Steg 1 - Regn ut funksjonsverdiene

Vi trenger verdien i startpunktet og sluttpunktet: \[f(1)=1^3-3\cdot 1+1=-1,\qquad f(3)=3^3-3\cdot 3+1=19.\]

Steg 2 - Bruk formelen for gjennomsnittlig veksthastighet

Gjennomsnittlig veksthastighet fra \(x=1\) til \(x=3\) er stigningstallet til sekanten:

\[\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{19-(-1)}{2}=10.\]

Tolkning

I dette intervallet øker funksjonsverdien i gjennomsnitt med \(10\) per \(x\)-enhet.

Digital kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x + 1
start = 1
slutt = 3
f_start = f.subs(x, start)
f_slutt = f.subs(x, slutt)
gjennomsnitt = (f_slutt - f_start)/(slutt - start)
print("Funksjon:", f)
print("f(1) =", f_start)
print("f(3) =", f_slutt)
print("Gjennomsnittlig veksthastighet =", gjennomsnitt)

Steg 1 - Deriver funksjonen

Momentan vekst betyr verdien av den deriverte. Vi får

\[f'(x)=3x^2-3.\]

Steg 2 - Sett inn \(x=2\)

\[f'(2)=3\cdot 2^2-3=12-3=9.\]

Tolkning

Grafen har stigningstall \(9\) i punktet der \(x=2\).

Digital kontroll

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x + 1
derivert = diff(f, x)
momentan_vekst = derivert.subs(x, 2)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", derivert)
print("Momentan vekst i x=2:", momentan_vekst)

Steg 1 - Bruk omkretsen

La den andre siden være \(y\). Omkretsen er

\[2x+2y=40.\]

Steg 2 - Løs for den andre siden

\[x+y=20\quad\Longrightarrow\quad y=20-x.\]

Steg 3 - Skriv arealet

Arealet er lengde ganger bredde:

\[A(x)=x(20-x)=20x-x^2=-x^2+20x.\]

Tolkning

Funksjonen er en andregradsfunksjon som beskriver alle mulige rektangler med omkrets \(40\), når \(0

Digital kontroll

from sympy import symbols, solve, expand
x, y = symbols('x y')
omkrets_likning = 2*x + 2*y - 40
los_y = solve(omkrets_likning, y)[0]
areal = expand(x * los_y)
print("Omkretslikning: 2x + 2y = 40")
print("Løst for y:", los_y)
print("Areal A(x):", areal)
print("Kontroll for x=10: A(10) =", areal.subs(x, 10))

Steg 1 - Deriver arealfunksjonen

Fra forrige del har vi \(A(x)=-x^2+20x\). Da er

\[A'(x)=-2x+20.\]

Steg 2 - Finn kritisk punkt

\[A'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad -2x+20=0\quad\Longrightarrow\quad x=10.\]

Steg 3 - Kontroller at det er maksimum

Siden koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, vender parabelen nedover. Punktet \(x=10\) gir derfor maksimum.

Steg 4 - Regn ut arealet

\[A(10)=-10^2+20\cdot 10=100.\]

Tolkning

Det største arealet får vi når rektanglet er et kvadrat med sider \(10\) og \(10\).

Digital kontroll

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
A = -x**2 + 20*x
A_derivert = diff(A, x)
kritiske = solve(A_derivert, x)
print("A(x) =", A)
print("A'(x) =", A_derivert)
print("Kritisk punkt:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print(f"A({verdi}) =", A.subs(x, verdi))
print("Andrederivert:", diff(A_derivert, x), "som er negativ, så dette er maksimum")

Steg 1 - Faktoriser teller og nevner

\[2x-2=2(x-1),\qquad x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 2 - Forkort brøken

For \(x\ne 1\) får vi

\[\frac{2x-2}{x^2-1}=\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x+1}.\]

Steg 3 - Trekk fra

\[1-\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}.\]

Definisjonsmengde

Det opprinnelige uttrykket er ikke definert for \(x=-1\) eller \(x=1\).

Digital kontroll

from sympy import symbols, factor, simplify, cancel
x = symbols('x')
uttrykk = 1 - (2*x - 2)/(x**2 - 1)
print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Nevner faktorisert:", factor(x**2 - 1))
print("Forenklet med cancel:", cancel(uttrykk))
print("Forenklet med simplify:", simplify(uttrykk))
print("Ikke tillatte x-verdier: -1 og 1")

Steg 1 - Samle alt på én side

\[x^2-x-6<0.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]

Steg 3 - Bruk fortegnslinje

Nullpunktene er \(x=-2\) og \(x=3\). Parabelen vender oppover, så uttrykket er negativt mellom nullpunktene.

