Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Identifiser leddene

Funksjonen består av et tredjegradsledd, et andregradsledd og en konstant.

Steg 2 — Bruk potensregelen

Potensregelen sier at \( \dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1} \).

Steg 3 — Deriver første ledd

\[ \dfrac{d}{dx}\left(3x^3\right)=3\cdot 3x^2=9x^2 \]

Steg 4 — Deriver andre ledd

\[ \dfrac{d}{dx}\left(2x^2\right)=2\cdot 2x=4x \]

Steg 5 — Deriver konstanten

Konstanten \( -7 \) har derivert lik \(0\).

Tolkning

Den deriverte forteller stigningstallet til grafen for hver verdi av \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, simplify

x = symbols('x')
f = 3*x**3 + 2*x**2 - 7
f_derivert = diff(f, x)
kontroll = simplify(f_derivert - (9*x**2 + 4*x))

print("Funksjon:", f)
print("Derivert:", f_derivert)
print("Kontroll mot forventet uttrykk:", kontroll)
print("Kontroll lik 0 betyr at uttrykket stemmer.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Skriv formelen

Gjennomsnittlig veksthastighet på \([a,b]\) er \[ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]

Steg 2 — Finn startverdien

\[ f(0)=3-2\cdot 0=3 \]

Steg 3 — Finn sluttverdien

\[ f(3)=3-2\cdot 3=-3 \]

Steg 4 — Sett inn i formelen

\[ \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{-3-3}{3}=-2 \]

Steg 5 — Kontroller med funksjonstypen

Siden funksjonen er lineær med stigningstall \(-2\), må gjennomsnittlig veksthastighet også være \(-2\).

Tolkning

Funksjonsverdien synker med 2 enheter når \(x\) øker med 1.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify

x = symbols('x')
f = 3 - 2*x
start = 0
slutt = 3
f_start = f.subs(x, start)
f_slutt = f.subs(x, slutt)
gjennomsnittlig_vekst = simplify((f_slutt - f_start)/(slutt - start))

print("f(0) =", f_start)
print("f(3) =", f_slutt)
print("Gjennomsnittlig veksthastighet =", gjennomsnittlig_vekst)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Faktoriser nevnerne

\[ x^2-9=(x-3)(x+3), \qquad 3x+9=3(x+3) \]

Steg 2 — Forkort andre brøk

\[ \dfrac{3}{3x+9}=\dfrac{3}{3(x+3)}=\dfrac{1}{x+3} \]

Steg 3 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \((x-3)(x+3)\).

Steg 4 — Utvid andre brøk

\[ \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)} \]

Steg 5 — Legg sammen tellerne

\[ \dfrac{2x}{(x-3)(x+3)}+\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{3x-3}{(x-3)(x+3)} \]

Steg 6 — Faktoriser telleren

\[ \dfrac{3x-3}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{3(x-1)}{(x-3)(x+3)} \]

Tolkning

Uttrykket er definert når \(x eq -3\) og \(x eq 3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor, simplify

x = symbols('x')
uttrykk = 2*x/(x**2 - 9) + 3/(3*x + 9)
forenklet = factor(simplify(uttrykk))

print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Faktorisert og forenklet:", forenklet)
print("Ugyldige x-verdier: x = -3 og x = 3")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Utvid parentesen

\[ (ab)^2=a^2b^2 \]

Steg 2 — Multipliser tellerens potenser

\[ a^{-3}\cdot a^2b^2=a^{-1}b^2 \]

Steg 3 — Del på nevneren

\[ \dfrac{a^{-1}b^2}{ab^{-1}}=a^{-1}b^2\cdot a^{-1}b \]

Steg 4 — Samle potenser av samme bokstav

\[ a^{-1}a^{-1}b^2b=a^{-2}b^3 \]

Steg 5 — Skriv uten negativ eksponent

\[ a^{-2}b^3=\dfrac{b^3}{a^2} \]

Tolkning

Negativ eksponent betyr at faktoren flyttes til motsatt side av brøkstreken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify, factor

a, b = symbols('a b', nonzero=True)
uttrykk = a**(-3) * (a*b)**2 / (a*b**(-1))
forenklet = simplify(uttrykk)

print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Forenklet uttrykk:", forenklet)
print("Kontroll faktorisert:", factor(forenklet))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Løs likning II for \(y\)

\[2x-y=-6 \quad \Rightarrow \quad y=2x+6\]

Steg 2 — Sett inn i likning I

\[x^2+6=(2x+6)+5x\]

