ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2019

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1aDerivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=3\sin(4x+1)+x\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon og et lineært ledd. Faktoren 4 kommer fra kjerneregelen.

Del opp funksjonen
Funksjonen består av \(3\sin(4x+1)\) og \(x\).
Deriver sinusleddet
Den deriverte av \(\sin u\) er \(\cos u\cdot u\prime\).
Deriver kjernen
For \(u=4x+1\) er \(u\prime=4\).
Ta med konstantfaktoren
\(\frac{d}{dx}[3\sin(4x+1)]=3\cdot4\cos(4x+1)\).
Deriver x-leddet
\(\frac{d}{dx}x=1\).
Samle svaret
\[f\prime(x)=12\cos(4x+1)+1\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(3*sin(4*x+1)+x,x)

Resultat: \(12\cos(4x+1)+1\)

Tolkning: CAS bekrefter faktoren 12 og det konstante bidraget 1.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
f = 3*sin(4*x + 1) + x
derivative = diff(f, x)
expected = 12*cos(4*x + 1) + 1

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", derivative)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(derivative - expected))
print("f'(0) =", derivative.subs(x, 0))
print("Numerisk f'(0) =", N(derivative.subs(x, 0), 12))
print("Numerisk f'(1) =", N(derivative.subs(x, 1), 12))

assert simplify(derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = x + 3*sin(4*x + 1)
Derivert f'(x) = 12*cos(4*x + 1) + 1
Forventet uttrykk = 12*cos(4*x + 1) + 1
Symbolsk kontroll = 0
f'(0) = 1 + 12*cos(1)
Numerisk f'(0) = 7.48362767042
Numerisk f'(1) = 4.40394622556

Fasit: \(f\prime(x)=12\cos(4x+1)+1\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 4 eller å glemme at \(x\) gir bidraget 1.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel, konstantfaktor og derivasjon av begge ledd.

Del 1 / Oppgave 1bProduktregel og trigonometrisk identitet

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=4\sin x\cdot\cos x\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan bruke produktregelen direkte eller først skrive funksjonen som \(2\sin(2x)\). Begge metodene skal gi samme resultat.

Trekk ut konstanten
Faktoren 4 beholdes utenfor derivasjonen.
Bruk produktregelen
\((\sin x\cos x)\prime=\cos^2x-\sin^2x\).
Multipliser med 4
\(g\prime(x)=4(\cos^2x-\sin^2x)\).
Bruk dobbeltvinkel
Identiteten \(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\) gir en kortere form.
Alternativ kontroll
Siden \(4\sin x\cos x=2\sin(2x)\), blir den deriverte \(4\cos(2x)\).
Skriv svaret
\[g\prime(x)=4\cos(2x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(4*sin(x)*cos(x),x)

Resultat: \(4(\cos^2x-\sin^2x)=4\cos(2x)\)

Tolkning: CAS gir produktregeluttrykket, som forenkles med dobbeltvinkelidentiteten.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify, trigsimp, pi

x = symbols('x', real=True)
g = 4*sin(x)*cos(x)
raw = diff(g, x)
expected = 4*cos(2*x)

print("Funksjon g(x) =", g)
print("Derivert før trigonometrisk forenkling =", raw)
print("Trigonometrisk forenklet =", trigsimp(raw))
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", trigsimp(raw - expected))
print("g'(0) =", raw.subs(x, 0))
print("g'(pi/4) =", simplify(raw.subs(x, pi/4)))

assert trigsimp(raw - expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon g(x) = 4*sin(x)*cos(x)
Derivert før trigonometrisk forenkling = -4*sin(x)**2 + 4*cos(x)**2
Trigonometrisk forenklet = 4*cos(2*x)
Forventet uttrykk = 4*cos(2*x)
Symbolsk kontroll = 0
g'(0) = 4
g'(pi/4) = 0

Fasit: \(g\prime(x)=4\cos(2x)\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte, eller å miste faktoren 4.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel eller en korrekt og begrunnet bruk av dobbeltvinkel.

Del 1 / Oppgave 2aUbestemt integral og potensregel

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int(x^4-x^2)\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer polynomet ledd for ledd med potensregelen og tar med integrasjonskonstanten.

Del integralet opp
\(\int(x^4-x^2)dx=\int x^4dx-\int x^2dx\).
Integrer første ledd
\(\int x^4dx=x^5/5\).
Integrer andre ledd
\(\int x^2dx=x^3/3\).
Behold minusfortegnet
Det andre leddet trekkes fra.
Legg til konstant
Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
Skriv svaret
\[\int(x^4-x^2)dx=\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(x^4-x^2,x)

Resultat: \(x^5/5-x^3/3\)

Tolkning: GeoGebra oppgir én stamfunksjon; den generelle familien har i tillegg \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
integrand = x**4 - x**2
antiderivative = integrate(integrand, x)
expected = x**5/5 - x**3/3
back = diff(expected, x)

print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", antiderivative)
print("Forventet stamfunksjon =", expected)
print("Derivert tilbake =", back)
print("Kontroll mot integranden =", simplify(back - integrand))
print("Kontroll av de to formene =", simplify(antiderivative - expected))

assert simplify(back - integrand) == 0
assert simplify(antiderivative - expected) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = x**4 - x**2
Stamfunksjon fra SymPy = x**5/5 - x**3/3
Forventet stamfunksjon = x**5/5 - x**3/3
Derivert tilbake = x**4 - x**2
Kontroll mot integranden = 0
Kontroll av de to formene = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+C\).

Vanlig feil: Å glemme å øke eksponenten før man deler, eller å utelate \(+C\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel for begge ledd og integrasjonskonstant.

Del 1 / Oppgave 2bSubstitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int4x\,e^{-x^2}\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Eksponenten \(-x^2\) har derivert \(-2x\), som nesten finnes som faktor i integranden. Derfor passer substitusjon.

Velg substitusjon
Sett \(u=-x^2\).
Finn differensialet
\(du=-2x\,dx\).
Omskriv faktoren
\(4x\,dx=-2\,du\).
Bytt variabel
\(\int4xe^{-x^2}dx=-2\int e^u du\).
Integrer
\(-2\int e^u du=-2e^u+C\).
Sett tilbake
\[\int4xe^{-x^2}dx=-2e^{-x^2}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(4*x*exp(-x^2),x)

Resultat: \(-2e^{-x^2}\)

Tolkning: CAS bekrefter både fortegnet og faktoren 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, exp, integrate, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
integrand = 4*x*exp(-x**2)
antiderivative = integrate(integrand, x)
expected = -2*exp(-x**2)
back = diff(expected, x)

print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", antiderivative)
print("Forventet stamfunksjon =", expected)
print("Derivert tilbake =", back)
print("Kontroll mot integranden =", simplify(back - integrand))
print("Kontroll av stamfunksjoner =", simplify(antiderivative - expected))

assert simplify(back - integrand) == 0
assert simplify(antiderivative - expected) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = 4*x*exp(-x**2)
Stamfunksjon fra SymPy = -2*exp(-x**2)
Forventet stamfunksjon = -2*exp(-x**2)
Derivert tilbake = 4*x*exp(-x**2)
Kontroll mot integranden = 0
Kontroll av stamfunksjoner = 0

Fasit: \(-2e^{-x^2}+C\).

Vanlig feil: Å overse minusfortegnet fra den deriverte av \(-x^2\), eller å få faktoren \(-1/2\) i stedet for \(-2\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig substitusjon og korrekt tilbakebytte.

Del 1 / Oppgave 2cDelbrøkoppspalting

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{4}{x^2-2x-3}\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren kan faktoriseres i to lineære faktorer. Da kan brøken spaltes i to enkle logaritmeintegraler.

Faktoriser nevneren
\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\).
Sett opp delbrøkene
\(\frac4{(x-3)(x+1)}=\frac A{x-3}+\frac B{x+1}\).
Finn A
Sett \(x=3\): \(4=4A\), så \(A=1\).
Finn B
Sett \(x=-1\): \(4=-4B\), så \(B=-1\).
Integrer leddvis
\(\int[1/(x-3)-1/(x+1)]dx\).
Skriv svaret med absoluttverdier
\[\ln|x-3|-\ln|x+1|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1PartialFractions(4/(x^2-2x-3))

Resultat: \(1/(x-3)-1/(x+1)\)

Tolkning: Oppspaltingen gjør integralet til en differanse av to logaritmer.

2Integral(4/(x^2-2x-3),x)

Resultat: \(\ln|x-3|-\ln|x+1|\)

Tolkning: Gyldig på hvert intervall som ikke krysser \(x=-1\) eller \(x=3\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, apart, integrate, log, Abs, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
integrand = 4/(x**2 - 2*x - 3)
partial = apart(integrand, x)
real_form = log(Abs(x - 3)) - log(Abs(x + 1))
interval_form = log(x - 3) - log(x + 1)  # for eksempel på intervallet x>3
back = simplify(diff(interval_form, x))

print("Integrand =", integrand)
print("Faktorisert nevner = (x - 3)*(x + 1)")
print("Delbrøkoppspalting =", partial)
print("SymPy-stamfunksjon =", integrate(integrand, x))
print("Reell stamfunksjon med absoluttverdier =", real_form)
print("Derivert kontroll på intervallet x>3 =", back)
print("Kontroll mot integranden =", simplify(back - integrand))

assert simplify(partial - (1/(x-3)-1/(x+1))) == 0
assert simplify(back - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = 4/(x**2 - 2*x - 3)
Faktorisert nevner = (x - 3)*(x + 1)
Delbrøkoppspalting = -1/(x + 1) + 1/(x - 3)
SymPy-stamfunksjon = log(x - 3) - log(x + 1)
Reell stamfunksjon med absoluttverdier = log(Abs(x - 3)) - log(Abs(x + 1))
Derivert kontroll på intervallet x>3 = 4/((x - 3)*(x + 1))
Kontroll mot integranden = 0

Fasit: \(\ln|x-3|-\ln|x+1|+C\), på intervaller der integranden er definert.

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdiene eller å få feil fortegn på den andre delbrøken.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt faktorisering, koeffisienter, logaritmer og definisjonsbegrensning.

Del 1 / Oppgave 3aAritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave: Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å regne ut \(1+5+9+\cdots+157\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må først finne antall ledd og deretter bruke sumformelen for en aritmetisk rekke.

