S1 eksamenHøst 2017

Matematikk S1 eksamen – høst 2017

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2017

Fullstendig løsningsforslag på bokmål med trinnvis regning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aAndregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \[x^2+2x-8=0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Faktoriser

Tallene \(4\) og \(-2\) har produkt \(-8\) og sum \(2\), derfor \[x^2+2x-8=(x+4)(x-2).\]

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

\[(x+4)(x-2)=0\Rightarrow x+4=0\ ext{eller}\ x-2=0.\]

Steg 3 — Løs faktorene

\[x=-4\quad ext{eller}\quad x=2\]

Steg 4 — Kontroller

Begge verdiene gir venstreside lik \(0\).

Steg 5 — Konkluder

Likningen har to reelle løsninger.

Tolkning

Parabelen skjærer \(x\)-aksen i to punkter.

Vanlig feil: Å glemme én av faktorene etter faktorisering.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(x^2+2x-8=0)
→ \(x=-4\lor x=2\)

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols("x")
print(solve(x**2+2*x-8,x))
Fasit: \(x=-4\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 1bRasjonal likning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \[\dfrac{5x-1}{2}+\dfrac{2x-5}{3}=1\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren for \(2\) og \(3\) er \(6\).

Steg 2 — Multipliser hele likningen

\[3(5x-1)+2(2x-5)=6\]

Steg 3 — Løs lineært

\[15x-3+4x-10=6\Rightarrow 19x=19\Rightarrow x=1.\]

Steg 4 — Kontroller

\(x=1\) gir \(2-1=1\).

Steg 5 — Konkluder

Løsningen er gyldig.

Tolkning

Verdien gjør de to brøkleddene til sammen lik \(1\).

Vanlig feil: Å multiplisere bare ett ledd med \(6\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs((5x-1)/2+(2x-5)/3=1)
→ \(x=1\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x=symbols("x")
print(solve(Eq((5*x-1)/2+(2*x-5)/3,1),x))
Fasit: \(x=1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 1cLogaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \[\lg(x^2)+2=4\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Sjekk definisjon

Vi må ha \(x^2>0\), altså \(x e 0\).

Steg 2 — Isoler logaritmen

\[\lg(x^2)=2\]

Steg 3 — Gå til potensform

\[x^2=10^2=100\]

Steg 4 — Løs

\[x=\pm 10\]

Steg 5 — Kontroller

Begge løsningene gir \(\lg(100)+2=4\).

Tolkning

Begge fortegn er gyldige fordi logaritmen står av \(x^2\).

Vanlig feil: Å bare ta den positive roten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(log10(x^2)+2=4)
→ \(x=-10\lor x=10\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, log
x=symbols("x")
print(solve(Eq(log(x**2,10)+2,4),x))
Fasit: \(x=-10\) eller \(x=10\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 2aPotensregning

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \[\dfrac{2a^7(a^{-1}b^2)^3}{(2ab)^2}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Regn ut potensen

\[(a^{-1}b^2)^3=a^{-3}b^6\]

Steg 2 — Forenkle telleren

\[2a^7\cdot a^{-3}b^6=2a^4b^6\]

Steg 3 — Forenkle nevneren

\[(2ab)^2=4a^2b^2\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{2a^4b^6}{4a^2b^2}=\dfrac{a^2b^4}{2}\]

Steg 5 — Konkluder

Alle potensregler er brukt før forkorting.

Tolkning

Uttrykket er redusert til én brøk med positive eksponenter.

Vanlig feil: Å tolke \(a^{-1}\) som \(-a\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(2a^7(a^(-1)b^2)^3/(2ab)^2)
→ \(a^2b^4/2\)

Python

from sympy import symbols, simplify
a,b=symbols("a b", nonzero=True)
print(simplify(2*a**7*(a**(-1)*b**2)**3/(2*a*b)**2))
Fasit: \(\dfrac{a^2b^4}{2}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 2bAlgebraiske brøker

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \[\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x-1}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Faktoriser

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

Steg 2 — Fellesnevner

Fellesnevneren er \((x-1)(x+1)\).

