Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle verdier av \(x\) som gjør ulikheten sann. Siden uttrykket er lineært, kan vi flytte ledd og isolere \(x\).

Steg 1 — Samle x-leddene på én side

Trekk fra \(2x\) på begge sider:

\[2x+4-2x\le 4x+8-2x\]

Da får vi \[4\le 2x+8\]

Steg 2 — Samle konstantleddene

Trekk fra \(8\) på begge sider:

\[4-8\le 2x\]

Altså \[-4\le 2x\]

Steg 3 — Del på positivt tall

Vi deler på \(2\). Siden \(2\) er positivt, snur ikke ulikhetstegnet:

\[-2\le x\]

Steg 4 — Skriv svaret på vanlig form

\[-2\le x\quad \Longleftrightarrow \quad x\ge -2\]

Steg 5 — Kontroll med innsetting

For \(x=-2\) får vi venstre side \(0\) og høyre side \(0\). Grenseverdien stemmer.

Tolkning

Alle tall som er større enn eller lik \(-2\), løser ulikheten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols("x")
print(solve_univariate_inequality(2*x + 4 <= 4*x + 8, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradsulikhet. Først samler vi alt på én side, deretter finner vi nullpunkter og bruker fortegn.

Steg 1 — Flytt alt til venstre side

\[2x^2+10x-(x^2+10x+25)>0\]

Dette gir \[x^2-25>0\]

Steg 2 — Faktoriser uttrykket

\[x^2-25=(x-5)(x+5)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[(x-5)(x+5)=0\]

Dermed er \(x=5\) eller \(x=-5\).

Steg 4 — Lag fortegnsdrøfting

Parabelen \(x^2-25\) vender oppover. Den er positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem.

\[x^2-25>0 \quad ext{for} \quad x<-5 ext{ eller } x>5\]

Steg 5 — Husk streng ulikhet

Siden tegnet er \(>\), skal nullpunktene ikke tas med i løsningen.

Tolkning

Løsningen består av to intervaller: ett til venstre for \(-5\) og ett til høyre for \(5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols("x")
print(solve_univariate_inequality(2*x**2 + 10*x > x**2 + 10*x + 25, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\)-verdien der grafen har \(y\)-verdi \(4\). Grafisk leses skjæringen av, og algebraisk løser vi logaritmelikningen.

Steg 1 — Grafisk idé

På grafen tegner vi linjen \(y=4\). Skjæringen med grafen til \(f\) ligger litt over \(x=3\).

Steg 2 — Sett opp likningen

\[2\lg x+3=4\]

Steg 3 — Isoler logaritmen

Trekk fra \(3\):

\[2\lg x=1\]

Del på \(2\):

\[\lg x=\dfrac{1}{2}\]

Steg 4 — Gå fra logaritme til potens

\(\lg x=\dfrac{1}{2}\) betyr at \(10^{1/2}=x\). Derfor

\[x=10^{1/2}=\sqrt{10}\]

Steg 5 — Desimalverdi

\[\sqrt{10}pprox 3{,}16\]

Dette passer med den grafiske avlesningen.

Tolkning

Grafisk får vi omtrent \(x=3{,}2\), mens regning gir den eksakte verdien \(\sqrt{10}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, log, N
x = symbols("x", positive=True)
sol = solve(Eq(2*log(x,10)+3, 4), x)
print(sol, [N(s) for s in sol])

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av den momentane vekstfarten ved \(x=3\). Det betyr stigningstallet til tangenten i punktet på grafen.

Steg 1 — Finn punktet på grafen

Ved \(x=3\) ligger grafen litt under \(y=4\), omtrent ved \(f(3)pprox 4{,}0\).

Steg 2 — Tegn en tangent mentalt/grafisk

Tangenten ved \(x=3\) er slak og stigende. Vi leser av to omtrentlige punkter på tangenten.

Steg 3 — Bruk stigningstall

Stigningstall er

\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\]

Fra grafen får vi omtrent \(\Delta ypprox 0{,}3\) når \(\Delta xpprox 1\).

Steg 4 — Avlesning

Dermed er

\[f\prime(3)pprox 0{,}3\]

Steg 5 — Kontroll med formel

For \(f(x)=2\lg x+3\) er

\[f\prime(x)=\dfrac{2}{x\ln 10}\]

Da blir

\[f\prime(3)=\dfrac{2}{3\ln 10}pprox 0{,}29\]

Tolkning

Den grafiske avlesningen \(0{,}3\) er rimelig, og den digitale kontrollen gir omtrent \(0{,}29\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log, diff, N
x = symbols("x", positive=True)
f = 2*log(x,10) + 3
print(diff(f,x))
print(N(diff(f,x).subs(x,3)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punkt der en parabel og en rett linje skjærer hverandre. Vi bruker innsettingsmetoden.