Steg 3 — Forenkle likningen

\[x^2+6=7x+6 \quad \Rightarrow \quad x^2-7x=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[x(x-7)=0\]

Steg 5 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=0 \quad ext{eller} \quad x=7\]

Steg 6 — Finn tilhørende \(y\)-verdier

\[y=2\cdot 0+6=6, \qquad y=2\cdot 7+6=20\]

Tolkning

Likningssystemet har to løsninger fordi en parabel og en rett linje kan skjære hverandre i to punkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify

x, y = symbols('x y')
likning_1 = Eq(x**2 + 6, y + 5*x)
likning_2 = Eq(2*x - y, -6)
losninger = solve((likning_1, likning_2), (x, y), dict=True)

print("Likning 1:", likning_1)
print("Likning 2:", likning_2)
print("Løsninger:", losninger)
for losning in losninger:
    venstre_1 = (x**2 + 6).subs(losning)
    hoyre_1 = (y + 5*x).subs(losning)
    venstre_2 = (2*x - y).subs(losning)
    print("Kontroll for", losning, ":", venstre_1, "=", hoyre_1, "og", venstre_2, "= -6")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Skriv formelen

\[\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\]

Steg 2 — Sett inn \(n=8\) og \(r=6\)

\[\binom{8}{6}=\dfrac{8!}{6!2!}\]

Steg 3 — Forkort fakultetene

\[\dfrac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{56}{2}=28\]

Steg 4 — Bruk symmetrien

\[\binom{8}{6}=\binom{8}{2}\]

Steg 5 — Knytt til Pascals trekant

I rad nummer 8 finner vi koeffisienten ved plass nummer 6 dersom vi teller første plass som 0.

Tolkning

Tallet 28 er antall måter å velge 6 elementer fra 8 elementer på.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import binomial

n = 8
r = 6
verdi = binomial(n, r)
symmetrisk_verdi = binomial(n, n-r)

print("binomial(8, 6) =", verdi)
print("Symmetrisk kontroll binomial(8, 2) =", symmetrisk_verdi)
print("Samme verdi:", verdi == symmetrisk_verdi)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Velg sannsynlighetsmodell

Vi antar at alle utvalg på 6 spillere fra 8 er like sannsynlige.

Steg 2 — Tell alle mulige startlag

\[\binom{8}{6}=28\]

Steg 3 — Tell gunstige startlag

Alle 3 gutter må være med. Da må vi i tillegg velge 3 av de 5 jentene: \[\binom{5}{3}=10\]

Steg 4 — Lag brøken

\[P=\dfrac{\binom{5}{3}}{\binom{8}{6}}=\dfrac{10}{28}\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{10}{28}=\dfrac{5}{14}\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(35{,}7\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import binomial, Rational, N

alle_lag = binomial(8, 6)
gunstige_lag = binomial(5, 3)
sannsynlighet = Rational(gunstige_lag, alle_lag)

print("Alle mulige startlag:", alle_lag)
print("Gunstige startlag:", gunstige_lag)
print("Sannsynlighet eksakt:", sannsynlighet)
print("Sannsynlighet desimalt:", N(sannsynlighet, 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Skjæring med \(y\)-aksen

På \(y\)-aksen er \(x=0\). Da er \[f(0)=0^3-3\cdot 0^2=0.\]

Steg 2 — Skjæring med \(x\)-aksen

På \(x\)-aksen er \(f(x)=0\).

Steg 3 — Faktoriser funksjonen

\[x^3-3x^2=x^2(x-3)\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[x^2(x-3)=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 ext{ eller } x=3\]

Steg 5 — Skriv punktene

Skjæringspunktene med \(x\)-aksen er \((0,0)\) og \((3,0)\).

Tolkning

Punktet \((0,0)\) er både skjæring med \(x\)-aksen og \(y\)-aksen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor, solve

x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2
nullpunkter = solve(f, x)
y_skjaring = f.subs(x, 0)

print("Faktorisert funksjon:", factor(f))
print("Nullpunkter:", nullpunkter)
print("Skjæring med y-aksen:", y_skjaring)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=3x^2-6x\]

Steg 2 — Faktoriser den deriverte

\[f\prime(x)=3x(x-2)\]

Steg 3 — Finn kritiske punkter

\[3x(x-2)=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 ext{ eller } x=2\]

Steg 4 — Lag fortegnsdrøfting

For \(x<0\) er \(f\prime(x)>0\). For \(02\) er \(f\prime(x)>0\).

