Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den momentane vekstfarten når \(x=2\).

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[(3x^2)'=6x,\qquad (-3x)'=-3,\qquad 1'=0\]

Steg 2 — Skriv den deriverte

\[f'(x)=6x-3\]

Steg 3 — Sett inn \(x=2\)

\[f'(2)=6\cdot2-3=9\]

Steg 4 — Kontroller betydningen

Verdien er stigningstallet til tangenten ved \(x=2\), ikke funksjonsverdien.

Steg 5 — Digital kontroll

CAS gir samme verdi.

Tolkning

Grafen har momentan vekstfart \(9\) når \(x=2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
f = 3*x**2 - 3*x + 1
print(diff(f, x).subs(x, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning ved regning.

Steg 1 — Gang ut

\[x(x+5)-10=x^2+5x-10\]

Steg 2 — Samle alt på én side

\[x^2+5x-10=4\quad\Rightarrow\quad x^2+5x-14=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+5x-14=(x+7)(x-2)\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[(x+7)(x-2)=0\]

Steg 5 — Løs faktorene

\[x=-7\quad\text{eller}\quad x=2\]

Tolkning

Begge verdier gjør venstre side lik \(4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x*(x+5)-10, 4), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at begge sider kan skrives som potenser med grunntall \(10\).

Steg 1 — Isoler potensen

\[10^{3x}=100000\]

Steg 2 — Skriv \(100000\) som potens

\[100000=10^5\]

Steg 3 — Sammenlikn eksponenter

\[3x=5\]

Steg 4 — Løs

\[x=\dfrac{5}{3}\]

Steg 5 — Kontroll

\[10^{3\cdot(5/3)}=10^5=100000\]

Tolkning

Eksponenten \(3x\) må være \(5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(10**(3*x)-100000, 0), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktene mellom to kurver.

Steg 1 — Bruk innsetting

Fra første likning er \(y=x^2+2\).

Steg 2 — Sett inn i andre likning

\[(x^2+2)+x^2=4\]

Steg 3 — Løs for \(x\)

\[2x^2+2=4\quad\Rightarrow\quad x^2=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm1\]

Steg 4 — Finn \(y\)

\[y=1^2+2=3\]

Steg 5 — Skriv punktene

\[(-1,3)\quad\text{og}\quad(1,3)\]

Tolkning

Likningssettet har to løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
print(solve([Eq(y, x**2 + 2), Eq(y + x**2, 4)], [x, y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere \(t\).

Steg 1 — Start med formelen

\[v=v_0+at\]

Steg 2 — Flytt \(v_0\)

\[v-v_0=at\]

Steg 3 — Del på \(a\)

\[t=\dfrac{v-v_0}{a}\]

Steg 4 — Vilkår

Dette krever \(a\ne0\).

Steg 5 — Kontroll

Setter vi uttrykket inn igjen, får vi \(v_0+a\cdot\dfrac{v-v_0}{a}=v\).

Tolkning

Tiden er fartsendring delt på akselerasjon.

Hva spør oppgaven om? Vi setter tallene inn i formelen fra a.

Steg 1 — Bruk formelen

\[t=\dfrac{v-v_0}{a}\]

Steg 2 — Sett inn

\[t=\dfrac{25-1}{3}\]

Steg 3 — Regn telleren

\[25-1=24\]

Steg 4 — Del

\[t=\dfrac{24}{3}=8\]

Steg 5 — Kontroll

\[1+3\cdot8=25\]

Tolkning

Det tar \(8\) tidsenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle en brøk med potenser.

Steg 1 — Regn tallpotensene

\[9^2=81\]

Steg 2 — Kvadrer nevneren

\[(3ab^2)^2=9a^2b^4\]

Steg 3 — Sett inn

\[\dfrac{81a^2b^3}{9a^2b^4}\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{81}{9}=9,\qquad \dfrac{a^2}{a^2}=1,\qquad \dfrac{b^3}{b^4}=\dfrac{1}{b}\]

Steg 5 — Skriv svaret

\[\dfrac{9}{b}\]

Tolkning

Uttrykket gjelder når nevneren ikke er null.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a, b = symbols('a b')
print(simplify(9**2*a**2*b**3/(3*a*b**2)**2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke logaritmereglene til å samle venstre side.

