Når vi setter inn \(x=1\), får vi \(0/0\). Da må uttrykket faktoriseres før vi kan regne grenseverdien.

\[x^2+x-2=(x-1)(x+2)\]

For \(x\ne 1\) kan vi derfor forkorte faktoren \(x-1\):

\[\frac{x-1}{x^2+x-2}=\frac{x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{1}{x+2}\]

Dermed blir grenseverdien

\[\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{3}\]

from sympy import symbols, factor, limit, simplify

x = symbols("x")
uttrykk = (x - 1)/(x**2 + x - 2)

print("Faktorisert nevner:", factor(x**2 + x - 2))
print("Forkortet uttrykk:", simplify(uttrykk))
print("Grenseverdi når x går mot 1:", limit(uttrykk, x, 1))

# Utskrift:
# Faktorisert nevner: (x - 1)*(x + 2)
# Forkortet uttrykk: 1/(x + 2)
# Grenseverdi når x går mot 1: 1/3

Først må vi ha \(x>0\) og \(x+3>0\). Samlet gir det \(x>0\).

Vi bruker regelen \(\lg a+\lg b=\lg(ab)\):

\[\lg(x(x+3))=1\]

Siden \(1=\lg 10\), får vi

\[x(x+3)=10\] \[x^2+3x-10=0\] \[(x+5)(x-2)=0\]

Løsningene til andregradslikningen er \(x=-5\) og \(x=2\). Bare \(x=2\) ligger i definisjonsmengden.

from sympy import symbols, solve, log

x = symbols("x")
likning = x*(x + 3) - 10
losninger = solve(likning, x)
gyldige = [verdi for verdi in losninger if verdi > 0]

print("Likning etter logaritmeregler: x*(x+3)=10")
print("Andregradslikning:", likning, "= 0")
print("Alle algebraiske løsninger:", losninger)
print("Gyldige løsninger når x > 0:", gyldige)
print("Kontroll: lg(2)+lg(5) =", log(2,10)+log(5,10))

# Utskrift:
# Likning etter logaritmeregler: x*(x+3)=10
# Andregradslikning: x**2 + 3*x - 10 = 0
# Alle algebraiske løsninger: [-5, 2]
# Gyldige løsninger når x > 0: [2]
# Kontroll: lg(2)+lg(5) = 1

Gjennomsnittlig vekstfart i \([2,4]\) er

\[\frac{f(4)-f(2)}{4-2}\]

Vi regner ut verdiene:

\[f(4)=3\cdot 4^2+4a+2=50+4a\] \[f(2)=3\cdot 2^2+2a+2=14+2a\]

Dermed blir

\[\frac{f(4)-f(2)}{2}=\frac{(50+4a)-(14+2a)}{2}=\frac{36+2a}{2}=18+a\]

Dette skal være \(10\):

\[18+a=10\] \[a=-8\]

from sympy import symbols, solve, simplify

x, a = symbols("x a")
f = 3*x**2 + a*x + 2
gjennomsnittlig = simplify((f.subs(x, 4) - f.subs(x, 2))/(4 - 2))
losning = solve(gjennomsnittlig - 10, a)

print("f(4) =", f.subs(x, 4))
print("f(2) =", f.subs(x, 2))
print("Gjennomsnittlig vekstfart:", gjennomsnittlig)
print("Løsning for a:", losning)

# Utskrift:
# f(4) = 4*a + 50
# f(2) = 2*a + 14
# Gjennomsnittlig vekstfart: a + 18
# Løsning for a: [-8]

Momentan vekstfart er den deriverte. Vi deriverer:

\[f'(x)=6x+a\]

I punktet med \(x=2\) er den momentane vekstfarten

\[f'(2)=6\cdot2+a=12+a\]

Vi setter dette lik \(10\):

\[12+a=10\] \[a=-2\]

from sympy import symbols, diff, solve

x, a = symbols("x a")
f = 3*x**2 + a*x + 2
f_derivert = diff(f, x)
verdi_i_2 = f_derivert.subs(x, 2)
losning = solve(verdi_i_2 - 10, a)

print("f'(x) =", f_derivert)
print("f'(2) =", verdi_i_2)
print("a når f'(2)=10:", losning)

