Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av \(x\) som gjør brøklikningen sann. Fellesnevneren er \(6\), så vi fjerner brøkene først.

Steg 1 - Multipliser med fellesnevner

\[6\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{x-1}{3}\right)=6\left(\dfrac{7}{6}-\dfrac{x+1}{2}\right)\]

Da får vi \[1+2(x-1)=7-3(x+1)\]

Steg 2 - Løs opp parenteser

\[1+2x-2=7-3x-3\]

\[2x-1=4-3x\]

Steg 3 - Samle x-leddene

\[5x-1=4\]

\[5x=5\]

Steg 4 - Del på 5

\[x=1\]

Steg 5 - Kontroll

Venstre side blir \(\dfrac{1}{6}+0=\dfrac{1}{6}\). Høyre side blir \(\dfrac{7}{6}-1=\dfrac{1}{6}\). Det stemmer.

Tolkning

Likningen har én løsning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x = symbols('x')
print(solve(Eq(Rational(1,6)+(x-1)/3, Rational(7,6)-(x+1)/2), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning. Først samler vi alt på én side, deretter faktoriserer vi.

Steg 1 - Samle alt på én side

\[2x^2-10x+12=0\]

Steg 2 - Del på 2

\[x^2-5x+6=0\]

Steg 3 - Faktoriser

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Steg 4 - Bruk nullproduktregelen

\[(x-2)(x-3)=0\]

Dermed er \(x=2\) eller \(x=3\).

Steg 5 - Kontroll

For \(x=2\): \(8=8\). For \(x=3\): \(18=18\).

Tolkning

Likningen har to reelle løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(2*x**2, 10*x - 12), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktene mellom en parabel og en rett linje.

Steg 1 - Skriv linjen som \(y=\ldots\)

\[y+2=2x\Rightarrow y=2x-2\]

Steg 2 - Sett uttrykkene like

\[x^2-3x-2=2x-2\]

Steg 3 - Samle ledd

\[x^2-5x=0\]

Steg 4 - Faktoriser

\[x(x-5)=0\]

Dermed er \(x=0\) eller \(x=5\).

Steg 5 - Finn y-verdiene

Med \(y=2x-2\) får vi \(y=-2\) når \(x=0\), og \(y=8\) når \(x=5\).

Tolkning

Skjæringspunktene er \((0,-2)\) og \((5,8)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x, y = symbols('x y')
print(solve([y-(x**2-3*x-2), y+2-2*x], [x, y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne eksponenten \(x\).

Steg 1 - Del på 3

\[2^x=8\]

Steg 2 - Skriv \(8\) som toerpotens

\[8=2^3\]

Steg 3 - Sammenlikn eksponenter

\[2^x=2^3\Rightarrow x=3\]

Steg 4 - Kontroll

\[3\cdot2^3=24\]

Tolkning

Eksponenten må være \(3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(3*2**x, 24), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere eksponenten \(x\), og derfor må vi bruke logaritmer.

Steg 1 - Del på \(a\)

\[\dfrac{y}{a}=b^x\]

Steg 2 - Ta logaritmen

\[\log\left(\dfrac{y}{a}\right)=\log(b^x)\]

Steg 3 - Flytt eksponenten ned

\[\log(b^x)=x\log b\]

Steg 4 - Del på \(\log b\)

\[x=\dfrac{\log\left(\dfrac{y}{a}\right)}{\log b}\]

Steg 5 - Vilkår

Dette krever \(a\ne0\), \(b>0\), \(b\ne1\) og \(\dfrac{y}{a}>0\).

Tolkning

Formelen gir hvor mange vekstperioder som trengs for å komme fra \(a\) til \(y\) med faktor \(b\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en rasjonal funksjon. Da trenger vi asymptoter, nullpunkt og støttepunkter.

Steg 1 - Vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x=1\). Grafen har vertikal asymptote \(x=1\).

Steg 2 - Horisontal asymptote

\[\dfrac{2x-4}{x-1}=2-\dfrac{2}{x-1}\]

Dermed er horisontal asymptote \(y=2\).

