Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har plan, stegvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll med GeoGebra CAS og/eller Python.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 løses med algebra, sannsynlighet, funksjonsforståelse, derivasjon og optimering for hånd.
Den forenklede formen gjelder for de opprinnelige lovlige verdiene \(x\ne \pm 1\).
Vanlig feil: Å forkorte \(x-1\) uten å oppgi at \(x=1\) fortsatt ikke er lovlig i det opprinnelige uttrykket.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Forenkle(1/(x-1)-2x/(x^2-1)+1)
→ \(\dfrac{x}{x+1}\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, simplify, factor
x = symbols('x')
uttrykk = 1/(x - 1) - 2*x/(x**2 - 1) + 1
print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Nevner faktorisert:", factor(x**2 - 1))
print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk))
print("Viktig: x kan ikke være 1 eller -1 i det opprinnelige uttrykket")
Fasit: \(\dfrac{x}{x+1}\), der \(x\ne -1\) og \(x\ne 1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 3Ulikhet
Oppgave 3
Oppgave:
Løs ulikheten \(x^2-3x+2\le 0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Faktoriser uttrykket
\[x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right).\]
Steg 2 — Finn nullpunktene
Nullpunktene er \(x=1\) og \(x=2\).
Steg 3 — Lag fortegnsvurdering
Parabelen vender oppover fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv.
Steg 4 — Velg intervallet der uttrykket er negativt eller null
Uttrykket er \(\le 0\) mellom nullpunktene, inkludert endepunktene.
Steg 5 — Skriv løsningen som intervall
Dermed får vi \[1\le x\le 2.\]
Tolkning
Ulikheten spør etter alle \(x\)-verdier der grafen ligger på eller under \(x\)-aksen.
Vanlig feil: Å skrive bare nullpunktene \(1\) og \(2\), selv om en ulikhet vanligvis gir et intervall.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Løs(x^2-3x+2<=0,x)
→ \(1\le x\le 2\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, solveset, S, factor
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 - 3*x + 2
print("Faktorisert:", factor(uttrykk))
print("Løsningsmengde:", solveset(uttrykk <= 0, x, domain=S.Reals))
for test in [0, 1.5, 3]:
print(f"x={test}: uttrykket =", uttrykk.subs(x, test))
I vinter-OL i 2014 tok Norge til sammen 16 gull- og sølvmedaljer. En gullmedalje gir 7 olympiske poeng, og en sølvmedalje gir 5 olympiske poeng. Norge fikk til sammen 102 olympiske poeng for sine gull- og sølvmedaljer. Bruk disse opplysningene til å bestemme hvor mange gullmedaljer Norge tok i vinter-OL i 2014.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Definer variabler
La \(g\) være antall gullmedaljer og \(s\) antall sølvmedaljer.
Steg 2 — Sett opp antallslikningen
Til sammen er det 16 medaljer: \[g+s=16.\]
Steg 3 — Sett opp poenglikningen
Gull gir 7 poeng og sølv gir 5 poeng: \[7g+5s=102.\]
Fasit: Norge tok \(11\) gullmedaljer. (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 5aSannsynlighet uten tilbakelegging
Oppgave 5a
Oppgave:
Tore og Mia legger 2 røde og 2 blå kuler i en krukke og trekker 2 kuler tilfeldig uten tilbakelegging. Mia må ta oppvasken dersom de 2 kulene har lik farge. Bestem sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Tell alle mulige par
Det finnes \(\binom{4}{2}=6\) mulige uordnede trekk av to kuler.
Steg 2 — Tell gunstige par med lik farge
Lik farge kan være to røde eller to blå: \[\binom{2}{2}+\binom{2}{2}=1+1=2.\]
\(\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\), altså omtrent \(33{,}3\ \%\).
Steg 5 — Vurder rimelighet
Det er flere måter å få ulik farge enn lik farge, så sannsynligheten bør være under \(50\ \%\).
Tolkning
Mia må ta oppvasken med sannsynlighet \(\dfrac{1}{3}\).