Steg 1 — Løs den lineære likningen for \(y\)

Fra \(4x-y=6\) får vi

\[-y=6-4x\]

\[y=4x-6\]

Steg 2 — Sett inn i den andre likningen

\[2x^2-2x-(4x-6)=2\]

Steg 3 — Forenkle

\[2x^2-2x-4x+6=2\]

\[2x^2-6x+4=0\]

Del på \(2\):

\[x^2-3x+2=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\]

Dermed er \(x=1\) eller \(x=2\).

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

Når \(x=1\), er \(y=4\cdot 1-6=-2\).

Når \(x=2\), er \(y=4\cdot 2-6=2\).

Tolkning

Likningssettet har to løsninger fordi den rette linjen skjærer parabelen i to punkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x, y = symbols("x y")
print(solve([2*x**2 - 2*x - y - 2, 4*x - y - 6], [x, y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle et potensuttrykk. Vi bruker potensreglene systematisk for \(a\) og \(b\).

Steg 1 — Bruk potens av potens

\[(a^2)^2=a^{2\cdot 2}=a^4\]

Steg 2 — Bruk regelen for nullte potens

\[b^0=1\]

Dette gjelder når \(b e 0\).

Steg 3 — Skriv uttrykket på nytt

\[\dfrac{a^4\cdot 1\cdot a^{-2}\cdot b^2}{b\cdot a}\]

Steg 4 — Samle \(a\)-potensene

I telleren får vi

\[a^4\cdot a^{-2}=a^{4-2}=a^2\]

Så deler vi på \(a\):

\[\dfrac{a^2}{a}=a\]

Steg 5 — Samle \(b\)-potensene

\[\dfrac{b^2}{b}=b\]

Dermed blir hele uttrykket \(ab\).

Tolkning

Uttrykket kan forenkles helt ned til ett produkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
a, b = symbols("a b", nonzero=True)
expr = ((a**2)**2*b**0*a**(-2)*b**2)/(b*a)
print(simplify(expr))

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere funksjonen og bruke fortegnet til den deriverte til å bestemme vekstintervaller.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[\left(\dfrac{1}{3}x^3 ight)\prime=x^2\]

\[\left(\dfrac{1}{2}x^2 ight)\prime=x\]

\[(-6x)\prime=-6\]

Steg 2 — Skriv den deriverte

\[f\prime(x)=x^2+x-6\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+x-6=(x+3)(x-2)\]

Steg 4 — Finn kritiske punkt

\[f\prime(x)=0\]

gir \(x=-3\) og \(x=2\).

Steg 5 — Fortegnsdrøfting

For \(x<-3\) er begge faktorene negative, så \(f\prime(x)>0\).

For \(-3

For \(x>2\) er begge faktorene positive, så \(f\prime(x)>0\).

Tolkning

Grafen stiger når den deriverte er positiv, og synker når den deriverte er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, factor
x = symbols("x")
f = x**3/3 + x**2/2 - 6*x
print(diff(f,x))
print(factor(diff(f,x)))

Hva spør oppgaven om? Vi bruker fortegnsendringene fra den deriverte og regner funksjonsverdiene i de kritiske punktene.

Steg 1 — Bruk de kritiske \(x\)-verdiene

Fra forrige deloppgave har vi \(x=-3\) og \(x=2\).

Steg 2 — Klassifiser \(x=-3\)

\(f\prime(x)\) går fra positiv til negativ ved \(x=-3\). Derfor har grafen et toppunkt der.

Steg 3 — Regn \(f(-3)\)

\[f(-3)=\dfrac{1}{3}(-3)^3+\dfrac{1}{2}(-3)^2-6(-3)\]

\[f(-3)=-9+\dfrac{9}{2}+18=\dfrac{27}{2}\]

Steg 4 — Klassifiser \(x=2\)

\(f\prime(x)\) går fra negativ til positiv ved \(x=2\). Derfor har grafen et bunnpunkt der.

Steg 5 — Regn \(f(2)\)

\[f(2)=\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{2}-12\]

\[f(2)=\dfrac{8}{3}+2-12=-\dfrac{22}{3}\]

Tolkning

Grafen har ett lokalt toppunkt og ett lokalt bunnpunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, Rational
x = symbols("x")
f = Rational(1,3)*x**3 + Rational(1,2)*x**2 - 6*x
crit = solve(diff(f,x), x)
print([(c, f.subs(x,c)) for c in crit])

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise verdien av en binomialkoeffisient. Dette teller antall måter å velge \(4\) objekter blant \(8\), uten rekkefølge.

