Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(f\prime(x)\). Siden funksjonen er et polynom, kan vi derivere ledd for ledd.

Steg 1 — Potensregelen

For et ledd \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 2 — Deriver første ledd

\[(2x^3)\prime=2\cdot3x^2=6x^2\]

Steg 3 — Deriver andre ledd

\[(-5x^2)\prime=-5\cdot2x=-10x\]

Steg 4 — Deriver resten

\[(2x)\prime=2,\qquad 3\prime=0\]

Steg 5 — Sett sammen

\[f\prime(x)=6x^2-10x+2\]

Tolkning

Den deriverte er en andregradsfunksjon som beskriver momentan vekstfart til \(f\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
f = 2*x**3 - 5*x**2 + 2*x + 3
print(diff(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse fire ulike likningstyper: lineær likning med brøker, andregradslikning, logaritmelikning og eksponentiallikning.

Steg 1 — Likning 1: fjern brøkene

Fellesnevneren er \(10\):

\[10\left(\dfrac{6x}{5}-2\right)=10\left(\dfrac45+\dfrac{x}{2}\right)\]

\[12x-20=8+5x\]

\[7x=28\]

\[x=4\]

Steg 2 — Likning 2: samle alt på én side

\[3x^2=18-3x\]

\[3x^2+3x-18=0\]

\[x^2+x-6=0\]

\[(x+3)(x-2)=0\]

\[x=-3\quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 3 — Likning 3: isoler logaritmen

\[2\lg x+3=5\]

\[2\lg x=2\]

\[\lg x=1\]

\[x=10\]

Definisjonskravet \(x>0\) er oppfylt.

Steg 4 — Likning 4: isoler potensen

\[2\cdot3^x=54\]

\[3^x=27=3^3\]

\[x=3\]

Steg 5 — Kontroll

Innsetting gir likhet i alle fire opprinnelige likninger.

Tolkning

Hver likning løses med metoden som passer strukturen: brøk, faktor, logaritme og potens.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, log
x = symbols('x')
print(solve(Eq(6*x/5 - 2, Rational(4,5) + x/2), x))
print(solve(Eq(3*x**2, 18 - 3*x), x))
print(solve(Eq(2*log(x, 10) + 3, 5), x))
print(solve(Eq(2*3**x, 54), x))

Hva spør oppgaven om? Skjæringspunkter finnes ved å sette funksjonsuttrykkene lik hverandre og deretter finne \(y\)-verdiene.

Steg 1 — Sett uttrykkene lik hverandre

\[x^2+x=-x+3\]

Steg 2 — Samle alt på én side

\[x^2+2x-3=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\]

Steg 4 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=-3\quad \text{eller}\quad x=1\]

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

\[g(-3)=6,\qquad g(1)=2\]

Tolkning

Grafene skjærer hverandre i to punkter: ett til venstre for \(y\)-aksen og ett til høyre.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
xs = solve(Eq(x**2 + x, -x + 3), x)
print([(v, -v + 3) for v in xs])

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensreglene til å samle eksponenter i teller og nevner.

Steg 1 — Første uttrykk: skriv alle faktorer som potenser med grunntall 2

\[2=2^1\]

\[\dfrac{2^2\cdot2\cdot2^3}{2^5\cdot2^{-2}}=\dfrac{2^2\cdot2^1\cdot2^3}{2^5\cdot2^{-2}}\]

Steg 2 — Samle teller og nevner

\[\dfrac{2^{2+1+3}}{2^{5+(-2)}}=\dfrac{2^6}{2^3}\]

Steg 3 — Del potenser

\[\dfrac{2^6}{2^3}=2^{6-3}=2^3=8\]

Steg 4 — Andre uttrykk: regn ut parentesen

\[(a^2\cdot b)^2=a^4b^2\]

Steg 5 — Samle og forkort eksponenter

\[\dfrac{(a^2\cdot b)^2\cdot a\cdot b^3}{a^3\cdot b^{-2}}=\dfrac{a^4b^2\cdot a\cdot b^3}{a^3b^{-2}}=a^{5-3}b^{5-(-2)}=a^2b^7\]

Tolkning

Potensregning handler om å holde orden på grunntall og eksponenter, ikke om å multiplisere ut alt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a, b = symbols('a b')
print(simplify((2**2*2*2**3)/(2**5*2**(-2))))
print(simplify(((a**2*b)**2*a*b**3)/(a**3*b**(-2))))

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere teller og nevner og deretter forkorte felles faktor.

Steg 1 — Ta ut felles faktor i telleren

\[3a^2-75=3(a^2-25)\]

Steg 2 — Bruk konjugatsetningen

\[a^2-25=(a-5)(a+5)\]

Steg 3 — Faktoriser nevneren

\[6a+30=6(a+5)\]

Steg 4 — Skriv brøken faktorisert

\[\dfrac{3(a-5)(a+5)}{6(a+5)}\]

Steg 5 — Forkort felles faktor

\[\dfrac{3(a-5)}{6}=\dfrac{a-5}{2}\]

Steg 6 — Definisjonskrav

Opprinnelig nevner er null når \(a=-5\), derfor gjelder forkortingen for \(a\ne-5\).

Tolkning

Uttrykket er forenklet, men har samme begrensning som den opprinnelige brøken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify, factor
a = symbols('a')
print(factor(simplify((3*a**2 - 75)/(6*a + 30))))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fellesområdet for fire halvplan.

Steg 1 — Første kvadrant

\(x>0\) og \(y>0\) betyr at området ligger i første kvadrant, men ikke på aksene.

Steg 2 — Linjen \(x+y=3\)

Linjen skjærer aksene i \((3,0)\) og \((0,3)\). Siden \(x+y\le3\), skal området ligge under denne linjen.

Steg 3 — Linjen \(3x+y=6\)

Linjen skjærer aksene i \((2,0)\) og \((0,6)\). Siden \(3x+y\le6\), skal området ligge under denne linjen.

Steg 4 — Skjæringspunkt mellom de skrå linjene

\[x+y=3\]

\[3x+y=6\]

Subtraksjon gir \(2x=3\), altså \(x=\dfrac32\). Da er \(y=\dfrac32\).

Steg 5 — Hjørner

Området avgrenses av punktene nær \((0,0)\), \((2,0)\), \(\left(\dfrac32,\dfrac32\right)\) og \((0,3)\), men aksene er ikke inkludert på grunn av de strenge ulikhetene.

Steg 6 — Skisse

Tolkning

Alle punkter i det skraverte området oppfyller alle fire ulikheter samtidig.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fortegnet til den deriverte til å bestemme vekstretningen til grafen.

Steg 1 — Før \(-2\)

Når \(x<-2\), er \(f\prime(x)<0\). Derfor synker grafen til \(f\) på dette intervallet.

Steg 2 — Mellom \(-2\) og \(3\)

Når \(-20\). Derfor stiger grafen til \(f\) på dette intervallet.

Steg 3 — Etter \(3\)

Når \(x>3\), er \(f\prime(x)<0\). Derfor synker grafen til \(f\) på dette intervallet.

Steg 4 — Vendepunkter for vekst

Ved \(x=-2\) går \(f\prime\) fra negativ til positiv. Da har grafen et lokalt bunnpunkt.

Ved \(x=3\) går \(f\prime\) fra positiv til negativ. Da har grafen et lokalt toppunkt.

Steg 5 — Skisse

Tolkning

Fortegnslinjen bestemmer formen kvalitativt, men ikke eksakte \(y\)-verdier.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et likningssystem fra teksten og løse det.

Steg 1 — Definer variabler

La \(v\) være prisen for én voksenbillett, og la \(b\) være prisen for én barnebillett.

