Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning. Først samler vi alle ledd på én side, deretter faktoriserer vi og bruker nullproduktregelen.

Steg 1 — Flytt alt til venstre side

\[x^2+2x-8=0\]

Steg 2 — Faktoriser uttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-8\) og sum \(2\). Tallene er \(4\) og \(-2\).

\[x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

\[(x+4)(x-2)=0\]

Steg 4 — Løs hver faktor

\[x+4=0\quad \text{eller}\quad x-2=0\]

Steg 5 — Skriv løsningene

\[x=-4\quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 6 — Kontroller i opprinnelig likning

For \(x=2\): \(4+4=8\). For \(x=-4\): \(16-8=8\).

Tolkning

Likningen har to reelle løsninger, og begge tilfredsstiller den opprinnelige likningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols("x")
print(solve(Eq(x**2 + 2*x, 8), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skriver begge sider som potenser med grunntall \(3\). Da kan vi sammenlikne eksponentene.

Steg 1 — Skriv \(3\) som potens

\[3=3^1\]

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[3\cdot3^x=3^1\cdot3^x=3^{x+1}\]

Steg 3 — Skriv høyre side som potens

\[27=3^3\]

Steg 4 — Sett eksponentene lik hverandre

\[3^{x+1}=3^3\quad \Rightarrow\quad x+1=3\]

Steg 5 — Løs den lineære likningen

\[x=2\]

Steg 6 — Kontroll

\[3\cdot3^2=3\cdot9=27\]

Tolkning

Løsningen betyr at potensen \(3^x\) må være \(9\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols("x")
print(solve(Eq(3*3**x, 27), x))

Hva spør oppgaven om? Vi isolerer logaritmen og bruker at \(\lg A=2\) betyr \(A=10^2\). Først må vi også huske definisjonsmengden.

Steg 1 — Finn definisjonskravet

Logaritmen krever \(x+1>0\), altså \(x>-1\).

Steg 2 — Del på \(2\)

\[\lg(x+1 ight)=2\]

Steg 3 — Gå fra logaritmeform til potensform

\[x+1=10^2\]

Steg 4 — Regn ut potensen

\[x+1=100\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=99\]

Steg 6 — Kontroll av definisjonsmengde og innsetting

\(99>-1\), og \(2\lg(100)=2\cdot2=4\).

Tolkning

Løsningen er gyldig fordi tallet inni logaritmen blir positivt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log
x = symbols("x")
print(solve(Eq(2*log(x + 1, 10), 4), x))

Hva spør oppgaven om? Vi finner først nullpunktene ved å løse \(f(x)=0\). Deretter finner vi kritiske punkter ved å bruke \(f\prime(x)=0\) og fortegn til den deriverte.

Steg 1 — Finn nullpunkter

\[x^3-3x=x(x^2-3)=0\]

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

\[x=0\quad \text{eller}\quad x^2=3\]

\[x=-\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}\]

Steg 3 — Skriv nullpunktene som koordinater

\[(-\sqrt{3},0 ight),\quad (0,0),\quad (\sqrt{3},0 ight)\]

Steg 4 — Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\]

Steg 5 — Finn kritiske \(x\)-verdier

\[3(x-1)(x+1)=0\quad \Rightarrow\quad x=-1\ \text{eller}\ x=1\]

Steg 6 — Lag fortegnsdrøfting

For \(x<-1\) er \(f\prime(x)>0\), for \(-11\) er \(f\prime(x)>0\). Derfor er \(x=-1\) et toppunkt og \(x=1\) et bunnpunkt.

Steg 7 — Finn \(y\)-verdiene

\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2\]

\[f(1)=1^3-3=-2\]

Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i tre punkter, har et toppunkt i \((-1,2)\) og et bunnpunkt i \((1,-2)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, factor
x = symbols("x")
f = x**3 - 3*x
print("null:", solve(f, x))
fp = diff(f, x)
print("fprime:", factor(fp))
print("kritiske:", solve(fp, x))
print(f.subs(x,-1), f.subs(x,1))

Hva spør oppgaven om? Skissen skal bygge på funnene fra del a: nullpunkter, toppunkt, bunnpunkt og fortegn for vekst.