Identifiser første ledd og differanse
\(a_1=1\) og \(d=4\).
Finn leddnummeret til 157
\(a_n=1+4(n-1)=157\).
Løs for n
\(4(n-1)=156\), så \(n=40\).
Bruk sumformelen
\(S_n=\frac n2(a_1+a_n)\).
Sett inn
\(S_{40}=\frac{40}{2}(1+157)\).
Beregn
\[S_{40}=20\cdot158=3160\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Sum(1+4*(k-1),k,1,40)

Resultat: \(3160\)

Tolkning: CAS summerer de 40 leddene og bekrefter sumformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, summation, Eq, solve

k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True)
a1 = 1
d = 4
an = a1 + (n-1)*d
n_solution = solve(Eq(an, 157), n)[0]
sum_formula = n_solution*(a1 + 157)/2
sum_direct = summation(a1 + (k-1)*d, (k, 1, n_solution))

print("Første ledd a1 =", a1)
print("Differanse d =", d)
print("Generelt ledd a_n =", an)
print("Løsning av a_n=157: n =", n_solution)
print("Sum fra formelen =", sum_formula)
print("Direkte symbolsk sum =", sum_direct)
print("Kontrollforskjell =", sum_direct - sum_formula)

assert n_solution == 40
assert sum_direct == 3160

Kjørt utskriftFørste ledd a1 = 1
Differanse d = 4
Generelt ledd a_n = 4*n - 3
Løsning av a_n=157: n = 40
Sum fra formelen = 3160
Direkte symbolsk sum = 3160
Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(3160\).

Vanlig feil: Å anta feil antall ledd, for eksempel 39, eller å bruke 157 som leddnummer.

Sensorpunkt: Sensor ser etter bestemmelse av \(n=40\) og korrekt bruk av sumformelen.

Del 1 / Oppgave 3bGeometrisk rekke

Oppgave 3b

Oppgave: En geometrisk rekke er gitt ved \(a_3=1\) og \(a_6=1/27\). Avgjør om den uendelige rekken konvergerer, og bestem eventuelt summen.

Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? For en geometrisk følge er forholdet mellom ledd med tre plassers avstand lik \(k^3\). Deretter kontrollerer vi \(|k|<1\).

Bruk forholdet mellom a6 og a3
\(a_6/a_3=k^3\).
Finn kvotienten
\(k^3=1/27\), altså \(k=1/3\).
Kontroller konvergens
\(|k|=1/3<1\), så den uendelige rekken konvergerer.
Finn første ledd
\(a_3=a_1k^2\), så \(1=a_1/9\) og \(a_1=9\).
Bruk sumformelen
\(S=a_1/(1-k)\).
Beregn
\[S=\frac9{1-1/3}=\frac{27}{2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(k^3=1/27,k)

Resultat: \(k=1/3\) som reell kvotient

Tolkning: Den reelle kvotienten har absoluttverdi mindre enn 1.

29/(1-1/3)

Resultat: \(27/2\)

Tolkning: Summen er 13,5.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify

k = symbols('k', real=True)
solutions = solve(Eq(k**3, Rational(1,27)), k)
ratio = solutions[0]
a1 = simplify(1/ratio**2)
S = simplify(a1/(1-ratio))
a3_check = simplify(a1*ratio**2)
a6_check = simplify(a1*ratio**5)

print("Reelle løsninger av k^3=1/27 =", solutions)
print("Kvotient k =", ratio)
print("Konvergenskontroll |k| < 1 =", abs(ratio) < 1)
print("Første ledd a1 =", a1)
print("Kontroll a3 =", a3_check)
print("Kontroll a6 =", a6_check)
print("Sum av uendelig rekke =", S)

assert ratio == Rational(1,3)
assert a3_check == 1 and a6_check == Rational(1,27)
assert S == Rational(27,2)

Kjørt utskriftReelle løsninger av k^3=1/27 = [1/3]
Kvotient k = 1/3
Konvergenskontroll |k| < 1 = True
Første ledd a1 = 9
Kontroll a3 = 1
Kontroll a6 = 1/27
Sum av uendelig rekke = 27/2

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er \(\displaystyle 27/2\).

Vanlig feil: Å bruke \(a_6/a_3=k\) i stedet for \(k^3\), eller å glemme konvergenskravet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter kvotient, konvergenskontroll, første ledd og korrekt sum.

Del 1 / Oppgave 4Bestemt integral og areal

Oppgave 4

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=a^2-x^2\), der \(a>0\). Vis at arealet under grafen fra \(A\) til \(B\) utgjør \(2/3\) av arealet til rektangelet \(ABCD\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (2 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner koordinatene til B og D, beregner rektangelarealet og sammenligner med integralet under parablen.

Finn B
Nullpunktet på høyre side oppfyller \(a^2-x^2=0\), så \(B=(a,0)\).
Finn D
Toppunktet ligger ved \(x=0\), så \(D=(0,a^2)\).
Finn rektangelarealet
Bredden er \(a\) og høyden \(a^2\), derfor \(A_R=a^3\).
Sett opp integralet
Det fargelagte arealet er \(A_F=\int_0^a(a^2-x^2)dx\).
Regn ut integralet
\(A_F=[a^2x-x^3/3]_0^a=a^3-a^3/3=2a^3/3\).
Sammenlign
\[\frac{A_F}{A_R}=\frac{2a^3/3}{a^3}=\frac23\]

For a=3 viser figuren arealet under parablen inne i rektangelet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(a^2-x^2,x,0,a)

Resultat: \(2a^3/3\)

Tolkning: For \(a>0\) er dette det geometriske arealet under grafen.

2(2*a^3/3)/(a^3)

Resultat: \(2/3\)

Tolkning: Forholdet er uavhengig av størrelsen på a.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, simplify, Rational

x = symbols('x', real=True)
a = symbols('a', positive=True)
f = a**2 - x**2
B_x = a
rectangle_area = a * a**2
shaded_area = integrate(f, (x, 0, B_x))
ratio = simplify(shaded_area/rectangle_area)

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Høyre nullpunkt B har x-koordinat =", B_x)
print("Rektangelets bredde =", a)
print("Rektangelets høyde =", a**2)
print("Rektangelets areal =", rectangle_area)
print("Fargelagt areal =", shaded_area)
print("Arealforhold =", ratio)

assert shaded_area == 2*a**3/3
assert ratio == Rational(2,3)

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = a**2 - x**2
Høyre nullpunkt B har x-koordinat = a
Rektangelets bredde = a
Rektangelets høyde = a**2
Rektangelets areal = a**3
Fargelagt areal = 2*a**3/3
Arealforhold = 2/3

Fasit: Det fargelagte arealet er \(2a^3/3\), altså \(2/3\) av rektangelets areal.

Vanlig feil: Å bruke \(a^2\) som bredde eller å glemme at høyden er \(a^2\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte koordinater, integralgrenser og en eksplisitt sammenligning av arealene.

Del 1 / Oppgave 5aPlanlikning og innsetting

Oppgave 5a

Oppgave: Vis at punktene \(A(3,1,0)\), \(B(3,2,4)\) og \(C(-1,1,4)\) ligger i planet \(\alpha:x-4y+z+1=0\).

Original poengangivelse: Oppgave 5 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et punkt ligger i planet når koordinatene satt inn i venstresiden gir 0.

Definer planuttrykket
\(F(x,y,z)=x-4y+z+1\).
Kontroller A
\(F(3,1,0)=3-4+0+1=0\).
Kontroller B
\(F(3,2,4)=3-8+4+1=0\).
Kontroller C
\(F(-1,1,4)=-1-4+4+1=0\).
Tolk nullverdiene
Hver nullverdi betyr at punktet oppfyller planlikningen.
Konkluder
Alle tre punktene ligger i \(\alpha\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Substitute(x-4y+z+1,{x=3,y=1,z=0})

Resultat: \(0\)

Tolkning: A oppfyller planlikningen.

2Substitute(...,B), Substitute(...,C)

Resultat: \(0,0\)

Tolkning: Også B og C ligger i planet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols

x, y, z = symbols('x y z', real=True)
plane = x - 4*y + z + 1
points = {
    "A": {x: 3, y: 1, z: 0},
    "B": {x: 3, y: 2, z: 4},
    "C": {x: -1, y: 1, z: 4},
}

print("Planuttrykk F(x,y,z) =", plane)
values = {}
for name, coordinates in points.items():
    values[name] = plane.subs(coordinates)
    print(f"F({name}) =", values[name])
print("Alle verdier er null =", all(value == 0 for value in values.values()))

assert values == {"A": 0, "B": 0, "C": 0}

Kjørt utskriftPlanuttrykk F(x,y,z) = x - 4*y + z + 1
F(A) = 0
F(B) = 0
F(C) = 0
Alle verdier er null = True

Fasit: Alle tre punktene oppfyller \(x-4y+z+1=0\) og ligger derfor i planet.

Vanlig feil: Å kontrollere bare ett punkt eller å sette inn en koordinat med feil fortegn.

Sensorpunkt: Sensor ser etter synlig innsetting av alle tre punktene.

Del 1 / Oppgave 5bNormalvektor og parameterframstilling

Oppgave 5b

Oppgave: En linje \(\ell\) står normalt på \(\alpha\) og går gjennom \(A\). Bestem en parameterframstilling for \(\ell\).

Original poengangivelse: Oppgave 5 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Koeffisientene i planlikningen gir en normalvektor. Denne kan brukes som retningsvektor for linjen.

Les av normalvektoren
For \(x-4y+z+1=0\) er \(\vec n=(1,-4,1)\).
Velg punkt på linjen
Linjen skal gå gjennom \(A=(3,1,0)\).
Bruk punkt-retningsform
\((x,y,z)=A+t\vec n\).
Sett inn
\((x,y,z)=(3,1,0)+t(1,-4,1)\).
Skriv komponentene
\(x=3+t,\ y=1-4t,\ z=t\).
Angi parameterområdet
\[\ell:\ (x,y,z)=(3+t,1-4t,t),\quad t\in\mathbb R\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Line((3,1,0),(4,-3,1))

Resultat: Linje gjennom A med retning \((1,-4,1)\)

Tolkning: Retningsvektoren er parallell med planens normalvektor.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, symbols

t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([3, 1, 0])
normal = Matrix([1, -4, 1])
line = A + t*normal
plane_normal = Matrix([1, -4, 1])
cross_check = normal.cross(plane_normal)

print("Punkt A =", A.T)
print("Normalvektor til planet =", plane_normal.T)
print("Valgt retningsvektor =", normal.T)
print("Parameterframstilling =", line.T)
print("Komponenter: x =", line[0], ", y =", line[1], ", z =", line[2])
print("Kryssprodukt mellom retning og normal =", cross_check.T)
print("Linjen går gjennom A ved t=0 =", line.subs(t, 0).T)

assert cross_check == Matrix([0,0,0])
assert line.subs(t, 0) == A

Kjørt utskriftPunkt A = Matrix([[3, 1, 0]])
Normalvektor til planet = Matrix([[1, -4, 1]])
Valgt retningsvektor = Matrix([[1, -4, 1]])
Parameterframstilling = Matrix([[t + 3, 1 - 4*t, t]])
Komponenter: x = t + 3 , y = 1 - 4*t , z = t
Kryssprodukt mellom retning og normal = Matrix([[0, 0, 0]])
Linjen går gjennom A ved t=0 = Matrix([[3, 1, 0]])

Fasit: \(\ell:(x,y,z)=(3,1,0)+t(1,-4,1)\), \(t\in\mathbb R\).