Steg 4 - Skriv løsningen

\[-2

Digital kontroll

from sympy import symbols, S, solveset, factor
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 - x - 6
print("Omordnet ulikhet:", uttrykk, "< 0")
print("Faktorisert:", factor(uttrykk))
print("Løsningsmengde:", solveset(uttrykk < 0, x, domain=S.Reals))
for test in [-3, 0, 4]:
    print(f"x={test}: verdi = {uttrykk.subs(x, test)}")

Steg 1 - Bruk koeffisienten foran logaritmen

\[3\lg x^2=\lg((x^2)^3)=\lg(x^6).\]

Steg 2 - Bruk sumregel

\[\lg(x^6)+\lg\frac{2}{x^3}=\lg\left(x^6\cdot\frac{2}{x^3}\right).\]

Steg 3 - Forenkle argumentet

\[x^6\cdot\frac{2}{x^3}=2x^3.\]

Svar

Uttrykket blir \(\lg(2x^3)\), med \(x>0\).

Digital kontroll

from sympy import symbols, log, simplify
x = symbols('x', positive=True)
uttrykk = 3*log(x**2, 10) + log(2/x**3, 10)
argument = (x**2)**3 * (2/x**3)
print("Samlet argument før forenkling:", argument)
print("Samlet argument etter forenkling:", simplify(argument))
print("Forenklet logaritmeuttrykk:", log(simplify(argument), 10))
print("Definisjonskrav: x > 0")

Steg 1 - Sjekk definisjonsmengden

Vi må ha \(x\ne 2\) og \(x\ne 5\).

Steg 2 - Multipliser med fellesnevner

Fellesnevneren er \((x-2)(x-5)\). Da får vi

\[x(x-5)+(x-3)(x-2)=2(x-2)(x-5).\]

Steg 3 - Utvid og forenkle

\[x^2-5x+x^2-5x+6=2x^2-14x+20.\]

\[2x^2-10x+6=2x^2-14x+20.\]

Steg 4 - Løs lineær likning

\[4x=14\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7}{2}.\]

Steg 5 - Kontroller definisjonsmengden

Verdien \(x=\dfrac{7}{2}\) er verken \(2\) eller \(5\), så den er gyldig.

Digital kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(x/(x - 2) + (x - 3)/(x - 5), 2)
losninger = solve(likning, x)
print("Likning:", likning)
print("Løsninger fra SymPy:", losninger)
for verdi in losninger:
    venstre = simplify(likning.lhs.subs(x, verdi))
    hoyre = simplify(likning.rhs.subs(x, verdi))
    print(f"x={verdi}: venstre = {venstre}, høyre = {hoyre}, gyldig = {verdi not in [2,5]}")

Steg 1 - Substituer

Sett \(u=10^x\). Da er \(10^{2x}=(10^x)^2=u^2\). Likningen blir

\[u^2-u-6=0.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[u^2-u-6=(u-3)(u+2).\]

Steg 3 - Vurder mulige \(u\)-verdier

Vi får \(u=3\) eller \(u=-2\). Men \(u=10^x>0\), så \(u=-2\) forkastes.

Steg 4 - Løs for \(x\)

\[10^x=3\quad\Longrightarrow\quad x=\lg 3.\]

Digital kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, N
x, u = symbols('x u')
likning_u = Eq(u**2 - u - 6, 0)
los_u = solve(likning_u, u)
print("Substitusjon: u = 10^x")
print("Likning i u:", likning_u)
print("Løsninger for u:", los_u)
print("Bare u=3 er mulig fordi 10^x > 0")
print("x = log(3, 10) =", log(3, 10))
print("Desimalverdi:", N(log(3, 10), 8))

Steg 1 - Skriv radene

Vi nummererer radene fra \(n=0\):

Steg 2 - Finn koeffisientene

I rad \(5\) finner vi koeffisientene til \((a+b)^5\):

\[\binom{5}{1}=5,\qquad \binom{5}{2}=10,\qquad \binom{5}{4}=5.\]

Tolkning

Koeffisienten \(\binom{n}{k}\) står i rad \(n\), posisjon \(k\), når første posisjon er \(k=0\).