Steg 1 — Marker nullpunktene

Grafen går gjennom \((-\sqrt{3},0 ight)\), \((0,0)\) og \((\sqrt{3},0 ight)\).

Steg 2 — Marker topp- og bunnpunkt

Toppunktet er \((-1,2)\), og bunnpunktet er \((1,-2)\).

Steg 3 — Bruk vekstintervallene

Grafen stiger før \(-1\), synker mellom \(-1\) og \(1\), og stiger etter \(1\).

Steg 4 — Tegn en myk tredjegradskurve

Steg 5 — Kontroller endene

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Tolkning

Skissen viser riktig kvalitativ form for \(f(x)=x^3-3x\).

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker \(y\) fra den lineære likningen og setter inn i den andre likningen.

Steg 1 — Løs den lineære likningen for \(y\)

\[y-2x=12\quad \Rightarrow\quad y=2x+12\]

Steg 2 — Sett uttrykket inn i den første likningen

\[(2x+12)-10x=x^2+28\]

Steg 3 — Forenkle venstre side

\[-8x+12=x^2+28\]

Steg 4 — Samle alt på én side

\[x^2+8x+16=0\]

Steg 5 — Faktoriser

\[(x+4)^2=0\quad \Rightarrow\quad x=-4\]

Steg 6 — Finn \(y\)

\[y=2(-4)+12=4\]

Steg 7 — Kontroll

\(4-10(-4)=44\), og \((-4)^2+28=44\). Dessuten er \(4-2(-4)=12\).

Tolkning

Systemet har én løsning. Geometrisk betyr det at linjen tangerer parabelen i punktet \((-4,4)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve([Eq(y-10*x, x**2+28), Eq(y-2*x, 12)], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere \(x\). Siden \(x\) står i andre potens, må vi ta kvadratrot til slutt.

Steg 1 — Start med likningen

\[3y=\dfrac{4x^2}{3}\]

Steg 2 — Multipliser med \(3\)

\[9y=4x^2\]

Steg 3 — Del på \(4\)

\[x^2=\dfrac{9y}{4}\]

Steg 4 — Ta kvadratrot

\[x=\pm\sqrt{\dfrac{9y}{4}}\]

Steg 5 — Forenkle roten

\[x=\pm\dfrac{3\sqrt{y}}{2}\]

Steg 6 — Vurder definisjonskrav

For reelle \(x\) må \(y\ge0\).

Tolkning

Det finnes vanligvis to \(x\)-verdier for samme positive \(y\), én positiv og én negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve(Eq(3*y, 4*x**2/3), x))

Hva spør oppgaven om? Vi innfører variabler for antall sekker og lager ett system for antall og ett for pris.

Steg 1 — Definer variablene

La \(b\) være antall sekker bjørkeved, og la \(g\) være antall sekker granved.

Steg 2 — Lag antallslikningen

\[b+g=20\]

Steg 3 — Lag prisslikningen

\[83b+65g=1570\]

Steg 4 — Bruk \(g=20-b\)

\[83b+65(20-b)=1570\]

Steg 5 — Løs for \(b\)

\[83b+1300-65b=1570\]

\[18b=270\]

\[b=15\]

Steg 6 — Finn \(g\)

\[g=20-15=5\]

Steg 7 — Kontroll

\(15\cdot83+5\cdot65=1245+325=1570\).

Tolkning

Harald kjøpte flest sekker bjørkeved, fordi bjørkeved var den dyreste typen og totalsummen ligger høyt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
b,g=symbols("b g")
print(solve([Eq(b+g,20), Eq(83*b+65*g,1570)], [b,g]))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker logaritmereglene til å samle uttrykket. Vi forutsetter at \(a>0\) og \(b>0\), slik at logaritmene er definert.