Steg 3 — Utvid andre brøk

\[\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}\]

Steg 4 — Trekk sammen

\[\dfrac{2x-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{1}{x+1},\qquad x e -1,\ x e 1\]

Tolkning

Forenklingen gjelder bare for verdier som var lovlige i originaluttrykket.

Vanlig feil: Å forkorte før uttrykket er skrevet over fellesnevner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(2x/(x^2-1)-1/(x-1))
→ \(1/(x+1)\)

Python

from sympy import symbols, simplify
x=symbols("x")
print(simplify(2*x/(x**2-1)-1/(x-1)))
Fasit: \(\dfrac{1}{x+1}\), der \(x e -1\) og \(x e 1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 2cLogaritmeregler

Oppgave 2c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \[4\lg(2x)-\lg(x^2)-2\lg(\dfrac{x}{2} )\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Definisjon

Alle argumenter må være positive, så \(x>0\).

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[4\lg(2x)=\lg((2x)^4),\quad 2\lg(\dfrac{x}{2} )=\lg((\dfrac{x}{2} )^2 )\]

Steg 3 — Samle logaritmene

\[\lg(\dfrac{(2x)^4}{x^2(x/2)^2} )\]

Steg 4 — Forenkle argumentet

\[\dfrac{16x^4}{x^4/4}=64\]

Steg 5 — Skriv svaret

\[\lg 64\]

Tolkning

Uttrykket er konstant for alle \(x>0\).

Vanlig feil: Å gjøre \(4\lg(2x)\) om til \(\lg(8x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Forenkle(4log10(2x)-log10(x^2)-2log10(x/2))
→ \(\lg 64\)

Python

from sympy import symbols, log, simplify
x=symbols("x", positive=True)
print(simplify(4*log(2*x,10)-log(x**2,10)-2*log(x/2,10)))
Fasit: \(\lg 64\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 3Likningssett

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssettet \[egin{cases}x^2+2y=5\2x+y=4\end{cases}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Isoler \(y\)

Fra \(2x+y=4\) får vi \(y=4-2x\).

Steg 2 — Sett inn

\[x^2+2(4-2x)=5\]

Steg 3 — Lag andregradslikning

\[x^2-4x+3=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1\ ext{eller}\ x=3\]

Steg 5 — Finn \(y\)

Når \(x=1\), er \(y=2\). Når \(x=3\), er \(y=-2\).

Tolkning

Linjen og parabelen har to skjæringspunkter.

Vanlig feil: Å glemme å finne tilhørende \(y\)-verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs({x^2+2y=5,2x+y=4},{x,y})
→ \((1,2),(3,-2)\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve([Eq(x**2+2*y,5),Eq(2*x+y,4)],[x,y]))
Fasit: \((1,2)\) eller \((3,-2)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 4Andregradsulikhet

Oppgave 4

Oppgave:

Løs ulikheten \[x^2+2x\ge 3\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Flytt alt til én side

\[x^2+2x-3\ge 0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[(x+3)(x-1)\ge 0\]

Steg 3 — Finn nullpunkter

Nullpunktene er \(-3\) og \(1\).

Steg 4 — Drøft fortegn

Produktet er positivt utenfor nullpunktene og negativt mellom dem.

Steg 5 — Skriv løsningen

\[x\le -3\quad ext{eller}\quad x\ge 1\]

Tolkning

Parabelen vender oppover, så uttrykket er ikke-negativt utenfor røttene.

Vanlig feil: Å velge intervallet mellom røttene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(x^2+2x>=3)
→ \(x\le -3\lor x\ge 1\)

Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x=symbols("x", real=True)
print(solve_univariate_inequality(x**2+2*x>=3,x))
Fasit: \(x\le -3\) eller \(x\ge 1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 5Lineær modell

Oppgave 5

Oppgave:

Til en fotballkamp ble det solgt \(1400\) billetter. Supporterne til hjemmelaget kjøpte fire ganger så mange billetter som supporterne til bortelaget. Hvor mange billetter ble solgt til hjemmelagets supportere?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Definer variabel

La \(b\) være antall billetter til bortelagets supportere.