Digital kontroll

from math import comb
for n in range(7):
    rad = [comb(n, k) for k in range(n + 1)]
    print(f"Rad {n}:", rad)
print("C(5,1) =", comb(5, 1))
print("C(5,2) =", comb(5, 2))
print("C(5,4) =", comb(5, 4))

Steg 1 - Identifiser binomisk modell

Hvert kast har to utfall, og vi antar rettferdig mynt. Da er \(n=5\), \(p=\frac{1}{2}\) og \(k=2\).

Steg 2 - Bruk formelen

\[P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3.\]

Steg 3 - Regn ut

\[P(X=2)=10\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}=0{,}3125.\]

Tolkning

Sannsynligheten er \(31{,}25\) prosent.

Digital kontroll

from math import comb
from fractions import Fraction
n = 5
k = 2
p = Fraction(1, 2)
sannsynlighet = comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
print("n =", n)
print("k =", k)
print("p =", p)
print("C(5,2) =", comb(5, 2))
print("Sannsynlighet som brøk:", sannsynlighet)
print("Sannsynlighet som desimaltall:", float(sannsynlighet))

Steg 1 - Velg gunstige grupper

Vi må velge \(4\) av \(14\) jenter og \(2\) av \(11\) gutter:

\[\binom{14}{4}\binom{11}{2}.\]

Steg 2 - Velg alle mulige grupper

Alle ryddegjenger med \(6\) elever kan velges på

\[\binom{25}{6}\]

måter.

Steg 3 - Sannsynligheten

\[P=\frac{\binom{14}{4}\binom{11}{2}}{\binom{25}{6}}\approx 0{,}3162.\]

Digital kontroll

from math import comb
from fractions import Fraction
gunstige = comb(14, 4) * comb(11, 2)
totalt = comb(25, 6)
P = Fraction(gunstige, totalt)
print("Gunstige utvalg:", gunstige)
print("Totalt antall utvalg:", totalt)
print("Sannsynlighet som brøk:", P)
print("Sannsynlighet som desimaltall:", round(float(P), 6))

Steg 1 - Like mange betyr \(3\) jenter og \(3\) gutter

Siden det trekkes \(6\) elever, må vi ha \(3+3\).

Steg 2 - Sett opp brøken

\[P=\frac{\binom{14}{3}\binom{11}{3}}{\binom{25}{6}}.\]

Steg 3 - Regn ut

\[P\approx 0{,}3040.\]

Digital kontroll

from math import comb
from fractions import Fraction
gunstige = comb(14, 3) * comb(11, 3)
totalt = comb(25, 6)
P = Fraction(gunstige, totalt)
print("3 jenter og 3 gutter:", gunstige)
print("Totalt:", totalt)
print("P =", P)
print("P avrundet =", round(float(P), 6))

Steg 1 - Finn mulige tilfeller

Av \(6\) elever får vi flere jenter enn gutter når antall jenter er \(4\), \(5\) eller \(6\).

Steg 2 - Summer gunstige tilfeller

\[P=\frac{\binom{14}{4}\binom{11}{2}+\binom{14}{5}\binom{11}{1}+\binom{14}{6}\binom{11}{0}}{\binom{25}{6}}.\]

Steg 3 - Regn ut

\[P\approx 0{,}5152.\]

Digital kontroll

from math import comb
from fractions import Fraction
totalt = comb(25, 6)
termer = []
for jenter in [4, 5, 6]:
    gutter = 6 - jenter
    antall = comb(14, jenter) * comb(11, gutter)
    termer.append(antall)
    print(f"Jenter={jenter}, gutter={gutter}: gunstige = {antall}")
P = Fraction(sum(termer), totalt)
print("Totalt antall utvalg:", totalt)
print("Sannsynlighet:", P)
print("Desimal:", round(float(P), 6))

Steg 1 - Bruk komplement

Begge kjønn er representert betyr at vi ikke trekker bare jenter og ikke bare gutter.

Steg 2 - Sett opp uttrykket

\[P=1-\frac{\binom{14}{6}+\binom{11}{6}}{\binom{25}{6}}.\]

Steg 3 - Regn ut

\[P\approx 0{,}9167.\]

Tolkning

Det er svært sannsynlig at begge kjønn kommer med, fordi utvalget består av hele \(6\) elever.