Steg 1 — Bruk potensregelen på første ledd

\[\lg((ab)^2 ight)=2\lg(ab)\]

Steg 2 — Del opp produktet

\[2\lg(ab)=2(\lg a+\lg b)=2\lg a+2\lg b\]

Steg 3 — Del opp brøken i siste ledd

\[\lg(\dfrac{a}{b^5} ight)=\lg a-\lg(b^5)=\lg a-5\lg b\]

Steg 4 — Sett inn i hele uttrykket

\[2\lg a+2\lg b+3\lg b-(\lg a-5\lg b)\]

Steg 5 — Samle like ledd

\[(2\lg a-\lg a)+(2\lg b+3\lg b+5\lg b)=\lg a+10\lg b\]

Steg 6 — Skriv som én logaritme

\[\lg a+10\lg b=\lg a+\lg(b^{10})=\lg(ab^{10} ight)\]

Tolkning

Uttrykket kan skrives kort som én logaritme, \(\lg(ab^{10} ight)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand_log, log
a,b=symbols("a b", positive=True)
expr = log((a*b)**2,10) + 3*log(b,10) - log(a/b**5,10)
print(expand_log(expr, force=True))

Hva spør oppgaven om? Vi utvider hvert produkt, passer på fortegnene og samler like ledd.

Steg 1 — Utvid kvadratet

\[(2x+3)^2=4x^2+12x+9\]

Steg 2 — Bruk konjugatsetningen

\[(2x-1)(2x+1)=4x^2-1\]

Steg 3 — Utvid siste produkt

\[(x-3)(x-1)=x^2-4x+3\]

Steg 4 — Sett inn med riktig fortegn

\[4x^2+12x+9-(4x^2-1)+x^2-4x+3\]

Steg 5 — Fjern parentesen etter minus

\[4x^2+12x+9-4x^2+1+x^2-4x+3\]

Steg 6 — Samle ledd

\[x^2+8x+13\]

Tolkning

Uttrykket blir et andregradsuttrykk etter at de høyeste leddene delvis kansellerer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
x=symbols("x")
expr=(2*x+3)**2-(2*x-1)*(2*x+1)+(x-3)*(x-1)
print(expand(expr))

Hva spør oppgaven om? Radene i Pascals trekant starter med rad \(0\). Hvert indre tall er summen av de to tallene over.

Steg 1 — Start med rad \(0\)

Rad \(0\) er bare \(1\).

Steg 2 — Bygg videre rad for rad

Hver rad starter og slutter med \(1\).

Steg 3 — Skriv de åtte første radene

Steg 4 — Kontroller ett tall

I rad \(5\) er tallet \(10\) summen av \(4\) og \(6\) fra raden over.

Steg 5 — Koble til binomialkoeffisienter

Tallet på plass \(k\) i rad \(n\) er \(\binom{n}{k}\), når vi teller fra \(k=0\).

Tolkning

De åtte første radene gir alle koeffisientene som trengs i neste deloppgave.

Hva spør oppgaven om? Vi leser koeffisientene fra riktig rad i Pascals trekant. I rad \(n\) ligger \(\binom{n}{k}\) på plass nummer \(k\), når første plass telles som \(k=0\).

Steg 1 — Les \(\binom{4}{0}\)

Rad \(4\) er \(1,4,6,4,1\). Første tall er \(\binom{4}{0}=1\).

Steg 2 — Les \(\binom{5}{2}\)

Rad \(5\) er \(1,5,10,10,5,1\). Plass \(2\) gir \(10\).

Steg 3 — Les \(\binom{5}{4}\)

I samme rad er plass \(4\) tallet \(5\).

Steg 4 — Les \(\binom{7}{5}\)

Rad \(7\) er \(1,7,21,35,35,21,7,1\). Plass \(5\) gir \(21\).

Steg 5 — Bruk symmetri som kontroll

\(\binom{5}{4}=\binom{5}{1}=5\), og \(\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21\).

