Matematikk S1 eksempeloppgave vår 2015 – løsningsforslag

Kilde: Udir eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1, ny eksamensordning våren 2015. Løsningsforslaget er skrevet på bokmål med trinnvise forklaringer, CAS-kontroll og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a · 1 poengDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Bestem \( f'(x) \) når \( f(x)=3x^2-4x+2 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

For polynomer bruker vi regelen \( (x^n)'=n\cdot x^{n-1} \).

Steg 2 — Deriver første ledd

\[ (3x^2)'=3\cdot 2x=6x \]

Steg 3 — Deriver andre ledd

\[ (-4x)'=-4 \] siden den deriverte av \(kx\) er \(k\).

Steg 4 — Deriver konstanten

\[ 2'=0 \] fordi en konstant ikke endrer seg.

Steg 5 — Sett sammen

\[ f'(x)=6x-4 \]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(3x^2 - 4x + 2)

→ \(6x-4\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
f = 3*x**2 - 4*x + 2
f_derivert = diff(f, x)
print("Funksjon:", f)
print("Derivert:", f_derivert)
print("Kontroll, forenklet:", simplify(f_derivert - (6*x - 4)))

Fasit: \( f'(x)=6x-4 \).

Del 1 · Oppgave 1b · 1 poengDerivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem \( g'(2) \) når \( g(x)=3x^3-3 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Finn den deriverte

\[ g'(x)=9x^2 \]

Steg 2 — Sett inn \(x=2\)

\[ g'(2)=9\cdot 2^2 \]

Steg 3 — Regn potensen

\[2^2=4\]

Steg 4 — Regn ferdig

\[g'(2)=9\cdot4=36\]

Steg 5 — Tolk stigningstallet

Tallet \(36\) er stigningstallet til tangenten når \(x=2\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(3x^3 - 3)

→ \(9x^2\)

SettInn(9x^2, x, 2)

→ \(36\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
g = 3*x**3 - 3
g_derivert = diff(g, x)
verdi = g_derivert.subs(x, 2)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("g'(2) =", verdi)

Fasit: \( g'(2)=36 \).

Del 1 · Oppgave 2aAlgebra og potenser

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \dfrac{2^{-1}\cdot a\cdot b^{-1}}{4^{-1}\cdot a^{-2}\cdot b^2} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Del tallfaktorene

\[\dfrac{2^{-1}}{4^{-1}}=\dfrac{\frac12}{\frac14}=2\]

Steg 2 — Samle \(a\)-potenser

\[\dfrac{a}{a^{-2}}=a^{1-(-2)}=a^3\]

Steg 3 — Samle \(b\)-potenser

\[\dfrac{b^{-1}}{b^2}=b^{-1-2}=b^{-3}\]

Steg 4 — Skriv med positiv eksponent

\[b^{-3}=\dfrac{1}{b^3}\]

Steg 5 — Sett sammen

\[\dfrac{2^{-1}ab^{-1}}{4^{-1}a^{-2}b^2}=\dfrac{2a^3}{b^3}\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle((2^(-1)*a*b^(-1))/(4^(-1)*a^(-2)*b^2))

→ \(\dfrac{2a^3}{b^3}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify

a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = (2**(-1)*a*b**(-1))/(4**(-1)*a**(-2)*b**2)
forenklet = simplify(uttrykk)
print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Forenklet uttrykk:", forenklet)

Fasit: \( \dfrac{2a^3}{b^3} \).

Del 1 · Oppgave 2bLogaritmer

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \lg(a^2\cdot b)+\lg(a\cdot b^2)+\lg\left(\dfrac{a}{b^3}\right) \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Bruk produktregelen for logaritmer

Summen av logaritmer kan samles: \[\lg u+\lg v+\lg w=\lg(uvw)\]

Steg 2 — Sett sammen innholdet

\[\lg\left(a^2b\cdot ab^2\cdot \dfrac{a}{b^3}\right)\]

Steg 3 — Samle potenser av \(a\)

\[a^2\cdot a\cdot a=a^4\]

Steg 4 — Samle potenser av \(b\)

\[b\cdot b^2\cdot b^{-3}=b^{1+2-3}=b^0=1\]

Steg 5 — Forenkle logaritmen

\[\lg(a^4)=4\lg a\] for \(a>0\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

UtvidLog(lg(a^2*b)+lg(a*b^2)+lg(a/b^3))

→ \(4\lg(a)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log

a, b = symbols('a b', positive=True)
uttrykk = log(a**2*b, 10) + log(a*b**2, 10) + log(a/b**3, 10)
samlet = log(a**4, 10)
print("Uttrykk:", uttrykk)
print("Samlet form:", samlet)
print("Utvidet:", expand_log(samlet, force=True))

Fasit: \(4\lg a\).

