Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Samle alt på én side

\[x^2-3x+1-3x-8=0\]

Steg 2 — Forenkle

\[x^2-6x-7=0\]

Steg 3 — Faktoriser

Vi finner to tall med produkt \(-7\) og sum \(-6\): \(-7\) og \(1\). Dermed er \[x^2-6x-7=\left(x-7\right)\left(x+1\right).\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[\left(x-7\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow x=7\ \text{eller}\ x=-1\]

Steg 5 — Innsettingskontroll

For \(x=7\) får begge sider \(29\). For \(x=-1\) får begge sider \(5\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(x**2 - 3*x + 1, 3*x + 8)
standardform = simplify(likning.lhs - likning.rhs)
faktorisert = factor(standardform)
losninger = solve(likning, x)
print('Likning:', likning)
print('Standardform:', standardform)
print('Faktorisert:', faktorisert)
print('Løsninger:', losninger)
for verdi in losninger:
    print(verdi, 'gir venstre side =', likning.lhs.subs(x, verdi), 'og høyre side =', likning.rhs.subs(x, verdi))

Likning: Eq(x**2 - 3*x + 1, 3*x + 8)
Standardform: x**2 - 6*x - 7
Faktorisert: (x - 7)*(x + 1)
Løsninger: [-1, 7]
-1 gir venstre side = 5 og høyre side = 5
7 gir venstre side = 29 og høyre side = 29

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sett domenet

Alle logaritmene inneholder potenser av \(x\), og \(\lg x\) krever \(x>0\).

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[\lg\left(x^4\right)-\lg\left(x^3\right)+\lg\left(x^2\right)-\lg x=4\lg x-3\lg x+2\lg x-\lg x\]

Steg 3 — Trekk sammen

\[4\lg x-3\lg x+2\lg x-\lg x=2\lg x\]

Steg 4 — Løs logaritmelikningen

\[2\lg x=6\Rightarrow \lg x=3\]

Steg 5 — Gå tilbake fra logaritme

\[x=10^3=1000\]

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log
x = symbols('x', positive=True)
# lg(x) betyr logaritme med grunntall 10.
likning = Eq(4*log(x,10) - 3*log(x,10) + 2*log(x,10) - log(x,10), 6)
losning = solve(likning, x)
print('Forenklet likning:', Eq(2*log(x,10), 6))
print('Løsning:', losning)
print('Kontroll: 2*lg(1000) =', 2*log(1000,10))

Forenklet likning: Eq(2*log(x, 10), 6)
Løsning: [1000]
Kontroll: 2*lg(1000) = 6

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv med samme grunntall

Siden \(4^x=\left(2^2\right)^x=2^{2x}\), får vi \[10\cdot 2^{2x}=5\cdot 2^x.\]

Steg 2 — Divider med \(5\cdot 2^x\)

Dette er lov fordi \(2^x>0\): \[\dfrac{10\cdot 2^{2x}}{5\cdot 2^x}=1.\]

Steg 3 — Forenkle potensen

\[2\cdot 2^x=1\]

Steg 4 — Løs

\[2^x=\dfrac12=2^{-1}\Rightarrow x=-1\]

Steg 5 — Kontroll

\(10\cdot4^{-1}=2{,}5\) og \(5\cdot2^{-1}=2{,}5\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(10*4**x, 5*2**x)
losning = solve(likning, x)
print('Likning:', likning)
print('Løsning:', losning)
for verdi in losning:
    print('Venstre side:', simplify(likning.lhs.subs(x, verdi)))
    print('Høyre side:', simplify(likning.rhs.subs(x, verdi)))

Likning: Eq(10*4**x, 5*2**x)
Løsning: [-1]
Venstre side: 5/2
Høyre side: 5/2

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Se differanse av kvadrater

Uttrykket har formen \(u^2-v^2=\left(u-v\right)\left(u+v\right)\).

Steg 2 — Sett \(u=a+2b\) og \(v=2b-a\)

Da får vi \[\left(a+2b-\left(2b-a\right)\right)\left(a+2b+2b-a\right).\]

Steg 3 — Forenkle første faktor

\[a+2b-2b+a=2a\]

Steg 4 — Forenkle andre faktor

\[a+2b+2b-a=4b\]

Steg 5 — Multipliser

\[2a\cdot4b=8ab\]

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, expand, factor
a, b = symbols('a b')
uttrykk = (a + 2*b)**2 - (2*b - a)**2
print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk)
print('Utvidet:', expand(uttrykk))
print('Faktorisert/forenklet:', factor(uttrykk))

Opprinnelig uttrykk: (a + 2*b)**2 - (-a + 2*b)**2
Utvidet: 8*a*b
Faktorisert/forenklet: 8*a*b

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk \(3^0=1\)

\[3^3\cdot3^0=27\cdot1=27\]

Steg 2 — Skriv negative potenser som brøker

\[3^{-1}=\dfrac13,\quad 3^{-2}=\dfrac19,\quad 3^{-3}=\dfrac1{27}\]

Steg 3 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \(27\).