Tolkning

Koeffisientene teller antall måter å velge \(k\) elementer fra \(n\) elementer uten rekkefølge.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print(comb(4,0), comb(5,2), comb(5,4), comb(7,5))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage tresifrede tall med tre ulike lapper. Rekkefølgen betyr noe, fordi for eksempel \(123\) og \(321\) er ulike tall.

Steg 1 — Velg hundrerplassen

Vi har \(8\) muligheter, siden alle lappene er nummerert fra \(1\) til \(8\).

Steg 2 — Velg tierplassen

Når én lapp er brukt, er det \(7\) lapper igjen.

Steg 3 — Velg enerplassen

Da er det \(6\) lapper igjen.

Steg 4 — Bruk multiplikasjonsprinsippet

\[8\cdot7\cdot6=336\]

Steg 5 — Kontroller modellvalget

Dette er permutasjon uten tilbakelegging, ikke kombinasjon, fordi rekkefølgen bestemmer tallet.

Tolkning

Vi kan lage \(336\) ulike tresifrede tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(8*7*6)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke definisjonen \(f\prime(x)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\), ikke derivasjonsregelen direkte.

Steg 1 — Skriv definisjonen

\[f\prime(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Steg 2 — Finn \(f(x+h)\)

\[f(x+h)=2(x+h)^2+1\]

Steg 3 — Sett inn i brøken

\[\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}\]

Steg 4 — Utvid og forenkle telleren

\[2(x^2+2xh+h^2)+1-2x^2-1=4xh+2h^2\]

Steg 5 — Forkort med \(h\)

\[\dfrac{4xh+2h^2}{h}=4x+2h\]

Steg 6 — Ta grenseverdien

\[f\prime(x)=\lim_{h\to0}(4x+2h)=4x\]

Tolkning

Definisjonen viser at stigningstallet i et punkt på grafen er \(4x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit
x,h=symbols("x h")
expr=(2*(x+h)**2+1-(2*x**2+1))/h
print(limit(expr, h, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi trekker fire kajakker uten tilbakelegging. Derfor bruker vi en hypergeometrisk modell: gunstige utvalg delt på alle mulige utvalg.

Steg 1 — Finn totalt antall utvalg

Det trekkes \(4\) av \(20\) kajakker:

\[\binom{20}{4}=4845\]

Steg 2 — Velg de gule kajakkene

To av de sju gule kan velges på \(\binom{7}{2}\) måter.

Steg 3 — Velg rød og hvit kajakk

Én rød kan velges på \(\binom{8}{1}\) måter, og én hvit kan velges på \(\binom{5}{1}\) måter.

Steg 4 — Multipliser gunstige valg

\[\binom{7}{2}\binom{8}{1}\binom{5}{1}=21\cdot8\cdot5=840\]

Steg 5 — Regn sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{7}{2}\binom{8}{1}\binom{5}{1}}{\binom{20}{4}}=\dfrac{840}{4845}=\dfrac{56}{323}\approx0{,}173\]

Steg 6 — Modellkontroll

Vi bruker ikke rekkefølge, fordi oppgaven spør hvilke fire kajakker firmaet velger ut, ikke hvilken rekkefølge de trekkes i.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(17{,}3\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P=Fraction(comb(7,2)*comb(8,1)*comb(5,1), comb(20,4))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi trekker fire kajakker uten tilbakelegging. Alle fire må komme fra de sju gule.

Steg 1 — Totalt antall mulige utvalg

\[\binom{20}{4}=4845\]

Steg 2 — Gunstige utvalg

Fire gule av sju kan velges på

\[\binom{7}{4}=35\]

Steg 3 — Sett opp sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{7}{4}}{\binom{20}{4}}\]

Steg 4 — Regn ut og forkort

\[P=\dfrac{35}{4845}=\dfrac{7}{969}\approx0{,}00722\]

Steg 5 — Tolk resultatet

Dette er en lav sannsynlighet fordi bare sju av tjue kajakker er gule, og alle fire må være gule.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(0{,}72\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P=Fraction(comb(7,4), comb(20,4))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Ingen gule betyr at alle fire kajakkene må velges blant de røde og hvite. Det finnes \(8+5=13\) ikke-gule kajakker.