Steg 5 — Klassifiser punktene

Ved \(x=0\) går grafen fra voksende til avtakende, altså toppunkt. Ved \(x=2\) går grafen fra avtakende til voksende, altså bunnpunkt.

Steg 6 — Finn funksjonsverdiene

\[f(0)=0, \qquad f(2)=8-12=-4\]

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt i \((0,0)\) og lokalt bunnpunkt i \((2,-4)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, sign, simplify

x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2
fp = diff(f, x)
kritiske = solve(fp, x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for punkt in kritiske:
    print("f(", punkt, ") =", simplify(f.subs(x, punkt)))

print("Fortegn test:")
for test in [-1, 1, 3]:
    print("f'(", test, ") =", fp.subs(x, test), "som har fortegn", sign(fp.subs(x, test)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Bruk nullpunktene

Fra del a vet vi at grafen går gjennom \((0,0)\) og \((3,0)\).

Steg 2 — Bruk ekstremalpunktene

Fra del b vet vi at grafen har toppunkt \((0,0)\) og bunnpunkt \((2,-4)\).

Steg 3 — Bruk fortegn for vekst

Grafen vokser før \(x=0\), avtar mellom \(0\) og \(2\), og vokser etter \(x=2\).

Steg 4 — Plasser punktene i koordinatsystemet

Marker \((0,0)\), \((2,-4)\) og \((3,0)\).

Steg 5 — Tegn en glatt tredjegradsfunksjon

Kurven skal være glatt, ikke knekket, siden \(f\) er et polynom.

Tolkning

Skissen viser både skjæringspunkter og hvor funksjonen øker eller minker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, lambdify

x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2
punkter = [-1, 0, 1, 2, 3, 4]

print("Verdier til grafskisse:")
for verdi in punkter:
    print("x =", verdi, "gir f(x) =", f.subs(x, verdi))

print("Viktige punkter: (0,0), (2,-4), (3,0)")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Bruk formelen

\[\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}\]

Steg 2 — Regn ut funksjonsverdiene

\[f(1)=1^3-3\cdot 1^2=-2, \qquad f(3)=27-27=0\]

Steg 3 — Sett inn

\[\dfrac{0-(-2)}{2}=1\]

Steg 4 — Grafisk tolkning

Grafisk er dette stigningstallet til sekanten gjennom punktene \((1,-2)\) og \((3,0)\).

Steg 5 — Kontroller retningen

Sekanten stiger 2 enheter i \(y\)-retning mens \(x\) øker 2 enheter, så stigningstallet er \(1\).

Tolkning

I gjennomsnitt øker funksjonsverdien med 1 per \(x\)-enhet på intervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify

x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2
x1 = 1
x2 = 3
y1 = f.subs(x, x1)
y2 = f.subs(x, x2)
sekant_stigning = simplify((y2 - y1)/(x2 - x1))

print("Punkt 1:", (x1, y1))
print("Punkt 2:", (x2, y2))
print("Stigningstall for sekanten:", sekant_stigning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Definer hva som er et forsøk

Hver kamp regnes som ett delforsøk.

Steg 2 — Definer suksess

Suksess er at vi tipper riktig utfall i en kamp.

Steg 3 — To mulige resultater i modellen

For hver kamp modellerer vi bare resultatet som riktig eller ikke riktig.

Steg 4 — Samme sannsynlighet

Vi må anta at sannsynligheten for riktig tips er \(p=\dfrac{1}{3}\) i hver kamp.

Steg 5 — Uavhengighet

Vi må anta at resultatet i én kamp ikke påvirker resultatene i de andre kampene.

Tolkning

Med disse antagelsene kan antall rette modelleres som \(X\sim \operatorname{Bin}(12,\dfrac{1}{3})\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational

n = 12
p = Rational(1, 3)
print("Antall forsøk n =", n)
print("Sannsynlighet for rett tips p =", p)
print("Modell: X er antall rette tips i 12 uavhengige kamper")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Definer variabelen

La \(X\) være antall rette. Da er \(X\sim \operatorname{Bin}\left(12,\dfrac{1}{3}\right)\).

Steg 2 — Oversett «minst 10»

Vi skal finne \(P(X\ge 10)=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)\).