Steg 4 — Legg sammen

\[27+\dfrac13+\dfrac19+\dfrac1{27}=\dfrac{729+9+3+1}{27}=\dfrac{742}{27}\]

Steg 5 — Vurder form

\(\dfrac{742}{27}\) kan ikke forkortes fordi \(742\) ikke er delelig med \(3\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import Rational, simplify
uttrykk = 3**3 * 3**0 + Rational(1,3) + Rational(1,9) + Rational(1,27)
print('Eksakt verdi:', uttrykk)
print('Desimalverdi:', uttrykk.evalf())
print('Forenklet:', simplify(uttrykk))

Eksakt verdi: 742/27
Desimalverdi: 27.4814814814815
Forenklet: 742/27

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Flytt alt til venstre

\[x^2-6x-7\ge0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-6x-7=\left(x-7\right)\left(x+1\right)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[x=7\quad\text{eller}\quad x=-1\]

Steg 4 — Lag fortegnslinje

Produktet er positivt utenfor nullpunktene og negativt mellom dem.

Steg 5 — Ta med likhet

Siden ulikheten er \(\ge0\), tar vi med nullpunktene.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
ulikhet = x**2 - 6*x >= 7
print('Ulikhet:', ulikhet)
print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(ulikhet, x))
for test in [-2, 0, 8]:
    print('x =', test, 'gir x^2 - 6x =', test**2 - 6*test)

Ulikhet: x**2 - 6*x >= 7
Løsningsmengde: (7 <= x) | (x <= -1)
x = -2 gir x^2 - 6x = 16
x = 0 gir x^2 - 6x = 0
x = 8 gir x^2 - 6x = 16

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Start med første rad

Første rad er \(1\).

Steg 2 — Bruk regelen

Hvert indre tall er summen av de to tallene over.

Steg 3 — Skriv radene

\[egin{aligned}1&\1\quad1&\1\quad2\quad1&\1\quad3\quad3\quad1&\1\quad4\quad6\quad4\quad1&\1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1&\1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1&\1\quad7\quad21\quad35\quad35\quad21\quad7\quad1&\end{aligned}\]

Steg 4 — Kontroller symmetri

Hver rad er symmetrisk om midten.

Steg 5 — Knytning til kombinasjoner

Radene gir binomialkoeffisienter \(inom{n}{r}\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Velg modell

Dette er trekking uten tilbakelegging, så vi bruker hypergeometrisk modell.

Steg 2 — Tell alle muligheter

\[inom{7}{4}=35\]

Steg 3 — Tell gunstige utvalg

\[inom{4}{2}inom{3}{2}=6\cdot3=18\]

Steg 4 — Lag sannsynligheten

\[P=\dfrac{18}{35}\]

Steg 5 — Tolk

Det er litt over halvparten sannsynlig fordi sammensetningen to og to er ganske naturlig når gruppen har fire jenter og tre gutter.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
totalt = comb(7,4)
gunstig = comb(4,2)*comb(3,2)
print('Totalt antall utvalg:', totalt)
print('Gunstige utvalg:', gunstig)
print('Sannsynlighet:', gunstig/totalt)
print('Eksakt brøk:', f'{gunstig}/{totalt}')

Totalt antall utvalg: 35
Gunstige utvalg: 18
Sannsynlighet: 0.5142857142857142
Eksakt brøk: 18/35

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk komplement

«Minst én gutt» er det motsatte av «ingen gutter».