Steg 1 — Bruk produktregelen

\[\lg u+\lg v+\lg w=\lg(uvw)\]

Steg 2 — Samle venstre side

\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b^2}\cdot\dfrac{b^2}{a}\cdot(a+b)\right)\]

Steg 3 — Forkort produktet

\[\dfrac{a^2}{b^2}\cdot\dfrac{b^2}{a}=a\]

Steg 4 — Multipliser resten

\[a(a+b)=a^2+ab\]

Steg 5 — Konkluder

\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)+\lg\left(\dfrac{b^2}{a}\right)+\lg(a+b)=\lg(a^2+ab)\]

Tolkning

Likheten gjelder når alle logaritmene er definert.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a, b = symbols('a b')
print(simplify((a**2/b**2)*(b**2/a)*(a+b)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne intervallet der et andregradsuttrykk er ikke-negativt.

Steg 1 — Samle alt på én side

\[x^2+2x-x-6\ge0\]

Steg 2 — Forenkle

\[x^2+x-6\ge0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+x-6=(x+3)(x-2)\]

Steg 4 — Finn nullpunktene

\[x=-3\quad\text{og}\quad x=2\]

Steg 5 — Fortegn

Produktet er positivt eller null utenfor nullpunktene og negativt mellom dem.

Steg 6 — Skriv løsningen

\[x\le -3\quad\text{eller}\quad x\ge2\]

Tolkning

Parabelen ligger på eller over \(x\)-aksen på disse intervallene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(x**2 + 2*x >= x + 6, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at hvert tall i Pascals trekant er summen av de to tallene over.

Steg 1 — Bruk plasseringen til \(y\)

\[y=21+x\]

Steg 2 — Bruk plasseringen til \(126\)

\[y+2x=126\]

Steg 3 — Sett opp systemet

\[\left\{\begin{aligned}y&=21+x\\ y+2x&=126\end{aligned}\right.\]

Steg 4 — Sett inn

\[21+x+2x=126\]

Steg 5 — Løs

\[3x=105\quad\Rightarrow\quad x=35\]

Steg 6 — Finn \(y\)

\[y=21+35=56\]

Tolkning

Dette passer med radene der \(21+35=56\) og \(56+70=126\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
print(solve([Eq(y, 21+x), Eq(y + 2*x, 126)], [x, y]))

Hva spør oppgaven om? Vi løser \(f(x)=0\).

Steg 1 — Sett lik null

\[2x^3-6x^2=0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[2x^2(x-3)=0\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

\[2x^2=0\quad\text{eller}\quad x-3=0\]

Steg 4 — Finn \(x\)

\[x=0\quad\text{eller}\quad x=3\]

Steg 5 — Skriv punkter

\[(0,0)\quad\text{og}\quad(3,0)\]

Tolkning

Ved \(x=0\) har nullpunktet dobbelt faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(2*x**3 - 6*x**2, x))

Hva spør oppgaven om? Vi finner kritiske punkt og bruker fortegn til \(f'(x)\).

Steg 1 — Deriver

\[f'(x)=6x^2-12x\]

Steg 2 — Faktoriser

\[f'(x)=6x(x-2)\]

Steg 3 — Finn kritiske punkt

\[x=0\quad\text{eller}\quad x=2\]

Steg 4 — Fortegn

\(f'(x)>0\) for \(x<0\), \(f'(x)<0\) for \(00\) for \(x>2\).

Steg 5 — Klassifiser

Ved \(x=0\) går grafen fra voksende til avtakende. Ved \(x=2\) går den fra avtakende til voksende.

