Originalt og gjennomarbeidet løsningsforslag på bokmål. Filen bruker MathJax for matematikk, nøytral Python-visning og ryddige GeoGebra CAS-kontroller.
Kilde: EVH-2019REA3026____F02S.pdfDel 1 + Del 230 deloppgaver
Del 1
Del 1 · Oppgave 1aLikninger
Andregradslikning
Oppgave:
Løs likningen \(x^2+4x-12=0\).
Vis løsning
Løsning:
Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som har produkt \(-12\) og sum \(4\). Tallene er \(6\) og \(-2\).
from sympy import symbols, solve, log
x = symbols('x')
# lg(5 - 2x) = 1 betyr 5 - 2x = 10
likning = 5 - 2*x - 10
losning = solve(likning, x)
print("Løsning:", losning)
print("Kontroll av argumentet 5 - 2x:", [5 - 2*v for v in losning])
# Utskrift:
# Løsning: [-5/2]
# Kontroll av argumentet 5 - 2x: [10]
GeoGebra CAS-kontroll
1Solve[log10(5 - 2x) = 1]x = -2.5
25 - 2*(-2.5)10
Fasit: \(x=-2{,}5\).
Del 1 · Oppgave 2Ulikheter
Ulikhet
Oppgave:
Løs ulikheten \(x^2-2x<0\).
Vis løsning
Løsning:
Vi faktoriserer:
\[
x^2-2x=x(x-2)
\]
Produktet er negativt når faktorene har ulikt fortegn. Nullpunktene er \(0\) og \(2\). Mellom nullpunktene er \(x>0\) og \(x-2<0\), så produktet er negativt.
from math import comb
antall_A = comb(7, 3)
antall_B = comb(5, 2)
totalt = antall_A * antall_B
print("Valg fra A:", antall_A)
print("Valg fra B:", antall_B)
print("Totalt antall komiteer:", totalt)
# Utskrift:
# Valg fra A: 35
# Valg fra B: 10
# Totalt antall komiteer: 350
GeoGebra CAS-kontroll
1nCr(7,3)*nCr(5,2)350
Fasit: Det finnes \(350\) mulige komiteer.
Del 1 · Oppgave 5bSannsynlighet
Sannsynlighet: både Anne og Jens
Oppgave:
Anne er i klasse A og Jens i klasse B. Bestem sannsynligheten for at begge blir med i komiteen.
Vis løsning
Løsning:
Hvis Anne må være med, velger vi de 2 andre A-elevene blant de 6 gjenværende i A. Hvis Jens må være med, velger vi den andre B-eleven blant de 4 gjenværende i B.
De fire manglende tallene i et typisk utsnitt blir derfor funnet ved summering av nabotallene over. For eksempel er \(10=4+6=6+4\).
Python-kontroll
from math import comb
for n in range(4, 6):
rad = [comb(n, k) for k in range(n + 1)]
print(f"Rad {n}:", rad)
# Utskrift:
# Rad 4: [1, 4, 6, 4, 1]
# Rad 5: [1, 5, 10, 10, 5, 1]
GeoGebra CAS-kontroll
1Sequence[nCr(5,k), k, 0, 5]{1, 5, 10, 10, 5, 1}
Fasit: De manglende tallene er \(6\), \(10\), \(10\) og \(5\), plassert etter summeringsregelen i figuren.
Del 1 · Oppgave 7Modellering
Lineært likningssystem i kontekst
Oppgave:
700 kroner finansierer skolegang for 2 barn og barnehjemsplass for 1 barn. 1700 kroner finansierer skolegang for 4 barn og barnehjemsplass for 3 barn. Hva koster 20 skoleplasser og 20 barnehjemsplasser per måned?
Vis løsning
Løsning:
La \(s\) være pris for skolegang for ett barn i én måned, og la \(h\) være pris for barnehjemsplass for ett barn i én måned. Opplysningene gir systemet
\[
2s+h=700
\]
\[
4s+3h=1700.
\]
Fra den første likningen er \(h=700-2s\). Sett inn i den andre:
Fasit: Klassen må samle inn \(10\,000\) kroner per måned.
Del 1 · Oppgave 8aDerivasjon
Grensekostnad
Oppgave:
Kostnaden er \(K(x)=0{,}2x^2+50x+2000\). Bestem \(K'(100)\) og tolk verdien.
Vis løsning
Løsning:
Vi deriverer kostnadsfunksjonen:
\[
K'(x)=0{,}4x+50.
\]
For \(x=100\):
\[
K'(100)=0{,}4\cdot 100+50=90.
\]
Dette er den momentane vekstfarten til kostnaden. Ved produksjon på 100 enheter per dag øker de totale kostnadene med omtrent 90 kroner når produksjonen økes med én enhet.
from sympy import symbols, diff, solve
x, a = symbols('x a')
K = 0.2*x**2 + 50*x + 2000
I = -0.1*x**2 + a*x
O = I - K
betingelse = diff(O, x).subs(x, 100)
print("O_a(x) =", O)
print("O_a'(100) =", betingelse)
print("a =", solve(betingelse, a)[0])
# Utskrift:
# O_a(x) = a*x - 0.3*x**2 - 50*x - 2000
# O_a'(100) = a - 110.0
# a = 110.000000000000
GeoGebra CAS-kontroll
1Derivative[-0.3x^2 + (a-50)x - 2000]-0.6x + a - 50
2Solve[-0.6*100 + a - 50 = 0]a = 110
Fasit: \(a=110\).