Vanlig feil: Å behandle trekningen som med tilbakelegging. Her endres innholdet i krukken etter første trekk.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Binomialkoeffisient(2,2)+Binomialkoeffisient(2,2)
→ \(2\)
2
2/Binomialkoeffisient(4,2)
→ \(\dfrac{1}{3}\)
Python-kontroll
from math import comb
alle_par = comb(4, 2)
gunstige = comb(2, 2) + comb(2, 2)
sannsynlighet = gunstige / alle_par
print("Alle mulige par:", alle_par)
print("Gunstige par med lik farge:", gunstige)
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Som brøk: 1/3")
Fasit: \(P=\dfrac{1}{3}\). (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 5bKombinatorikk
Oppgave 5b
Oppgave:
Hvor mange røde kuler må det minst ligge i krukken dersom sannsynligheten for at de to kulene har ulik farge, er mindre enn \(50\ \%\)? Det ligger fortsatt 2 blå kuler i krukken.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — La \(r\) være antall røde kuler
Totalt ligger det \(r+2\) kuler i krukken.
Steg 2 — Tell gunstige par med ulik farge
Et ulikt par består av én rød og én blå kule. Antall slike par er \(2r\).
Steg 3 — Tell alle mulige par
Antall mulige par er \[\binom{r+2}{2}=\dfrac{\left(r+2\right)\left(r+1\right)}{2}.\]
from sympy import symbols, solve_univariate_inequality, Rational, sqrt
r = symbols('r', real=True)
P_ulik = 4*r/((r + 2)*(r + 1))
ulikhet = P_ulik < Rational(1, 2)
print("P(ulik farge) =", P_ulik)
print("Løsning av ulikheten:", solve_univariate_inequality(ulikhet, r))
for antall in [4, 5]:
verdi = P_ulik.subs(r, antall)
print(f"r={antall}: P(ulik) = {verdi} ≈ {float(verdi):.4f}")
Fasit: Minst \(5\) røde kuler totalt. (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 6Rasjonal funksjon og asymptoter
Oppgave 6
Oppgave:
Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f\left(x\right)=\dfrac{ax+b}{x+c}\), der \(a\), \(b\) og \(c\) er tre tall. Figuren viser grafen til \(f\) sammen med asymptotene til grafen. Bestem tallene \(a\), \(b\) og \(c\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Bruk horisontal asymptote
For \(\dfrac{ax+b}{x+c}\) er horisontal asymptote \(y=a\). Figuren viser \(y=-2\), derfor er \(a=-2\).
Steg 2 — Bruk vertikal asymptote
Den vertikale asymptoten kommer når nevneren er null: \(x+c=0\). Figuren viser \(x=3\), derfor er \(-c=3\), altså \(c=-3\).
Steg 3 — Bruk nullpunktet på grafen
Grafen skjærer \(x\)-aksen ved \(x=2\). Da må telleren være null: \(-2\cdot 2+b=0\).
Steg 4 — Finn \(b\)
\[-4+b=0\quad\Longrightarrow\quad b=4.\]
Steg 5 — Skriv funksjonen
\[f\left(x\right)=\dfrac{-2x+4}{x-3}.\]
Tolkning
Asymptotene bestemmer \(a\) og \(c\), mens nullpunktet bestemmer \(b\).
Vanlig feil: Å tro at den vertikale asymptoten er \(x=c\). Siden nevneren er \(x+c\), er asymptoten \(x=-c\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Asymptote((-2x+4)/(x-3))
→ \(x=3,\ y=-2\)
2
Nullpunkt((-2x+4)/(x-3))
→ \(x=2\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, fraction, solve, limit, oo
x = symbols('x')
f = (-2*x + 4)/(x - 3)
print("Funksjon:", f)
print("Vertikal asymptote fra nevner=0:", solve(x - 3, x))
print("Horisontal asymptote mot uendelig:", limit(f, x, oo))
print("Nullpunkt:", solve(-2*x + 4, x))
print("Kontroll f(0):", f.subs(x, 0))
Fasit: \(a=-2\), \(b=4\) og \(c=-3\). (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 7aLineære ulikheter
Oppgave 7a
Oppgave:
Et område \(M\) er bestemt av ulikhetene \(-2x+5y\le 8\), \(2x+y\ge 4\) og \(2x-y\le 8\). Skraver området \(M\) i et koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Skriv grenselinjene
Grenselinjene er \(-2x+5y=8\), \(2x+y=4\) og \(2x-y=8\).