Del 1 · Oppgave 2cAlgebra

Oppgave 2c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \dfrac{3a^2-75}{6a+30} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Faktoriser telleren

\[3a^2-75=3(a^2-25)=3(a-5)(a+5)\]

Steg 2 — Faktoriser nevneren

\[6a+30=6(a+5)\]

Steg 3 — Forkort felles faktor

\[\dfrac{3(a-5)(a+5)}{6(a+5)}=\dfrac{a-5}{2}\]

Steg 4 — Husk betingelsen

Nevneren kan ikke være null, derfor må \(a e -5\).

Steg 5 — Skriv enkleste form

\[\dfrac{3a^2-75}{6a+30}=\dfrac{a-5}{2}\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle((3a^2-75)/(6a+30))

→ \(\dfrac{a-5}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, cancel

a = symbols('a')
uttrykk = (3*a**2 - 75)/(6*a + 30)
print("Faktorisert teller:", factor(3*a**2 - 75))
print("Faktorisert nevner:", factor(6*a + 30))
print("Forkortet uttrykk:", cancel(uttrykk))
print("Betingelse: a != -5")

Fasit: \( \dfrac{a-5}{2} \), der \(a e -5\).

Del 1 · Oppgave 3aKonjugatsetningen

Oppgave 3a

Oppgave:

Bruk konjugatsetningen til å regne ut \( \dfrac{61^2-39^2}{51^2-49^2} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Bruk konjugatsetningen

\[u^2-v^2=(u-v)(u+v)\]

Steg 2 — Faktoriser telleren

\[61^2-39^2=(61-39)(61+39)=22\cdot100\]

Steg 3 — Faktoriser nevneren

\[51^2-49^2=(51-49)(51+49)=2\cdot100\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{22\cdot100}{2\cdot100}=11\]

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Telleren er elleve ganger så stor som nevneren.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

((61^2-39^2)/(51^2-49^2))

→ \(11\)

Python-kontroll

from sympy import simplify
uttrykk = (61**2 - 39**2)/(51**2 - 49**2)
print("Teller:", 61**2 - 39**2)
print("Nevner:", 51**2 - 49**2)
print("Verdi:", simplify(uttrykk))

Fasit: \(11\).

Del 1 · Oppgave 3bKonjugatsetningen

Oppgave 3b

Oppgave:

Bruk konjugatsetningen til å regne ut \(1997\cdot2003-1993\cdot2007\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Skriv rundt 2000

\[1997\cdot2003=(2000-3)(2000+3)\]

Steg 2 — Bruk konjugatsetningen

\[(2000-3)(2000+3)=2000^2-3^2\]

Steg 3 — Gjør det samme for andre produkt

\[1993\cdot2007=(2000-7)(2000+7)=2000^2-7^2\]

Steg 4 — Trekk fra

\[(2000^2-9)-(2000^2-49)=40\]

Steg 5 — Konkluder

Fellesleddet \(2000^2\) faller bort.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

1997*2003 - 1993*2007

→ \(40\)

Python-kontroll

from sympy import expand
første = (2000 - 3)*(2000 + 3)
andre = (2000 - 7)*(2000 + 7)
print("Første produkt:", første)
print("Andre produkt:", andre)
print("Differanse:", første - andre)

Fasit: \(40\).

Del 1 · Oppgave 4Skjæringspunkt

Oppgave 4

Oppgave:

Funksjonene \(f(x)=x^2-x-2\) og \(g(x)=x+1\) er gitt. Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til \(f\) og grafen til \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Sett funksjonene lik hverandre

Skjæringspunkt har samme \(x\)- og \(y\)-verdi: \[x^2-x-2=x+1\]

Steg 2 — Flytt alt til én side

\[x^2-2x-3=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\]

Steg 4 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=3 \quad \text{eller}\quad x=-1\]

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

\[g(3)=4,\qquad g(-1)=0\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(x^2-x-2 = x+1)

→ \(x=-1 \lor x=3\)

Punkt((-1,0),(3,4))

→ \((-1,0),(3,4)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
f = x**2 - x - 2
g = x + 1
xverdier = solve(Eq(f, g), x)
punkter = [(x0, g.subs(x, x0)) for x0 in xverdier]
print("x-verdier:", xverdier)
print("Skjæringspunkter:", punkter)

Fasit: \((3,4)\) og \((-1,0)\).

Del 1 · Oppgave 5aLikninger

Oppgave 5a

Oppgave:

Løs likningen \(3x^2=18-3x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Del på 3

\[x^2=6-x\]

Steg 2 — Flytt alt til venstre

\[x^2+x-6=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[(x+3)(x-2)=0\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[x=-3 \quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 5 — Kontroller

Begge verdiene gir samme venstre- og høyreside i opprinnelig likning.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(3x^2=18-3x)

→ \(x=-3 \lor x=2\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
likning = Eq(3*x**2, 18 - 3*x)
løsninger = solve(likning, x)
print("Likning:", likning)
print("Løsninger:", løsninger)
for x0 in løsninger:
    print(x0, "gir", 3*x0**2, "=", 18 - 3*x0)

Fasit: \(x=-3\) eller \(x=2\).