Steg 1 — Bruk formelen

\[inom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\]

Steg 2 — Sett inn \(n=8\) og \(r=4\)

\[inom{8}{4}=\dfrac{8!}{4!(8-4)!}=\dfrac{8!}{4!4!}\]

Steg 3 — Forkort

\[\dfrac{8!}{4!4!}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\]

Steg 4 — Regn ut

\[\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{1680}{24}=70\]

Steg 5 — Kontroller betydning

Dette er antall grupper på fire sykler vi kan velge fra åtte sykler.

Tolkning

Det finnes \(70\) ulike utvalg på fire sykler fra åtte sykler.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print(comb(8,4))

Hva spør oppgaven om? Vi trekker to sykler uten tilbakelegging. Derfor endres sannsynligheten etter første reparasjon.

Steg 1 — Første sykkel

Det er \(4\) røde av \(8\) sykler:

\[P( ext{rød først})=\dfrac{4}{8}\]

Steg 2 — Andre sykkel gitt at den første var rød

Da er det \(3\) røde igjen av \(7\) sykler:

\[P( ext{rød andre}\mid ext{rød først})=\dfrac{3}{7}\]

Steg 3 — Multipliser

\[P( ext{to røde først})=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{3}{7}\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{3}{14}\]

Steg 5 — Modellkontroll

Rekkefølgen betyr noe her, fordi oppgaven spør om de to første reparasjonene.

Tolkning

Sannsynligheten er litt over \(0{,}21\), altså omtrent \(21{,}4\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
print(Fraction(4,8)*Fraction(3,7))

Hva spør oppgaven om? Vi velger \(4\) sykler av \(8\), og rekkefølgen er ikke viktig fordi vi bare spør hvor mange røde og blå som er reparert før lunsj.

Steg 1 — Antall mulige utvalg

Antall måter å velge \(4\) sykler fra \(8\) er

\[inom{8}{4}=70\]

Steg 2 — Gunstige utvalg

Vi skal ha \(3\) røde fra \(4\) røde og \(1\) blå fra \(4\) blå:

\[inom{4}{3}inom{4}{1}\]

Steg 3 — Regn gunstige utvalg

\[inom{4}{3}inom{4}{1}=4\cdot 4=16\]

Steg 4 — Lag sannsynligheten

\[P=\dfrac{16}{70}\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{16}{70}=\dfrac{8}{35}\]

Tolkning

Sannsynligheten for nøyaktig tre røde blant de fire reparerte er \(\dfrac{8}{35}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
from math import comb
print(Fraction(comb(4,3)*comb(4,1), comb(8,4)))

Hva spør oppgaven om? Minst \(3\) røde betyr enten nøyaktig \(3\) røde eller nøyaktig \(4\) røde. Vi summerer disse disjunkte tilfellene.

Steg 1 — Skriv hendelsen

\[P( ext{minst 3 røde})=P(3 ext{ røde})+P(4 ext{ røde})\]

Steg 2 — Bruk resultatet for 3 røde

Fra forrige deloppgave er antall gunstige for \(3\) røde og \(1\) blå

\[inom{4}{3}inom{4}{1}=16\]

Steg 3 — Tell utvalg med 4 røde

\[inom{4}{4}inom{4}{0}=1\cdot 1=1\]

Steg 4 — Summer gunstige utvalg

\[16+1=17\]

Steg 5 — Del på alle utvalg

\[P=\dfrac{17}{inom{8}{4}}=\dfrac{17}{70}\]

Tolkning

Sannsynligheten er \(\dfrac{17}{70}\), omtrent \(24{,}3\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
from math import comb
print(Fraction(comb(4,3)*comb(4,1)+comb(4,4)*comb(4,0), comb(8,4)))

Hva spør oppgaven om? Vi modellerer antall seksere som binomisk fordelt, fordi hvert terningkast har to utfall i modellen: sekser eller ikke sekser.

Steg 1 — Definer tilfeldig variabel

La \(X\) være antall seksere blant seks terninger.

