Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Identifiser typen

Dette er en andregradslikning på formen \(ax^2+bx+c=0\). Her er \(a=1\), \(b=4\) og \(c=-12\).

Steg 2 — Faktoriser

Vi trenger to tall som har produkt \(-12\) og sum \(4\). Tallene er \(6\) og \(-2\). Dermed er \[x^2+4x-12=\left(x+6\right)\left(x-2\right).\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én faktor være null: \[\left(x+6\right)\left(x-2\right)=0.\]

Steg 4 — Løs de to enkle likningene

\[x+6=0\Rightarrow x=-6\] \[x-2=0\Rightarrow x=2\]

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

For \(x=-6\): \(36-24-12=0\). For \(x=2\): \(4+8-12=0\). Begge løsningene stemmer.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 + 4*x - 12
likning = Eq(uttrykk, 0)
print('Likning:', likning)
print('Faktorisert uttrykk:', factor(uttrykk))
losninger = solve(likning, x)
print('Løsninger:', losninger)
for verdi in losninger:
    kontroll = simplify(uttrykk.subs(x, verdi))
    print('Kontroll for x =', verdi, ':', kontroll)

Likning: Eq(x**2 + 4*x - 12, 0)
Faktorisert uttrykk: (x - 2)*(x + 6)
Løsninger: [-6, 2]
Kontroll for x = -6 : 0
Kontroll for x = 2 : 0

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Logaritmen krever positivt argument: \[5-2x>0\Rightarrow x<\dfrac{5}{2}.\]

Steg 2 — Bruk betydningen av \(\lg\)

Når \(\lg A=1\), betyr det at \(A=10^1=10\).

Steg 3 — Sett opp lineær likning

\[5-2x=10\]

Steg 4 — Løs likningen

\[-2x=5\Rightarrow x=-\dfrac{5}{2}\]

Steg 5 — Kontroller domenet

\(-\dfrac{5}{2}<\dfrac{5}{2}\), så løsningen er lovlig.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log, Rational, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(log(5 - 2*x, 10), 1)
losning = solve(likning, x)
print('Likning:', likning)
print('Løsning:', losning)
for verdi in losning:
    argument = 5 - 2*verdi
    print('Argumentet i logaritmen:', argument)
    print('Kontrollverdi lg(argument):', simplify(log(argument, 10)))

Likning: Eq(log(5 - 2*x, 10), 1)
Løsning: [-5/2]
Argumentet i logaritmen: 10
Kontrollverdi lg(argument): 1

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Faktoriser venstresiden

\[x^2-2x=x\left(x-2\right)\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Nullpunktene er \(x=0\) og \(x=2\). De deler tallinja i tre intervaller.

Steg 3 — Lag fortegnsdrøfting

Produktet \(x\left(x-2\right)\) er positivt for \(x<0\), negativt for \(02\).

Steg 4 — Velg intervallet der uttrykket er mindre enn null

Ulikheten krever negativ verdi, altså mellom nullpunktene.

Steg 5 — Endepunktene er ikke med

Siden ulikheten er streng, \(<0\), tar vi ikke med \(0\) og \(2\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
uttrykk = x**2 - 2*x
print('Uttrykk:', uttrykk)
print('Faktorisert:', factor(uttrykk))
print('Løser uttrykk < 0')
print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(uttrykk < 0, x))
for test in [-1, 1, 3]:
    print('x =', test, 'gir', uttrykk.subs(x, test))

Uttrykk: x**2 - 2*x
Faktorisert: x*(x - 2)
Løser uttrykk < 0
Løsningsmengde: (0 < x) & (x < 2)
x = -1 gir 3
x = 1 gir -1
x = 3 gir 3

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Løs den lineære likningen for \(y\)

\[4x-2y=6\Rightarrow -2y=6-4x\Rightarrow y=2x-3\]

Steg 2 — Sett inn i den andre likningen

\[x^2+4\left(2x-3\right)=4x\]

Steg 3 — Samle som andregradslikning

\[x^2+8x-12=4x\Rightarrow x^2+4x-12=0\]

Steg 4 — Bruk løsningen fra oppgave 1a

\[x=-6 \quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 5 — Finn tilhørende \(y\)-verdier

Hvis \(x=-6\), er \(y=2\left(-6\right)-3=-15\). Hvis \(x=2\), er \(y=2\cdot2-3=1\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
system = [Eq(x**2 + 4*y, 4*x), Eq(4*x - 2*y, 6)]
losninger = solve(system, (x, y), dict=True)
print('System:')
for likning in system:
    print(likning)
print('Løsninger:', losninger)
for sol in losninger:
    print('Tester', sol)
    print('Første likning:', system[0].subs(sol))
    print('Andre likning:', system[1].subs(sol))

System:
Eq(x**2 + 4*y, 4*x)
Eq(4*x - 2*y, 6)
Løsninger: [{x: -6, y: -15}, {x: 2, y: 1}]
Tester {x: -6, y: -15}
Første likning: True
Andre likning: True
Tester {x: 2, y: 1}
Første likning: True
Andre likning: True

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Finn felles faktor

Begge ledd har faktoren \(\left(a+2\right)^2\).

