Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning. Først samler vi alle ledd på én side, deretter faktoriserer vi og bruker nullproduktregelen.

Steg 1 — Gang ut høyre side

\[x\left(x-5\right)=x^2-5x\]

Steg 2 — Skriv likningen med utgangsuttrykket

\[2x-10=x^2-5x\]

Steg 3 — Samle alt på høyre side

\[0=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10\]

Steg 4 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(10\) og sum \(-7\). Tallene er \(-5\) og \(-2\).

\[x^2-7x+10=\left(x-5\right)\left(x-2\right)\]

Steg 5 — Bruk nullproduktregelen

\[\left(x-5\right)\left(x-2\right)=0\]

Steg 6 — Løs hver faktor

\[x=5\quad \text{eller}\quad x=2\]

Tolkning

Likningen har to løsninger fordi andregradsuttrykket kan bli null for to ulike \(x\)-verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x=symbols("x")
print(solve(Eq(2*x-10, x*(x-5)), x))

Hva spør oppgaven om? Vi isolerer logaritmen, skriver om fra logaritmeform til potensform og kontrollerer definisjonsmengden.

Steg 1 — Sjekk definisjonskravet

Logaritmen krever \(\dfrac{x}{2}>0\), altså \(x>0\).

Steg 2 — Isoler logaritmen

\[\lg\left(\dfrac{x}{2}\right)+3=5 \quad \Rightarrow\quad \lg\left(\dfrac{x}{2}\right)=2\]

Steg 3 — Bruk definisjonen av \(\lg\)

Når \(\lg A=2\), betyr det at \(A=10^2\).

Steg 4 — Skriv som vanlig likning

\[\dfrac{x}{2}=10^2=100\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=200\]

Steg 6 — Kontroller definisjonskravet

\(200>0\), så løsningen er gyldig.

Tolkning

Verdien \(x=200\) gjør at \(x/2=100\), og \(\lg(100)=2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log
x=symbols("x")
print(solve(Eq(log(x/2,10)+3,5),x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kvadratsetningen for \((a-b)^2\), fordi \(995\) ligger nær \(1000\).

Steg 1 — Skriv tallet som differanse

\[995=1000-5\]

Steg 2 — Skriv produktet som kvadrat

\[995\cdot995=995^2=\left(1000-5\right)^2\]

Steg 3 — Bruk andre kvadratsetning

\[\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\]

Steg 4 — Sett inn \(a=1000\) og \(b=5\)

\[\left(1000-5\right)^2=1000^2-2\cdot1000\cdot5+5^2\]

Steg 5 — Regn ut

\[1000000-10000+25=990025\]

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Svaret skal være litt mindre enn \(1000^2=1000000\), og \(990025\) passer.

Tolkning

Kvadratsetningen gir produktet raskt uten lang multiplikasjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(995*995)

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker \(y\) ved hjelp av \(x\) fra den første likningen og setter dette inn i den andre.

Steg 1 — Løs første likning med hensyn på \(y\)

\[2x=y-4\quad \Rightarrow\quad y=2x+4\]

Steg 2 — Sett inn i andre likning

\[4x^2+3\left(2x+4\right)=12\]

Steg 3 — Forenkle

\[4x^2+6x+12=12\quad \Rightarrow\quad 4x^2+6x=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[2x\left(2x+3\right)=0\]

Steg 5 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=0\quad \text{eller}\quad x=-\dfrac{3}{2}\]

Steg 6 — Finn tilhørende \(y\)-verdier

\[x=0\Rightarrow y=4\]

\[x=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow y=2\left(-\dfrac{3}{2}\right)+4=1\]

Tolkning

Likningssystemet har to løsninger fordi innsettingen gir en andregradslikning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve([Eq(2*x,y-4), Eq(4*x**2+3*y,12)],[x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi samler logaritmene ved hjelp av produktregel og kvotientregel. Vi forutsetter at uttrykkene inne i logaritmene er positive.

Steg 1 — Bruk produktregelen på summen

\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\right)+\lg\left(a^2b^2\right)=\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2\right)\]

Steg 2 — Bruk kvotientregelen for subtraksjonen

\[\lg U-\lg V=\lg\left(\dfrac{U}{V}\right)\]

Steg 3 — Sett alt inn i én logaritme

\[\lg\left(\dfrac{\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2}{\dfrac{b}{a}}\right)\]

Steg 4 — Deling på \(\dfrac{b}{a}\) er multiplikasjon med \(\dfrac{a}{b}\)

\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2\cdot \dfrac{a}{b}\right)\]

Steg 5 — Forenkle faktorene

\[\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2\cdot \dfrac{a}{b}=a^5\]

Steg 6 — Skriv enklest mulig

\[\lg\left(a^5\right)=5\lg a\]

Tolkning

Uttrykket kan skrives som én logaritme, eller som \(5\lg a\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a,b=symbols("a b")
print(simplify((a**2/b)*(a**2*b**2)/(b/a)))

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer polynomet ledd for ledd.