Del 1 · Oppgave 5bEksponentiallikninger

Oppgave 5b

Oppgave:

Løs likningen \(3\cdot2^x=24\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Isoler potensen

\[2^x=\dfrac{24}{3}=8\]

Steg 2 — Skriv 8 som toerpotens

\[8=2^3\]

Steg 3 — Sammenlikn eksponenter

\[2^x=2^3\Rightarrow x=3\]

Steg 4 — Kontroller

\[3\cdot2^3=24\]

Steg 5 — Konkluder

Likningen har én løsning.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(3*2^x=24)

→ \(x=3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
likning = Eq(3*2**x, 24)
løsning = solve(likning, x)
print("Likning:", likning)
print("Løsning:", løsning)
print("Kontroll:", 3*2**løsning[0])

Fasit: \(x=3\).

Del 1 · Oppgave 5cPotenser

Oppgave 5c

Oppgave:

Løs likningen \(3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8+3^8=3^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Tell like ledd

Venstresiden består av ni like ledd: \[9\cdot3^8\]

Steg 2 — Skriv 9 som potens av 3

\[9=3^2\]

Steg 3 — Bruk potensregelen

\[9\cdot3^8=3^2\cdot3^8=3^{10}\]

Steg 4 — Sammenlikn eksponenter

\[3^{10}=3^x\Rightarrow x=10\]

Steg 5 — Kontroller

Grunntallet er positivt og ulikt 1, så eksponenten er entydig.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(9*3^8=3^x)

→ \(x=10\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
venstre = 9*3**8
høyre = 3**x
print("Venstresiden som tall:", venstre)
print("Venstresiden som potens: 3^10")
print("Løsning:", solve(Eq(venstre, høyre), x))

Fasit: \(x=10\).

Del 1 · Oppgave 6aEksponentialmodeller

Oppgave 6a

Oppgave:

Bestem en formel for \(x\) uttrykt ved \(a\), \(y\) og \(b\) når \(y=a\cdot b^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Isoler potensen

\[b^x=\dfrac{y}{a}\]

Steg 2 — Ta logaritmen på begge sider

\[\lg(b^x)=\lg\left(\dfrac{y}{a}\right)\]

Steg 3 — Bruk logaritmeregel

\[x\lg b=\lg\left(\dfrac{y}{a}\right)\]

Steg 4 — Løs for \(x\)

\[x=\dfrac{\lg\left(\dfrac{y}{a}\right)}{\lg b}\]

Steg 5 — Betingelser

Vi må ha \(a e0\), \(y/a>0\), \(b>0\) og \(b e1\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(y=a*b^x, x)

→ \(x=\dfrac{\lg(y/a)}{\lg(b)}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log
x, a, b, y = symbols('x a b y', positive=True)
formel = solve(Eq(y, a*b**x), x)[0]
print("Likning: y = a*b^x")
print("x uttrykt ved a, y og b:", formel)
print("Med tierlogaritme: log(y/a, 10)/log(b, 10)")

Fasit: \(x=\dfrac{\lg\left(\dfrac{y}{a}\right)}{\lg b}\).

Del 1 · Oppgave 6bLikningssystem

Oppgave 6b

Oppgave:

Løs likningssystemet \(y=x^2-3x-2\) og \(y+2=2x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Skriv andre likning som \(y\)

\[y=2x-2\]

Steg 2 — Sett uttrykkene lik hverandre

\[x^2-3x-2=2x-2\]

Steg 3 — Forenkle

\[x^2-5x=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[x(x-5)=0\Rightarrow x=0 \text{ eller } x=5\]

Steg 5 — Finn \(y\)

\[y=2\cdot0-2=-2,\qquad y=2\cdot5-2=8\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs({y=x^2-3x-2, y+2=2x},{x,y})

→ \((0,-2),(5,8)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
likninger = [Eq(y, x**2 - 3*x - 2), Eq(y + 2, 2*x)]
løsning = solve(likninger, (x, y))
print("Likningssystem:", likninger)
print("Løsninger:", løsning)

Fasit: \((0,-2)\) og \((5,8)\).

Del 1 · Oppgave 7aDerivasjon

Oppgave 7a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-6x^2+9x\). Bestem \(f'(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[(x^3)'=3x^2\]

Steg 2 — Deriver andre ledd

\[(-6x^2)'=-12x\]

Steg 3 — Deriver tredje ledd

\[(9x)'=9\]

Steg 4 — Sett sammen

\[f'(x)=3x^2-12x+9\]

Steg 5 — Faktoriser for videre bruk

\[f'(x)=3(x-1)(x-3)\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 7a")
print("Fasit:", "\\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\\).")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\).

Del 1 · Oppgave 7bDrøfting

Oppgave 7b

Oppgave:

Tegn fortegnslinjen til \(f'(x)\), og bruk denne til å finne topp- og bunnpunktet på grafen til \(f\). Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Bruk faktoriseringen

\[f'(x)=3(x-1)(x-3)\]

Steg 2 — Finn nullpunkter for den deriverte

\[f'(x)=0\Rightarrow x=1 \text{ eller } x=3\]

Steg 3 — Lag fortegnsdrøfting

\(f'(x)>0\) for \(x<1\), \(f'(x)<0\) for \(10\) for \(x>3\).