Steg 2 — Velg modell

Hvert kast har \(P( ext{sekser})=\dfrac{1}{6}\), og kastene er uavhengige. Derfor er

\[X\sim \operatorname{Bin}\left(6,\dfrac{1}{6} ight)\]

Steg 3 — Bruk binomisk formel

\[P(X=1)=inom{6}{1}\left(\dfrac{1}{6} ight)^1\left(\dfrac{5}{6} ight)^5\]

Steg 4 — Forenkle

\[P(X=1)=6\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{5}{6} ight)^5=\left(\dfrac{5}{6} ight)^5\]

Steg 5 — Desimalverdi

\[\left(\dfrac{5}{6} ight)^5pprox 0{,}402\]

Tolkning

Sannsynligheten for akkurat én sekser er omtrent \(40{,}2\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import binomial, Rational, N
p = binomial(6,1)*Rational(1,6)*Rational(5,6)**5
print(p, N(p))

Hva spør oppgaven om? Høyst \(4\) seksere betyr \(X\le 4\). Det er enklest å bruke komplementet: ikke \(5\) eller \(6\) seksere.

Steg 1 — Bruk samme modell

\[X\sim \operatorname{Bin}\left(6,\dfrac{1}{6} ight)\]

Steg 2 — Skriv komplementet

\[P(X\le 4)=1-P(X=5)-P(X=6)\]

Steg 3 — Regn \(P(X=5)\)

\[P(X=5)=inom{6}{5}\left(\dfrac{1}{6} ight)^5\left(\dfrac{5}{6} ight)=\dfrac{30}{46656}\]

Steg 4 — Regn \(P(X=6)\)

\[P(X=6)=\left(\dfrac{1}{6} ight)^6=\dfrac{1}{46656}\]

Steg 5 — Trekk fra

\[P(X\le 4)=1-\dfrac{31}{46656}=\dfrac{46625}{46656}pprox 0{,}9993\]

Tolkning

Det er svært sannsynlig å få høyst fire seksere når man bare kaster seks terninger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import binomial, Rational, N
p = 1 - binomial(6,5)*Rational(1,6)**5*Rational(5,6) - Rational(1,6)**6
print(p, N(p))

Hva spør oppgaven om? Minst én sekser er komplementet til ingen seksere. Det gir en kort og sikker løsning.

Steg 1 — Definer hendelsen

Vi ønsker \(P(X\ge 1)\).

Steg 2 — Bruk komplementet

\[P(X\ge 1)=1-P(X=0)\]

Steg 3 — Regn \(P(X=0)\)

Ingen seksere betyr at alle seks terningene ikke viser sekser:

\[P(X=0)=\left(\dfrac{5}{6} ight)^6\]

Steg 4 — Sett inn

\[P(X\ge 1)=1-\left(\dfrac{5}{6} ight)^6\]

Steg 5 — Desimalverdi

\[1-\left(\dfrac{5}{6} ight)^6pprox 0{,}665\]

Tolkning

Sannsynligheten for minst én sekser i et kast med seks terninger er omtrent \(66{,}5\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, N
p = 1 - Rational(5,6)**6
print(p, N(p))

Hva spør oppgaven om? Ett kast med alle seks terningene har sannsynlighet \(p=1-\left(\dfrac{5}{6} ight)^6\) for minst én sekser. Vi gjentar hele forsøket \(n\) ganger og bruker komplement.

Steg 1 — Sannsynlighet for ingen sekser i ett forsøk

I ett kast med seks terninger er sannsynligheten for ingen sekser

\[q=\left(\dfrac{5}{6} ight)^6\]

Steg 2 — Ingen sekser i \(n\) slike forsøk

\[q^n=\left(\left(\dfrac{5}{6} ight)^6 ight)^n\]

Steg 3 — Minst én sekser i løpet av \(n\) forsøk

\[P=1-q^n\]

Steg 4 — Sett opp ulikheten

\[1-q^n>0{,}99\]

\[q^n<0{,}01\]

Steg 5 — Løs med logaritmer

\[n>\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln\left(\left(\dfrac{5}{6} ight)^6 ight)}pprox 4{,}21\]

Derfor må \(n\) være minst \(5\).

Tolkning

Jan må kaste alle seks terningene \(5\) ganger for å komme over \(99\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
q = (5/6)**6
limit = math.log(0.01)/math.log(q)
print(limit, math.ceil(limit))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimal inntekt fra funksjonen \(I(x)=660x-6x^2\). Grafisk er dette toppunktet til en parabel som vender nedover.

Steg 1 — Se formen

\[I(x)=660x-6x^2=-6x^2+660x\]

Siden koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, vender parabelen nedover.

Steg 2 — Finn symmetriaksen

For \(ax^2+bx+c\) ligger toppunktets \(x\)-verdi ved

\[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Steg 3 — Sett inn \(a=-6\) og \(b=660\)

\[x=-\dfrac{660}{2\cdot(-6)}=55\]

Steg 4 — Kontroller at \(55\) ligger i intervallet

\(55\in[0,90]\), så toppunktet er tillatt produksjon.