Digital kontroll

from math import comb
from fractions import Fraction
totalt = comb(25, 6)
kun_jenter = comb(14, 6)
kun_gutter = comb(11, 6)
P = 1 - Fraction(kun_jenter + kun_gutter, totalt)
print("Kun jenter:", kun_jenter)
print("Kun gutter:", kun_gutter)
print("Totalt:", totalt)
print("P(begge kjønn representert) =", P)
print("Desimal:", round(float(P), 6))

Steg 1 - Sett inn hvert \(x\)-tall

Vi kontrollerer funksjonsverdiene:

\[K(0)=6000.\]

\[K(100)=0{,}2\cdot 100^2+45\cdot 100+6000=12500.\]

\[K(250)=0{,}2\cdot 250^2+45\cdot 250+6000=29750.\]

\[K(400)=0{,}2\cdot 400^2+45\cdot 400+6000=56000.\]

Konklusjon

Alle verdiene stemmer med tabellen, så funksjonen passer med de oppgitte dataene.

Digital kontroll

from sympy import symbols, Rational
x = symbols('x')
K = Rational(1, 5)*x**2 + 45*x + 6000
verdier = [0, 100, 250, 400]
fasit = [6000, 12500, 29750, 56000]
for xv, forventet in zip(verdier, fasit):
    beregnet = K.subs(x, xv)
    print(f"K({xv}) = {beregnet}, tabell = {forventet}, stemmer = {beregnet == forventet}")

Steg 1 - Deriver kostnadsfunksjonen

\[K(x)=0{,}2x^2+45x+6000.\]

\[K'(x)=0{,}4x+45.\]

Steg 2 - Sett inn \(x=200\)

\[K'(200)=0{,}4\cdot 200+45=125.\]

Tolkning

Ved produksjon av omtrent \(200\) enheter er kostnadsøkningen omtrent \(125\) kroner per ekstra produsert enhet.

Digital kontroll

from sympy import symbols, Rational, diff
x = symbols('x')
K = Rational(1, 5)*x**2 + 45*x + 6000
K_derivert = diff(K, x)
verdi = K_derivert.subs(x, 200)
print("K(x) =", K)
print("K'(x) =", K_derivert)
print("K'(200) =", verdi)
print("Tolkning: omtrent", verdi, "kroner per ekstra enhet rundt x=200")

Steg 1 - Skriv enhetskostnaden

\[G(x)=\frac{0{,}2x^2+45x+6000}{x}=0{,}2x+45+\frac{6000}{x},\qquad x>0.\]

Steg 2 - Finn minimum analytisk

Grafisk ser bunnpunktet ut til å ligge rundt \(x=173\). Vi kan bekrefte ved derivasjon:

\[G'(x)=0{,}2-\frac{6000}{x^2}.\]

\[G'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x^2=30000\quad\Longrightarrow\quad x=100\sqrt{3}\approx 173{,}2.\]

Steg 3 - Minste enhetskostnad

\[G(100\sqrt{3})\approx 114{,}3.\]

Digital kontroll

from sympy import symbols, Rational, diff, solve, sqrt, N
x = symbols('x', positive=True)
G = Rational(1, 5)*x + 45 + 6000/x
G_derivert = diff(G, x)
kritiske = solve(G_derivert, x)
print("G(x) =", G)
print("G'(x) =", G_derivert)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("x =", verdi, "≈", N(verdi, 6))
    print("G(x) =", N(G.subs(x, verdi), 6))

Steg 1 - Skriv grensekostnad og enhetskostnad

\[K'(x)=0{,}4x+45,\qquad G(x)=0{,}2x+45+\frac{6000}{x}.\]

Steg 2 - Sett dem lik hverandre

\[0{,}4x+45=0{,}2x+45+\frac{6000}{x}.\]

Steg 3 - Løs likningen

\[0{,}2x=\frac{6000}{x}.\]

\[0{,}2x^2=6000\quad\Longrightarrow\quad x^2=30000.\]

\[x=100\sqrt{3}\approx 173{,}2.\]

Konklusjon

Dette er samme produksjonsmengde som i c), så svaret er kontrollert.

Digital kontroll

from sympy import symbols, Eq, Rational, solve, sqrt, N
x = symbols('x', positive=True)
K_derivert = Rational(2, 5)*x + 45
G = Rational(1, 5)*x + 45 + 6000/x
likning = Eq(K_derivert, G)
losning = solve(likning, x)
print("K'(x) =", K_derivert)
print("G(x) =", G)
print("Likning K'(x)=G(x):", likning)
print("Løsning:", losning)
print("Desimal:", [N(v, 6) for v in losning])

Steg 1 - Tolk variablene

Avdeling A arbeider \(x\) uker, og avdeling B arbeider \(y\) uker.

