Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle fire uttrykk ved å bruke kvadratsetninger, fellesnevner, potensregler og logaritmeregler.

Steg 1 - Forenkle 1) med konjugatsetningen

\[(a-2)(a+2)=a^2-4\]

Da blir uttrykket

\[5a^2+a^2-4-2a-1=6a^2-2a-5.\]

Steg 2 - Forenkle 2) med fellesnevner

Fellesnevneren er \(6x\), og \(x\neq 0\).

\[\dfrac{2(x-2)}{3x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4(x-2)}{6x}+\dfrac{3x}{6x}=\dfrac{7x-8}{6x}.\]

Steg 3 - Forenkle 3) med potensregler

\[(2a)^3=8a^3\]

Dermed får vi

\[\dfrac{a^4\cdot 2b^2}{(2a)^3}=\dfrac{2a^4b^2}{8a^3}=\dfrac{ab^2}{4}.\]

Steg 4 - Forenkle 4) med logaritmeregler

Vi bruker \(\lg u-\lg v=\lg\left(\dfrac{u}{v}\right)\).

\[\lg(a^2b)-\lg\left(\dfrac{1}{ab}\right)=\lg\left(\dfrac{a^2b}{1/(ab)}\right)=\lg(a^3b^2).\]

Dette kan også skrives som

\[3\lg a+2\lg b\]

når \(a>0\) og \(b>0\).

Tolkning

Uttrykkene er skrevet uten unødvendige parenteser, med én brøk i 2), lavest mulig potenser i 3) og samlet logaritme i 4).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, simplify
x, a, b = symbols('x a b')
print(expand(5*a**2 + (a-2)*(a+2) - (2*a+1)))
print(simplify(2*(x-2)/(3*x) + 1/2))
print(simplify(a**4*2*b**2/(2*a)**3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne de \(x\)-verdiene som gjør hver likning sann.

Steg 1 - Rydd opp i høyresiden i 1)

\[\dfrac{x}{6}-\left(\dfrac{x}{2}-1\right)=\dfrac{x}{6}-\dfrac{x}{2}+1=-\dfrac{x}{3}+1.\]

Steg 2 - Samle \(x\)-ledd og tall

\[\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{x}{3}+1\]

\[\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{3}=1+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{6}.\]

Steg 3 - Løs den lineære likningen

\[\dfrac{7x}{12}=\dfrac{7}{6}\]

\[x=2.\]

Steg 4 - Rydd opp i 2)

\[2x^2-2(x+2)=20\]

\[2x^2-2x-4=20\]

\[2x^2-2x-24=0.\]

Steg 5 - Del på 2 og faktoriser

\[x^2-x-12=0\]

\[(x-4)(x+3)=0.\]

Steg 6 - Bruk nullproduktregelen

\[x=4 \quad \text{eller} \quad x=-3.\]

Tolkning

Første likning har én løsning. Andre likning er en andregradslikning og har to løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x/4 - 1/6, x/6 - (x/2 - 1)), x))
print(solve(Eq(2*x**2 - 2*(x + 2), 20), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet vekt av én skrue og én mutter ved å sette opp et likningssett.

Steg 1 - Definer ukjente

La \(s\) være vekten av én skrue og \(m\) vekten av én mutter, målt i gram.

Steg 2 - Oversett teksten til likninger

\[3s+2m=57\]

\[s+3m=33\]

Steg 3 - Eliminer én ukjent

Multipliser den andre likningen med 3:

\[3s+9m=99\]

Trekk den første likningen fra denne:

\[7m=42.\]

Steg 4 - Finn vekten av én mutter

\[m=6.\]

Steg 5 - Finn vekten av én skrue

Sett \(m=6\) inn i \(s+3m=33\):

\[s+18=33\]

\[s=15.\]

Steg 6 - Svar på det oppgaven spør om

\[s+m=15+6=21.\]

Tolkning

Én skrue og én mutter veier til sammen 21 gram.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
s, m = symbols('s m')
print(solve([Eq(3*s + 2*m, 57), Eq(s + 3*m, 33)], [s, m]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle \(x\)-verdier som gjør andregradsuttrykket mindre enn eller lik 3.