Steg 5 — Finn maksimal inntekt

\[I(55)=660\cdot 55-6\cdot 55^2=18150\]

Tolkning

Størst inntekt fås ved produksjon av \(55\) enheter per dag.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols("x")
I = 660*x - 6*x**2
crit = solve(diff(I,x), x)[0]
print(crit, I.subs(x,crit))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når \(K(x)=I(x)\). Siden kostnadene er gitt ved tabell/kurve, kan dette leses grafisk. Vi kontrollerer med regresjonsmodellen fra del c.

Steg 1 — Grafisk metode

Tegn kostnadspunktene og en glatt kostnadskurve. Tegn også \(I(x)=660x-6x^2\). Skjæringspunktene gir produksjonsmengder der inntekt og kostnad er like store.

Steg 2 — Regresjonsmodell for kontroll

En kubisk regresjon på tabellen gir omtrent

\[K(x)pprox 0{,}020642x^3+0{,}019072x^2+12{,}2077x+2992{,}445\]

Steg 3 — Sett lik inntekt og kostnad

\[660x-6x^2=K(x)\]

Steg 4 — Løs digitalt

Med regresjonsmodellen får vi skjæringspunktene

\[xpprox 4{,}84\quad ext{og}\quad xpprox 79{,}63\]

Steg 5 — Tolking i kontekst

Produksjonen må være omtrent \(5\) eller \(80\) enheter per dag for at bedriften skal gå i balanse.

Tolkning

Bedriften går omtrent i null ved lav produksjon og ved høy produksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
import sympy as sp
xs = np.array([0,10,20,30,40,50,70,90], dtype=float)
ys = np.array([3000,3130,3400,3930,4840,6250,11000,19300], dtype=float)
a,b,c,d = np.polyfit(xs, ys, 3)
x = sp.symbols("x")
K = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
I = 660*x - 6*x**2
print(a,b,c,d)
print(sp.nroots(K-I))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke de oppgitte kostnadspunktene til kubisk regresjon. Resultatet er en tilnærmet modell, ikke en eksakt formel fra tabellen.

Steg 1 — Legg inn data

Bruk punktene \((0,3000),(10,3130),(20,3400),(30,3930),(40,4840),(50,6250),(70,11000),(90,19300)\).

Steg 2 — Velg modelltype

Oppgaven ber om formen

\[K(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

Derfor bruker vi kubisk regresjon.

Steg 3 — Utfør regresjon digitalt

GeoGebra-kommandoen kan være RegPoly(liste, 3).

Steg 4 — Les av koeffisientene

Regresjonen gir omtrent

\[a=0{,}020642,\quad b=0{,}019072,\quad c=12{,}2077,\quad d=2992{,}445\]

Steg 5 — Skriv modellen

\[K(x)pprox 0{,}020642x^3+0{,}019072x^2+12{,}2077x+2992{,}445\]

Tolkning

Modellen beskriver kostnadene omtrent i intervallet der vi har data.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
xs = np.array([0,10,20,30,40,50,70,90], dtype=float)
ys = np.array([3000,3130,3400,3930,4840,6250,11000,19300], dtype=float)
print(np.polyfit(xs, ys, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner marginalinntekt og marginalkostnad ved \(x=50\). Hvis \(I\prime(50)>K\prime(50)\), lønner det seg å øke produksjonen litt. Hvis \(I\prime(50)

Steg 1 — Deriver inntekten

\[I(x)=660x-6x^2\]

\[I\prime(x)=660-12x\]

Steg 2 — Finn marginalinntekten ved \(x=50\)

\[I\prime(50)=660-12\cdot 50=60\]

Steg 3 — Deriver kostnadsmodellen

Fra regresjonen:

\[K\prime(x)pprox 3\cdot0{,}020642x^2+2\cdot0{,}019072x+12{,}2077\]

Steg 4 — Finn marginalkostnaden ved \(x=50\)

\[K\prime(50)pprox 168{,}93\]

Steg 5 — Sammenlikn

\[I\prime(50)-K\prime(50)pprox 60-168{,}93=-108{,}93\]

Dette er negativt, så overskuddet minker hvis produksjonen økes litt fra \(50\).