Vanlig feil: Å bruke et punkt i planet som retningsvektor eller å glemme at normalretningen kan skaleres.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt normalvektor, punktet A og parameteren.

Del 1 / Oppgave 5cKuleflate tangent til plan

Oppgave 5c

Oppgave: Forklar at en kuleflate som tangerer \(\alpha\) i \(A\), er gitt ved \((x-3-t)^2+(y-1+4t)^2+(z-t)^2=18t^2\) for en \(t\in\mathbb R\).

Original poengangivelse: Oppgave 5 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Sentrum må ligge på normalen gjennom tangentpunktet A. Radiusen er avstanden fra sentrum til A.

Plasser sentrum på normalen
Fra linjen i b) er sentrum \(S=(3+t,1-4t,t)\).
Finn radiusvektoren
\(\overrightarrow{AS}=t(1,-4,1)\).
Finn radiusens kvadrat
\(r^2=t^2(1^2+(-4)^2+1^2)=18t^2\).
Bruk kulelikningen
\((x-x_S)^2+(y-y_S)^2+(z-z_S)^2=r^2\).
Sett inn sentrum
\((x-3-t)^2+(y-1+4t)^2+(z-t)^2=18t^2\).
Tolk parameteren
Fortegnet til t bestemmer hvilken side av planet sentrum ligger på; \(t\ne0\) gir en ordinær kuleflate.

Sentrum ligger på normalen gjennom tangentpunktet A.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Expand((x-3-t)^2+(y-1+4t)^2+(z-t)^2-18t^2)

Resultat: Implisitt kuleuttrykk

Tolkning: Sentrum og radius leses direkte fra kvadratene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, symbols, simplify, expand

x, y, z, t = symbols('x y z t', real=True)
A = Matrix([3, 1, 0])
normal = Matrix([1, -4, 1])
center = A + t*normal
radius_squared = simplify((center-A).dot(center-A))
sphere = (x-center[0])**2 + (y-center[1])**2 + (z-center[2])**2 - radius_squared

print("Tangentpunkt A =", A.T)
print("Normalvektor =", normal.T)
print("Sentrum S(t) =", center.T)
print("Radiusvektor AS =", (center-A).T)
print("Radius^2 =", radius_squared)
print("Kulelikningens venstreside =", sphere)
print("Utvidet kontrolluttrykk =", expand(sphere))

assert radius_squared == 18*t**2
assert center == Matrix([3+t,1-4*t,t])

Kjørt utskriftTangentpunkt A = Matrix([[3, 1, 0]])
Normalvektor = Matrix([[1, -4, 1]])
Sentrum S(t) = Matrix([[t + 3, 1 - 4*t, t]])
Radiusvektor AS = Matrix([[t, -4*t, t]])
Radius^2 = 18*t**2
Kulelikningens venstreside = -18*t**2 + (-t + z)**2 + (-t + x - 3)**2 + (4*t + y - 1)**2
Utvidet kontrolluttrykk = -2*t*x + 8*t*y - 2*t*z - 2*t + x**2 - 6*x + y**2 - 2*y + z**2 + 10

Fasit: Kuleflaten har sentrum \((3+t,1-4t,t)\) og \(r^2=18t^2\), som gir den oppgitte likningen.

Vanlig feil: Å bruke \(18t\) i stedet for \(18t^2\), eller å plassere sentrum et vilkårlig sted i planet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter geometrisk begrunnelse: sentrum på normalen og radius som avstand til A.

Del 1 / Oppgave 5dBestemmelse av kulesentrum

Oppgave 5d

Oppgave: Punktet \(P(4,1,1)\) ligger på kuleflaten. Bestem sentrum til kuleflaten.

Original poengangivelse: Oppgave 5 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter P inn i den parameteravhengige kulelikningen, finner t og bruker sentrumformelen.

Sett inn P
\((4-3-t)^2+(1-1+4t)^2+(1-t)^2=18t^2\).
Forenkle leddene
\((1-t)^2+16t^2+(1-t)^2=18t^2\).
Utvid
\(2-4t+18t^2=18t^2\).
Løs for t
\(2-4t=0\), så \(t=1/2\).
Sett inn i sentrum
\(S=(3+t,1-4t,t)\).
Beregn koordinatene
\[S=\left(\frac72,-1,\frac12\right)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve((1-t)^2+(4t)^2+(1-t)^2=18t^2,t)

Resultat: \(t=1/2\)

Tolkning: Parameteren bestemmer sentrum entydig.

2(3+t,1-4t,t) at t=1/2

Resultat: \((7/2,-1,1/2)\)

Tolkning: Dette er sentrum til kuleflaten som går gjennom P.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, Matrix, simplify

t = symbols('t', real=True)
left = (1-t)**2 + (4*t)**2 + (1-t)**2
right = 18*t**2
solutions = solve(Eq(left, right), t)
parameter = solutions[0]
center = Matrix([3+parameter, 1-4*parameter, parameter])
P = Matrix([4,1,1])
radius_squared_from_P = simplify((P-center).dot(P-center))
radius_squared_formula = simplify(18*parameter**2)

print("Likning etter innsetting av P:", Eq(left, right))
print("Forenklet differanse =", simplify(left-right))
print("Løsning for t =", solutions)
print("Sentrum S =", center.T)
print("Avstand^2 fra S til P =", radius_squared_from_P)
print("Radius^2 fra formelen =", radius_squared_formula)
print("Kontrollforskjell =", simplify(radius_squared_from_P-radius_squared_formula))

assert solutions == [Rational(1,2)]
assert center == Matrix([Rational(7,2),-1,Rational(1,2)])
assert radius_squared_from_P == radius_squared_formula

Kjørt utskriftLikning etter innsetting av P: Eq(16*t**2 + 2*(1 - t)**2, 18*t**2)
Forenklet differanse = 2 - 4*t
Løsning for t = [1/2]
Sentrum S = Matrix([[7/2, -1, 1/2]])
Avstand^2 fra S til P = 9/2
Radius^2 fra formelen = 9/2
Kontrollforskjell = 0

Fasit: Sentrum er \(\displaystyle S=(7/2,-1,1/2)\).

Vanlig feil: Å stoppe ved \(t=1/2\) uten å sette verdien inn i sentrumkoordinatene.

Sensorpunkt: Sensor ser etter innsetting av P, løsning for t og korrekt sentrum.

Del 1 / Oppgave 6aTrigonometrisk likning

Oppgave 6a

Oppgave: Løs \(\sin(2x)=1\) for \(x\in[0,2\pi]\).

Original poengangivelse: Oppgave 6 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Sinus er 1 når vinkelen er \(\pi/2+2\pi k\). Vi løser for x og filtrerer på intervallet.

Skriv generell vinkelløsning
\(2x=\pi/2+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
Del på 2
\(x=\pi/4+\pi k\).
Kontroller k=0
Da får vi \(x=\pi/4\).
Kontroller k=1
Da får vi \(x=5\pi/4\).
Kontroller flere k
\(k=-1\) gir negativ x og \(k=2\) gir x større enn \(2\pi\).
Oppgi løsningsmengden
\[x\in\left\{\frac\pi4,\frac{5\pi}4\right\}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(sin(2x)=1,0<=x<=2*pi)

Resultat: \(x=\pi/4,5\pi/4\)

Tolkning: Begge verdiene ligger i det lukkede intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, pi, simplify

x = symbols('x', real=True)
candidates = [pi/4 + pi*k for k in range(-2,4)]
solutions = [value for value in candidates if 0 <= value <= 2*pi]
checks = [simplify(sin(2*value)) for value in solutions]

print("Generell løsning x = pi/4 + pi*k")
print("Testede kandidater =", candidates)
print("Kandidater i [0,2*pi] =", solutions)
print("Kontroll sin(2x) =", checks)
print("Antall løsninger =", len(solutions))

assert solutions == [pi/4, 5*pi/4]
assert checks == [1,1]

Kjørt utskriftGenerell løsning x = pi/4 + pi*k
Testede kandidater = [-7*pi/4, -3*pi/4, pi/4, 5*pi/4, 9*pi/4, 13*pi/4]
Kandidater i [0,2*pi] = [pi/4, 5*pi/4]
Kontroll sin(2x) = [1, 1]
Antall løsninger = 2

Fasit: \(x=\pi/4\) eller \(x=5\pi/4\).

Vanlig feil: Å glemme at argumentet er \(2x\), eller å ta med løsninger utenfor intervallet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter generell løsning og korrekt intervallkontroll.

Del 1 / Oppgave 6bTrigonometrisk likning

Oppgave 6b

Oppgave: Løs \(\sin(\pi x)+\sqrt3\cos(\pi x)=0\) for \(x\in[0,2]\).

Original poengangivelse: Oppgave 6 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan dele på cosinus fordi cosinus ikke kan være null i en løsning av den opprinnelige likningen. Da får vi en tangentlikning.