# Utskrift:
# f'(x) = a + 6*x
# f'(2) = a + 12
# a når f'(2)=10: [-2]

På hver av de åtte plassene kan vi velge mellom to tegn: A eller B. Valgene er uavhengige.

\[2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^8=256\]

antall_tegn = 8
valg_per_plass = 2
antall_koder = valg_per_plass**antall_tegn

print("Antall plasser:", antall_tegn)
print("Valg per plass:", valg_per_plass)
print("Totalt antall koder:", antall_koder)

# Utskrift:
# Antall plasser: 8
# Valg per plass: 2
# Totalt antall koder: 256

La \(X\) være antall A-er i koden. Da er \(X\) binomisk fordelt med \(n=8\) og \(p=\frac{1}{2}\).

«Minst seks A-er» betyr \(X=6\), \(X=7\) eller \(X=8\):

\[P(X\ge 6)=\frac{\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}}{2^8}\] \[P(X\ge 6)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}\approx 0{,}1445\]

from math import comb

n = 8
gunstige = sum(comb(n, k) for k in [6, 7, 8])
totalt = 2**n
sannsynlighet = gunstige / totalt

print("Antall koder med minst seks A-er:", gunstige)
print("Totalt antall koder:", totalt)
print("Sannsynlighet som brøk:", f"{gunstige}/{totalt}")
print("Sannsynlighet som desimaltall:", round(sannsynlighet, 6))

# Utskrift:
# Antall koder med minst seks A-er: 37
# Totalt antall koder: 256
# Sannsynlighet som brøk: 37/256
# Sannsynlighet som desimaltall: 0.144531

Differansekvotienten

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

er en numerisk tilnærming til \(f'(x)\). Programmet leter derfor etter hvor funksjonen slutter å øke. Det betyr at eleven ønsker å finne omtrent hvor grafen har et toppunkt.

For \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\) skjer dette ved \(x=1\), fordi

\[f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\]

Den deriverte er positiv for \(01\).

from sympy import symbols, diff, simplify

x = symbols("x")
f = x/(1 + x**2)
f_derivert = simplify(diff(f, x))

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("f'(0.5) =", f_derivert.subs(x, 0.5))
print("f'(1.5) =", f_derivert.subs(x, 1.5))

# Utskrift:
# f(x) = x/(x**2 + 1)
# f'(x) = (1 - x**2)/(x**2 + 1)**2
# f'(0.5) = 0.480000000000000
# f'(1.5) = -0.118343195266272

Programmet starter med \(x=0\). Så lenge den numeriske stigningstallet er positivt, øker det \(x\) med \(0{,}01\).

Funksjonen øker fram til omtrent \(x=1\). Etter dette blir stigningstallet negativt. Derfor stopper løkken ved omtrent \(x=1\), og programmet skriver ut

\[x=1{,}0\]

Det betyr at toppunktet har \(x\)-koordinat omtrent \(1\). Selve funksjonsverdien er

\[f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\]

def f(x):
    return x/(1 + x**2)

h = 0.0001
x = 0

while (f(x + h) - f(x))/h > 0:
    x = x + 0.01

print("x=", x)
print("f(x)=", f(x))
print("Numerisk stigningstall ved stopp:", (f(x + h) - f(x))/h)
print("Numerisk stigningstall rett før stopp:", (f(x - 0.01 + h) - f(x - 0.01))/h)

# Utskrift:
# x= 1.0000000000000007
# f(x)= 0.5
# Numerisk stigningstall ved stopp: -2.4997500180923282e-05
# Numerisk stigningstall rett før stopp: 0.005024999...

Vekstfaktoren er

\[1+\frac{1{,}8}{100}=1{,}018\]

Innskuddet 1. januar 2020 står inne i tre renteår, innskuddet 1. januar 2021 står inne i to renteår, og innskuddet 1. januar 2022 står inne i ett renteår.

\[B=10000\cdot1{,}018^3+10000\cdot1{,}018^2+10000\cdot1{,}018\] \[B\approx 31\,092{,}90\]

rente = 1.8/100
vekstfaktor = 1 + rente
innskudd = 10000

belop = innskudd*vekstfaktor**3 + innskudd*vekstfaktor**2 + innskudd*vekstfaktor

print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Innskudd 2020 etter tre renteår:", round(innskudd*vekstfaktor**3, 2))
print("Innskudd 2021 etter to renteår:", round(innskudd*vekstfaktor**2, 2))
print("Innskudd 2022 etter ett renteår:", round(innskudd*vekstfaktor, 2))
print("Beløp 31. desember 2022:", round(belop, 2))

