 211.6, 529.8, 788.1, 1000.3], dtype=float)
lin_stigning, lin_konstant = np.polyfit(x, y, 1)
log_stigning, log_konstant = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
A = np.exp(log_konstant)
B = np.exp(log_stigning)
print("Lineær modell L(x) = a*x + b")
print("a =", lin_stigning, "b =", lin_konstant)
print("Eksponentiell modell E(x) = A*B**x")
print("A =", A, "B =", B)
print("Valgt g(x) =", A, "*", B, "** x")

Fasit: For eksempel \(L(x)=24{,}90x+36{,}32\) og \(g(x)=109{,}05\cdot1{,}0660^x\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3bGjennomsnittlig vekst

Oppgave 3b

Oppgave:

Anslå den gjennomsnittlige årlige veksten fra 2015 til 2025 for hver av modellene fra oppgave a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Oversett år til \(x\)

Året 2015 svarer til \(x=35\), og 2025 svarer til \(x=45\).

Steg 2 — Bruk gjennomsnittlig vekstfart

For en modell \(M\) er gjennomsnittlig årlig vekst \[\dfrac{M(45)-M(35)}{10}.\]

Steg 3 — Lineær modell

For \(L(x)=24{,}90x+36{,}32\) blir gjennomsnittlig vekst \(24{,}90\) milliarder kroner per år.

Steg 4 — Eksponentiell modell

For \(g(x)=109{,}05\cdot1{,}0660^x\) gir digital beregning omtrent \(91{,}43\) milliarder kroner per år.

Steg 5 — Sammenlikn

Eksponentialmodellen gir mye høyere vekst fordi den bruker prosentvis vekst.

Tolkning

De to modellene gir svært ulike framtidsanslag, noe som viser at modellvalg er viktig.

Vanlig feil: Å bruke \(2025-2015=10\) riktig, men sette inn \(2015\) og \(2025\) i stedet for \(35\) og \(45\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

(L(45)-L(35))/10

→ \(24{,}90\)

(g(45)-g(35))/10

→ \(91{,}43\)

Python-kontroll

import numpy as np

lin_a = 24.897097053726146
lin_b = 36.31689774689231
A = 109.04934822383099
B = 1.0660096960068808
L = lambda x: lin_a*x + lin_b
g = lambda x: A*(B**x)
for navn, modell in [("L", L), ("g", g)]:
    v2015 = modell(35)
    v2025 = modell(45)
    snittvekst = (v2025 - v2015)/10
    print(navn, "(35) =", v2015)
    print(navn, "(45) =", v2025)
    print("Gjennomsnittlig årlig vekst:", snittvekst)
    print()

Fasit: Lineær modell: ca. \(24{,}9\). Eksponentiell modell: ca. \(91{,}4\) milliarder kroner per år. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3cEksponentiallikning

Oppgave 3c

Oppgave:

Funksjonen \(f(x)=91\cdot1{,}057^x\) modellerer vareimporten. Når vil importverdien være 10 ganger større enn i 1980?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn verdien i 1980

Når \(x=0\), er \(f(0)=91\). Ti ganger så stor verdi er \(910\).

Steg 2 — Sett opp likning

\[91\cdot1{,}057^x=910.\]

Steg 3 — Del på 91

\[1{,}057^x=10.\]

Steg 4 — Bruk logaritmer

\[x=\dfrac{\ln 10}{\ln 1{,}057}\approx41{,}54.\]

Steg 5 — Finn årstallet

\[1980+41{,}54\approx2021{,}54.\]

Tolkning

Ifølge modellen skjer dette omtrent midt i 2021, altså rundt 2022 dersom vi oppgir hele år.