Steg 2 — Faktoriser

\[\left(a+2\right)^3-a\left(a+2\right)^2=\left(a+2\right)^2\left(\left(a+2\right)-a\right)\]

Steg 3 — Forenkle parentesen

\[\left(a+2\right)-a=2\]

Steg 4 — Skriv sluttform

\[2\left(a+2\right)^2\]

Steg 5 — Eventuelt utvidet form

Hvis vi utvider, får vi \(2a^2+8a+8\), men faktorisert form er enklest.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, factor, expand
a = symbols('a')
uttrykk = (a + 2)**3 - a*(a + 2)**2
print('Opprinnelig:', uttrykk)
print('Faktorisert:', factor(uttrykk))
print('Utvidet kontroll:', expand(uttrykk))

Opprinnelig: -a*(a + 2)**2 + (a + 2)**3
Faktorisert: 2*(a + 2)**2
Utvidet kontroll: 2*a**2 + 8*a + 8

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

\[x^2+x-2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)\]

Steg 2 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \(\left(x+2\right)\left(x-1\right)\). Her må \(x e -2\) og \(x e1\).

Steg 3 — Skriv alle ledd på fellesnevner

\[\dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x+2\right)-\left(x+5\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\]

Steg 4 — Utvid telleren

\[\left(x^2-1\right)-\left(x^2+3x+2\right)-x-5=-4x-8\]

Steg 5 — Faktoriser og forkort

\[\dfrac{-4x-8}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{-4\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=-\dfrac{4}{x-1}\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, factor, simplify, cancel
x = symbols('x')
uttrykk = (x+1)/(x+2) - (x+1)/(x-1) - (x+5)/(x**2+x-2)
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Nevner faktorisert:', factor(x**2+x-2))
print('Forenklet:', simplify(uttrykk))
print('Kansellert form:', cancel(uttrykk))

Opprinnelig uttrykk: -(x + 1)/(x - 1) + (x + 1)/(x + 2) - (x + 5)/(x**2 + x - 2)
Nevner faktorisert: (x - 1)*(x + 2)
Forenklet: -4/(x - 1)
Kansellert form: -4/(x - 1)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Sett definisjonsmengde

Alle logaritmeargument må være positive. Her må \(x>0\).

Steg 2 — Bruk koeffisienten foran logaritmen

\[2\lg\left(2x^2\right)=\lg\left(\left(2x^2\right)^2\right)=\lg\left(4x^4\right)\]

Steg 3 — Samle med produkt- og kvotientregel

\[\lg\left(4x^4\right)+\lg\left(\dfrac{5}{x}\right)-\lg\left(2x^3\right)=\lg\left(\dfrac{4x^4\cdot\dfrac{5}{x}}{2x^3}\right)\]

Steg 4 — Forenkle argumentet

\[\dfrac{4x^4\cdot\dfrac{5}{x}}{2x^3}=\dfrac{20x^3}{2x^3}=10\]

Steg 5 — Regn logaritmen

\[\lg 10=1\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, log, simplify
x = symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(2*x**2, 10) + log(5/x, 10) - log(2*x**3, 10)
print('Uttrykk:', uttrykk)
print('Forenklet:', simplify(uttrykk))
print('Kontroll med x = 2:', simplify(uttrykk.subs(x, 2)))

Uttrykk: -log(2*x**3)/log(10) + log(5/x)/log(10) + 2*log(2*x**2)/log(10)
Forenklet: 1
Kontroll med x = 2: 1

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Velg modell

Rekkefølgen i en komité betyr ikke noe, derfor bruker vi kombinasjoner.

Steg 2 — Velg elever fra klasse A

Antall måter er \(\binom{7}{3}\).

Steg 3 — Velg elever fra klasse B

Antall måter er \(\binom{5}{2}\).

Steg 4 — Multipliser uavhengige valg

\[\binom{7}{3}\binom{5}{2}=35\cdot10=350\]

Steg 5 — Tolk

Det finnes 350 ulike komiteer som oppfyller kravet.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
valg_A = comb(7, 3)
valg_B = comb(5, 2)
total = valg_A * valg_B
print('Velger 3 av 7 fra klasse A:', valg_A)
print('Velger 2 av 5 fra klasse B:', valg_B)
print('Totalt antall komiteer:', total)

Velger 3 av 7 fra klasse A: 35
Velger 2 av 5 fra klasse B: 10
Totalt antall komiteer: 350

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Bruk alle mulige komiteer som utfallsrom

Fra a er totalt antall komiteer \(350\).

Steg 2 — Tving Anne inn

Da må vi velge de to andre A-elevene blant de 6 resterende: \(\binom{6}{2}\).