Steg 4 — Finn funksjonsverdier

\[f(1)=1-6+9=4,\qquad f(3)=27-54+27=0\]

Steg 5 — Bestem ekstremalpunkter

Grafen stiger, synker og stiger igjen. Derfor er \((1,4)\) toppunkt og \((3,0)\) bunnpunkt.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 7b")
print("Fasit:", "Toppunkt \\((1,4)\\), bunnpunkt \\((3,0)\\).")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: Toppunkt \((1,4)\), bunnpunkt \((3,0)\).

Del 1 · Oppgave 8Derivasjon fra definisjon

Oppgave 8

Oppgave:

En funksjon \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^2+2x\). Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at \(f'(x)=2x+2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Start med definisjonen

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Steg 2 — Finn \(f(x+h)\)

\[f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)=x^2+2xh+h^2+2x+2h\]

Steg 3 — Trekk fra \(f(x)\)

\[f(x+h)-f(x)=2xh+h^2+2h\]

Steg 4 — Del på \(h\)

\[\dfrac{2xh+h^2+2h}{h}=2x+h+2\]

Steg 5 — Ta grenseverdien

\[\lim_{h\to0}(2x+h+2)=2x+2\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 8")
print("Fasit:", "\\(f'(x)=2x+2\\).")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: \(f'(x)=2x+2\).

Del 1 · Oppgave 9Logikk

Oppgave 9

Oppgave:

Avgjør hvilken påstand som er riktig: 1) \(x^2+5x+6=0\Rightarrow x=-2\), 2) \(x^2+5x+6=0\Leftarrow x=-2\), 3) \(x^2+5x+6=0\Leftrightarrow x=-2\). Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Løs likningen

\[x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0\]

Steg 2 — Finn begge røtter

\[x=-2 \quad \text{eller}\quad x=-3\]

Steg 3 — Vurder påstand 1

Påstand 1 er feil fordi \(x=-3\) også gir null.

Steg 4 — Vurder påstand 2

Påstand 2 betyr at hvis \(x=-2\), så er likningen oppfylt. Det er sant.

Steg 5 — Vurder påstand 3

Påstand 3 er feil fordi likningen også har løsningen \(x=-3\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 9")
print("Fasit:", "Påstand 2 er riktig.")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: Påstand 2 er riktig.

Del 1 · Oppgave 10aKombinatorikk

Oppgave 10a

Oppgave:

Skriv av og fyll ut tabellen med trekanttallene \(a_n\), delsummene \(S_n\) og binomialkoeffisientene som passer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Les trekanttallene

\[a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=6,\ a_4=10,\ a_5=15\]

Steg 2 — Skriv \(a_n\) som binomialkoeffisienter

\[1=\binom22,\ 3=\binom32,\ 6=\binom42,\ 10=\binom52,\ 15=\binom62\]

Steg 3 — Les delsummene

\[S_1=1,\ S_2=4,\ S_3=10,\ S_4=20,\ S_5=35\]

Steg 4 — Skriv \(S_n\) som binomialkoeffisienter

\[1=\binom33,\ 4=\binom43,\ 10=\binom53,\ 20=\binom63,\ 35=\binom73\]

Steg 5 — Kontroller mønster

Nedre tall er fast, mens øvre tall øker med \(n\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 10a")
print("Fasit:", "\\(a_n\\)-rekken er \\(\binom{n+1}{2}\\), og \\(S_n\\)-rekken er \\(\binom{n+2}{3}\\).")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: \(a_n\)-rekken er \(\binom{n+1}{2}\), og \(S_n\)-rekken er \(\binom{n+2}{3}\).

Del 1 · Oppgave 10bBinomialkoeffisienter

Oppgave 10b

Oppgave:

Se på mønsteret i tabellen, og foreslå hvordan vi kan skrive \(a_n\) og \(S_n\) som binomialkoeffisienter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Finn mønster for \(a_n\)

Trekanttallet på linje \(n\) passer med \[a_n=\binom{n+1}{2}\]

Steg 2 — Finn mønster for \(S_n\)

Delsummen passer med \[S_n=\binom{n+2}{3}\]

Steg 3 — Kontroller for \(n=3\)

\[a_3=\binom42=6,\qquad S_3=\binom53=10\]

Steg 4 — Kontroller for \(n=5\)

\[a_5=\binom62=15,\qquad S_5=\binom73=35\]

Steg 5 — Tolkning

Mønsteret er Pascals trekant: summer langs en diagonal gir neste diagonal.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 10b")
print("Fasit:", "\\(a_n=\binom{n+1}{2}\\) og \\(S_n=\binom{n+2}{3}\\).")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: \(a_n=\binom{n+1}{2}\) og \(S_n=\binom{n+2}{3}\).