Steg 1 — Deriver kubikkleddet

\[\left(-\dfrac{2}{3}x^3\right)\prime=-\dfrac{2}{3}\cdot3x^2=-2x^2\]

Steg 2 — Deriver andregradsleddet

\[\left(x^2\right)\prime=2x\]

Steg 3 — Deriver konstantleddet

\[2\prime=0\]

Steg 4 — Sett sammen

\[f\prime(x)=-2x^2+2x\]

Steg 5 — Faktoriser for senere bruk

\[f\prime(x)=2x\left(1-x\right)\]

Tolkning

Den deriverte forteller hvor grafen vokser og avtar.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, Rational
x=symbols("x")
f=-Rational(2,3)*x**3+x**2+2
print(diff(f,x))

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(f\prime(x)=0\), lager fortegnsvurdering og finner funksjonsverdiene.

Steg 1 — Bruk den deriverte

\[f\prime(x)=2x\left(1-x\right)\]

Steg 2 — Finn kritiske verdier

\[2x\left(1-x\right)=0\quad \Rightarrow\quad x=0\quad \text{eller}\quad x=1\]

Steg 3 — Fortegn for \(x<0\)

Da er \(2x<0\) og \(1-x>0\), så \(f\prime(x)<0\). Grafen avtar.

Steg 4 — Fortegn for \(0

Da er begge faktorene positive, så \(f\prime(x)>0\). Grafen vokser.

Steg 5 — Fortegn for \(x>1\)

Da er \(2x>0\), men \(1-x<0\), så \(f\prime(x)<0\). Grafen avtar.

Steg 6 — Klassifiser punktene

Ved \(x=0\) går grafen fra avtakende til voksende, altså bunnpunkt. Ved \(x=1\) går grafen fra voksende til avtakende, altså toppunkt.

Steg 7 — Finn funksjonsverdiene

\[f(0)=2\]

\[f(1)=-\dfrac{2}{3}+1+2=\dfrac{7}{3}\]

Tolkning

Grafen har et lokalt bunnpunkt i \((0,2)\) og et lokalt toppunkt i \(\left(1,\dfrac{7}{3}\right)\).

Vanlig feil: Å bare løse \(f\prime(x)=0\) uten fortegnsvurdering.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

1

Ekstremalpunkt(-(2/3)*x^3 + x^2 + 2)

→ \((0,2),\left(1,\dfrac{7}{3}\right)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, Rational
x=symbols("x")
f=-Rational(2,3)*x**3+x**2+2
crit=solve(diff(f,x),x)
print([(c, f.subs(x,c)) for c in crit])

Hva spør oppgaven om? Vi bruker verdien i \(x=3\), ekstremalpunktene og fortegnet til den deriverte til å begrunne antall nullpunkter.

Steg 1 — Regn ut \(f(3)\)

\[f(3)=-\dfrac{2}{3}\cdot27+3^2+2\]

Steg 2 — Forenkle

\[f(3)=-18+9+2=-7\]

Steg 3 — Bruk ekstremalpunktene

I b) fant vi bunnpunkt \((0,2)\) og toppunkt \(\left(1,\dfrac{7}{3}\right)\). Begge ligger over \(x\)-aksen.

Steg 4 — Bruk monotoni

Grafen avtar for \(x<0\), vokser for \(01\).

Steg 5 — Vurder venstre del

Siden bunnpunktet ved \(x=0\) ligger over \(x\)-aksen, kan grafen ikke ha nullpunkt for \(x\le1\).

Steg 6 — Vurder høyre del

For \(x>1\) avtar grafen. Siden \(f(1)=\dfrac{7}{3}>0\) og \(f(3)=-7<0\), må grafen krysse \(x\)-aksen nøyaktig én gang etter \(x=1\).

Tolkning

Funksjonen har bare ett nullpunkt, og det ligger mellom \(1\) og \(3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, nroots, Rational
x=symbols("x")
f=-Rational(2,3)*x**3+x**2+2
print(f.subs(x,3), nroots(f))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker multiplikasjonsprinsippet. Hver av de tre plassene kan fylles på fire måter.