Steg 3 — Bruk binomisk formel

\[P(X=k)=\binom{12}{k}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12-k}\]

Steg 4 — Summer de tre leddene

\[P(X\ge 10)=\sum_{k=10}^{12}\binom{12}{k}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12-k}\]

Steg 5 — Regn ut

\[P(X\ge 10)=\dfrac{289}{531441}\approx 0{,}000544\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(0{,}0544\%\), altså svært liten for én tilfeldig rekke.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, binomial, Rational, summation, N

k = symbols('k', integer=True)
n = 12
p = Rational(1, 3)
q = 1 - p
sannsynlighet = sum(binomial(n, i) * p**i * q**(n-i) for i in range(10, 13))

print("Modell: X ~ Bin(12, 1/3)")
print("P(X >= 10) eksakt =", sannsynlighet)
print("P(X >= 10) desimalt =", N(sannsynlighet, 8))
print("P(X >= 10) i prosent =", N(100*sannsynlighet, 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Regn \(P(X=12)\)

\[P(X=12)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}\]

Steg 2 — Regn \(P(X=0)\)

Å få 0 rette betyr at alle 12 tips er feil. Sannsynligheten for feil i én kamp er \(\dfrac{2}{3}\). Derfor \[P(X=0)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}.\]

Steg 3 — Sammenlign eksakt

\[\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}=\dfrac{4096}{531441}, \qquad \left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}=\dfrac{1}{531441}\]

Steg 4 — Forklar forskjellen

Det finnes to feil utfall per kamp, men bare ett riktig utfall per kamp.

Steg 5 — Forholdet mellom sannsynlighetene

\[\dfrac{P(X=0)}{P(X=12)}=4096\]

Tolkning

Det er mye mer sannsynlig å få 0 rette enn 12 rette når man tipper tilfeldig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, N

p_rett = Rational(1, 3)
p_feil = Rational(2, 3)
P_12_rette = p_rett**12
P_0_rette = p_feil**12
forhold = P_0_rette / P_12_rette

print("P(12 rette) =", P_12_rette, "=", N(P_12_rette, 8))
print("P(0 rette)  =", P_0_rette, "=", N(P_0_rette, 8))
print("P(0 rette) / P(12 rette) =", forhold)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Oversett påstanden

Gevinst på hver femte rekke betyr sannsynlighet \(0{,}20\) for minst 10 rette.

Steg 2 — Lag likningen

Vi må finne \(p\) slik at \[\sum_{k=10}^{12}\binom{12}{k}p^k(1-p)^{12-k}=0{,}20.\]

Steg 3 — Bruk digital løsning

Dette er ikke en enkel likning å løse for hånd, så vi løser numerisk.

Steg 4 — Numerisk resultat

Løsningen i intervallet \([0,1]\) er \[p\approx 0{,}6762.\]

Steg 5 — Kontroller

Setter vi \(p=0{,}6762\) inn i binomialmodellen, får vi \(P(X\ge 10)\approx 0{,}20\).

Tolkning

Eksperten må i gjennomsnitt tippe riktig i omtrent \(67{,}6\%\) av kampene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, binomial, nsolve, N

p = symbols('p')
n = 12
uttrykk = sum(binomial(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k) for k in range(10, 13))
likning = uttrykk - 0.20
losning = nsolve(likning, 0.68)
kontroll = uttrykk.subs(p, losning)

print("Likning: P(X >= 10) = 0.20")
print("Numerisk løsning for p =", N(losning, 8))
print("Kontroll P(X >= 10) =", N(kontroll, 8))
print("Som prosent:", N(100*losning, 6), "%")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[g\prime(x)=6x^2-24x-5\]

Steg 2 — Sett inn \(x=4\)

\[g\prime(4)=6\cdot 4^2-24\cdot 4-5\]

Steg 3 — Regn ut

\[g\prime(4)=96-96-5=-5\]

Steg 4 — Tolk stigningstallet

Stigningstallet til tangenten i punktet der \(x=4\) er \(-5\).

Tolkning

Grafen er avtakende akkurat ved \(x=4\), fordi den momentane veksten er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, simplify

x = symbols('x')
g = 2*x**3 - 12*x**2 - 5*x + 8
g_derivert = diff(g, x)
verdi = g_derivert.subs(x, 4)

print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("g'(4) =", verdi)
print("Kontroll:", simplify(verdi - (-5)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Les grafen kvalitativt

Vi ser på hvor grafen til \(h\) stiger og synker.

Steg 2 — Finn omtrentlige ekstremalpunkter

Grafen har et toppunkt omtrent ved \(x=-1\) og et bunnpunkt omtrent ved \(x\approx 1{,}6\).