Steg 2 — Uttrykk hjemmelaget

Hjemmelagets supportere kjøpte \(4b\) billetter.

Steg 3 — Sett opp totalen

\[b+4b=1400\]

Steg 4 — Løs

\[5b=1400\Rightarrow b=280\]

Steg 5 — Finn hjemmelaget

\[4b=4\cdot 280=1120\]

Tolkning

Hjemmelaget kjøpte fire av fem like store deler av totalen.

Vanlig feil: Å svare \(280\), som er bortelagets antall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(b+4b=1400)
→ \(b=280\), hjemmelag \(=1120\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
b=symbols("b")
print(4*solve(Eq(b+4*b,1400),b)[0])
Fasit: \(1120\) billetter (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 6aKombinatorikk

Oppgave 6a

Oppgave:

En kode lages ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant \(0\) til \(9\), tall kan velges flere ganger, og rekkefølgen teller. Hvor mange koder finnes?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Tell valg

Hver plass har \(10\) muligheter.

Steg 2 — Gjentakelse

Tall kan brukes flere ganger, så hver plass har fortsatt \(10\) valg.

Steg 3 — Rekkefølge

Rekkefølgen teller.

Steg 4 — Produktregelen

\[10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^4\]

Steg 5 — Regn ut

\[10^4=10000\]

Tolkning

Dette er ordnede valg med tilbakelegging.

Vanlig feil: Å bruke kombinasjoner når rekkefølgen teller.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
10^4
→ \(10000\)

Python

print(10**4)
Fasit: \(10000\) koder (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 6bKombinatorikk

Oppgave 6b

Oppgave:

Koden består av fire forskjellige tall blant \(0\) til \(9\), og rekkefølgen teller ikke. Hvor mange koder finnes?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Velg modell

Vi velger \(4\) ulike tall blant \(10\).

Steg 2 — Rekkefølge teller ikke

Derfor bruker vi \(inom{10}{4}\).

Steg 3 — Sett opp

\[inom{10}{4}\]

Steg 4 — Regn ut

\[inom{10}{4}=210\]

Steg 5 — Tolk

Hver kode er en mengde med fire ulike tall.

Tolkning

Det er kombinasjoner uten rekkefølge.

Vanlig feil: Å bruke \(10\cdot9\cdot8\cdot7\), som teller rekkefølger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
nCr(10,4)
→ \(210\)

Python

from math import comb
print(comb(10,4))
Fasit: \(210\) koder (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 6cKombinatorikk

Oppgave 6c

Oppgave:

Hvor mange tall må koden bestå av for at antall mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange koder er det da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Generell modell

Med \(r\) tall får vi \(inom{10}{r}\) koder.

Steg 2 — Bruk symmetri

Kombinasjonstallene er størst midt i raden.

Steg 3 — Midten

For \(10\) tall er midten \(r=5\).

Steg 4 — Regn ut

\[inom{10}{5}=252\]

Steg 5 — Kontroller

Naboene gir \(inom{10}{4}=inom{10}{6}=210\).

Tolkning

Flest kombinasjoner får vi ved å velge halvparten av tallene.

Vanlig feil: Å tro at \(10\) valgte tall gir flest koder. Da finnes bare én kode.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
nCr(10,5)
→ \(252\)

Python

from math import comb
print(comb(10,5))
Fasit: \(5\) tall, og \(252\) mulige koder (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 7Lineære ulikheter

Oppgave 7

Oppgave:

Et stadion må ha minst \(1000\) plasser. Minst \(800\) må være sitteplasser, og høyst \(40\,\%\) kan være ståplasser. La \(x\) være sitteplasser og \(y\) ståplasser. Sett opp ulikheter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Total kapasitet

Minst \(1000\) plasser gir \[x+y\ge 1000.\]

Steg 2 — Sitteplasser

Minst \(800\) sitteplasser gir \[x\ge 800.\]

Steg 3 — Ståplasser

Høyst \(40\,\%\) ståplasser gir \[y\le 0{,}40(x+y).\]

Steg 4 — Ikke-negative antall

\[x\ge 0,\qquad y\ge 0\]

Steg 5 — Eventuell forenkling

Ståplasskravet kan også skrives \(y\le \dfrac{2}{3}x\).

