Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn fellesnevner

Nevnerne er \(3\), \(4\) og \(6\). Fellesnevneren er \(12\).

Steg 2 — Multipliser hele likningen med \(12\)

\[12\cdot \dfrac{2x-1}{3}-12\cdot \dfrac{3x+2}{4}=12\cdot \dfrac{5}{6}\]

Steg 3 — Forenkle hvert ledd

\[4\left(2x-1\right)-3\left(3x+2\right)=10\]

Steg 4 — Løs den lineære likningen

\[8x-4-9x-6=10\Rightarrow -x-10=10\Rightarrow -x=20\Rightarrow x=-20\]

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

Setter vi \(x=-20\) inn i venstresiden, får vi \(-\dfrac{41}{3}+\dfrac{58}{4}=\dfrac{5}{6}\).

Tolkning

Likningen har én løsning fordi vi endte med en lineær likning i \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols("x")
print(solve(Eq((2*x-1)/3 - (3*x+2)/4, 5/6), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sjekk definisjonsmengden

Argumentet i logaritmen må være positivt: \[2x-6>0\Rightarrow x>3.\]

Steg 2 — Bruk betydningen av \(\lg\)

Når \(\lg A=2\), betyr det at \(A=10^2\).

Steg 3 — Skriv om likningen

\[2x-6=100\]

Steg 4 — Løs likningen

\[2x=106\Rightarrow x=53\]

Steg 5 — Kontroller domenet

\(53>3\), så løsningen er gyldig.

Tolkning

Tallet \(53\) gjør logaritmeuttrykket lik \(\lg 100=2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log
x = symbols("x")
print(solve(Eq(log(2*x-6, 10), 2), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Multipliser ut første parentes

\[a\left(a-b\right)=a^2-ab\]

Steg 2 — Multipliser ut andre parentes

\[b\left(b-a\right)=b^2-ab\]

Steg 3 — Samle ledd

\[a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2\]

Steg 4 — Kjenn igjen kvadratsetning

\[a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\]

Steg 5 — Velg enkleste form

Den faktoriserte formen \(\left(a-b\right)^2\) viser strukturen tydeligst.

Tolkning

Uttrykket er kvadratet av differansen mellom \(a\) og \(b\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a,b = symbols("a b")
print(simplify(a*(a-b)+b*(b-a)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Regn ut potensen i telleren

\[\left(ab^2\right)^2=a^2b^4\]

Steg 2 — Multipliser med \(b^{-3}\)

\[a^2b^4\cdot b^{-3}=a^2b^{4-3}=a^2b\]

Steg 3 — Regn ut nevneren

\[a^2\left(b^{-1}\right)^2=a^2b^{-2}\]

Steg 4 — Del potensene

\[\dfrac{a^2b}{a^2b^{-2}}=b^{1-\left(-2\right)}\]

Steg 5 — Forenkle

\[b^3\]

Tolkning

Alle \(a\)-faktorene forkortes bort, og bare \(b^3\) står igjen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a,b = symbols("a b", nonzero=True)
expr = ((a*b**2)**2*b**(-3))/(a**2*(b**(-1))**2)
print(simplify(expr))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Samle positive logaritmer

\[\lg 2+\lg 4+\lg 9=\lg\left(2\cdot 4\cdot 9\right)\]

Steg 2 — Samle negative logaritmer

\[-\lg 3-\lg 8=-\lg\left(3\cdot 8\right)\]

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

\[\lg\left(2\cdot 4\cdot 9\right)-\lg\left(3\cdot 8\right)=\lg\left(\dfrac{72}{24}\right)\]

Steg 4 — Forenkle brøken

\[\dfrac{72}{24}=3\]

Steg 5 — Skriv svaret

\[\lg 3\]

Tolkning

Hele uttrykket tilsvarer logaritmen til tallet \(3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import log, simplify
expr = log(2,10)+log(4,10)+log(9,10)-log(3,10)-log(8,10)
print(simplify(expr))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Definer variabler

La \(p\) være pengene Per hadde mandag, og la \(o\) være pengene Ola hadde mandag.

Steg 2 — Bruk totalsummen mandag

De hadde til sammen \(200\) kroner: \[p+o=200.\]

Steg 3 — Beskriv Per dagen etter

Per hadde brukt halvparten, så han hadde \(\dfrac{p}{2}\) igjen.

Steg 4 — Beskriv Ola dagen etter

Ola hadde brukt \(10\) kroner, så han hadde \(o-10\) igjen.

Steg 5 — Bruk totalsummen dagen etter

Til sammen hadde de \(110\) kroner igjen: \[\dfrac{p}{2}+o-10=110.\]

Tolkning

Systemet beskriver både startbeløpet og beløpet etter at de hadde brukt penger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq
p,o = symbols("p o")
print([Eq(p+o,200), Eq(p/2 + o - 10,110)])

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk systemet fra a

\[p+o=200,\qquad \dfrac{p}{2}+o-10=110\]

Steg 2 — Forenkle den andre likningen

\[\dfrac{p}{2}+o=120\]

Steg 3 — Trekk den andre likningen fra den første

\[\left(p+o\right)-\left(\dfrac{p}{2}+o\right)=200-120\]

Steg 4 — Løs for \(p\)

\[\dfrac{p}{2}=80\Rightarrow p=160\]

Steg 5 — Kontroller

Da hadde Ola \(40\) kroner. Dagen etter hadde Per \(80\) og Ola \(30\), til sammen \(110\).

Tolkning

Beløpet stemmer med begge opplysningene i teksten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
p,o = symbols("p o")
print(solve([Eq(p+o,200), Eq(p/2+o-10,110)], [p,o]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Flytt alt til én side

\[x^2+6\le 5x\Rightarrow x^2-5x+6\le 0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

Nullpunktene er \(x=2\) og \(x=3\).

Steg 4 — Lag fortegnsdrøfting

Parabelen vender oppover, så uttrykket er negativt eller null mellom nullpunktene.

Steg 5 — Ta med endepunktene

Siden ulikheten er \(\le\), skal \(2\) og \(3\) være med.

Tolkning

Løsningsmengden er intervallet der parabelen ligger på eller under \(x\)-aksen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols("x", real=True)
print(solve_univariate_inequality(x**2 + 6 <= 5*x, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Tolke situasjonen

Det er seks ulike personer og seks nummererte billetter.

Steg 2 — Første billett

Den første billetten kan gis til \(6\) personer.

Steg 3 — Neste billetter

Deretter er det \(5\), \(4\), \(3\), \(2\) og \(1\) valg igjen.

Steg 4 — Bruk fakultet

Antall fordelinger er \[6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.\]

Steg 5 — Regn ut

\[6!=720\]

Tolkning

Siden billettene er nummererte, teller rekkefølgen i utdelingen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
print(math.factorial(6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Tell rad 9-billetter

Det finnes nøyaktig \(2\) billetter på rad 9.

Steg 2 — Tenk på hvem som får rad 9

De to rad 9-billettene går til to av de seks personene.

Steg 3 — Tell mulige par

Antall mulige personpar som kan få rad 9 er \[\binom{6}{2}=15.\]

Steg 4 — Tell gunstig par

Bare ett par er gunstig: Line og Lars.

Steg 5 — Regn sannsynligheten

\[P=\dfrac{1}{15}\]

Tolkning

Det er \(1\) gunstig par av \(15\) like sannsynlige par.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
print(Fraction(1, comb(6,2)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Kjenn igjen grafen

Funksjonen er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \(t^2\). Grafen er derfor en parabel som vender nedover.

Steg 2 — Finn startpunktet

\[S\left(0\right)=0\]

Steg 3 — Finn et midtpunkt

\[S\left(4\right)=17\cdot 4-0{,}5\cdot 4^2=60\]

Steg 4 — Finn endepunktet

\[S\left(8\right)=17\cdot 8-0{,}5\cdot 8^2=104\]

Steg 5 — Skisser på intervallet

Tegn en økende, konkav nedover kurve gjennom \((0,0)\), \((4,60)\) og \((8,104)\).

Tolkning

På intervallet \([0,8]\) øker antall stoler, men økningen går gradvis saktere.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def S(t):
    return 17*t - 0.5*t**2
for t in [0,4,8]:
    print(t, S(t))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk definisjonen

Gjennomsnittlig vekstfart på \([0,4]\) er \[\dfrac{S\left(4\right)-S\left(0\right)}{4-0}.\]

Steg 2 — Regn ut funksjonsverdiene

\[S\left(4\right)=60,\qquad S\left(0\right)=0\]

Steg 3 — Sett inn

\[\dfrac{60-0}{4}=15\]

Steg 4 — Sett på enhet

Enheten er stoler per time.

Steg 5 — Tolk

Per setter sammen i gjennomsnitt \(15\) stoler per time de første fire timene.

Tolkning

Svaret beskriver gjennomsnittlig produksjon per time fra \(t=0\) til \(t=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def S(t):
    return 17*t - 0.5*t**2
print((S(4)-S(0))/(4-0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[S\left(t\right)=17t-0{,}5t^2\Rightarrow S^{\prime}\left(t\right)=17-t\]

Steg 2 — Sett inn \(t=4\)

\[S^{\prime}\left(4\right)=17-4=13\]

Steg 3 — Sett på enhet

Enheten er stoler per time.

Steg 4 — Tolk momentan vekstfart

Etter \(4\) timer er produksjonsfarten omtrent \(13\) stoler per time.

Steg 5 — Sammenlikn med gjennomsnittet

Dette er lavere enn gjennomsnittet i de fire første timene, fordi modellen har avtagende vekstfart.

Tolkning

Den momentane produksjonsfarten etter fire timer er \(13\) stoler per time.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
t = symbols("t")
S = 17*t - 0.5*t**2
print(diff(S,t).subs(t,4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn antall stoler etter fire timer

Fra tidligere har vi \[S\left(4\right)=60.\]

Steg 2 — Bruk betalingen per stol

Han får \(10\) kroner per stol.

Steg 3 — Multipliser

\[60\cdot 10=600\]

Steg 4 — Sett på enhet

Svaret er i kroner.

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Fire timer med gjennomsnittlig \(15\) stoler per time gir \(60\) stoler.

Tolkning

Inntekten følger direkte av antall stoler multiplisert med betaling per stol.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

S4 = 17*4 - 0.5*4**2
print(10*S4)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv inntekten etter \(t\) timer

Inntekten er \[10S\left(t\right)=10\left(17t-0{,}5t^2\right).\]

Steg 2 — Skriv gjennomsnittlig timelønn

Gjennomsnittlig timelønn er inntekt delt på tid: \[\dfrac{10S\left(t\right)}{t}.\]

Steg 3 — Sett lik \(140\)

\[\dfrac{10\left(17t-0{,}5t^2\right)}{t}=140\]

Steg 4 — Forenkle for \(t>0\)

\[10\left(17-0{,}5t\right)=140\Rightarrow 170-5t=140\]

Steg 5 — Løs

\[5t=30\Rightarrow t=6\]

Tolkning

Etter \(6\) timer blir gjennomsnittsinntekten \(140\) kroner per time.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Eq
t = symbols("t")
print(solve(Eq(10*(17*t-0.5*t**2)/t, 140), t))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Utvid \(P_1\)

\[P_1=x^3-8x^2+19x-14\], som ikke er \(f\).

Steg 2 — Utvid \(P_2\)

\[P_2=x^3-4x^2-19x-14\], som ikke er \(f\).

Steg 3 — Utvid \(P_3\)

\[P_3=x^3-8x^2+5x+14\]

Steg 4 — Sammenlikn med \(f\)

Dette er nøyaktig samme uttrykk som \(f\left(x\right)\).

Steg 5 — Konkluder

Det riktige faktoriserte polynomet er \(P_3\).

Tolkning

Den faktoriserte formen gir samme koeffisienter som \(f\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
x=symbols("x")
print(expand((x-2)*(x**2-6*x-7)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk faktoriseringen

\[f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2-6x-7\right)\]

Steg 2 — Faktoriser andregradsleddet

\[x^2-6x-7=\left(x-7\right)\left(x+1\right)\]

Steg 3 — Skriv hele faktoriseringen

\[f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-7\right)\left(x+1\right)\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

Nullpunktene kommer når én faktor er null.

Steg 5 — Les av løsningene

\[x=2,\qquad x=7,\qquad x=-1\]

Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i disse tre punktene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor, solve
x=symbols("x")
f=x**3-8*x**2+5*x+14
print(factor(f), solve(f,x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f^{\prime}\left(x\right)=3x^2-16x+5\]

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

\[3x^2-16x+5=0\]

Steg 3 — Løs andregradslikningen

\[x=\dfrac{16\pm\sqrt{256-60}}{6}=\dfrac{16\pm 14}{6}\]

Steg 4 — Finn kritiske punkter

\[x=\dfrac{1}{3}\quad \text{eller}\quad x=5\]

Steg 5 — Fortegnsdrøft

Siden \(f^{\prime}\) er en parabel som vender oppover, er \(f^{\prime}>0\) før \(\dfrac{1}{3}\), \(f^{\prime}<0\) mellom \(\dfrac{1}{3}\) og \(5\), og \(f^{\prime}>0\) etter \(5\).

Steg 6 — Klassifiser

Grafen har toppunkt ved \(x=\dfrac{1}{3}\) og bunnpunkt ved \(x=5\).

Tolkning

Dette er \(x\)-koordinatene der grafen går fra å øke til å avta, og fra å avta til å øke.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x=symbols("x")
f=x**3-8*x**2+5*x+14
print(solve(diff(f,x), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv ulikhetene som \(y\)-grenser

\[y\le 5x+9,\qquad y\ge \dfrac{x-3}{5},\qquad y\le 3-x\]

Steg 2 — Finn skjæring mellom de to første linjene

\[5x+9=\dfrac{x-3}{5}\Rightarrow x=-2,\ y=-1\]

Steg 3 — Finn skjæring mellom første og tredje linje

\[5x+9=3-x\Rightarrow x=-1,\ y=4\]

Steg 4 — Finn skjæring mellom andre og tredje linje

\[\dfrac{x-3}{5}=3-x\Rightarrow x=3,\ y=0\]

Steg 5 — Skraver riktig side av linjene

Området er trekanten med hjørnene \((-2,-1)\), \((-1,4)\) og \((3,0)\).

Tolkning

Alle punkter i trekanten oppfyller de tre ulikhetene samtidig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
lines=[Eq(y,5*x+9), Eq(y,(x-3)/5), Eq(y,3-x)]
for a,b in [(0,1),(0,2),(1,2)]:
    print(solve([lines[a], lines[b]],[x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv linjen

Likningen gir \[y=5-3x.\]

Steg 2 — Kombiner med første ulikhet

\[5-3x\le 5x+9\Rightarrow x\ge -\dfrac{1}{2}\]

Steg 3 — Kombiner med andre ulikhet

\[5-3x\ge \dfrac{x-3}{5}\Rightarrow x\le \dfrac{7}{4}\]

Steg 4 — Kombiner med tredje ulikhet

\[5-3x\le 3-x\Rightarrow x\ge 1\]

Steg 5 — Se om det finnes felles \(x\)-verdier

Alle kravene gir \[1\le x\le \dfrac{7}{4}.\]

Steg 6 — Gi et eksempel

Velger vi \(x=1\), får vi \(y=2\). Punktet \((1,2)\) ligger i området og oppfyller \(3x+y=5\).

Tolkning

Det finnes faktisk et helt linjestykke i området som oppfyller likningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

for X in [1, 1.75]:
    Y = 5 - 3*X
    print(X, Y)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Definer variabler

La \(x\) være prisen for én elevbillett, og la \(y\) være prisen for én lærer-billett.

Steg 2 — Tolk regning 1

Regning 1 består av \(23\) elevbilletter og \(4\) lærerbilletter. Det gir \[23x+4y=1760.\]

Steg 3 — Tolk regning 2

Regning 2 består av \(13\) elevbilletter og \(7\) lærerbilletter. Det gir \[13x+7y=1445.\]

Steg 4 — Hvorfor systemet virker

Begge regningene bruker de samme billettprisene, derfor må \(x\) og \(y\) oppfylle begge likningene samtidig.

Steg 5 — Konklusjon

Systemet kan derfor brukes til å bestemme de to ukjente billettprisene.

Tolkning

Hver likning beskriver totalprisen for én regning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq
x,y=symbols("x y")
print(Eq(23*x+4*y,1760), Eq(13*x+7*y,1445))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv systemet i CAS

\[23x+4y=1760,\qquad 13x+7y=1445\]

Steg 2 — Løs systemet

CAS gir \[x=60,\qquad y=95.\]

Steg 3 — Tolk variablene

\(x\) var elevprisen, og \(y\) var lærerprisen.

Steg 4 — Kontroller regning 1

\[23\cdot 60+4\cdot 95=1380+380=1760\]

Steg 5 — Kontroller regning 2

\[13\cdot 60+7\cdot 95=780+665=1445\]

Tolkning

Begge prisene passer i begge regningene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve([Eq(23*x+4*y,1760), Eq(13*x+7*y,1445)], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Tell tallene mindre enn 10

Tallene mindre enn \(10\) er \(1,2,\ldots,9\). Det er \(9\) slike tall.

Steg 2 — Tell de andre tallene

Det er \(34-9=25\) tall som ikke er mindre enn \(10\).

Steg 3 — Velg de fire små tallene

Nøyaktig \(4\) små tall kan velges på \(\binom{9}{4}\) måter.

Steg 4 — Velg de tre resterende tallene

De siste \(3\) vinnertallene må velges blant de \(25\) andre tallene: \(\binom{25}{3}\).

Steg 5 — Del på alle mulige trekninger

Alle vinnertallsett kan velges på \(\binom{34}{7}\) måter, derfor blir sannsynligheten \[\dfrac{\binom{9}{4}\binom{25}{3}}{\binom{34}{7}}.\]

Tolkning

Modellen er hypergeometrisk fordi trekningen skjer uten tilbakelegging.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P=Fraction(comb(9,4)*comb(25,3), comb(34,7))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Forstå hendelsen

Vi skal ha \(0\), \(1\), \(2\) eller \(3\) tall fra gruppen \(1\) til \(9\).

Steg 2 — Bruk hypergeometrisk sum

\[P=\sum_{k=0}^{3}\dfrac{\binom{9}{k}\binom{25}{7-k}}{\binom{34}{7}}\]

Steg 3 — Beregn med CAS

CAS summerer de fire sannsynlighetene nøyaktig.

Steg 4 — Resultat som brøk

\[P=\dfrac{57385}{61132}\]

Steg 5 — Desimaltall

\[P\approx 0{,}939\]

Tolkning

Det er stor sannsynlighet for at høyst tre av de sju tallene er mindre enn \(10\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P=sum(Fraction(comb(9,k)*comb(25,7-k), comb(34,7)) for k in range(4))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Tell alle mulige vinnertallsett

Det er \(\binom{34}{7}\) mulige sett.

Steg 2 — Tell sett uten tallet 11

Hvis \(11\) ikke er med, velger vi alle \(7\) tallene fra de \(33\) andre tallene: \(\binom{33}{7}\).

Steg 3 — Sett opp sannsynligheten

\[p=\dfrac{\binom{33}{7}}{\binom{34}{7}}\]

Steg 4 — Forenkle

\[p=\dfrac{27}{34}\]

Steg 5 — Desimaltall

\[\dfrac{27}{34}\approx 0{,}7941176\approx 0{,}794\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(79{,}4\,\%\) for at 11 ikke trekkes i én omgang.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
p=Fraction(comb(33,7), comb(34,7))
print(p, float(p))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk sannsynligheten fra c

For én omgang er sannsynligheten \[p=\dfrac{27}{34}.\]

Steg 2 — Vurder modellen

Vi antar at spilleomgangene er uavhengige.

Steg 3 — Bruk produktregelen

Sannsynligheten for at dette skjer \(10\) ganger på rad er \[p^{10}.\]

Steg 4 — Sett inn

\[\left(\dfrac{27}{34}\right)^{10}\]

Steg 5 — Regn ut

\[\left(\dfrac{27}{34}\right)^{10}\approx 0{,}0997\]

Tolkning

Det er ikke veldig usannsynlig at tallet 11 uteblir i ti omganger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
p=Fraction(27,34)
print(float(p**10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Definer variabel

La \(x=0\) svare til 2010, \(x=1\) til 2011, og så videre.

Steg 2 — Velg modelltype

En eksponentiell modell har formen \[f\left(x\right)=a\cdot b^x.\]

Steg 3 — Legg inn data i regresjon

Punktene er \((0,2035)\), \((1,3849)\), \((2,7961)\), \((3,17670)\), \((4,38422)\).

Steg 4 — Kjør eksponentiell regresjon

Regresjon gir omtrent \[f\left(x\right)=1917\cdot 2{,}096^x.\]

Steg 5 — Tolk vekstfaktoren

Vekstfaktoren \(2{,}096\) betyr at modellen omtrent dobler antallet hvert år i denne perioden.

Tolkning

Modellen beskriver en svært rask vekst i antall registrerte elbiler i perioden 2010–2014.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
x=np.array([0,1,2,3,4], dtype=float)
y=np.array([2035,3849,7961,17670,38422], dtype=float)
B,A=np.polyfit(x, np.log(y), 1)
print(np.exp(A), np.exp(B))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk modellen

\[f\left(x\right)=1917\cdot 2{,}096^x\]

Steg 2 — Sett opp likningen

Vi finner når modellen når \(200\ 000\): \[1917\cdot 2{,}096^x=200000.\]

Steg 3 — Løs med logaritmer eller CAS

\[x=\dfrac{\ln\left(200000/1917\right)}{\ln\left(2{,}096\right)}\]

Steg 4 — Regn ut

\[x\approx 6{,}28\]

Steg 5 — Oversett til år

\(2010+6{,}28\approx 2016{,}28\). Det betyr i løpet av 2016.

Tolkning

Modellen er en framskriving fra raske vekstår og bør tolkes som en modell, ikke en sikker prognose.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import log
a=1916.7053003405383
b=2.0960033607428072
print(log(200000/a)/log(b), 2010+log(200000/a)/log(b))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Legg inn elbilmodellen

I graftegner skriver vi \[f\left(x\right)=1917\cdot 2{,}096^x.\]

Steg 2 — Legg inn bensin- og dieselmodellen

\[g\left(x\right)=-800x^3-600x^2+65000x+2300000\]

Steg 3 — Velg passende vindu

Et passende vindu er for eksempel \(0\le x\le 12\) og \(0\le y\le 3500000\).

Steg 4 — Tegn begge grafer

Grafen til \(f\) vokser eksponentielt, mens grafen til \(g\) ligger høyt og endrer seg mer moderat først.

Steg 5 — Marker skjæring

Skjæringen er relevant for neste deloppgave, fordi den viser når modellene gir samme antall.

Tolkning

Grafene gjør det mulig å sammenlikne elbilmodellen og bensin-/dieselmodellen visuelt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def f(x): return 1916.7053003405383*(2.0960033607428072**x)
def g(x): return -800*x**3 - 600*x**2 + 65000*x + 2300000
for x in [0,5,10]:
    print(x, f(x), g(x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Formuler betingelsen

Vi skal finne når \[f\left(x\right)>g\left(x\right).\]

Steg 2 — Finn skjæringspunktet først

Skjæringen løses digitalt fra \[1917\cdot 2{,}096^x=-800x^3-600x^2+65000x+2300000.\]

Steg 3 — CAS-resultat

Graftegner/CAS gir \[x\approx 9{,}51.\]

Steg 4 — Oversett til år

\[2010+9{,}51\approx 2019{,}51\]

Steg 5 — Tolk ulikheten

Etter skjæringspunktet ligger \(f\) over \(g\), så modellen gir flere elbiler fra omtrent midten av 2019.

Tolkning

Dette er en modellbasert framskriving og ikke en historisk fasit.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import sympy as sp
x=sp.symbols("x")
a=1916.7053003405383
b=2.0960033607428072
g=-800*x**3-600*x**2+65000*x+2300000
root=sp.nsolve(a*b**x-g, 9.5)
print(root, 2010+float(root))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Ikke-negative antall

Antall biler og busser kan ikke være negative: \[x\ge 0,\qquad y\ge 0.\]

Steg 2 — Kjøretøygrensen

Maksimalt \(60\) kjøretøy gir \[x+y\le 60.\]

Steg 3 — Arealforbruk

Arealet som brukes er \[12x+50y.\]

Steg 4 — Bruk totalarealet

\[12x+50y\le 1000\]

Steg 5 — Del på \(2\)

\[6x+25y\le 500\]

Tolkning

Systemet beskriver alle mulige kombinasjoner av biler og busser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x,y=symbols("x y")
print("x>=0, y>=0, x+y<=60, 6*x+25*y<=500")

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Tegn aksene og første kvadrant

Fordi \(x\ge 0\) og \(y\ge 0\), ligger området i første kvadrant.

Steg 2 — Tegn \(x+y=60\)

Linjen skjærer aksene i \((60,0)\) og \((0,60)\).

Steg 3 — Tegn \(6x+25y=500\)

Linjen skjærer aksene i \(\left(\dfrac{250}{3},0\right)\) og \((0,20)\).

Steg 4 — Finn skjæringen mellom grenselinjene

\[x+y=60,\qquad 6x+25y=500\] gir \[x=\dfrac{1000}{19},\qquad y=\dfrac{140}{19}.\]

Steg 5 — List hjørnene

Mulighetsområdet har hjørnene \((0,0)\), \((60,0)\), \(\left(\dfrac{1000}{19},\dfrac{140}{19}\right)\) og \((0,20)\).

Tolkning

Alle punkter i området oppfyller både kjøretøykravet og arealkravet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve([Eq(x+y,60), Eq(6*x+25*y,500)], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese situasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sett opp målfunksjonen

Inntekten per time er \[I\left(x,y\right)=30x+100y.\]

Steg 2 — Bruk hjørnepunktmetoden

En lineær funksjon får maksimum i et hjørne av mulighetsområdet.

Steg 3 — Regn i hjørnene

\[I\left(0,0\right)=0,\qquad I\left(60,0\right)=1800\]

Steg 4 — Regn i skjæringspunktet

\[I\left(\dfrac{1000}{19},\dfrac{140}{19}\right)=30\cdot \dfrac{1000}{19}+100\cdot \dfrac{140}{19}=\dfrac{44000}{19}\approx 2316\]

Steg 5 — Regn i siste hjørne

\[I\left(0,20\right)=2000\]

Steg 6 — Ta hensyn til hele kjøretøy

Skjæringspunktet gir ikke heltallige antall busser. Med heltall sjekker vi nærmeste mulige kombinasjoner. Ved \(y=7\) kan \(x=53\), og inntekten blir \[30\cdot 53+100\cdot 7=2290.\] Ved \(y=8\) blir \(x\le 50\), og inntekten blir \(2300\).

Steg 7 — Velg beste heltallsløsning

Kombinasjonen \(50\) biler og \(8\) busser oppfyller \(50+8\le 60\) og \(6\cdot 50+25\cdot 8=500\).

Tolkning

Den kontinuerlige modellen peker mot skjæringspunktet, men antall kjøretøy må være hele tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

best=None
for x in range(61):
    for y in range(61):
        if x+y<=60 and 6*x+25*y<=500:
            val=30*x+100*y
            if best is None or val>best[0]:
                best=(val,x,y)
print(best)