Steg 1 - Flytt alt til én side

\[x^2-2x\le 3\]

\[x^2-2x-3\le 0.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[x^2-2x-3=(x-3)(x+1).\]

Steg 3 - Finn nullpunktene

\[(x-3)(x+1)=0\]

\[x=3 \quad \text{eller} \quad x=-1.\]

Steg 4 - Lag fortegnsdrøfting

Fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv, vender parabelen oppover. Uttrykket er derfor negativt eller null mellom nullpunktene.

\[(x-3)(x+1)\le 0 \quad \text{for} \quad -1\le x\le 3.\]

Steg 5 - Ta med endepunktene

Siden ulikhetstegnet er \(\le\), skal nullpunktene være med i løsningen.

Tolkning

Alle tall fra og med \(-1\) til og med \(3\) oppfyller ulikheten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(x**2 - 2*x <= 3, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut funksjonsverdiene for de fem gitte \(x\)-verdiene.

Steg 1 - Sett inn \(x=-1\)

\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2.\]

Steg 2 - Sett inn \(x=0\)

\[f(0)=0^3-3\cdot 0^2+2=2.\]

Steg 3 - Sett inn \(x=1\)

\[f(1)=1^3-3\cdot1^2+2=0.\]

Steg 4 - Sett inn \(x=2\)

\[f(2)=2^3-3\cdot2^2+2=8-12+2=-2.\]

Steg 5 - Sett inn \(x=3\)

\[f(3)=3^3-3\cdot3^2+2=27-27+2=2.\]

Tolkning

Tabellen gir punkter som kan brukes når grafen skal tegnes.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def f(x):
    return x**3 - 3*x**2 + 2
print([f(t) for t in [-1, 0, 1, 2, 3]])

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere funksjonen, undersøke fortegnet til den deriverte og bruke det til å finne ekstremalpunkter.

Steg 1 - Deriver ledd for ledd

\[f(x)=x^3-3x^2+2\]

\[f'(x)=3x^2-6x.\]

Steg 2 - Faktoriser den deriverte

\[f'(x)=3x(x-2).\]

Steg 3 - Finn kritiske punkt

\[3x(x-2)=0\]

\[x=0 \quad \text{eller} \quad x=2.\]

Steg 4 - Fortegnsdrøft \(f'(x)\)

For \(x<0\) er både \(x\) og \(x-2\) negative, derfor er \(f'(x)>0\). For \(02\) er begge positive, derfor er \(f'(x)>0\).

\[\begin{array}{c|ccccc}x&(-\infty,0)&0&(0,2)&2&(2,\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\end{array}\]

Steg 5 - Klassifiser punktene

Ved \(x=0\) går \(f'(x)\) fra positiv til negativ. Det gir toppunkt.

Ved \(x=2\) går \(f'(x)\) fra negativ til positiv. Det gir bunnpunkt.

Steg 6 - Finn \(y\)-verdiene

\[f(0)=2\]

\[f(2)=-2.\]

Tolkning

Grafen stiger fram til \(x=0\), synker fra \(x=0\) til \(x=2\), og stiger etter \(x=2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 + 2
fp = diff(f, x)
print(fp)
print(solve(fp, x))
print([(t, f.subs(x, t)) for t in solve(fp, x)])

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen til \(f(x)=x^3-3x^2+2\) ved å bruke tabellen og drøftingen.

Steg 1 - Bruk punktene fra tabellen

Vi har punktene \((-1,-2)\), \((0,2)\), \((1,0)\), \((2,-2)\) og \((3,2)\).

Steg 2 - Marker ekstremalpunktene

Toppunktet er \((0,2)\), og bunnpunktet er \((2,-2)\).

Steg 3 - Bruk monotoniegenskapene

Grafen skal stige før \(x=0\), synke mellom \(x=0\) og \(x=2\), og stige etter \(x=2\).