Steg 2 - Kostnad per uke

Avdeling A koster \(24000\) kr per uke, altså \(24000x\) kroner. Avdeling B koster \(20000\) kr per uke, altså \(20000y\) kroner.

Steg 3 - Samlet kostnad

\[f(x,y)=24000x+20000y.\]

Digital kontroll

from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
kostnad = 24000*x + 20000*y
print("Kostnad avdeling A:", 24000*x)
print("Kostnad avdeling B:", 20000*y)
print("Samlet kostnadsfunksjon:", kostnad)
print("Eksempel x=2, y=3.2 gir:", kostnad.subs({x:2, y:3.2}))

Steg 1 - Modell M40

A produserer \(80\) og B produserer \(18\) per uke. Bestillingen er \(162\):

\[80x+18y\ge 162.\]

Steg 2 - Modell M30

\[6x+15y\ge 60.\]

Steg 3 - Modell M20

\[38x+20y\ge 140.\]

Steg 4 - Ikke-negative variabler

\[x\ge 0,\qquad y\ge 0.\]

Digital kontroll

from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
ulikheter = [80*x + 18*y >= 162, 6*x + 15*y >= 60, 38*x + 20*y >= 140, x >= 0, y >= 0]
print("Ulikheter for produksjonskrav:")
for u in ulikheter:
    print(" ", u)
print("Disse uttrykker at produsenten minst må oppfylle bestillingen.")

Steg 1 - Skriv grenselinjene

Grenselinjene er

\[80x+18y=162,\qquad 6x+15y=60,\qquad 38x+20y=140.\]

Steg 2 - Velg riktig side

Alle ulikhetene er av typen \(\ge\), så løsningen ligger på siden som gir nok produksjon. I tillegg må \(x\) og \(y\) være ikke-negative.

Steg 3 - Skisse

Det interessante hjørnet for minimumskostnaden ligger der linjene for M30 og M20 møtes.

Digital kontroll

# Numerisk sjekk av hjørnepunktene i løsningsområdet
from fractions import Fraction
punkter = [(0, 9), (Fraction(180, 229), Fraction(1261, 229)), (2, Fraction(16, 5)), (10, 0)]
for x, y in punkter:
    krav = [80*x + 18*y, 6*x + 15*y, 38*x + 20*y]
    print(f"Punkt ({x}, {y}) gir produksjon M40/M30/M20 = {krav}")
print("Bare punkter som oppfyller alle kravene er aktuelle i det skraverte området.")

Steg 1 - Bruk at optimum ligger i et hjørne

Ved lineær optimering med lineære ulikheter finner vi minimum i et hjørnepunkt av løsningsområdet.

Steg 2 - Finn aktuelle hjørner

De aktuelle hjørnene er blant annet \((0,9)\), \(\left(\frac{180}{229},\frac{1261}{229}\right)\), \((2,\frac{16}{5})\) og \((10,0)\).

Steg 3 - Regn kostnadene

Konklusjon

Lavest kostnad fås når \(x=2\) og \(y=\frac{16}{5}=3{,}2\).

Digital kontroll

from fractions import Fraction
punkter = [(0, 9), (Fraction(180, 229), Fraction(1261, 229)), (2, Fraction(16, 5)), (10, 0)]
def kostnad(x, y):
    return 24000*x + 20000*y
for p in punkter:
    x, y = p
    print(f"Punkt {p}: kostnad = {kostnad(x, y)} = {float(kostnad(x, y)):.2f}")
print("Minimum fås ved x=2 og y=16/5 = 3.2")

Steg 1 - Tolk variablene

Hver crossykkel gir \(600\) kr i fortjeneste, og hver racersykkel gir \(500\) kr.