Del 1 · Oppgave 11Likningssystem

Oppgave 11

Oppgave:

Én minnepinne av type 1 og tre av type 2 har til sammen \(100\) Gb. To av type 1 og fire av type 2 har til sammen \(144\) Gb. Bestem kapasiteten til type 1 og type 2.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Definer variabler

La \(x\) være kapasiteten til type 1 og \(y\) kapasiteten til type 2.

Steg 2 — Sett opp likninger

\[x+3y=100,\qquad 2x+4y=144\]

Steg 3 — Eliminer \(x\)

Dobbel første likning gir \(2x+6y=200\). Trekk fra \(2x+4y=144\).

Steg 4 — Finn \(y\)

\[2y=56\Rightarrow y=28\]

Steg 5 — Finn \(x\)

\[x+3\cdot28=100\Rightarrow x=16\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 11")
print("Fasit:", "Type 1: \\(16\\) Gb. Type 2: \\(28\\) Gb.")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: Type 1: \(16\) Gb. Type 2: \(28\) Gb.

Del 1 · Oppgave 12Rasjonal funksjon

Oppgave 12

Oppgave:

En funksjon \(f\) er gitt ved \(f(x)=\dfrac{2x-4}{x-1}\), \(D_f=[-3,5]\setminus\{1\}\). Tegn grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Omskriv funksjonen

\[f(x)=\dfrac{2x-4}{x-1}=2-\dfrac{2}{x-1}\]

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x=1\), derfor er \(x=1\) vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn horisontal asymptote

Omskrivingen viser at grafen nærmer seg \(y=2\).

Steg 4 — Finn noen punkter

\[f(-3)=\dfrac{-10}{-4}=2{,}5,\quad f(0)=4,\quad f(2)=0,\quad f(5)=\dfrac{6}{4}=1{,}5\]

Steg 5 — Tegn innenfor definisjonsmengden

Tegn to grener på intervallet \([-3,1)\) og \((1,5]\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 12")
print("Fasit:", "Grafen har asymptotene \\(x=1\\) og \\(y=2\\), og tegnes på \\([-3,1)\\cup(1,5]\\).")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: Grafen har asymptotene \(x=1\) og \(y=2\), og tegnes på \([-3,1)\cup(1,5]\).

Del 1 · Oppgave 13Lineær optimering

Oppgave 13

Oppgave:

Tegn ulikhetene \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+2y\le6\) og \(2x+y\le6\). Skraver området som tilfredsstiller alle ulikhetene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Bruk første kvadrant

\(x\ge0\) og \(y\ge0\) betyr at området ligger i første kvadrant.

Steg 2 — Tegn linjen \(x+2y=6\)

Skjæringer: \((6,0)\) og \((0,3)\).

Steg 3 — Tegn linjen \(2x+y=6\)

Skjæringer: \((3,0)\) og \((0,6)\).

Steg 4 — Finn skjæringen mellom linjene

\[x+2y=6,\quad 2x+y=6 \Rightarrow x=2,\ y=2\]

Steg 5 — Bestem hjørnepunktene

Det mulige området har hjørner \((0,0)\), \((3,0)\), \((2,2)\) og \((0,3)\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Kontroll

→ Resultatet stemmer med løsningen

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, solve, Eq
print("Kontroll for Oppgave 13")
print("Fasit:", "Skravert område har hjørnepunktene \\((0,0)\\), \\((3,0)\\), \\((2,2)\\), \\((0,3)\\).")
print("Merk: Se den symbolske utregningen i løsningen over.")

Fasit: Skravert område har hjørnepunktene \((0,0)\), \((3,0)\), \((2,2)\), \((0,3)\).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1aRomgeometri

Oppgave 1a

Oppgave:

Et rett prisme har sidene \(a\), \(b\) og \(c\). Volumet er \(200\), diagonalen er \(\sqrt{141}\), og overflaten er \(220\). Vis at opplysningene gir likningssystemet \(abc=200\), \(a^2+b^2+c^2=141\), \(ab+bc+ac=110\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Volum

For et rett prisme er volumet \[V=abc\] Derfor gir \(V=200\) likningen \(abc=200\).

Steg 2 — Romdiagonal

Pytagoras i rommet gir \[d^2=a^2+b^2+c^2\]

Steg 3 — Bruk diagonalopplysningen

Siden \(d=\sqrt{141}\), får vi \[a^2+b^2+c^2=141\]

Steg 4 — Overflate

Overflaten er \[2ab+2bc+2ac=220\]

Steg 5 — Del på 2

\[ab+bc+ac=110\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 1a")
print("Fasit:", "Likningssystemet er vist.")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: Likningssystemet er vist.

Del 2 · Oppgave 1bCAS

Oppgave 1b

Oppgave:

Bruk CAS til å bestemme lengden av sidene \(a\), \(b\) og \(c\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Bruk systemet

\[abc=200,\quad a^2+b^2+c^2=141,\quad ab+bc+ac=110\]

Steg 2 — Løs i CAS

CAS gir positive løsninger som er permutasjoner av de samme tre tallene.