Vanlig feil: Å sette \(f(x)=10\) i stedet for \(f(x)=910\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(91*1.057^x=910,x)

→ \(x\approx41{,}54\)

Python-kontroll

from math import log

x = log(10)/log(1.057)
aar = 1980 + x
print("Løser 91*1.057^x = 910")
print("x = ln(10)/ln(1.057) =", x)
print("År =", aar)
print("Kontroll f(x)/91 =", 1.057**x)

Fasit: Omtrent \(41{,}5\) år etter 1980, altså rundt \(2022\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3dModelltolkning

Oppgave 3d

Oppgave:

Bruk modellene \(f\) og \(g\) til å vurdere når Norge har handelsoverskudd, der handelsoverskudd betyr at eksportverdien er større enn importverdien.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk modellene

Vi sammenlikner importmodellen \(f(x)=91\cdot1{,}057^x\) og eksportmodellen \(g(x)=109{,}05\cdot1{,}0660^x\).

Steg 2 — Sett opp ulikheten

Handelsoverskudd betyr \[g(x)>f(x).\]

Steg 3 — Sammenlikn vekstfaktor og startverdi

Vi har \(109{,}05>91\) og \(1{,}0660>1{,}057\). Dermed ligger \(g\) over \(f\) for \(x\ge0\) i denne modellen.

Steg 4 — Kontroller numerisk

For eksempel er \(g(0)>f(0)\), og forholdet \(g(x)/f(x)\) øker når \(x\) øker.

Steg 5 — Tolk med forbehold

Modellen tilsier handelsoverskudd i hele perioden fra 1980 og framover, men dette er en modellvurdering og ikke historisk fasit.

Tolkning

Med den valgte eksportmodellen får Norge handelsoverskudd for alle år modellen brukes etter 1980.

Vanlig feil: Å glemme at konklusjonen avhenger av hvilken eksportmodell \(g\) som ble valgt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

109.05*1.0660^x > 91*1.057^x

→ \(\text{sant for }x\ge0\)

Python-kontroll

A_g = 109.04934822383099
B_g = 1.0660096960068808
A_f = 91
B_f = 1.057
print("g(0) =", A_g, "og f(0) =", A_f)
print("Vekstfaktor g:", B_g)
print("Vekstfaktor f:", B_f)
for x in [0, 10, 20, 30, 40, 50]:
    g = A_g*(B_g**x)
    f = A_f*(B_f**x)
    print(f"x={x:2d}, år={1980+x}: g={g:.1f}, f={f:.1f}, g>f? {g>f}")

Fasit: Med valgt \(g\): handelsoverskudd for \(x\ge0\), altså fra 1980 og framover i modellen. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 4aProgrammering og simulering

Oppgave 4a

Oppgave:

En terning har \(n\) sider med øyne \(1,2,\ldots,n\). Du kaster to ganger, og \(X\) er produktet. La \(n=10\). Lag et program som kan brukes til å anslå \(P(X>60)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Beskriv forsøket

Vi simulerer to uavhengige kast med tall fra 1 til 10.

Steg 2 — Definer hendelsen

Hendelsen er at produktet av de to kastene er større enn 60.

Steg 3 — Tell gunstige forsøk

I hvert forsøk øker vi telleren dersom \(kast_1\cdot kast_2>60\).

Steg 4 — Anslå sannsynligheten

Sannsynligheten anslås med \(\dfrac{\text{gunstige}}{\text{antall forsøk}}\).

Steg 5 — Sammenlikn med eksakt telling

Eksakt telling gir 13 gunstige av 100 mulige utfall, altså \(0{,}13\).

Tolkning

Et simuleringsprogram bør gi et svar nær \(0{,}13\) når antall forsøk er stort.

Vanlig feil: Å bruke vanlig sekssidet terning i stedet for \(n=10\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

AntallHvis(i*j>60, i=1..10, j=1..10)

→ \(13\)

13/100

→ \(0{,}13\)

Python-kontroll

from random import randint, seed

seed(2022)
n = 10
antall_forsok = 100000
gunstige = 0
for forsok in range(antall_forsok):
    kast1 = randint(1, n)
    kast2 = randint(1, n)
    produkt = kast1 * kast2
    if produkt > 60:
        gunstige += 1
anslag = gunstige / antall_forsok
print("n =", n)
print("Antall forsøk:", antall_forsok)
print("Gunstige simuleringer:", gunstige)
print("Anslått P(X > 60):", anslag)
# Eksakt kontroll
mulige = [(i, j) for i in range(1, n+1) for j in range(1, n+1)]
gunstige_eksakt = [(i, j) for i, j in mulige if i*j > 60]
print("Eksakt antall gunstige:", len(gunstige_eksakt))
print("Eksakt sannsynlighet:", len(gunstige_eksakt)/len(mulige))