Steg 1 — Tell valg for første plass

Første bokstav kan velges på \(4\) måter.

Steg 2 — Tell valg for andre plass

Siden gjentakelse er tillatt, kan andre bokstav også velges på \(4\) måter.

Steg 3 — Tell valg for tredje plass

Tredje bokstav kan også velges på \(4\) måter.

Steg 4 — Bruk multiplikasjonsprinsippet

\[4\cdot4\cdot4=4^3\]

Steg 5 — Regn ut

\[4^3=64\]

Tolkning

Det finnes \(64\) koder når gjentakelser er lov.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(4**3)

Hva spør oppgaven om? Nå kan ikke bokstaver gjentas. Antall muligheter synker for hver plass.

Steg 1 — Første plass

Vi kan velge blant \(4\) bokstaver.

Steg 2 — Andre plass

Etter at én bokstav er brukt, står \(3\) bokstaver igjen.

Steg 3 — Tredje plass

Etter to valg står \(2\) bokstaver igjen.

Steg 4 — Multipliser valgene

\[4\cdot3\cdot2=24\]

Steg 5 — Kontroller med permutasjonsnotasjon

Dette er \(P(4,3)=\dfrac{4!}{1!}=24\).

Tolkning

Det finnes \(24\) koder uten gjentakelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
print(math.factorial(4)//math.factorial(1))

Hva spør oppgaven om? Vi teller dette enklest som alle koder med gjentakelse minus kodene der alle tre bokstavene er ulike.

Steg 1 — Tell alle koder med gjentakelse

Fra a) har vi \(4^3=64\).

Steg 2 — Tell koder uten like bokstaver

Fra b) har vi \(4\cdot3\cdot2=24\).

Steg 3 — Bruk komplementet

«Minst to like» betyr alle koder bortsett fra dem der alle tre er forskjellige.

Steg 4 — Trekk fra

\[64-24=40\]

Steg 5 — Tolk resultatet

De \(40\) kodene inkluderer både koder med nøyaktig to like og koder med tre like.

Tolkning

Det finnes \(40\) koder som har minst to like bokstaver.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(4**3 - 4*3*2)

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(x=200\) inn i enhetskostnaden og ganger deretter med antall enheter.

Steg 1 — Sett inn \(x=200\)

\[E(200)=4\cdot200+1200+\dfrac{20000}{200}\]

Steg 2 — Regn hvert ledd

\[4\cdot200=800,\qquad \dfrac{20000}{200}=100\]

Steg 3 — Finn enhetskostnaden

\[E(200)=800+1200+100=2100\]

Steg 4 — Finn samlet produksjonskostnad

Samlet kostnad er antall enheter ganger kostnad per enhet.

\[200\cdot2100=420000\]

Steg 5 — Enhetskontroll

\(E(200)\) måles i kroner per enhet, mens totalen måles i kroner.

Tolkning

Ved produksjon av \(200\) enheter koster hver enhet \(2100\) kroner, og total kostnad er \(420000\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x=200
E=4*x+1200+20000/x
print(E, x*E)

Hva spør oppgaven om? Vi finner inntekt minus kostnad. Kostnaden må være samlet kostnad, ikke enhetskostnad.

Steg 1 — Skriv inntekten

Pris per enhet er \(2000\), så inntekten blir

\[I(x)=2000x\]

Steg 2 — Skriv samlet kostnad

Enhetskostnaden er \(E(x)\), så samlet kostnad er

\[K(x)=x\cdot E(x)\]

Steg 3 — Multipliser ut kostnaden

\[K(x)=x\left(4x+1200+\dfrac{20000}{x}\right)=4x^2+1200x+20000\]

Steg 4 — Overskudd er inntekt minus kostnad

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 5 — Sett inn

\[O(x)=2000x-\left(4x^2+1200x+20000\right)\]

Steg 6 — Forenkle

\[O(x)=-4x^2+800x-20000\]

Tolkning

Formelen viser at overskuddet er en andregradsfunksjon av produksjonsmengden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
x=symbols("x")
print(simplify(2000*x - x*(4*x+1200+20000/x)))

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer andregradsfunksjonen \(O(x)=-4x^2+800x-20000\). Siden koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, har grafen et toppunkt.

Steg 1 — Identifiser koeffisientene

\[O(x)=ax^2+bx+c\]

Her er \(a=-4\), \(b=800\) og \(c=-20000\).