Steg 3 — Tving Jens inn

Da må vi velge den andre B-eleven blant de 4 resterende: \(\binom{4}{1}\).

Steg 4 — Tell gunstige komiteer

\[\binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\cdot4=60\]

Steg 5 — Regn sannsynligheten

\[P=\dfrac{60}{350}=\dfrac{6}{35}\approx0{,}171\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
alle = comb(7,3)*comb(5,2)
gunstige = comb(6,2)*comb(4,1)
print('Alle komiteer:', alle)
print('Gunstige med både Anne og Jens:', gunstige)
print('Sannsynlighet som brøk:', f'{gunstige}/{alle}')
print('Sannsynlighet som desimaltall:', gunstige/alle)

Alle komiteer: 350
Gunstige med både Anne og Jens: 60
Sannsynlighet som brøk: 60/350
Sannsynlighet som desimaltall: 0.17142857142857143

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Del i to disjunkte tilfeller

Bare én betyr enten Anne med og Jens ikke med, eller Jens med og Anne ikke med.

Steg 2 — Anne med, Jens ikke med

Velg 2 av de 6 andre A-elevene og 2 av de 4 B-elevene som ikke er Jens: \[\binom{6}{2}\binom{4}{2}=15\cdot6=90\]

Steg 3 — Jens med, Anne ikke med

Velg 3 av de 6 A-elevene som ikke er Anne og 1 av de 4 andre B-elevene: \[\binom{6}{3}\binom{4}{1}=20\cdot4=80\]

Steg 4 — Summer gunstige

\[90+80=170\]

Steg 5 — Del på totalt antall komiteer

\[P=\dfrac{170}{350}=\dfrac{17}{35}\approx0{,}486\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
total = comb(7,3)*comb(5,2)
anne_ikke_jens = comb(6,2)*comb(4,2)
jens_ikke_anne = comb(6,3)*comb(4,1)
gunstige = anne_ikke_jens + jens_ikke_anne
print('Totalt:', total)
print('Anne med, Jens ikke med:', anne_ikke_jens)
print('Jens med, Anne ikke med:', jens_ikke_anne)
print('Gunstige totalt:', gunstige)
print('Sannsynlighet:', gunstige/total)

Totalt: 350
Anne med, Jens ikke med: 90
Jens med, Anne ikke med: 80
Gunstige totalt: 170
Sannsynlighet: 0.4857142857142857

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Bruk regelen i Pascals talltrekant

Hvert indre tall er summen av de to tallene rett over.

Steg 2 — Skriv relevante rader

Raden med \(1,4,6,4,1\) gir neste rad \(1,5,10,10,5,1\).

Steg 3 — Neste rad

Fra \(1,5,10,10,5,1\) får vi \(1,6,15,20,15,6,1\).

Steg 4 — De fire manglende tallene

I det vanlige utsnittet for denne delen er de sentrale manglende tallene \(10\), \(10\), \(15\) og \(20\).

Steg 5 — Kontroll

For eksempel er \(15=5+10\) og \(20=10+10\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

def pascal_row(n):
    row = [1]
    for k in range(n):
        row = [1] + [row[i] + row[i+1] for i in range(len(row)-1)] + [1]
    return row
for n in range(4, 7):
    print('Rad', n, ':', pascal_row(n))

Rad 4 : [1, 4, 6, 4, 1]
Rad 5 : [1, 5, 10, 10, 5, 1]
Rad 6 : [1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Definer variabler

La \(s\) være pris for skolegang per barn per måned, og \(b\) være pris for barnehjemsplass per barn per måned.

Steg 2 — Sett opp likningssystem

\[2s+b=700\] \[4s+3b=1700\]

Steg 3 — Løs ved eliminasjon

Fra første likning er \(b=700-2s\). Sett inn: \[4s+3\left(700-2s\right)=1700\]

Steg 4 — Finn prisene

\[4s+2100-6s=1700\Rightarrow -2s=-400\Rightarrow s=200\] Da er \(b=700-2\cdot200=300\).

Steg 5 — Regn klassens behov

\[20s+20b=20\cdot200+20\cdot300=10000\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
s, b = symbols('s b')
system = [Eq(2*s + b, 700), Eq(4*s + 3*b, 1700)]
losning = solve(system, (s, b))
print('System:', system)
print('Pris per måned:', losning)
behov = 20*losning[s] + 20*losning[b]
print('20 skoleplasser og 20 barnehjemsplasser koster:', behov)

System: [Eq(b + 2*s, 700), Eq(3*b + 4*s, 1700)]
Pris per måned: {s: 200, b: 300}
20 skoleplasser og 20 barnehjemsplasser koster: 10000

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Deriver kostnadsfunksjonen

\[K^{\prime}\left(x\right)=0{,}4x+50\]

Steg 2 — Sett inn \(x=100\)

\[K^{\prime}\left(100\right)=0{,}4\cdot100+50=90\]

Steg 3 — Enhet

\(K\) er kroner og \(x\) er enheter, så \(K^{\prime}\left(100\right)\) har enheten kroner per enhet.