Fasit: Et godt anslag er ca. \(0{,}13\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 4bSystematisk søk

Oppgave 4b

Oppgave:

Hva er den minste verdien for \(n\) som gjør at \(P(X>60)>0{,}5\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk eksakt opptelling

For en gitt \(n\) finnes det \(n^2\) like sannsynlige par \(\left(i,j\right)\).

Steg 2 — Tell gunstige par

Vi teller alle par der \(i\cdot j>60\).

Steg 3 — Regn sannsynligheten

\[P(X>60)=\dfrac{\#\{(i,j):ij>60\}}{n^2}.\]

Steg 4 — Øk \(n\) systematisk

Vi starter ved \(n=1\) og øker til sannsynligheten blir større enn \(0{,}5\).

Steg 5 — Digitalt resultat

For \(n=16\) er sannsynligheten ikke over \(0{,}5\). For \(n=17\) får vi \(\dfrac{146}{289}\approx0{,}505\).

Tolkning

Den minste verdien er \(n=17\).

Vanlig feil: Å bruke simulering alene uten å sjekke at verdien er den minste.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

n=17; 146/17^2

→ \(0{,}50519\)

Python-kontroll

for n in range(1, 50):
    gunstige = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if i*j > 60:
                gunstige += 1
    sannsynlighet = gunstige / n**2
    print(f"n={n:2d}: gunstige={gunstige:3d}, totalt={n**2:3d}, P={sannsynlighet:.4f}")
    if sannsynlighet > 0.5:
        print("Minste n som gir P(X > 60) > 0,5:", n)
        break

Fasit: \(n=17\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 5aEksponentialfunksjon

Oppgave 5a

Oppgave:

Arnt tar en tablett med 100 mg virkestoff. Modellen \(f(t)=100e^{-0{,}012t}\) viser mengden igjen etter \(t\) timer. Hvor mye er igjen etter 24 timer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett inn \(t=24\)

\[f(24)=100e^{-0{,}012\cdot24}.\]

Steg 2 — Regn eksponenten

\[-0{,}012\cdot24=-0{,}288.\]

Steg 3 — Regn funksjonsverdien

\[f(24)=100e^{-0{,}288}\approx74{,}98.\]

Steg 4 — Oppgi med enhet

Mengden er omtrent \(75{,}0\) mg.

Steg 5 — Rimelighetskontroll

Siden eksponenten er negativ, skal mengden være mindre enn \(100\) mg. Det stemmer.

Tolkning

Etter ett døgn er omtrent tre firedeler av virkestoffet igjen.

Vanlig feil: Å bruke \(e^{0{,}288}\) i stedet for \(e^{-0{,}288}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

100*exp(-0.012*24)

→ \(74{,}98\)

Python-kontroll

from math import exp

t = 24
mengde = 100*exp(-0.012*t)
print("f(t) = 100*e^(-0.012*t)")
print("t =", t)
print("Eksponent =", -0.012*t)
print("f(24) =", mengde)
print("Avrundet:", round(mengde, 2), "mg")

Fasit: Ca. \(75{,}0\) mg. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 5bKontinuitet og modell

Oppgave 5b

Oppgave:

Arnt tar én tablett hver morgen klokken åtte. La \(g\) beskrive mengden virkestoff i kroppen \(t\) timer etter første tablett. Avgjør om \(g\) er kontinuerlig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Se på tiden mellom tablettene

Mellom tablettene avtar mengden etter eksponentialmodellen, og da er funksjonen kontinuerlig på hvert døgnintervall.

Steg 2 — Se på tablettidspunktene

Når Arnt tar en ny tablett, øker mengden i kroppen momentant med \(100\) mg.