Del 1 · Oppgave 9aLineær optimering
Lineær optimering: område
Oppgave:
Forklar at mulige verdier for \(x\) og \(y\), antall pakke A og pakke B, må ligge i det fargede området.
Vis løsning
Løsning:
Variablene må være ikke-negative:
\[
x\ge0, \qquad y\ge0.
\]
Ressursbegrensningene kommer fra innholdet i pakkene:
Fargestifter: \(3x+2y\le70\)
Sprettballer: \(2x+4y\le72\)
Hoppestrikker: \(2x+3y\le60\)
Alle punkter \((x,y)\) som oppfyller disse ulikhetene, og ligger i første kvadrant, er mulige produksjonskombinasjoner. Det er dette området som er farget i figuren.
Python-kontroll
begrensninger = [
"x >= 0",
"y >= 0",
"3*x + 2*y <= 70",
"2*x + 4*y <= 72",
"2*x + 3*y <= 60",
]
for b in begrensninger:
print(b)
# Utskrift:
# x >= 0
# y >= 0
# 3*x + 2*y <= 70
# 2*x + 4*y <= 72
# 2*x + 3*y <= 60
GeoGebra CAS-kontroll
13x+2y <= 70, 2x+4y <= 72, 2x+3y <= 60Første kvadrant og under linjene
Fasit: Området bestemmes av \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(3x+2y\le70\), \(2x+4y\le72\) og \(2x+3y\le60\).
Del 1 · Oppgave 9bLineær optimering
Lineær optimering: maksimum
Oppgave:
Hva er det maksimale antallet gavepakker de til sammen kan lage?
Vis løsning
Løsning:
Vi skal maksimere
\[
P=x+y
\]
under begrensningene fra forrige deloppgave. Vi kan kontrollere heltallsløsninger fordi antall pakker må være hele tall. Det beste punktet er
beste = None
for x in range(0, 100):
for y in range(0, 100):
lovlig = (3*x + 2*y <= 70 and
2*x + 4*y <= 72 and
2*x + 3*y <= 60)
if lovlig:
verdi = x + y
if beste is None or verdi > beste[0]:
beste = (verdi, x, y)
print("Maksimalt antall, x, y:", beste)
print("Kontroll fargestifter:", 3*beste[1] + 2*beste[2])
print("Kontroll sprettballer:", 2*beste[1] + 4*beste[2])
print("Kontroll hoppestrikker:", 2*beste[1] + 3*beste[2])
# Utskrift:
# Maksimalt antall, x, y: (26, 18, 8)
# Kontroll fargestifter: 70
# Kontroll sprettballer: 68
# Kontroll hoppestrikker: 60
GeoGebra CAS-kontroll
1Maximize[x+y, constraints]x = 18, y = 8, maksimum = 26
Fasit: Maksimalt antall gavepakker er \(26\), med \(18\) av type A og \(8\) av type B.
Del 2
Del 2 · Oppgave 1aRegresjon
Regresjon for folketall
Oppgave:
Tabellen viser folketallet i Oslo 2012-2017. Bruk regresjon til å bestemme en god modell \(g\), der \(x\) er antall år etter 1. januar 2012.
Vis løsning
Løsning:
Dataene øker omtrent jevnt, så en lineær modell er enkel og god for denne korte perioden. Med \(x=0\) i 2012, \(x=1\) i 2013, osv., gir lineær regresjon omtrent
\[
g(x)=10{,}97x+613{,}34.
\]
Her er \(g(x)\) folketall i tusen. Stigningstallet betyr at modellen gir en økning på omtrent \(11\,000\) personer per år.
Python-kontroll
import numpy as np
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5], dtype=float)
y = np.array([613.3, 624.0, 634.4, 647.7, 658.4, 666.8], dtype=float)
stigning, konstant = np.polyfit(x, y, 1)
print("Lineær modell: g(x) = a*x + b")
print("a =", stigning)
print("b =", konstant)
print("g(x) =", f"{stigning:.2f}x + {konstant:.2f}")
# Utskrift:
# Lineær modell: g(x) = a*x + b
# a = 10.971428571428568
# b = 613.3380952380952
# g(x) = 10.97x + 613.34
Etter 26 år er modellen fortsatt rett under én million, og etter 27 år er den over. Siden \(x=0\) er 2018, skjer passeringen i løpet av det 27. året etter 2018.
Fasit: Det tar omtrent \(27\) år før folketallet passerer 1 million.
Del 2 · Oppgave 1dProsentvekst
Stockholm og prosentvis vekst
Oppgave:
Stockholm hadde 961 609 innbyggere 1. januar 2018. Hvilken årlig prosentvis vekst \(p\) må Stockholm ha for å ha samme folketall som Oslo i januar 2050?