Steg 2 — Alle utvalg

\[inom{7}{4}=35\]

Steg 3 — Ingen gutter betyr fire jenter

\[inom{4}{4}=1\]

Steg 4 — Regn komplementet

\[P=1-\dfrac{1}{35}=\dfrac{34}{35}\]

Steg 5 — Tolk

Det er svært sannsynlig at minst én gutt blir med, siden bare ett utvalg består av bare jenter.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
P = 1 - comb(4,4)/comb(7,4)
print('P(minst én gutt) =', P)
print('Eksakt:', f'{comb(7,4)-comb(4,4)}/{comb(7,4)}')

P(minst én gutt) = 0.9714285714285714
Eksakt: 34/35

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv systemet

\[egin{cases}x+y=1\-2x+y=-5\end{cases}\]

Steg 2 — Trekk andre likning fra første

\[\left(x+y\right)-\left(-2x+y\right)=1-\left(-5\right)\]

Steg 3 — Finn \(x\)

\[3x=6\Rightarrow x=2\]

Steg 4 — Finn \(y\)

\[2+y=1\Rightarrow y=-1\]

Steg 5 — Kontroll

\(-2\cdot2+\left(-1\right)=-5\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
system = [Eq(x+y, 1), Eq(-2*x+y, -5)]
losning = solve(system, (x,y))
print('System:', system)
print('Løsning:', losning)
print('Kontroll første:', system[0].subs(losning))
print('Kontroll andre:', system[1].subs(losning))

System: [Eq(x + y, 1), Eq(-2*x + y, -5)]
Løsning: {x: 2, y: -1}
Kontroll første: True
Kontroll andre: True

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv grenselinjene

\[y=\dfrac{x}{2}+4,\quad y=1-x,\quad y=2x-5\]

Steg 2 — Finn riktig side av hver linje

\(x-2y\ge-8\) gir \(y\le\dfrac{x}{2}+4\). De to andre gir \(y\ge1-x\) og \(y\ge2x-5\).

Steg 3 — Finn hjørnene

\[\left(-2,3\right),\quad \left(2,-1\right),\quad \left(6,7\right)\]

Steg 4 — Skraver området

Området ligger under \(y=\dfrac{x}{2}+4\), over \(y=1-x\) og over \(y=2x-5\).

Steg 5 — Kontrollpunkt

Punktet \(\left(2,1\right)\) ligger i området og oppfyller alle tre ulikhetene.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
linjer = [Eq(y, x/2 + 4), Eq(y, 1-x), Eq(y, 2*x-5)]
print('Grenselinjer:')
for linje in linjer:
    print(linje)
print('Skjæring L1 og L2:', solve([linjer[0], linjer[1]], (x,y)))
print('Skjæring L1 og L3:', solve([linjer[0], linjer[2]], (x,y)))
print('Skjæring L2 og L3:', solve([linjer[1], linjer[2]], (x,y)))

Grenselinjer:
Eq(y, x/2 + 4)
Eq(y, 1 - x)
Eq(y, 2*x - 5)
Skjæring L1 og L2: {x: -2, y: 3}
Skjæring L1 og L3: {x: 6, y: 7}
Skjæring L2 og L3: {x: 2, y: -1}

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk hjørneprinsippet

En lineær størrelse får maksimum i et hjørne av et lukket polygonområde.

Steg 2 — Bruk hjørnene fra b

\[\left(-2,3\right),\quad \left(2,-1\right),\quad \left(6,7\right)\]

Steg 3 — Regn \(3x-y\)

\[3\left(-2\right)-3=-9\] \[3\cdot2-\left(-1\right)=7\] \[3\cdot6-7=11\]

Steg 4 — Sammenlikn

Den største verdien er \(11\).

Steg 5 — Punktet som gir maksimum

Maksimum oppnås i \(\left(6,7\right)\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

punkter = [(-2,3), (2,-1), (6,7)]
for x, y in punkter:
    verdi = 3*x - y
    print((x,y), 'gir 3x-y =', verdi)
print('Maksimum:', max(3*x-y for x,y in punkter))

(-2, 3) gir 3x-y = -9
(2, -1) gir 3x-y = 7
(6, 7) gir 3x-y = 11
Maksimum: 11

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Se formen

Funksjonen er en parabel med negativ koeffisient foran \(x^2\), så toppunktet gir størst overskudd.

Steg 2 — Bruk toppunktformel

\[x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-10}{2\cdot\left(-0{,}25\right)}=20\]

Steg 3 — Sett inn

\[O\left(20\right)=-0{,}25\cdot20^2+10\cdot20-75\]

Steg 4 — Regn verdien

\[O\left(20\right)=-100+200-75=25\]

Steg 5 — Tolk enheten

Siden \(O\) er i 1000 kroner, er overskuddet \(25\,000\) kroner.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
O = -0.25*x**2 + 10*x - 75
kritisk = solve(diff(O, x), x)[0]
print('Overskuddsfunksjon:', O)
print('Derivert:', diff(O, x))
print('Kritisk punkt:', kritisk)
print('Overskudd i tusen kroner:', O.subs(x, kritisk))
print('Overskudd i kroner:', O.subs(x, kritisk)*1000)

Overskuddsfunksjon: -0.25*x**2 + 10*x - 75
Derivert: 10 - 0.5*x
Kritisk punkt: 20.0000000000000
Overskudd i tusen kroner: 25.0000000000000
Overskudd i kroner: 25000.0000000000

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Overskudd betyr positiv funksjonsverdi

Vi løser \(O\left(x\right)>0\).