Steg 4 — Tolk marginalt

Når produksjonen er 100 enheter per dag, øker kostnaden omtrent med 90 kroner dersom produksjonen økes med én enhet.

Steg 5 — Kontroll

Den eksakte kostnadsøkningen fra 100 til 101 er \(K\left(101\right)-K\left(100\right)=90{,}2\), som ligger nær marginalkostnaden 90.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
K = 0.2*x**2 + 50*x + 2000
K_derivert = diff(K, x)
print('K(x) =', K)
print("K'(x) =", K_derivert)
print("K'(100) =", K_derivert.subs(x, 100))
print('Eksakt økning fra 100 til 101:', K.subs(x,101) - K.subs(x,100))

K(x) = 0.2*x**2 + 50*x + 2000
K'(x) = 0.4*x + 50
K'(100) = 90.0000000000000
Eksakt økning fra 100 til 101: 90.2000000000007

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Se parabelretningen

Koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, så grafen vender nedover og toppunktet gir maksimum.

Steg 2 — Bruk toppunktformelen

\[x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-90}{2\cdot\left(-0{,}3\right)}=150\]

Steg 3 — Sjekk intervallet

\(150\) ligger i \([0,400]\), så det er en lovlig produksjonsmengde.

Steg 4 — Alternativ med derivasjon

\[O^{\prime}\left(x\right)=-0{,}6x+90\] og \(O^{\prime}\left(x\right)=0\) gir \(x=150\).

Steg 5 — Fortegn

\(O^{\prime}\) går fra positiv til negativ ved \(150\), så dette er et maksimum.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, solve, Eq
x = symbols('x')
O = -0.3*x**2 + 90*x - 2000
O_derivert = diff(O, x)
kritisk = solve(Eq(O_derivert, 0), x)
print('O(x) =', O)
print("O'(x) =", O_derivert)
print('Kritisk produksjonsmengde:', kritisk)
print('Overskudd ved x = 150:', O.subs(x, 150))

O(x) = -0.3*x**2 + 90*x - 2000
O'(x) = 90 - 0.6*x
Kritisk produksjonsmengde: [150.000000000000]
Overskudd ved x = 150: 4750.00000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Bruk sammenhengen mellom overskudd, inntekt og kostnad

\[O\left(x\right)=I\left(x\right)-K\left(x\right)\Rightarrow I\left(x\right)=O\left(x\right)+K\left(x\right)\]

Steg 2 — Finn kostnaden ved 100

\[K\left(100\right)=0{,}2\cdot100^2+50\cdot100+2000=9000\]

Steg 3 — Finn overskuddet ved 100

\[O\left(100\right)=-0{,}3\cdot100^2+90\cdot100-2000=4000\]

Steg 4 — Regn inntekten

\[I\left(100\right)=9000+4000=13000\]

Steg 5 — Tolk

Ved 100 solgte enheter er inntekten 13 000 kroner.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
K = 0.2*x**2 + 50*x + 2000
O = -0.3*x**2 + 90*x - 2000
I = K + O
print('K(100) =', K.subs(x,100))
print('O(100) =', O.subs(x,100))
print('I(x) = K(x) + O(x) =', I)
print('I(100) =', I.subs(x,100))

K(100) = 9000.00000000000
O(100) = 4000.00000000000
I(x) = K(x) + O(x) = -0.1*x**2 + 140*x
I(100) = 13000.0000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Sett opp nytt overskudd

\[O_{ny}\left(x\right)=I\left(x\right)-K\left(x\right)\]

Steg 2 — Sett inn funksjonene

\[O_{ny}\left(x\right)=\left(-0{,}1x^2+ax\right)-\left(0{,}2x^2+50x+2000\right)\]

Steg 3 — Forenkle

\[O_{ny}\left(x\right)=-0{,}3x^2+\left(a-50\right)x-2000\]

Steg 4 — Bruk at maksimum skal være ved \(x=100\)

For en nedadvendt parabel må den deriverte være null i toppunktet: \[O_{ny}^{\prime}\left(x\right)=-0{,}6x+a-50\]

Steg 5 — Sett \(x=100\)

\[-0{,}6\cdot100+a-50=0\Rightarrow a=110\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, Eq, solve
x, a = symbols('x a')
K = 0.2*x**2 + 50*x + 2000
I = -0.1*x**2 + a*x
O_ny = I - K
O_derivert = diff(O_ny, x)
likning = Eq(O_derivert.subs(x, 100), 0)
print('Nytt overskudd:', O_ny)
print('Derivert:', O_derivert)
print('Likning for maksimum ved x=100:', likning)
print('Løsning for a:', solve(likning, a))

