ifingo · Matematikk S1

Matematikk S1 eksamen Høst 2021 – løsningsforslag

Komplett bokmål-løsningsforslag basert på Udir-settet S1_H21. Alle deloppgaver er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS/Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses for hånd med algebra, logaritmeregler, sannsynlighet, funksjoner og lineær optimering.

Del 1 · Oppgave 1a · 6 poeng samletAndregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2x=2x^2-12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Flytt alt til én side

Vi samler leddene slik at høyre side blir null: \[2x^2-2x-12=0.\]

Steg 2 — Del på felles faktor

Alle leddene kan deles på \(2\): \[x^2-x-6=0.\]

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi finner to tall med produkt \(-6\) og sum \(-1\): \[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

Når \((x-3)(x+2)=0\), får vi \(x=3\) eller \(x=-2\).

Steg 5 — Sett inn i opprinnelig likning

For \(x=3\) får vi \(6=6\). For \(x=-2\) får vi \(-4=-4\). Begge løsningene er gyldige.

Tolkning

Likningen har to reelle løsninger fordi andregradsuttrykket kan faktoriseres i to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å glemme løsningen \(x=-2\) fordi den er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(2x=2x^2-12,x)

→ \(x=-2\lor x=3\)

Faktoriser(x^2-x-6)

→ \((x-3)(x+2)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, expand, factor
x = symbols('x')
likning = Eq(2*x, 2*x**2 - 12)
standardform = expand(likning.rhs - likning.lhs)
forenklet = expand(standardform/2)
losninger = solve(likning, x)
print("Likning:", likning)
print("Standardform høyre - venstre:", standardform)
print("Etter divisjon med 2:", forenklet)
print("Faktorisert:", factor(forenklet))
print("Løsninger:", losninger)
for verdi in losninger:
    print(f"Kontroll x={verdi}: venstre = {likning.lhs.subs(x, verdi)}, høyre = {likning.rhs.subs(x, verdi)}")

Fasit: \(x=-2\) eller \(x=3\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 1b · 6 poeng samletEksponentiallikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(5^{3x-6}=25\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv høyre side som potens med grunntall 5

Vi har \(25=5^2\).

Steg 2 — Sammenlikn potenser

Likningen blir \[5^{3x-6}=5^2.\]

Steg 3 — Bruk at eksponentialfunksjonen er én-til-én

Siden grunntallet er det samme og større enn \(0\), må eksponentene være like: \[3x-6=2.\]

Steg 4 — Løs den lineære likningen

\[3x=8\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{8}{3}.\]

Steg 5 — Kontroller

Når \(x=\dfrac{8}{3}\), blir \(3x-6=2\), og venstre side blir \(5^2=25\).

Tolkning

Vi får én løsning fordi eksponenten bestemmes entydig.

Vanlig feil: Å ta logaritmer unødvendig og runde et svar som egentlig er eksakt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(5^(3x-6)=25,x)

→ \(x=\dfrac{8}{3}\)

5^(3*(8/3)-6)

→ \(25\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(5**(3*x - 6), 25)
losning = solve(likning, x)
print("Likning:", likning)
print("Løsning:", losning)
for verdi in losning:
    eksponent = simplify(3*verdi - 6)
    venstre = simplify(5**eksponent)
    print(f"x={verdi}: eksponent = {eksponent}, venstre side = {venstre}")

Fasit: \(x=\dfrac{8}{3}\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 1c · 6 poeng samletLogaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(\lg(x)+\lg(x+1)=\lg 12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Vi må ha \(x>0\) og \(x+1>0\). Det strengeste kravet er \(x>0\).

Steg 2 — Bruk produktregelen for logaritmer

\[\lg(x)+\lg(x+1)=\lg(x(x+1)).\]

Steg 3 — Sammenlikn argumentene

Likningen blir \[\lg(x(x+1))=\lg 12\quad\Longrightarrow\quad x(x+1)=12.\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x^2+x-12=0\quad\Longrightarrow\quad (x-3)(x+4)=0.\]

Steg 5 — Sjekk definisjonsmengden

Løsningene fra andregradslikningen er \(x=3\) og \(x=-4\). Bare \(x=3\) oppfyller \(x>0\).

Tolkning

Logaritmene gjør at den negative algebraiske løsningen må forkastes.

Vanlig feil: Å beholde \(x=-4\), selv om \(\lg(x)\) da ikke er definert.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(log10(x)+log10(x+1)=log10(12),x)

→ \(x=3\)

Faktoriser(x^2+x-12)

→ \((x-3)(x+4)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, factor
x = symbols('x')
polynom = x*(x + 1) - 12
kandidater = solve(polynom, x)
print("Etter logaritmeregler får vi:", polynom, "= 0")
print("Faktorisert:", factor(polynom))
print("Kandidater:", kandidater)
for verdi in kandidater:
    lovlig = verdi > 0
    print(f"x={verdi}: lovlig i logaritmene? {lovlig}")
print("Gyldig løsning:", [v for v in kandidater if v > 0])

Fasit: \(x=3\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 2a · 4 poeng samletAlgebra

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \((x-y)^2+2\cdot(x+y)\cdot y-(x+y)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Utvid første kvadrat

\[(x-y)^2=x^2-2xy+y^2.\]

Steg 2 — Utvid midtleddet

\[2\cdot(x+y)\cdot y=2xy+2y^2.\]

Steg 3 — Utvid siste kvadrat

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]

Steg 4 — Samle ledd

\[x^2-2xy+y^2+2xy+2y^2-x^2-2xy-y^2=2y^2-2xy.\]

Steg 5 — Faktoriser

\[2y^2-2xy=2y(y-x).\]

Tolkning

Uttrykket kan skrives kortere som et produkt, og da ser vi fellesfaktoren tydelig.

Vanlig feil: Å glemme minustegnet foran hele \((x+y)^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Forenkle((x-y)^2+2*(x+y)*y-(x+y)^2)

→ \(2y(y-x)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, factor, simplify
x, y = symbols('x y')
uttrykk = (x - y)**2 + 2*(x + y)*y - (x + y)**2
utvidet = expand(uttrykk)
faktorisert = factor(uttrykk)
print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Utvidet:", utvidet)
print("Faktorisert:", faktorisert)
print("Kontroll simplify:", simplify(uttrykk - faktorisert))

Fasit: \(2y(y-x)\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 2b · 4 poeng samletLogaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg(ab^{-5})-\lg(\dfrac{b}{a^4})+3\lg(ab^2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk potensregelen på siste ledd

\[3\lg(ab^2)=\lg((ab^2)^3)=\lg(a^3b^6).\]

Steg 2 — Skriv subtraksjon som divisjon

\[\lg(ab^{-5})-\lg(\dfrac{b}{a^4})=\lg(\dfrac{ab^{-5}}{b/a^4}).\]

Steg 3 — Samle alt i én logaritme

\[\lg(\dfrac{ab^{-5}}{b/a^4}\cdot a^3b^6).\]

Steg 4 — Forenkle potenser

\[\dfrac{ab^{-5}}{b/a^4}\cdot a^3b^6=a\cdot b^{-5}\cdot \dfrac{a^4}{b}\cdot a^3b^6=a^8b^0=a^8.\]

Steg 5 — Bruk potensregelen tilbake

\[\lg(a^8)=8\lg a.\] Her må \(a>0\) og \(b>0\).

Tolkning

Alle \(b\)-potensene kansellerer, så uttrykket avhenger bare av \(a\).