Steg 4 - Tegn en jevn tredjegradskurve

Siden \(f\) er et polynom, skal grafen være glatt og uten brudd.

Tolkning

Skissen stemmer med både funksjonsverdiene og fortegnet til den deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstallet til sekanten mellom punktene på grafen der \(x=2\) og \(x=3\).

Steg 1 - Finn funksjonsverdiene

\[f(2)=-2\]

\[f(3)=2.\]

Steg 2 - Bruk formelen for gjennomsnittlig veksthastighet

\[\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}\]

Steg 3 - Sett inn verdiene

\[\dfrac{2-(-2)}{3-2}=\dfrac{4}{1}=4.\]

Steg 4 - Grafisk tolkning

Grafisk er dette stigningstallet til linjen gjennom punktene \((2,-2)\) og \((3,2)\).

Steg 5 - Sammenlign grafisk og algebraisk svar

Når \(x\) øker fra 2 til 3, øker \(y\) fra \(-2\) til \(2\). Økningen i \(y\) er 4 på én \(x\)-enhet.

Tolkning

I intervallet \([2,3]\) øker funksjonen i gjennomsnitt med 4 per \(x\)-enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def f(x):
    return x**3 - 3*x**2 + 2
print((f(3) - f(2))/(3 - 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en eksponentiallikning ved å gjøre den om til en andregradslikning.

Steg 1 - Innfør en ny variabel

Sett \(u=10^x\). Da er \(10^{2x}=(10^x)^2=u^2\).

Steg 2 - Skriv likningen med \(u\)

\[u^2-u-6=0.\]

Steg 3 - Faktoriser andregradslikningen

\[u^2-u-6=(u-3)(u+2).\]

Steg 4 - Finn mulige \(u\)-verdier

\[(u-3)(u+2)=0\]

\[u=3 \quad \text{eller} \quad u=-2.\]

Steg 5 - Forkast umulig løsning

Siden \(u=10^x\), må \(u>0\). Derfor forkastes \(u=-2\).

Steg 6 - Gå tilbake til \(x\)

\[10^x=3\]

\[x=\lg 3\approx 0{,}477.\]

Tolkning

Likningen har én reell løsning fordi bare den positive \(u\)-verdien kan komme fra \(10^x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, log, N
x = symbols('x')
sol = solve(10**(2*x) - 10**x - 6, x)
print(sol)
print([N(s) for s in sol])

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en logaritmelikning og samtidig passe på definisjonsmengden.

Steg 1 - Finn definisjonskravet

Logaritmene krever

\[2x-2>0 \quad \text{og} \quad x+5>0.\]

Dermed må \(x>1\).

Steg 2 - Bruk logaritmeregelen for differanse

\[\lg(2x-2)-\lg(x+5)=\lg\left(\dfrac{2x-2}{x+5}\right).\]

Steg 3 - Bruk at \(\lg(1)=0\)

Når logaritmen er lik 0, må argumentet være 1:

\[\dfrac{2x-2}{x+5}=1.\]

Steg 4 - Løs likningen

\[2x-2=x+5\]

\[x=7.\]

Steg 5 - Kontroller definisjonsmengden

\[7>1\]

Derfor er løsningen gyldig.

Tolkning

Ved \(x=7\) er de to logaritmeuttrykkene like, slik at differansen blir 0.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, log, Eq
x = symbols('x')
print(solve(Eq(log(2*x - 2, 10) - log(x + 5, 10), 0), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at begge de to mennene er blant de 5 utvalgte.

Steg 1 - Velg modell

Utvalget skjer uten tilbakelegging, så vi bruker kombinatorikk/hypergeometrisk modell.

Steg 2 - Finn antall mulige utvalg

Totalt kan vi velge 5 av 20 ansatte på

\[\binom{20}{5}\]

måter.