Undersøk cosinus-nullpunkter
Hvis \(\cos(\pi x)=0\), er sinus \(\pm1\), så venstresiden er ikke 0.
Del på cosinus
\(\tan(\pi x)=-\sqrt3\).
Skriv generell løsning
\(\pi x=-\pi/3+k\pi\).
Del på pi
\(x=-1/3+k\).
Filtrer på intervallet
For \(k=1\) og \(k=2\) får vi henholdsvis \(2/3\) og \(5/3\).
Oppgi svaret
\[x\in\left\{\frac23,\frac53\right\}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(sin(pi*x)+sqrt(3)*cos(pi*x)=0,0<=x<=2)

Resultat: \(x=2/3,5/3\)

Tolkning: Begge løsninger gir nøyaktig null i venstresiden.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, sqrt, pi, simplify, Rational

x = symbols('x', real=True)
expression = sin(pi*x) + sqrt(3)*cos(pi*x)
candidates = [-Rational(1,3) + k for k in range(-1,5)]
solutions = [value for value in candidates if 0 <= value <= 2]
checks = [simplify(expression.subs(x,value)) for value in solutions]
cos_values = [simplify(cos(pi*value)) for value in solutions]

print("Likningsuttrykk =", expression)
print("Generell løsning x = -1/3 + k")
print("Testede kandidater =", candidates)
print("Løsninger i [0,2] =", solutions)
print("Kontroll av venstresiden =", checks)
print("Cosinusverdier i løsningene =", cos_values)

assert solutions == [Rational(2,3), Rational(5,3)]
assert checks == [0,0]

Kjørt utskriftLikningsuttrykk = sin(pi*x) + sqrt(3)*cos(pi*x)
Generell løsning x = -1/3 + k
Testede kandidater = [-4/3, -1/3, 2/3, 5/3, 8/3, 11/3]
Løsninger i [0,2] = [2/3, 5/3]
Kontroll av venstresiden = [0, 0]
Cosinusverdier i løsningene = [-1/2, 1/2]

Fasit: \(x=2/3\) eller \(x=5/3\).

Vanlig feil: Å glemme perioden til tangent eller å dele på cosinus uten å kontrollere cosinus-nullpunktene.

Sensorpunkt: Sensor ser etter en fullstendig generell løsning og korrekt avgrensing til intervallet.

Del 1 / Oppgave 7Retningsdiagrammer

Oppgave 7

Oppgave: Koble retningsdiagrammene A, B og C til differensiallikningene 1) \(y\prime=x/y\), 2) \(y\prime=xy\), 3) \(y\prime=2x\), og begrunn valget.

Original poengangivelse: Oppgave 7 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi sammenligner hvordan stigningstallet avhenger av x og y, hvor det er null, og hvilke fortegn det har i kvadrantene.

Analyser 3: y-prime=2x
Stigningen avhenger bare av x. Alle linjeelementer i samme loddrette kolonne har lik helning, og helningen er 0 på y-aksen. Dette er A.
Analyser 1: y-prime=x/y
Helningen er ikke definert på x-aksen, blir stor nær x-aksen og er 0 på y-aksen.
Fortegn for x/y
Helningen er positiv i første og tredje kvadrant og negativ i andre og fjerde, men med singularitet på x-aksen. Dette er B.
Analyser 2: y-prime=xy
Helningen er 0 på både x- og y-aksen.
Fortegn for xy
Produktet er positivt i første og tredje kvadrant og negativt i andre og fjerde. Dette mønsteret er C.
Konkluder
\[A\leftrightarrow3,\qquad B\leftrightarrow1,\qquad C\leftrightarrow2\]

Rekonstruerte retningsdiagrammer som viser de avgjørende kjennetegnene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1SlopeField(2*x)

Resultat: Kolonnevis samme helning

Tolkning: Dette kjennetegner diagram A.

2SlopeField(x/y), SlopeField(x*y)

Resultat: Singularitet på x-aksen kontra nullhelning på begge akser

Tolkning: Dette skiller B fra C.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, simplify

x, y = symbols('x y', real=True, nonzero=True)
models = {
    "1: x/y": x/y,
    "2: x*y": x*y,
    "3: 2*x": 2*x,
}
test_points = [(1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1)]

print("Fortegn i kvadrantene I, II, III, IV:")
for name, slope in models.items():
    signs = []
    for px, py in test_points:
        value = simplify(slope.subs({x:px,y:py}))
        signs.append("+" if value > 0 else "-" if value < 0 else "0")
    print(name, "->", signs)
print("Modell 3 er uavhengig av y:", models["3: 2*x"].has(y) == False)
print("Modell 2 er null på x-aksen og y-aksen")
print("Modell 1 er ikke definert når y=0")
print("Kobling: A->3, B->1, C->2")

assert models["3: 2*x"].has(y) == False

Kjørt utskriftFortegn i kvadrantene I, II, III, IV:
1: x/y -> ['+', '-', '+', '-']
2: x*y -> ['+', '-', '+', '-']
3: 2*x -> ['+', '-', '-', '+']
Modell 3 er uavhengig av y: True
Modell 2 er null på x-aksen og y-aksen
Modell 1 er ikke definert når y=0
Kobling: A->3, B->1, C->2

Fasit: \(A\to3\), \(B\to1\) og \(C\to2\).

Vanlig feil: Å se bare på fortegn i én kvadrant; likningene 1 og 2 har lignende fortegnsmønster, men ulik oppførsel på x-aksen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter begrunnelser knyttet til akser, singularitet, avhengighet av y og fortegn.

Del 1 / Oppgave 8Matematisk induksjon

Oppgave 8

Oppgave: Bruk induksjon til å bevise \(3\cdot4+6\cdot5+9\cdot6+\cdots+(3n)(n+3)=n(n+1)(n+5)\) for alle \(n\in\mathbb N\).

Original poengangivelse: Oppgave 8 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi viser først starttilfellet og deretter at sannhet for n medfører sannhet for n+1.

Startsteg n=1
Venstresiden er \(3\cdot4=12\), og høyresiden er \(1\cdot2\cdot6=12\).
Induksjonsantakelse
Anta at summen til og med n er \(n(n+1)(n+5)\).
Legg til neste ledd
Neste ledd er \(3(n+1)((n+1)+3)=3(n+1)(n+4)\).
Bruk antakelsen
\(S_{n+1}=n(n+1)(n+5)+3(n+1)(n+4)\).
Faktoriser
\(S_{n+1}=(n+1)[n(n+5)+3(n+4)]=(n+1)(n^2+8n+12)\).
Fullfør overgangen
\(n^2+8n+12=(n+2)(n+6)\), så \(S_{n+1}=(n+1)(n+2)(n+6)\), som er formelen med n erstattet av n+1.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Factor(n*(n+1)*(n+5)+3*(n+1)*(n+4))

Resultat: \((n+1)(n+2)(n+6)\)

Tolkning: Dette er høyresiden i påstanden for n+1.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, factor, simplify, summation

n, k = symbols('n k', integer=True, positive=True)
base_left = 3*1*(1+3)
base_right = 1*(1+1)*(1+5)
assumed_sum = n*(n+1)*(n+5)
next_term = 3*(n+1)*(n+4)
transition = factor(assumed_sum + next_term)
target = (n+1)*(n+2)*(n+6)
direct_sum = factor(summation(3*k*(k+3), (k,1,n)))

print("Startsteg venstreside =", base_left)
print("Startsteg høyreside =", base_right)
print("Induksjonsantakelse S_n =", assumed_sum)
print("Neste ledd =", next_term)
print("S_n + neste ledd =", transition)
print("Målform for n+1 =", target)
print("Kontrollforskjell =", simplify(transition-target))
print("Direkte symbolsk sum =", direct_sum)

assert base_left == base_right == 12
assert simplify(transition-target) == 0
assert simplify(direct_sum-assumed_sum) == 0

Kjørt utskriftStartsteg venstreside = 12
Startsteg høyreside = 12
Induksjonsantakelse S_n = n*(n + 1)*(n + 5)
Neste ledd = (n + 4)*(3*n + 3)
S_n + neste ledd = (n + 1)*(n + 2)*(n + 6)
Målform for n+1 = (n + 1)*(n + 2)*(n + 6)
Kontrollforskjell = 0
Direkte symbolsk sum = n*(n + 1)*(n + 5)

Fasit: Påstanden er sann for alle \(n\in\mathbb N\) ved matematisk induksjon.

Vanlig feil: Å kontrollere bare noen få n-verdier, eller å bruke feil neste ledd i overgangssteget.

Sensorpunkt: Sensor ser etter startsteg, induksjonsantakelse og en korrekt faktorisert overgang til n+1.

Del 1 / Oppgave 9aDifferensiallikning fra tekst

Oppgave 9a

Oppgave: Vann lekker ut med en fart som til enhver tid er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden \(y\). Sett opp en differensiallikning.

Original poengangivelse: Oppgave 9 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vannhøyden avtar, så den deriverte må være negativ. Proporsjonaliteten gjelder \(\sqrt y\).

Definer variablene
La \(y(t)\) være vannhøyden og t være tid.
Tolk endringsfarten
\(y\prime(t)\) er endringsfarten til vannhøyden.
Bruk proporsjonalitet
Størrelsen på farten er \(k\sqrt{y}\) for en konstant \(k>0\).
Ta med retningen
Fordi vannhøyden synker, settes et minusfortegn foran.
Skriv modellen
\(y\prime=-k\sqrt y\).
Angi gyldighet
\[\frac{dy}{dt}=-k\sqrt{y},\quad k>0,\ y\ge0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1y\prime=-k*sqrt(y)

Resultat: Utstrømningsmodell

Tolkning: Minusfortegnet beskriver avtakende vannhøyde.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Function, Eq, diff, sqrt

t = symbols('t', nonnegative=True)
k = symbols('k', positive=True)
y = Function('y')
model = Eq(diff(y(t), t), -k*sqrt(y(t)))

print("y(t) = vannhøyde ved tid t")
print("Proporsjonalitetskonstant k > 0")
print("Differensiallikning =", model)
print("Når y>0 er høyresiden negativ")
print("Når y=0 er høyresiden =", model.rhs.subs(y(t),0))
print("Modellen brukes så lenge y(t) >= 0")

assert model.rhs.subs(y(t),0) == 0

Kjørt utskrifty(t) = vannhøyde ved tid t
Proporsjonalitetskonstant k > 0
Differensiallikning = Eq(Derivative(y(t), t), -k*sqrt(y(t)))
Når y>0 er høyresiden negativ
Når y=0 er høyresiden = 0
Modellen brukes så lenge y(t) >= 0

Fasit: \(\displaystyle y\prime(t)=-k\sqrt{y(t)}\), der \(k>0\).

Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet eller å gjøre farten proporsjonal med y i stedet for \(\sqrt y\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt proporsjonalitet, fortegn og definisjon av konstanten.

Del 1 / Oppgave 9bSeparerbar differensiallikning

Oppgave 9b

Oppgave: Ved \(t=0\) er vannhøyden 100 cm, og etter 2 timer er den 81 cm. Hvor lang tid går det før tanken er tom?

Original poengangivelse: Oppgave 9 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser den separable differensiallikningen, bruker begge målepunktene til å finne konstanten og setter deretter y=0.

Separer variablene
\(dy/\sqrt y=-k\,dt\).
Integrer
\(2\sqrt y=-kt+C\).
Bruk y(0)=100
\(2\cdot10=C\), altså \(C=20\).
Bruk y(2)=81
\(18=-2k+20\), så \(k=1\).
Finn tomtidspunktet
Når tanken er tom, er \(y=0\): \(0=-t+20\).
Konkluder
\[t=20\text{ timer}\]

Vannhøyden synker fra 100 cm til 0 cm i løpet av 20 timer.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1SolveODE(y\prime=-sqrt(y),y(0)=100)

Resultat: \(y=(10-t/2)^2\) fram til t=20

Tolkning: Løsningen må avgrenses til tiden før tanken blir tom.

2Solve((10-t/2)^2=0,t)

Resultat: \(t=20\)

Tolkning: Tanken er tom etter 20 timer.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sqrt, solve, Eq, simplify, diff

t, k = symbols('t k', real=True)
# Fra integrasjonen: 2*sqrt(y) = -k*t + 20
k_solution = solve(Eq(2*sqrt(81), -2*k + 20), k)[0]
y_model = (10 - k_solution*t/2)**2
empty_times = solve(Eq(y_model,0), t)
sqrt_y_physical = 10 - t/2
residual_physical = simplify(diff(y_model,t) + k_solution*sqrt_y_physical)

print("Integrert form: 2*sqrt(y) = -k*t + 20")
print("Bestemt k fra y(2)=81 =", k_solution)
print("Vannhøydemodell y(t) =", y_model)
print("Kontroll y(0) =", y_model.subs(t,0))
print("Kontroll y(2) =", y_model.subs(t,2))
print("Løsninger av y(t)=0 =", empty_times)
print("Fysisk tomtid = 20 timer")
print("sqrt(y(t)) på intervallet 0<=t<=20 =", sqrt_y_physical)
print("ODE-residual på intervallet 0<=t<=20 =", residual_physical)

assert k_solution == 1
assert y_model.subs(t,0) == 100 and y_model.subs(t,2) == 81
assert residual_physical == 0
assert 20 in empty_times

Kjørt utskriftIntegrert form: 2*sqrt(y) = -k*t + 20
Bestemt k fra y(2)=81 = 1
Vannhøydemodell y(t) = (10 - t/2)**2
Kontroll y(0) = 100
Kontroll y(2) = 81
Løsninger av y(t)=0 = [20]
Fysisk tomtid = 20 timer
sqrt(y(t)) på intervallet 0<=t<=20 = 10 - t/2
ODE-residual på intervallet 0<=t<=20 = 0

Fasit: Tanken er tom etter \(20\) timer.

Vanlig feil: Å bruke den kvadrerte løsningen etter tomtidspunktet; den fysiske modellen stopper når y når 0.

Sensorpunkt: Sensor ser etter separasjon, begge initialdata, bestemmelse av k og fysisk tolkning av tomtidspunktet.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 / Oppgave 1aSinusregresjon og modellering

Oppgave 1a

Oppgave: Bruk tabellen for vannstanden ved Leirvik til å lage en sinusfunksjon \(g\) som er en god modell for vannstanden.

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi tilpasser modellen \(A\sin(\omega x+\varphi)+D\) til de åtte målepunktene med minste kvadraters metode.

Registrer dataene
Tidene er 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 og 23 timer, med tilhørende vannstander.
Velg modelltype
En sinusmodell passer tidevannets omtrent periodiske variasjon.
Tilpass frekvensen
Numerisk minste kvadraters tilpasning gir \(\omega\approx0{,}51376\).
Finn amplitude og fase
Tilpasningen gir \(A\approx51{,}42\) og \(\varphi\approx0{,}62155\).
Finn midtlinjen
Konstantleddet blir \(D\approx60{,}28\) cm.
Skriv en modell
\[g(x)=51{,}42\sin(0{,}51376x+0{,}62155)+60{,}28\] Modellen er ikke unik fordi avrunding og regresjonsverktøy kan gi litt ulike koeffisienter.

Målepunktene og en minste-kvadraters sinusmodell.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1FitSin({(3,102),(6,26),(9,10),(12,81),(15,109),(18,43),(21,20),(23,57)})

Resultat: Omtrent \(51{,}4\sin(0{,}5138x+0{,}6215)+60{,}3\)

Tolkning: En sinusregresjon gir en periode på omtrent 12,23 timer og rimelig samsvar med punktene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar

x = np.array([3,6,9,12,15,18,21,23], dtype=float)
y = np.array([102,26,10,81,109,43,20,57], dtype=float)

def linear_fit_for_omega(omega):
    design = np.column_stack([np.sin(omega*x), np.cos(omega*x), np.ones_like(x)])
    coefficients = np.linalg.lstsq(design, y, rcond=None)[0]
    residuals = y - design @ coefficients
    return float(residuals @ residuals), coefficients

optimization = minimize_scalar(
    lambda omega: linear_fit_for_omega(omega)[0],
    bounds=(0.45,0.58), method='bounded', options={'xatol':1e-13}
)
omega = float(optimization.x)
sse, coefficients = linear_fit_for_omega(omega)
C, B, D = coefficients
A = float(np.hypot(C,B))
phi = float(np.arctan2(B,C))
predicted = A*np.sin(omega*x+phi)+D
rmse = float(np.sqrt(np.mean((predicted-y)**2)))

print("Amplitude A =", format(A,'.12f'))
print("Vinkelfrekvens omega =", format(omega,'.12f'))
print("Fase phi =", format(phi,'.12f'))
print("Midtlinje D =", format(D,'.12f'))
print("Periode =", format(2*np.pi/omega,'.12f'), "timer")
print("Predikerte verdier =", np.round(predicted,6))
print("Residualer =", np.round(y-predicted,6))
print("RMSE =", format(rmse,'.12f'), "cm")

assert 12.1 < 2*np.pi/omega < 12.4
assert rmse < 5.0

Kjørt utskriftAmplitude A = 51.419278143201
Vinkelfrekvens omega = 0.513758119180
Fase phi = 0.621549089307
Midtlinje D = 60.278574002440
Periode = 12.229851115956 timer
Predikerte verdier = [102.946865  32.856311  15.9914    85.086327 106.030283  38.17179
  13.221783  53.695241]
Residualer = [-0.946865 -6.856311 -5.9914   -4.086327  2.969717  4.82821   6.778217
  3.304759]
RMSE = 4.866941980431 cm

Fasit: Et godt forslag er \(g(x)=51{,}42\sin(0{,}51376x+0{,}62155)+60{,}28\).

Vanlig feil: Å bruke bare maksimum og minimum uten å kontrollere modellen mot alle tabellpunktene, eller å oppgi grader i stedet for radianer.

Sensorpunkt: Sensor godtar normalt nærliggende regresjonsmodeller når metode og grafisk samsvar er dokumentert.

Del 2 / Oppgave 1bPeriode i sinusmodell

Oppgave 1b

Oppgave: For \(f(x)=130\sin(0{,}501x-0{,}532)+148\), bestem perioden og gi en praktisk tolkning.

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Perioden til \(\sin(bx+c)\) er \(2\pi/|b|\).

Les av vinkelfrekvensen
Her er \(b=0{,}501\) radianer per time.
Bruk periodeformelen
\(T=2\pi/0{,}501\).
Beregn
\(T\approx12{,}5413\) timer.
Avrund praktisk
Dette er omtrent 12 timer og 32 minutter.
Tolk fysisk
Etter én periode gjentar modellen samme vannstand og samme bevegelsesretning.
Konkluder
\[T\approx12{,}54\text{ timer}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

12*pi/0.501

Resultat: \(12{,}5413\)

Tolkning: Tidevannsmønsteret gjentar seg omtrent hver 12,54. time.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import pi, N, Rational

omega = Rational(501,1000)
period = 2*pi/omega
period_decimal = N(period,15)
hours = int(float(period_decimal))
minutes = (float(period_decimal)-hours)*60

print("Vinkelfrekvens =", omega, "radianer per time")
print("Eksakt periode =", period)
print("Numerisk periode =", period_decimal, "timer")
print("Hele timer =", hours)
print("Resterende minutter =", round(minutes,2))
print("Kontroll omega*T =", N(omega*period,15))

assert abs(float(period_decimal)-12.5412880383) < 1e-10

Kjørt utskriftVinkelfrekvens = 501/1000 radianer per time
Eksakt periode = 2000*pi/501
Numerisk periode = 12.5412880382826 timer
Hele timer = 12
Resterende minutter = 32.48
Kontroll omega*T = 6.28318530717959

Fasit: Perioden er \(2\pi/0{,}501\approx12{,}54\) timer.

Vanlig feil: Å bruke \(1/0{,}501\) eller \(360/0{,}501\) når argumentet måles i radianer.

Sensorpunkt: Sensor ser etter periodeformelen, riktig tallverdi og en tidevannstolkning.

Del 2 / Oppgave 1cTolkning av sinusparametere

Oppgave 1c

Oppgave: Gi en praktisk tolkning av tallene 148 og 130 i modellen \(f(x)=130\sin(0{,}501x-0{,}532)+148\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Konstantleddet er midtlinjen, mens koeffisienten foran sinus er amplituden.

Identifiser midtlinjen
Tallet 148 flytter sinuskurven opp og er modellens gjennomsnittsnivå/midtlinje.
Identifiser amplituden
Tallet 130 er største avvik fra midtlinjen.
Finn modellert maksimum
\(148+130=278\) cm.
Finn modellert minimum
\(148-130=18\) cm.
Tolk 148
Vannstanden svinger rundt 148 cm over sjøkartnull.
Tolk 130
Vannstanden varierer omtrent 130 cm opp og ned fra dette nivået.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Maximum(130*sin(u)+148)

Resultat: \(278\)

Tolkning: Maksimum oppstår når sinusverdien er 1.

2Minimum(130*sin(u)+148)

Resultat: \(18\)

Tolkning: Minimum oppstår når sinusverdien er -1.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, maximum, minimum, pi

u = symbols('u', real=True)
model_level = 130*sin(u) + 148
max_value = model_level.subs(u, pi/2)
min_value = model_level.subs(u, 3*pi/2)
midline = (max_value + min_value)/2
amplitude = (max_value - min_value)/2

print("Generisk nivåuttrykk =", model_level)
print("Maksimum når sin(u)=1 =", max_value, "cm")
print("Minimum når sin(u)=-1 =", min_value, "cm")
print("Midtlinje =", midline, "cm")
print("Amplitude =", amplitude, "cm")
print("Maksimalt avvik fra midtlinjen =", amplitude, "cm")

assert max_value == 278 and min_value == 18
assert midline == 148 and amplitude == 130

Kjørt utskriftGenerisk nivåuttrykk = 130*sin(u) + 148
Maksimum når sin(u)=1 = 278 cm
Minimum når sin(u)=-1 = 18 cm
Midtlinje = 148 cm
Amplitude = 130 cm
Maksimalt avvik fra midtlinjen = 130 cm

Fasit: 148 cm er midtlinjen, og 130 cm er amplituden. Modellen varierer mellom 18 cm og 278 cm.

Vanlig feil: Å tolke 130 som hele forskjellen mellom flo og fjære; hele variasjonsbredden er \(2\cdot130=260\) cm.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt midtlinje-, amplitude-, maksimum- og minimumstolkning.

Del 2 / Oppgave 1dDerivert og tidspunkt

Oppgave 1d

Oppgave: Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden i Tromsø med 50 cm per time?

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer modellen, setter den deriverte lik 50 og løser den trigonometriske likningen på intervallet \([0,24)\).

Deriver modellen
\(f\prime(x)=130\cdot0{,}501\cos(0{,}501x-0{,}532)=65{,}13\cos(0{,}501x-0{,}532)\).
Sett vekstfarten lik 50
\(65{,}13\cos(0{,}501x-0{,}532)=50\).
Isoler cosinus
\(\cos(0{,}501x-0{,}532)=50/65{,}13\).
Skriv vinkel-løsningene
Argumentet er \(\pm\arccos(50/65{,}13)+2\pi k\).
Filtrer på døgnet
Løsningene er omtrent \(x=2{,}450\), \(12{,}215\) og \(14{,}992\).
Konverter til klokkeslett
Dette tilsvarer omtrent kl. 02.27, 12.13 og 14.59.

Vannstanden og vekstfarten; markørene viser tidene der vekstfarten er 50 cm/time.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(65.13*cos(0.501*x-0.532)=50,0<=x<24)

Resultat: \(x\approx2{,}450;12{,}215;14{,}992\)

Tolkning: Den deriverte er positiv og nøyaktig 50 ved disse tidene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

import math
from sympy import symbols, sin, cos, diff, N

x = symbols('x', real=True)
f = 130*sin(0.501*x - 0.532) + 148
f_prime = diff(f, x)
angle = math.acos(50/(130*0.501))
solutions = []
for k in range(-3,5):
    for signed_angle in (angle, -angle):
        value = (0.532 + signed_angle + 2*math.pi*k)/0.501
        if 0 <= value < 24:
            solutions.append(value)
solutions = sorted(solutions)

def clock_time(value):
    hour = int(value)
    minute = int(round((value-hour)*60))
    if minute == 60:
        hour += 1; minute = 0
    return f"{hour:02d}:{minute:02d}"

print("Modell f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", f_prime)
print("arccos-verdi =", angle)
print("Løsninger i [0,24) =", [round(v,12) for v in solutions])
print("Klokkeslett =", [clock_time(v) for v in solutions])
print("Kontroll f'(x) =", [round(float(f_prime.subs(x,v)),10) for v in solutions])

assert len(solutions) == 3
assert all(abs(float(f_prime.subs(x,v))-50) < 1e-8 for v in solutions)

Kjørt utskriftModell f(x) = 130*sin(0.501*x - 0.532) + 148
Derivert f'(x) = 65.13*cos(0.501*x - 0.532)
arccos-verdi = 0.6955593556021096
Løsninger i [0,24) = [2.450218274655, 12.214822258638, 14.991506312938]
Klokkeslett = ['02:27', '12:13', '14:59']
Kontroll f'(x) = [50.0, 50.0, 50.0]

Fasit: Omtrent kl. 02.27, 12.13 og 14.59.

Vanlig feil: Å løse \(f(x)=50\) i stedet for \(f\prime(x)=50\), eller å ta med tider utenfor døgnet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt derivasjon, alle løsninger i intervallet og klokkeslettolkning.

Del 2 / Oppgave 2aKulelikning fra diameter

Oppgave 2a

Oppgave: Punktene \(P(2,4,-3)\) og \(Q(0,0,1)\) er endepunkter på en diameter. Vis at kuleflaten er \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Sentrum er midtpunktet av diameteren, og radiusen er halvparten av avstanden mellom P og Q.

Finn sentrum
\(S=(P+Q)/2=(1,2,-1)\).
Finn diametervektoren
\(\overrightarrow{QP}=(2,4,-4)\).
Finn diameterlengden
\(|PQ|=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6\).
Finn radius
\(r=6/2=3\).
Bruk standard kulelikning
\((x-x_S)^2+(y-y_S)^2+(z-z_S)^2=r^2\).
Sett inn
\[(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Midpoint((2,4,-3),(0,0,1))

Resultat: \((1,2,-1)\)

Tolkning: Midtpunktet er kulesentrum.

2Distance((2,4,-3),(0,0,1))/2

Resultat: \(3\)

Tolkning: Radiusen er halvparten av diameteren.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, sqrt, simplify

P = Matrix([2,4,-3])
Q = Matrix([0,0,1])
center = (P+Q)/2
diameter_vector = P-Q
diameter_length = sqrt(diameter_vector.dot(diameter_vector))
radius = simplify(diameter_length/2)
radius_P = simplify(sqrt((P-center).dot(P-center)))
radius_Q = simplify(sqrt((Q-center).dot(Q-center)))

print("P =", P.T)
print("Q =", Q.T)
print("Sentrum S =", center.T)
print("Diametervektor P-Q =", diameter_vector.T)
print("Diameterlengde =", diameter_length)
print("Radius =", radius)
print("Avstand S til P =", radius_P)
print("Avstand S til Q =", radius_Q)
print("Kulelikning: (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9")

assert center == Matrix([1,2,-1])
assert radius == radius_P == radius_Q == 3

Kjørt utskriftP = Matrix([[2, 4, -3]])
Q = Matrix([[0, 0, 1]])
Sentrum S = Matrix([[1, 2, -1]])
Diametervektor P-Q = Matrix([[2, 4, -4]])
Diameterlengde = 6
Radius = 3
Avstand S til P = 3
Avstand S til Q = 3
Kulelikning: (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9

Fasit: Sentrum er \((1,2,-1)\) og radiusen er 3, derfor er likningen den oppgitte.

Vanlig feil: Å bruke P eller Q som sentrum, eller å bruke hele diameterlengden som radius.

Sensorpunkt: Sensor ser etter midtpunkt, radiusberegning og standardformen for en kuleflate.

Del 2 / Oppgave 2bAvstand mellom kule og plan

Oppgave 2b

Oppgave: Planet \(\alpha:x-y+z=7\). Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten K og planet.

Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først avstanden fra kulesentrum til planet og trekker fra radiusen fordi planet ligger utenfor kulen.

Skriv planet på nullform
\(x-y+z-7=0\).
Sett inn sentrum
For \(S=(1,2,-1)\) blir telleren \(|1-2-1-7|=9\).
Finn normallengden
\(\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt3\).
Finn sentrum-plan-avstanden
\(d(S,\alpha)=9/\sqrt3=3\sqrt3\).
Sammenlign med radius
\(3\sqrt3>3\), så planet skjærer ikke kulen.
Trekk fra radiusen
\[d(K,\alpha)=3\sqrt3-3\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Distance((1,2,-1),x-y+z=7)

Resultat: \(3\sqrt3\)

Tolkning: Dette er avstanden fra sentrum til planet.

23*sqrt(3)-3

Resultat: \(3\sqrt3-3\)

Tolkning: Minste avstand fra kuleflaten fås ved å trekke fra radiusen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, sqrt, Abs, simplify, N

center = Matrix([1,2,-1])
normal = Matrix([1,-1,1])
constant = -7
numerator = Abs(normal.dot(center) + constant)
center_plane_distance = simplify(numerator/sqrt(normal.dot(normal)))
radius = 3
surface_plane_distance = simplify(center_plane_distance-radius)

print("Kulesentrum =", center.T)
print("Planets normalvektor =", normal.T)
print("Absolutt teller =", numerator)
print("Avstand sentrum-plan =", center_plane_distance)
print("Kuleradius =", radius)
print("Minste avstand kuleflate-plan =", surface_plane_distance)
print("Numerisk verdi =", N(surface_plane_distance,12))
print("Planet ligger utenfor kulen =", center_plane_distance > radius)

assert center_plane_distance == 3*sqrt(3)
assert surface_plane_distance == 3*sqrt(3)-3

Kjørt utskriftKulesentrum = Matrix([[1, 2, -1]])
Planets normalvektor = Matrix([[1, -1, 1]])
Absolutt teller = 9
Avstand sentrum-plan = 3*sqrt(3)
Kuleradius = 3
Minste avstand kuleflate-plan = -3 + 3*sqrt(3)
Numerisk verdi = 2.19615242271
Planet ligger utenfor kulen = True

Fasit: \(3\sqrt3-3\).

Vanlig feil: Å oppgi avstanden fra sentrum til planet uten å trekke fra kuleradiusen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter avstandsformelen, sammenligning med radius og eksakt svar.

Del 2 / Oppgave 2cPunkt-plan-avstand med parameter

Oppgave 2c

Oppgave: Vis at avstanden fra sentrum i K til planet \(\beta:2x+y+t(z-3)=-1\) er \(d(t)=|5-4t|/\sqrt{5+t^2}\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver planet på standardform og bruker avstandsformelen fra et punkt til et plan.