Steg 3 — Vurder sprang

Et momentant hopp i funksjonsverdien betyr et sprangbrudd.

Steg 4 — Konklusjon

Derfor er \(g\) ikke kontinuerlig i tidspunktene \(t=0,24,48,\ldots\), avhengig av hvordan startverdien defineres.

Steg 5 — Presisering

Mellom tablettidspunktene er \(g\) kontinuerlig, men globalt er den ikke kontinuerlig.

Tolkning

Funksjonen er stykkevis kontinuerlig, men ikke kontinuerlig over hele tidsaksen.

Vanlig feil: Å svare «ja» bare fordi eksponentialfunksjonen \(f\) er kontinuerlig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

g(24^+)-g(24^-)

→ \(100\)

Python-kontroll

from math import exp

r = exp(-0.012*24)
for dag in range(1, 4):
    like_for = 100*sum(r**i for i in range(1, dag+1))
    like_etter = like_for + 100
    print(f"Dag {dag}: like før tablett = {like_for:.2f} mg")
    print(f"Dag {dag}: like etter tablett = {like_etter:.2f} mg")
    print("Sprang =", like_etter - like_for, "mg")

Fasit: \(g\) er ikke kontinuerlig; den har sprang på tablettidspunktene. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 5cGeometrisk rekke

Oppgave 5c

Oppgave:

Hvor mye virkestoff har Arnt i kroppen like før han tar den sjette tabletten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn døgnfaktoren

Etter 24 timer er andelen igjen \[r=e^{-0{,}012\cdot24}=e^{-0{,}288}\approx0{,}74976.\]

Steg 2 — Tolk «like før sjette tablett»

Da har han tatt fem tabletter, og hver av dem har virket i henholdsvis \(120,96,72,48,24\) timer.

Steg 3 — Skriv summen

Mengden er \[100\left(r^5+r^4+r^3+r^2+r\right).\]

Steg 4 — Regn digitalt

\[100\left(r+r^2+r^3+r^4+r^5\right)\approx228{,}63.\]

Steg 5 — Enhet

Mengden er omtrent \(229\) mg.

Tolkning

Mengden er større enn én tablett fordi rester fra tidligere tabletter fortsatt er i kroppen.

Vanlig feil: Å ta med den sjette tabletten selv om det står «like før».

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

r:=exp(-0.288)

→ \(0{,}74976\)

100*Sum(r^i,i,1,5)

→ \(228{,}63\)

Python-kontroll

from math import exp

r = exp(-0.012*24)
ledd = []
for i in range(1, 6):
    mengde_fra_tablett = 100*r**i
    ledd.append(mengde_fra_tablett)
    print(f"Bidrag fra tablett med {i} døgn nedbrytning: {mengde_fra_tablett:.4f} mg")
total = sum(ledd)
print("Døgnfaktor r =", r)
print("Total mengde like før sjette tablett =", total, "mg")
print("Avrundet:", round(total, 2), "mg")

Fasit: Ca. \(228{,}6\) mg. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 5dUendelig geometrisk rekke

Oppgave 5d

Oppgave:

Hva er den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen dersom han tar én tablett i døgnet over lang tid?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser maksimal tidspunktstype

Mengden er størst rett etter at en ny tablett er tatt.

Steg 2 — Bruk døgnfaktoren

Etter ett døgn er andelen \(r=e^{-0{,}288}\).

Steg 3 — Sett opp uendelig geometrisk sum

Rett etter en tablett på lang sikt blir mengden \[100+100r+100r^2+100r^3+\cdots.\]

Steg 4 — Bruk sumformel

\[S=\dfrac{100}{1-r}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[S=\dfrac{100}{1-e^{-0{,}288}}\approx399{,}62.\]

Tolkning

Over lang tid nærmer maksimalmengden seg omtrent \(400\) mg rett etter tablettinntak.