Steg 1 — Tell ikke-gule kajakker

\[8+5=13\]

Steg 2 — Tell gunstige utvalg

Fire ikke-gule kan velges på

\[\binom{13}{4}=715\]

Steg 3 — Tell alle utvalg

\[\binom{20}{4}=4845\]

Steg 4 — Sett opp sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{13}{4}}{\binom{20}{4}}=\dfrac{715}{4845}\]

Steg 5 — Forkort og avrund

\[P=\dfrac{143}{969}\approx0{,}148\]

Steg 6 — Alternativ kontroll

Dette er samme som sannsynligheten for å velge alle fire fra de \(13\) ikke-gule kajakkene.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(14{,}8\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P=Fraction(comb(13,4), comb(20,4))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Skjæring med \(y\)-aksen får vi ved \(x=0\). Skjæring med \(x\)-aksen får vi ved \(f(x)=0\).

Steg 1 — Skjæring med \(y\)-aksen

\[f(0)=\dfrac13\cdot0^3-\dfrac32\cdot0^2=0\]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen er \((0,0)\).

Steg 2 — Sett \(f(x)=0\)

\[\dfrac13x^3-\dfrac32x^2=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2(\dfrac13x-\dfrac32 ight)=0\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[x^2=0\quad \text{eller}\quad \dfrac13x-\dfrac32=0\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=0\quad \text{eller}\quad \dfrac13x=\dfrac32\Rightarrow x=\dfrac92\]

Steg 6 — Skriv punktene

Skjæringspunktene med \(x\)-aksen er \((0,0)\) og \((\dfrac92,0 ight)\).

Tolkning

Grafen tangerer \(x\)-aksen i \((0,0)\) fordi \(x=0\) er en dobbeltrot.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Rational
x=symbols("x")
f=Rational(1,3)*x**3 - Rational(3,2)*x**2
print(solve(f,x), f.subs(x,0))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker digital graftegning for grafen og regner gjennomsnittlig vekstfart med formelen \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Steg 1 — Angi grafkommando

I GeoGebra kan grafen tegnes med funksjonen og intervallet \(-2\le x\le5\).

Steg 2 — Finn \(f(0)\)

\[f(0)=0\]

Steg 3 — Finn \(f(3)\)

\[f(3)=\dfrac13\cdot27-\dfrac32\cdot9=9-\dfrac{27}{2}=-\dfrac92\]

Steg 4 — Bruk formelen for gjennomsnittlig vekstfart

\[\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{-\dfrac92-0}{3}=-\dfrac32\]

Steg 5 — Lag skisse

Steg 6 — Tolk fortegnet

Den gjennomsnittlige vekstfarten er negativ, så funksjonsverdien synker fra \(x=0\) til \(x=3\).

Tolkning

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \([0,3]\) er \(-1{,}5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, simplify
x=symbols("x")
f=Rational(1,3)*x**3 - Rational(3,2)*x**2
print(simplify((f.subs(x,3)-f.subs(x,0))/(3-0)))

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer, løser \(f\prime(x)=0\), og bruker fortegn til den deriverte for å klassifisere punktene.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=x^2-3x\]

Steg 2 — Faktoriser den deriverte

\[f\prime(x)=x(x-3)\]

Steg 3 — Finn kritiske punkter

\[x(x-3)=0\quad \Rightarrow\quad x=0\ \text{eller}\ x=3\]

Steg 4 — Drøft fortegn

For \(x<0\) er \(f\prime(x)>0\). For \(03\) er \(f\prime(x)>0\).