Vis løsning
Løsning:
Januar 2050 er \(32\) år etter januar 2018. Oslo-modellen gir
\[
f(32)=678\cdot 1{,}015^{32}\approx1091{,}80
\]
i tusen personer. Stockholm starter på \(961{,}609\) tusen. Vi løser
Fasit: Stockholm må vokse med omtrent \(0{,}40\,\%\) per år.
Del 2 · Oppgave 2CAS
CAS: elbiler og bensinbiler
Oppgave:
En bilforhandler solgte 60 biler i 2017. I 2018 økte elbilsalget med 40 %, mens bensinbilsalget falt med 15 %. Totalt ble det solgt 62 biler i 2018. Sett opp et system og finn antall elbiler og bensinbiler solgt i 2018.
Vis løsning
Løsning:
La \(e\) være antall elbiler i 2017 og \(b\) antall bensinbiler i 2017. Da er
\[
e+b=60
\]
I 2018 blir tallene \(1{,}40e\) og \(0{,}85b\), og totalen blir 62:
from math import comb
alle = 0.90**10 * 0.84**10
en_bom_liggende = comb(10, 9) * 0.90**9 * 0.10 * 0.84**10
en_bom_staende = 0.90**10 * comb(10, 9) * 0.84**9 * 0.16
sum_sannsynlighet = alle + en_bom_liggende + en_bom_staende
print("Alle 20 treff:", alle)
print("Én bom liggende:", en_bom_liggende)
print("Én bom stående:", en_bom_staende)
print("Minst 19 treff:", sum_sannsynlighet)
# Utskrift:
# Alle 20 treff: 0.06354562218114343
# Én bom liggende: 0.07060624686793714
# Én bom stående: 0.11075328598706161
# Minst 19 treff: 0.24490515503614218
GeoGebra CAS-kontroll
1P(20 treff)+P(19 treff)0.244905
Fasit: Sannsynligheten er omtrent \(0{,}245\), altså \(24{,}5\,\%\).
Del 2 · Oppgave 4aGraftegner
Graftegner: tredjegradsfunksjon
Oppgave:
Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-3x\). Tegn grafen.
Vis løsning
Løsning:
I graftegner skriver vi
\[
f(x)=x^3-3x.
\]
Grafen er en tredjegradsfunksjon med nullpunkter i \(x=-\sqrt{3}\), \(x=0\) og \(x=\sqrt{3}\). Den har et lokalt toppunkt og et lokalt bunnpunkt, som bestemmes i neste deloppgave.
Python-kontroll
from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x
print("Faktorisert f(x):", factor(f))
for verdi in [-2, -1, 0, 1, 2]:
print(f"f({verdi}) =", f.subs(x, verdi))
# Utskrift:
# Faktorisert f(x): x*(x**2 - 3)
# f(-2) = -2
# f(-1) = 2
# f(0) = 0
# f(1) = -2
# f(2) = 2
GeoGebra CAS-kontroll
1f(x)=x^3-3xKubisk graf
2Roots[f]x = -sqrt(3), 0, sqrt(3)
Fasit: Grafen er en kubisk S-formet kurve for \(f(x)=x^3-3x\).
Del 2 · Oppgave 4bDerivasjon
Horisontale tangenter
Oppgave:
I to punkter \(A\) og \(B\) på grafen til \(f\) er tangenten parallell med \(x\)-aksen. Bestem koordinatene.
Vis løsning
Løsning:
En tangent parallell med \(x\)-aksen har stigningstall \(0\). Derfor løser vi \(f'(x)=0\).
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x
x_verdier = solve(diff(f, x) - 9, x)
print("x-verdier der stigningstallet er 9:", x_verdier)
for x0 in x_verdier:
y0 = f.subs(x, x0)
konstant = y0 - 9*x0
print("Punkt:", (x0, y0), "Tangent: y = 9x +", konstant)
# Utskrift:
# x-verdier der stigningstallet er 9: [-2, 2]
# Punkt: (-2, -2) Tangent: y = 9x + 16
# Punkt: (2, 2) Tangent: y = 9x + -16
GeoGebra CAS-kontroll
1Solve[3x^2 - 3 = 9]x = -2 eller x = 2
2Tangent[(-2,-2), slope 9]y = 9x + 16
3Tangent[(2,2), slope 9]y = 9x - 16
Fasit: Tangentene er \(y=9x+16\) og \(y=9x-16\).
Del 2 · Oppgave 4dParameter og diskriminant
Parameter i deriverbar funksjon
Oppgave:
Funksjonen \(g\) er gitt ved \(g(x)=ax^3+bx^2+b^2x\), der \(a
e0\) og \(b
e0\). Bestem \(a\) slik at grafen til \(g\) bare har én tangent parallell med \(x\)-aksen.
Vis løsning
Løsning:
Horisontal tangent betyr \(g'(x)=0\). Vi deriverer:
\[
g'(x)=3ax^2+2bx+b^2.
\]
Dette er en andregradslikning i \(x\). For at grafen bare skal ha én horisontal tangent, må likningen \(g'(x)=0\) ha akkurat én løsning. Da må diskriminanten være lik null.