Steg 2 — Skriv som \(y\)-uttrykk
Vi får \[y\le \dfrac{2x+8}{5},\qquad y\ge 4-2x,\qquad y\ge 2x-8.\]
Steg 3 — Finn skjæringspunktene
Linjeparene gir hjørnene \(\left(1,2\right)\), \(\left(3,-2\right)\) og \(\left(6,4\right)\).
Steg 4 — Velg riktig side av hver linje
Området ligger under den første linjen og over de to andre linjene.
Steg 5 — Skraver trekanten
Skraveringen blir trekanten med hjørnene \(\left(1,2\right)\), \(\left(3,-2\right)\) og \(\left(6,4\right)\).
Tolkning
Området er et lukket trekantområde siden alle ulikhetene er ikke-strenge.
Vanlig feil: Å skravere feil side av én av linjene. Testpunkt er en trygg kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Skjæring(-2x+5y=8,2x+y=4)
→ \(\left(1,2\right)\)
2
Skjæring(2x+y=4,2x-y=8)
→ \(\left(3,-2\right)\)
3
Skjæring(-2x+5y=8,2x-y=8)
→ \(\left(6,4\right)\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
linjer = [Eq(-2*x + 5*y, 8), Eq(2*x + y, 4), Eq(2*x - y, 8)]
for i in range(len(linjer)):
for j in range(i + 1, len(linjer)):
print(f"Skjæring linje {i+1} og {j+1}:", solve([linjer[i], linjer[j]], (x, y)))
print("Området er trekanten med hjørner (1,2), (3,-2), (6,4).")
Fasit: Trekant med hjørner \(\left(1,2\right)\), \(\left(3,-2\right)\), \(\left(6,4\right)\). (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 7bLineær optimering
Oppgave 7b
Oppgave:
Bestem alle verdiene uttrykket \(-2x+3y\) kan få dersom \(\left(x,y\right)\) skal ligge i \(M\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Bruk hjørnene fra området
Et lineært uttrykk får største og minste verdi i hjørnene av et lukket polygon.
Steg 2 — Regn i \(\left(1,2\right)\)
\[-2\cdot 1+3\cdot 2=4.\]
Steg 3 — Regn i \(\left(3,-2\right)\)
\[-2\cdot 3+3\cdot \left(-2\right)=-12.\]
Steg 4 — Regn i \(\left(6,4\right)\)
\[-2\cdot 6+3\cdot 4=0.\]
Steg 5 — Oppgi alle mulige verdier
Siden uttrykket varierer kontinuerlig over trekanten, kan det få alle verdier fra \(-12\) til \(4\).
Tolkning
Minste verdi er \(-12\), og største verdi er \(4\).
Vanlig feil: Å bare oppgi verdiene i hjørnene og ikke hele intervallet av mulige verdier.
Fasit: Alle verdier i intervallet \(\left[-12,4\right]\). (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 8aGjennomsnittlig vekstfart
Oppgave 8a
Oppgave:
En funksjon \(g\) er gitt ved \(g\left(x\right)=x^3-\dfrac{3}{2}x^2\). Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(g\) i intervallet \(\left[\dfrac{3}{2},2\right]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Bruk formelen
Gjennomsnittlig vekstfart er \[\dfrac{g\left(2\right)-g\left(\frac{3}{2}\right)}{2-\frac{3}{2}}.\]
Grafen til \(g\) har to tangenter med stigningstall lik \(g^\prime\left(2\right)\). Disse to tangentene tangerer grafen i henholdsvis punkt \(A\) og punkt \(B\). Bestem koordinatene til \(A\) og \(B\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Bruk resultatet fra del b
Vi har \(g^\prime\left(2\right)=6\). Vi skal finne alle \(x\)-verdier der \(g^\prime\left(x\right)=6\).
Steg 2 — Sett opp likningen
\[3x^2-3x=6.\]
Steg 3 — Løs andregradslikningen
\[3x^2-3x-6=0\quad\Longrightarrow\quad x^2-x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\text{ eller }x=2.\]
Modellen uttrykker volumet bare ved hjelp av \(x\).
Vanlig feil: Å bruke \(x\) som radius i stedet for omkrets.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Forenkle(pi*(x/(2pi))^2*(48-x))
→ \(\dfrac{48x^2-x^3}{4\pi}\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, pi, simplify, expand
x = symbols('x', positive=True)
r = x/(2*pi)
h = 48 - x
V = pi*r**2*h
print("Radius r =", r)
print("Høyde h =", h)
print("Volum før utvidelse:", simplify(V))
print("Volum utvidet:", expand(simplify(V)))
\(x=0\) er endepunkt og gir ikke en sylinder med positivt volum. Det aktuelle punktet er \(x=32\).
Steg 5 — Kontroller maksimum
Volumet er \(0\) ved \(x=0\) og \(x=48\), og positivt mellom. Derfor gir det indre kritiske punktet maksimum.
Tolkning
Sylinderen får størst volum når omkretsen til grunnflaten er \(32\) cm.
Vanlig feil: Å stoppe ved både \(x=0\) og \(x=32\) uten å vurdere definisjonsområdet.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Løs(Derivert((48x^2-x^3)/(4pi))=0,x)
→ \(x=0\lor x=32\)
2
Maks((48x^2-x^3)/(4pi),0<x<48)
→ \(x=32\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, pi, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
V = (48*x**2 - x**3)/(4*pi)
V_derivert = diff(V, x)
kritiske = solve(V_derivert, x)
print("V(x) =", V)
print("V'(x) =", V_derivert)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in [0, 32, 48]:
print(f"V({verdi}) =", simplify(V.subs(x, verdi)))
print("Størst volum fås ved x = 32")
Fasit: \(x=32\) cm. (bekreftet digitalt).
Del 2 — med hjelpemidler
Del 2 dokumenterer digitale metoder: binomiske beregninger, regresjon, graftegning og lineær optimering.
Del 2 · Oppgave 1aBinomisk modell
Oppgave 1a
Oppgave:
Agnete planlegger en 14 dagers ferietur til sørkysten av Gran Canaria. Der er det i gjennomsnitt 300 soldager i året. Hun har funnet ut at sannsynligheten for at alle de 14 dagene blir soldager, er \(6{,}4\ \%\). Forklar hvordan hun kan ha kommet fram til dette resultatet. Hvilke forutsetninger ligger til grunn?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Finn sannsynligheten for soldag én tilfeldig dag
En enkel modell er \[p=\dfrac{300}{365}.\]
Steg 2 — Velg sannsynlighetsmodell
Hvis dagene behandles som uavhengige og sannsynligheten er lik hver dag, kan vi multiplisere sannsynlighetene.
Modellen forutsetter uavhengige dager, konstant sannsynlighet og at gjennomsnittet \(300\) soldager per år kan brukes som sannsynlighet for en tilfeldig dag.
Tolkning
Resultatet \(6{,}4\ \%\) er avrundet fra en binomisk/uavhengig modell.
Vanlig feil: Å tolke 300 soldager i året som at en 14-dagersperiode alltid får omtrent \(14\cdot 300/365\) soldager.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
(300/365)^14
→ \(0{,}0642\)
Python-kontroll
from sympy import Rational, N
p = Rational(300, 365)
sannsynlighet = p**14
print("p = 300/365 =", N(p, 6))
print("P(14 soldager) = p**14 =", N(sannsynlighet, 8))
print("I prosent:", N(100*sannsynlighet, 5), "%")
En familie vurderer å reise på en 14 dagers tur til sørkysten av Gran Canaria hvert år de neste 8 årene. Bestem sannsynligheten for at de opplever bare soldager på minst 2 av disse 8 framtidige feriereisene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Definer suksess
En suksess er at én 14-dagersreise får bare soldager. Fra del a er \(p\approx 0{,}0642\).
Steg 2 — Velg modell
Antall slike reiser på 8 år kan modelleres binomisk: \(X\sim \operatorname{Bin}\left(8,p\right)\).
Med \(p=\left(\dfrac{300}{365}\right)^{14}\) får vi \[P\left(X\ge 2\right)\approx 0{,}0891.\]
Tolkning
Sannsynligheten er omtrent \(8{,}9\ \%\).
Vanlig feil: Å bruke \(p=300/365\) direkte for en hel reise. Suksess-sannsynligheten er sannsynligheten for 14 soldager på rad.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
1-BinomiskFordeling(8,(300/365)^14,1,true)
→ \(0{,}0891\)
Python-kontroll
from sympy import Rational, binomial, N
p = Rational(300, 365)**14
n = 8
P0 = (1 - p)**n
P1 = binomial(n, 1)*p*(1 - p)**(n - 1)
P_minst_2 = 1 - P0 - P1
print("p for bare soldager på én reise:", N(p, 8))
print("P(X=0):", N(P0, 8))
print("P(X=1):", N(P1, 8))
print("P(X>=2):", N(P_minst_2, 8))
print("I prosent:", N(100*P_minst_2, 5), "%")
Fasit: \(P\left(X\ge 2\right)\approx 0{,}089\), altså ca. \(8{,}9\ \%\). (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 1cBinomisk modell og søk
Oppgave 1c
Oppgave:
Ole planlegger en fire ukers ferietur. Et reisebyrå oppgir at sannsynligheten for minst 22 soldager i løpet av en tilfeldig fireukersperiode er minst \(90\ \%\). Hvor mange soldager i året må det minst være i gjennomsnitt for at påstanden skal være sann?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Definer variabel
La \(d\) være gjennomsnittlig antall soldager i året. Da er dagsannsynligheten \(p=\dfrac{d}{365}\).
Steg 2 — Velg modell
Fire uker er 28 dager, så \(X\sim \operatorname{Bin}\left(28,p\right)\).
Steg 3 — Sett opp kravet
Vi må ha \[P\left(X\ge 22\right)\ge 0{,}90.\]
Steg 4 — Bruk digitalt søk
Vi tester heltallige verdier av \(d\) fra 0 til 365 og finner første verdi som gir minst \(90\ \%\).
Steg 5 — Les av minste verdi
Søket gir \(d=313\). Da er sannsynligheten omtrent \(0{,}9068\), mens \(d=312\) er for lav.
Tolkning
Det må være minst 313 soldager i året i gjennomsnitt.
Vanlig feil: Å løse med forventningsverdi alene. Kravet handler om en hale-sannsynlighet, ikke bare gjennomsnittlig antall soldager.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Sum(Binomisk(28,d/365,k),k,22,28)>=0.90
→ \(d\ge 313\)
Python-kontroll
from math import comb
def hale(d):
p = d/365
return sum(comb(28, k)*p**k*(1-p)**(28-k) for k in range(22, 29))
for d in range(300, 316):
print(f"d={d}: P(X>=22) = {hale(d):.5f}")
minste = next(d for d in range(366) if hale(d) >= 0.90)
print("Minste antall soldager per år:", minste)
print("Kontroll ved minste:", hale(minste))
Fasit: Minst \(313\) soldager per år. (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 2aEksponentiell regresjon
Oppgave 2a
Oppgave:
Tabellen viser avskoging i Amazonas: år \(2012,2014,2016,2019\) og avskoging \(4571,5012,7893,9762\) \(\text{km}^2\). Bruk regresjon til å bestemme en eksponentiell modell \(g\) for avskogingen \(x\) år etter 2011.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Definer \(x\)-verdier
Siden \(x\) er år etter 2011, får vi punktene \(\left(1,4571\right)\), \(\left(3,5012\right)\), \(\left(5,7893\right)\), \(\left(8,9762\right)\).
Steg 2 — Velg modelltype
En eksponentiell modell kan skrives \(g\left(x\right)=A\cdot B^x\).
Steg 3 — Lineæriser
Vi kan bruke \(\ln y=\ln A+x\ln B\) og kjøre lineær regresjon på \(\left(x,\ln y\right)\).
Steg 4 — Utfør regresjon digitalt
Regresjon gir omtrent \(A\approx 3935{,}9\) og \(B\approx 1{,}12455\).
Steg 5 — Skriv modellen
\[g\left(x\right)\approx 3936\cdot 1{,}1245^x.\]
Tolkning
Modellen beskriver en gjennomsnittlig prosentvis økning per år på omtrent \(12{,}45\ \%\).
Vanlig feil: Å bruke kalenderåret direkte som \(x\), selv om oppgaven definerer \(x\) som år etter 2011.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
RegEksp({(1,4571),(3,5012),(5,7893),(8,9762)})
→ \(g\left(x\right)=3935{,}9\cdot 1{,}12455^x\)
Python-kontroll
import numpy as np
x = np.array([1, 3, 5, 8], dtype=float)
y = np.array([4571, 5012, 7893, 9762], dtype=float)
# Eksponentiell regresjon: ln(y) = ln(A) + x*ln(B)
koeff = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
lnB, lnA = koeff
A = np.exp(lnA)
B = np.exp(lnB)
print("x-verdier:", x)
print("y-verdier:", y)
print("ln(A) =", lnA)
print("ln(B) =", lnB)
print("A =", A)
print("B =", B)
print(f"Modell: g(x) = {A:.1f} * {B:.5f}**x")
print("Modellverdier:", A*B**x)
Modellen \(f\) for avskoging er \(f\left(x\right)=2450\cdot x^{0{,}68}\), \(x\ge 9\), der \(x\) er antall år etter 2011. Tegn grafen til \(f\) for \(x\in\left[9,39\right]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Definer funksjonen
Vi bruker \(f\left(x\right)=2450x^{0{,}68}\).
Steg 2 — Definer intervallet
Grafen skal tegnes for \(9\le x\le 39\). Det tilsvarer årene 2020 til 2050.
Steg 3 — Bruk grafverktøy
I GeoGebra kan man skrive funksjonen og sette visningsvinduet til \(x\in\left[9,39\right]\).
Første hele \(x\)-verdi som er større enn grensen er \(x=16\).
Steg 5 — Finn kalenderåret
Siden \(x\) er år etter 2011, blir året \(2011+16=2027\).
Tolkning
Ifølge modellen skjer dette første gang i 2027.
Vanlig feil: Å runde \(15{,}48\) ned til 15. Siden det skal være mer enn dobbelt så mye, må vi opp til neste hele år.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Løs(2450*x^0.68=2*7893,x)
→ \(x\approx 15{,}48\)
2
2450*16^0.68
→ \(16142{,}4\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, Eq, solve, N
x = symbols('x', positive=True)
terskel = 2*7893
losning = solve(Eq(2450*x**0.68, terskel), x)[0]
print("Terskel:", terskel)
print("Grense x:", N(losning, 8))
for xi in [15, 16]:
verdi = 2450*xi**0.68
print(f"x={xi}, år={2011+xi}, f(x)={verdi:.2f}, over terskel?", verdi > terskel)
Fasit: \(2027\). (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 2dDerivasjon og tolkning
Oppgave 2d
Oppgave:
Bestem \(f^\prime\left(10\right)\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Når \(x=10\), altså i 2021, øker modellen avskogingen med omtrent \(797\ \text{km}^2\) per år.
Tolkning
Dette er modellens momentane vekstfart rundt 2021.
Vanlig feil: Å tolke \(f^\prime\left(10\right)\) som avskogingen i 2021. Det er vekstfarten, ikke nivået.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Derivert(2450*x^0.68)
→ \(1666x^{-0{,}32}\)
2
1666*10^(-0.32)
→ \(797{,}4\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, diff, N
x = symbols('x', positive=True)
f = 2450*x**0.68
fp = diff(f, x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("f'(10) =", N(fp.subs(x, 10), 8))
print("Tolkning: omtrent km^2 per år rundt 2021")
Modellen gir omtrent \(3\ \%\) reduksjon i vekstfarten fra 2021 til 2022, så den stemmer godt med målet.
Tolkning
Modellen er konsistent med en reduksjon i vekstfarten på omtrent \(3\ \%\).
Vanlig feil: Å sammenlikne \(f\left(10\right)\) og \(f\left(11\right)\) direkte. Oppgaven handler om vekstfart, altså den deriverte.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
f'(10)
→ \(797{,}4\)
2
f'(11)
→ \(773{,}4\)
3
(f'(11)-f'(10))/f'(10)
→ \(-3{,}0\ \%\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, diff, N
x = symbols('x', positive=True)
f = 2450*x**0.68
fp = diff(f, x)
v2021 = fp.subs(x, 10)
v2022 = fp.subs(x, 11)
endring = (v2022 - v2021)/v2021
print("f'(10) for 2021:", N(v2021, 8))
print("f'(11) for 2022:", N(v2022, 8))
print("Relativ endring:", N(endring, 8))
print("Prosentvis endring:", N(100*endring, 6), "%")
Fasit: Modellen viser omtrent \(3{,}0\ \%\) reduksjon, så den stemmer godt. (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 3aLineær optimering
Oppgave 3a
Oppgave:
Marsipanpølser av type A og B veier 500 g. Type A inneholder 50 % melis, 45 % mandler og 5 % eggehvite. Type B inneholder 20 % melis, 70 % mandler og 10 % eggehvite. Konditoriet har 60 kg melis, 88,2 kg mandler og 12 kg eggehvite. Forklar at \(x\) og \(y\) må tilfredsstille ulikhetene \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(2{,}5x+y\le600\), \(2{,}25x+3{,}5y\le882\), \(x+2y\le480\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Definer variablene
La \(x\) være antall pølser av type A og \(y\) antall pølser av type B.