Steg 3 — Oversett til fortegn for \(h\prime\)

Når grafen stiger, er \(h\prime(x)>0\). Når grafen synker, er \(h\prime(x)<0\).

Steg 4 — Sett inn nullpunktene til den deriverte

\(h\prime(x)=0\) ved topp- og bunnpunktet.

Steg 5 — Fortegnslinje

Fortegnslinja blir omtrent: \[h\prime(x)>0 ext{ for } x<-1,\quad h\prime(x)<0 ext{ for } -10 ext{ for } x>1{,}6.\]

Tolkning

Fortegnslinja beskriver vekstforholdene, ikke selve funksjonsverdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print("Grafisk avlesning fra figuren:")
print("Toppunkt omtrent ved x = -1")
print("Bunnpunkt omtrent ved x = 1.6")
print("h'(x) > 0 før toppunktet")
print("h'(x) < 0 mellom toppunkt og bunnpunkt")
print("h'(x) > 0 etter bunnpunktet")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Finn punktet på grafen

Marker punktet på grafen der \(x=1\).

Steg 2 — Tegn tangent

Tegn en tangent som følger grafens retning best mulig akkurat i dette punktet.

Steg 3 — Velg to punkter på tangenten

Les av to punkter på tangenten, for eksempel omtrent ett punkt til venstre og ett til høyre.

Steg 4 — Regn stigningstall

Stigningstallet beregnes som \[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}.\]

Steg 5 — Les av fra figuren

Grafen synker tydelig ved \(x=1\). En rimelig avlesning gir for eksempel \(h\prime(1)\approx -2\).

Tolkning

Svaret er en tilnærming fordi vi leser av fra en graf, ikke fra en formel.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print("Grafisk metode for h'(1):")
print("1. Marker x = 1 på grafen.")
print("2. Tegn tangent i punktet.")
print("3. Les av to punkter på tangenten.")
print("4. Regn delta_y / delta_x.")
print("Omtrentlig resultat fra figuren: h'(1) ≈ -2")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Velg modell

Oppgaven ber om andregradsregresjon: \(K(x)=ax^2+bx+c\).

Steg 2 — Bruk regresjon i digitalt verktøy

Legg \(x\)-verdiene i én liste og \(K(x)\)-verdiene i en annen liste.

Steg 3 — Regresjonsresultat

Regresjonen gir \[a=0{,}3, \qquad b=500, \qquad c=30000.\]

Steg 4 — Skriv funksjonen

\[K(x)=0{,}3x^2+500x+30000\]

Steg 5 — Kontroller med tabellpunkt

For eksempel: \[K(300)=0{,}3\cdot 300^2+500\cdot 300+30000=207000.\]

Tolkning

Modellen gir kostnaden i kroner når det produseres \(x\) enheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, interpolate, expand

x = symbols('x')
data = [(0, 30000), (100, 83000), (300, 207000), (500, 355000), (700, 527000)]
# Tabellen passer nøyaktig med en andregradsfunksjon.
K = 0.3*x**2 + 500*x + 30000

print("Foreslått modell K(x) =", K)
print("Kontroll mot tabellen:")
for xverdi, kostnad in data:
    beregnet = K.subs(x, xverdi)
    print("x =", xverdi, "modell =", beregnet, "tabell =", kostnad, "avvik =", beregnet - kostnad)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Start med modellen

\[K(x)=0{,}3x^2+500x+30000\]

Steg 2 — Deriver kostnadsfunksjonen

\[K\prime(x)=0{,}6x+500\]

Steg 3 — Sett inn \(x=300\)

\[K\prime(300)=0{,}6\cdot 300+500=680\]

Steg 4 — Enhet

Siden \(K\) er kroner og \(x\) er enheter, er enheten kroner per enhet.

Steg 5 — Tolkning

Når produksjonen er omtrent 300 enheter, øker kostnaden med omtrent 680 kroner for én ekstra produsert enhet.