Skriv standardform
\(2x+y+tz-3t+1=0\).
Les av koeffisientene
Normalvektoren er \((2,1,t)\).
Sett inn sentrum
For \(S=(1,2,-1)\) blir uttrykket \(2+2-t-3t+1=5-4t\).
Ta absoluttverdi
Avstandstelleren er \(|5-4t|\).
Finn normallengden
\(\sqrt{2^2+1^2+t^2}=\sqrt{5+t^2}\).
Skriv avstanden
\[d(t)=\frac{|5-4t|}{\sqrt{5+t^2}}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Distance((1,2,-1),2x+y+t(z-3)=-1)

Resultat: \(|5-4t|/\sqrt{5+t^2}\)

Tolkning: Absoluttverdien sikrer at avstanden er ikke-negativ.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Matrix, Abs, sqrt, simplify

t = symbols('t', real=True)
center = Matrix([1,2,-1])
normal = Matrix([2,1,t])
# Planet: 2x+y+t*z-3t+1=0
constant = -3*t + 1
numerator_without_abs = simplify(normal.dot(center)+constant)
denominator = sqrt(simplify(normal.dot(normal)))
distance = Abs(numerator_without_abs)/denominator

print("Kulesentrum S =", center.T)
print("Normalvektor til beta =", normal.T)
print("Konstantledd i nullform =", constant)
print("Teller før absoluttverdi =", numerator_without_abs)
print("Nevner =", denominator)
print("Avstandsfunksjon d(t) =", distance)
print("Kontroll ved t=0: d(0) =", distance.subs(t,0))

assert numerator_without_abs == 5-4*t
assert simplify(denominator**2-(5+t**2)) == 0

Kjørt utskriftKulesentrum S = Matrix([[1, 2, -1]])
Normalvektor til beta = Matrix([[2, 1, t]])
Konstantledd i nullform = 1 - 3*t
Teller før absoluttverdi = 5 - 4*t
Nevner = sqrt(t**2 + 5)
Avstandsfunksjon d(t) = Abs(4*t - 5)/sqrt(t**2 + 5)
Kontroll ved t=0: d(0) = sqrt(5)

Fasit: \(\displaystyle d(t)=\frac{|5-4t|}{\sqrt{5+t^2}}\).

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdien eller å bruke \(5+t^2\) uten kvadratrot i nevneren.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt nullform, innsetting av sentrum og normallengde.

Del 2 / Oppgave 2dTangentplan til kule

Oppgave 2d

Oppgave: Bestem eksakte verdier for t slik at planet \(\beta\) tangerer kuleflaten K.

Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et plan tangerer en kule når avstanden fra sentrum til planet er lik radiusen 3.

Sett avstanden lik radiusen
\(|5-4t|/\sqrt{5+t^2}=3\).
Kvadrer begge sider
\((5-4t)^2=9(5+t^2)\).
Utvid
\(25-40t+16t^2=45+9t^2\).
Samle ledd
\(7t^2-40t-20=0\).
Bruk abc-formelen
\(t=[40\pm\sqrt{1600+560}]/14=[40\pm12\sqrt{15}]/14\).
Forenkle og kontroller
\[t=\frac{20\pm6\sqrt{15}}7\] Begge verdiene oppfyller den opprinnelige avstandslikningen.

Kulen, planet alpha og ett av de tangentielle beta-planene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve((5-4t)^2=9*(5+t^2),t)

Resultat: \((20-6\sqrt{15})/7,\ (20+6\sqrt{15})/7\)

Tolkning: Begge løsninger gir sentrum-plan-avstand lik 3.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt, Abs, simplify, N

t = symbols('t', real=True)
equation_squared = Eq((5-4*t)**2, 9*(5+t**2))
solutions = solve(equation_squared, t)
distance = Abs(5-4*t)/sqrt(5+t**2)
checks = [simplify(distance.subs(t,value)) for value in solutions]

print("Kvadrert tangentlikning =", equation_squared)
print("Forenklet andregradspolynom =", simplify((5-4*t)**2-9*(5+t**2)))
print("Eksakte løsninger =", solutions)
print("Numeriske løsninger =", [N(value,12) for value in solutions])
print("Avstandskontroll, eksakt =", checks)
print("Avstandskontroll, numerisk =", [N(value,15) for value in checks])
print("Kuleradius = 3")
print("Kvadrert kontroll d(t)^2-9 =", [simplify(value**2-9) for value in checks])

assert len(solutions) == 2
assert all(simplify(value**2-9) == 0 for value in checks)

Kjørt utskriftKvadrert tangentlikning = Eq((5 - 4*t)**2, 9*t**2 + 45)
Forenklet andregradspolynom = 7*t**2 - 40*t - 20
Eksakte løsninger = [20/7 - 6*sqrt(15)/7, 20/7 + 6*sqrt(15)/7]
Numeriske løsninger = [-0.462557153892, 6.17684286818]
Avstandskontroll, eksakt = [(24 - 3*sqrt(15))/sqrt(79 - 16*sqrt(15)), (3*sqrt(15) + 24)/sqrt(16*sqrt(15) + 79)]
Avstandskontroll, numerisk = [3.00000000000000, 3.00000000000000]
Kuleradius = 3
Kvadrert kontroll d(t)^2-9 = [0, 0]

Fasit: \(\displaystyle t=\frac{20-6\sqrt{15}}7\) eller \(\displaystyle t=\frac{20+6\sqrt{15}}7\).

Vanlig feil: Å glemme at tangensbetingelsen er avstand lik radius, eller å unnlate å kontrollere løsninger etter kvadrering.

Sensorpunkt: Sensor ser etter tangentbetingelsen, korrekt andregradslikning, eksakte røtter og kontroll.

Del 2 / Oppgave 3aIntegralestimat for rekke

Oppgave 3a

Oppgave: Bruk figuren til å forklare at \(1/1^2+1/2^2+\cdots+1/k^2\le 1+\int_1^k1/x^2\,dx\) for \(k\in\mathbb N\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen \(f(x)=1/x^2\) er positiv og strengt avtakende. Derfor ligger rektangelet med høyde f(n) under grafen på intervallet fra n-1 til n.

Vis at f avtar
\(f\prime(x)=-2/x^3<0\) for \(x>0\).
Se på ett intervall
På \([n-1,n]\) er \(f(x)\ge f(n)=1/n^2\).
Sammenlign arealer
Rektangelet med bredde 1 og høyde \(1/n^2\) har areal \(1/n^2\) og ligger under grafen.
Integrer intervallet
Dermed \(1/n^2\le\int_{n-1}^{n}1/x^2dx\) for \(n\ge2\).
Summer fra n=2 til k
\(\sum_{n=2}^k1/n^2\le\int_1^k1/x^2dx\).
Legg til første ledd
\[\sum_{n=1}^k\frac1{n^2}\le1+\int_1^k\frac1{x^2}dx\]

For hvert n>=2 ligger rektangelet med høyde 1/n^2 under kurven på [n-1,n].

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(1/x^2,x)

Resultat: \(-2/x^3<0\) for x>0

Tolkning: Avtakende funksjon gir den viste rektangelsammenligningen.

2Sum(1/n^2,n,1,k) <= 1+Integral(1/x^2,1,k)

Resultat: Integralestimat

Tolkning: Ulikheten følger ved å summere arealulikhetene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, simplify, diff

x = symbols('x', positive=True)
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
f = 1/x**2
derivative = diff(f,x)
rectangle = 1/n**2
interval_integral = integrate(f,(x,n-1,n))
difference = simplify(interval_integral-rectangle)

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", derivative)
print("Rektangelareal for ledd n =", rectangle)
print("Integral fra n-1 til n =", interval_integral)
print("Integral minus rektangel =", difference)
print("For n>=2 er differansen positiv")
print("Summasjon gir den ønskede ulikheten")

assert simplify(difference - 1/(n**2*(n-1))) == 0

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = x**(-2)
Derivert f'(x) = -2/x**3
Rektangelareal for ledd n = n**(-2)
Integral fra n-1 til n = 1/(n - 1) - 1/n
Integral minus rektangel = 1/(n**2*(n - 1))
For n>=2 er differansen positiv
Summasjon gir den ønskede ulikheten

Fasit: Fordi \(1/x^2\) er avtakende, ligger hvert rektangel for \(n\ge2\) under grafen, og ulikheten følger ved summering.

Vanlig feil: Å sammenligne med intervallet \([n,n+1]\), som gir ulikheten i motsatt retning.

Sensorpunkt: Sensor ser etter avtakende funksjon, korrekt intervall og arealsammenligning.

Del 2 / Oppgave 3bKonvergens og øvre grense

Oppgave 3b

Oppgave: Bruk resultatet fra a) til å begrunne at \(S=\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2<2\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi vurderer integralets grense og bruker at arealulikheten er streng for en strengt avtakende funksjon.

Bruk delsummer
For hver k er \(S_k\le1+\int_1^k1/x^2dx\).
Regn ut integralet
\(\int_1^k x^{-2}dx=[-1/x]_1^k=1-1/k\).
Finn øvre grense
\(S_k\le2-1/k<2\).
La k gå mot uendelig
Delsummene er voksende og avgrenset, så rekken konvergerer.
Begrunn streng ulikhet
På hvert intervall er funksjonen strengt avtakende, så \(1/n^2<\int_{n-1}^n1/x^2dx\) for \(n\ge2\).
Konkluder
\[S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n^2}<1+\int_1^{\infty}\frac1{x^2}dx=2\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(1/x^2,x,1,infinity)

Resultat: \(1\)

Tolkning: Integraltesten gir en streng total øvre grense på 2 når første ledd legges til.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, oo, summation, simplify, limit

x = symbols('x', positive=True)
k = symbols('k', integer=True, positive=True)
integral_to_k = integrate(1/x**2,(x,1,k))
upper_bound = simplify(1+integral_to_k)
infinite_integral = integrate(1/x**2,(x,1,oo))
limit_bound = limit(upper_bound,k,oo)
partial_example = summation(1/symbols('n', integer=True, positive=True)**2, (symbols('n', integer=True, positive=True),1,10))

print("Integral fra 1 til k =", integral_to_k)
print("Øvre grense for S_k =", upper_bound)
print("Dette er mindre enn 2 for hvert endelig k")
print("Uegentlig integral fra 1 til uendelig =", infinite_integral)
print("Grense for øvre grense =", limit_bound)
print("Eksempel S_10 =", partial_example)
print("Numerisk S_10 =", partial_example.evalf(12))
print("Streng arealulikhet gir S < 2")

assert infinite_integral == 1
assert limit_bound == 2

Kjørt utskriftIntegral fra 1 til k = 1 - 1/k
Øvre grense for S_k = 2 - 1/k
Dette er mindre enn 2 for hvert endelig k
Uegentlig integral fra 1 til uendelig = 1
Grense for øvre grense = 2
Eksempel S_10 = 1968329/1270080
Numerisk S_10 = 1.54976773117
Streng arealulikhet gir S < 2

Fasit: Rekken konvergerer, og \(S<2\).

Vanlig feil: Å hevde \(S<2\) bare fordi alle delsummer er mindre enn 2 uten å forklare konvergens eller den strenge arealulikheten.

Sensorpunkt: Sensor ser etter beregning av integralet, avgrensning og en begrunnelse for streng ulikhet.

Del 2 / Oppgave 3cEksakt sum med CAS

Oppgave 3c

Oppgave: Bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for \(S=\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Dette er Basel-rekken. Et CAS kan evaluere den uendelige summen eksakt.