Nytt overskudd: a*x - 0.3*x**2 - 50*x - 2000
Derivert: a - 0.6*x - 50
Likning for maksimum ved x=100: Eq(a - 110.0, 0)
Løsning for a: [110.000000000000]

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Fargestifter gir første ulikhet

Pakke A bruker 3 esker og pakke B bruker 2 esker. De har 70 esker: \[3x+2y\le70\]

Steg 2 — Sprettballer gir andre ulikhet

Pakke A bruker 2 baller og pakke B bruker 4 baller. De har 72 baller: \[2x+4y\le72\Rightarrow x+2y\le36\]

Steg 3 — Hoppestrikker gir tredje ulikhet

Pakke A bruker 2 og pakke B bruker 3. De har 60: \[2x+3y\le60\]

Steg 4 — Ikke-negative antall

Antall pakker kan ikke være negative: \[x\ge0,\quad y\ge0\]

Steg 5 — Knytt til figuren

Det fargede området består nettopp av punktene som oppfyller alle disse ulikhetene samtidig.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
ulikheter = [3*x + 2*y <= 70, x + 2*y <= 36, 2*x + 3*y <= 60, x >= 0, y >= 0]
print('Ulikhetene som beskriver området:')
for u in ulikheter:
    print(u)
print('Eksempelpunkt (10,10):')
for u in ulikheter:
    print(u.subs({x:10, y:10}))

Ulikhetene som beskriver området:
3*x + 2*y <= 70
x + 2*y <= 36
2*x + 3*y <= 60
x >= 0
y >= 0
Eksempelpunkt (10,10):
True
True
True
True
True

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Maksimer målfunksjonen

Vi skal maksimere \(x+y\).

Steg 2 — Bruk hjørnepunkter

For lineær programmering ligger maksimum i et hjørne av området.

Steg 3 — Finn aktuelle hjørner

De relevante hjørnene er \(\left(0,0\right)\), \(\left(0,18\right)\), \(\left(12,12\right)\), \(\left(18,8\right)\) og \(\left(\dfrac{70}{3},0\right)\).

Steg 4 — Regn \(x+y\)

\[0,\,18,\,24,\,26,\,\dfrac{70}{3}\]

Steg 5 — Velg største verdi

Størst verdi er \(26\), ved \(\left(18,8\right)\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

best = []
maks = -1
for x in range(0, 100):
    for y in range(0, 100):
        ok = (3*x + 2*y <= 70) and (x + 2*y <= 36) and (2*x + 3*y <= 60)
        if ok:
            if x + y > maks:
                maks = x + y
                best = [(x, y)]
            elif x + y == maks:
                best.append((x, y))
print('Maksimalt antall pakker:', maks)
print('Punkter som gir maksimum:', best)
for punkt in best:
    x, y = punkt
    print('Ressursbruk for', punkt, ': fargestifter', 3*x+2*y, 'sprettballer', 2*x+4*y, 'hoppestrikker', 2*x+3*y)

Maksimalt antall pakker: 26
Punkter som gir maksimum: [(18, 8)]
Ressursbruk for (18, 8) : fargestifter 70 sprettballer 68 hoppestrikker 60

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Definer data

Vi bruker \(x=0,1,2,3,4,5\) for årene 2012–2017 og folketall i tusen.

Steg 2 — Velg modelltype

Dataene øker omtrent jevnt prosentvis. En eksponentiell modell passer godt: \(g\left(x\right)=A\cdot b^x\).

Steg 3 — Regresjonsresultat

Eksponentiell regresjon gir omtrent \[g\left(x\right)=613{,}6\cdot1{,}0173^x.\]

Steg 4 — Tolk parameterne

Startverdien er omtrent \(613{,}6\) tusen. Vekstfaktoren \(1{,}0173\) betyr ca. \(1{,}73\,\%\) vekst per år.

Steg 5 — Kontroll mot data

For \(x=5\) gir modellen omtrent \(668{,}2\) tusen, nær tabellverdien \(666{,}8\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import numpy as np
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5], dtype=float)
y = np.array([613.3, 624.0, 634.4, 647.7, 658.4, 666.8], dtype=float)
koeff = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
b = np.exp(koeff[0])
A = np.exp(koeff[1])
print('Eksponentiell modell y = A*b**x')
print('A =', A)
print('b =', b)
print('Modell: g(x) =', A, '*', b, '**x')
print('Modellverdier:')
for xi, yi in zip(x, y):
    print('x =', xi, 'observasjon =', yi, 'modell =', A*b**xi)

Eksponentiell modell y = A*b**x
A = 613.6254615944864
b = 1.0172881537981577
Modell: g(x) = 613.6254615944864 * 1.0172881537981577 **x
Modellverdier:
x = 0.0 observasjon = 613.3 modell = 613.6254615944864
x = 1.0 observasjon = 624.0 modell = 624.2338454514322
x = 2.0 observasjon = 634.4 modell = 635.0255870833877
x = 3.0 observasjon = 647.7 modell = 646.0038569036757
x = 4.0 observasjon = 658.4 modell = 657.1718795922214
x = 5.0 observasjon = 666.8 modell = 668.5329330916379

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Skriv funksjonen i graftegner

Skriv inn \(f\left(x\right)=678\cdot1{,}015^x\).