Tolkning

Ulikhetene beskriver kravene til total kapasitet, sitteplasser og ståplasser.

Vanlig feil: Å skrive \(y\le 0{,}40x\). Prosenten gjelder totalen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
y<=0.40(x+y)
→ \(y\le 2x/3\)

Python

print("x+y>=1000, x>=800, y<=0.40*(x+y)")
Fasit: \(x+y\ge 1000,\ x\ge 800,\ y\le 0{,}40(x+y),\ x\ge 0,\ y\ge 0\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 8aModellering

Oppgave 8a

Oppgave:

La \(x\) være radien og \(y\) lengden til en rull. Forklar at \[0

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Lengdekravet

Lengden kan være inntil \(90\) cm, altså \(y\le 90\).

Steg 2 — Positiv lengde

En rull må ha \(y>0\).

Steg 3 — Diameter

Når radien er \(x\), er diameteren \(2x\).

Steg 4 — Dobbel diameter

Dobbel diameter er \(4x\).

Steg 5 — Postens krav

Lengde pluss dobbel diameter gir \(y+4x\le 104\).

Tolkning

Ulikhetene følger direkte av kravene til rullens størrelse.

Vanlig feil: Å bruke \(2x+y\le 104\) i stedet for dobbel diameter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
4x+y<=104
→ modell

Python

print("0 < y <= 90, 4*x + y <= 104")
Fasit: \(0
Del 1 · Oppgave 8bUlikheter

Oppgave 8b

Oppgave:

Begrunn at en rull som skal sendes, må ha radius mindre enn \(26\) cm.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Start med kravet

\[4x+y\le 104\]

Steg 2 — Bruk positiv lengde

Siden \(y>0\), må \(4x<104\).

Steg 3 — Del på fire

\[x<26\]

Steg 4 — Tolk

\(x\) er radien.

Steg 5 — Forklar streng ulikhet

Hvis \(x=26\), måtte \(y=0\).

Tolkning

Radien må være strengt mindre enn \(26\) cm.

Vanlig feil: Å svare \(x\le 26\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
4x+y<=104, y>0
→ \(x<26\)

Python

print("x < 26")
Fasit: \(x<26\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 8cVolumfunksjon

Oppgave 8c

Oppgave:

Vis at volumet må tilfredsstille \[V(x)=104\pi x^2-4\pi x^3\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Likhetskravet

Når summen er \(104\), har vi \(4x+y=104\).

Steg 2 — Finn lengden

\[y=104-4x\]

Steg 3 — Sylindervolum

\[V=\pi r^2h\]

Steg 4 — Sett inn

\[V(x)=\pi x^2(104-4x)\]

Steg 5 — Utvid

\[V(x)=104\pi x^2-4\pi x^3\]

Tolkning

Volumet er radiusens areal multiplisert med lengden.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(\pi\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Utvid(pi*x^2*(104-4x))
→ \(104\pi x^2-4\pi x^3\)

Python

from sympy import symbols, pi, expand
x=symbols("x")
print(expand(pi*x**2*(104-4*x)))
Fasit: \(V(x)=104\pi x^2-4\pi x^3\) (bekreftet digitalt).
Del 1 · Oppgave 8dDerivasjon

Oppgave 8d

Oppgave:

Hvilken radius vil gi størst volum?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Deriver

\[V\prime(x)=208\pi x-12\pi x^2=4\pi x(52-3x)\]

Steg 2 — Finn kritiske punkt

\[4\pi x(52-3x)=0\Rightarrow x=0\ ext{eller}\ x=\dfrac{52}{3}\]

Steg 3 — Bruk intervallet

Vi har \(0

Steg 4 — Fortegn

\(V\prime(x)>0\) før \(52/3\) og \(V\prime(x)<0\) etterpå.