Steg 3 - Finn gunstige utvalg

Begge mennene må velges, og de tre siste plassene må fylles av kvinner:

\[\binom{2}{2}\binom{18}{3}.\]

Steg 4 - Sett opp sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{2}{2}\binom{18}{3}}{\binom{20}{5}}.\]

Steg 5 - Regn ut

\[P=\dfrac{1}{19}\approx 0{,}0526.\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(5{,}3\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
from fractions import Fraction
P = Fraction(comb(2,2)*comb(18,3), comb(20,5))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at utvalget inneholder nøyaktig én mann og fire kvinner.

Steg 1 - Totalt antall utvalg

Som før er totalt antall mulige utvalg

\[\binom{20}{5}.\]

Steg 2 - Velg én av mennene

Det kan gjøres på

\[\binom{2}{1}\]

måter.

Steg 3 - Velg fire kvinner

Det kan gjøres på

\[\binom{18}{4}\]

måter.

Steg 4 - Sett opp sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{2}{1}\binom{18}{4}}{\binom{20}{5}}.\]

Steg 5 - Regn ut

\[P=\dfrac{15}{38}\approx 0{,}3947.\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(39{,}5\ \%\).

Kontroll

from math import comb
from fractions import Fraction
P = Fraction(comb(2,1)*comb(18,4), comb(20,5))
print(P, float(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for nøyaktig én bestått blant fem personer når hver person har sannsynlighet \(0{,}25\) for å bestå.

Steg 1 - Velg modell

Vi bruker binomisk modell med \(n=5\) og \(p=0{,}25\).

Steg 2 - Definer variabelen

La \(X\) være antall personer som består. Da er

\[X\sim \operatorname{Bin}(5,0{,}25).\]

Steg 3 - Bruk binomisk formel

\[P(X=1)=\binom{5}{1}(0{,}25)^1(0{,}75)^4.\]

Steg 4 - Regn ut

\[P(X=1)=\dfrac{405}{1024}\approx 0{,}3955.\]

Tolkning

Det er omtrent \(39{,}6\ \%\) sannsynlighet for at akkurat én av de fem består.

Kontroll

from math import comb
P = comb(5,1)*(0.25)**1*(0.75)**4
print(P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(P(X\ge 2)\) når \(X\sim \operatorname{Bin}(5,0{,}25)\).

Steg 1 - Bruk komplement

Det er enklere å regne

\[P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).\]

Steg 2 - Finn \(P(X=0)\)

\[P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}25)^0(0{,}75)^5=0{,}75^5.\]

Steg 3 - Bruk verdien for \(P(X=1)\)

Fra forrige deloppgave:

\[P(X=1)=\binom{5}{1}(0{,}25)(0{,}75)^4.\]

Steg 4 - Regn ut komplementet

\[P(X\ge 2)=1-0{,}75^5-5\cdot0{,}25\cdot0{,}75^4.\]

Steg 5 - Forenkle

\[P(X\ge 2)=\dfrac{47}{128}\approx 0{,}3672.\]

Tolkning

Sannsynligheten for at minst to består er omtrent \(36{,}7\ \%\).

Kontroll

from math import comb
P = sum(comb(5,k)*(0.25)**k*(0.75)**(5-k) for k in range(2,6))
print(P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne minste \(n\) slik at sannsynligheten for minst én bestått er minst \(0{,}95\).

Steg 1 - Definer modellen

For \(n\) deltakere er sannsynligheten for at ingen består

\[(0{,}75)^n.\]

Steg 2 - Bruk komplementet

Sannsynligheten for minst én bestått er

\[1-(0{,}75)^n.\]

Steg 3 - Sett opp kravet

\[1-(0{,}75)^n\ge 0{,}95.\]

Steg 4 - Løs ulikheten

\[(0{,}75)^n\le 0{,}05.\]

Ved logaritmer:

\[n\ge \dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}75)}\approx 10{,}41.\]

Steg 5 - Rund riktig vei

Antall deltakere må være et helt tall, og kravet skal være minst 95 %. Derfor må vi runde opp:

\[n=11.\]

Steg 6 - Kontroller kravet

\[1-0{,}75^{11}\approx 0{,}958.\]

For \(n=10\) får vi omtrent \(0{,}944\), som er for lavt.