Tolkning

Det lønner seg ikke å øke produksjonen når \(x=50\), ifølge regresjonsmodellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
import sympy as sp
xs = np.array([0,10,20,30,40,50,70,90], dtype=float)
ys = np.array([3000,3130,3400,3930,4840,6250,11000,19300], dtype=float)
a,b,c,d = np.polyfit(xs, ys, 3)
x = sp.symbols("x")
K = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
I = 660*x - 6*x**2
print(float(sp.diff(I-K,x).subs(x,50)))

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer overskuddsfunksjonen \(O(x)=I(x)-K(x)\) på intervallet \([0,90]\).

Steg 1 — Sett opp overskuddet

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Med regresjonsmodellen får vi

\[O(x)pprox -0{,}020642x^3-6{,}019072x^2+647{,}792x-2992{,}445\]

Steg 2 — Deriver overskuddet

\[O\prime(x)pprox -0{,}061927x^2-12{,}038144x+647{,}792\]

Steg 3 — Finn kritisk punkt

Løs \(O\prime(x)=0\) digitalt. I intervallet \([0,90]\) får vi

\[xpprox 43{,}90\]

Steg 4 — Kontroller maksimum

Den andre løsningen ligger utenfor produksjonsintervallet, og overskuddet øker før \(43{,}90\) og avtar etterpå. Dette gir maksimum i intervallet.

Steg 5 — Regn maksimalt overskudd

\[O(43{,}90)pprox 12099\]

Overskuddet er altså omtrent \(12\,100\) kroner per dag.

Tolkning

Produksjonen bør ligge rundt \(44\) enheter per dag for å gi størst overskudd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
import sympy as sp
xs = np.array([0,10,20,30,40,50,70,90], dtype=float)
ys = np.array([3000,3130,3400,3930,4840,6250,11000,19300], dtype=float)
a,b,c,d = np.polyfit(xs, ys, 3)
x = sp.symbols("x")
K = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
I = 660*x - 6*x**2
O = I - K
crit = [r for r in sp.nroots(sp.diff(O,x)) if abs(sp.im(r)) < 1e-9]
print(crit)
for r in crit:
    xr = float(sp.re(r))
    if 0 <= xr <= 90:
        print(xr, float(O.subs(x,xr)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punkter på grafen ved å sette inn riktig \(x\)-verdi i funksjonen.

Steg 1 — Finn \(R\)

\(R\) ligger på \(y\)-aksen, så \(x=0\).

Steg 2 — Regn \(f(0)\)

\[f(0)=6\cdot 0{,}65^0=6\]

Dermed er \(R=(0,6)\).

Steg 3 — Finn \(P\)

Punktet \(P\) har førstekoordinat \(2\), så \(P=(2,f(2))\).

Steg 4 — Regn \(f(2)\)

\[f(2)=6\cdot 0{,}65^2=6\cdot 0{,}4225=2{,}535\]

Steg 5 — Skriv koordinatene

\[R=(0,6),\qquad P=(2,2{,}535)\]

Tolkning

Punktene følger direkte av funksjonsverdiene ved \(x=0\) og \(x=2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(6*0.65**0)
print(6*0.65**2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne avstanden fra origo \((0,0)\) til punktet \(P=(2,2{,}535)\). Vi bruker avstandsformelen.

Steg 1 — Skriv punktene

\[O=(0,0),\qquad P=(2,2{,}535)\]

Steg 2 — Bruk avstandsformelen

\[OP=\sqrt{(2-0)^2+(2{,}535-0)^2}\]

Steg 3 — Regn kvadratene

\[OP=\sqrt{2^2+2{,}535^2}\]

Steg 4 — Regn ut

\[OP=\sqrt{4+6{,}426225}\]

\[OPpprox 3{,}229\]

Steg 5 — Oppgi passende avrunding

Lengden kan oppgis som \(OPpprox 3{,}23\).

Tolkning

Linjestykket \(OP\) er omtrent \(3{,}23\) enheter langt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
OP = math.sqrt(2**2 + (6*0.65**2)**2)
print(OP)

Hva spør oppgaven om? Punktet \(Q\) ligger på grafen og har førstekoordinat \(x\). Da er \(Q=(x,f(x))\).

Steg 1 — Skriv koordinatene til \(Q\)

\[Q=\left(x,6\cdot 0{,}65^x ight)\]

Steg 2 — Avstand fra origo

Avstanden fra \((0,0)\) til \((x,y)\) er

\[\sqrt{x^2+y^2}\]

Steg 3 — Sett inn \(y=6\cdot 0{,}65^x\)

\[OQ=\sqrt{x^2+\left(6\cdot 0{,}65^x ight)^2}\]

Steg 4 — Eventuell forenkling

\[OQ=\sqrt{x^2+36\cdot 0{,}65^{2x}}\]

Steg 5 — Brukbar form

Begge uttrykkene er riktige, men den første viser tydelig hvor koordinatene kommer fra.