Steg 3 - Nullpunkt

\[2x-4=0\Rightarrow x=2\]

Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((2,0)\).

Steg 4 - Støttepunkter

Steg 5 - Skisse

Venstre gren ligger over \(y=2\) og går mot \(+\infty\) når \(x\to1^-\). Høyre gren går fra \(-\infty\), krysser \(x\)-aksen ved \(2\), og nærmer seg \(y=2\) nedenfra.

Tolkning

Grafen består av to grener, adskilt av asymptoten \(x=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom ledd for ledd.

Steg 1

\[(x^3)\prime=3x^2\]

Steg 2

\[(-6x^2)\prime=-12x\]

Steg 3

\[(9x)\prime=9\]

Steg 4

\[f\prime(x)=3x^2-12x+9\]

Steg 5 - Faktorform

\[f\prime(x)=3(x-1)(x-3)\]

Tolkning

Faktorformen gjør fortegnsdrøftingen lettere.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, factor
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x
print(diff(f, x), factor(diff(f, x)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fortegnet til den deriverte til å finne ekstremalpunkter.

Steg 1 - Bruk faktorformen

\[f\prime(x)=3(x-1)(x-3)\]

Steg 2 - Nullpunkter til den deriverte

\[f\prime(x)=0\Rightarrow x=1\text{ eller }x=3\]

Steg 3 - Fortegn

\(f\prime(x)>0\) for \(x<1\), \(f\prime(x)<0\) for \(10\) for \(x>3\).

Steg 4 - Klassifiser

Positiv til negativ ved \(x=1\) gir toppunkt. Negativ til positiv ved \(x=3\) gir bunnpunkt.

Steg 5 - Finn y-verdier

\[f(1)=1-6+9=4\]

\[f(3)=27-54+27=0\]

Tolkning

Toppunktet er \((1,4)\), og bunnpunktet er \((3,0)\).

Hva spør oppgaven om? Tiden er strekning delt på fart, så vi må endre både teller og nevner.

Steg 1 - Opprinnelig tid

La strekningen være \(s\) og farten \(v\). Da er \(\dfrac{s}{v}=60\).

Steg 2 - Ny strekning

\[0{,}80s\]

Steg 3 - Ny fart

\[1{,}20v\]

Steg 4 - Ny tid

\[T=\dfrac{0{,}80s}{1{,}20v}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{s}{v}\]

Steg 5 - Sett inn 60 minutter

\[T=\dfrac{2}{3}\cdot60=40\]

Tolkning

Turen tar 40 minutter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal fortsette Pascals trekant.

Steg 1

Rad 3: \(1\quad3\quad3\quad1\).

Steg 2

Rad 4: \(1\quad4\quad6\quad4\quad1\).

Steg 3

Rad 5: \(1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\).

Steg 4 - Kontroll

Radene er symmetriske.

Steg 5 - Regel

Hvert indre tall er summen av de to tallene over.

Tolkning

Dette er radene etter rad 2.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese verdier i Pascals trekant.

Steg 1

Rad 3 er \(1\ 3\ 3\ 1\), så \(\binom{3}{0}=1\).

Steg 2

Rad 4 er \(1\ 4\ 6\ 4\ 1\), så \(\binom{4}{1}=4\).

Steg 3

Samme rad gir \(\binom{4}{3}=4\).

Steg 4

Siste tall i rad 5 er \(\binom{5}{5}=1\).

Tolkning

Verdiene er \(1,4,4,1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere radene og bruke regelen.

Steg 1

Rad 0: \(1=2^0\). Rad 1: \(1+1=2=2^1\).

Steg 2

Rad 2: \(1+2+1=4=2^2\).

Steg 3

Rad 3: \(1+3+3+1=8=2^3\).

Steg 4

Rad 4: \(1+4+6+4+1=16=2^4\). Rad 5: \(1+5+10+10+5+1=32=2^5\).

Steg 5

Rad 10 har sum \(2^{10}=1024\).