Steg 5 — Klassifiser punktene

Ved \(x=0\) går \(f\prime\) fra positiv til negativ, så grafen har toppunkt. Ved \(x=3\) går \(f\prime\) fra negativ til positiv, så grafen har bunnpunkt.

Steg 6 — Finn \(y\)-verdiene

\[f(0)=0\]

\[f(3)=-\dfrac92\]

Tolkning

Grafen har toppunkt i \((0,0)\) og bunnpunkt i \((3,-\dfrac92 ight)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, solve
x=symbols("x")
f=Rational(1,3)*x**3 - Rational(3,2)*x**2
fp=diff(f,x)
print(fp, solve(fp,x), f.subs(x,0), f.subs(x,3))

Hva spør oppgaven om? Momentan vekstfart er den deriverte. Vi setter derfor \(f\prime(x)=-1{,}5\) og løser likningen.

Steg 1 — Bruk uttrykket for den deriverte

\[f\prime(x)=x^2-3x\]

Steg 2 — Sett lik \(-1{,}5\)

\[x^2-3x=-\dfrac32\]

Steg 3 — Samle alt på én side

\[x^2-3x+\dfrac32=0\]

Steg 4 — Bruk abc-formelen

\[x=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot\dfrac32}}{2}\]

Steg 5 — Forenkle diskriminanten

\[x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-6}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt3}{2}\]

Steg 6 — Skriv desimalverdier som kontroll

\[x\approx0{,}634\quad \text{eller}\quad x\approx2{,}366\]

Tolkning

Grafen har tangent med stigningstall \(-1{,}5\) i to punkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x=symbols("x")
print(solve(Eq(x**2-3*x, -Rational(3,2)), x))

Hva spør oppgaven om? Når \(x\) er antall hundre enheter, betyr \(x\) at antall enheter er \(100x\). Inntekt er pris per enhet multiplisert med antall solgte enheter.

Steg 1 — Oversett \(x\) til antall enheter

Hvis \(x\) er antall hundre enheter, er antall enheter \(100x\).

Steg 2 — Bruk prisen per enhet

Prisen er \(5\) kroner per enhet.

Steg 3 — Lag inntektsfunksjonen

\[g(x)=5\cdot100x=500x\]

Steg 4 — Tegn kostnad og inntekt

I GeoGebra skriver vi funksjonene og begrenser visningen til \(0\le x\le22\).

Steg 5 — Skisse av grafene

Steg 6 — Tolk grafene

Skjæringspunktene mellom grafene viser balansepunkter, der inntekt og kostnad er like.

Tolkning

Inntekten er \(500x\) kroner fordi \(x\) må multipliseres med \(100\) enheter og \(5\) kroner per enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
def f(x): return 3**(0.4*x)+2000
def g(x): return 500*x
for x in [0, 10, 20, 22]:
    print(x, round(f(x),2), g(x))

Hva spør oppgaven om? Balanse betyr at inntekten er lik kostnaden. Vi løser derfor \(g(x)=f(x)\). Siden likningen inneholder både lineær og eksponentiell del, bruker vi digital løsning.

Steg 1 — Sett inntekt lik kostnad

\[500x=3^{0{,}4x}+2000\]

Steg 2 — Løs digitalt

GeoGebra/CAS gir to løsninger i intervallet \([0,22]\).

Steg 3 — Les av \(x\)-verdiene

\[x\approx4{,}012\quad \text{eller}\quad x\approx20{,}525\]

Steg 4 — Oversett til antall enheter

Siden \(x\) er antall hundre enheter, blir antall enheter \(100x\).

\[100\cdot4{,}012\approx401\]

\[100\cdot20{,}525\approx2052\]

Steg 5 — Tolk grafisk

Dette er de to skjæringspunktene mellom kostnadsgrafen og inntektsgrafen.

Steg 6 — Kontroll av fortegn

Mellom balansepunktene er inntekten større enn kostnaden. Utenfor dette området er kostnaden større.