Tolkning

Lengden er en funksjon av \(x\). Den kan senere minimeres digitalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols("x")
print("sqrt(x**2 + (6*0.65**x)**2)")

Hva spør oppgaven om? Vi minimerer avstanden fra origo til grafen. Det er nok å minimere kvadratet av avstanden, fordi kvadratrot er en voksende funksjon.

Steg 1 — Bruk avstandsfunksjonen

\[D(x)=\sqrt{x^2+\left(6\cdot0{,}65^x ight)^2}\]

Steg 2 — Minimer kvadratet

\[D(x)^2=x^2+36\cdot0{,}65^{2x}\]

Steg 3 — Bruk digitalt verktøy

I GeoGebra kan vi definere h(x)=sqrt(x^2+(6*0.65^x)^2) og bruke ekstremalpunkt/minimum.

Steg 4 — Les av \(x\)-verdien

Digital løsning gir

\[xpprox 2{,}244\]

Steg 5 — Finn \(y\)-verdien

\[y=6\cdot0{,}65^{2{,}244}pprox 2{,}282\]

Dermed er \(Qpprox(2{,}244,2{,}282)\).

Tolkning

Det punktet på grafen som ligger nærmest origo er omtrent \((2{,}244,2{,}282)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
D2 = x**2 + 36*0.65**(2*x)
sol = sp.nsolve(sp.diff(D2,x), 2)
y = 6*0.65**float(sol)
D = (float(sol)**2 + y**2)**0.5
print(float(sol), y, D)

Hva spør oppgaven om? Vi minimerer avstanden fra origo til punktet \(\left(x,\dfrac{6}{1+x} ight)\) for \(x\in[0,3]\).

Steg 1 — Sett opp avstandsfunksjonen

\[D(x)=\sqrt{x^2+\left(\dfrac{6}{1+x} ight)^2}\]

Steg 2 — Minimer kvadratet

\[D(x)^2=x^2+\dfrac{36}{(1+x)^2}\]

Steg 3 — Deriver \(D(x)^2\)

\[\left(D(x)^2 ight)\prime=2x-\dfrac{72}{(1+x)^3}\]

Steg 4 — Sett lik null

\[2x-\dfrac{72}{(1+x)^3}=0\]

\[x(1+x)^3=36\]

Digital løsning i intervallet gir \(xpprox 1{,}743\).

Steg 5 — Finn avstanden

\[y=\dfrac{6}{1+1{,}743}pprox 2{,}187\]

\[Dpprox\sqrt{1{,}743^2+2{,}187^2}pprox 2{,}797\]

Tolkning

Den korteste avstanden fra origo til grafen til \(g\) er omtrent \(2{,}80\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
D2 = x**2 + 36/(1+x)**2
sol = sp.nsolve(sp.diff(D2,x), 1.7)
y = 6/(1+float(sol))
D = (float(sol)**2 + y**2)**0.5
print(float(sol), y, D)

Hva spør oppgaven om? Vi leser av skjæringspunkter fra figuren og finner likningene. Linjene samsvarer også med begrensningene i teksten.

Steg 1 — Linjen \(y_1\)

Figuren viser at \(y_1\) går omtrent gjennom \((0,15)\) og \((10,0)\). Stigningstallet er

\[a=\dfrac{0-15}{10-0}=-\dfrac{3}{2}\]

Dermed er \(y_1=15-\dfrac{3}{2}x\).

Steg 2 — Linjen \(y_2\)

Figuren viser at \(y_2\) går gjennom \((0,10)\) og \((16,2)\). Stigningstallet er

\[a=\dfrac{2-10}{16-0}=-\dfrac{1}{2}\]

Dermed er \(y_2=10-\dfrac{1}{2}x\).

Steg 3 — Linjen \(y_3\)

Figuren viser at \(y_3\) går gjennom \((0,11)\) og \((11,0)\). Stigningstallet er \(-1\).

Dermed er \(y_3=11-x\).

Steg 4 — Skriv også på standardform

\[y_1:3x+2y=30\]

\[y_2:x+2y=20\]

\[y_3:x+y=11\]

Steg 5 — Kontroller mot figuren

Alle tre linjene har negative stigningstall og riktige skjæringer med aksene.

Tolkning

De tre linjene er grensene for investering, arbeidstid og areal.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import sympy as sp
x,y = sp.symbols("x y")
# Lines from points are shown directly in the solution.