Steg 2 — Første gruppe

To voksne og to barn koster 500 kroner:

\[2v+2b=500\]

Steg 3 — Andre gruppe

Én voksen og fire barn koster 550 kroner:

\[v+4b=550\]

Steg 4 — Forenkle første likning

\[2v+2b=500\]

\[v+b=250\]

\[v=250-b\]

Steg 5 — Sett inn

\[(250-b)+4b=550\]

\[3b=300\]

\[b=100\]

Steg 6 — Finn voksenprisen

\[v=250-100=150\]

Tolkning

Barnebilletten koster 100 kroner, og voksenbilletten koster 150 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
v, b = symbols('v b')
print(solve([2*v + 2*b - 500, v + 4*b - 550], [v, b]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke Pascals talltrekant og Pascals identitet.

Steg 1 — De seks første radene

Rad \(0\) til rad \(5\) er

\[1\]

\[1\quad1\]

\[1\quad2\quad1\]

\[1\quad3\quad3\quad1\]

\[1\quad4\quad6\quad4\quad1\]

\[1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\]

Steg 2 — Binomialkoeffisienter i trekanten

Rad \(n\) inneholder \(\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}\).

Steg 3 — Forklar sammenhengen

I Pascals trekant er hvert indre tall summen av de to tallene skrått over. Derfor

\[\binom{5}{3}=\binom{4}{2}+\binom{4}{3}\]

Numerisk er dette \(10=6+4\).

Steg 4 — Tilsvarende sammenheng

For \(\binom{6}{5}\) bruker vi samme mønster:

\[\binom{6}{5}=\binom{5}{4}+\binom{5}{5}\]

Steg 5 — Kontroll

\[\binom{6}{5}=6\]

\[\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\]

Tolkning

Sammenhengen er Pascals identitet \(\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print(comb(6,5), comb(5,4) + comb(5,5))

Hva spør oppgaven om? Dette er trekking uten tilbakelegging fra 20 elever. Vi bruker hypergeometrisk modell.

Steg 1 — Totalantall mulige utvalg

Fire elever velges blant \(20\):

\[\binom{20}{4}=4845\]

Steg 2 — a) Fire jenter

Gunstige utvalg er fire jenter blant 12:

\[P=\dfrac{\binom{12}{4}}{\binom{20}{4}}=\dfrac{495}{4845}=\dfrac{33}{323}\approx0{,}102\]

Steg 3 — b) To jenter og to gutter

Vi velger to jenter og to gutter:

\[P=\dfrac{\binom{12}{2}\binom{8}{2}}{\binom{20}{4}}=\dfrac{616}{1615}\approx0{,}381\]

Steg 4 — c) Minst én gutt

Bruk komplementet «ingen gutter», som er fire jenter:

\[P(\text{minst én gutt})=1-\dfrac{33}{323}=\dfrac{290}{323}\approx0{,}898\]

Steg 5 — Begrunnelse av modellen

Vi bruker ikke binomisk modell fordi elevene trekkes uten tilbakelegging. Antall jenter og gutter endrer seg etter hvert valg.

Tolkning

Det er mest sannsynlig at minst én gutt må bære tung sekk, fordi det er fire sekker og åtte gutter i gruppen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
from fractions import Fraction
den = math.comb(20,4)
print(Fraction(math.comb(12,4), den))
print(Fraction(math.comb(12,2)*math.comb(8,2), den))
print(Fraction(1,1) - Fraction(math.comb(12,4), den))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen direkte, løse en eksponentiallikning med logaritme og tolke forhold mellom energier.

Steg 1 — a) Sett inn \(R=7{,}5\)

\[E=10^{1{,}5\cdot7{,}5+9}=10^{20{,}25}\approx1{,}78\cdot10^{20}\]

Steg 2 — b) Sett inn energiforbruket

\[3{,}99\cdot10^{17}=10^{1{,}5R+9}\]

Steg 3 — Ta tierlogaritme

\[\lg\left(3{,}99\cdot10^{17}\right)=1{,}5R+9\]

\[R=\dfrac{\lg\left(3{,}99\cdot10^{17}\right)-9}{1{,}5}\approx5{,}73\]

Steg 4 — c) Første forhold

\[\dfrac{E(5)}{E(4)}=\dfrac{10^{1{,}5\cdot5+9}}{10^{1{,}5\cdot4+9}}=10^{1{,}5}\approx31{,}6\]

Steg 5 — Andre forhold

\[\dfrac{E(9)}{E(8)}=\dfrac{10^{1{,}5\cdot9+9}}{10^{1{,}5\cdot8+9}}=10^{1{,}5}\approx31{,}6\]

Steg 6 — Kommentar

En økning på 1 på Richters skala gir samme faktor hver gang: energimengden blir omtrent \(31{,}6\) ganger større.

Tolkning

Richters skala er logaritmisk. Derfor betyr små økninger i \(R\) svært store økninger i energi.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
E = 10**(1.5*7.5 + 9)
R = (math.log10(3.99*10**17) - 9)/1.5
factor = 10**1.5
print(E, R, factor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre hvilken vei den logiske sammenhengen er riktig.

Steg 1 — Løs venstre påstand

\[x^2-9=0\]

\[(x-3)(x+3)=0\]

\[x=3\quad \text{eller}\quad x=-3\]

Steg 2 — Test \(\Rightarrow\)

Hvis \(x^2-9=0\), kan \(x=-3\). Da er ikke \(x=3\). Derfor er \(x^2-9=0\Rightarrow x=3\) feil.

Steg 3 — Test \(\Leftarrow\)

Hvis \(x=3\), får vi \(3^2-9=0\). Derfor er \(x=3\Rightarrow x^2-9=0\) riktig.

Steg 4 — Velg symbol

Siden høyre påstand medfører venstre påstand, skal symbolet være

\[x^2-9=0\ \Leftarrow\ x=3\]

Steg 5 — Hvorfor ikke \(\Leftrightarrow\)?

\(\Leftrightarrow\) ville betydd at påstandene har nøyaktig samme løsninger. Det stemmer ikke, fordi venstre side også tillater \(x=-3\).

Tolkning

Påstanden \(x=3\) er tilstrekkelig for \(x^2-9=0\), men ikke nødvendig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(x**2 - 9, x))

Hva spør oppgaven om? Del a er uten tilbakelegging. Del b og c modelleres binomisk med \(n=10\) og \(p=0{,}5\).

Steg 1 — a) Første tre går om bord

Uten tilbakelegging får vi

\[P=\dfrac{35}{70}\cdot\dfrac{34}{69}\cdot\dfrac{33}{68}\]

\[P=\dfrac{11}{92}\approx0{,}1196\]

Steg 2 — Modell for b og c

La \(X\) være antall amerikanere på første seterad. Da er

\[X\sim\operatorname{Bin}(10,0{,}5)\]

Steg 3 — b) Akkurat 3 amerikanere

\[P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}5^3\cdot0{,}5^7\]

\[P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}5^{10}=\dfrac{120}{1024}\approx0{,}117\]

Steg 4 — c) Minst 3 amerikanere

\[P(X\ge3)=1-P(X\le2)\]

\[P(X\le2)=\left(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}\right)0{,}5^{10}\]

\[P(X\le2)=\dfrac{1+10+45}{1024}=\dfrac{56}{1024}\]

Steg 5 — Regn ferdig

\[P(X\ge3)=1-\dfrac{56}{1024}=\dfrac{121}{128}\approx0{,}945\]

Tolkning

«Akkurat 3» er en punkt-sannsynlighet, mens «minst 3» inkluderer \(3,4,\ldots,10\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
from fractions import Fraction
print(Fraction(35,70)*Fraction(34,69)*Fraction(33,68))
print(math.comb(10,3)*0.5**10)
print(sum(math.comb(10,k)*0.5**10 for k in range(3,11)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere kostnadene med regresjon, tolke marginalkostnad og maksimere overskudd.

Steg 1 — a) Regresjonsmodell

Dataene øker krumt, derfor passer en andregradsmodell. Med andregradsregresjon får vi omtrent

\[K(x)=0{,}029x^2-2{,}8x+270\]

Modellen er god fordi den følger den økende, krumme hovedtrenden i tabellen.