Steg 2 — Sett opp ulikheten

\[-0{,}25x^2+10x-75>0\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[-0{,}25x^2+10x-75=0\Rightarrow x=10\ \text{eller}\ x=30\]

Steg 4 — Bruk parabelretning

Parabelen vender nedover, så funksjonen er positiv mellom nullpunktene.

Steg 5 — Tolk i kontekst

Produksjonen må ligge mellom \(10\) og \(30\) enheter per dag. Hvis bare hele enheter tillates, blir det \(11\) til \(29\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
O = -0.25*x**2 + 10*x - 75
print('Løser O(x) > 0')
print('O(x) =', O)
print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(O > 0, x))
for test in [10, 20, 30]:
    print('x =', test, 'gir O(x) =', O.subs(x, test))

Løser O(x) > 0
O(x) = -0.25*x**2 + 10*x - 75
Løsningsmengde: (10.0 < x) & (x < 30.0)
x = 10 gir O(x) = 0
x = 20 gir O(x) = 25
x = 30 gir O(x) = 0

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Les av punktene

Fra grafen leser vi \(f\left(-1\right)=5\) og \(f\left(2\right)=8\).

Steg 2 — Bruk formelen

\[\dfrac{f\left(2\right)-f\left(-1\right)}{2-\left(-1\right)}\]

Steg 3 — Sett inn

\[\dfrac{8-5}{3}=1\]

Steg 4 — Tolk

Funksjonsverdien øker i gjennomsnitt med \(1\) per \(x\)-enhet i intervallet.

Steg 5 — Kontroll mot graf

Grafen går fra omtrent \(5\) til omtrent \(8\), altså opp \(3\) på bredde \(3\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk tangenten ved \(x=-1\)

Den røde tangenten går gjennom \(\left(-1,5\right)\) og omtrent \(\left(0,9\right)\).

Steg 2 — Finn stigningstallet

\[f^{\prime}\left(-1\right)=\dfrac{9-5}{0-\left(-1\right)}=4\]

Steg 3 — Se på toppunktet

Grafen har toppunkt ved \(x=1\). Der er tangenten horisontal.

Steg 4 — Bruk horisontal tangent

\[f^{\prime}\left(1\right)=0\]

Steg 5 — Tolk

Grafen øker ved \(x=-1\), men har momentant null vekst i toppunktet.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Les nullpunktene til \(f\)

Grafen skjærer \(x\)-aksen ved omtrent \(x=-2\) og \(x=4\).

Steg 2 — Fortegn for \(f\)

Grafen ligger under aksen før \(-2\), over aksen mellom \(-2\) og \(4\), og under aksen etter \(4\).

Steg 3 — Les toppunktet

Grafen øker fram til \(x=1\) og avtar etter \(x=1\).

Steg 4 — Fortegn for \(f^{\prime}\)

Da er \(f^{\prime}\left(x\right)>0\) for \(x<1\), \(f^{\prime}\left(1\right)=0\), og \(f^{\prime}\left(x\right)<0\) for \(x>1\).

Steg 5 — Skriv som linjer

\[f:\ -\ |_{-2}\ 0\ +\ |_{4}\ 0\ -\] \[f^{\prime}:\ +\ |_{1}\ 0\ -\]

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn nullpunktene

\[-x^2+2x+8=0\Rightarrow x=-2\ \text{eller}\ x=4\]

Steg 2 — Finn grunnlinjen

Avstanden mellom \(-2\) og \(4\) er \(6\).

Steg 3 — Finn høyden

Siden \(C\) ligger på grafen mellom nullpunktene, er høyden \(f\left(t\right)\).