Tolkning

Bedriften må melde på minst 11 deltakere.

Kontroll

import math
n_min = math.log(0.05)/math.log(0.75)
print(n_min)
print(1 - 0.75**10, 1 - 0.75**11)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et koordinatsystem, finne en eksponentiell modell, tolke momentan vekst og bruke modellen til framskriving.

Steg 1 - Gjør om årstall til \(x\)-verdier

Siden \(x\) er antall år etter 1950, får vi punktene

\[(0,2{,}5),\quad (30,4{,}4),\quad (53,6{,}3).\]

Steg 2 - Marker punktene

Punktene plasseres i et koordinatsystem med \(x\)-akse som år etter 1950 og \(y\)-akse som milliarder mennesker.

Steg 3 - Velg modelltype

En eksponentialfunksjon kan skrives som

\[y=A\cdot b^x.\]

Regresjon på de tre punktene gir omtrent

\[y=2{,}5305\cdot 1{,}01766^x.\]

Steg 4 - Finn momentan veksthastighet i 1980

Året 1980 tilsvarer \(x=30\). For modellen \(y=A\cdot b^x\) er den deriverte

\[y'=A\cdot b^x\cdot \ln b.\]

Dermed blir

\[y'(30)\approx 0{,}0749.\]

Steg 5 - Tolk veksthastigheten

Dette betyr omtrent \(0{,}075\) milliarder mennesker per år, altså omtrent 75 millioner mennesker per år.

Steg 6 - Finn folketallet i 2020

Året 2020 tilsvarer \(x=70\).

\[y(70)=2{,}5305\cdot 1{,}01766^{70}\approx 8{,}62.\]

Modellen gir omtrent \(8{,}6\) milliarder mennesker.

Steg 7 - Finn når folketallet passerer 8,0 milliarder

Vi løser

\[2{,}5305\cdot 1{,}01766^x=8{,}0.\]

\[x=\dfrac{\ln(8{,}0/2{,}5305)}{\ln(1{,}01766)}\approx 65{,}74.\]

Årstallet blir

\[1950+65{,}74\approx 2015{,}74.\]

Tolkning

Etter modellen passerer folketallet 8 milliarder omtrent i 2016. Dette er en modellberegning, ikke en sikker prognose.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np, math
x = np.array([0, 30, 53], dtype=float)
y = np.array([2.5, 4.4, 6.3], dtype=float)
B, lnA = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
A, b = math.exp(lnA), math.exp(B)
print(A, b)
print(A*b**70)
print(math.log(8/A)/math.log(b) + 1950)
print(A*b**30*math.log(b))

Hva spør oppgaven om? Vi skal analysere en rasjonal funksjon, tegne grafer og undersøke antall skjæringspunkter med linjer.

Steg 1 - Finn ulovlig \(x\)-verdi

Nevneren kan ikke være 0:

\[2x+6\neq 0\]

\[x\neq -3.\]

Verdien \(x=-3\) kan ikke brukes.

Steg 2 - Forklar hvorfor \(f(x)=1\) ikke har løsning

\[\dfrac{2x-3}{2x+6}=1\]

\[2x-3=2x+6\]

\[-3=6.\]

Dette er umulig, derfor har likningen ingen løsning.

Steg 3 - Tegn grafen til \(f\)

Grafen har vertikal asymptote \(x=-3\). For store positive og negative \(x\)-verdier nærmer grafen seg \(y=1\).