Steg 2 — Bruk formelen for toppunktets \(x\)-verdi

\[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Steg 3 — Sett inn

\[x=-\dfrac{800}{2\cdot(-4)}=100\]

Steg 4 — Sjekk at dette er maksimum

Siden \(a=-4<0\), vender parabelen nedover. Toppunktet gir størst overskudd.

Steg 5 — Finn overskuddet ved behov

\[O(100)=-4\cdot100^2+800\cdot100-20000=20000\]

Tolkning

Størst overskudd oppnås ved produksjon av \(100\) enheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x=symbols("x")
O=-4*x**2+800*x-20000
crit=solve(diff(O,x),x)[0]
print(crit, O.subs(x,crit))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker definisjonen \(f\prime(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) og forenkler før vi setter \(h=0\).

Steg 1 — Skriv definisjonen

\[f\prime(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Steg 2 — Sett inn funksjonen

\[f\prime(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\left((x+h)^3-(x+h)\right)-\left(x^3-x\right)}{h}\]

Steg 3 — Gang ut \((x+h)^3\)

\[(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\]

Steg 4 — Forenkle telleren

\[x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h-x^3+x=3x^2h+3xh^2+h^3-h\]

Steg 5 — Faktoriser \(h\)

\[3x^2h+3xh^2+h^3-h=h\left(3x^2+3xh+h^2-1\right)\]

Steg 6 — Forkort \(h\)

\[\dfrac{h\left(3x^2+3xh+h^2-1\right)}{h}=3x^2+3xh+h^2-1\]

Steg 7 — Ta grenseverdien

\[f\prime(x)=\lim_{h\to0}\left(3x^2+3xh+h^2-1\right)=3x^2-1\]

Tolkning

Dette viser fra definisjonen at den deriverte av \(x^3-x\) er \(3x^2-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit
x,h=symbols("x h")
f=lambda z: z**3-z
print(limit((f(x+h)-f(x))/h,h,0))

Hva spør oppgaven om? Vi finner først den deriverte for momentan vekstfart, og deretter bruker vi sekantformelen for gjennomsnittlig vekstfart.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=2x+3\]

Steg 2 — Momentan vekstfart i \(x=2\)

\[f\prime(2)=2\cdot2+3=7\]

Steg 3 — Finn funksjonsverdiene i intervallet

\[f(1)=1^2+3\cdot1-5=-1\]

\[f(3)=3^2+3\cdot3-5=13\]

Steg 4 — Bruk formelen for gjennomsnittlig vekstfart

\[\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{13-(-1)}{2}\]

Steg 5 — Regn ut

\[\dfrac{14}{2}=7\]

Steg 6 — Sammenlikn

Begge vekstfartene blir \(7\).

Tolkning

I dette tilfellet er tangentens stigningstall i midtpunktet lik sekantens stigningstall over intervallet \([1,3]\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
x=symbols("x")
f=x**2+3*x-5
print(diff(f,x).subs(x,2))
print((f.subs(x,3)-f.subs(x,1))/(3-1))

Hva spør oppgaven om? Vi gjør samme beregning som i a), men med parameteren \(a\).

Steg 1 — Momentan vekstfart

\[f\prime(x)=2x+3\]

\[f\prime(a)=2a+3\]

Steg 2 — Skriv gjennomsnittlig vekstfart

\[\dfrac{f(a+1)-f(a-1)}{(a+1)-(a-1)}=\dfrac{f(a+1)-f(a-1)}{2}\]

Steg 3 — Regn ut \(f(a+1)\)

\[f(a+1)=(a+1)^2+3(a+1)-5=a^2+5a-1\]

Steg 4 — Regn ut \(f(a-1)\)

\[f(a-1)=(a-1)^2+3(a-1)-5=a^2+a-7\]

Steg 5 — Finn sekantstigningen

\[\dfrac{(a^2+5a-1)-(a^2+a-7)}{2}=\dfrac{4a+6}{2}=2a+3\]

Steg 6 — Kommenter

Den momentane og den gjennomsnittlige vekstfarten er like.

Tolkning

For en andregradsfunksjon er sekantstigningen over et symmetrisk intervall lik tangentstigningen i midtpunktet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a=symbols("a")
f=lambda z: z**2+3*z-5
print(simplify((f(a+1)-f(a-1))/2))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker eksponentiell vekst med vekstfaktor \(1+0{,}04=1{,}04\) i tre år.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[1+\dfrac{4}{100}=1{,}04\]

Steg 2 — Skriv modellen

\[K(t)=10000\cdot1{,}04^t\]

Steg 3 — Sett inn \(t=3\)

\[K(3)=10000\cdot1{,}04^3\]

Steg 4 — Regn ut

\[K(3)=11248{,}64\]

Steg 5 — Tolk med kroner

Beløpet avrundes naturlig til nærmeste øre.