Tolkning

Dette er en marginalkostnad, ikke total kostnad.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff

x = symbols('x')
K = 0.3*x**2 + 500*x + 30000
K_derivert = diff(K, x)
verdi = K_derivert.subs(x, 300)

print("K(x) =", K)
print("K'(x) =", K_derivert)
print("K'(300) =", verdi)
print("Tolkning: kroner per ekstra produsert enhet rundt x = 300")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Finn inntekten

Når hver enhet selges for 710 kroner, er inntekten \[I(x)=710x.\]

Steg 2 — Bruk kostnadsfunksjonen

\[K(x)=0{,}3x^2+500x+30000\]

Steg 3 — Overskudd er inntekt minus kostnad

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 4 — Sett inn

\[O(x)=710x-\left(0{,}3x^2+500x+30000\right)\]

Steg 5 — Forenkle

\[O(x)=-0{,}3x^2+210x-30000\]

Tolkning

Overskuddet blir en parabel som vender nedover fordi koeffisienten foran \(x^2\) er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand

x = symbols('x')
inntekt = 710*x
kostnad = 0.3*x**2 + 500*x + 30000
overskudd = expand(inntekt - kostnad)

print("Inntekt I(x) =", inntekt)
print("Kostnad K(x) =", kostnad)
print("Overskudd O(x) = I(x) - K(x) =", overskudd)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Start med overskuddsfunksjonen

\[O(x)=-0{,}3x^2+210x-30000\]

Steg 2 — Deriver

\[O\prime(x)=-0{,}6x+210\]

Steg 3 — Sett den deriverte lik null

\[-0{,}6x+210=0\]

Steg 4 — Løs for \(x\)

\[0{,}6x=210 \quad \Rightarrow \quad x=350\]

Steg 5 — Kontroller maksimum

Siden \(O\) er en andregradsfunksjon med negativ \(x^2\)-koeffisient, vender parabelen nedover. Derfor gir \(x=350\) maksimum.

Steg 6 — Finn maksimalverdien

\[O(350)=6750\]

Tolkning

Størst overskudd oppnås ved produksjon av 350 enheter, og overskuddet er da 6750 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve, simplify

x = symbols('x')
O = -0.3*x**2 + 210*x - 30000
O_derivert = diff(O, x)
kritisk = solve(O_derivert, x)[0]
maks_overskudd = simplify(O.subs(x, kritisk))

print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O_derivert)
print("Kritisk produksjon:", kritisk)
print("O(", kritisk, ") =", maks_overskudd)
print("Negativ andregradskoeffisient betyr maksimum.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Tolk \(a\)

Når \(x=0\), får vi \[f(0)=a\cdot b^0=a.\]

Steg 2 — Sett inn verdien

Her er \(a=100\), altså er startverdien \(100\).

Steg 3 — Tolk \(b\)

Faktoren \(b\) forteller hvor mye funksjonsverdien multipliseres med når \(x\) øker med 1.

Steg 4 — Tolk \(b=1{,}1\)

\(b=1{,}1\) betyr at funksjonsverdien ganges med \(1{,}1\), altså øker med \(10\%\) per \(x\)-enhet.

Tolkning

Modellen starter på 100 og har fast relativ vekst på \(10\%\) per steg.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, N

x = symbols('x')
a = 100
b = Rational(11, 10)
f0 = a * b**0
vekst_prosent = (b - 1) * 100

print("a =", a, "gir f(0) =", f0)
print("b =", b, "gir vekstprosent =", N(vekst_prosent), "%")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Sett opp fordobling

Vi vil ha \(f(x+t)=2f(x)\).

Steg 2 — Sett inn funksjonen

\[100\cdot 1{,}1^{x+t}=2\cdot 100\cdot 1{,}1^x\]

Steg 3 — Forkort felles faktorer

\[1{,}1^t=2\]

Steg 4 — Løs med logaritmer

\[t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}1}\approx 7{,}27\]

Steg 5 — Forklar uavhengigheten

Verdien \(x\) ble forkortet bort. Derfor er økningen den samme uansett startpunkt.

Tolkning

Funksjonen dobles når \(x\) øker med omtrent \(7{,}27\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import log, N, Rational

b = Rational(11, 10)
t = log(2) / log(b)

print("Løsning av 1.1^t = 2")
print("t eksakt = ln(2)/ln(1.1)")
print("t desimalt =", N(t, 8))
print("Denne t-verdien er uavhengig av startverdien x.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Deriver eksponentialfunksjonen

For \(f(x)=100\cdot 1{,}1^x\) er \[f\prime(x)=100\cdot 1{,}1^x\ln(1{,}1).\]

Steg 2 — Sett inn \(x=10\)

\[f\prime(10)=100\cdot 1{,}1^{10}\ln(1{,}1)\approx 24{,}72\]

Steg 3 — Sett inn \(x=20\)

\[f\prime(20)=100\cdot 1{,}1^{20}\ln(1{,}1)\approx 64{,}10\]

Steg 4 — Sammenlign

Den momentane veksten er større ved \(x=20\) fordi funksjonsverdien da er større.