Vanlig feil: Å behandle \(\lg A-\lg B\) som \(\lg(A-B)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Forenkle(log10(a*b^(-5))-log10(b/a^4)+3log10(a*b^2))

→ \(8\log_{10}(a)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log
# Vi antar a > 0 og b > 0 slik logaritmene er definert.
a, b = symbols('a b', positive=True)
uttrykk = log(a*b**(-5), 10) - log(b/a**4, 10) + 3*log(a*b**2, 10)
samlet_argument = (a*b**(-5))/(b/a**4) * (a*b**2)**3
print("Samlet argument før forenkling:", samlet_argument)
print("Samlet argument etter forenkling:", simplify(samlet_argument))
print("Logaritmeuttrykket blir:", log(simplify(samlet_argument), 10))
print("Som logaritmeregel:", 8*log(a, 10))

Fasit: \(8\lg a\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 3 · 2 poengUlikhet

Oppgave 3

Oppgave:

Løs ulikheten \(-x^2\ge -6-x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Flytt alt til venstre side

\[-x^2+x+6\ge 0.\]

Steg 2 — Multipliser med \(-1\)

Når vi multipliserer med \(-1\), snur ulikhetstegnet: \[x^2-x-6\le 0.\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]

Steg 4 — Finn nullpunkter og fortegn

Nullpunktene er \(x=-2\) og \(x=3\). Parabelen vender oppover, så uttrykket er \(\le 0\) mellom nullpunktene.

Steg 5 — Skriv svaret

\[-2\le x\le 3.\]

Tolkning

Løsningsmengden er intervallet der grafen til \(x^2-x-6\) ligger på eller under \(x\)-aksen.

Vanlig feil: Å glemme å snu ulikhetstegnet når man multipliserer med \(-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(-x^2>=-6-x,x)

→ \(-2\le x\le 3\)

Faktoriser(x^2-x-6)

→ \((x-3)(x+2)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, S, solveset, factor
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 - x - 6
print("Etter omskriving løser vi:", uttrykk, "<= 0")
print("Faktorisert:", factor(uttrykk))
print("Løsningsmengde:", solveset(uttrykk <= 0, x, domain=S.Reals))
for test in [-3, 0, 4]:
    print(f"x={test}: x^2-x-6 = {uttrykk.subs(x, test)}")

Fasit: \(x\in[-2,3]\) (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 4 · 2 poengLikningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Løs likningssystemet \(y-x+6=0\), \(x^2-y=6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Løs første likning for \(y\)

Fra \(y-x+6=0\) får vi \[y=x-6.\]

Steg 2 — Sett inn i andre likning

\[x^2-(x-6)=6.\]

Steg 3 — Forenkle

\[x^2-x+6=6\quad\Longrightarrow\quad x^2-x=0.\]

Steg 4 — Faktoriser og finn \(x\)

\[x(x-1)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ eller }x=1.\]

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

Når \(x=0\), er \(y=-6\). Når \(x=1\), er \(y=-5\).

Tolkning

Løsningene er skjæringspunktene mellom linjen og parabelen.

Vanlig feil: Å stoppe etter \(x\)-verdiene og ikke finne tilhørende \(y\)-verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs({y-x+6=0,x^2-y=6},{x,y})

→ \((0,-6),(1,-5)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
likninger = [Eq(y - x + 6, 0), Eq(x**2 - y, 6)]
losninger = solve(likninger, (x, y), dict=True)
print("Likningssystem:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)
print("Løsninger:")
for sol in losninger:
    print(sol, "kontroll:", [likning.subs(sol) for likning in likninger])

Fasit: \((x,y)=(0,-6)\) eller \((1,-5)\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 5a · 6 poeng samletSirkulær kombinatorikk

Oppgave 5a

Oppgave:

Siv, Audun og fire venner skal gå hånd i hånd i ring rundt juletreet. Begrunn at det er 120 ulike måter de seks kan plassere seg på i ringen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Se at plasseringen er i en ring

I en ring teller vi ikke rotasjoner som nye plasseringer. En rotert ring er samme rekkefølge rundt juletreet.

Steg 2 — Fest én person

Vi kan feste Siv på én bestemt plass for å fjerne rotasjonssymmetrien.

Steg 3 — Plasser de fem andre

De fem andre kan plasseres på \(5!\) måter rundt ringen.

Steg 4 — Regn ut

\[5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.\]

Steg 5 — Konklusjon

Dermed finnes det \(120\) ulike sirkulære plasseringer.

Tolkning

Antallet er lavere enn \(6!\) fordi rotasjoner av samme ring ikke skal telles flere ganger.

Vanlig feil: Å bruke \(6!\) direkte og telle samme ring seks ganger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

→ \(120\)

6!/6

→ \(120\)

Python-kontroll

from math import factorial
personer = 6
antall_lineaert = factorial(personer)
antall_ring = factorial(personer - 1)
print("Lineære plasseringer av 6 personer:", antall_lineaert)
print("Hver ring telles 6 ganger lineært")
print("Sirkulære plasseringer:", antall_ring)
print("Kontroll 6!/6:", antall_lineaert // personer)

Fasit: \(120\) ulike plasseringer. (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 5b · 6 poeng samletSannsynlighet i ring

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at Siv får holde Audun i hånden dersom plasseringene i ringen er tilfeldige.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Fest Siv

Siden ringen kan roteres, kan vi tenke at Siv står fast på én plass.

Steg 2 — Tell mulige plasser for Audun

Det finnes \(5\) plasser Audun kan stå på i forhold til Siv.

Steg 3 — Tell gunstige plasser

Audun holder Siv i hånden hvis han står rett til venstre eller rett til høyre for Siv. Det gir \(2\) gunstige plasser.

Steg 4 — Finn sannsynligheten

\[P=\dfrac{2}{5}.\]

Steg 5 — Skriv som desimaltall

\(\dfrac{2}{5}=0{,}40\), altså \(40\ \%\).

Tolkning

Sannsynligheten er relativt stor fordi hver person har to naboer i en ring.

Vanlig feil: Å bruke \(\dfrac{1}{5}\). Siv har to hender, altså to naboplasser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

2/5

→ \(0{,}4\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
mulige_plasser_for_audun = 5
gunstige_naboplasser = 2
P = Fraction(gunstige_naboplasser, mulige_plasser_for_audun)
print("Mulige plasser for Audun relativt til Siv:", mulige_plasser_for_audun)
print("Gunstige naboplasser:", gunstige_naboplasser)
print("Sannsynlighet som brøk:", P)
print("Sannsynlighet som desimaltall:", float(P))

Fasit: \(P=\dfrac{2}{5}=40\ \%\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 5c · 6 poeng samletSannsynlighet på linje

Oppgave 5c

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at Audun og Siv får stå ved siden av hverandre på bildet dersom de blir plassert tilfeldig på en linje.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tell alle lineære plasseringer

Seks personer kan stå på \(6!\) måter.

Steg 2 — Lag en blokk av Siv og Audun

Hvis de skal stå ved siden av hverandre, kan vi se på dem som én blokk. Da har vi \(5\) enheter å plassere.

Steg 3 — Tell blokkplasseringer

De \(5\) enhetene kan plasseres på \(5!\) måter.

Steg 4 — Ta med rekkefølgen inne i blokken

Siv og Audun kan stå som \(SA\) eller \(AS\), altså \(2\) måter.

Steg 5 — Finn sannsynligheten

\[P=\dfrac{2\cdot5!}{6!}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.\]

Tolkning

På en linje har en bestemt person færre nabomuligheter enn i en ring i endeposisjoner, og blokkmetoden håndterer dette riktig.

Vanlig feil: Å bruke samme svar som i ringen. Ring og linje har ulike symmetrier.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

2*5!/6!

→ \(\dfrac{1}{3}\)

Python-kontroll

from math import factorial
from fractions import Fraction
alle = factorial(6)
gunstige = 2 * factorial(5)
P = Fraction(gunstige, alle)
print("Alle lineære plasseringer:", alle)
print("Gunstige med Siv og Audun som blokk:", gunstige)
print("Sannsynlighet:", P)
print("Som desimaltall:", float(P))

Fasit: \(P=\dfrac{1}{3}\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 6a · 6 poeng samletDerivasjon fra graf

Oppgave 6a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=4-4\lg x\). Figuren viser grafen til \(f\) sammen med tangenten i punktet \((1,f(1))\). Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for \(f^{\prime}(1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn punktet tangenten går gjennom

\(f(1)=4-4\lg 1=4\), så tangentpunktet er omtrent \((1,4)\).

Steg 2 — Les et nytt punkt på tangenten

Fra figuren ser tangenten ut til å skjære \(x\)-aksen omtrent ved \(x\approx 3{,}3\). Et punkt er da omtrent \((3{,}3,0)\).

Steg 3 — Bruk stigningstall

\[f^{\prime}(1)\approx \dfrac{0-4}{3{,}3-1}=\dfrac{-4}{2{,}3}\approx -1{,}7.\]

Steg 4 — Sammenlikn med eksakt derivasjon

Eksakt er \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{4}{x\ln 10}\), så \(f^{\prime}(1)\approx -1{,}74\).

Steg 5 — Velg grafisk svar

Et rimelig svar fra figuren er derfor omtrent \(-1{,}7\).

Tolkning

Tangentens stigningstall er negativt fordi grafen synker når \(x\) øker.

Vanlig feil: Å lese av stigningstallet fra grafen til funksjonen i stedet for fra tangenten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Derivert(4-4log10(x),1)

→ \(-\dfrac{4}{\ln(10)}\approx -1{,}737\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, N
x = symbols('x', positive=True)
f = 4 - 4*log(x, 10)
derivert = diff(f, x)
verdi = derivert.subs(x, 1)
print("Funksjon f(x):", f)
print("Derivert f'(x):", derivert)
print("Eksakt f'(1):", verdi)
print("Desimaltall:", N(verdi, 6))
print("Grafisk avrundet:", -1.7)

Fasit: \(f^{\prime}(1)\approx -1{,}7\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 6b · 6 poeng samletLogaritmeavlesning

Oppgave 6b

Oppgave:

Bruk blant annet grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for \(\lg 500\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Del tallet opp

\[\lg 500=\lg(5\cdot 100)=\lg 5+\lg 100=\lg 5+2.\]

Steg 2 — Bruk grafen til å lese \(f(5 ight)\)

Fra grafen ser vi omtrent \(f(5)\approx 1{,}2\).

Steg 3 — Bruk funksjonsuttrykket

\[f(5)=4-4\lg 5.\]

Steg 4 — Løs for \(\lg 5\)

\[1{,}2\approx 4-4\lg 5\quad\Longrightarrow\quad 4\lg 5\approx 2{,}8\quad\Longrightarrow\quad \lg 5\approx 0{,}7.\]

Steg 5 — Finn \(\lg 500\)

\[\lg 500\approx 0{,}7+2=2{,}7.\]

Tolkning

Svaret passer med at \(500\) ligger mellom \(100\) og \(1000\), så logaritmen ligger mellom \(2\) og \(3\).

Vanlig feil: Å lese \(\lg 500\) direkte på en graf som bare viser små \(x\)-verdier. Vi bruker \(\lg 5\) og logaritmeregler.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

log10(500)

→ \(2{,}69897\)

Python-kontroll

from sympy import log, N
lg5 = log(5, 10)
lg500 = log(500, 10)
print("lg(5) eksakt skrevet med log:", lg5)
print("lg(5) som desimaltall:", N(lg5, 6))
print("lg(500) = lg(5) + 2")
print("lg(500) som desimaltall:", N(lg500, 6))
print("Grafisk avrundet svar:", 2.7)

Fasit: \(\lg 500\approx 2{,}7\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 6c · 6 poeng samletLogaritmisk modell

Oppgave 6c

Oppgave:

Når en bedrift produserer og selger \(x\) enheter av en vare, er overskuddet \(O\) per dag gitt ved \(O(x)=-200\cdot f(x)\). Hvor mange enheter må bedriften minst produsere og selge per dag for ikke å gå med underskudd?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Oversett «ikke underskudd»

Ikke underskudd betyr \(O(x)\ge 0\).

Steg 2 — Sett inn modellen

\[-200\cdot f(x)\ge 0.\]

Steg 3 — Del på et negativt tall

Når vi deler på \(-200\), snur ulikheten: \[f(x)\le 0.\]

Steg 4 — Bruk funksjonsuttrykket

\[4-4\lg x\le 0\quad\Longrightarrow\quad \lg x\ge 1.\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[\lg x\ge 1\quad\Longrightarrow\quad x\ge 10.\] Siden antall enheter er heltall, må bedriften minst produsere \(10\) enheter.

Tolkning

Bedriften går i null ved \(x=10\). Ved større produksjon blir overskuddet positivt i denne modellen.

Vanlig feil: Å ikke snu ulikhetstegnet når man deler på \(-200\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(-200*(4-4log10(x))>=0,x)

→ \(x\ge 10\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, solve_univariate_inequality, S
x = symbols('x', positive=True)
f = 4 - 4*log(x, 10)
O = -200*f
print("f(x):", f)
print("O(x):", O)
print("Løser O(x) >= 0")
print("Løsningsmengde:", solve_univariate_inequality(O >= 0, x, relational=False))
for antall in [9, 10, 11]:
    print(f"x={antall}: O(x) ≈ {float(O.subs(x, antall)):.2f}")

Fasit: Minst \(10\) enheter per dag. (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 7a · 6 poeng samletLineær optimering

Oppgave 7a

Oppgave:

Nedenfor har vi fargelagt et område \(T\) i koordinatsystemet. Sett opp tre ulikheter som definerer området \(T\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les av hjørnene

Fra figuren ser vi hjørnene \((1,4)\), \((1,-2)\) og \((5,0)\).

Steg 2 — Finn venstre grense

Venstre side er den loddrette linjen \(x=1\). Området ligger til høyre, altså \(x\ge 1\).

Steg 3 — Finn øvre skrå linje

Linjen gjennom \((1,4)\) og \((5,0)\) har stigningstall \(-1\) og likning \(y=-x+5\). Området ligger under: \(y\le -x+5\).

Steg 4 — Finn nedre skrå linje

Linjen gjennom \((1,-2)\) og \((5,0)\) har stigningstall \(\dfrac{1}{2}\) og likning \(y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\). Området ligger over: \(y\ge \dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\).

Steg 5 — Samle ulikhetene

\[x\ge 1,\qquad y\le -x+5,\qquad y\ge \dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}.\]

Tolkning

Disse tre ulikhetene beskriver hele trekanten, inkludert randlinjene.

Vanlig feil: Å snu retningen på en av ulikhetene. Test for eksempel punktet \((2,1)\), som ligger inne i området.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Linje((1,4),(5,0))

→ \(y=-x+5\)

Linje((1,-2),(5,0))

→ \(y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
# Hjørner lest fra figuren:
A = (1, 4)
B = (1, -2)
C = (5, 0)
print("Hjørner:", A, B, C)
print("Venstre grense: x >= 1")
print("Øvre linje gjennom A og C: y = -x + 5")
print("Nedre linje gjennom B og C: y = x/2 - 5/2")
testpunkt = {x: 2, y: 1}
print("Testpunkt (2,1) oppfyller:")
print("x >= 1:", testpunkt[x] >= 1)
print("y <= -x+5:", testpunkt[y] <= -testpunkt[x] + 5)
print("y >= x/2-5/2:", testpunkt[y] >= testpunkt[x]/2 - 5/2)

Fasit: \(x\ge 1\), \(y\le -x+5\) og \(y\ge \dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 7b · 6 poeng samletLineær optimering

Oppgave 7b

Oppgave:

La \(S=\dfrac{1}{2}x-2y\). Bestem den største verdien \(S\) kan ha når \((x,y)\) skal ligge i området \(T\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk hjørneprinsippet

Et lineært uttrykk får største og minste verdi i et hjørne av et lukket polygonområde.