Hva spør oppgaven om? Vi kobler hver linje til en ressursbegrensning: areal, investering og arbeidstid.

Steg 1 — Arealbegrensningen

Jordet er på \(11\) dekar, og bonden bruker \(x\) dekar til poteter og \(y\) dekar til kålrabi:

\[x+y\le 11\]

Grenselinjen er \(x+y=11\), altså \(y_3=11-x\).

Steg 2 — Investeringsbegrensningen

Investeringen er \(1200x+800y\le 12000\). Del på \(400\):

\[3x+2y\le 30\]

Grenselinjen er \(3x+2y=30\), altså \(y_1=15-\dfrac{3}{2}x\).

Steg 3 — Arbeidsbegrensningen

Arbeidet er \(10x+20y\le 200\). Del på \(10\):

\[x+2y\le 20\]

Grenselinjen er \(x+2y=20\), altså \(y_2=10-\dfrac{1}{2}x\).

Steg 4 — Ikke-negative størrelser

Siden \(x\) og \(y\) er arealer, må

\[x\ge 0,\qquad y\ge 0\]

Steg 5 — Enhetssjekk

Alle tre ulikhetene kommer fra begrensede ressurser: dekar, kroner og timer.

Tolkning

Hver linje markerer en maksimal ressursbruk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print("y1: 3*x + 2*y = 30")
print("y2: x + 2*y = 20")
print("y3: x + y = 11")

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive det mulige området. Punktet \((x,y)\) må oppfylle alle begrensningene samtidig.

Steg 1 — Skriv alle ulikhetene

\[x+y\le 11\]

\[3x+2y\le 30\]

\[x+2y\le 20\]

\[x\ge 0,\quad y\ge 0\]

Steg 2 — Velg riktig side av linjene

Punktet \((0,0)\) oppfyller alle tre ressursulikhetene. Derfor ligger det mulige området på samme side av hver linje som origo.

Steg 3 — Finn hjørnepunkter

Relevante hjørnepunkter er

\[(0,0),\ (10,0),\ (8,3),\ (2,9),\ (0,10)\]

Steg 4 — Begrunn hjørnepunktene

\((8,3)\) er skjæringen mellom \(x+y=11\) og \(3x+2y=30\). \((2,9)\) er skjæringen mellom \(x+y=11\) og \(x+2y=20\).

Steg 5 — Skraver området

Området som skal skraveres er femkanten med hjørnepunktene over, inkludert randlinjene.

Tolkning

Alle punkter i det skraverte området representerer produksjoner bonden har nok areal, penger og arbeidstid til.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import itertools, numpy as np
lines = [(1,1,11),(3,2,30),(1,2,20),(1,0,0),(0,1,0)]
pts=[]
for l1,l2 in itertools.combinations(lines,2):
    A=np.array([[l1[0],l1[1]],[l2[0],l2[1]]],float); b=np.array([l1[2],l2[2]],float)
    if abs(np.linalg.det(A))<1e-9: continue
    x,y=np.linalg.solve(A,b)
    if x>=-1e-9 and y>=-1e-9 and x+y<=11+1e-9 and 3*x+2*y<=30+1e-9 and x+2*y<=20+1e-9:
        pts.append((round(x,6),round(y,6)))
print(sorted(set(pts)))

Hva spør oppgaven om? En naturlig problemstilling er å maksimere salgsinntekten under begrensningene fra oppgaven. Vi setter opp inntektsfunksjonen og tester hjørnepunktene i mulig område.

Steg 1 — Finn inntekt per dekar poteter

Poteter gir \(6000\) kg per dekar og \(2\) kroner per kg:

\[6000\cdot 2=12000\]

Altså \(12\,000\) kroner per dekar.

Steg 2 — Finn inntekt per dekar kålrabi

Kålrabi gir \(7000\) kg per dekar og \(2{,}50\) kroner per kg:

\[7000\cdot 2{,}50=17500\]

Altså \(17\,500\) kroner per dekar.

Steg 3 — Sett opp målfunksjonen

\[R(x,y)=12000x+17500y\]

Vi ønsker å maksimere \(R\) i det mulige området.

Steg 4 — Test hjørnepunktene

Steg 5 — Velg største verdi

Den største inntekten er \(181\,500\) kroner ved \((x,y)=(2,9)\).

Tolkning

Bonden bør dyrke \(2\) dekar poteter og \(9\) dekar kålrabi for å maksimere salgsinntekten, gitt modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

vertices = [(0,0),(10,0),(8,3),(2,9),(0,10)]
for x,y in vertices:
    R = 12000*x + 17500*y
    print((x,y), R)