Steg 2 - Multipliser antall med fortjeneste per sykkel

\[\text{fortjeneste fra cross}=600x,\qquad \text{fortjeneste fra racer}=500y.\]

Steg 3 - Summer

\[F(x,y)=600x+500y.\]

Digital kontroll

from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
F = 600*x + 500*y
print("Fortjeneste per cross:", 600)
print("Fortjeneste per racer:", 500)
print("Fortjenestefunksjon:", F)
print("Eksempel: F(160, 220) =", F.subs({x:160, y:220}))

Steg 1 - Sveiseavdelingen

Cross bruker \(2\) timer og racer \(4\) timer. Kapasiteten er \(1200\) timer:

\[2x+4y\le 1200.\]

Steg 2 - Lakkeringsavdelingen

\[3x+2y\le 1000.\]

Steg 3 - Salgsbegrensninger

\[x\le 160,\qquad y\le 300.\]

Steg 4 - Ikke-negative variabler

\[x\ge0,\qquad y\ge0.\]

Digital kontroll

from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
ulikheter = [2*x + 4*y <= 1200, 3*x + 2*y <= 1000, x <= 160, y <= 300, x >= 0, y >= 0]
print("Begrensninger i modellen:")
for u in ulikheter:
    print(" ", u)

Steg 1 - Finn hjørnepunkter

Aktuelle hjørner er \((0,0)\), \((160,0)\), \((160,220)\) og \((0,300)\). Punktet \((160,220)\) kommer fra \(x=160\) og \(x+2y=600\).

Steg 2 - Regn fortjeneste

Konklusjon

Maksimal fortjeneste fås ved \(x=160\) og \(y=220\).

Digital kontroll

punkter = [(0, 0), (160, 0), (0, 300), (160, 220)]
def F(x, y):
    return 600*x + 500*y
for x, y in punkter:
    sveis = 2*x + 4*y
    lakk = 3*x + 2*y
    print(f"Punkt ({x}, {y}): F={F(x,y)}, sveis={sveis}, lakk={lakk}")
beste = max(punkter, key=lambda p: F(*p))
print("Beste punkt:", beste)
print("Maksimal fortjeneste:", F(*beste))

Steg 1 - Utvid modellen

Fortjenesten blir

\[F(x,y,z)=600x+500y+700z.\]

Begrensningene er

\[2x+4y+4z\le1200,\qquad 3x+2y+3z\le1000.\]

\[x\le160,\qquad y\le300,\qquad z\le200,\qquad x,y,z\ge0.\]

Steg 2 - Bruk hjørnepunktsmetoden

Med tre variabler undersøker vi hjørnepunktene i det tredimensjonale mulighetsområdet. Det beste aktuelle punktet er der begge kapasitetsbegrensningene er aktive og \(z=200\).

Steg 3 - Løs med \(z=200\)

Da får vi

\[2x+4y+800=1200\quad\Longrightarrow\quad x+2y=200.\]

\[3x+2y+600=1000\quad\Longrightarrow\quad 3x+2y=400.\]

Subtraksjon gir \(2x=200\), altså \(x=100\). Da blir \(100+2y=200\), så \(y=50\).

Steg 4 - Fortjenesten

\[F(100,50,200)=600\cdot100+500\cdot50+700\cdot200=225000.\]

Digital kontroll

import itertools
import numpy as np
# Maksimer F = 600x + 500y + 700z
# Begrensninger: 2x+4y+4z<=1200, 3x+2y+3z<=1000, x<=160, y<=300, z<=200, x,y,z>=0
constraints = [
    (2, 4, 4, 1200, "sveis"),
    (3, 2, 3, 1000, "lakk"),
    (1, 0, 0, 160, "xmax"),
    (0, 1, 0, 300, "ymax"),
    (0, 0, 1, 200, "zmax"),
    (-1, 0, 0, 0, "x0"),
    (0, -1, 0, 0, "y0"),
    (0, 0, -1, 0, "z0"),
]

def feasible(p):
    x, y, z = p
    return all(a*x + b*y + c*z <= d + 1e-9 for a, b, c, d, _ in constraints)

def profit(p):
    x, y, z = p
    return 600*x + 500*y + 700*z

candidates = []
for combi in itertools.combinations(constraints, 3):
    A = np.array([[c[0], c[1], c[2]] for c in combi], dtype=float)
    b = np.array([c[3] for c in combi], dtype=float)
    if abs(np.linalg.det(A)) < 1e-9:
        continue
    point = tuple(np.linalg.solve(A, b))
    if feasible(point):
        candidates.append((profit(point), point, [c[4] for c in combi]))

best = max(candidates, key=lambda item: item[0])
print("Antall hjørnepunkter sjekket:", len(candidates))
print("Beste fortjeneste:", best[0])
print("Beste punkt (x,y,z):", best[1])
print("Aktive begrensninger:", best[2])
for item in sorted(candidates, reverse=True)[:5]:
    print("Kandidat:", item)