Steg 2 — Ikke-negativitet
Antall pølser kan ikke være negativt, derfor \(x\ge0\) og \(y\ge0\).
Steg 3 — Melis
Type A bruker \(250\) g melis og type B bruker \(100\) g melis. Deler vi på 100 g, får vi \(2{,}5x+y\le600\).
Steg 4 — Mandler
Type A bruker \(225\) g mandler og type B bruker \(350\) g. Deler vi på 100 g, får vi \(2{,}25x+3{,}5y\le882\).
Steg 5 — Eggehvite
Type A bruker \(25\) g og type B \(50\) g. Deler vi på 25 g, får vi \(x+2y\le480\).
Tolkning
Ulikhetene kommer direkte fra råvarebegrensningene og valgt måleenhet.
Vanlig feil: Å blande gram og kilogram uten å skalere likt i alle ledd.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
60 kg melis = 60000 g
→ \(250x+100y\le60000\)
2
Forenkle((250x+100y<=60000)/100)
→ \(2{,}5x+y\le600\)
Python-kontroll
# Råvarebruk i gram per pølse
melis_A, melis_B = 250, 100
mandel_A, mandel_B = 225, 350
egg_A, egg_B = 25, 50
print("Melis: 250x + 100y <= 60000 -> 2.5x + y <= 600")
print("Mandler: 225x + 350y <= 88200 -> 2.25x + 3.5y <= 882")
print("Eggehvite: 25x + 50y <= 12000 -> x + 2y <= 480")
print("I tillegg: x >= 0 og y >= 0")
Fasit: Ulikhetene er de oppgitte råvarebegrensningene. (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 3bMulighetsområde
Oppgave 3b
Oppgave:
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene fra oppgave 3a.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Tegn aksene
Siden \(x\ge0\) og \(y\ge0\), ligger området i første kvadrant.
Steg 2 — Tegn grenselinjene
Tegn \(2{,}5x+y=600\), \(2{,}25x+3{,}5y=882\) og \(x+2y=480\).
Steg 3 — Velg riktig side
Alle tre råvareulikhetene er \(\le\), så området ligger under hver grenselinje i første kvadrant.
Steg 4 — Finn hjørner
De relevante hjørnene er \(\left(0,0\right)\), \(\left(240,0\right)\), \(\left(187{,}38,131{,}54\right)\), \(\left(84,198\right)\), \(\left(0,240\right)\).
Steg 5 — Skraver polygonet
Skraver polygonet gjennom disse hjørnene i rekkefølge.
Tolkning
Mulighetsområdet viser alle produksjonskombinasjoner som råvarene tillater.
Vanlig feil: Å ta med skjæringspunkter som ligger utenfor minst én av ulikhetene.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Skjæring(2.5x+y=600,2.25x+3.5y=882)
→ \(\left(187{,}38,131{,}54\right)\)
2
Skjæring(2.25x+3.5y=882,x+2y=480)
→ \(\left(84,198\right)\)
Python-kontroll
from itertools import combinations
import numpy as np
lines = [(1,0,0,'x=0'), (0,1,0,'y=0'), (2.5,1,600,'melis'), (2.25,3.5,882,'mandler'), (1,2,480,'egg')]
def feasible(x,y):
return x >= -1e-9 and y >= -1e-9 and 2.5*x+y <= 600+1e-9 and 2.25*x+3.5*y <= 882+1e-9 and x+2*y <= 480+1e-9
vertices=[]
for a1,b1,c1,n1 in lines:
for a2,b2,c2,n2 in lines:
det=a1*b2-a2*b1
if abs(det)<1e-9: continue
x=(c1*b2-c2*b1)/det
y=(a1*c2-a2*c1)/det
if feasible(x,y):
punkt=(round(x,2), round(y,2))
if punkt not in vertices:
vertices.append(punkt)
print("Hjørner i mulighetsområdet:", vertices)
Fasit: Skravert område med hjørnene \(\left(0,0\right)\), \(\left(240,0\right)\), \(\left(187{,}38,131{,}54\right)\), \(\left(84,198\right)\), \(\left(0,240\right)\). (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 3cMaksimering
Oppgave 3c
Oppgave:
Konditoriet har fortjeneste 20 kroner per marsipanpølse av type A og 15 kroner per marsipanpølse av type B. Hvor mange enheter av hver type må de produsere hver dag for å maksimere fortjenesten? Hva blir fortjenesten?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Sett opp objektfunksjonen
Fortjenesten er \[F\left(x,y\right)=20x+15y.\]
Steg 2 — Bruk hjørneprinsippet
En lineær funksjon får maksimum i et hjørne av mulighetsområdet.
Størst fortjeneste fås ved skjæringen mellom melis- og mandelbegrensningen.
Tolkning
I den kontinuerlige modellen bør konditoriet produsere ca. \(187{,}4\) av A og \(131{,}5\) av B. Ved heltall må man runde og kontrollere nabopunkter.
Vanlig feil: Å vurdere bare akseskjæringene og ikke skjæringen mellom to råvarelinjer.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Maks(20x+15y, område)
→ \(x\approx187{,}38,\ y\approx131{,}54\)
2
20*187.3846+15*131.5385
→ \(5720{,}77\)
Python-kontroll
vertices = [(0,0), (240,0), (187.3846153846154,131.53846153846155), (84,198), (0,240)]
def F(x,y):
return 20*x + 15*y
best = None
for x,y in vertices:
verdi = F(x,y)
print(f"({x:.2f}, {y:.2f}) -> fortjeneste {verdi:.2f} kr")
if best is None or verdi > best[2]:
best = (x,y,verdi)
print("Beste kontinuerlige løsning:", best)
print("Merk: i praktisk produksjon må heltallskrav kontrolleres.")
Fasit: Kontinuerlig maksimum: \(x\approx187{,}38\), \(y\approx131{,}54\), fortjeneste ca. \(5720{,}77\) kr. (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 3dLineær optimering med ekstra begrensning
Oppgave 3d
Oppgave:
En uke har konditoriet høyt sykefravær. Denne uken klarer de bare å produsere til sammen 250 marsipanpølser per dag. Hva er den største fortjenesten de kan få per dag denne uken?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.
Steg 1 — Legg til ny begrensning
Den nye begrensningen er \[x+y\le250.\]
Steg 2 — Bruk samme objektfunksjon
Fortjenesten er fortsatt \(F\left(x,y\right)=20x+15y\).
Steg 3 — Finn nye aktuelle hjørner
Den nye linjen skjærer melislinjen i \(\left(233{,}33,16{,}67\right)\) og eggehvitelinjen i \(\left(20,230\right)\).
Steg 4 — Sammenlikn fortjeneste
\[F\left(233{,}33,16{,}67\right)\approx4916{,}67,\qquad F\left(20,230\right)=3850.\] Også \(F\left(240,0\right)=4800\).
Steg 5 — Velg størst verdi
Den største fortjenesten i den kontinuerlige modellen er derfor ca. \(4916{,}67\) kr.
Tolkning
Med sykefravær er produksjonskapasiteten den nye begrensningen som flytter maksimum.
Vanlig feil: Å anta at de nødvendigvis produserer akkurat 250 av hver type samlet uten å sjekke råvarebegrensningene.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Maks(20x+15y,{ulikheter,x+y<=250})
→ \(4916{,}67\)
Python-kontroll
vertices = [(0,0), (0,240), (240,0), (233.33333333333334,16.666666666666668), (20,230)]
def F(x,y):
return 20*x + 15*y
best = None
for x,y in vertices:
verdi = F(x,y)
print(f"({x:.2f}, {y:.2f}) -> fortjeneste {verdi:.2f} kr")
if best is None or verdi > best[2]:
best = (x,y,verdi)
print("Største fortjeneste per dag:", best[2])
print("Produksjon ved maksimum:", best[:2])
Fasit: Ca. \(4916{,}67\) kr per dag i kontinuerlig modell. (bekreftet digitalt).
Kvalitetskontroll
HTML-en er kontrollert for MathJax-delimitere, fravær av vanlige dollartegn, balanserte \left/\right, ryddige GeoGebra CAS-bokser og nøytral Python-kodevisning uten rosa/lilla kodehighlight.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