Steg 2 — b) Deriver kostnadsfunksjonen

\[K\prime(x)=2\cdot0{,}029x-2{,}8=0{,}058x-2{,}8\]

\[K\prime(200)=0{,}058\cdot200-2{,}8=8{,}8\]

Dette betyr at når produksjonen er rundt 200 brød, øker kostnaden med omtrent 8,80 kroner per ekstra brød.

Steg 3 — c) Finn overskuddet

Inntekten ved salg av \(x\) brød er \(I(x)=14x\). Dermed er

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

\[O(x)=14x-\left(0{,}029x^2-2{,}8x+270\right)\]

\[O(x)=-0{,}029x^2+16{,}8x-270\]

Steg 4 — d) Forklar marginalprinsippet

Siden \(O(x)=14x-K(x)\), får vi

\[O\prime(x)=14-K\prime(x)\]

I et maksimum må \(O\prime(x)=0\), altså

\[14-K\prime(x)=0\]

\[K\prime(x)=14\]

Hvis marginalkostnaden er lavere enn 14 kroner, lønner det seg å produsere ett brød til. Hvis den er høyere, taper bakeriet på neste brød.

Steg 5 — e) Maksimer overskuddet

\[O\prime(x)=-0{,}058x+16{,}8\]

Sett \(O\prime(x)=0\):

\[-0{,}058x+16{,}8=0\]

\[x=\dfrac{16{,}8}{0{,}058}\approx289{,}66\]

Steg 6 — Helt antall brød og overskudd

Antall brød må være heltall, så \(x=290\) er naturlig. Da blir

\[O(290)=-0{,}029\cdot290^2+16{,}8\cdot290-270\approx2163{,}1\]

Siden koeffisienten foran \(x^2\) i \(O(x)\) er negativ, er dette et maksimum.

Tolkning

Bakeriet bør produsere omtrent 290 brød, og maksimalt overskudd er omtrent 2163 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
xdata = np.array([50,75,100,125,150,175,200,225,250,275], dtype=float)
ydata = np.array([190,240,280,365,489,655,878,1121,1323,1700], dtype=float)
print(np.polyfit(xdata, ydata, 2))
x = 16.8/0.058
O = -0.029*x*x + 16.8*x - 270
print(x, O)
print(-0.029*290**2 + 16.8*290 - 270)

Hva spør oppgaven om? Dette er lineær optimering. Vi maksimerer en lineær inntektsfunksjon over et område gitt av lineære ulikheter.

Steg 1 — Skriv inntektsfunksjonen

Første klasse gir 820 kroner per sete og andre klasse 465 kroner per sete:

\[I(x,y)=820x+465y\]

Steg 2 — Finn hjørnepunkter

Maksimum for en lineær funksjon over et polygon finnes i et hjørnepunkt. De aktuelle hjørnene er

\[(0,60),\quad (0,250),\quad \left(110,\dfrac{640}{3}\right),\quad (150,160),\quad (150,60)\]

Steg 3 — Finn skjæringen mellom de skrå linjene

\[-\dfrac13x+250=-\dfrac43x+360\]

\[x=110\]

\[y=-\dfrac13\cdot110+250=\dfrac{640}{3}\]

Steg 4 — Regn inntektene

Steg 5 — Velg størst verdi

Størst inntekt er \(197\,400\) kroner ved \((x,y)=(150,160)\).

Steg 6 — Kontroller begrensningene

For \((150,160)\):

\[60\le160\le400\]

\[0\le150\le150\]

\[160\le-\dfrac13\cdot150+250=200\]

\[160\le-\dfrac43\cdot150+360=160\]

Punktet er derfor lovlig.

Tolkning

Selskapet bør bruke maksimalt antall seter på første klasse og 160 seter på andre klasse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

points = [(0,60), (0,250), (110,640/3), (150,160), (150,60)]
for x, y in points:
    print((x, y), 820*x + 465*y)