Steg 4 — Bruk arealformelen

\[\dfrac12\cdot6\cdot f\left(t\right)=24\Rightarrow f\left(t\right)=8\]

Steg 5 — Løs for \(t\)

\[-t^2+2t+8=8\Rightarrow -t^2+2t=0\Rightarrow t\left(2-t\right)=0\]

Steg 6 — Kontroller intervallet

Begge løsningene \(t=0\) og \(t=2\) ligger mellom \(-2\) og \(4\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, t = symbols('x t')
f = -x**2 + 2*x + 8
nullpunkter = solve(Eq(f, 0), x)
base = max(nullpunkter) - min(nullpunkter)
likning = Eq((base * (-t**2 + 2*t + 8))/2, 24)
losninger = solve(likning, t)
print('Nullpunkter:', nullpunkter)
print('Grunnlinje:', base)
print('Areal-likning:', likning)
print('Løsninger for t:', losninger)
for verdi in losninger:
    print('t =', verdi, 'gir f(t) =', (-t**2 + 2*t + 8).subs(t, verdi))

Nullpunkter: [-2, 4]
Grunnlinje: 6
Areal-likning: Eq(3*(-t**2 + 2*t + 8), 24)
Løsninger for t: [0, 2]
t = 0 gir f(t) = 8
t = 2 gir f(t) = 8

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Definer variabler

La \(v\) være ordinær voksenpris og \(b\) ordinær barnepris.

Steg 2 — Familien Vik

\[2v+3b=315\]

Steg 3 — Familien Strand før rabatt

Etter 30 % rabatt betaler de 70 % av ordinær pris: \[0{,}70\left(4v+8b\right)=504\]

Steg 4 — Forenkle Strand-likningen

\[4v+8b=720\]

Steg 5 — Løs systemet

Systemet gir \(b=45\) og \(v=90\).

Steg 6 — Kontroll

\(2\cdot90+3\cdot45=315\), og \(0{,}70\left(4\cdot90+8\cdot45\right)=504\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
v, b = symbols('v b')
system = [Eq(2*v + 3*b, 315), Eq(0.70*(4*v + 8*b), 504)]
losning = solve(system, (v,b))
print('Likningssystem:')
for likning in system:
    print(' ', likning)
print('Løsning:', losning)
print('Voksenpris:', losning[v], 'kr')
print('Barnepris:', losning[b], 'kr')
print('Kontroll Vik:', 2*losning[v] + 3*losning[b])
print('Kontroll Strand etter rabatt:', 0.70*(4*losning[v] + 8*losning[b]))

Likningssystem:
  Eq(3*b + 2*v, 315)
  Eq(5.6*b + 2.8*v, 504)
Løsning: {b: 45.0000000000000, v: 90.0000000000000}
Voksenpris: 90.0000000000000 kr
Barnepris: 45.0000000000000 kr
Kontroll Vik: 315.000000000000
Kontroll Strand etter rabatt: 504.000000000000

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall planter med gule blomster. Da er \(X\sim\operatorname{Bin}\left(10,0{,}4\right)\).

Steg 2 — Halvparten av ti

Halvparten betyr \(X=5\).

Steg 3 — Bruk binomisk formel

\[P\left(X=5\right)=inom{10}{5}\cdot0{,}4^5\cdot0{,}6^5\]

Steg 4 — Regn ut

\[P\left(X=5\right)pprox0{,}2007\]

Steg 5 — Tolk

Sannsynligheten er omtrent \(20{,}1\ \%\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
n = 10
p = 0.4
k = 5
sannsynlighet = comb(n,k) * p**k * (1-p)**(n-k)
print('Modell: X ~ Bin(10, 0.4)')
print('k:', k)
print('Kombinasjoner C(10,5):', comb(n,k))
print('Sannsynlighet:', sannsynlighet)
print('Prosent:', sannsynlighet*100)

Modell: X ~ Bin(10, 0.4)
k: 5
Kombinasjoner C(10,5): 252
Sannsynlighet: 0.2006581248
Prosent: 20.06581248

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Oversett hendelsen

«Flere enn fem» betyr \(X\ge6\).

Steg 2 — Skriv summen

\[P\left(X>5\right)=\sum_{k=6}^{10}inom{10}{k}0{,}4^k0{,}6^{10-k}\]

Steg 3 — Bruk digitalt verktøy

Dette er en hale i binomisk fordeling.

Steg 4 — Regn ut

\[P\left(X>5\right)pprox0{,}1662\]

Steg 5 — Tolk

Sannsynligheten er omtrent \(16{,}6\ \%\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
n = 10
p = 0.4
bidrag = []
for k in range(6, 11):
    pk = comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k)
    bidrag.append(pk)
    print('P(X =', k, ') =', pk)
print('P(X > 5) =', sum(bidrag))

P(X = 6 ) = 0.11147673600000003
P(X = 7 ) = 0.04246732800000001
P(X = 8 ) = 0.010616832000000005
P(X = 9 ) = 0.0015728640000000007
P(X = 10 ) = 0.00010485760000000006
P(X > 5) = 0.16623861760000005

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Forstå hva som skiller plasseringene

Plantene med samme farge er like. Det eneste som betyr noe er hvilke fire av ti posisjoner som får gule planter.