Vanlig feil: Å svare med mengden like før tablett, som er omtrent \(300\) mg, ikke maksimalmengden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

100/(1-exp(-0.288))

→ \(399{,}62\)

Python-kontroll

from math import exp

r = exp(-0.012*24)
maksmengde = 100/(1 - r)
like_for = 100*r/(1 - r)
print("Døgnfaktor r =", r)
print("Langtidsmengde like etter tablett = 100/(1-r) =", maksmengde)
print("Langtidsmengde like før neste tablett = 100*r/(1-r) =", like_for)
print("Maksimal mengde er like etter tablett:", round(maksmengde, 2), "mg")

Fasit: Ca. \(399{,}6\) mg. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 6aDerivasjon og verdimengde

Oppgave 6a

Oppgave:

En funksjon er gitt ved \(f(x)=2x+5+\dfrac{1}{x-1}\). For hvilke verdier av \(k\) har likningen \(f^{\prime}(x)=k\) løsning?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f^{\prime}(x)=2-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}.\]

Steg 2 — Vurder leddet som trekkes fra

For \(x\ne1\) er \(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}>0\).

Steg 3 — Finn øvre grense

Dermed er \[f^{\prime}(x)=2-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}<2.\]

Steg 4 — Finn nedre oppførsel

Når \(x\to1\), går \(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\to\infty\), så \(f^{\prime}(x)\to-\infty\).

Steg 5 — Konkluder

Derfor har \(f^{\prime}(x)=k\) løsning akkurat når \(k<2\).

Tolkning

Den deriverte kan bli så negativ vi vil, men aldri lik eller større enn \(2\).

Vanlig feil: Å tro at \(k=2\) er mulig fordi uttrykket nærmer seg \(2\). Det blir aldri lik \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Derivert(2x+5+1/(x-1))

→ \(2-\dfrac{1}{(x-1)^2}\)

Løs(2-1/(x-1)^2=k,x)

→ \(k<2\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, Eq

x, k = symbols('x k')
f = 2*x + 5 + 1/(x - 1)
f_derivert = diff(f, x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Likning f'(x)=k:", Eq(f_derivert, k))
for kval in [1, 0, -7, 2, 3]:
    los = solve(Eq(f_derivert, kval), x)
    print(f"k={kval}: løsninger = {los}")
print("Mønster: løsninger finnes bare når k < 2")

Fasit: \(k<2\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 6bSymmetri i løsninger

Oppgave 6b

Oppgave:

Velg ulike verdier av \(k\), og beskriv symmetrien i løsningene av \(f^{\prime}(x)=k\) for hver av disse verdiene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Start med likningen

\[2-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}=k.\]

Steg 2 — Isoler kvadratleddet

\[\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}=2-k.\] Dette krever \(k<2\).

Steg 3 — Løs generelt

\[\left(x-1\right)^2=\dfrac{1}{2-k}\quad\Longrightarrow\quad x=1\pm\dfrac{1}{\sqrt{2-k}}.\]

Steg 4 — Beskriv symmetrien

Løsningene ligger like langt fra \(x=1\), én på hver side av asymptoten.

Steg 5 — Eksempler

For \(k=1\): \(x=0\) og \(x=2\). For \(k=0\): \(x=1\pm\dfrac{1}{\sqrt2}\).

Tolkning

Løsningene er symmetriske om den vertikale linjen \(x=1\).

Vanlig feil: Å beskrive symmetri om \(y\)-aksen i stedet for om linjen \(x=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(2-1/(x-1)^2=1,x)

→ \(x=0\lor x=2\)

Løs(2-1/(x-1)^2=0,x)

→ \(x=1\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt, simplify

x = symbols('x')
f_derivert = 2 - 1/(x - 1)**2
for kval in [1, 0, -2]:
    los = solve(Eq(f_derivert, kval), x)
    avstander = [simplify(abs(l - 1)) for l in los]
    print(f"k={kval}: løsninger = {los}")
    print("Avstander fra x=1:", avstander)
    print("Midtpunkt av løsningene:", simplify(sum(los)/2))
    print()

Fasit: Løsningene er parvis symmetriske om \(x=1\) for alle \(k<2\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 6cParameterdrøfting

Oppgave 6c

Oppgave:

La \(g(x)=a\cdot x+b+\dfrac{1}{x+d}\). For hvilke verdier av \(a\) har likningen \(g^{\prime}(x)=4\) løsning?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver \(g\)

\[g^{\prime}(x)=a-\dfrac{1}{\left(x+d\right)^2}.\]

Steg 2 — Sett lik \(4\)

\[a-\dfrac{1}{\left(x+d\right)^2}=4.\]

Steg 3 — Isoler brøken

\[\dfrac{1}{\left(x+d\right)^2}=a-4.\]

Steg 4 — Bruk at venstre side er positiv

Venstre side er alltid positiv for \(x\ne-d\). Derfor må \(a-4>0\).

Steg 5 — Konklusjon

Likningen har løsning akkurat når \(a>4\).

Tolkning

Parameteren \(a\) styrer den øvre grensen for den deriverte.

Vanlig feil: Å svare \(a\ge4\). Ved \(a=4\) måtte \(1/(x+d)^2=0\), og det er umulig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(a-1/(x+d)^2=4,x)

→ \(a>4\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve

x, a, d = symbols('x a d')
g_derivert = a - 1/(x + d)**2
print("g'(x) =", g_derivert)
print("g'(x)=4 gir: 1/(x+d)^2 = a-4")
for aval in [3, 4, 5, 8]:
    los = solve(Eq(g_derivert.subs(a, aval), 4), x)
    print(f"a={aval}: løsninger = {los}")
print("Mønster: løsning bare når a > 4")

Fasit: \(a>4\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 6dUtforsking med parameter

Oppgave 6d

Oppgave:

La nå \(a=3\). Utforsk og beskriv løsningene til likningen \(g^{\prime}(x)=k\) for ulike verdier av \(k\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv den deriverte

Når \(a=3\), er \[g^{\prime}(x)=3-\dfrac{1}{\left(x+d\right)^2}.\]

Steg 2 — Sett lik \(k\)

\[3-\dfrac{1}{\left(x+d\right)^2}=k.\]

Steg 3 — Isoler kvadratet

\[\dfrac{1}{\left(x+d\right)^2}=3-k.\]

Steg 4 — Drøft verdier av \(k\)

Vi må ha \(3-k>0\), altså \(k<3\). Hvis \(k\ge3\), finnes ingen løsning.

Steg 5 — Beskriv løsningene når \(k<3\)

Når \(k<3\), får vi \[x=-d\pm\dfrac{1}{\sqrt{3-k}}.\] Løsningene er symmetriske om \(x=-d\).

Tolkning

For \(a=3\) ligger alle løsningene parvis på hver side av asymptoten \(x=-d\).

Vanlig feil: Å tro at \(k=3\) gir én løsning. Verdien \(3\) er bare en grenseverdi.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(3-1/(x+d)^2=k,x)

→ \(x=-d\pm\dfrac{1}{\sqrt{3-k}},\ k<3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt, simplify

x, d = symbols('x d')
g_derivert = 3 - 1/(x + d)**2
for kval in [2, 0, -1, 3, 4]:
    los = solve(Eq(g_derivert, kval), x)
    print(f"k={kval}: løsninger = {los}")
print("Generelt når k < 3:")
k = symbols('k')
print("x = -d ± 1/sqrt(3-k)")

Fasit: For \(k<3\): to løsninger symmetrisk om \(x=-d\). For \(k\ge3\): ingen løsning. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 6eParameterbestemmelse

Oppgave 6e

Oppgave:

Bestem \(b\) og \(d\) slik at \(g^{\prime}(-1)=g^{\prime}(5)\) og \(g(1)=7\), når \(a=3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv funksjonen og den deriverte

\[g(x)=3x+b+\dfrac{1}{x+d},\qquad g^{\prime}(x)=3-\dfrac{1}{\left(x+d\right)^2}.\]

Steg 2 — Bruk kravet til den deriverte

\[g^{\prime}(-1)=g^{\prime}(5)\] gir \[3-\dfrac{1}{\left(d-1\right)^2}=3-\dfrac{1}{\left(d+5\right)^2}.\]

Steg 3 — Sammenlikn kvadratene

Da må \(\left(d-1\right)^2=\left(d+5\right)^2\). Dette gir \(d-1=-(d+5)\), altså \(d=-2\).