Tolkning

Momentan vekst er stigningstallet til tangenten i punktet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, log, diff, N

x = symbols('x')
f = 100 * Rational(11, 10)**x
fp = diff(f, x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("f'(10) =", N(fp.subs(x, 10), 6))
print("f'(20) =", N(fp.subs(x, 20), 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Bruk uttrykket for den deriverte

\[f\prime(x)=100\cdot 1{,}1^x\ln(1{,}1)\]

Steg 2 — Del på funksjonsverdien

\[\dfrac{f\prime(x)}{f(x)}=\dfrac{100\cdot 1{,}1^x\ln(1{,}1)}{100\cdot 1{,}1^x}\]

Steg 3 — Forkort

\[\dfrac{f\prime(x)}{f(x)}=\ln(1{,}1)\approx 0{,}09531\]

Steg 4 — Bruk \(x=10\)

\[\dfrac{f\prime(10)}{f(10)}\approx 0{,}09531\]

Steg 5 — Bruk \(x=20\)

\[\dfrac{f\prime(20)}{f(20)}\approx 0{,}09531\]

Tolkning

Den relative veksten er konstant og tilsvarer omtrent \(9{,}53\%\) per \(x\)-enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, log, diff, simplify, N

x = symbols('x')
f = 100 * Rational(11, 10)**x
fp = diff(f, x)
relativ_vekst = simplify(fp / f)

print("f'(x)/f(x) =", relativ_vekst)
for verdi in [10, 20]:
    print("x =", verdi)
    print("  f'(x) =", N(fp.subs(x, verdi), 6))
    print("  f(x)  =", N(f.subs(x, verdi), 6))
    print("  forhold =", N((fp/f).subs(x, verdi), 8))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Velg en ny verdi

Vi velger for eksempel \(x=5\).

Steg 2 — Bruk formelen for relativ vekst

\[\dfrac{f\prime(5)}{f(5)}\]

Steg 3 — Sett inn uttrykkene

\[\dfrac{100\cdot 1{,}1^5\ln(1{,}1)}{100\cdot 1{,}1^5}\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{f\prime(5)}{f(5)}=\ln(1{,}1)\approx 0{,}09531\]

Steg 5 — Sammenlign

Dette er samme verdi som i del d.

Tolkning

Eksponentialfunksjoner har konstant relativ vekst.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, diff, simplify, N

x = symbols('x')
f = 100 * Rational(11, 10)**x
fp = diff(f, x)
ny_x = 5
forhold = simplify(fp.subs(x, ny_x) / f.subs(x, ny_x))

print("Valgt x-verdi:", ny_x)
print("f'(5)/f(5) =", forhold)
print("Desimalt:", N(forhold, 8))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Ikke-negativ produksjon

De kan ikke produsere et negativt antall varer, derfor \(x\ge 0\) og \(y\ge 0\).

Steg 2 — Ainas tidskrav

Aina bruker 6 minutter per skjorte og 30 minutter per topp, og kan arbeide 300 minutter: \[6x+30y\le 300.\]

Steg 3 — Forenkle Ainas ulikhet

\[6x+30y\le 300 \Rightarrow x+5y\le 50 \Rightarrow y\le -\dfrac{1}{5}x+10\]

Steg 4 — Britts tidskrav

Britt bruker 20 minutter på hver vare og kan arbeide 360 minutter: \[20x+20y\le 360 \Rightarrow x+y\le 18 \Rightarrow y\le -x+18.\]

Steg 5 — Kims tidskrav

Kim bruker 30 minutter per skjorte og 12 minutter per topp, og kan arbeide 480 minutter: \[30x+12y\le 480.\]

Steg 6 — Forenkle Kims ulikhet

\[30x+12y\le 480 \Rightarrow 5x+2y\le 80 \Rightarrow y\le -\dfrac{5}{2}x+40\]

Tolkning

Hver ulikhet beskriver en tidsbegrensning for én av personene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality

x, y = symbols('x y')
print("Aina: 6x + 30y <= 300  ->  y <= -x/5 + 10")
print("Britt: 20x + 20y <= 360 ->  y <= -x + 18")
print("Kim: 30x + 12y <= 480  ->  y <= -5x/2 + 40")
print("I tillegg: x >= 0 og y >= 0")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Tegn aksene

Bruk \(x\)-aksen for antall skjorter og \(y\)-aksen for antall topper.

Steg 2 — Tegn Aina-linja

Tegn \(y=-\dfrac{1}{5}x+10\), som går gjennom \((0,10)\) og \((50,0)\).