# Utskrift:
# Vekstfaktor: 1.018
# Innskudd 2020 etter tre renteår: 10549.66
# Innskudd 2021 etter to renteår: 10363.24
# Innskudd 2022 etter ett renteår: 10180.0
# Beløp 31. desember 2022: 31092.90

Nei. I virkeligheten endres beløpet sprangvis når Halvor setter inn \(10\,000\) kroner 1. januar hvert år. En slik innbetaling gir et hopp i saldoen.

Mellom innskuddene kan saldoen beskrives med rentevekst, men på selve innskuddstidspunktene får funksjonen sprang. Derfor er \(B\) ikke kontinuerlig dersom modellen inkluderer de årlige innskuddene som plutselige saldoøkninger.

innskudd = 10000
rente = 0.018

saldo_rett_for_2021 = innskudd*(1+rente)
saldo_rett_etter_2021 = saldo_rett_for_2021 + innskudd
sprang = saldo_rett_etter_2021 - saldo_rett_for_2021

print("Saldo rett før innskudd 1. januar 2021:", round(saldo_rett_for_2021, 2))
print("Saldo rett etter innskudd 1. januar 2021:", round(saldo_rett_etter_2021, 2))
print("Sprang i funksjonsverdien:", round(sprang, 2))

# Utskrift:
# Saldo rett før innskudd 1. januar 2021: 10180.0
# Saldo rett etter innskudd 1. januar 2021: 20180.0
# Sprang i funksjonsverdien: 10000.0

Programmet må simulere ett år av gangen. Ved starten av hvert år setter Halvor inn penger. Deretter får saldoen rente for året. Vi fortsetter til saldoen er minst \(K\).

En ryddig løsning bør ha variabler for rente, innskudd, grensebeløp, saldo og antall år.

rentefot = 1.8
innskudd = 10000
K = 250000

vekstfaktor = 1 + rentefot/100
saldo = 0
aar = 0

while saldo < K:
    saldo = saldo + innskudd       # Halvor setter inn penger 1. januar
    saldo = saldo * vekstfaktor    # rente gjennom året
    aar = aar + 1
    print(f"Etter {aar:2d} år: saldo = {saldo:,.2f} kr")

print("Det tar", aar, "år")

# Forkortet utskrift:
# Etter  1 år: saldo = 10,180.00 kr
# Etter  2 år: saldo = 20,543.24 kr
# ...
# Etter 20 år: saldo = 244,918.24 kr
# Etter 21 år: saldo = 259,506.77 kr
# Det tar 21 år

Vi simulerer mange kast med to terninger og teller hvor ofte minst én terning er \(5\) eller \(6\).

Som kontroll kan vi også regne eksakt. Sannsynligheten for at én terning ikke viser \(5\) eller \(6\), er \(\frac{4}{6}\). For to terninger blir sannsynligheten for at ingen viser \(5\) eller \(6\)

\[\left(\frac{4}{6}\right)^2=\frac{4}{9}\]

Da er sannsynligheten for gevinst

\[1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\approx0{,}556\]

from random import randint, seed

seed(3060)
antall_forsok = 100000
gevinster = 0

for _ in range(antall_forsok):
    terning_1 = randint(1, 6)
    terning_2 = randint(1, 6)
    if terning_1 >= 5 or terning_2 >= 5:
        gevinster += 1

simulert = gevinster / antall_forsok
eksakt = 1 - (4/6)**2

print("Antall forsøk:", antall_forsok)
print("Antall gevinster:", gevinster)
print("Simulert sannsynlighet:", round(simulert, 4))
print("Eksakt sannsynlighet:", round(eksakt, 4))

# Utskrift:
# Antall forsøk: 100000
# Antall gevinster: omtrent 55600
# Simulert sannsynlighet: omtrent 0.556
# Eksakt sannsynlighet: 0.5556

Kostnadene øker raskere enn lineært, så en andregradsmodell passer godt som enkel modell. Regresjon gir omtrent

\[K(x)=0{,}03436x^2+0{,}4803x+558{,}35\]