Steg 2 — Velg fornuftig vindu

For eksempel \(0\le x\le40\) og \(650\le y\le1250\), siden vi ser på folketall i tusen.

Steg 3 — Tolking av graf

Grafen er stigende og svakt krummet oppover, fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Steg 4 — Startverdi

Når \(x=0\), er \(f\left(0\right)=678\). Det betyr 678 tusen i 2018.

Steg 5 — Dokumentasjon

I en eksamensbesvarelse bør grafvindu, funksjonsuttrykk og eventuelle avlesninger vises.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
for verdi in [0, 10, 20, 30, 40]:
    y = 678*(1.015**verdi)
    print('x =', verdi, 'gir f(x) =', round(y, 1), 'tusen')

x = 0 gir f(x) = 678.0 tusen
x = 10 gir f(x) = 787.1 tusen
x = 20 gir f(x) = 913.8 tusen
x = 30 gir f(x) = 1061.0 tusen
x = 40 gir f(x) = 1232.0 tusen

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Oversett 1 million til tusen

Siden modellen er i tusen, skal vi løse \(f\left(x\right)>1000\).

Steg 2 — Sett opp ulikheten

\[678\cdot1{,}015^x>1000\]

Steg 3 — Løs likningen for grenseverdien

\[678\cdot1{,}015^x=1000\Rightarrow x=\dfrac{\ln\left(1000/678\right)}{\ln\left(1{,}015\right)}\]

Steg 4 — Regn ut

\[x\approx26{,}1\]

Steg 5 — Tolk hele år

Folketallet passerer 1 million etter litt mer enn 26 år etter 1. januar 2018, altså i løpet av 2044.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import log
x_grense = log(1000/678)/log(1.015)
print('Løser 678*1.015**x = 1000')
print('x =', x_grense)
print('f(26) =', 678*(1.015**26))
print('f(27) =', 678*(1.015**27))

Løser 678*1.015**x = 1000
x = 26.10102124726923
f(26) = 998.4968745576102
f(27) = 1013.4743276759743

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Finn tidsavstanden

Fra januar 2018 til januar 2050 er det \(32\) år.

Steg 2 — Oslo i 2050

\[f\left(32\right)=678\cdot1{,}015^{32}\approx1091{,}8\] tusen.

Steg 3 — Skriv Stockholm i tusen

Stockholm starter på \(961{,}609\) tusen.

Steg 4 — Sett opp likningen

\[961{,}609\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{32}=1091{,}8\]

Steg 5 — Løs for vekstfaktoren

\[1+\dfrac{p}{100}=\left(\dfrac{1091{,}8}{961{,}609}\right)^{1/32}\]

Steg 6 — Regn prosent

\[p\approx0{,}398\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import pow
oslo_2050 = 678*(1.015**32)
stockholm_start = 961.609
vekstfaktor = (oslo_2050/stockholm_start)**(1/32)
p = (vekstfaktor - 1)*100
print('Oslo i 2050, tusen:', oslo_2050)
print('Start Stockholm, tusen:', stockholm_start)
print('Nødvendig vekstfaktor:', vekstfaktor)
print('p i prosent:', p)
print('Kontroll Stockholm 2050:', stockholm_start*vekstfaktor**32)

Oslo i 2050, tusen: 1091.7998890652168
Start Stockholm, tusen: 961.609
Nødvendig vekstfaktor: 1.0039758504502239
p i prosent: 0.3975850450223861
Kontroll Stockholm 2050: 1091.7998890652168

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Definer 2017-variabler

La \(e\) være antall elbiler i 2017 og \(b\) antall bensinbiler i 2017.

Steg 2 — Første likning

Totalt i 2017: \[e+b=60\]

Steg 3 — Andre likning

I 2018 blir salget \(1{,}40e+0{,}85b=62\).

Steg 4 — Løs systemet

CAS gir \(e=20\) og \(b=40\) for 2017.

Steg 5 — Finn 2018-tallene

Elbiler: \(1{,}40\cdot20=28\). Bensinbiler: \(0{,}85\cdot40=34\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
el_2017, bensin_2017 = symbols('el_2017 bensin_2017')
system = [Eq(el_2017 + bensin_2017, 60), Eq(1.40*el_2017 + 0.85*bensin_2017, 62)]
losning = solve(system, (el_2017, bensin_2017))
el_2018 = 1.40*losning[el_2017]
bensin_2018 = 0.85*losning[bensin_2017]
print('System:', system)
print('2017-løsning:', losning)
print('Elbiler i 2018:', el_2018)
print('Bensinbiler i 2018:', bensin_2018)
print('Sum 2018:', el_2018 + bensin_2018)

System: [Eq(bensin_2017 + el_2017, 60), Eq(0.85*bensin_2017 + 1.4*el_2017, 62)]
2017-løsning: {el_2017: 20.0000000000000, bensin_2017: 40.0000000000000}
Elbiler i 2018: 28.0000000000000
Bensinbiler i 2018: 34.0000000000000
Sum 2018: 62.0000000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Velg modell

Hvert skudd antas uavhengig med samme treff-sannsynlighet \(p=0{,}90\). Da er \(X\sim\operatorname{Bin}\left(10,0{,}90\right)\).

Steg 2 — Skriv hendelsen

Vi skal finne \(P\left(X\ge8\right)\).

Steg 3 — Summer tre ledd

\[P\left(X\ge8\right)=P\left(X=8\right)+P\left(X=9\right)+P\left(X=10\right)\]

Steg 4 — Bruk binomisk formel

\[\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}0{,}90^k0{,}10^{10-k}\]

Steg 5 — Regn ut

\[P\left(X\ge8\right)\approx0{,}9298\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
p = 0.90
n = 10
sannsynlighet = 0
print('X ~ Bin(10, 0.90)')
for k in range(8, 11):
    ledd = comb(n, k)*(p**k)*((1-p)**(n-k))
    sannsynlighet += ledd
    print('P(X =', k, ') =', ledd)
print('P(X >= 8) =', sannsynlighet)

X ~ Bin(10, 0.90)
P(X = 8 ) = 0.19371024450000007
P(X = 9 ) = 0.3874204890000001
P(X = 10 ) = 0.3486784401000001
P(X >= 8) = 0.9298091736000003

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Definer variabler

La \(L\sim\operatorname{Bin}\left(10,0{,}90\right)\) og \(S\sim\operatorname{Bin}\left(10,0{,}84\right)\).

Steg 2 — Bruk uavhengighet

Skyteresultatene i de to seriene behandles som uavhengige, derfor multipliserer vi sannsynlighetene.

Steg 3 — Skriv sannsynligheten

\[P\left(L=9\text{ og }S=8\right)=P\left(L=9\right)P\left(S=8\right)\]

Steg 4 — Bruk binomisk formel

\[\binom{10}{9}0{,}90^9\cdot0{,}10\cdot\binom{10}{8}0{,}84^8\cdot0{,}16^2\]

Steg 5 — Regn ut

\[P\approx0{,}1106\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
P_L9 = comb(10, 9)*(0.90**9)*(0.10**1)
P_S8 = comb(10, 8)*(0.84**8)*(0.16**2)
produkt = P_L9 * P_S8
print('P(L = 9) =', P_L9)
print('P(S = 8) =', P_S8)
print('P(L = 9 og S = 8) =', produkt)

P(L = 9) = 0.3874204890000001
P(S = 8) = 0.28555385226239984
P(L = 9 og S = 8) = 0.11062909318402808

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Merk at sannsynlighetene er ulike

De 10 første skuddene har \(p=0{,}90\), og de 10 siste har \(p=0{,}84\). Derfor kan vi ikke bruke én enkel \(\operatorname{Bin}\left(20,p\right)\).

Steg 2 — Del i tilfeller

Minst 19 treff betyr enten 20 treff eller nøyaktig 19 treff.

Steg 3 — Skriv tilfellene

\[P=P\left(L=10,S=10\right)+P\left(L=9,S=10\right)+P\left(L=10,S=9\right)\]

Steg 4 — Regn hvert ledd med binomisk modell

\[P=0{,}90^{10}0{,}84^{10}+\binom{10}{9}0{,}90^9\cdot0{,}10\cdot0{,}84^{10}+0{,}90^{10}\cdot\binom{10}{9}0{,}84^9\cdot0{,}16\]

Steg 5 — Summer

\[P\approx0{,}2449\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
P_L10 = 0.90**10
P_L9 = comb(10,9)*0.90**9*0.10
P_S10 = 0.84**10
P_S9 = comb(10,9)*0.84**9*0.16
sannsynlighet = P_L10*P_S10 + P_L9*P_S10 + P_L10*P_S9
print('P(L=10, S=10) =', P_L10*P_S10)
print('P(L=9, S=10) =', P_L9*P_S10)
print('P(L=10, S=9) =', P_L10*P_S9)
print('P(minst 19 treff) =', sannsynlighet)

P(L=10, S=10) = 0.06041039279513256
P(L=9, S=10) = 0.06712265866125841
P(L=10, S=9) = 0.11737210357975117
P(minst 19 treff) = 0.24490515503614213

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Skriv inn funksjonen

I graftegner skriver vi \(f\left(x\right)=x^3-3x\).

Steg 2 — Velg vindu

Et passende vindu er for eksempel \(-3\le x\le3\) og \(-5\le y\le5\).