Steg 2 — Velg posisjoner

Vi velger \(4\) posisjoner av \(10\).

Steg 3 — Bruk kombinasjoner

\[inom{10}{4}\]

Steg 4 — Regn ut

\[inom{10}{4}=210\]

Steg 5 — Tolk

Når gule posisjoner er valgt, er de røde automatisk bestemt.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from math import comb
antall = comb(10,4)
print('Velg 4 gule posisjoner av 10:')
print('C(10,4) =', antall)

Velg 4 gule posisjoner av 10:
C(10,4) = 210

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Trekk fra grovbrødet

Fire brødskiver veier \(200\) g. Brødet gir \(1800\) kJ, \(4\) g fett og \(65\) g karbohydrater.

Steg 2 — Finn resterende grenser

Det er igjen \(600\) kJ, \(8\) g fett og \(15\) g karbohydrater.

Steg 3 — Regn per gram pålegg

Makrell gir \(10{,}49\) kJ/g, \(0{,}205\) g fett/g og \(0{,}03\) g karbohydrat/g. Syltetøy gir \(7{,}40\), \(0{,}001\) og \(0{,}424\).

Steg 4 — Sett opp ressursulikheter

Dermed får vi energi-, fett- og karbohydratulikhetene i oppgaven.

Steg 5 — Ikke-negative mengder

Siden \(x\) og \(y\) er gram mat, må \(x\ge0\) og \(y\ge0\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Tegn aksene

Siden \(x\ge0\) og \(y\ge0\), arbeider vi i første kvadrant.

Steg 2 — Tegn energilinjen

\[10{,}49x+7{,}40y=600\]

Steg 3 — Tegn fettlinjen

\[0{,}205x+0{,}001y=8\]

Steg 4 — Tegn karbohydratlinjen

\[0{,}03x+0{,}424y=15\]

Steg 5 — Skraver under alle grensene

Det lovlige området ligger i første kvadrant og under alle tre næringsgrensene.

Steg 6 — Viktige hjørner

Relevante hjørner er omtrent \(\left(0,0\right)\), \(\left(39{,}0,0\right)\), \(\left(38{,}9,25{,}9\right)\), \(\left(33{,}9,33{,}0\right)\) og \(\left(0,35{,}4\right)\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
E = Eq(10.49*x + 7.40*y, 600)
F = Eq(0.205*x + 0.001*y, 8)
K = Eq(0.03*x + 0.424*y, 15)
print('Skjæring energi/fett:', solve([E,F], (x,y)))
print('Skjæring energi/karbohydrat:', solve([E,K], (x,y)))
print('x-akse med fett:', 8/0.205)
print('y-akse med karbohydrat:', 15/0.424)

Skjæring energi/fett: {x: 38.8978499976768, y: 25.9407504762663}
Skjæring energi/karbohydrat: {x: 33.9347241679603, y: 32.9763166862292}
x-akse med fett: 39.02439024390244
y-akse med karbohydrat: 35.37735849056604

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Lag målfunksjonen

Protein fra pålegg er \[P\left(x,y\right)=0{,}134x+0{,}003y.\]

Steg 2 — Bruk hjørneprinsippet

Maksimum for en lineær målfunksjon finnes i et hjørne av det skraverte området.

Steg 3 — Test relevante hjørner

Særlig må vi teste skjæringen mellom energi- og fettgrensen, fordi makrell gir mye protein men også mye fett.

Steg 4 — Beregn maksimum

Maksimum oppnås ved omtrent \(x=38{,}9\) og \(y=25{,}9\).