Inntekten er \(I(x)=27x\). Overskuddet er inntekt minus kostnad:

\[O(x)=27x-K(x)\] \[O(x)=-0{,}03436x^2+26{,}5197x-558{,}35\]

import numpy as np

x = np.array([50,75,100,125,150,175,200,225,250,275], dtype=float)
kostnad = np.array([650,780,1000,1150,1400,1700,2000,2400,2830,3300], dtype=float)

a, b, c = np.polyfit(x, kostnad, 2)
print("Kostnadsmodell K(x) = a*x^2 + b*x + c")
print("a =", round(a, 6))
print("b =", round(b, 6))
print("c =", round(c, 6))

print("Overskuddsmodell O(x) = 27*x - K(x)")
print("O(x) =", round(-a, 6), "x^2 +", round(27-b, 6), "x +", round(-c, 6))

# Utskrift:
# a = 0.034364
# b = 0.480303
# c = 558.348485
# O(x) = -0.034364 x^2 + 26.519697 x + -558.348485

Overskuddsmodellen er en parabel med negativ koeffisient foran \(x^2\). Maksimum ligger i toppunktet.

For \(O(x)=ax^2+bx+c\) er toppunktets \(x\)-verdi

\[x=-\frac{b}{2a}\]

Her er \(a=-0{,}03436\) og \(b=26{,}5197\):

\[x\approx -\frac{26{,}5197}{2\cdot(-0{,}03436)}\approx 386\]

Overskuddet blir da omtrent

\[O(386)\approx 4558\]

a = -0.03436363636363635
b = 26.519696969696966
c = -558.3484848484842

x_topp = -b/(2*a)
overskudd_topp = a*x_topp**2 + b*x_topp + c

for antall in [385, 386, 387]:
    overskudd = a*antall**2 + b*antall + c
    print(f"x = {antall}: O(x) = {overskudd:.2f} kr")

print("Toppunkt x-verdi:", round(x_topp, 3))
print("Maksimalt overskudd:", round(overskudd_topp, 2))

# Utskrift:
# x = 385: O(x) = 4558.19 kr
# x = 386: O(x) = 4558.21 kr
# x = 387: O(x) = 4558.16 kr
# Toppunkt x-verdi: 385.869
# Maksimalt overskudd: 4558.21

Dette er en hypergeometrisk situasjon: vi trekker uten tilbakelegging fra \(30\) elever, der \(18\) er jenter og \(12\) er gutter.

\[P(X=k)=\frac{\binom{18}{k}\binom{12}{6-k}}{\binom{30}{6}}\]

Mulige verdier er \(k=0,1,2,3,4,5,6\). Tabellen under viser fordelingen avrundet.

from math import comb

total = comb(30, 6)
fordeling = []
for k in range(7):
    sannsynlighet = comb(18, k)*comb(12, 6-k)/total
    fordeling.append(sannsynlighet)
    print(f"P(X={k}) = {sannsynlighet:.6f}")

print("Sum av sannsynlighetene:", round(sum(fordeling), 12))

# Utskrift:
# P(X=0) = 0.002163
# P(X=1) = 0.025954
# P(X=2) = 0.127174
# P(X=3) = 0.293479
# P(X=4) = 0.338630
# P(X=5) = 0.179704
# P(X=6) = 0.032895
# Sum av sannsynlighetene: 1.0

Strategi 1: Komplement. Minst én gutt er det motsatte av ingen gutter, altså at alle seks er jenter.

\[P(\text{minst én gutt})=1-P(\text{seks jenter})\] \[P=1-\frac{\binom{18}{6}}{\binom{30}{6}}\approx 0{,}9671\]

Strategi 2: Summer direkte. Vi summerer sannsynlighetene for \(1,2,3,4,5\) eller \(6\) gutter. Det gir samme svar:

\[\sum_{g=1}^{6}\frac{\binom{12}{g}\binom{18}{6-g}}{\binom{30}{6}}\approx 0{,}9671\]

from math import comb

total = comb(30, 6)
komplement = 1 - comb(18, 6)/total
direkte = sum(comb(12, g)*comb(18, 6-g)/total for g in range(1, 7))

print("Komplementmetoden:", komplement)
print("Direkte summering:", direkte)
print("Avrundet prosent:", round(100*komplement, 2), "%")

# Utskrift:
# Komplementmetoden: 0.9671049107142857
# Direkte summering: 0.9671049107142857
# Avrundet prosent: 96.71 %

Totalt antall mulige utvalg av seks elever er \(\binom{30}{6}\).