Steg 4 — Bruk \(g(1)=7\)

\[g(1)=3+b+\dfrac{1}{1-2}=3+b-1=b+2.\]

Steg 5 — Løs for \(b\)

\[b+2=7\quad\Longrightarrow\quad b=5.\]

Tolkning

Kravet til den deriverte plasserer symmetrilinjen midt mellom \\(x=-1\) og \(x=5\), altså ved \(x=2\). Siden asymptoten er \(x=-d\), får vi \(d=-2\).

Vanlig feil: Å bruke \(d-1=d+5\), som er umulig, og glemme den negative muligheten fra kvadrerte uttrykk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs({3-1/(-1+d)^2=3-1/(5+d)^2, 3*1+b+1/(1+d)=7},{b,d})

→ \(b=5,\ d=-2\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify

x, b, d = symbols('x b d')
g = 3*x + b + 1/(x + d)
g_derivert = diff(g, x)
likning1 = Eq(g_derivert.subs(x, -1), g_derivert.subs(x, 5))
likning2 = Eq(g.subs(x, 1), 7)
losninger = solve([likning1, likning2], (b, d), dict=True)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("Likning 1:", likning1)
print("Likning 2:", likning2)
print("Løsninger:", losninger)
for sol in losninger:
    print("Kontroll g'(-1):", simplify(g_derivert.subs(sol).subs(x, -1)))
    print("Kontroll g'(5):", simplify(g_derivert.subs(sol).subs(x, 5)))
    print("Kontroll g(1):", simplify(g.subs(sol).subs(x, 1)))

Fasit: \(b=5\) og \(d=-2\). (bekreftet digitalt).

Intern kontroll: MathJax-delimitere, Python-bokser, GeoGebra-bokser, ubalanserte LaTeX-delimitere og HTML-struktur er kontrollert før levering.

Matematikk S1 eksamen – høst 2022

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 — Bruk negativ eksponent

Steg 2 — Flytt \(a^{-2}\)

Steg 3 — Kvadrer brøken

Steg 4 — Multipliser faktorene

Steg 5 — Kontroller at alt er forkortet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Deriver funksjonen

Steg 2 — Sett inn \(x=500\)

Steg 3 — Husk enheten

Steg 4 — Tolk som marginalendring

Steg 5 — Rimelighetskontroll

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 — Bruk at parabelen vender nedover

Steg 2 — Finn toppunktets \(x\)-verdi

Steg 3 — Sett inn i modellen

Steg 4 — Regn ut

Steg 5 — Kontroller med den deriverte

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 3

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Steg 2 — Bruk produktregelen

Steg 3 — Skriv høyre side som logaritme

Steg 4 — Løs andregradslikningen

Steg 5 — Faktoriser og sjekk domenet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 4

Steg 1 — Utvid kvadratet

Steg 2 — Trekk fra \(4^2\)

Steg 3 — Faktoriser teller

Steg 4 — Forkort med \(h\)

Steg 5 — La \(h\) gå mot 0

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 5a

Steg 1 — Bruk komplement

Steg 2 — Finn sannsynlighet for to svarte

Steg 3 — Bruk komplementregelen

Steg 4 — Regn ut

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 5b

Steg 1 — Definer variabelen

Steg 2 — Skriv sannsynlighetsmodellen

Steg 3 — Sett opp kravet

Steg 4 — Algoritmeidé

Steg 5 — Kontroll av minste verdi

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Del 2 — med hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 — Velg modell

Steg 2 — Formuler hendelsen

Steg 3 — Bruk komplement eller digital sum

Steg 4 — Regn digitalt

Steg 5 — Vurder rimelighet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Deriver funksjonen

Steg 2 — Finn tangentlikningen

Steg 3 — Skriv på formen \(y=mx+b\)

Steg 4 — Finn skjæringene med aksene