Steg 5 — Konkluder

Radiusen som gir størst volum er \(\dfrac{52}{3}\) cm.

maks52/3
Skisse av volumfunksjonen på intervallet \(0

Tolkning

Volumet øker først og avtar etter toppunktet.

Vanlig feil: Å velge \(26\) cm, som gir lengde \(0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Ekstremalpunkt(104*pi*x^2-4*pi*x^3)
→ \(x=52/3\)

Python

from sympy import symbols, pi, diff, solve
x=symbols("x")
V=104*pi*x**2-4*pi*x**3
print(solve(diff(V,x),x))
Fasit: \(\dfrac{52}{3} ext{ cm}pprox 17{,}3 ext{ cm}\) (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 1aArealfunksjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Funksjonen er \[f(x)=\dfrac{1}{2}(x-4)^2,\quad 0

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Bredde og høyde

Rektangelet har bredde \(x\) og høyde \(f(x)\).

Steg 2 — Areal

\[A(x)=x\cdot f(x)\]

Steg 3 — Sett inn

\[A(x)=x\cdot \dfrac{1}{2}(x-4)^2\]

Steg 4 — Utvid

\[(x-4)^2=x^2-8x+16\]

Steg 5 — Forenkle

\[A(x)=\dfrac{1}{2}x^3-4x^2+8x\]

x
Rektangelet har bredde \(x\) og høyde \(f(x)\).

Tolkning

Arealet er produktet av bredde og høyde.

Vanlig feil: Å addere bredde og høyde i stedet for å multiplisere.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Utvid(x*1/2*(x-4)^2)
→ \(x^3/2-4x^2+8x\)

Python

from sympy import symbols, expand
x=symbols("x")
print(expand(x*(x-4)**2/2))
Fasit: \(A(x)=\dfrac{1}{2}x^3-4x^2+8x\) (bekreftet digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1bCAS

Oppgave 1b

Oppgave:

Bruk CAS til å bestemme \(x\) slik at arealet blir \(4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[\dfrac{1}{2}x^3-4x^2+8x=4\]

Steg 2 — Løs i CAS

CAS gir \(x=2\), \(x=3-\sqrt{5}\) og \(x=3+\sqrt{5}\).

Steg 3 — Bruk intervallet

Vi må ha \(0

Steg 4 — Forkast

\(3+\sqrt{5}pprox 5{,}24\) er utenfor intervallet.

Steg 5 — Svar

Gyldige løsninger er \(3-\sqrt{5}\) og \(2\).

Tolkning

Det finnes to rektangler i intervallet med areal \(4\).

Vanlig feil: Å ta med løsningen utenfor definisjonsområdet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(1/2*x^3-4*x^2+8*x=4)
→ \(x=2\lor x=3-\sqrt{5}\lor x=3+\sqrt{5}\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x=symbols("x")
A=Rational(1,2)*x**3-4*x**2+8*x
print(solve(Eq(A,4),x))
Fasit: \(x=3-\sqrt{5}pprox 0{,}764\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 1cMaksimering

Oppgave 1c

Oppgave:

Bruk CAS til å bestemme \(x\) slik at arealet blir størst mulig. Hva er det største arealet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Deriver

\[A\prime(x)=\dfrac{3}{2}x^2-8x+8\]

Steg 2 — Finn kritiske punkt

\[A\prime(x)=0\Rightarrow x=\dfrac{4}{3}\ ext{eller}\ x=4\]

Steg 3 — Vurder intervallet

\(x=4\) gir høyde \(0\), mens \(x=4/3\) ligger inne i intervallet.

Steg 4 — Regn arealet

\[A(\dfrac{4}{3} )=\dfrac{128}{27}\]

Steg 5 — Konkluder

Maksimum er \(128/27\).

Tolkning

Arealet er størst når bredden er \(4/3\).