Steg 5 — Svar på spørsmålet

Spørsmålet ber om syltetøy, altså \(y\). Morten kan spise omtrent \(26\) g syltetøy.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
E = Eq(10.49*x + 7.40*y, 600)
F = Eq(0.205*x + 0.001*y, 8)
K = Eq(0.03*x + 0.424*y, 15)
punkter = [(0,0), (8/0.205,0), (0,15/0.424)]
for lik1, lik2 in [(E,F), (E,K)]:
    sol = solve([lik1, lik2], (x,y))
    punkter.append((float(sol[x]), float(sol[y])))
print('Tester hjørner:')
beste = None
for px, py in punkter:
    energi = 10.49*px + 7.40*py
    fett = 0.205*px + 0.001*py
    karb = 0.03*px + 0.424*py
    if energi <= 600 + 1e-9 and fett <= 8 + 1e-9 and karb <= 15 + 1e-9:
        protein = 0.134*px + 0.003*py
        print((round(px,3), round(py,3)), 'protein =', round(protein,4))
        if beste is None or protein > beste[0]:
            beste = (protein, px, py)
print('Beste punkt:', beste)
print('Syltetøy i gram:', beste[2])

Tester hjørner:
(0, 0) protein = 0.0
(39.024, 0) protein = 5.2293
(0, 35.377) protein = 0.1061
(38.898, 25.941) protein = 5.2901
(33.935, 32.976) protein = 4.6462
Beste punkt: (5.29013415111748, 38.8978499976768, 25.9407504762663)
Syltetøy i gram: 25.9407504762663

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Velg \(x\)-verdier

Siden \(x\) er år etter 2007, bruker vi \(x=0,2,4,6,8,10\).

Steg 2 — Legg inn data

Punktene er \(\left(0,400\right)\), \(\left(2,650\right)\), \(\left(4,1100\right)\), \(\left(6,1850\right)\), \(\left(8,2400\right)\), \(\left(10,3000\right)\).

Steg 3 — Velg kubisk regresjon

Vi bruker tredjegradsregresjon fordi oppgaven ber om et tredjegradspolynom.

Steg 4 — Les av modellen

En regresjon gir omtrent \[g\left(x\right)=-2{,}60x^3+48{,}66x^2+32{,}74x+400.\]

Steg 5 — Tolk

Modellen beskriver økende bestand i perioden 2007–2017, men skal ikke brukes ukritisk langt utenfor dataintervallet.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import numpy as np
x = np.array([0, 2, 4, 6, 8, 10], dtype=float)
y = np.array([400, 650, 1100, 1850, 2400, 3000], dtype=float)
koeff = np.polyfit(x, y, 3)
print('Koeffisienter [x^3, x^2, x, konstant]:')
print(koeff)
print('Regresjonsmodell:')
print(f'g(x) = {koeff[0]:.4f}x^3 + {koeff[1]:.4f}x^2 + {koeff[2]:.4f}x + {koeff[3]:.4f}')

Koeffisienter [x^3, x^2, x, konstant]:
[ -2.60416667  48.66071429  32.73809524 400.        ]
Regresjonsmodell:
g(x) = -2.6042x^3 + 48.6607x^2 + 32.7381x + 400.0000

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn starttidspunktet

Året 2021 er \(14\) år etter 2007, altså \(x=14\).

Steg 2 — Finn startverdien

Modellen \(f\) gir omtrent \(f\left(14\right)=3330\).

Steg 3 — Tolke nedgang på 4 %

En årlig nedgang på \(4\ \%\) betyr at bestanden multipliseres med \(0{,}96\) hvert år.

Steg 4 — Antall år etter 2021

Når \(x\) er år etter 2007, er antall år etter 2021 lik \(x-14\).

Steg 5 — Sett sammen modellen

Da blir \[h\left(x\right)=3330\cdot0{,}96^{x-14}.\]

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = -2.6*x**3 + 49*x**2 + 33*x + 398
print('f(14) =', f.subs(x, 14))
print('Vekstfaktor ved 4 prosent nedgang:', 1 - 0.04)
print('Modell etter 2021: h(x) = 3330 * 0.96**(x-14)')

f(14) = 3329.60000000000
Vekstfaktor ved 4 prosent nedgang: 0.96
Modell etter 2021: h(x) = 3330 * 0.96**(x-14)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk riktig intervall

Fra 2007 til 2030 er \(0\le x\le23\).

Steg 2 — Tegn \(f\) først

Bruk \(f\left(x\right)=-2{,}6x^3+49x^2+33x+398\) for \(0\le x\le14\).

Steg 3 — Tegn \(h\) etterpå

Bruk \(h\left(x\right)=3330\cdot0{,}96^{x-14}\) for \(14\le x\le23\).

Steg 4 — Bruk delt funksjon

I GeoGebra kan dette tegnes med \(\operatorname{Funksjon}\)-kommandoer for hvert intervall.