Tolkning

Driften går i balanse ved omtrent \(401\) enheter og omtrent \(2052\) enheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import mpmath as mp
h=lambda x: 3**(0.4*x)+2000-500*x
r1=mp.findroot(h, (3,5))
r2=mp.findroot(h, (19,22))
print(r1, 100*r1)
print(r2, 100*r2)

Hva spør oppgaven om? Overskudd er inntekt minus kostnad. Vi lager \(O(x)=g(x)-f(x)\) og finner maksimum på intervallet \([0,22]\).

Steg 1 — Lag overskuddsfunksjonen

\[O(x)=500x-(3^{0{,}4x}+2000 ight)\]

Steg 2 — Deriver for å finne toppunkt

\[O\prime(x)=500-0{,}4\ln(3)\cdot3^{0{,}4x}\]

Steg 3 — Løs \(O\prime(x)=0\) digitalt

\[x\approx16{,}013\]

Steg 4 — Oversett til enheter

\[100x\approx100\cdot16{,}013\approx1601\]

Steg 5 — Finn maksimalt overskudd

\[O(16{,}013)\approx4868{,}72\]

Steg 6 — Kontroller at punktet er maksimum

Overskuddet er lavere ved endene av intervallet og grafen til \(O\) har ett toppunkt i intervallet.

Tolkning

Størst overskudd oppnås ved omtrent \(1601\) produserte og solgte enheter, og overskuddet er omtrent \(4869\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import mpmath as mp
O=lambda x: 500*x-(3**(0.4*x)+2000)
Op=lambda x: 500-0.4*mp.log(3)*3**(0.4*x)
xmax=mp.findroot(Op, 16)
print(xmax, 100*xmax, O(xmax))

Hva spør oppgaven om? Vi tegner først grenselinjene og velger riktig side av hver linje. Deretter finner vi hjørnepunktene i det avgrensede området.

Steg 1 — Skriv grenselinjene

\[x+3y=44,\quad 2x+y=25,\quad 2x+3y=44,\quad x=5y-4\]

Steg 2 — Tolk ulikhetene

Området ligger under \(x+3y=44\), over \(2x+y=25\), over \(2x+3y=44\) og på siden der \(x\le5y-4\).

Steg 3 — Finn hjørnepunkter med CAS

Skjæringer som tilfredsstiller alle ulikhetene er

\[(6{,}2,12{,}6),\quad (26,6),\quad (16,4),\quad (7{,}75,9{,}5)\]

Steg 4 — Marker polygonet

Steg 5 — Kontroll

Et punkt inne i området må tilfredsstille alle fire ulikhetene.

Tolkning

Det mulige produksjonsområdet er et firkantet polygon med hjørnene over.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import itertools
ineq=[(1,3,44),(-2,-1,-25),(-2,-3,-44),(1,-5,-4)]
pts=[]
for (a1,b1,c1),(a2,b2,c2) in itertools.combinations(ineq,2):
    det=a1*b2-a2*b1
    if det:
        x=(c1*b2-c2*b1)/det
        y=(a1*c2-a2*c1)/det
        if all(a*x+b*y <= c+1e-9 for a,b,c in ineq):
            pts.append((x,y))
print(pts)

Hva spør oppgaven om? Salgsinntekten er en lineær funksjon. Derfor ligger maksimum i et hjørne av det mulige området.

Steg 1 — Lag inntektsfunksjonen

\[I(x,y)=840x+1500y\]

Steg 2 — Bruk hjørnepunktene

Vi vurderer \((6{,}2,12{,}6)\), \((26,6)\), \((16,4)\) og \((7{,}75,9{,}5)\).

Steg 3 — Regn inntekt i hjørnene

Steg 4 — Velg største verdi

Den største inntekten er \(30840\) kroner.

Steg 5 — Finn produksjonsmengdene

Den største verdien oppstår i punktet \((26,6)\), altså \(26\) enheter av vare A og \(6\) enheter av vare B.

Steg 6 — Kontroll

Punktet \((26,6)\) oppfyller alle ulikhetene, blant annet \(26+3\cdot6=44\) og \(26=5\cdot6-4\).