Steg 2 — List hjørnene

Hjørnene er \((1,4)\), \((1,-2)\) og \((5,0)\).

Steg 3 — Regn \(S\) i første hjørne

\[S(1,4)=\dfrac{1}{2}\cdot1-2\cdot4=\dfrac{1}{2}-8=-\dfrac{15}{2}.\]

Steg 4 — Regn \(S\) i de to andre hjørnene

\[S(1,-2)=\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{9}{2},\qquad S(5,0)=\dfrac{5}{2}.\]

Steg 5 — Velg største verdi

Den største verdien er \(\dfrac{9}{2}\), oppnådd i \((1,-2)\).

Tolkning

Siden \(S\) er lineær, trenger vi bare sjekke hjørnene.

Vanlig feil: Å teste bare ett tilfeldig punkt inne i området. Maksimum ligger på randen, og her i et hjørne.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

S(1,4)=1/2*1-2*4

→ \(-\dfrac{15}{2}\)

S(1,-2)=1/2*1-2*(-2)

→ \(\dfrac{9}{2}\)

S(5,0)=1/2*5-2*0

→ \(\dfrac{5}{2}\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
hjorner = [(1, 4), (1, -2), (5, 0)]
def S(x, y):
    return Fraction(1, 2)*x - 2*y
verdier = []
for punkt in hjorner:
    verdi = S(*punkt)
    verdier.append((verdi, punkt))
    print(f"Punkt {punkt}: S = {verdi} = {float(verdi):.2f}")
print("Størst verdi og punkt:", max(verdier))

Fasit: \(S_{\max}=\dfrac{9}{2}\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 7c · 6 poeng samletParameterulikhet

Oppgave 7c

Oppgave:

La \(F\) være området som er avgrenset av ulikhetene i oppgave a og ulikheten \(y\ge k+x\). For hvilke verdier av \(k\) blir området \(F\) det samme som området \(T\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Forstå kravet

For at \(F\) skal være lik \(T\), må den nye ulikheten ikke fjerne noen punkter fra \(T\).

Steg 2 — Skriv betingelsen

Alle punkter i \(T\) må oppfylle \(y\ge x+k\), altså \(k\le y-x\).

Steg 3 — Finn minste verdi av \(y-x\) i \(T\)

Uttrykket \(y-x\) er lineært, så vi sjekker hjørnene.

Steg 4 — Regn i hjørnene

\[(1,4):3,\\ (1,-2):-3,\\ (5,0):-5.\] Minste verdi er \(-5\).

Steg 5 — Bestem \(k\)

Vi må derfor ha \[k\le -5.\] Da ligger linjen \(y=x+k\) under eller langs hele området \(T\).

Tolkning

Når \(k=-5\), går den nye linjen gjennom hjørnet \((5,0)\). For mindre \(k\) ligger linjen lavere og påvirker ikke området.

Vanlig feil: Å bruke største verdi av \(y-x\). Her trenger vi den strengeste, altså minste, verdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Min({4-1,-2-1,0-5})

→ \(-5\)

k<=-5

→ \(true\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
hjorner = [(1, 4), (1, -2), (5, 0)]
verdier = []
for x, y in hjorner:
    verdi = y - x
    verdier.append(verdi)
    print(f"Punkt ({x},{y}): y - x = {verdi}")
minste = min(verdier)
print("Minste verdi av y-x i T:", minste)
print("Krav for samme område: k <=", minste)
for k in [-6, -5, -4]:
    ok = all(y >= x + k for x, y in hjorner)
    print(f"k={k}: alle hjørner oppfyller y >= x+k? {ok}")

Fasit: \(k\le -5\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 8a · 4 poeng samletRasjonal funksjon

Oppgave 8a

Oppgave:

Funksjonen \(h\) er gitt ved \(h(x)=\dfrac{ax-2}{bx+c}\). Bestem tallene \(a\), \(b\) og \(c\) slik at punktet \((-1,0)\) ligger på grafen til \(h\), og asymptotene til \(h\) skjærer hverandre i punktet \((4,-2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk nullpunktet

At \((-1,0)\) ligger på grafen betyr at telleren er null for \(x=-1\): \[-a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=-2.\]

Steg 2 — Bruk horisontal asymptote

For \(h(x)=\dfrac{ax-2}{bx+c}\) er horisontal asymptote \(y=\dfrac{a}{b}\). Den skal være \(y=-2\).

Steg 3 — Finn \(b\)

\[\dfrac{a}{b}=-2.\] Med \(a=-2\) får vi \(\dfrac{-2}{b}=-2\), altså \(b=1\).

Steg 4 — Bruk vertikal asymptote

Vertikal asymptote kommer fra \(bx+c=0\), altså \(x=-\dfrac{c}{b}\). Den skal være \(x=4\).

Steg 5 — Finn \(c\)

\[-\dfrac{c}{1}=4\quad\Longrightarrow\quad c=-4.\]

Tolkning

Funksjonen blir \(h(x)=\dfrac{-2x-2}{x-4}\).

Vanlig feil: Å sette \(c=4\). Den vertikale asymptoten er \(x=-\dfrac{c}{b}\), ikke \(x=c\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs({-a-2=0,a/b=-2,-c/b=4},{a,b,c})

→ \(a=-2,\ b=1,\ c=-4\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, limit, oo
x, a, b, c = symbols('x a b c')
likninger = [Eq(-a - 2, 0), Eq(a/b, -2), Eq(-c/b, 4)]
losning = solve(likninger, (a, b, c), dict=True)[0]
h = (losning[a]*x - 2)/(losning[b]*x + losning[c])
print("Løsning for a, b og c:", losning)
print("Funksjonen h(x):", h)
print("Nullpunktkontroll h(-1):", h.subs(x, -1))
print("Horisontal asymptote:", limit(h, x, oo))
print("Vertikal asymptote fra nevner=0:", solve(losning[b]*x + losning[c], x))

Fasit: \(a=-2\), \(b=1\), \(c=-4\). (bekreftet digitalt).

Del 1 · Oppgave 8b · 4 poeng samletGrafskisse

Oppgave 8b

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(h\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk funksjonen fra a

\[h(x)=\dfrac{-2x-2}{x-4}.\]

Steg 2 — Tegn asymptotene

Den vertikale asymptoten er \(x=4\), og den horisontale asymptoten er \(y=-2\). De skjærer hverandre i \((4,-2)\).

Steg 3 — Marker nullpunktet

Nullpunktet er gitt i oppgaven: \((-1,0)\).

Steg 4 — Finn et ekstra punkt

\[h(0)=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}.\] Dette punktet hjelper oss å plassere venstre gren.

Steg 5 — Vurder grenene

Grafen nærmer seg \(x=4\) loddrett og \(y=-2\) vannrett, uten å krysse asymptotene.

Tolkning

Skissen skal vise asymptotene tydelig, nullpunktet \((-1,0)\) og formen til en rasjonal graf.

Vanlig feil: Å tegne grafen som en rett linje. Dette er en rasjonal funksjon med asymptoter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

h(x):=(-2x-2)/(x-4)

→ \(h(x)=\dfrac{-2x-2}{x-4}\)

Asymptote(h)

→ \(x=4, y=-2\)

h(0)

→ \(\dfrac{1}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x = symbols('x')
h = (-2*x - 2)/(x - 4)
print("h(x) =", h)
print("Nullpunkt:", solve(-2*x - 2, x))
print("y-skjæring h(0):", h.subs(x, 0))
print("Vertikal asymptote x =", solve(x - 4, x)[0])
print("Horisontal asymptote y =", limit(h, x, oo))
for verdi in [3.9, 4.1, 10]:
    print(f"h({verdi}) ≈ {float(h.subs(x, verdi)):.3f}")

Fasit: Grafen har asymptotene \(x=4\) og \(y=-2\), nullpunkt \((-1,0)\) og \(y\)-skjæring \(\dfrac{1}{2}\). (bekreftet digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 bruker CAS/GeoGebra og Python-kontroll for likningssystemer, sannsynlighet, regresjon, eksponentialmodeller og lineær programmering.