Tolkning

Summen dobles fra rad til rad.

Hva spør oppgaven om? Vi velger 5 personer blant 15 uten rekkefølge.

Steg 1

Totalt antall elever: \(9+6=15\).

Steg 2

Komité betyr at rekkefølge ikke teller, så vi bruker kombinasjoner.

Steg 3

\[\binom{15}{5}=\dfrac{15!}{5!10!}\]

Steg 4

\[\binom{15}{5}=3003\]

Steg 5

Dette er antall ulike grupper på 5 personer.

Tolkning

Samme fem personer telles bare én gang.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print(comb(15,5))

Hva spør oppgaven om? Vi trekker uten tilbakelegging fra gutter og jenter, så modellen er hypergeometrisk.

Steg 1

Totalt antall komiteer er \(\binom{15}{5}=3003\).

Steg 2

Velg 2 gutter: \(\binom{6}{2}=15\).

Steg 3

Velg 3 jenter: \(\binom{9}{3}=84\).

Steg 4

Gunstige komiteer: \(15\cdot84=1260\).

Steg 5

\[P=\dfrac{\binom{6}{2}\binom{9}{3}}{\binom{15}{5}}=\dfrac{1260}{3003}=\dfrac{60}{143}\approx0{,}420\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 42,0 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
print(Fraction(comb(6,2)*comb(9,3), comb(15,5)))

Hva spør oppgaven om? Her teller rekkefølgen: først leder, så sekretær.

Steg 1

Sannsynligheten for at Elise blir leder er \(\dfrac{1}{5}\).

Steg 2

Når Elise er valgt, er 4 personer igjen.

Steg 3

Sannsynligheten for at Mathias blir sekretær da er \(\dfrac{1}{4}\).

Steg 4

\[P=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{20}\]

Steg 5

Dette tilsvarer ett gunstig ordnet par av 20 mulige.

Tolkning

Sannsynligheten er 5 %.

Hva spør oppgaven om? Elise skal først velges til leder, og sekretæren skal ikke være Mathias.

Steg 1

\[P(\text{Elise leder})=\dfrac{1}{5}\]

Steg 2

Etterpå er 4 personer igjen.

Steg 3

Blant disse 4 er 3 personer andre enn Mathias.

Steg 4

\[P=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{20}\]

Tolkning

Sannsynligheten er 15 %.

Hva spør oppgaven om? Vi har 40 forsøk med sannsynlighet \(p=0{,}35\) for grønt lys. Vi bruker binomisk modell.

Steg 1

\[X\sim \operatorname{Bin}(40,0{,}35)\]

Steg 2

\[P(X=16)=\binom{40}{16}0{,}35^{16}0{,}65^{24}\]

Steg 3

Eksponenten \(24\) kommer av \(40-16=24\).

Steg 4

Digitalt får vi \[P(X=16)\approx0{,}1031\]

Tolkning

Det er omtrent 10,3 % sannsynlighet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
p = math.comb(40,16)*0.35**16*0.65**24
print(p)

Hva spør oppgaven om? Minst 16 betyr 16, 17, ..., 40.

Steg 1

\[X\sim \operatorname{Bin}(40,0{,}35)\]

Steg 2

\[P(X\ge16)=\sum_{k=16}^{40}\binom{40}{k}0{,}35^k0{,}65^{40-k}\]

Steg 3

Alternativt kan vi bruke komplementet \(1-P(X\le15)\).

Steg 4

Digitalt får vi \[P(X\ge16)\approx0{,}3054\]

Tolkning

Det er omtrent 30,5 % sannsynlighet for minst 16 grønne lys.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
p = sum(math.comb(40,k)*0.35**k*0.65**(40-k) for k in range(16,41))
print(p)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne to grafer i samme koordinatsystem på et avgrenset intervall.

Steg 1 - Definer funksjonene

\[f(x)=2x^2\cdot2^{-x}\]

\[g(x)=(8x-6)\cdot2^{-x}\]

Steg 2 - Bruk intervallet

Grafene skal tegnes for \(0\le x\le4\).

Steg 3 - Støttepunkter

Steg 4 - Digital tegning

Bruk Funksjon(2*x^2*2^(-x),0,4) og Funksjon((8*x-6)*2^(-x),0,4).

Tolkning

Grafene ser ut til å skjære hverandre ved \(x=1\) og \(x=3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(f(x)=g(x)\) og finne punktene.

Steg 1 - Sett likt

\[2x^2\cdot2^{-x}=(8x-6)\cdot2^{-x}\]

Steg 2 - Del på positiv faktor

Siden \(2^{-x}>0\), kan vi dele med \(2^{-x}\):

\[2x^2=8x-6\]

Steg 3 - Samle

\[2x^2-8x+6=0\]

\[x^2-4x+3=0\]

Steg 4 - Faktoriser

\[(x-1)(x-3)=0\]

\(x=1\) eller \(x=3\).

Steg 5 - Finn y-verdier

\[f(1)=1\]

\[f(3)=2\cdot3^2\cdot2^{-3}=\dfrac{18}{8}=2{,}25\]

Tolkning

Skjæringspunktene er \((1,1)\) og \((3,2{,}25)\), i samsvar med grafen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
f = 2*x**2*2**(-x)
g = (8*x-6)*2**(-x)
print([(s, f.subs(x,s)) for s in solve(Eq(f,g), x)])

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en tredjegradsfunksjon på et gitt intervall.

Steg 1

Definer \(f(x)=2x^3-9x^2+12x\).

Steg 2

Tegn bare for \(-\dfrac12

Steg 3

Steg 4

Senere drøfting viser toppunkt \((1,5)\) og bunnpunkt \((2,4)\), som hjelper skissen.

Tolkning

Grafen går gjennom \((0,0)\) og har en liten nedgang fra \((1,5)\) til \((2,4)\).

Hva spør oppgaven om? Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten.

Steg 1

\[\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}\]

Steg 2

\[f(1)=2-9+12=5\]

Steg 3

\[f(2)=16-36+24=4\]

Steg 4

\[\dfrac{4-5}{1}=-1\]

Tolkning

Sekanten gjennom \((1,5)\) og \((2,4)\) har stigningstall \(-1\).

Hva spør oppgaven om? Momentan vekstfart er verdien av den deriverte.

Steg 1

\[f\prime(x)=6x^2-18x+12\]

Steg 2

\[f\prime\left(\dfrac12\right)=6\left(\dfrac12\right)^2-18\left(\dfrac12\right)+12\]

Steg 3

\[=\dfrac{6}{4}-9+12=\dfrac32+3=\dfrac92\]

Steg 4

\[\dfrac92=4{,}5\]

Tolkning

Tangenten ved \(x=\dfrac12\) har stigningstall \(4{,}5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal drøfte monotonien ved hjelp av den deriverte.

Steg 1

\[f\prime(x)=6x^2-18x+12\]

Steg 2

\[f\prime(x)=6(x-1)(x-2)\]

Steg 3

Nullpunktene er \(x=1\) og \(x=2\).

Steg 4

\(f\prime(x)>0\) for \(x<1\), \(f\prime(x)<0\) for \(10\) for \(x>2\).

Tolkning

På intervallet stiger grafen for \(-\dfrac12

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne kritiske punkter og klassifisere dem.

Steg 1

\[6(x-1)(x-2)=0\]

Steg 2

\[x=1\quad\text{eller}\quad x=2\]

Steg 3

Fortegnet går fra positivt til negativt ved \(x=1\), så det er toppunkt.

Steg 4

\[f(1)=5\]

Steg 5

Fortegnet går fra negativt til positivt ved \(x=2\), så det er bunnpunkt, og \(f(2)=4\).

Tolkning

Toppunkt \((1,5)\), bunnpunkt \((2,4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at tredjegradsfunksjonen bare har ett reelt nullpunkt.

Steg 1

\[2x^3-9x^2+12x=0\]

Steg 2

\[x(2x^2-9x+12)=0\]

Steg 3

Én løsning er \(x=0\).

Steg 4

For \(2x^2-9x+12=0\) er diskriminanten

\[D=(-9)^2-4\cdot2\cdot12=81-96=-15\]

Steg 5

Siden \(D<0\), har andregradsfaktoren ingen reelle løsninger.

Tolkning

Dermed er \(x=0\) eneste reelle løsning.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tilpasse en andregradsmodell til tabellen.

Steg 1

Vi bruker modellen \(K(x)=ax^2+bx+c\).

Steg 2

Legg inn punktene \((200,2300)\), \((400,3000)\), \((600,3800)\), \((700,4200)\), \((800,4700)\), \((1000,5900)\).

Steg 3

Andregradsregresjon gir omtrent

\[K(x)\approx0{,}002067x^2+1{,}961x+1847{,}14\]

Steg 4

Regresjon gir en tilpasset kurve, ikke nødvendigvis en kurve som treffer alle punktene nøyaktig.

Tolkning

Modellen anslår totalkostnaden i kroner ved produksjon av \(x\) enheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
x = np.array([200,400,600,700,800,1000], dtype=float)
y = np.array([2300,3000,3800,4200,4700,5900], dtype=float)
print(np.polyfit(x, y, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne inntekt og kostnad i samme koordinatsystem.

Steg 1

Definer \(I(x)=-0{,}004x^2+9{,}5x+200\).

Steg 2

Definer \(K(x)=0{,}002x^2+2x+1800\).

Steg 3

Bruk produksjonsintervallet \(0\le x\le1400\).

Steg 4

Skjæringspunktene mellom grafene er viktige fordi de gir null overskudd.

Tolkning

Der \(I\) ligger over \(K\), har bedriften overskudd.

Hva spør oppgaven om? Overskudd betyr \(I(x)>K(x)\).

Steg 1

Overskudd er området der inntektsgrafen ligger over kostnadsgrafen.

Steg 2

Skjæringene mellom grafene er omtrent ved \(x\approx272{,}9\) og \(x\approx977{,}1\).

Steg 3

Bedriften har overskudd mellom disse punktene:

\[272{,}9

Steg 4

Størst overskudd finnes der den vertikale avstanden mellom \(I\)-grafen og \(K\)-grafen er størst.

Tolkning

Grafisk ligger dette rundt \(x=625\), som bekreftes i del f.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne \(O(x)=I(x)-K(x)\) og løse \(O(x)>0\).

Steg 1

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2

\[O(x)=(-0{,}004x^2+9{,}5x+200)-(0{,}002x^2+2x+1800)\]

Steg 3

\[O(x)=-0{,}006x^2+7{,}5x-1600\]

Steg 4

Løs \(O(x)=0\):

\[x\approx272{,}9\quad\text{eller}\quad x\approx977{,}1\]

Steg 5

Parabelen vender nedover, så \(O(x)>0\) mellom nullpunktene.

Tolkning

Overskudd fås når produksjonen er mellom ca. 273 og 977 enheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer \(I(x)\), og undersøker deretter \(O(x)\).

Steg 1

\[I\prime(x)=-0{,}008x+9{,}5\]

Steg 2

Sett \(I\prime(x)=0\):

\[-0{,}008x+9{,}5=0\]

Steg 3

\[x=\dfrac{9{,}5}{0{,}008}=1187{,}5\]

Steg 4

Inntektsparabelen vender nedover, så dette gir maksimal inntekt.

Steg 5

\[O(1187{,}5)\approx-1154{,}7\]

Tolkning

Produksjonen som gir størst inntekt, gir ikke overskudd.

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer \(O(x)=-0{,}006x^2+7{,}5x-1600\).

Steg 1

\[O\prime(x)=-0{,}012x+7{,}5\]

Steg 2

\[-0{,}012x+7{,}5=0\]

Steg 3

\[x=\dfrac{7{,}5}{0{,}012}=625\]

Steg 4

\[O(625)=-0{,}006\cdot625^2+7{,}5\cdot625-1600=743{,}75\]

Steg 5

Siden parabelen vender nedover, er dette et maksimum.

Tolkning

Størst overskudd oppnås ved 625 enheter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et lineært ulikhetssystem.

Steg 1 - Ikke-negative antall

\[x\ge0,\qquad y\ge0\]

Steg 2 - Areal

Personbiler bruker \(15x\), lastebiler bruker \(50y\), og samlet areal er maksimalt \(2100\):

\[15x+50y\le2100\]

Steg 3 - Vekt

Samlet vekt er \(x+10y\), og må være maksimalt \(250\):

\[x+10y\le250\]

Steg 4 - Samlet system

\[x\ge0,\quad y\ge0,\quad 15x+50y\le2100,\quad x+10y\le250\]

Tolkning

Alle mulige lastingar må ligge i området som oppfyller disse fire ulikhetene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grenselinjene og markere området under begge i første kvadrant.

Steg 1 - Areallinjen

\[15x+50y=2100\]

Skjærer aksene i \((140,0)\) og \((0,42)\).

Steg 2 - Vektlinjen

\[x+10y=250\]

Skjærer aksene i \((250,0)\) og \((0,25)\).

Steg 3 - Skjæring mellom linjene

Fra \(x+10y=250\) får vi \(x=250-10y\). Sett inn:

\[15(250-10y)+50y=2100\]

\[3750-100y=2100\Rightarrow y=16{,}5\]

Da er \(x=85\).

Steg 4 - Hjørnepunkter

Mulighetsområdet har hjørner \((0,0)\), \((140,0)\), \((85,16{,}5)\) og \((0,25)\), før heltallstilpasning.

Tolkning

Området er under begge linjer i første kvadrant.

Hva spør oppgaven om? Vi skal maksimere en lineær inntektsfunksjon med heltallskrav.

Steg 1 - Inntekt

\[I(x,y)=106x+603y\]

Steg 2 - Hjørnepunkter uten heltallskrav

Steg 3 - Heltall

\((85,16{,}5)\) er ikke mulig fordi antall lastebiler må være heltall.

Steg 4 - Sjekk nærmeste heltall

Ved \(y=16\) gir arealkravet \(15x+800\le2100\), altså \(x\le86{,}66\). Vektkravet gir \(x\le90\). Dermed er \(x=86\) mulig.

Steg 5 - Inntekt

\[I(86,16)=106\cdot86+603\cdot16=18764\]

Tolkning

Digitalt heltallssøk bekrefter at dette er best.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

best = None
for x in range(300):
    for y in range(100):
        if 15*x + 50*y <= 2100 and x + 10*y <= 250:
            value = 106*x + 603*y
            if best is None or value > best[0]:
                best = (value, x, y)
print(best)

Hva spør oppgaven om? Vi legger til vilkåret \(y\le14\) og maksimerer på nytt.

Steg 1 - Ny begrensning

\[y\le14\]

Steg 2 - Undersøk \(y=14\)

Lastebiler gir høy inntekt, så maksimum vil ligge på den nye grensen eller nær den.

Steg 3 - Finn største \(x\)

Areal:

\[15x+50\cdot14\le2100\Rightarrow15x+700\le2100\Rightarrow x\le93{,}33\]

Vekt:

\[x+10\cdot14\le250\Rightarrow x\le110\]

Arealet begrenser mest, så \(x=93\).

Steg 4 - Inntekt

\[I(93,14)=106\cdot93+603\cdot14=9858+8442=18300\]

Steg 5 - Kontroll

Heltallssøk med \(y\le14\) bekrefter at \((93,14)\) er best.

Tolkning

Den nye regelen reduserer maksimal inntekt fra \(18764\) til \(18300\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

best = None
for x in range(300):
    for y in range(15):
        if 15*x + 50*y <= 2100 and x + 10*y <= 250:
            value = 106*x + 603*y
            if best is None or value > best[0]:
                best = (value, x, y)
print(best)