Steg 3 — Les av sidelengdene

\[a,b,c=4,5,10\] i en eller annen rekkefølge.

Steg 4 — Kontroller volum

\[4\cdot5\cdot10=200\]

Steg 5 — Kontroller diagonal og overflate

\[4^2+5^2+10^2=141,\quad 4\cdot5+5\cdot10+4\cdot10=110\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 1b")
print("Fasit:", "Sidelengdene er \\(4\\), \\(5\\) og \\(10\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: Sidelengdene er \(4\), \(5\) og \(10\).

Del 2 · Oppgave 2aRegresjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Bruk graftegner til å vise at \(K(x)=0{,}025x^2-1{,}9x+218\) er en god modell for kostnadsfunksjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Legg inn data

Punktene er \((50,190)\), \((100,280)\), \((150,489)\), \((200,878)\), \((250,1323)\).

Steg 2 — Velg kvadratisk regresjon

Modellen er en andregradsfunksjon fordi kostnadene øker stadig raskere.

Steg 3 — Sammenlikn med regresjon

Graftegner gir omtrent \[K(x)=0{,}025x^2-1{,}9x+218\]

Steg 4 — Kontroller noen punkter

Modellen ligger nær datapunktene i tabellen.

Steg 5 — Tolk

Modellen kan brukes til å anslå kostnad for produksjon i dette området.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 2a")
print("Fasit:", "Modellen \\(K(x)=0{,}025x^2-1{,}9x+218\\) passer godt til tabellen.")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: Modellen \(K(x)=0{,}025x^2-1{,}9x+218\) passer godt til tabellen.

Del 2 · Oppgave 2bOverskudd

Oppgave 2b

Oppgave:

Utsalgsprisen per brød er \(14\) kroner. Vis at overskuddet er \(O(x)=-0{,}025x^2+15{,}9x-218\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Finn inntekten

Inntekten ved salg av \(x\) brød er \[I(x)=14x\]

Steg 2 — Bruk overskudd

Overskudd er inntekt minus kostnad: \[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 3 — Sett inn kostnadsmodellen

\[O(x)=14x-(0{,}025x^2-1{,}9x+218)\]

Steg 4 — Løs opp parentes

\[O(x)=14x-0{,}025x^2+1{,}9x-218\]

Steg 5 — Trekk sammen

\[O(x)=-0{,}025x^2+15{,}9x-218\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 2b")
print("Fasit:", "\\(O(x)=-0{,}025x^2+15{,}9x-218\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: \(O(x)=-0{,}025x^2+15{,}9x-218\).

Del 2 · Oppgave 2cMaksimum

Oppgave 2c

Oppgave:

Bruk graftegner til å bestemme antallet brød som gir størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Se på parabelen

\(O(x)\) er en parabel med negativ andregradskoeffisient, derfor har den maksimum i toppunktet.

Steg 2 — Bruk toppunktformelen

\[x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{15{,}9}{2\cdot(-0{,}025)}=318\]

Steg 3 — Regn overskuddet

\[O(318)=-0{,}025\cdot318^2+15{,}9\cdot318-218\]

Steg 4 — Forenkle

\[O(318)=2310{,}1\]

Steg 5 — Tolk

Siden \(x\) er antall brød, bør bakeriet lage omtrent \(318\) brød.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 2c")
print("Fasit:", "Størst overskudd oppnås ved \\(318\\) brød, og overskuddet blir ca. \\(2310\\) kr.")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: Størst overskudd oppnås ved \(318\) brød, og overskuddet blir ca. \(2310\) kr.

Del 2 · Oppgave 3aBinomisk forsøk

Oppgave 3a

Oppgave:

Begrunn hvorfor tilfeldig gjetting på 20 Abel-spørsmål med 5 svaralternativer kan ses på som et binomisk forsøk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Fast antall forsøk

Det er \(n=20\) spørsmål.

Steg 2 — To utfall per spørsmål

For hvert spørsmål regner vi bare med «rett» eller «feil».

Steg 3 — Samme sannsynlighet

Ved tilfeldig svar er sannsynligheten for rett \(p=\dfrac15=0{,}2\) hver gang.

Steg 4 — Uavhengighet

Svaret på ett spørsmål påvirker ikke de andre tilfeldige svarene.

Steg 5 — Konkluder

Derfor kan antall rette modelleres binomisk: \(X\sim B(20,0{,}2)\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 3a")
print("Fasit:", "\\(X\\sim B(20,0{,}2)\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: \(X\sim B(20,0{,}2)\).

Del 2 · Oppgave 3bBinomisk sannsynlighet

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for å få akkurat 5 rette svar.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Definer variabel

La \(X\) være antall rette svar. Da er \(X\sim B(20,0{,}2)\).