Del 2 · Oppgave 1a · 3 poeng samletLikningssystem med vekst

Oppgave 1a

Oppgave:

I 2018 eksporterte Norge laks og ørret for til sammen 70,7 milliarder kroner. Verdien av lakseeksporten økte med 4,8 milliarder kroner fra 2018 til 2019. Verdien av ørreteksporten økte med 24 % fra 2018 til 2019. I 2019 eksporterte Norge laks og ørret for til sammen 76,2 milliarder kroner. Sett opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme verdien av lakseeksporten og verdien av ørreteksporten i 2019.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabler

La \(L\) være verdien av lakseeksporten i 2019, og la \(Ø\) være verdien av ørreteksporten i 2019, begge i milliarder kroner.

Steg 2 — Bruk totalsummen i 2019

\[L+Ø=76{,}2.\]

Steg 3 — Skriv 2018-verdien for laks

Siden laks økte med \(4{,}8\), var lakseverdien i 2018 lik \(L-4{,}8\).

Steg 4 — Skriv 2018-verdien for ørret

Siden ørret økte med \(24\ \%\), er \(Ø=1{,}24\cdot Ø_{2018}\), altså \(Ø_{2018}=\dfrac{Ø}{1{,}24}\).

Steg 5 — Bruk totalsummen i 2018

\[L-4{,}8+\dfrac{Ø}{1{,}24}=70{,}7.\]

Tolkning

Likningssystemet har to ukjente og to uavhengige opplysninger.

Vanlig feil: Å skrive \(1{,}24Ø\) som 2018-verdi. Når \(Ø\) er 2019-verdi, må vi dele på \(1{,}24\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

L+Ø=76.2

→ \(L+Ø=76{,}2\)

L-4.8+Ø/1.24=70.7

→ \(L-4{,}8+\dfrac{Ø}{1{,}24}=70{,}7\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq
L, O = symbols('L O')
likning_2019 = Eq(L + O, 76.2)
likning_2018 = Eq(L - 4.8 + O/1.24, 70.7)
print("La L være laks i 2019 og O være ørret i 2019")
print("2019-likning:", likning_2019)
print("2018-likning:", likning_2018)
print("Systemet kan løses med CAS i neste deloppgave")

Fasit: Et mulig system er \(L+Ø=76{,}2\) og \(L-4{,}8+\dfrac{Ø}{1{,}24}=70{,}7\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 1b · 3 poeng samletLikningssystem med CAS

Oppgave 1b

Oppgave:

Hvor stor var verdien av lakseeksporten i 2019?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk systemet fra a

\[L+Ø=76{,}2,\qquad L-4{,}8+\dfrac{Ø}{1{,}24}=70{,}7.\]

Steg 2 — Løs systemet digitalt

CAS gir \[L\approx 72{,}5833,\qquad Ø\approx 3{,}6167.\]

Steg 3 — Rund av

Verdiene er oppgitt i milliarder kroner, så vi kan runde til én desimal: \(L\approx 72{,}6\).

Steg 4 — Kontroller totalsum

\[72{,}5833+3{,}6167=76{,}2.\]

Steg 5 — Kontroller 2018-tall

\[72{,}5833-4{,}8+\dfrac{3{,}6167}{1{,}24}\approx 70{,}7.\]

Tolkning

Lakseeksporten var den klart største delen av samlet eksportverdi.

Vanlig feil: Å svare med 2018-verdien for laks, \(L-4{,}8\), i stedet for 2019-verdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs({L+Ø=76.2,L-4.8+Ø/1.24=70.7},{L,Ø})

→ \(L=72{,}5833, Ø=3{,}6167\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
L, O = symbols('L O')
likninger = [Eq(L + O, 76.2), Eq(L - 4.8 + O/1.24, 70.7)]
losning = solve(likninger, (L, O), dict=True)[0]
print("Likningssystem:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)
print("Løsning:", losning)
print("Laks 2019:", losning[L])
print("Ørret 2019:", losning[O])
print("Kontroll 2019 sum:", losning[L] + losning[O])
print("Kontroll 2018 sum:", losning[L] - 4.8 + losning[O]/1.24)

Fasit: Lakseeksporten i 2019 var omtrent \(72{,}6\) milliarder kroner. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 2a · 7 poeng samletBinomisk sannsynlighet

Oppgave 2a

Oppgave:

Når vi spiller med et ruletthjul, havner en kule på et av 37 tall. Av disse tallene er 18 røde, 18 svarte og ett grønt. Sannsynligheten er den samme for at kulen havner på hvert av de 37 tallene. Bestem sannsynligheten for at kulen havner på det grønne tallet i minst 1 av 10 spilleomganger.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg modell

Hver spilleomgang har to utfall: grønt eller ikke grønt. Vi bruker binomisk modell med \(n=10\) og \(p=\dfrac{1}{37}\).

Steg 2 — Bruk komplement

«Minst 1 grønn» er komplementet til «ingen grønne».

Steg 3 — Finn sannsynligheten for ingen grønne

\[P(X=0)=(\dfrac{36}{37})^{10}.\]

Steg 4 — Finn sannsynligheten for minst én

\[P(X\ge 1)=1-(\dfrac{36}{37})^{10}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[1-(\dfrac{36}{37})^{10}\approx 0{,}240.\]

Tolkning

Det er omtrent \(24\ \%\) sannsynlighet for minst én grønn i 10 omganger.

Vanlig feil: Å bruke \(10\cdot \dfrac{1}{37}\) som eksakt sannsynlighet. Det er bare en tilnærming når hendelser kan overlappe.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

1-(36/37)^10

→ \(0{,}23966\)

Python-kontroll

from sympy import Rational, N
n = 10
p_gronn = Rational(1, 37)
P_minst_en = 1 - (1 - p_gronn)**n
print("Antall spill:", n)
print("p(grønn i ett spill):", p_gronn)
print("P(ingen grønne):", (1 - p_gronn)**n)
print("P(minst én grønn):", P_minst_en)
print("Desimaltall:", N(P_minst_en, 6))

Fasit: \(P\approx 0{,}240\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 2b · 7 poeng samletEksponentialulikhet

Oppgave 2b

Oppgave:

Hvor mange ganger må vi minst spille med ruletthjulet dersom sannsynligheten for at kulen skal havne på det grønne tallet minst 1 gang, skal være mer enn 50 prosent?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp sannsynligheten etter \(n\) spill

\[P(\text{minst én grønn})=1-(\dfrac{36}{37})^n.\]

Steg 2 — Sett opp kravet

\[1-(\dfrac{36}{37})^n>0{,}50.\]

Steg 3 — Omskriv

\[(\dfrac{36}{37})^n<0{,}50.\]

Steg 4 — Løs med logaritmer eller CAS

\[n>\dfrac{\ln(0{,}50)}{\ln(36/37)}\approx 25{,}30.\]

Steg 5 — Velg minste heltall

Derfor må vi spille minst \(26\) ganger.

Tolkning

Fordi \(n\) må være et helt antall spill, runder vi opp fra \(25{,}30\) til \(26\).

Vanlig feil: Å runde ned til \(25\). Da blir sannsynligheten fortsatt ikke over \(50\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(1-(36/37)^n>0.5,n)

→ \(n>25{,}298\)

1-(36/37)^26

→ \(0{,}509\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational, log, N
n = symbols('n', real=True)
grense = log(Rational(1, 2)) / log(Rational(36, 37))
print("Løser 1 - (36/37)^n > 0.5")
print("Grenseverdi for n:", grense)
print("Desimaltall:", N(grense, 8))
for antall in [25, 26]:
    P = 1 - (Rational(36, 37))**antall
    print(f"n={antall}: P(minst én grønn) = {N(P, 6)}")

Fasit: Minst \(26\) spilleomganger. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 2c · 7 poeng samletBinomisk fordeling

Oppgave 2c

Oppgave:

Forklar hvordan du kan komme fram til at sannsynligheten er \(p\approx 0{,}151\) for at kulen havner på et rødt tall i minst 7 av 10 spilleomganger.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer stokastisk variabel

La \(X\) være antall ganger kulen havner på rødt i \(10\) spill.