Vi skal ha Maya med. Da er Maya allerede valgt. I tillegg velger vi 2 av de 17 andre jentene og 3 av de 12 guttene:

\[\binom{17}{2}\binom{12}{3}\]

Dermed blir sannsynligheten

\[P=\frac{\binom{17}{2}\binom{12}{3}}{\binom{30}{6}}\approx 0{,}0504\]

from math import comb

gunstige = comb(17, 2)*comb(12, 3)
total = comb(30, 6)
sannsynlighet = gunstige/total

print("Gunstige utvalg:", gunstige)
print("Totalt antall utvalg:", total)
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Prosent:", round(100*sannsynlighet, 2))

# Utskrift:
# Gunstige utvalg: 29920
# Totalt antall utvalg: 593775
# Sannsynlighet: 0.0503899...
# Prosent: 5.04

Rektangelets bredde er \(t\), og høyden er \(f(t)=\frac{8}{t^2+4}\). Arealet er derfor

\[A(t)=t\cdot f(t)=\frac{8t}{t^2+4}\]

Vi deriverer:

\[A'(t)=\frac{8(t^2+4)-8t\cdot2t}{(t^2+4)^2}=\frac{32-8t^2}{(t^2+4)^2}\]

For maksimum setter vi \(A'(t)=0\):

\[32-8t^2=0\] \[t^2=4\]

Siden \(t>0\), får vi \(t=2\). Arealet går mot \(0\) når \(t\to0^+\) og når \(t\to\infty\), så dette er et maksimum.

from sympy import symbols, diff, solve, simplify

t = symbols("t", positive=True)
A = 8*t/(t**2 + 4)
A_derivert = simplify(diff(A, t))
kritiske = solve(A_derivert, t)

print("A(t) =", A)
print("A'(t) =", A_derivert)
print("Kritiske positive t-verdier:", kritiske)
print("A(2) =", A.subs(t, 2))

# Utskrift:
# A(t) = 8*t/(t**2 + 4)
# A'(t) = 8*(4 - t**2)/(t**2 + 4)**2
# Kritiske positive t-verdier: [2]
# A(2) = 2

Vi deriverer:

\[f'(x)=\frac{C e^x}{(e^x+C)^2}\]

For et ordinært topp- eller bunnpunkt må \(f'(x)=0\) i et punkt der funksjonen er definert. Siden \(e^x>0\), kan \(C e^x=0\) bare dersom \(C=0\).

Hvis \(C=0\), blir \(f(x)=1\), en konstant funksjon. Det gir ikke et isolert topp- eller bunnpunkt. For \(C\ne0\) er den deriverte aldri \(0\) i definisjonsmengden.

from sympy import symbols, exp, diff, simplify, solve

x, C = symbols("x C")
f = exp(x)/(exp(x) + C)
f_derivert = simplify(diff(f, x))

print("f'(x) =", f_derivert)
print("Teller i f'(x): C*exp(x)")
print("Siden exp(x)>0, kan telleren bare bli 0 når C=0.")
print("Når C=0, er f(x)=1, altså konstant.")

# Utskrift:
# f'(x) = C*exp(x)/(C + exp(x))**2
# Ingen ordinære isolerte topp- eller bunnpunkter.

Vi finner andrederivert:

\[f''(x)=\frac{C e^x(C-e^x)}{(e^x+C)^3}\]

Et vendepunkt kan oppstå når \(f''(x)=0\), altså når

\[C-e^x=0\] \[e^x=C\]

Dette har løsning bare når \(C>0\). Da er

\[x=\\ln C\]

For \(C>0\) skifter \(f''\) fortegn rundt \(x=\ln C\), og grafen har vendepunkt. For \(C\le0\) får vi ikke et slikt vendepunkt i definisjonsmengden.

from sympy import symbols, exp, diff, simplify, factor

x, C = symbols("x C", positive=True)
f = exp(x)/(exp(x) + C)
f2 = factor(simplify(diff(f, x, 2)))

print("f''(x) =", f2)
print("f''(x)=0 gir C-exp(x)=0")
print("Dermed er exp(x)=C, altså x=ln(C).")
print("Dette krever C > 0.")