Tolkning

For maksimal inntekt bør bedriften produsere \(26\) enheter av A og \(6\) enheter av B.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pts=[(6.2,12.6),(26,6),(16,4),(7.75,9.5)]
for p in pts:
    x,y=p
    print(p, 840*x+1500*y)

Hva spør oppgaven om? For å vise minsteinntekt må vi finne minimum av den samme lineære inntektsfunksjonen på det mulige området.

Steg 1 — Bruk inntektsfunksjonen

\[I(x,y)=840x+1500y\]

Steg 2 — Test hjørnepunktene

For en lineær funksjon på et lukket polygon ligger minimum også i et hjørne.

Steg 3 — Bruk tabellen fra del b

Inntektene i hjørnene er \(24108\), \(30840\), \(19440\) og \(20760\) kroner.

Steg 4 — Finn minste verdi

Den minste verdien er \(19440\) kroner.

Steg 5 — Finn punktet

Verdien \(19440\) oppstår i \((16,4)\).

Steg 6 — Vis direkte

\[I(16,4)=840\cdot16+1500\cdot4=13440+6000=19440\]

Tolkning

Siden alle mulige produksjonsvalg ligger i området, og minste hjørneverdi er \(19440\), er bedriften sikret minst denne inntekten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pts=[(6.2,12.6),(26,6),(16,4),(7.75,9.5)]
vals=[840*x+1500*y for x,y in pts]
print(min(vals), pts[vals.index(min(vals))])

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at diameteren er dobbelt så stor som radiusen. Deretter uttrykker vi høyden ved hjelp av \(x\), og setter inn i volumformelen for sylinder.

Steg 1 — Koble radius og diameter

Radius er \(x\), derfor er diameteren

\[d=2x\]

Steg 2 — Bruk betingelsen \(d+h=6\)

\[2x+h=6\]

Steg 3 — Løs for høyden

\[h=6-2x\]

Steg 4 — Bruk volumformelen for sylinder

\[V=\pi r^2h\]

Her er \(r=x\), så

\[V(x)=\pi x^2(6-2x)\]

Steg 5 — Utvid uttrykket

\[V(x)=6\pi x^2-2\pi x^3\]

Steg 6 — Finn intervallet for \(x\)

Radius må være positiv: \(x>0\). Høyden må også være positiv: \(6-2x>0\), altså \(x<3\).

Tolkning

Modellen gjelder bare for \(0

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, pi, expand
x=symbols("x")
print(expand(pi*x**2*(6-2*x)))

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer volumfunksjonen, finner kritisk punkt i intervallet \((0,3)\), og viser at dette gir maksimum.

Steg 1 — Start med volumfunksjonen

\[V(x)=6\pi x^2-2\pi x^3\]

Steg 2 — Deriver

\[V\prime(x)=12\pi x-6\pi x^2\]

Steg 3 — Faktoriser den deriverte

\[V\prime(x)=6\pi x(2-x)\]

Steg 4 — Finn kritiske punkt

\[6\pi x(2-x)=0\quad \Rightarrow\quad x=0\ \text{eller}\ x=2\]

I intervallet \(0

Steg 5 — Vis at dette er maksimum

For \(00\). For \(2

Steg 6 — Regn volumet

\[V(2)=6\pi\cdot2^2-2\pi\cdot2^3=24\pi-16\pi=8\pi\]

Steg 7 — Kontroll mot endene

Når \(x\to0\) eller \(x\to3\), nærmer volumet seg \(0\). Derfor er \(8\pi\) størst.

Tolkning

Det største volumet oppstår når radius er \(2\) og høyden er \(2\). Sylinderen får da volum \(8\pi\).

from sympy import symbols, pi, diff, solve
x=symbols("x")
V=6*pi*x**2-2*pi*x**3
print(diff(V,x))
print(solve(diff(V,x), x))
print(V.subs(x,2))