Steg 2 — Velg binomisk modell

Hver omgang har sannsynlighet \(\dfrac{18}{37}\) for rødt, og vi antar uavhengige omganger. Da er \(X\sim \operatorname{Bin}(10,\dfrac{18}{37})\).

Steg 3 — Skriv hendelsen

«Minst 7 røde» betyr \(X\ge 7\).

Steg 4 — Summer enkeltsannsynlighetene

\[P(X\ge 7)=\sum_{k=7}^{10}\binom{10}{k}(\dfrac{18}{37})^k(\dfrac{19}{37})^{10-k}.\]

Steg 5 — Regn digitalt

Denne summen gir \(P(X\ge 7)\approx 0{,}151\).

Tolkning

Sannsynligheten \(0{,}151\) blir brukt som «suksess-sannsynlighet» i neste deloppgave.

Vanlig feil: Å bruke \(p=\dfrac{18}{37}\) direkte i neste del uten å ta hensyn til at «minst 7 av 10» er en sammensatt hendelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Sum(Binomial(10,k)*(18/37)^k*(19/37)^(10-k),k,7,10)

→ \(0{,}1506\)

Python-kontroll

from math import comb
from fractions import Fraction
p_rod = Fraction(18, 37)
q = 1 - p_rod
sannsynlighet = Fraction(0, 1)
print("X ~ Bin(10, 18/37)")
for k in range(7, 11):
    ledd = Fraction(comb(10, k), 1) * p_rod**k * q**(10 - k)
    sannsynlighet += ledd
    print(f"k={k}: ledd = {float(ledd):.6f}")
print("Sum P(X >= 7):", float(sannsynlighet))
print("Avrundet:", round(float(sannsynlighet), 3))

Fasit: \(p=P(X\ge 7)\approx 0{,}151\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 2d · 7 poeng samletBinomisk fordeling i to trinn

Oppgave 2d

Oppgave:

Åtte venner skal spille med ruletthjulet. Alle spiller 10 ganger hver. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 3 av dem får rødt tall i minst 7 av de 10 spilleomgangene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk resultatet fra c

For én person er sannsynligheten for minst \(7\) røde av \(10\) spill \(p\approx 0{,}151\).

Steg 2 — Definer ny stokastisk variabel

La \(Y\) være antall av de \(8\) vennene som får minst \(7\) røde.

Steg 3 — Velg modell

Vi bruker \(Y\sim \operatorname{Bin}(8,0{,}151)\).

Steg 4 — Sett inn i binomisk formel

\[P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot 0{,}151^3\cdot (1-0{,}151)^5.\]

Steg 5 — Regn ut

\[P(Y=3)\approx 0{,}085.\]

Tolkning

Det er omtrent \(8{,}5\ \%\) sannsynlighet for at nøyaktig tre av de åtte får minst syv røde.

Vanlig feil: Å bruke \(\dfrac{18}{37}\) som sannsynligheten for hver venn. Hver venns «suksess» er hendelsen minst \(7\) røde av \(10\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Binomial(8,3)*0.151^3*(1-0.151)^5

→ \(0{,}085\)

Python-kontroll

from math import comb
p = 0.1506023394423857
n = 8
k = 3
P = comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
print("Suksess for én venn: minst 7 røde av 10")
print("p =", p)
print("Y ~ Bin(8, p)")
print("Beregning: C(8,3)*p^3*(1-p)^5")
print("Sannsynlighet:", P)
print("Avrundet:", round(P, 3))

Fasit: \(P\approx 0{,}085\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3a · 8 poeng samletLineær regresjon

Oppgave 3a

Oppgave:

Figuren viser verdien av norsk sjømateksport for årene 2012-2019. Bruk tallene fra figuren til å bestemme en lineær modell \(g\) som viser verdien av sjømateksporten \(x\) år etter 2012.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Les av tallene

Fra figuren kan vi bruke punktene \((0,52{,}2)\), \((1,61{,}5)\), \((2,68{,}7)\), \((3,74{,}5)\), \((4,91{,}6)\), \((5,94{,}5)\), \((6,99{,}0)\), \((7,107{,}3)\).

Steg 2 — Velg metode

Med digitale hjelpemidler kan vi bruke lineær regresjon.

Steg 3 — Kjør regresjon

Regresjon på tallene gir omtrent stigningstall \(7{,}95\) og konstantledd \(53{,}34\).

Steg 4 — Skriv modellen

\[g(x)\approx 7{,}95x+53{,}34.\]

Steg 5 — Tolk koeffisientene

Modellen sier at eksportverdien i perioden økte med omtrent \(7{,}95\) milliarder kroner per år i gjennomsnitt.

Tolkning

Den lineære modellen er en tilnærming til observerte data, ikke en eksakt regel.

Vanlig feil: Å bruke årstallet direkte som \(x\). Her er \(x\) antall år etter 2012.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

RegPoly({(0,52.2),(1,61.5),(2,68.7),(3,74.5),(4,91.6),(5,94.5),(6,99.0),(7,107.3)},1)

→ \(g(x)=7{,}95x+53{,}34\)

Python-kontroll

import numpy as np
xverdier = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], dtype=float)
yverdier = np.array([52.2, 61.5, 68.7, 74.5, 91.6, 94.5, 99.0, 107.3], dtype=float)
a, b = np.polyfit(xverdier, yverdier, 1)
print("x-verdier (år etter 2012):", xverdier)
print("y-verdier (milliarder kroner):", yverdier)
print("Stigningstall a:", a)
print("Konstantledd b:", b)
print(f"Lineær modell: g(x) = {a:.2f}x + {b:.2f}")
for x in [0, 7]:
    print(f"g({x}) ≈ {a*x + b:.2f}")

Fasit: For eksempel \(g(x)\approx 7{,}95x+53{,}34\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3b · 8 poeng samletEksponentialgraf

Oppgave 3b

Oppgave:

Funksjonen \(f\) gitt ved \(f(x)=55\cdot1{,}11^x\) er en annen modell for verdien av norsk sjømateksport i milliarder kroner. Her er \(x\) antall år etter 2012. Tegn grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser funksjonstypen

\(f(x)=55\cdot1{,}11^x\) er en eksponentialfunksjon med startverdi \(55\) og vekstfaktor \(1{,}11\).

Steg 2 — Velg passende intervall

Siden dataene går fra 2012 til 2019, kan vi for eksempel tegne grafen for \(0\le x\le 15\).

Steg 3 — Finn noen punkter

\[f(0)=55,\qquad f(7)=55\cdot1{,}11^7\approx 114{,}1.\]

Steg 4 — Tegn i grafverktøy

I GeoGebra kan vi skrive \(f(x)=55\cdot1.11^x\) og justere vinduet.

Steg 5 — Tolk grafen

Grafen er voksende og krummer oppover fordi vekstfaktoren er større enn \(1\).

Tolkning

Grafen viser en prosentvis vekst på \(11\ \%\) per år.

Vanlig feil: Å tegne grafen som en rett linje. Eksponentialmodellen har økende stigning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

f(x):=55*1.11^x

→ \(f(x)=55\cdot1{,}11^x\)

f(0)

→ \(55\)

f(7)

→ \(114{,}1\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, N
x = symbols('x')
def f(verdi):
    return 55 * 1.11**verdi
print("Modell: f(x) = 55*1.11**x")
print("Punkter som kan brukes i grafen:")
for verdi in [0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14]:
    print(f"x={verdi:2d}, år={2012+verdi}, f(x)≈{f(verdi):.2f}")
print("Grafen er voksende fordi 1.11 > 1")

Fasit: Grafen til \(f(x)=55\cdot1{,}11^x\) tegnes som en voksende eksponentialkurve. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3c · 8 poeng samletEksponentiallikning

Oppgave 3c

Oppgave:

I hvilket år blir verdien av sjømateksporten for første gang større enn 200 milliarder kroner, ifølge modellen \(f\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

Vi skal finne første \(x\) slik at \[55\cdot1{,}11^x>200.\]

Steg 2 — Del på 55

\[1{,}11^x>\dfrac{200}{55}.\]

Steg 3 — Løs med logaritmer eller CAS

\[x>\dfrac{\ln(200/55)}{\ln(1{,}11)}\approx 12{,}36.\]

Steg 4 — Velg første hele år etter 2012

Det første hele antallet år etter 2012 er \(x=13\).

Steg 5 — Finn kalenderåret

\[2012+13=2025.\]

Tolkning

Modellen passerer \(200\) milliarder i løpet av det trettende året etter 2012, altså i 2025.

Vanlig feil: Å svare 2024 fordi \(12{,}36\) er nærmere 12 enn 13. Vi trenger første hele år der verdien er større enn 200.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(55*1.11^x>200,x)

→ \(x>12{,}36\)

55*1.11^13

→ \(213{,}6\)

Python-kontroll

from math import log
import math
grense = log(200/55) / log(1.11)
print("Løser 55*1.11**x > 200")
print("Grense for x:", grense)
for heltall in [12, 13]:
    verdi = 55 * 1.11**heltall
    print(f"x={heltall}, år={2012+heltall}: f(x)≈{verdi:.2f}")
print("Første hele x som gir verdi over 200:", math.floor(grense) + 1)
print("År:", 2012 + math.floor(grense) + 1)

Fasit: Året \(2025\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3d · 8 poeng samletGjennomsnittlig vekstfart

Oppgave 3d

Oppgave:

Bruk modellen \(f\) til å bestemme den gjennomsnittlige årlige verdiøkningen av sjømateksporten i perioden 2012-2020.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn riktig \(x\)-intervall

Året 2012 svarer til \(x=0\), og 2020 svarer til \(x=8\).

Steg 2 — Bruk gjennomsnittlig vekstfart

\[\dfrac{f(8)-f(0)}{8-0}.\]

Steg 3 — Sett inn modellen

\[f(0)=55,\qquad f(8)=55\cdot1{,}11^8.\]

Steg 4 — Regn ut

\[\dfrac{55\cdot1{,}11^8-55}{8}\approx 8{,}97.\]

Steg 5 — Tolk enheten

Gjennomsnittlig årlig verdiøkning er omtrent \(9{,}0\) milliarder kroner per år.

Tolkning

Dette er gjennomsnittlig økning per år over hele perioden, ikke økningen i ett bestemt år.

Vanlig feil: Å bruke \(11\ \%\) som svar. Oppgaven spør om verdiøkning i milliarder kroner per år, ikke prosentvis vekst.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

(55*1.11^8-55)/8

→ \(8{,}97\)

Python-kontroll

def f(x):
    return 55 * 1.11**x
start_x = 0
slutt_x = 8
startverdi = f(start_x)
sluttverdi = f(slutt_x)
gjennomsnitt = (sluttverdi - startverdi) / (slutt_x - start_x)
print("f(0) for 2012:", startverdi)
print("f(8) for 2020:", sluttverdi)
print("Total økning:", sluttverdi - startverdi)
print("Antall år:", slutt_x - start_x)
print("Gjennomsnittlig årlig økning:", gjennomsnitt)
print("Avrundet:", round(gjennomsnitt, 1), "milliarder kroner per år")

Fasit: Omtrent \(9{,}0\) milliarder kroner per år. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 3e · 8 poeng samletEksponentialvekst og differanse

Oppgave 3e

Oppgave:

I hvilket år vil verdien av sjømateksporten for første gang øke med mer enn 20 milliarder kroner per år, ifølge modellen \(f\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tolk årlig økning

Årlig økning fra år \(x\) til år \(x+1\) er \[f(x+1)-f(x).\]

Steg 2 — Sett inn modellen

\[55\cdot1{,}11^{x+1}-55\cdot1{,}11^x=55\cdot1{,}11^x(1{,}11-1).\]

Steg 3 — Sett opp ulikheten

\[55\cdot1{,}11^x\cdot0{,}11>20.\]

Steg 4 — Løs digitalt eller med logaritmer

Løsningen er omtrent \(x>11{,}6\).

Steg 5 — Finn første hele år

Første hele \(x\) er \(12\). Økningen fra \(x=12\) til \(x=13\), altså fra 2024 til 2025, er første økning over \(20\) milliarder kroner per år. Vi sier derfor at dette skjer i \(2025\).

Tolkning

Årlig økning blir større etter hvert fordi modellen er eksponentiell.

Vanlig feil: Å løse \(f(x)>20\) i stedet for \(f(x+1)-f(x)>20\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Løs(55*1.11^x*0.11>20,x)

→ \(x>11{,}6\)

f(13)-f(12)

→ \(21{,}17\)

Python-kontroll

from math import log, floor
def f(x):
    return 55 * 1.11**x
grense = log(20/(55*0.11)) / log(1.11)
print("Løser f(x+1)-f(x) > 20")
print("Dette er 55*1.11**x*0.11 > 20")
print("Grense for x:", grense)
for x in [11, 12, 13]:
    okning = f(x + 1) - f(x)
    print(f"Fra {2012+x} til {2013+x}: økning ≈ {okning:.2f}")
print("Første x:", floor(grense) + 1)
print("Første kalenderår der økningen er over 20 mrd:", 2013 + floor(grense) + 1)

Fasit: Første gang er fra \(2024\) til \(2025\), altså i \(2025\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 4a · 6 poeng samletLineær programmering

Oppgave 4a

Oppgave:

En bedrift produserer hengekøyer av type A og type B. La \(x\) og \(y\) være antall hengekøyer per måned av henholdsvis type A og type B. Marker i et koordinatsystem området som avgrenses av ulikhetene \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(1{,}5x+y\le2500\), \(0{,}5x+y\le1500\), \(x+0{,}4y\le1600\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tegn koordinataksene

Siden \(x\ge0\) og \(y\ge0\), skal vi bare bruke første kvadrant.

Steg 2 — Tegn grenselinjene

Tegn linjene \(1{,}5x+y=2500\), \(0{,}5x+y=1500\) og \(x+0{,}4y=1600\).

Steg 3 — Velg riktig side

Alle tre ulikhetene har \(\le\), så området ligger på eller under hver av disse linjene.

Steg 4 — Finn hjørnepunktene digitalt

CAS gir hjørnene \((0,0)\), \((0,1500)\), \((1000,1000)\), \((1500,250)\) og \((1600,0)\).

Steg 5 — Marker området

Skraver polygonet med disse hjørnene i rekkefølge.

Tolkning

Området viser alle produksjonskombinasjoner bedriften har kapasitet til.

Vanlig feil: Å tegne hele trekanten under bare én av linjene. Alle fem ulikhetene må gjelde samtidig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Skjæring(1.5x+y=2500,0.5x+y=1500)

→ \((1000,1000)\)

Skjæring(1.5x+y=2500,x+0.4y=1600)

→ \((1500,250)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
linjer = [Eq(x, 0), Eq(y, 0), Eq(1.5*x + y, 2500), Eq(0.5*x + y, 1500), Eq(x + 0.4*y, 1600)]
hjorner = []
for i in range(len(linjer)):
    for j in range(i + 1, len(linjer)):
        for sol in solve([linjer[i], linjer[j]], (x, y), dict=True):
            xv = float(sol[x]); yv = float(sol[y])
            if xv >= -1e-9 and yv >= -1e-9 and 1.5*xv + yv <= 2500 + 1e-9 and 0.5*xv + yv <= 1500 + 1e-9 and xv + 0.4*yv <= 1600 + 1e-9:
                hjorner.append((round(xv), round(yv)))
print("Hjørnepunkter i det mulige området:")
for punkt in sorted(set(hjorner)):
    print(punkt)

Fasit: Området har hjørnene \((0,0)\), \((0,1500)\), \((1000,1000)\), \((1500,250)\) og \((1600,0)\). (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 4b · 6 poeng samletLineær optimering

Oppgave 4b

Oppgave:

Hvor mange hengekøyer av type A og type B må bedriften produsere for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir da det månedlige overskuddet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn dekningsbidrag per enhet

Type A: \(800-580=220\) kroner. Type B: \(1400-1140=260\) kroner.

Steg 2 — Sett opp overskuddsfunksjonen

\[P(x,y)=220x+260y-70000.\]

Steg 3 — Bruk hjørnepunktene

For lineær optimering holder det å sjekke hjørnene i området.

Steg 4 — Regn overskudd i hjørnene

\[P(0,1500)=320000,\quad P(1000,1000)=410000,\quad P(1500,250)=325000,\quad P(1600,0)=282000.\]

Steg 5 — Velg størst verdi

Det største overskuddet er \(410000\) kroner ved \(x=1000\) og \(y=1000\).

Tolkning

Bedriften bør produsere \(1000\) av hver type per måned for å maksimere overskuddet i modellen.

Vanlig feil: Å maksimere omsetning i stedet for overskudd. Produksjonskostnadene og faste kostnader må tas med.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Maksimer(220x+260y-70000, betingelser)

→ \(410000\text{ ved }(1000,1000)\)

Python-kontroll

hjorner = [(0, 0), (0, 1500), (1000, 1000), (1500, 250), (1600, 0)]
def overskudd(x, y):
    return 220*x + 260*y - 70000
beste = None
print("Overskudd P(x,y)=220x+260y-70000")
for punkt in hjorner:
    verdi = overskudd(*punkt)
    print(f"P{punkt} = {verdi} kroner")
    if beste is None or verdi > beste[0]:
        beste = (verdi, punkt)
print("Beste løsning:", beste)
print("Produser type A:", beste[1][0])
print("Produser type B:", beste[1][1])

Fasit: Produser \(1000\) av type A og \(1000\) av type B. Maksimalt månedlig overskudd er \(410000\) kroner. (bekreftet digitalt).

Del 2 · Oppgave 4c · 6 poeng samletTolke ulikheter fra tabell

Oppgave 4c

Oppgave:

For å komme fram til ulikhetene har bedriften brukt en tabell. Tid per enhet type A er 36 minutter i tilskjæring, 18 minutter i sammenstilling og 30 minutter i ferdigstilling. Tid per enhet type B er ukjent i tilskjæring, 36 minutter i sammenstilling og 12 minutter i ferdigstilling. Kapasitet per måned er 1000 timer i tilskjæring, ukjent i sammenstilling og 800 timer i ferdigstilling. Gjør beregninger og bestem hvilket tall som mangler i hver av de to tomme rutene i tabellen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Knytt tilskjæring til ulikheten

Tilskjæring har kapasitet \(1000\) timer, altså \(60000\) minutter. Type A bruker \(36\) minutter, og ulikheten er \(1{,}5x+y\le2500\).

Steg 2 — Finn skaleringsfaktoren

Hvis vi deler \(36x+t y\le60000\) på \(24\), får vi \(1{,}5x+\dfrac{t}{24}y\le2500\). Siden koeffisienten foran \(y\) er \(1\), er \(t=24\).

Steg 3 — Knytt sammenstilling til ulikheten

Sammenstilling har tider \(18\) minutter for type A og \(36\) minutter for type B. Ulikheten er \(0{,}5x+y\le1500\).

Steg 4 — Finn kapasiteten i sammenstilling

\(18x+36y\le K\). Deler vi på \(36\), får vi \(0{,}5x+y\le \dfrac{K}{36}\). Dermed er \(\dfrac{K}{36}=1500\), så \(K=54000\) minutter.

Steg 5 — Gjør om til timer

\(54000\) minutter er \(900\) timer. De manglende tallene er derfor \(24\) minutter og \(900\) timer.

Tolkning

Tallene passer med de gitte ulikhetene etter at minutter er skalert til enklere koeffisienter.

Vanlig feil: Å blande minutter og timer i samme likning. Først må alt gjøres om til samme enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

60000/2500

→ \(24\)

1500*36/60

→ \(900\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
# Tilskjæring:
kap_tilskjaring_min = 1000 * 60
skala = kap_tilskjaring_min / 2500
b_tid_tilskjaring = skala * 1
print("Tilskjæring kapasitet i minutter:", kap_tilskjaring_min)
print("Skaleringsfaktor:", skala)
print("Tid per type B i tilskjæring:", b_tid_tilskjaring, "minutter")
# Sammenstilling:
# 18x + 36y <= K skal bli 0.5x + y <= 1500 når vi deler på 36.
kap_sammenstilling_min = 1500 * 36
kap_sammenstilling_timer = kap_sammenstilling_min / 60
print("Sammenstilling kapasitet i minutter:", kap_sammenstilling_min)
print("Sammenstilling kapasitet i timer:", kap_sammenstilling_timer)

Fasit: Tid per enhet type B i tilskjæring er \(24\) minutter, og kapasitet i sammenstilling er \(900\) timer per måned. (bekreftet digitalt).

Kvalitetskontroll

Filen er kontrollert for MathJax-delimitere, fravær av dollar-delimitere, balanserte LaTeX-uttrykk, nøytral Python-kodevisning og ryddige GeoGebra CAS-bokser.

Matematikk S1 eksamen – høst 2021

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Flytt alt til én side

Steg 2 — Del på felles faktor

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

Steg 5 — Sett inn i opprinnelig likning

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 — Skriv høyre side som potens med grunntall 5

Steg 2 — Sammenlikn potenser

Steg 3 — Bruk at eksponentialfunksjonen er én-til-én

Steg 4 — Løs den lineære likningen

Steg 5 — Kontroller

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 1c

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Steg 2 — Bruk produktregelen for logaritmer

Steg 3 — Sammenlikn argumentene

Steg 4 — Løs andregradslikningen

Steg 5 — Sjekk definisjonsmengden

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Utvid første kvadrat

Steg 2 — Utvid midtleddet

Steg 3 — Utvid siste kvadrat

Steg 4 — Samle ledd

Steg 5 — Faktoriser

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 — Bruk potensregelen på siste ledd

Steg 2 — Skriv subtraksjon som divisjon

Steg 3 — Samle alt i én logaritme

Steg 4 — Forenkle potenser

Steg 5 — Bruk potensregelen tilbake

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 3

Steg 1 — Flytt alt til venstre side

Steg 2 — Multipliser med \(-1\)

Steg 3 — Faktoriser

Steg 4 — Finn nullpunkter og fortegn

Steg 5 — Skriv svaret

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 4

Steg 1 — Løs første likning for \(y\)

Steg 2 — Sett inn i andre likning

Steg 3 — Forenkle

Steg 4 — Faktoriser og finn \(x\)

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 5a

Steg 1 — Se at plasseringen er i en ring

Steg 2 — Fest én person

Steg 3 — Plasser de fem andre

Steg 4 — Regn ut

Steg 5 — Konklusjon

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python-kontroll

Oppgave 5b

Steg 1 — Fest Siv

Steg 2 — Tell mulige plasser for Audun

Steg 3 — Tell gunstige plasser

Steg 4 — Finn sannsynligheten

Steg 5 — Skriv som desimaltall