Tolkning

Per har \(11248{,}64\) kroner på kontoen i dag.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(round(10000*1.04**3, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi løser eksponentiallikningen \(10000\cdot1{,}04^t=25000\) med logaritmer.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[10000\cdot1{,}04^t=25000\]

Steg 2 — Del på \(10000\)

\[1{,}04^t=2{,}5\]

Steg 3 — Ta logaritme på begge sider

\[\lg\left(1{,}04^t\right)=\lg(2{,}5)\]

Steg 4 — Bruk potensregelen

\[t\lg(1{,}04)=\lg(2{,}5)\]

Steg 5 — Løs for \(t\)

\[t=\dfrac{\lg(2{,}5)}{\lg(1{,}04)}\approx23{,}36\]

Steg 6 — Tolk svaret

Det tar omtrent \(23{,}4\) år fra innskuddet. Dersom renter bare godskrives én gang per år og målet er minst \(25000\) kroner etter en hel renteperiode, må man vente til år \(24\).

Tolkning

Den matematiske modellen gir omtrent \(23{,}4\) år fra innskuddet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
t=math.log(2.5)/math.log(1.04)
print(t)

Hva spør oppgaven om? Vi tar hensyn til at beløpet som allerede står på kontoen, også får rente i sju nye år. Det ekstra innskuddet får også samme vekstfaktor.

Steg 1 — Bruk beløpet på kontoen i dag

Fra a) har Per \(11248{,}64\) kroner i dag.

Steg 2 — La \(x\) være nytt innskudd i dag

Da står det \(11248{,}64+x\) kroner på kontoen rett etter innskuddet.

Steg 3 — Beløpet vokser i sju år

\[\left(11248{,}64+x\right)\cdot1{,}04^7=25000\]

Steg 4 — Isoler dagens totalbeløp

\[11248{,}64+x=\dfrac{25000}{1{,}04^7}\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=\dfrac{25000}{1{,}04^7}-11248{,}64\approx7749{,}31\]

Steg 6 — Kontroller retningen

Innskuddet i dag er mindre enn differansen opp til \(25000\), fordi også det nye innskuddet får renter.

Tolkning

Per må sette inn omtrent \(7749{,}31\) kroner i dag.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x=25000/(1.04**7)-10000*(1.04**3)
print(round(x,2))

Hva spør oppgaven om? Turen tar \(23\) min hvis bussen stopper nøyaktig \(3\) ganger. Antall stopp kan modelleres binomisk med \(n=10\) og \(p=0{,}40\).

Steg 1 — Definer variabelen

La \(X\) være antall stopp. Da er \(X\sim \mathrm{Bin}(10,0{,}40)\).

Steg 2 — Oversett tid til antall stopp

\[20+X=23\quad \Rightarrow\quad X=3\]

Steg 3 — Bruk binomisk formel

\[P(X=3)=\binom{10}{3}\cdot0{,}40^3\cdot0{,}60^7\]

Steg 4 — Regn ut kombinasjonsfaktoren

\[\binom{10}{3}=120\]

Steg 5 — Beregn sannsynligheten

\[P(X=3)\approx0{,}215\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(21{,}5\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
p=comb(10,3)*0.4**3*0.6**7
print(p)

Hva spør oppgaven om? Mindre enn \(25\) min betyr at antall stopp må være \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) eller \(4\).

Steg 1 — Bruk samme binomiske modell

\[X\sim \mathrm{Bin}(10,0{,}40)\]

Steg 2 — Oversett tidskravet

\[20+X<25\quad \Rightarrow\quad X<5\]

Steg 3 — Skriv som kumulativ sannsynlighet

\[P(X<5)=P(X\le4)\]

Steg 4 — Summer aktuelle verdier

\[P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}0{,}40^k0{,}60^{10-k}\]

Steg 5 — Beregn

\[P(X\le4)\approx0{,}633\]

Tolkning

Det er omtrent \(63{,}3\,\%\) sannsynlig at turen tar mindre enn \(25\) minutter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
p=sum(comb(10,k)*0.4**k*0.6**(10-k) for k in range(5))
print(p)

Hva spør oppgaven om? Dette er trekking uten tilbakelegging. Vi bruker komplementet: sannsynligheten for minst én uten billett er \(1\) minus sannsynligheten for at alle fem kontrollerte har billett.

Steg 1 — Identifiser gruppene

Det er \(4\) uten billett og \(26\) med billett.

Steg 2 — Bruk komplementet

\[P(\text{minst én uten billett})=1-P(\text{ingen uten billett})\]

Steg 3 — Tell alle utvalg

\[\binom{30}{5}\]

Steg 4 — Tell utvalg med bare betalende passasjerer

\[\binom{26}{5}\]

Steg 5 — Sett opp sannsynligheten

\[1-\dfrac{\binom{26}{5}}{\binom{30}{5}}\]

Steg 6 — Beregn

\[1-\dfrac{\binom{26}{5}}{\binom{30}{5}}\approx0{,}538\]

Tolkning

Sannsynligheten for at minst én uten billett blir kontrollert er omtrent \(53{,}8\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print(1-comb(26,5)/comb(30,5))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker digital potensregresjon på modellen \(h(t)=a\cdot t^b\), der \(t\) er tid i timer og \(h\) er vannstand i meter.

Steg 1 — Skriv inn datapunktene

\[(1,3{,}3),(2,4{,}2),(4,5{,}2),(6,6{,}0),(8,6{,}6),(10,7{,}1)\]

Steg 2 — Velg modelltype

For en kjegle er volum proporsjonalt med høyden i tredje potens, og siden volumet øker lineært med tid, er en potensmodell rimelig.

Steg 3 — Bruk potensregresjon

GeoGebra-kommandoen RegPot[liste1] gir en modell på formen \(a\cdot x^b\).

Steg 4 — Modell fra regresjon

\[h(t)\approx3{,}31\cdot t^{0{,}331}\]

Steg 5 — Kontroller mot tabellen

For \(t=10\) gir modellen omtrent \(7{,}1\) meter, som passer med tabellen.

Tolkning

En passende potensmodell er \(h(t)\approx3{,}31t^{0{,}331}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np, math
t=np.array([1,2,4,6,8,10], dtype=float)
h=np.array([3.3,4.2,5.2,6.0,6.6,7.1], dtype=float)
A=np.vstack([np.ones(len(t)), np.log(t)]).T
c=np.linalg.lstsq(A,np.log(h),rcond=None)[0]
print(math.exp(c[0]), c[1])

Hva spør oppgaven om? Tanken er full når vannstanden er \(10{,}0\) m. Vi løser \(h(t)=10\) og bruker deretter at pumpen fyller \(18\,\mathrm{m}^3\) per time.

Steg 1 — Bruk modellen fra a)

\[h(t)=3{,}31t^{0{,}331}\]

Steg 2 — Sett vannstanden lik tankhøyden

\[3{,}31t^{0{,}331}=10\]

Steg 3 — Løs digitalt

\[t\approx28{,}1\]

Steg 4 — Finn vannvolumet ved full tank

Pumpen fyller \(18\,\mathrm{m}^3\) per time, så

\[V\approx18\cdot28{,}1\approx506\]

Steg 5 — Enhetskontroll

Tiden måles i timer, og volumet måles i kubikkmeter.

Tolkning

Tanken er full etter omtrent \(28{,}1\) timer, og den rommer omtrent \(506\,\mathrm{m}^3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

a=3.310443050430849
b=0.33127613146204105
t=(10/a)**(1/b)
print(t, 18*t)

Hva spør oppgaven om? Fylletiden følger direkte av pumpens kapasitet. Høyden finner vi ved at like kjegler har volum som er proporsjonalt med tredje potens av lengdeskalaen.

Steg 1 — Finn fylletiden

\[t=\dfrac{1000}{18}\approx55{,}6\]

Steg 2 — Bruk volumet til den gamle tanken

Fra b) er gammelt volum omtrent \(506{,}5\,\mathrm{m}^3\) og høyden \(10{,}0\) m.

Steg 3 — Bruk skalering for like kjegler

\[\dfrac{1000}{506{,}5}=\left(\dfrac{H}{10}\right)^3\]

Steg 4 — Løs for ny høyde

\[H=10\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1000}{506{,}5}}\]

Steg 5 — Beregn

\[H\approx12{,}5\]

Steg 6 — Tolk

Høyden øker mindre enn volumet fordi volumet skalerer med tredje potens av lengden.

Tolkning

Den nye tanken fylles på omtrent \(55{,}6\) timer og blir omtrent \(12{,}5\) m høy.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

oldV=506.4756421495941
print(1000/18)
print(10*(1000/oldV)**(1/3))

Hva spør oppgaven om? Vi tolker \(s\) som avstanden fra A til møtepunktet. Første bil starter med en gang, mens den andre bilen starter \(20\) minutter, altså \(\dfrac{1}{3}\) time, senere.

Steg 1 — Første bil

Farten er \(60\,\mathrm{km/h}\), og tiden er \(t\) timer. Avstanden fra A blir

\[s=60t\]

Steg 2 — Andre bils kjøretid

Den andre bilen starter \(20\) min senere. Siden \(20\) min er \(\dfrac{1}{3}\) time, har den kjørt i \(t-\dfrac{1}{3}\) timer.

Steg 3 — Avstand fra B

Bilen fra B kjører da

\[40\left(t-\dfrac{1}{3}\right)\]

kilometer fra B.

Steg 4 — Avstand fra A til samme punkt

Totalavstanden er \(200\) km, så avstanden fra A er

\[s=200-40\left(t-\dfrac{1}{3}\right)\]

Steg 5 — Møtepunkt

Når bilene møtes, beskriver begge uttrykk samme avstand \(s\) fra A.

Tolkning

Likningssystemet beskriver samme møtepunkt målt fra A med to ulike bilbevegelser.

Hva spør oppgaven om? Vi setter de to uttrykkene for \(s\) lik hverandre og løser for \(t\), før vi finner \(s\).

Steg 1 — Sett uttrykkene lik hverandre

\[60t=200-40\left(t-\dfrac{1}{3}\right)\]

Steg 2 — Gang ut parentesen

\[60t=200-40t+\dfrac{40}{3}\]

Steg 3 — Samle \(t\)-ledd

\[100t=200+\dfrac{40}{3}=\dfrac{640}{3}\]

Steg 4 — Løs for \(t\)

\[t=\dfrac{640}{300}=\dfrac{32}{15}\approx2{,}13\]

Steg 5 — Finn avstanden fra A

\[s=60\cdot\dfrac{32}{15}=128\]

Tolkning

Bilene møtes \(128\) km fra A.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
s,t=symbols("s t")
print(solve([Eq(s,60*t), Eq(s,200-40*(t-Rational(1,3)))],[s,t]))

Hva spør oppgaven om? Møte midt mellom byene betyr at begge skal være \(100\) km fra A. Først finner vi når bilen fra A kommer dit.

Steg 1 — Midtpunktet ligger \(100\) km fra A

Første bil kjører med \(60\,\mathrm{km/h}\).

Steg 2 — Finn tiden til første bil

\[100=60t\quad \Rightarrow\quad t=\dfrac{100}{60}=\dfrac{5}{3}\]

Steg 3 — Finn kjøretiden for bilen fra B

Den starter etter \(\dfrac{1}{3}\) time, så kjøretiden er

\[\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\]

Steg 4 — Den må kjøre \(100\) km

Fra B til midtpunktet er det også \(100\) km.

Steg 5 — Bruk \(v=\dfrac{s}{t}\)

\[v=\dfrac{100}{4/3}=75\]

Tolkning

Bilen fra B må holde \(75\,\mathrm{km/h}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
print(100/(Fraction(5,3)-Fraction(1,3)))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker båndbetingelsen til å uttrykke \(y\) ved hjelp av \(x\), og setter dette inn i volumformelen.

Steg 1 — Skriv båndbetingelsen

\[8x+4y=900\]

Steg 2 — Løs for \(y\)

\[4y=900-8x\quad \Rightarrow\quad y=225-2x\]

Steg 3 — Skriv volumformelen

Pakken har mål \(x\), \(x\) og \(y\), så

\[V=x^2y\]

Steg 4 — Sett inn uttrykket for \(y\)

\[V(x)=x^2(225-2x)\]

Steg 5 — Gang ut

\[V(x)=225x^2-2x^3\]

Steg 6 — Skriv i samme rekkefølge som i oppgaven

\[V(x)=-2x^3+225x^2\]

Tolkning

Volumet blir en tredjegradsfunksjon fordi grunnflaten er \(x^2\) og bredden avhenger lineært av \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
x=symbols("x")
print(expand(x**2*(225-2*x)))

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer \(V(x)=-2x^3+225x^2\) under betingelsen \(0

Steg 1 — Deriver volumfunksjonen

\[V\prime(x)=-6x^2+450x\]

Steg 2 — Faktoriser

\[V\prime(x)=-6x(x-75)\]

Steg 3 — Finn kritiske verdier

\[V\prime(x)=0\quad \Rightarrow\quad x=0\quad \text{eller}\quad x=75\]

Steg 4 — Velg relevant maksimum

\(x=0\) gir ingen pakke. For \(00\), og for \(75

Steg 5 — Finn \(y\)

\[y=225-2\cdot75=75\]

Steg 6 — Kommenter formen

Da er \(x=y=75\), så pakken blir en kube.