# Utskrift:
# f''(x) = C*(C - exp(x))*exp(x)/(C + exp(x))**3
# Vendepunkt når C > 0 og x = ln(C).

Vi setter \(x+\ln C\) inn i funksjonsuttrykket:

\[f(x+\ln C)=\frac{e^{x+\ln C}}{e^{x+\ln C}+C}\]

Siden \(e^{x+\ln C}=e^x\cdot e^{\ln C}=Ce^x\), får vi

\[f(x+\ln C)=\frac{Ce^x}{Ce^x+C}=\frac{Ce^x}{C(e^x+1)}=\frac{e^x}{e^x+1}\]

For \(C>0\) er grafene derfor horisontale forskyvninger av samme logistiske form. Når \(C\) øker, flyttes grafen mot høyre, fordi vendepunktet ligger ved \(x=\ln C\).

from sympy import symbols, exp, log, simplify

x, C = symbols("x C", positive=True)
f_shift = exp(x + log(C))/(exp(x + log(C)) + C)
forenklet = simplify(f_shift)
mal = exp(x)/(exp(x) + 1)

print("f(x+ln(C)) =", forenklet)
print("Måluttrykk =", mal)
print("Differanse etter forenkling:", simplify(forenklet - mal))

# Utskrift:
# f(x+ln(C)) = exp(x)/(exp(x) + 1)
# Måluttrykk = exp(x)/(exp(x) + 1)
# Differanse etter forenkling: 0

Når \(C<0\), kan nevneren bli \(0\):

\[e^x+C=0\] \[e^x=-C\] \[x=\ln(-C)\]

Grafen har derfor en vertikal asymptote ved \(x=\ln(-C)\). Grafen deles i to grener, én på hver side av asymptoten.

Når \(C\) endres, flyttes asymptoten. Hvis \(-C\) blir større, blir \(\ln(-C)\) større, og asymptoten flyttes mot høyre. Hvis \(-C\) blir mindre, flyttes asymptoten mot venstre.

from math import log

for C in [-0.5, -1, -2, -5]:
    asymptote = log(-C)
    print(f"C = {C:4.1f} gir vertikal asymptote x = ln({-C}) = {asymptote:.4f}")

# Utskrift:
# C = -0.5 gir vertikal asymptote x = ln(0.5) = -0.6931
# C = -1.0 gir vertikal asymptote x = ln(1) = 0.0000
# C = -2.0 gir vertikal asymptote x = ln(2) = 0.6931
# C = -5.0 gir vertikal asymptote x = ln(5) = 1.6094

Graf (ii) har et bunnpunkt. Det betyr at den deriverte til graf (ii) skal være negativ til venstre for bunnpunktet, lik null i bunnpunktet og positiv til høyre for bunnpunktet.

Graf (i) passer med dette: den ligger under \(x\)-aksen til venstre, krysser \(x\)-aksen omtrent ved bunnpunktet til graf (ii), og ligger over \(x\)-aksen til høyre.

Da er graf (i) den deriverte av graf (ii). Videre er graf (i) stigende hele veien og har størst stigning ute på sidene og minst stigning nær midten. Den deriverte av graf (i) må derfor være positiv og U-formet. Det passer med graf (iii).

Dermed er

\[f=\text{graf (ii)},\qquad f'=\text{graf (i)},\qquad f''=\text{graf (iii)}\]

# Kvalitativ kontroll med en mulig modell:
# Velg f'(x)=x^3+x. Da er f'(x) alltid stigende,
# og f''(x)=3*x^2+1 er en positiv U-formet graf.
# En antiderivert er f(x)=x^4/4+x^2/2+C, en U-formet graf.

from sympy import symbols, diff, integrate

x = symbols('x')
f_derivert = x**3 + x
f = integrate(f_derivert, x)
f_andrederivert = diff(f_derivert, x)

print('Mulig f'(x):', f_derivert)
print('Da kan f(x) være:', f)
print('f''(x):', f_andrederivert)
print('Form: f er U-formet, f' er S-formet og stigende, f'' er positiv U-formet.')

# Utskrift:
# Mulig f'(x): x**3 + x
# Da kan f(x) være: x**4/4 + x**2/2
# f''(x): 3*x**2 + 1
# Form: f er U-formet, f' er S-formet og stigende, f'' er positiv U-formet.