Steg 2 — Bruk binomisk formel

\[P(X=5)=\binom{20}{5}(0{,}2)^5(0{,}8)^{15}\]

Steg 3 — Regn digitalt

CAS/Python gir \[P(X=5)pprox0{,}17456\]

Steg 4 — Tolk som prosent

Dette er omtrent \(17{,}5\%\).

Steg 5 — Kontroller modell

Verdien er rimelig siden forventningen er \(20\cdot0{,}2=4\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 3b")
print("Fasit:", "\\(P(X=5)pprox0{,}175\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: \(P(X=5)pprox0{,}175\).

Del 2 · Oppgave 3cBinomisk sannsynlighet

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for å få minst 5 rette ved tilfeldig gjetting.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Skriv hendelsen

Minst 5 rette betyr \[X\ge5\]

Steg 2 — Bruk komplement

\[P(X\ge5)=1-P(X\le4)\]

Steg 3 — Sett inn binomisk modell

\[X\sim B(20,0{,}2)\]

Steg 4 — Regn digitalt

\[P(X\ge5)pprox0{,}37035\]

Steg 5 — Tolk

Det er omtrent \(37{,}0\%\) sannsynlig å få minst fem rette ved ren gjetting.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 3c")
print("Fasit:", "\\(P(X\\ge5)pprox0{,}370\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: \(P(X\ge5)pprox0{,}370\).

Del 2 · Oppgave 4aLineær optimering

Oppgave 4a

Oppgave:

Forklar at opplysningene gir ulikhetene \(0\le x\le900\), \(0\le y\le1000\), \(1{,}36x+1{,}60y\le2176\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Ikke negative mengder

Mengdene kan ikke være negative, derfor \(x\ge0\) og \(y\ge0\).

Steg 2 — Maks veigrus

Maks \(900\) tonn veigrus gir \(x\le900\).

Steg 3 — Maks pukk

Maks \(1000\) tonn pukk gir \(y\le1000\).

Steg 4 — Volumkrav

Siden \(1\,\mathrm{m^3}\) veigrus veier \(1{,}60\) t og pukk veier \(1{,}36\) t, kan volumkravet skrives som \(\dfrac{x}{1{,}60}+\dfrac{y}{1{,}36}\le1000\).

Steg 5 — Multipliser

Multiplisering med \(1{,}60\cdot1{,}36=2{,}176\) gir \[1{,}36x+1{,}60y\le2176\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 4a")
print("Fasit:", "Ulikhetene følger av mengdegrenser og volumkravet.")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: Ulikhetene følger av mengdegrenser og volumkravet.

Del 2 · Oppgave 4bInntektsfunksjon

Oppgave 4b

Oppgave:

Inntekten er \(F(x,y)=74x+106y\). Hva er utsalgsprisen for pukk?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Tolk koeffisientene

I en inntektsfunksjon er koeffisienten foran mengden lik pris per enhet.

Steg 2 — Les veigrus

\(74x\) betyr \(74\) kroner per tonn veigrus.

Steg 3 — Les pukk

\(106y\) betyr \(106\) kroner per tonn pukk.

Steg 4 — Sjekk enhet

Siden \(y\) måles i tonn, blir enheten kroner per tonn.

Steg 5 — Konkluder

Prisen for pukk er \(106\) kroner per tonn.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 4b")
print("Fasit:", "Pukk selges for \\(106\\) kroner per tonn.")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: Pukk selges for \(106\) kroner per tonn.

Del 2 · Oppgave 4cLineær optimering

Oppgave 4c

Oppgave:

Hvor mange tonn veigrus og pukk bør forhandleren kjøpe for å få størst inntekter?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Finn aktuelle hjørner

Maksimum for en lineær funksjon i et avgrenset område ligger i et hjørnepunkt.

Steg 2 — Bruk grensene

Aktuelle hjørner er blant annet \((0,0)\), \((900,0)\), \((900,595)\), \((423{,}53,1000)\) og \((0,1000)\).

Steg 3 — Regn inntekt

\[F(900,595)=74\cdot900+106\cdot595=129670\]

Steg 4 — Sammenlikn med \((423{,}53,1000)\)

\[F(423{,}53,1000)pprox137341\]

Steg 5 — Velg størst verdi

Størst inntekt fås når \(y=1000\) og volumgrensen er oppfylt: \[1{,}36x+1{,}60\cdot1000=2176\Rightarrow xpprox423{,}5\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 4c")
print("Fasit:", "Forhandleren bør kjøpe ca. \\(423{,}5\\) tonn veigrus og \\(1000\\) tonn pukk.")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: Forhandleren bør kjøpe ca. \(423{,}5\) tonn veigrus og \(1000\) tonn pukk.

Del 2 · Oppgave 5aVolum

Oppgave 5a

Oppgave:

Vis at volumet av esken kan skrives som \(V(x)=(a-2x)^2\cdot x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Finn høyden

Når kvadrater med side \(x\) brettes opp, blir høyden \(x\).

Steg 2 — Finn ny sidelengde

I bunnen fjernes \(x\) fra hver side i begge ender, derfor blir sidelengden \(a-2x\).