Steg 3 — Tegn Britt-linja

Tegn \(y=-x+18\), som går gjennom \((0,18)\) og \((18,0)\).

Steg 4 — Tegn Kim-linja

Tegn \(y=-\dfrac{5}{2}x+40\), som går gjennom \((0,40)\) og \((16,0)\).

Steg 5 — Velg riktig side

Siden alle ulikhetene er av typen \(y\le\), skal området under linjene brukes. I tillegg må vi være i første kvadrant.

Steg 6 — Finn hjørnepunkter

De relevante hjørnepunktene er \((0,0)\), \((0,10)\), \((10,8)\), \((\dfrac{44}{3},\dfrac{10}{3})\) og \((16,0)\).

Tolkning

Alle punkter i det skraverte området er produksjonsmengder som ikke bryter tidsbegrensningene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational

x, y = symbols('x y')
linje_aina = Eq(y, -Rational(1,5)*x + 10)
linje_britt = Eq(y, -x + 18)
linje_kim = Eq(y, -Rational(5,2)*x + 40)

print("Skjæring Aina og Britt:", solve((linje_aina, linje_britt), (x, y)))
print("Skjæring Britt og Kim:", solve((linje_britt, linje_kim), (x, y)))
print("x-akseskjæring for Kim:", solve((linje_kim, Eq(y, 0)), (x, y)))
print("y-akseskjæring for Aina:", solve((linje_aina, Eq(x, 0)), (x, y)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Lag inntektsfunksjon

\[I(x,y)=250x+300y\]

Steg 2 — Bruk hjørnepunktene

Ved lineær optimering i et mangekantområde finner vi maksimum i et hjørnepunkt.

Steg 3 — Regn inntekt i hjørnepunktene

\[I(0,0)=0,\quad I(0,10)=3000,\quad I(16,0)=4000\]

Steg 4 — Regn i de indre hjørnepunktene

\[I(10,8)=250\cdot 10+300\cdot 8=4900\] \[I\left(\dfrac{44}{3},\dfrac{10}{3}\right)=\dfrac{14000}{3}\approx 4666{,}67\]

Steg 5 — Velg størst verdi

Den største verdien er \(4900\), ved \((x,y)=(10,8)\).

Tolkning

De bør produsere 10 skjorter og 8 topper for å få størst inntekt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational

hjornepunkter = [(0, 0), (0, 10), (16, 0), (10, 8), (Rational(44,3), Rational(10,3))]

def inntekt(x, y):
    return 250*x + 300*y

print("Inntekt i hjørnepunktene:")
beste = None
for punkt in hjornepunkter:
    verdi = inntekt(*punkt)
    print(punkt, "gir inntekt", verdi)
    if beste is None or verdi > beste[1]:
        beste = (punkt, verdi)
print("Beste punkt:", beste[0])
print("Maksimal inntekt:", beste[1])

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Bruk optimal produksjon

Fra del c er optimal produksjon \(x=10\) skjorter og \(y=8\) topper.

Steg 2 — Ainas tidsbruk

\[6\cdot 10+30\cdot 8=60+240=300 ext{ minutter}\] Aina bruker hele sin tid.

Steg 3 — Britts tidsbruk

\[20\cdot 10+20\cdot 8=200+160=360 ext{ minutter}\] Britt bruker hele sin tid.

Steg 4 — Kims tidsbruk

\[30\cdot 10+12\cdot 8=300+96=396 ext{ minutter}\]

Steg 5 — Sammenlign med Kims arbeidstid

Kim kan arbeide \(8\) timer, altså \(480\) minutter. Resttid: \[480-396=84 ext{ minutter}.\]

Steg 6 — Konklusjon

Kim får tid til overs og kan bruke \(84\) minutter på rydding.

Tolkning

Ved maksimum er Aina og Britt flaskehalser, mens Kim har ledig kapasitet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x = 10
y = 8

aina_tid = 6*x + 30*y
britt_tid = 20*x + 20*y
kim_tid = 30*x + 12*y

print("Optimal produksjon: x =", x, "skjorter og y =", y, "topper")
print("Aina bruker", aina_tid, "minutter av 300 minutter")
print("Britt bruker", britt_tid, "minutter av 360 minutter")
print("Kim bruker", kim_tid, "minutter av 480 minutter")
print("Kims ledige tid:", 480 - kim_tid, "minutter")
print("84 minutter = 1 time og 24 minutter")