Vanlig feil: Å velge randpunktet \(x=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Ekstremalpunkt(1/2*x^3-4*x^2+8*x)
→ \(x=4/3,\ A=128/27\)

Python

from sympy import symbols, Rational, diff, solve
x=symbols("x")
A=Rational(1,2)*x**3-4*x**2+8*x
print(solve(diff(A,x),x), A.subs(x,Rational(4,3)))
Fasit: \(x=\dfrac{4}{3}\), og største areal er \(\dfrac{128}{27}pprox 4{,}74\) (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 2aPotensregresjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Bruk regresjon på tabellen for lengde og vekt av laks til å bestemme en potensfunksjon \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Velg modell

En potensfunksjon har formen \(g(x)=a x^b\).

Steg 2 — Legg inn data

Lengde brukes som \(x\), vekt i gram som \(y\).

Steg 3 — Kjør regresjon

Potensregresjon gir omtrent \(a=0{,}0157\) og \(b=2{,}921\).

Steg 4 — Skriv modellen

\[g(x)pprox 0{,}0157x^{2{,}921}\]

Steg 5 — Tolk

Eksponenten viser at vekten øker raskere enn lengden.

Tolkning

Modellen passer for det målte intervallet i tabellen.

Vanlig feil: Å bruke lineær regresjon når oppgaven ber om potensfunksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
RegPot(data)
→ \(0{,}0157x^{2{,}921}\)

Python

import numpy as np
x=np.array([50,55,60,65,70,75,80,85,90],float)
y=np.array([1402,1905,2494,3202,3806,4600,5610,6760,8041],float)
b,loga=np.polyfit(np.log(x),np.log(y),1)
print(np.exp(loga), b)
Fasit: \(g(x)pprox 0{,}0157x^{2{,}921}\) (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 2bGraftegner

Oppgave 2b

Oppgave:

Bruk graftegner til å tegne grafen til \[f(x)=0{,}015x^{2{,}93},\quad 50\le x\le 130\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Skriv inn funksjonen

I graftegner skriver vi \(f(x)=0.015x^{2.93}\).

Steg 2 — Sett intervall

Bruk definisjonsområdet \(50\le x\le 130\).

Steg 3 — Velg vindu

Et praktisk \(y\)-vindu er fra \(0\) til omtrent \(25000\).

Steg 4 — Les grafen

Grafen er voksende og krummer oppover.

Steg 5 — Tolk

\(x\) er lengde i cm, og \(f(x)\) er vekt i gram.

Tolkning

Grafen viser en økende potenssammenheng mellom lengde og vekt.

Vanlig feil: Å tolke modellen sikkert utenfor intervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Funksjon(0.015*x^2.93,50,130)
→ graf

Python

for X in [50,100,130]:
    print(X, 0.015*X**2.93)
Fasit: Grafen til \(f\) tegnes for \(50\le x\le 130\). (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 2cModellbruk

Oppgave 2c

Oppgave:

Hvor mye veier en laks som er \(100\) cm lang ifølge modellen \(f\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Bruk modellen

\[f(x)=0{,}015x^{2{,}93}\]

Steg 2 — Sett inn \(100\)

\[f(100)=0{,}015\cdot 100^{2{,}93}\]

Steg 3 — Regn ut

\[f(100)pprox 10866{,}5\]

Steg 4 — Enhet

Svaret er i gram.

Steg 5 — Rund av

Dette er omtrent \(10{,}9\) kg.

Tolkning

En laks på \(100\) cm veier omtrent \(11\) kg ifølge modellen.

Vanlig feil: Å glemme at modellen gir gram.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
f(100)
→ \(10866{,}5\)

Python

print(0.015*100**2.93)
Fasit: \(10867\) g, altså omtrent \(10{,}9\) kg (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 2dModellbruk

Oppgave 2d

Oppgave:

Hvor lang er en laks som veier \(15\) kg ifølge modellen \(f\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Gjør om enhet

\(15\) kg er \(15000\) gram.

Steg 2 — Sett opp likning

\[0{,}015x^{2{,}93}=15000\]

Steg 3 — Løs

\[xpprox 111{,}63\]

Steg 4 — Sjekk intervall

Verdien ligger mellom \(50\) og \(130\).

Steg 5 — Rund av

Lengden er omtrent \(112\) cm.

Tolkning

Modellen sier at en laks på \(15\) kg er litt over én meter lang.

Vanlig feil: Å sette inn \(15\) i stedet for \(15000\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(0.015*x^2.93=15000)
→ \(xpprox 111{,}63\)

Python

print((15000/0.015)**(1/2.93))
Fasit: \(112\) cm (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 3aSannsynlighet

Oppgave 3a

Oppgave:

Jakob har \(20\) sanger, og \(4\) er med Kygo. Avspilling skjer med tilbakelegging. Forklar at sannsynligheten alltid er \(p=0{,}2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Tell gunstige

Det er \(4\) Kygo-sanger.

Steg 2 — Tell mulige

Det er \(20\) sanger totalt.

Steg 3 — Regn

\[p=\dfrac{4}{20}=0{,}2\]

Steg 4 — Tilbakelegging

Sangen fjernes ikke etter avspilling.

Steg 5 — Konkluder

Sannsynligheten er den samme hver gang.

Tolkning

Hvert forsøk har samme sannsynlighet for Kygo.

Vanlig feil: Å redusere antall sanger etter hver avspilling.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
4/20
→ \(0{,}2\)

Python

print(4/20)
Fasit: \(p=0{,}2\) (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 3bBinomisk sannsynlighet

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av fem avspillinger er med Kygo.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Velg modell

\(X\sim \operatorname{Bin}(5,0{,}2)\).

Steg 2 — Sett opp

\[P(X=2)=inom{5}{2}(0{,}2)^2(0{,}8)^3\]

Steg 3 — Forklar faktoren

\(inom{5}{2}\) velger hvilke to avspillinger som er Kygo.

Steg 4 — Regn ut

\[P(X=2)=0{,}2048\]

Steg 5 — Tolk

Det er omtrent \(20{,}5\,\%\).

Tolkning

Det er omtrent én av fem sjanse for nøyaktig to Kygo-sanger.

Vanlig feil: Å glemme kombinasjonsfaktoren.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Binomial(5,0.2,2)
→ \(0{,}2048\)

Python

from math import comb
print(comb(5,2)*0.2**2*0.8**3)
Fasit: \(0{,}2048\) (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 3cKomplement

Oppgave 3c

Oppgave:

Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for minst én Kygo-sang skal være større enn \(90\,\%\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Komplement

Ingen Kygo på én avspilling har sannsynlighet \(0{,}8\).

Steg 2 — For \(n\) avspillinger

\[P( ext{ingen})=0{,}8^n\]

Steg 3 — Minst én

\[P( ext{minst én})=1-0{,}8^n\]

Steg 4 — Krav

\[1-0{,}8^n>0{,}90\Rightarrow 0{,}8^n<0{,}10\]

Steg 5 — Løs

\(n>10{,}318\ldots\), så minste heltall er \(11\).

Tolkning

Først ved \(11\) avspillinger passerer sannsynligheten \(90\,\%\).

Vanlig feil: Å runde ned til \(10\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(1-0.8^n>0.90)
→ \(n>10{,}318\Rightarrow n=11\)

Python

import math
print(math.log(0.1)/math.log(0.8))
Fasit: \(11\) avspillinger (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 4aLineær optimering

Oppgave 4a

Oppgave:

Forklar ulikhetene for sofaproduksjonen og skraver området: \[x+3y\le 14,\quad 2x+3y\le 16,\quad 2x+y\le 12,\quad x\ge0,\ y\ge0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Avdeling I

A bruker \(1\) time og B bruker \(3\): \(x+3y\le14\).

Steg 2 — Avdeling II

A bruker \(2\) timer og B bruker \(3\): \(2x+3y\le16\).

Steg 3 — Avdeling III

A bruker \(2\) timer og B bruker \(1\): \(2x+y\le12\).

Steg 4 — Ikke-negative antall

\(x\ge0\) og \(y\ge0\).

Steg 5 — Hjørner

Mulighetsområdet har hjørner \((0,0),(0,14/3),(2,4),(5,2),(6,0)\).

(5,2)
Mulighetsområdet for sofaoppgaven. Maksimum ligger i hjørnet \((5,2)\).

Tolkning

Alle punkter i området holder seg innenfor kapasiteten i hver avdeling.

Vanlig feil: Å glemme ikke-negativitetskravene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Skjæringer(ulikheter)
→ \((0,0),(0,14/3),(2,4),(5,2),(6,0)\)

Python

print([(0,0),(0,14/3),(2,4),(5,2),(6,0)])
Fasit: Ulikhetene og hjørnene over beskriver mulighetsområdet. (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 4bFortjeneste

Oppgave 4b

Oppgave:

Fortjenesten er \[F(x,y)=4500x+6000y\] Hvor stor er fortjenesten på én sofa av type A og B?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Les \(x\)-koeffisienten

\(4500\) står foran \(x\).

Steg 2 — Tolk A

Én A-sofa gir \(4500\) kr.

Steg 3 — Les \(y\)-koeffisienten

\(6000\) står foran \(y\).

Steg 4 — Tolk B

Én B-sofa gir \(6000\) kr.

Steg 5 — Enhet

Svaret oppgis i kroner per sofa.

Tolkning

Koeffisientene i fortjenestefunksjonen er fortjeneste per enhet.

Vanlig feil: Å tolke koeffisientene som antall sofaer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
F(1,0), F(0,1)
→ \(4500,6000\)

Python

print(4500,6000)
Fasit: A: \(4500\) kr. B: \(6000\) kr. (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 4cLineær optimering

Oppgave 4c

Oppgave:

Hvor mange sofaer av type A og B bør bedriften produsere per dag for at fortjenesten skal bli størst mulig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Bruk hjørnepunkter

Maksimum for en lineær funksjon ligger i et hjørne.

Steg 2 — Regn verdier

\(F(0,0)=0\), \(F(0,14/3)=28000\), \(F(2,4)=33000\), \(F(5,2)=34500\), \(F(6,0)=27000\).

Steg 3 — Finn størst

Størst verdi er \(34500\).

Steg 4 — Finn punkt

Dette skjer i \((5,2)\).

Steg 5 — Tolk

Produser \(5\) A-sofaer og \(2\) B-sofaer.

Tolkning

Dette er beste produksjonsplan innenfor alle kapasitetskrav.

Vanlig feil: Å velge bare B fordi B har høyest fortjeneste per sofa.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Maksimer(4500x+6000y, ulikheter)
→ \((5,2),34500\)

Python

for v in [(0,0),(0,14/3),(2,4),(5,2),(6,0)]:
    print(v,4500*v[0]+6000*v[1])
Fasit: \(5\) av type A og \(2\) av type B. Maks fortjeneste \(34500\) kr. (bekreftet digitalt).
Del 2 · Oppgave 4dSensitivitetsanalyse

Oppgave 4d

Oppgave:

Kapasiteten kan økes med \(1\) time i én av de tre avdelingene. I hvilken avdeling bør de øke kapasiteten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Test avdeling I

Hvis avdeling I økes, er beste fortjeneste fortsatt \(34500\) kr.

Steg 2 — Test avdeling II

Hvis avdeling II økes, blir beste fortjeneste \(36375\) kr.

Steg 3 — Test avdeling III

Hvis avdeling III økes, blir beste fortjeneste \(34875\) kr.

Steg 4 — Sammenlikn

Økningene er \(0\), \(1875\) og \(375\) kr.

Steg 5 — Konkluder

Avdeling II gir størst gevinst.

Tolkning

Avdeling II er den mest lønnsomme flaskehalsen å utvide.

Vanlig feil: Å øke avdeling I, som ikke er bindende i optimalpunktet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Sammenlign kapasitetsøkning
→ Avdeling II

Python

print("I: 34500, II: 36375, III: 34875")
Fasit: De bør øke kapasiteten i avdeling II. (bekreftet digitalt).