Skriv summen med indeks
\(S=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}\).
Bruk en uendelig sumkommando
Be CAS evaluere summen fra 1 til uendelig.
Les av resultatet
CAS gir \(\pi^2/6\).
Kontroller mot øvre grense
\(\pi^2/6\approx1{,}644934<2\).
Kontroller med delsummer
Delsummene nærmer seg verdien nedenfra.
Oppgi eksakt svar
\[S=\frac{\pi^2}{6}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Sum(1/n^2,n,1,infinity)

Resultat: \(\pi^2/6\)

Tolkning: Dette er den eksakte summen av Basel-rekken.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, summation, oo, pi, N, simplify

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
S = summation(1/n**2,(n,1,oo))
partial_10 = summation(1/n**2,(n,1,10))
partial_100 = summation(1/n**2,(n,1,100))
expected = pi**2/6

print("Eksakt uendelig sum =", S)
print("Forventet Basel-verdi =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(S-expected))
print("Numerisk verdi =", N(S,15))
print("Delsum S_10 =", N(partial_10,15))
print("Delsum S_100 =", N(partial_100,15))
print("S < 2 =", bool(S.evalf() < 2))

assert simplify(S-expected) == 0
assert S.evalf() < 2

Kjørt utskriftEksakt uendelig sum = pi**2/6
Forventet Basel-verdi = pi**2/6
Symbolsk kontroll = 0
Numerisk verdi = 1.64493406684823
Delsum S_10 = 1.54976773116654
Delsum S_100 = 1.63498390018489
S < 2 = True

Fasit: \(\displaystyle S=\pi^2/6\).

Vanlig feil: Å gi bare en desimaltilnærming når oppgaven ber om en eksakt verdi.

Sensorpunkt: Sensor ser etter dokumentert CAS-kommando og eksakt resultat.

Del 2 / Oppgave 4aSirkel som to funksjonsgrafer

Oppgave 4a

Oppgave: En sirkel har sentrum \((0,5)\) og radius 2. Forklar at grafene til \(f(x)=5+\sqrt{4-x^2}\) og \(g(x)=5-\sqrt{4-x^2}\) sammen danner sirkelen.

Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi starter med sirkelens standardlikning og løser den med hensyn på y.

Skriv sirkelens likning
\(x^2+(y-5)^2=2^2=4\).
Isoler kvadratet
\((y-5)^2=4-x^2\).
Ta kvadratrot
\(y-5=\pm\sqrt{4-x^2}\).
Løs for y
\(y=5\pm\sqrt{4-x^2}\).
Tolk grenene
Plussgrenen er øvre halvsirkel f, minusgrenen er nedre halvsirkel g.
Angi domenet
For reelle verdier må \(4-x^2\ge0\), altså \(-2\le x\le2\).

Når sirkelskiven roteres rundt x-aksen, dannes et torusformet omdreiningslegeme.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(x^2+(y-5)^2=4,y)

Resultat: \(y=5\pm\sqrt{4-x^2}\)

Tolkning: De to løsningene er øvre og nedre halvsirkel.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt, simplify

x, y = symbols('x y', real=True)
circle_equation = Eq(x**2 + (y-5)**2, 4)
y_solutions = solve(circle_equation,y)
f = 5 + sqrt(4-x**2)
g = 5 - sqrt(4-x**2)
check_f = simplify(x**2 + (f-5)**2)
check_g = simplify(x**2 + (g-5)**2)

print("Sirkelikning =", circle_equation)
print("Løst med hensyn på y =", y_solutions)
print("Øvre gren f(x) =", f)
print("Nedre gren g(x) =", g)
print("Kontroll av f i sirkelikningen =", check_f)
print("Kontroll av g i sirkelikningen =", check_g)
print("Reelt domene: -2 <= x <= 2")

assert check_f == 4 and check_g == 4

Kjørt utskriftSirkelikning = Eq(x**2 + (y - 5)**2, 4)
Løst med hensyn på y = [5 - sqrt(4 - x**2), sqrt(4 - x**2) + 5]
Øvre gren f(x) = sqrt(4 - x**2) + 5
Nedre gren g(x) = 5 - sqrt(4 - x**2)
Kontroll av f i sirkelikningen = 4
Kontroll av g i sirkelikningen = 4
Reelt domene: -2 <= x <= 2

Fasit: Grafene er de to løsningene \(y=5\pm\sqrt{4-x^2}\) av sirkelikningen, på \([-2,2]\).

Vanlig feil: Å glemme både pluss- og minusgrenen eller å utelate domenet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter standard sirkelikning, isolering av y og tolkning av de to halvdelene.

Del 2 / Oppgave 4bVolum av omdreiningslegeme

Oppgave 4b

Oppgave: Bruk CAS til å bestemme eksakt volum når sirkelen med sentrum \((0,5)\) og radius 2 roteres 360 grader om x-aksen.

Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et tverrsnitt normalt på x-aksen er en skive med ytre radius f(x) og indre radius g(x). Vi bruker skivemetoden.

Sett opp skiveformelen
\(V=\pi\int_{-2}^{2}[f(x)^2-g(x)^2]dx\).
Bruk differanse av kvadrater
\(f^2-g^2=(f-g)(f+g)\).
Finn faktorene
\(f-g=2\sqrt{4-x^2}\) og \(f+g=10\).
Forenkle integranden
\(f^2-g^2=20\sqrt{4-x^2}\).
Bruk CAS-integralet
\(\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=2\pi\), arealet av en halvsirkel med radius 2.
Beregn volumet
\[V=\pi\cdot20\cdot2\pi=40\pi^2\]

Torus med hovedradius 5 og rør-radius 2.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1pi*Integral((5+sqrt(4-x^2))^2-(5-sqrt(4-x^2))^2,x,-2,2)

Resultat: \(40\pi^2\)

Tolkning: CAS beregner volumet med ytre minus indre skiveareal.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sqrt, pi, integrate, simplify, expand

x = symbols('x', real=True)
f = 5 + sqrt(4-x**2)
g = 5 - sqrt(4-x**2)
washer_expression = simplify(f**2-g**2)
volume = simplify(pi*integrate(washer_expression,(x,-2,2)))
pappus_check = simplify((pi*2**2)*(2*pi*5))

print("Ytre radius f(x) =", f)
print("Indre radius g(x) =", g)
print("f(x)^2-g(x)^2 =", washer_expression)
print("Integral av skiveforskjellen =", integrate(washer_expression,(x,-2,2)))
print("Volum fra skivemetoden =", volume)
print("Kontroll med Pappus: areal*pi-rute =", pappus_check)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(volume-pappus_check))

assert washer_expression == 20*sqrt(4-x**2)
assert volume == 40*pi**2
assert simplify(volume-pappus_check) == 0

Kjørt utskriftYtre radius f(x) = sqrt(4 - x**2) + 5
Indre radius g(x) = 5 - sqrt(4 - x**2)
f(x)^2-g(x)^2 = 20*sqrt(4 - x**2)
Integral av skiveforskjellen = 40*pi
Volum fra skivemetoden = 40*pi**2
Kontroll med Pappus: areal*pi-rute = 40*pi**2
Symbolsk kontroll = 0

Fasit: \(V=40\pi^2\) volumenheter.

Vanlig feil: Å integrere \(f-g\) i stedet for \(f^2-g^2\), eller å glemme faktoren \(\pi\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt skiveformel, grenser og eksakt CAS-resultat.

Del 2 / Oppgave 4cVolum av forskjøvet torus

Oppgave 4c

Oppgave: En annen sirkel har sentrum \((2,7)\) og radius 3 og roteres 360 grader om x-aksen. Bestem eksakt volum med CAS.

Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Forskyvningen i x-retning endrer ikke volumet. Hovedradiusen er 7 og sirkelradiusen er 3.

Skriv sirkelgrenene
\(y=7\pm\sqrt{9-(x-2)^2}\), med \(-1\le x\le5\).
Sett opp skiveintegralet
\(V=\pi\int_{-1}^{5}[f(x)^2-g(x)^2]dx\).
Forenkle differansen
\(f^2-g^2=28\sqrt{9-(x-2)^2}\).
Tolk grunnintegralet
\(\int_{-1}^{5}\sqrt{9-(x-2)^2}dx=9\pi/2\), arealet av en halvsirkel med radius 3.
Multipliser faktorene
\(V=\pi\cdot28\cdot9\pi/2\).
Beregn
\[V=126\pi^2\]

Torus med hovedradius 7 og rør-radius 3.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1pi*Integral((7+sqrt(9-(x-2)^2))^2-(7-sqrt(9-(x-2)^2))^2,x,-1,5)

Resultat: \(126\pi^2\)

Tolkning: CAS-resultatet er uavhengig av at sirkelens sentrum er forskjøvet til x=2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sqrt, pi, integrate, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 7 + sqrt(9-(x-2)**2)
g = 7 - sqrt(9-(x-2)**2)
washer_expression = simplify(f**2-g**2)
volume = simplify(pi*integrate(washer_expression,(x,-1,5)))
pappus_check = simplify((pi*3**2)*(2*pi*7))

print("Øvre gren f(x) =", f)
print("Nedre gren g(x) =", g)
print("Integrasjonsintervall = [-1,5]")
print("f(x)^2-g(x)^2 =", washer_expression)
print("Skiveintegral uten pi =", integrate(washer_expression,(x,-1,5)))
print("Volum fra CAS =", volume)
print("Pappus-kontroll =", pappus_check)
print("Symbolsk differanse =", simplify(volume-pappus_check))

assert simplify(washer_expression-28*sqrt(9-(x-2)**2)) == 0
assert volume == 126*pi**2
assert simplify(volume-pappus_check) == 0

Kjørt utskriftØvre gren f(x) = sqrt(9 - (x - 2)**2) + 7
Nedre gren g(x) = 7 - sqrt(9 - (x - 2)**2)
Integrasjonsintervall = [-1,5]
f(x)^2-g(x)^2 = 28*sqrt(-x**2 + 4*x + 5)
Skiveintegral uten pi = 126*pi
Volum fra CAS = 126*pi**2
Pappus-kontroll = 126*pi**2
Symbolsk differanse = 0

Fasit: \(V=126\pi^2\) volumenheter.

Vanlig feil: Å bruke hovedradius 2 fordi sentrumets x-koordinat er 2; avstanden til rotasjonsaksen er 7.

Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige funksjonsgrener, intervall, skiveintegral og eksakt volum.

Matematikk R2 eksamen – vår 2019

Matematikk R2 - eksamen vår 2019

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 4

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 5a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 5b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 5c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 5d

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 8

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 9a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 9b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1d

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2d