Steg 6 — Finn funksjonsverdiene

\[f(0)=0,\qquad f(2)=16-24=-8\]

Tolkning

Grafen har toppunkt \((0,0)\) og bunnpunkt \((2,-8)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 6*x**2
print([(c, f.subs(x, c)) for c in solve(diff(f, x), x)])

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke nullpunkter, ekstremalpunkter og vekstintervaller til å skissere grafen.

Steg 1 — Plasser nullpunktene

Nullpunktene er \((0,0)\) og \((3,0)\).

Steg 2 — Plasser ekstremalpunktene

Toppunktet er \((0,0)\), og bunnpunktet er \((2,-8)\).

Steg 3 — Bruk vekst

Grafen vokser før \(0\), avtar mellom \(0\) og \(2\), og vokser etter \(2\).

Steg 4 — Skisse

Steg 5 — Kontroll av endeadferd

Siden ledende ledd er \(2x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Tolkning

Skissen viser en tredjegradsfunksjon, ikke en parabel.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av asymptoter og skjæringspunkt fra grafen.

Steg 1 — Vertikal asymptote

Grafen har vertikal asymptote \(x=1\). Siden \(cx-1=0\), får vi \(x=\dfrac{1}{c}\), og dermed \(c=1\).

Steg 2 — Horisontal asymptote

Grafen har horisontal asymptote \(y=2\). For funksjonen er denne \(y=\dfrac{a}{c}\).

Steg 3 — Finn \(a\)

\[\dfrac{a}{1}=2\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Steg 4 — Bruk \(y\)-skjæringen

Grafen viser \(f(0)=-2\). Da er \[f(0)=\dfrac{b}{-1}=-b=-2\]

Steg 5 — Finn \(b\)

\[b=2\]

Steg 6 — Kontroll med nullpunkt

Med \(a=2\), \(b=2\), \(c=1\) blir telleren \(2x+2\), som har nullpunkt \(x=-1\), slik grafen viser.

Tolkning

Asymptotene bestemmer \(a\) og \(c\), og skjæringen med \(y\)-aksen bestemmer \(b\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit, oo
x = symbols('x')
f = (2*x + 2)/(x - 1)
print(f.subs(x, 0), limit(f, x, oo))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise den deriverte direkte fra definisjonen.

Steg 1 — Skriv definisjonen

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Steg 2 — Sett inn \(f(x)=x^2\)

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}\]

Steg 3 — Gang ut

\[(x+h)^2=x^2+2xh+h^2\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h\]

Steg 5 — Ta grenseverdien

\[\lim_{h\to0}(2x+h)=2x\]

Tolkning

Stigningstallet til tangenten til \(y=x^2\) er \(2x\).

Hva spør oppgaven om? Utvalget skjer uten tilbakelegging, derfor bruker vi hypergeometrisk modell.

Steg 1 — Definer modellen

Det er \(N=50\) lyspærer, \(K=7\) defekte og \(n=10\) trekk.

Steg 2 — Velg 2 defekte

Dette kan gjøres på \(\binom{7}{2}\) måter.

Steg 3 — Velg 8 ikke-defekte

Det finnes \(43\) ikke-defekte, så dette kan gjøres på \(\binom{43}{8}\) måter.

Steg 4 — Del på alle mulige utvalg

\[P(X=2)=\dfrac{\binom{7}{2}\binom{43}{8}}{\binom{50}{10}}\]

Steg 5 — Regn ut

\[P(X=2)\approx0{,}2964\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(29{,}6\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
P = comb(7,2)*comb(43,8)/comb(50,10)
print(P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(P(X\ge3)\) i samme hypergeometriske modell.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall defekte i utvalget på 10.

Steg 2 — Skriv hendelsen

\[P(X\ge3)=P(X=3)+P(X=4)+\cdots+P(X=7)\]

Steg 3 — Bruk hypergeometrisk formel

\[P(X\ge3)=\sum_{k=3}^{7}\dfrac{\binom{7}{k}\binom{43}{10-k}}{\binom{50}{10}}\]

Steg 4 — Regn digitalt

\[P(X\ge3)\approx0{,}1326\]

Steg 5 — Alternativ kontroll

Man kan også regne \(1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)\).

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(13{,}3\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
P = sum(comb(7,k)*comb(43,10-k)/comb(50,10) for k in range(3,8))
print(P)

Hva spør oppgaven om? Hver lyspære kan regnes som et uavhengig forsøk med sannsynlighet \(p=0{,}75\) for suksess.

Steg 1 — Modell

\[X\sim B(20,0{,}75)\]

Steg 2 — Formelen

\[P(X=18)=\binom{20}{18}0{,}75^{18}0{,}25^2\]

Steg 3 — Forklar faktorene

\(\binom{20}{18}\) velger hvilke 18 lyspærer som lyser.

Steg 4 — Regn ut

\[P(X=18)\approx0{,}06695\]

Steg 5 — Tolk prosent

Dette er omtrent \(6{,}7\ \%\).

Tolkning

Akkurat 18 er én bestemt verdi, ikke minst 18.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
P = comb(20,18)*0.75**18*0.25**2
print(P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere sannsynlighetene fra \(15\) til \(20\).

Steg 1 — Modell

\[X\sim B(20,0{,}75)\]

Steg 2 — Hendelsen

\[P(X\ge15)\]

Steg 3 — Sum

\[P(X\ge15)=\sum_{k=15}^{20}\binom{20}{k}0{,}75^k0{,}25^{20-k}\]

Steg 4 — Regn digitalt

\[P(X\ge15)\approx0{,}6172\]

Steg 5 — Prosent

Dette er omtrent \(61{,}7\ \%\).

Tolkning

Med \(p=0{,}75\) er det ikke garantert at minst 15 av 20 lyser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
P = sum(comb(20,k)*0.75**k*0.25**(20-k) for k in range(15,21))
print(P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(p\) slik at \(P(X\ge15)=0{,}95\) når \(X\sim B(20,p)\).

Steg 1 — Sett opp variabel modell

\[X\sim B(20,p)\]

Steg 2 — Kravet

\[P(X\ge15)\ge0{,}95\]

Steg 3 — Likningen for minste verdi

\[\sum_{k=15}^{20}\binom{20}{k}p^k(1-p)^{20-k}=0{,}95\]

Steg 4 — Løs numerisk

CAS gir \[p\approx0{,}86045\]

Steg 5 — Tolk som prosent

Hver lyspære må ha minst omtrent \(86{,}0\ \%\) sannsynlighet for å lyse i 1000 h.

Tolkning

Dette er et kvalitetskrav til hver enkelt lyspære.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
lo, hi = 0.0, 1.0
for _ in range(80):
    mid = (lo + hi)/2
    P = sum(comb(20,k)*mid**k*(1-mid)**(20-k) for k in range(15,21))
    if P >= 0.95:
        hi = mid
    else:
        lo = mid
print(hi)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge \(k\) slik at likningen stemmer når \(x=10\).

Steg 1 — Sett inn \(x=10\)

\[900\cdot1{,}10^{10}=1500\cdot k^{10}\]

Steg 2 — Isoler \(k^{10}\)

\[k^{10}=\dfrac{900}{1500}\cdot1{,}10^{10}\]

Steg 3 — Forenkle brøken

\[\dfrac{900}{1500}=0{,}6\]

Steg 4 — Ta tienderot

\[k=\sqrt[10]{0{,}6\cdot1{,}10^{10}}=1{,}10\cdot\sqrt[10]{0{,}6}\]

Steg 5 — Regn ut

\[k\approx1{,}04522\]

Tolkning

Vekstfaktoren \(k\) må være omtrent \(1{,}045\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

k = 1.10*(0.6**(1/10))
print(k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke bredden og høyden i rektangelet ved hjelp av \(x\).

Steg 1 — Finn bredden

Fordi parabelen er symmetrisk om \(y\)-aksen, har \(A\) førstekoordinat \(-x\) og \(B\) førstekoordinat \(x\). Bredden er derfor \(2x\).

Steg 2 — Finn høyden

Høyden er funksjonsverdien \[f(x)=6-\dfrac{1}{2}x^2\]

Steg 3 — Arealformel

\[F(x)=\text{bredde}\cdot\text{høyde}=2x\left(6-\dfrac{1}{2}x^2\right)\]

Steg 4 — Forenkle

\[F(x)=12x-x^3\]

Steg 5 — Bestem definisjonsmengden

Vi må ha \(x>0\) og høyden positiv: \[6-\dfrac{1}{2}x^2>0\quad\Rightarrow\quad x^2<12\quad\Rightarrow\quad x<2\sqrt{3}\]

Tolkning

Rektangelet finnes bare for \(0

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(F(x)=9\) i definisjonsmengden.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[12x-x^3=9\]

Steg 2 — Flytt alt til én side

\[x^3-12x+9=0\]

Steg 3 — Løs digitalt

Likningen har tre reelle røtter, men bare røtter i \(0

Steg 4 — Finn røttene

\[x\approx0{,}7913,\\ x=3,\\ x\approx-3{,}7913\]

Steg 5 — Velg gyldige røtter

Definisjonsmengden gir \(0

Tolkning

Det finnes ett smalt og ett bredere rektangel med areal \(9\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, nroots
x = symbols('x')
print(nroots(x**3 - 12*x + 9))

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer \(F(x)=12x-x^3\) på intervallet \(0

Steg 1 — Deriver

\[F'(x)=12-3x^2\]

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

\[12-3x^2=0\]

Steg 3 — Løs

\[x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=2\]

Steg 4 — Kontroller at verdien er gyldig

\(2\) ligger i \(0

Steg 5 — Finn arealet

\[F(2)=12\cdot2-2^3=24-8=16\]

Tolkning

Størst areal får vi når \(B\) har førstekoordinat \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
F = 12*x - x**3
crit = solve(diff(F, x), x)
print(crit, F.subs(x, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker omkretsen ved bredde \(2x\) og høyde \(6-\dfrac{1}{2}x^2\), og maksimerer.

Steg 1 — Skriv bredde og høyde

Bredden er \(2x\), og høyden er \(6-\dfrac{1}{2}x^2\).

Steg 2 — Lag omkretsfunksjonen

\[O(x)=2\left(2x+6-\dfrac{1}{2}x^2\right)\]

Steg 3 — Forenkle

\[O(x)=4x+12-x^2\]

Steg 4 — Deriver

\[O'(x)=4-2x\]

Steg 5 — Maksimer

\[4-2x=0\quad\Rightarrow\quad x=2\]

Steg 6 — Finn største omkrets

\[O(2)=8+12-4=16\]

Tolkning

Omkretsen og arealet blir begge størst ved \(x=2\), men dette er et resultat av akkurat denne funksjonen og figuren.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
O = 4*x + 12 - x**2
print(solve(diff(O, x), x), O.subs(x, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om første utsagn alltid fører til det andre.

Steg 1 — Løs \(x^2<4\)

\[x^2<4\quad\Rightarrow\quad -2

Steg 2 — Sammenlikn med konklusjonen

Alle tall i intervallet \(-2

Steg 3 — Vurder alle tilfeller

Det finnes ikke en \(x\)-verdi som oppfyller \(x^2<4\) uten også å oppfylle \(x>-2\).

Steg 4 — Konklusjon

Implikasjonen er riktig.

Steg 5 — Kontroll med eksempel

For eksempel gir \(x=-1\): \((-1)^2<4\) og \(-1>-2\).

Tolkning

Første utsagn er sterkere enn konklusjonen.

Hva spør oppgaven om? Den motsatte implikasjonen er \(x>-2\Rightarrow x^2<4\).

Steg 1 — Skriv motsatt implikasjon

\[x>-2\Rightarrow x^2<4\]

Steg 2 — Test med et moteksempel

Velg \(x=3\).

Steg 3 — Kontroller første utsagn

\[3>-2\]

Steg 4 — Kontroller konklusjonen

\[3^2=9\not<4\]

Steg 5 — Konkluder

Fordi vi fant et moteksempel, er den motsatte implikasjonen ikke riktig.

Tolkning

At \(x\) er større enn \(-2\) er ikke nok til å sikre at \(x\) ligger mellom \(-2\) og \(2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke digital regresjon, ikke tilpasse en funksjon for hånd.

Steg 1 — Legg inn data

Vi legger \(x\)-verdiene i én liste og kostnadene i en annen.

Steg 2 — Velg modell

Oppgaven ber om en tredjegradsmodell \(K(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).

Steg 3 — Utfør kubisk regresjon

Regresjon gir omtrent \[K(x)\approx0{,}00103x^3-0{,}31068x^2+30{,}743x+2{,}423\]

Steg 4 — Sammenlikn med modellen i resten av oppgaven

Den oppgitte funksjonen \[K(x)=0{,}001x^3-0{,}3x^2+30x\] er en avrundet og forenklet modell.

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Modellen gir \(K(0)\) nær \(0\) og høy kostnad nær \(x=250\), slik tabellen viser.

Tolkning

Tredjegradsmodellen beskriver at kostnadene først øker moderat og deretter raskere.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
x = np.array([0, 50, 90, 150, 180, 250], dtype=float)
y = np.array([0, 900, 1000, 1100, 1500, 4400], dtype=float)
print(np.polyfit(x, y, 3))

Hva spør oppgaven om? Overskudd betyr \(I(x)>K(x)\), og balanse betyr \(I(x)=K(x)\).

Steg 1 — Sett opp balanse

\[0{,}001x^3-0{,}3x^2+30x=15x\]

Steg 2 — Samle ledd

\[0{,}001x^3-0{,}3x^2+15x=0\]

Steg 3 — Faktoriser \(x\)

\[x(0{,}001x^2-0{,}3x+15)=0\]

Steg 4 — Finn balansepunktene

\[x=0,\qquad x=150-50\sqrt{3}\approx63{,}4,\qquad x=150+50\sqrt{3}\approx236{,}6\]

Steg 5 — Vurder fortegn

Tester vi for eksempel \(x=100\), får vi \(I(100)>K(100)\), så det er overskudd mellom de to positive balansepunktene.

Tolkning

Det er overskudd for omtrent \(63{,}4

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Eq
x = symbols('x')
K = 0.001*x**3 - 0.3*x**2 + 30*x
I = 15*x
print(solve(Eq(K, I), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal maksimere overskuddsfunksjonen \(O(x)=I(x)-K(x)\).

Steg 1 — Lag overskuddsfunksjonen

\[O(x)=15x-(0{,}001x^3-0{,}3x^2+30x)\]

Steg 2 — Forenkle

\[O(x)=-0{,}001x^3+0{,}3x^2-15x\]

Steg 3 — Deriver

\[O'(x)=-0{,}003x^2+0{,}6x-15\]

Steg 4 — Løs \(O'(x)=0\)

\[x=100\pm50\sqrt{2}\]

Steg 5 — Velg maksimum

\(x=100+50\sqrt{2}\approx170{,}7\) gir maksimum, mens \(x=100-50\sqrt{2}\) gir minimum.

Steg 6 — Finn overskuddet

\[O(170{,}7)\approx1207\]

Tolkning

Bakeriet bør lage omtrent \(171\) kaker per dag.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
x = 100 + 50*math.sqrt(2)
O = -0.001*x**3 + 0.3*x**2 - 15*x
print(x, O)

Hva spør oppgaven om? Balanse betyr \(px=K(x)\). Vi skal finne lavest mulig pris per kake som kan gi balanse.

Steg 1 — Sett opp balanse

\[px=0{,}001x^3-0{,}3x^2+30x\]

Steg 2 — Del på \(x\)

For \(x>0\): \[p=\dfrac{K(x)}{x}=0{,}001x^2-0{,}3x+30\]

Steg 3 — Minimer prisfunksjonen

\[p'(x)=0{,}002x-0{,}3\]

Steg 4 — Løs \(p'(x)=0\)

\[0{,}002x-0{,}3=0\quad\Rightarrow\quad x=150\]

Steg 5 — Finn minste pris

\[p(150)=0{,}001\cdot150^2-0{,}3\cdot150+30=7{,}5\]

Tolkning

Hvis prisen er \(7{,}50\) kroner, oppnås balanse ved \(150\) kaker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x = 150
p = 0.001*x**2 - 0.3*x + 30
print(p)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke både bærmengden og sukkermengden fullt ut.

Steg 1 — Definer variabler

La \(x\) være antall glass type 1 og \(y\) antall glass type 2.

Steg 2 — Bærlikning

\[0{,}90x+0{,}40y=20\]

Steg 3 — Sukkerlikning

\[0{,}10x+0{,}60y=5\]

Steg 4 — Multipliser med 10

\[9x+4y=200,\qquad x+6y=50\]

Steg 5 — Løs systemet

Fra \(x=50-6y\) får vi \(9(50-6y)+4y=200\), altså \(y=5\) og \(x=20\).

Tolkning

Silje bruker opp råvarene ved å lage 20 glass av type 1 og 5 glass av type 2.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
print(solve([Eq(0.9*x+0.4*y,20), Eq(0.1*x+0.6*y,5)], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne inntekten ved \((20,5)\), og deretter vise at dette er maksimum i det mulige området.

Steg 1 — Inntektsfunksjon

\[I(x,y)=80x+40y\]

Steg 2 — Inntekt i punktet fra a

\[I(20,5)=80\cdot20+40\cdot5=1800\]

Steg 3 — Begrensninger

\[0{,}9x+0{,}4y\le20,\qquad 0{,}1x+0{,}6y\le5,\qquad x\ge0,\ y\ge0\]

Steg 4 — Hjørnepunkter

De aktuelle hjørnepunktene er \((0,0)\), \(\left(\dfrac{200}{9},0\right)\), \((20,5)\) og \(\left(0,\dfrac{25}{3}\right)\).

Steg 5 — Test inntekten

Tolkning

Største verdi er \(1800\), så punktet \((20,5)\) er optimalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pts = [(0,0), (200/9,0), (20,5), (0,25/3)]
for x,y in pts:
    print((x,y), 80*x + 40*y)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sukkerprisen som gjør at type 2 koster 5 kroner mer per glass å produsere enn type 1.

Steg 1 — La sukkerprisen være \(s\)

Her er \(s\) kroner per kilogram sukker.

Steg 2 — Kostnad for type 1

Type 1 har \(0{,}9\) kg bær og \(0{,}1\) kg sukker:

\[C_1=0{,}9\cdot30+0{,}1s=27+0{,}1s\]

Steg 3 — Kostnad for type 2

Type 2 har \(0{,}4\) kg bær og \(0{,}6\) kg sukker:

\[C_2=0{,}4\cdot30+0{,}6s=12+0{,}6s\]

Steg 4 — Bruk kravet

Type 2 skal koste 5 kroner mer enn type 1:

\[12+0{,}6s=27+0{,}1s+5\]

Steg 5 — Løs

\[12+0{,}6s=32+0{,}1s\quad\Rightarrow\quad0{,}5s=20\quad\Rightarrow\quad s=40\]

Tolkning

Sukkerprisen må være \(40\) kroner per kilogram. Type 2 blir dyrere fordi den inneholder mer sukker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
s = symbols('s')
print(solve(Eq(12 + 0.6*s, 27 + 0.1*s + 5), s))