Steg 3 — Kjenn igjen formen

Dette er en tredjegradsfunksjon med lokal topp og lokal bunn.

Steg 4 — Nullpunkter som støtte

\[x^3-3x=x\left(x^2-3\right)\] gir nullpunkter \(x=0\) og \(x=\pm\sqrt{3}\).

Steg 5 — Dokumentasjon

Grafen bør tegnes sammen med akser, funksjonsuttrykk og synlig grafvindu.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, factor, solve, Eq
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x
print('f(x) =', f)
print('Faktorisert:', factor(f))
print('Nullpunkter:', solve(Eq(f, 0), x))
for verdi in [-2, -1, 0, 1, 2]:
    print('f(', verdi, ') =', f.subs(x, verdi))

f(x) = x**3 - 3*x
Faktorisert: x*(x**2 - 3)
Nullpunkter: [0, -sqrt(3), sqrt(3)]
f( -2 ) = -2
f( -1 ) = 2
f( 0 ) = 0
f( 1 ) = -2
f( 2 ) = 2

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Horisontal tangent betyr null derivert

Tangenten er parallell med \(x\)-aksen når \(f^{\prime}\left(x\right)=0\).

Steg 2 — Deriver

\[f^{\prime}\left(x\right)=3x^2-3\]

Steg 3 — Løs \(f^{\prime}\left(x\right)=0\)

\[3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\]

Steg 4 — Finn \(y\)-verdier

\[f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-3\left(-1\right)=2\] \[f\left(1\right)=1-3=-2\]

Steg 5 — Skriv punktene

Punktene er \(\left(-1,2\right)\) og \(\left(1,-2\right)\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, solve, Eq
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x
fp = diff(f, x)
xverdier = solve(Eq(fp, 0), x)
print("f'(x) =", fp)
print('Løser f'(x)=0:', xverdier)
for xv in xverdier:
    print('Punkt:', (xv, f.subs(x, xv)))

f'(x) = 3*x**2 - 3
Løser f'(x)=0: [-1, 1]
Punkt: (-1, 2)
Punkt: (1, -2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Finn stigningstallet

Linjen \(y=9x+4\) har stigningstall \(9\). Parallelle tangenter må derfor ha \(f^{\prime}\left(x\right)=9\).

Steg 2 — Sett opp likningen

\[3x^2-3=9\]

Steg 3 — Løs for berøringspunktene

\[3x^2=12\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=-2\ \text{eller}\ x=2\]

Steg 4 — Finn punktene på grafen

\[f\left(-2\right)=-8+6=-2\] \[f\left(2\right)=8-6=2\]

Steg 5 — Bruk ettpunktsform for tangent

For \(\left(-2,-2\right)\): \[y+2=9\left(x+2\right)\Rightarrow y=9x+16\] For \(\left(2,2\right)\): \[y-2=9\left(x-2\right)\Rightarrow y=9x-16\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, Eq, solve, expand
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x
fp = diff(f, x)
xverdier = solve(Eq(fp, 9), x)
print("f'(x) =", fp)
print('Berørings-x når stigningstall er 9:', xverdier)
for xv in xverdier:
    yv = f.subs(x, xv)
    tangent = expand(9*(x - xv) + yv)
    print('Punkt:', (xv, yv), 'Tangent:', tangent)

f'(x) = 3*x**2 - 3
Berørings-x når stigningstall er 9: [-2, 2]
Punkt: (-2, -2) Tangent: 9*x + 16
Punkt: (2, 2) Tangent: 9*x - 16

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Horisontal tangent betyr \(g^{\prime}\left(x\right)=0\)

Vi vil at likningen \(g^{\prime}\left(x\right)=0\) skal ha nøyaktig én løsning.

Steg 2 — Deriver

\[g^{\prime}\left(x\right)=3ax^2+2bx+b^2\]

Steg 3 — Bruk diskriminanten

Dette er en andregradslikning i \(x\). Den har nøyaktig én løsning når diskriminanten er null.

Steg 4 — Sett diskriminanten lik null

\[D=\left(2b\right)^2-4\cdot3a\cdot b^2=4b^2-12ab^2=4b^2\left(1-3a\right)\]

Steg 5 — Løs

Siden \(b e0\), er \(4b^2 e0\). Derfor må \[1-3a=0\Rightarrow a=\dfrac13.\]

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, discriminant, solve, Eq, factor
x, a, b = symbols('x a b', nonzero=True)
g = a*x**3 + b*x**2 + b**2*x
gp = diff(g, x)
D = discriminant(gp, x)
print('g(x) =', g)
print("g'(x) =", gp)
print('Diskriminant:', factor(D))
print('Løser D = 0 for a:', solve(Eq(D, 0), a))

g(x) = a*x**3 + b**2*x + b*x**2
g'(x) = 3*a*x**2 + b**2 + 2*b*x
Diskriminant: -4*b**2*(3*a - 1)
Løser D = 0 for a: [1/3]