Steg 5 — Tolk grafen

Grafen stiger fram mot rundt 2020 og avtar etter 2021.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
def f(x):
    return -2.6*x**3 + 49*x**2 + 33*x + 398
def h(x):
    return 3330 * 0.96**(x-14)
print('År, x, modellverdi')
for year in [2007, 2011, 2017, 2021, 2025, 2030]:
    xx = year - 2007
    verdi = f(xx) if xx <= 14 else h(xx)
    print(year, xx, round(verdi, 1))

År, x, modellverdi
2007 0 398.0
2011 4 1164.4
2017 10 3028.0
2021 14 3329.6
2025 18 2823.1
2030 23 2306.1

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Maksimum før 2021

Vi finner toppunktet til \(f\) på \([0,14]\).

Steg 2 — Deriver \(f\)

\[f^{\prime}\left(x\right)=-7{,}8x^2+98x+33\]

Steg 3 — Løs \(f^{\prime}\left(x\right)=0\)

I intervallet får vi \(xpprox12{,}89\).

Steg 4 — Etter 2021

\(h\) avtar fordi vekstfaktoren \(0{,}96<1\), så den får størst verdi ved \(x=14\).

Steg 5 — Sammenlikn

\(f\left(12{,}89\right)pprox3396\), som er større enn \(h\left(14\right)=3330\).

Steg 6 — Oversett til år

\(2007+12{,}89pprox2019{,}89\), altså rundt årsskiftet 2019/2020. Som kalenderår: 2020.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = -2.6*x**3 + 49*x**2 + 33*x + 398
kritiske = solve(diff(f,x), x)
print('f'(x) =', diff(f,x))
print('Kritiske punkter:', kritiske)
for xx in kritiske + [0, 14]:
    if xx.is_real:
        print('x =', float(xx), 'år =', 2007 + float(xx), 'bestand =', float(f.subs(x, xx)))
print('h avtar fordi 0.96 < 1')

f'(x) = -7.8*x**2 + 98*x + 33
Kritiske punkter: [-0.328163354485975, 12.8922659185885]
x = -0.3281633544859748 år = 2006.671836645514 bestand = 392.55757323126496
x = 12.8922659185885 år = 2019.8922659185885 bestand = 3396.401685297075
x = 0.0 år = 2007.0 bestand = 398.0
x = 14.0 år = 2021.0 bestand = 3329.5999999999995
h avtar fordi 0.96 < 1

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Løs for \(f\)

For \(0\le x\le14\) løser vi \(f\left(x\right)>3000\).

Steg 2 — Finn grense før 2021

Likningen \(f\left(x\right)=3000\) gir relevant løsning \(xpprox9{,}88\). Dermed er \(f>3000\) fra litt før 2017 til 2021.

Steg 3 — Løs for \(h\)

For \(14\le x\le23\) løser vi \(3330\cdot0{,}96^{x-14}>3000\).

Steg 4 — Finn grense etter 2021

Likningen \(h\left(x\right)=3000\) gir \(xpprox16{,}56\), altså midt i 2023.

Steg 5 — Samle intervallet

Bestanden er over 3000 for \(9{,}88

Steg 6 — Oversett til år

Dette svarer omtrent til fra slutten av 2016 til midten av 2023. Hele kalenderår som tydelig ligger over 3000: 2017–2023, der 2023 gjelder fram til krysningspunktet.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, nroots
import math
x = symbols('x')
f = -2.6*x**3 + 49*x**2 + 33*x + 398
rotter = nroots(f - 3000)
print('Røtter for f(x)=3000:')
for r in rotter:
    print(r)
x_start = 9.88155588391105
x_slutt = 14 + math.log(3000/3330)/math.log(0.96)
print('Start x:', x_start, 'år:', 2007 + x_start)
print('Slutt x:', x_slutt, 'år:', 2007 + x_slutt)
for year in range(2016, 2025):
    xx = year - 2007
    verdi = (-2.6*xx**3 + 49*xx**2 + 33*xx + 398) if xx <= 14 else 3330*0.96**(xx-14)
    print(year, round(verdi,1), 'over 3000?', verdi > 3000)

Røtter for f(x)=3000:
-6.53439233656410
9.88155588391105
15.4989902988069
Start x: 9.88155588391105 år: 2016.881555883911
Slutt x: 16.556465369972578 år: 2023.5564653699725
2016 2835.2 over 3000? False
2017 3028.0 over 3000? True
2018 3199.2 over 3000? True
2019 3333.6 over 3000? True
2020 3395.8 over 3000? True
2021 3329.6 over 3000? True
2022 3196.8 over 3000? True
2023 3068.9 over 3000? True
2024 2946.2 over 3000? False