Steg 7 — Finn største volum

\[V(75)=75^3=421875\,\mathrm{cm}^3\]

Steg 8 — Gjør om til kubikkdesimeter

\[421875\,\mathrm{cm}^3=421{,}875\,\mathrm{dm}^3\]

Tolkning

Størst volum får vi når pakken er en kube med side \(75\) cm.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x=symbols("x")
V=-2*x**3+225*x**2
crit=solve(diff(V,x),x)
print(crit, V.subs(x,75), V.subs(x,75)/1000)

Hva spør oppgaven om? Vi kobler hver ulikhet til praktiske begrensninger og finner hjørnepunkter for området.

Steg 1 — Ikke-negative mengder

Man kan ikke produsere negative mengder, derfor må \(x\ge0\) og \(y\ge0\).

Steg 2 — Melbegrensning

Type A bruker \(0{,}60\) kg mel per kg og type B bruker \(0{,}20\) kg mel per kg. Tilgangen er \(800\) kg, derfor

\[0{,}60x+0{,}20y\le800\]

Steg 3 — Kjøttdeigbegrensning

Type A bruker \(0{,}40\) kg kjøttdeig per kg og type B bruker \(0{,}80\) kg per kg. Tilgangen er \(1000\) kg, derfor

\[0{,}40x+0{,}80y\le1000\]

Steg 4 — Skriv linjene enklere

\[3x+y\le4000\]

\[x+2y\le2500\]

Steg 5 — Finn skjæringspunktet mellom ressurslinjene

\[3x+y=4000,\quad x+2y=2500\]

Dette gir \((x,y)=(1100,700)\).

Steg 6 — Marker området

Området ligger i første kvadrant og under begge ressurslinjene.

Tolkning

Ulikhetene beskriver alle produksjonsmengder som ikke bruker mer råvarer enn butikken har tilgjengelig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve([Eq(3*x+y,4000), Eq(x+2*y,2500)],[x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer inntektsfunksjonen \(I=70x+110y\) over mulighetsområdet. For lineær optimering holder det å kontrollere hjørnepunktene.

Steg 1 — Skriv inntektsfunksjonen

\[I(x,y)=70x+110y\]

Steg 2 — Bruk hjørnepunktene

Fra a) er aktuelle hjørnepunkter \((0,0)\), \(\left(\dfrac{4000}{3},0\right)\), \((1100,700)\) og \((0,1250)\).

Steg 3 — Regn inntekt i punktene

Steg 4 — Velg størst verdi

Den største inntekten er \(154000\) kroner ved \((1100,700)\).

Steg 5 — Tolk produksjonsmengdene

Butikken bør produsere \(1100\) kg av type A og \(700\) kg av type B.

Tolkning

Maksimal salgsinntekt uten den nye totalbegrensningen er \(154000\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

verts=[(0,0),(4000/3,0),(1100,700),(0,1250)]
for v in verts:
    print(v, 70*v[0]+110*v[1])

Hva spør oppgaven om? Vi legger til den nye betingelsen \(x+y\le1500\) og maksimerer samme inntektsfunksjon over det nye området.

Steg 1 — Legg til ny begrensning

\[x+y\le1500\]

Steg 2 — Finn nye relevante hjørnepunkter

Det gamle optimale punktet \((1100,700)\) har \(x+y=1800\), så det er ikke lenger tillatt.

Steg 3 — Skjæring mellom \(x+2y=2500\) og \(x+y=1500\)

Subtraksjon gir \(y=1000\), og dermed \(x=500\). Punktet er \((500,1000)\).

Steg 4 — Skjæring mellom \(3x+y=4000\) og \(x+y=1500\)

Subtraksjon gir \(2x=2500\), altså \(x=1250\), og \(y=250\). Punktet er \((1250,250)\).

Steg 5 — Test relevante hjørner

Steg 6 — Velg størst verdi

Størst inntekt får vi ved \((500,1000)\).

Tolkning

Med den nye kapasitetsbegrensningen bør butikken produsere \(500\) kg type A og \(1000\) kg type B.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

verts=[(0,1250),(500,1000),(1250,250),(4000/3,0)]
for v in verts:
    print(v, 70*v[0]+110*v[1])