Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Faktoriser felles faktor

Begge leddene har faktoren \(x\), derfor kan vi skrive \[2x^2-3x=x\left(2x-3\right).\]

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én faktor være null: \[x\left(2x-3\right)=0.\]

Steg 3 — Løs første faktor

Den første muligheten er \[x=0.\]

Steg 4 — Løs andre faktor

Den andre muligheten er \[2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}.\]

Steg 5 — Kontroller i likningen

Setter vi inn \(0\) eller \(\dfrac{3}{2}\), blir venstresiden \(0\).

Tolkning

Likningen har to løsninger fordi uttrykket kan bli null på to måter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve(2*x**2 - 3*x, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Skriv alt med samme grunntall

Siden \(4=2^2\), får vi \[4^{17}=\left(2^2\right)^{17}=2^{34}.\]

Steg 2 — Sammenlikn potenser

Likningen blir \[2^{3x+1}=2^{34}.\]

Steg 3 — Sett eksponentene like

Når grunntallet er likt og positivt ulik \(1\), må eksponentene være like: \[3x+1=34.\]

Steg 4 — Løs lineært

Vi får \[3x=33 \Rightarrow x=11.\]

Steg 5 — Kontroller

Da er \(3x+1=34\), så begge sider er \(2^{34}\).

Tolkning

Eksponenten må være \(34\), og det skjer når \(x=11\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Eq
x = symbols("x")
print(solve(Eq(2**(3*x+1), 4**17), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Sjekk definisjonsmengden

Vi må ha \(2x+2>0\), altså \(x>-1\).

Steg 2 — Skriv \(3\) som logaritme

Fordi \(3=\lg 1000\), kan høyresiden skrives som \[\lg 1000+\lg 2.\]

Steg 3 — Bruk logaritmeregel

\[\lg 1000+\lg 2=\lg\left(1000\cdot 2\right)=\lg 2000.\]

Steg 4 — Sammenlikn argumentene

Likningen blir \[\lg\left(2x+2\right)=\lg 2000\Rightarrow 2x+2=2000.\]

Steg 5 — Løs og kontroller domenet

\[2x=1998\Rightarrow x=999.\] Verdien ligger i definisjonsmengden \(x>-1\).

Tolkning

Løsningen er gyldig fordi logaritmeuttrykket er definert for denne verdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, log, Eq
x = symbols("x")
print(solve(Eq(log(2*x + 2, 10), 3 + log(2, 10)), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Regn ut potensen i telleren

\[\left(a^{-1}b\right)^2=a^{-2}b^2.\]

Steg 2 — Forenkle telleren

\[8a^3\cdot a^{-2}b^2=8ab^2.\]

Steg 3 — Regn ut nevneren

\[\left(2ab\right)^2=4a^2b^2.\]

Steg 4 — Sett sammen brøken

\[\dfrac{8ab^2}{4a^2b^2}.\]

Steg 5 — Forkort felles faktorer

\[\dfrac{8ab^2}{4a^2b^2}=\dfrac{2}{a}.\]

Tolkning

Uttrykket kan ikke forenkles mer når \(a e 0\) og \(b e 0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a,b = symbols("a b", nonzero=True)
expr = 8*a**3*(a**-1*b)**2/(2*a*b)**2
print(simplify(expr))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Se felles uttrykk

La \(A=\left(x+y\right)\left(x-y\right)\).

Steg 2 — Skriv om andre produkt

Siden \(y+x=x+y\) og \(y-x=-\left(x-y\right)\), er \[\left(y+x\right)\left(y-x\right)=-A.\]

Steg 3 — Sett inn med \(A\)

Uttrykket blir \[A+\left(-A\right)-A=-A.\]

Steg 4 — Sett tilbake

\[-A=-\left(x+y\right)\left(x-y\right).\]

Steg 5 — Bruk konjugatsetningen

\[-\left(x^2-y^2\right)=y^2-x^2.\]

Tolkning

Det midterste produktet skifter fortegn fordi \(y-x=-\left(x-y\right)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, simplify
x,y = symbols("x y")
expr = (x+y)*(x-y)+(y+x)*(y-x)-(x+y)*(x-y)
print(simplify(expand(expr)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Isoler \(y\) i den lineære likningen

Fra \(3x+y=-5\) får vi \[y=-5-3x.\]

Steg 2 — Sett inn i den andre likningen

\[2x^2+x+\left(-5-3x\right)=7.\]

Steg 3 — Samle ledd

\[2x^2-2x-12=0.\]

Steg 4 — Del på \(2\) og faktoriser

\[x^2-x-6=0=\left(x-3\right)\left(x+2\right).\]

Steg 5 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=3 \quad \text{eller} \quad x=-2.\]

Steg 6 — Finn tilhørende \(y\)-verdier

Når \(x=3\), er \(y=-14\). Når \(x=-2\), er \(y=1\).

Tolkning

Systemet har to løsninger fordi en rett linje kan skjære en parabel i to punkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x,y = symbols("x y")
print(solve([2*x**2 + x + y - 7, 3*x + y + 5], [x, y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Del på negativ faktor

Når vi deler på \(-3\), må ulikhetstegnet snus: \[\left(x-2\right)\left(x+1\right)>0.\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Faktorene er null når \[x=2 \quad \text{og} \quad x=-1.\]

Steg 3 — Del tallinjen i intervaller

Intervallene er \(x<-1\), \(-12\).

Steg 4 — Vurder fortegn

Produktet er positivt når faktorene har samme fortegn, altså utenfor nullpunktene.

Steg 5 — Husk streng ulikhet

Siden ulikheten er streng, skal \(-1\) og \(2\) ikke være med.

Tolkning

Løsningen er alle verdier som gjør produktet positivt etter fortegnssnuingen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols("x")
print(solve_univariate_inequality(-3*(x-2)*(x+1) < 0, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Bruk formelen

Gjennomsnittlig vekstfart på \(\left[a,b\right]\) er \[\dfrac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}.\]

Steg 2 — Regn ut \(f\left(0\right)\)

\[f\left(0\right)=3.\]

Steg 3 — Regn ut \(f\left(2\right)\)

\[f\left(2\right)=2^3-2^2-2+3=5.\]

Steg 4 — Sett inn i formelen

\[\dfrac{f\left(2\right)-f\left(0\right)}{2-0}=\dfrac{5-3}{2}.\]

Steg 5 — Regn ferdig

\[\dfrac{2}{2}=1.\]

Tolkning

I gjennomsnitt øker funksjonsverdien med \(1\) per \(x\)-enhet på intervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols("x")
f = x**3 - x**2 - x + 3
print((f.subs(x,2)-f.subs(x,0))/(2-0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Deriver hvert ledd

\[\left(x^3\right)^{\prime}=3x^2,\quad \left(-x^2\right)^{\prime}=-2x,\quad \left(-x\right)^{\prime}=-1.\]

Steg 2 — Skriv den deriverte

\[f^{\prime}\left(x\right)=3x^2-2x-1.\]

Steg 3 — Sett inn \(x=0\)

\[f^{\prime}\left(0\right)=3\cdot 0^2-2\cdot 0-1=-1.\]

Steg 4 — Tolk fortegnet

Negativ derivert betyr at grafen synker i punktet.

Steg 5 — Konkluder

Ved \(x=0\) synker grafen til \(f\).

Tolkning

Den momentane vekstfarten er negativ i \(x=0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols("x")
f = x**3 - x**2 - x + 3
fp = diff(f, x)
print(fp, fp.subs(x, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Bruk den deriverte

Fra forrige deloppgave har vi \[f^{\prime}\left(x\right)=3x^2-2x-1.\]

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

Ekstremalpunkter kan oppstå når \[3x^2-2x-1=0.\]

Steg 3 — Faktoriser

\[3x^2-2x-1=\left(3x+1\right)\left(x-1\right).\]

Steg 4 — Finn kritiske \(x\)-verdier

\[x=-\dfrac{1}{3}\quad \text{eller}\quad x=1.\]

Steg 5 — Klassifiser med andrederivert

\[f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-2.\] Da er \(f^{\prime\prime}\left(-\dfrac{1}{3}\right)<0\) og \(f^{\prime\prime}\left(1\right)>0\).

Steg 6 — Konkluder

Det er toppunkt ved \(x=-\dfrac{1}{3}\) og bunnpunkt ved \(x=1\).

Tolkning

Den deriverte skifter fortegn i de kritiske punktene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols("x")
f = x**3 - x**2 - x + 3
print(solve(diff(f, x), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Finn skjæring med \(x\)-aksen

Grafen skjærer \(x\)-aksen når \(g\left(x\right)=0\).

Steg 2 — Sett telleren lik null

For en brøk er verdien null når telleren er null: \[2x-3=0.\]

Steg 3 — Løs for \(x\)

\[x=\dfrac{3}{2}.\] Skjæringspunktet er \(\left(\dfrac{3}{2},0\right)\).

Steg 4 — Finn skjæring med \(y\)-aksen

Sett \(x=0\): \[g\left(0\right)=\dfrac{-3}{1}=-3.\]

Steg 5 — Skriv punktet

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen er \(\left(0,-3\right)\).

Tolkning

Skjæringene kommer fra henholdsvis \(g\left(x\right)=0\) og \(x=0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
g = (2*x - 3)/(x + 1)
print(solve(g, x), g.subs(x, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Finn vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x+1=0\), altså \[x=-1.\]

Steg 2 — Finn horisontal asymptote

Gradene i teller og nevner er like. Forholdet mellom ledende koeffisienter er \[\dfrac{2}{1}=2.\] Dermed er \(y=2\) horisontal asymptote.

Steg 3 — Bruk skjæringspunktene

Fra forrige deloppgave har vi \(\left(\dfrac{3}{2},0\right)\) og \(\left(0,-3\right)\).

Steg 4 — Plasser asymptotene

Tegn en stiplet linje ved \(x=-1\) og en stiplet linje ved \(y=2\).

Steg 5 — Skisser greinene

Grafen nærmer seg asymptotene, men skjærer dem ikke.

Tolkning

Skissen skal vise to greiner som nærmer seg asymptotene og går gjennom skjæringspunktene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit, oo
x = symbols("x")
g = (2*x - 3)/(x + 1)
print(limit(g, x, oo), limit(g, x, -1, dir="+"))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Start med toppen

Første rad er \(1\).

Steg 2 — Bruk regelen for nye tall

Hvert indre tall er summen av de to tallene rett over.

Steg 3 — Skriv radene

Radene blir \[1\] \[1\quad 1\] \[1\quad 2\quad 1\] \[1\quad 3\quad 3\quad 1\] \[1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\] \[1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\]

Steg 4 — Kontroller symmetri

Hver rad er symmetrisk om midten.

Steg 5 — Kontroller summer

Summene er \(1,2,4,8,16,32\), altså potenser av \(2\).

Tolkning

Radene viser kombinasjonstallene \(\binom{n}{r}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
for n in range(6):
    print([comb(n, r) for r in range(n+1)])

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Avgjør modell

Rekkefølgen på flaskene spiller ingen rolle, derfor bruker vi kombinasjoner.

Steg 2 — Identifiser antall

Erik velger \(3\) flasker av \(5\).

Steg 3 — Bruk kombinasjonsformelen

\[\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!\left(5-3\right)!}.\]

Steg 4 — Regn ut

\[\binom{5}{3}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10.\]

Steg 5 — Tolk

Det finnes \(10\) ulike utvalg av tre flasker.

Tolkning

Det er \(10\) kombinasjoner når rekkefølgen ikke betyr noe.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print(comb(5, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Bruk gunstige over mulige

Alle utvalg av \(3\) flasker fra \(5\) er like sannsynlige.

Steg 2 — Finn mulige utvalg

Fra deloppgave b er antall mulige \(\binom{5}{3}=10\).

Steg 3 — Tell gunstige utvalg

Cola må være med, og de to andre velges blant de fire øvrige: \[\binom{4}{2}=6.\]

Steg 4 — Lag sannsynligheten

\[P=\dfrac{6}{10}.\]

Steg 5 — Forkort

\[P=\dfrac{3}{5}=0{,}60.\]

Tolkning

Det er \(60\,\%\) sannsynlighet for at cola er blant de tre valgte flaskene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
print(Fraction(comb(4,2), comb(5,3)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Ikke-negative arealer

Areal kan ikke være negativt, derfor \[x\ge 0,\qquad y\ge 0.\]

Steg 2 — Bruk totalt areal

Bonden har \(15\) dekar, derfor \[x+y\le 15.\]

Steg 3 — Skriv tidskravet

Gulrøtter tar \(5\) timer per dekar og poteter \(2{,}5\) timer per dekar: \[5x+2{,}5y\le 50.\]

Steg 4 — Forenkle tidsulikheten

Del alle ledd på \(2{,}5\): \[2x+y\le 20.\]

Steg 5 — Samle modellen

Ulikhetene beskriver alle mulige fordelinger av areal og tid.

Tolkning

Ulikhetene kommer fra areal, tid og at ingen arealer kan være negative.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
x,y = symbols("x y")
print(simplify((5*x + 2.5*y)/2.5))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Tegn aksene

Fordi \(x\ge 0\) og \(y\ge 0\), ligger området i første kvadrant.

Steg 2 — Tegn linjen \(x+y=15\)

Linjen skjærer aksene i \(\left(15,0\right)\) og \(\left(0,15\right)\).

Steg 3 — Tegn linjen \(2x+y=20\)

Linjen skjærer aksene i \(\left(10,0\right)\) og \(\left(0,20\right)\).

Steg 4 — Finn skjæringen mellom linjene

\[x+y=15,\quad 2x+y=20\Rightarrow x=5,\ y=10.\]

Steg 5 — Skraver riktig side

Skraver området under begge linjene i første kvadrant.

Tolkning

Mulighetsområdet består av alle punkter som oppfyller alle ulikhetene samtidig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x,y = symbols("x y")
print(solve([x+y-15, 2*x+y-20], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Sett opp målfunksjonen

Inntekten er \[I\left(x,y\right)=12000x+8000y.\]

Steg 2 — Bruk hjørnepunktene

En lineær funksjon får maksimum i et hjørne av mulighetsområdet.

Steg 3 — Regn inntekt i hjørnene

\[I\left(0,0\right)=0,\quad I\left(0,15\right)=120000.\]

Steg 4 — Regn videre

\[I\left(5,10\right)=12000\cdot 5+8000\cdot 10=140000.\]

Steg 5 — Siste hjørne

\[I\left(10,0\right)=120000.\]

Steg 6 — Velg størst verdi

Størst inntekt er \(140\ 000\) kroner ved \(x=5\) og \(y=10\).

Tolkning

Den beste kombinasjonen ligger i skjæringen mellom arealkravet og tidskravet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

vertices = [(0,0),(0,15),(5,10),(10,0)]
for x,y in vertices:
    print((x,y), 12000*x + 8000*y)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Skriv \(4^x\) som potens av \(2\)

\[4^x=\left(2^2\right)^x=2^{2x}=\left(2^x\right)^2.\]

Steg 2 — Innfør substitusjon

Sett \(u=2^x\). Da blir likningen \[u^2-6u+8=0.\]

Steg 3 — Faktoriser andregradslikningen

\[u^2-6u+8=\left(u-2\right)\left(u-4\right).\]

Steg 4 — Finn \(u\)

\[u=2 \quad \text{eller}\quad u=4.\]

Steg 5 — Gå tilbake til \(x\)

\[2^x=2\Rightarrow x=1,\qquad 2^x=4\Rightarrow x=2.\]

Tolkning

Begge løsningene gjør den opprinnelige likningen lik null.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve(4**x - 6*2**x + 8, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Velg modell

Vi trekker uten tilbakelegging, derfor bruker vi hypergeometrisk modell.

Steg 2 — Tell alle mulige utvalg

Totalt kan \(6\) elever velges fra \(25\): \[\binom{25}{6}.\]

Steg 3 — Tell gunstige utvalg

Vi må velge \(3\) av \(10\) gutter og \(3\) av \(15\) jenter: \[\binom{10}{3}\binom{15}{3}.\]

Steg 4 — Sett opp sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{10}{3}\binom{15}{3}}{\binom{25}{6}}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[P=\dfrac{78}{253}\approx 0{,}308.\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(30{,}8\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P = Fraction(comb(10,3)*comb(15,3), comb(25,6))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Bruk komplement

Det motsatte av både gutter og jenter er at alle er gutter eller alle er jenter.

Steg 2 — Tell alle utvalg

Totalt antall utvalg er \(\binom{25}{6}\).

Steg 3 — Tell utvalg med bare gutter

\[\binom{10}{6}.\]

Steg 4 — Tell utvalg med bare jenter

\[\binom{15}{6}.\]

Steg 5 — Sett opp og regn

\[P=1-\dfrac{\binom{10}{6}+\binom{15}{6}}{\binom{25}{6}}=\dfrac{4911}{5060}\approx 0{,}971.\]

Tolkning

Det er svært sannsynlig at begge kjønn blir representert når seks elever trekkes.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P = Fraction(1,1) - Fraction(comb(10,6)+comb(15,6), comb(25,6))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Fest Geir i utvalget

Geir skal være med, så én av de tre guttene er allerede bestemt.

Steg 2 — Velg de to andre guttene

De velges blant de \(9\) andre guttene: \[\binom{9}{2}.\]

Steg 3 — Velg jentene

De \(3\) jentene velges blant \(15\): \[\binom{15}{3}.\]

Steg 4 — Del på alle mulige utvalg

\[P=\dfrac{\binom{9}{2}\binom{15}{3}}{\binom{25}{6}}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[P=\dfrac{117}{1265}\approx 0{,}0925.\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(9{,}25\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P = Fraction(comb(9,2)*comb(15,3), comb(25,6))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Gjør om høyde til meter

\(177\) cm er \(1{,}77\) m.

Steg 2 — Bruk formelen

\[\mathrm{BMI}=\dfrac{m}{h^2}.\]

Steg 3 — Sett inn verdiene

\[\mathrm{BMI}=\dfrac{78}{1{,}77^2}.\]

Steg 4 — Regn ut nevneren

\[1{,}77^2=3{,}1329.\]

Steg 5 — Regn BMI

\[\mathrm{BMI}\approx 24{,}9.\]

Tolkning

Personens BMI er omtrent \(24{,}9\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(78/1.77**2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Start med formelen

\[28=\dfrac{85}{h^2}.\]

Steg 2 — Multipliser med \(h^2\)

\[28h^2=85.\]

Steg 3 — Isoler \(h^2\)

\[h^2=\dfrac{85}{28}.\]

Steg 4 — Ta positiv kvadratrot

Høyde må være positiv: \[h=\sqrt{\dfrac{85}{28}}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[h\approx 1{,}74.\]

Tolkning

Personen er omtrent \(174\) cm høy.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import sqrt
print(sqrt(85/28))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Definer variabler

La Terje ha vekt \(m\) kg og høyde \(h\) m.

Steg 2 — Skriv Terjes BMI

\[\dfrac{m}{h^2}=28.\]

Steg 3 — Skriv Sveins vekt og høyde

Svein har vekt \(m+4\) og høyde \(h+0{,}04\).

Steg 4 — Skriv Sveins BMI

\[\dfrac{m+4}{\left(h+0{,}04\right)^2}=28.\]

Steg 5 — Løs systemet i CAS

CAS gir \[h=\dfrac{309}{175}\approx 1{,}766,\qquad m\approx 87{,}3.\]

Steg 6 — Finn Svein

Svein har høyde \(1{,}806\) m og vekt \(91{,}3\) kg.

Tolkning

Begge verdiene gir BMI \(28\) når de settes inn i formelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
h,m = symbols("h m")
sol = solve([Eq(m/h**2, 28), Eq((m+4)/(h+Rational(4,100))**2, 28)], [h,m])
print(sol)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Velg variabel

La \(x\) være antall år etter 1998, og la \(L\left(x\right)\) være månedslønn.

Steg 2 — Bruk punktene

Punktene er \(\left(0,21600\right)\), \(\left(2,23600\right)\), \(\left(4,26350\right)\), \(\left(6,28250\right)\), \(\left(8,30550\right)\), \(\left(10,34250\right)\).

Steg 3 — Velg eksponentialmodell

Vi bruker \[L\left(x\right)=a\cdot b^x.\]

Steg 4 — Kjør regresjon

Eksponentialregresjon gir omtrent \[L\left(x\right)=21650\cdot 1{,}0460^x.\]

Steg 5 — Finn prosentvis vekst

Vekstfaktoren \(1{,}0460\) betyr årlig vekst på \[\left(1{,}0460-1\right)\cdot 100\,\%\approx 4{,}6\,\%.\]

Tolkning

Modellen sier at lønnen øker med omtrent \(4{,}6\,\%\) per år i perioden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
x = np.array([0,2,4,6,8,10], dtype=float)
y = np.array([21600,23600,26350,28250,30550,34250], dtype=float)
B, A = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
a = np.exp(A); b = np.exp(B)
print(a, b, (b-1)*100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Finn \(x\)-verdien

Året 2015 er \(2015-1998=17\) år etter 1998.

Steg 2 — Bruk modellen

\[L\left(x\right)=21650\cdot 1{,}0460^x.\]

Steg 3 — Sett inn \(x=17\)

\[L\left(17\right)=21650\cdot 1{,}0460^{17}.\]

Steg 4 — Regn ut

\[L\left(17\right)\approx 46500.\]

Steg 5 — Tolk

Modellen predikerer en månedslønn på omtrent \(46\ 500\) kroner i 2015.

Tolkning

Dette er en modellverdi, ikke en eksakt observert lønn.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

a = 21649.89995671162
b = 1.046012100175014
print(a*b**17)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Bruk startverdien

I 1998 var månedslønnen \(21600\) kroner.

Steg 2 — Finn vekstfaktoren

En årlig økning på \(2{,}5\,\%\) gir vekstfaktor \[1+0{,}025=1{,}025.\]

Steg 3 — Lag modellen

\[P\left(x\right)=21600\cdot 1{,}025^x.\]

Steg 4 — Forklar variabelen

Her er \(x\) antall år etter 1998.

Steg 5 — Tolk modellen

Modellen beskriver hva månedslønnen ville vært dersom den bare fulgte prisveksten.

Tolkning

Denne modellen har lavere vekst enn regresjonsmodellen i oppgave a.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols("x")
print("P(x) = 21600*1.025**x")

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Skriv likningen

Vi skal løse \[21650\cdot 1{,}0460^x=21600\cdot 1{,}025^x+10000.\]

Steg 2 — Bruk digital løsning

Denne likningen løses mest presist med CAS eller numerisk løser.

Steg 3 — Løs for \(x\)

CAS gir \[x\approx 13{,}89.\]

Steg 4 — Gjør om til år

\[1998+13{,}89\approx 2011{,}89.\]

Steg 5 — Tolk kalenderår

Forskjellen passerer \(10\ 000\) kroner mot slutten av 2011, altså omtrent i \(2012\).

Tolkning

Modellen passerer grensen sent i 2011, så nærmeste hele kalenderår er 2012.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, nsolve
x = symbols("x")
sol = nsolve(21649.89995671162*(1.046012100175014**x) - 21600*(1.025**x) - 10000, 14)
print(sol, 1998 + float(sol))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Forstå rektangelet

Bredden til rektangelet er \(x\).

Steg 2 — Finn høyden

Punktet \(B\) ligger på grafen, derfor er høyden \(f\left(x\right)\).

Steg 3 — Bruk arealformelen

Arealet er bredde ganger høyde: \[F\left(x\right)=x\cdot f\left(x\right).\]

Steg 4 — Sett inn funksjonen

\[F\left(x\right)=x\cdot \dfrac{5}{x^2+2}.\]

Steg 5 — Forenkle

\[F\left(x\right)=\dfrac{5x}{x^2+2}.\]

Tolkning

Arealfunksjonen kommer direkte fra bredde multiplisert med høyde.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
x = symbols("x")
print(simplify(x*5/(x**2 + 2)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Sett arealet lik \(1\)

\[\dfrac{5x}{x^2+2}=1.\]

Steg 2 — Multipliser med nevneren

\[5x=x^2+2.\]

Steg 3 — Flytt alt til én side

\[x^2-5x+2=0.\]

Steg 4 — Bruk graftegner

Skjæringspunktene mellom \(F\left(x\right)\) og linjen \(y=1\) gir to positive løsninger.

Steg 5 — Les av eller beregn

\[x\approx 0{,}44\quad \text{eller}\quad x\approx 4{,}56.\]

Tolkning

Det finnes to rektangler med areal \(1{,}0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Eq
x = symbols("x")
print(solve(Eq(5*x/(x**2 + 2), 1), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Start med arealfunksjonen

\[F\left(x\right)=\dfrac{5x}{x^2+2},\qquad x>0.\]

Steg 2 — Deriver med CAS

\[F^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{5\left(2-x^2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}.\]

Steg 3 — Sett den deriverte lik null

Telleren må være null: \[2-x^2=0.\]

Steg 4 — Bruk \(x>0\)

\[x=\sqrt{2}.\]

Steg 5 — Finn største areal

\[F\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{5\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^2+2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}.\]

Steg 6 — Numerisk verdi

\[\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\approx 1{,}77.\]

Tolkning

Arealet øker først og avtar etter \(x=\sqrt{2}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, simplify
x = symbols("x", positive=True)
F = 5*x/(x**2 + 2)
crit = solve(diff(F, x), x)
print(diff(F, x))
print(crit)
print(simplify(F.subs(x, sqrt(2))))