Steg 4 - Løs \(f(x)=g(x)\)

\[\dfrac{2x-3}{2x+6}=2x+1.\]

Multipliser med \(2x+6\), der \(x\neq -3\):

\[2x-3=(2x+1)(2x+6).\]

\[2x-3=4x^2+14x+6.\]

\[4x^2+12x+9=0.\]

Steg 5 - Faktoriser

\[4x^2+12x+9=(2x+3)^2.\]

Dermed er

\[x=-\dfrac{3}{2}.\]

Steg 6 - Undersøk \(h(x)=ax+1\)

Likningen \(f(x)=h(x)\) gir

\[\dfrac{2x-3}{2x+6}=ax+1.\]

Multipliser med \(2x+6\):

\[2x-3=(ax+1)(2x+6).\]

Etter rydding får vi

\[2ax^2+6ax+9=0.\]

Steg 7 - Bruk diskriminanten

For to løsninger må andregradslikningen ha \(D>0\):

\[D=(6a)^2-4\cdot 2a\cdot 9=36a^2-72a=36a(a-2).\]

\[36a(a-2)>0.\]

Dette gir

\[a<0 \quad \text{eller} \quad a>2.\]

Tolkning

Linjen \(h(x)=ax+1\) skjærer grafen til \(f\) i to punkter når stigningstallet er negativt eller større enn 2.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, discriminant, factor
x, a = symbols('x a')
print(solve((2*x-3)/(2*x+6) - (2*x+1), x))
poly = 2*a*x**2 + 6*a*x + 9
print(factor(discriminant(poly, x)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal formulere et lineært optimeringsproblem, finne hjørnepunktene i det mulige området og velge den produksjonen som gir størst inntekt.

Steg 1 - Gjør kg om til gram

Tilgjengelige råvarer er

\[5500\text{ g},\quad 9000\text{ g},\quad 6750\text{ g},\quad 4500\text{ g}.\]

Steg 2 - Sett opp begrensningene

Kasjunøtter:

\[100x+50y\le 5500 \quad \Rightarrow \quad 2x+y\le 110.\]

Peanøtter:

\[75x+125y\le 9000 \quad \Rightarrow \quad 3x+5y\le 360.\]

Rosiner:

\[50x+75y\le 6750 \quad \Rightarrow \quad 2x+3y\le 270.\]

Sjokoladekuler:

\[75x+50y\le 4500 \quad \Rightarrow \quad 3x+2y\le 180.\]

I tillegg må \(x\ge 0\) og \(y\ge 0\).

Steg 3 - Sett opp inntektsfunksjonen

Inntekten er

\[I=30x+25y.\]

Steg 4 - Finn aktuelle hjørnepunkter

Ved å løse skjæringer mellom grenselinjene og aksene får vi blant annet hjørnepunktene

\[(0,0),\quad (55,0),\quad (40,30),\quad (20,60),\quad (0,72).\]

Steg 5 - Regn inntekt i hjørnepunktene

Størst inntekt er \(2100\) kroner ved \((x,y)=(20,60)\).

Steg 6 - Kontroller råvarebruken ved \(x=20\), \(y=60\)

Kasjunøtter:

\[100\cdot20+50\cdot60=5000\text{ g}.\]

Peanøtter:

\[75\cdot20+125\cdot60=9000\text{ g}.\]

Rosiner:

\[50\cdot20+75\cdot60=5500\text{ g}.\]

Sjokoladekuler:

\[75\cdot20+50\cdot60=4500\text{ g}.\]

Steg 7 - Finn det som er til overs

Kasjunøtter:

\[5500-5000=500\text{ g}.\]

Peanøtter:

\[9000-9000=0\text{ g}.\]

Rosiner:

\[6750-5500=1250\text{ g}.\]

Sjokoladekuler:

\[4500-4500=0\text{ g}.\]

Tolkning

Elevbedriften bør lage 20 poser av blanding A og 60 poser av blanding B. Da brukes alle peanøttene og sjokoladekulene, mens noe kasjunøtter og rosiner blir igjen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

best = None
for x in range(200):
    for y in range(200):
        ok = (2*x + y <= 110 and 3*x + 5*y <= 360 and
              2*x + 3*y <= 270 and 3*x + 2*y <= 180)
        if ok:
            income = 30*x + 25*y
            if best is None or income > best[0]:
                best = (income, x, y)
print(best)
# leftovers in grams
x, y = 20, 60
print(5500 - (100*x + 50*y))
print(9000 - (75*x + 125*y))
print(6750 - (50*x + 75*y))
print(4500 - (75*x + 50*y))