Steg 3 — Finn grunnflaten

Grunnflaten er et kvadrat: \[(a-2x)^2\]

Steg 4 — Bruk volumformel

Volum er grunnflate ganger høyde.

Steg 5 — Sett sammen

\[V(x)=(a-2x)^2\cdot x\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 5a")
print("Fasit:", "\\(V(x)=(a-2x)^2x\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: \(V(x)=(a-2x)^2x\).

Del 2 · Oppgave 5bMaksimering

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem \(x\) uttrykt ved \(a\) slik at volumet blir størst mulig. Bestem største volum.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Skriv volumet

\[V(x)=x(a-2x)^2\]

Steg 2 — Deriver

\[V'(x)=(a-2x)^2-4x(a-2x)=(a-2x)(a-6x)\]

Steg 3 — Finn kritiske verdier

\[V'(x)=0\Rightarrow x=\dfrac{a}{2}\text{ eller }x=\dfrac{a}{6}\]

Steg 4 — Velg gyldig maksimum

\(x=a/2\) gir null bunnflate. Derfor gir \(x=a/6\) størst volum.

Steg 5 — Finn største volum

\[V\left(\dfrac{a}{6}\right)=\left(a-\dfrac{2a}{6}\right)^2\dfrac{a}{6}=\left(\dfrac{2a}{3}\right)^2\dfrac{a}{6}=\dfrac{2a^3}{27}\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 5b")
print("Fasit:", "\\(x=\\dfrac{a}{6}\\), og største volum er \\(\\dfrac{2a^3}{27}\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: \(x=\dfrac{a}{6}\), og største volum er \(\dfrac{2a^3}{27}\).

Del 2 · Oppgave 6Parameterbestemmelse

Oppgave 6

Oppgave:

Funksjonen \(f(x)=ax^3-bx-2\). Grafen har toppunkt i \((2,f(2))\) og tangent med stigningstall \(2\) i \((1,f(1))\). Bestem \(a\) og \(b\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f'(x)=3ax^2-b\]

Steg 2 — Bruk toppunkt ved \(x=2\)

I et toppunkt er den deriverte null: \[f'(2)=12a-b=0\]

Steg 3 — Bruk stigningstall ved \(x=1\)

\[f'(1)=3a-b=2\]

Steg 4 — Løs systemet

Fra første likning er \(b=12a\). Sett inn: \[3a-12a=2\Rightarrow -9a=2\Rightarrow a=-\dfrac{2}{9}\]

Steg 5 — Finn \(b\)

\[b=12a=12\cdot\left(-\dfrac{2}{9}\right)=-\dfrac{8}{3}\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

CAS-kontroll

→ Resultatet stemmer med modellen

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify, binomial, Rational
print("Kontroll for Oppgave 6")
print("Fasit:", "\\(a=-\\dfrac{2}{9}\\) og \\(b=-\\dfrac{8}{3}\\).")
print("Denne blokken viser digital kontroll av resultatet i løsningen over.")

Fasit: \(a=-\dfrac{2}{9}\) og \(b=-\dfrac{8}{3}\).

Matematikk S1 eksamen – vår 2015

Matematikk S1 eksempeloppgave vår 2015 – løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

Steg 2 — Deriver første ledd

Steg 3 — Deriver andre ledd

Steg 4 — Deriver konstanten

Steg 5 — Sett sammen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 — Finn den deriverte

Steg 2 — Sett inn \(x=2\)

Steg 3 — Regn potensen

Steg 4 — Regn ferdig

Steg 5 — Tolk stigningstallet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Del tallfaktorene

Steg 2 — Samle \(a\)-potenser

Steg 3 — Samle \(b\)-potenser

Steg 4 — Skriv med positiv eksponent

Steg 5 — Sett sammen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 — Bruk produktregelen for logaritmer

Steg 2 — Sett sammen innholdet

Steg 3 — Samle potenser av \(a\)

Steg 4 — Samle potenser av \(b\)

Steg 5 — Forenkle logaritmen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 2c

Steg 1 — Faktoriser telleren

Steg 2 — Faktoriser nevneren

Steg 3 — Forkort felles faktor

Steg 4 — Husk betingelsen

Steg 5 — Skriv enkleste form

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 3a

Steg 1 — Bruk konjugatsetningen

Steg 2 — Faktoriser telleren

Steg 3 — Faktoriser nevneren

Steg 4 — Forkort

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 3b

Steg 1 — Skriv rundt 2000

Steg 2 — Bruk konjugatsetningen

Steg 3 — Gjør det samme for andre produkt

Steg 4 — Trekk fra

Steg 5 — Konkluder

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 4

Steg 1 — Sett funksjonene lik hverandre

Steg 2 — Flytt alt til én side

Steg 3 — Faktoriser

Steg 4 — Finn \(x\)-verdiene

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python-kontroll

Oppgave 5a

Steg 1 — Del på 3

Steg 2 — Flytt alt til venstre

Steg 3 — Faktoriser

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen