ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2018

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1aDerivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=\cos(\pi x-2)\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt cosinusfunksjon. Kjernen er \(\pi x-2\), og den deriverte av cosinus gir et minusfortegn.

Identifiser ytre funksjon
Den ytre funksjonen er \(\cos u\), med derivert \(-\sin u\).
Identifiser kjernen
Sett \(u=\pi x-2\). Da er \(u\prime=\pi\).
Bruk kjerneregelen
\(f\prime(x)=-\sin(\pi x-2)\cdot\pi\).
Plasser konstanten ryddig
\(f\prime(x)=-\pi\sin(\pi x-2)\).
Kontroller et enkelt punkt
Ved \(x=2/\pi\) er argumentet 0, og den deriverte blir 0, slik cosinusgrafen skal ha i et toppunkt.
Skriv endelig svar
\[f\prime(x)=-\pi\sin(\pi x-2)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(cos(pi*x-2),x)

Resultat: \(-\pi\sin(\pi x-2)\)

Tolkning: CAS bekrefter både minusfortegnet og faktoren \(\pi\) fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, cos, sin, diff, simplify, pi

x = symbols('x', real=True)
f = cos(pi*x - 2)
derivative = diff(f, x)
expected = -pi*sin(pi*x - 2)
check_point = 2/pi

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", derivative)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Symbolsk differanse =", simplify(derivative - expected))
print("Kontrollpunkt x =", check_point)
print("f'(2/pi) =", simplify(derivative.subs(x, check_point)))
print("Numerisk kontroll ved x=1 =", derivative.subs(x, 1).evalf(12))

assert simplify(derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = cos(pi*x - 2)
Derivert f'(x) = -pi*sin(pi*x - 2)
Forventet uttrykk = -pi*sin(pi*x - 2)
Symbolsk differanse = 0
Kontrollpunkt x = 2/pi
f'(2/pi) = 0
Numerisk kontroll ved x=1 = -2.85664211604

Fasit: \(f\prime(x)=-\pi\sin(\pi x-2)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(\pi\), eller å glemme minusfortegnet når cosinus deriveres.

Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av kjerneregelen og korrekt håndtering av både fortegn og konstantfaktor.

Del 1 / Oppgave 1bProduktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x\sin x\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(\sin x\). Begge faktorene avhenger av \(x\), så produktregelen må brukes.

Velg faktorene
Sett \(u=x\) og \(v=\sin x\).
Deriver første faktor
\(u\prime=1\).
Deriver andre faktor
\(v\prime=\cos x\).
Bruk produktregelen
\((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).
Sett inn uttrykkene
\(g\prime(x)=1\cdot\sin x+x\cos x\).
Skriv svaret
\[g\prime(x)=\sin x+x\cos x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(x*sin(x),x)

Resultat: \(\sin x+x\cos x\)

Tolkning: CAS viser de to leddene som produktregelen krever.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify, pi

x = symbols('x', real=True)
g = x*sin(x)
derivative = diff(g, x)
expected = sin(x) + x*cos(x)

print("Funksjon g(x) =", g)
print("Derivert g'(x) =", derivative)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Symbolsk differanse =", simplify(derivative - expected))
print("g'(0) =", derivative.subs(x, 0))
print("g'(pi/2) =", simplify(derivative.subs(x, pi/2)))
print("Numerisk kontroll ved x=2 =", derivative.subs(x, 2).evalf(12))

assert simplify(derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon g(x) = x*sin(x)
Derivert g'(x) = x*cos(x) + sin(x)
Forventet uttrykk = x*cos(x) + sin(x)
Symbolsk differanse = 0
g'(0) = 0
g'(pi/2) = 1
Numerisk kontroll ved x=2 = 0.0770037537314

Fasit: \(g\prime(x)=\sin x+x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem, i stedet for å bruke produktregelen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter begge produktleddene og korrekt derivert av sinus.

Del 1 / Oppgave 2aUbestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int(4x^2+3x)\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer polynomet ledd for ledd ved hjelp av potensregelen og legger til integrasjonskonstanten.

Del integralet opp
\(\int(4x^2+3x)dx=4\int x^2dx+3\int xdx\).
Bruk potensregelen på første ledd
\(\int x^2dx=x^3/3\).
Bruk potensregelen på andre ledd
\(\int xdx=x^2/2\).
Multipliser med konstantene
Første bidrag blir \(4x^3/3\), og andre bidrag blir \(3x^2/2\).
Legg til konstant
Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
Skriv svaret
\[\int(4x^2+3x)dx=\frac43x^3+\frac32x^2+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(4x^2+3x,x)

Resultat: \(\frac43x^3+\frac32x^2\)

Tolkning: GeoGebra oppgir én stamfunksjon; den generelle løsningen inkluderer \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, diff, simplify, Rational

x = symbols('x', real=True)
integrand = 4*x**2 + 3*x
antiderivative = integrate(integrand, x)
expected = Rational(4,3)*x**3 + Rational(3,2)*x**2

print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", antiderivative)
print("Forventet stamfunksjon =", expected)
print("Derivert tilbake =", diff(expected, x))
print("Kontrollforskjell =", simplify(diff(expected, x) - integrand))
print("Stamfunksjon ved x=2 =", expected.subs(x, 2))

assert simplify(antiderivative - expected) == 0
assert simplify(diff(expected, x) - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = 4*x**2 + 3*x
Stamfunksjon fra SymPy = 4*x**3/3 + 3*x**2/2
Forventet stamfunksjon = 4*x**3/3 + 3*x**2/2
Derivert tilbake = 4*x**2 + 3*x
Kontrollforskjell = 0
Stamfunksjon ved x=2 = 50/3

Fasit: \(\displaystyle\frac43x^3+\frac32x^2+C\).

Vanlig feil: Å dele koeffisienten på feil eksponent eller å glemme integrasjonskonstanten \(C\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av potensregelen på begge ledd og \(+C\).

Del 1 / Oppgave 2bDelvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int4x^2\ln x\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en logaritme passer til delvis integrasjon. Vi velger logaritmen som den delen som skal deriveres.

Faktoriser ut konstanten
\(\int4x^2\ln x\,dx=4\int x^2\ln x\,dx\).
Velg delene
Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x^2dx\).
Finn du og v
\(du=dx/x\) og \(v=x^3/3\).
Bruk delvis integrasjon
\(\int x^2\ln xdx=\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3}\frac1x dx\).
Beregn restintegralet
\(\frac{x^3}{3}\ln x-\frac13\int x^2dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}\).
Multipliser med 4
\[\int4x^2\ln xdx=\frac43x^3\ln x-\frac49x^3+C,\qquad x>0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(4*x^2*ln(x),x)

Resultat: \(\frac43x^3\ln x-\frac49x^3\)

Tolkning: CAS bekrefter stamfunksjonen på definisjonsområdet \(x>0\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, log, integrate, diff, simplify, Rational

x = symbols('x', positive=True)
integrand = 4*x**2*log(x)
antiderivative = integrate(integrand, x)
expected = Rational(4,3)*x**3*log(x) - Rational(4,9)*x**3

print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", antiderivative)
print("Forventet form =", expected)
print("Derivert tilbake =", simplify(diff(expected, x)))
print("Kontrollforskjell =", simplify(diff(expected, x) - integrand))
print("Verdi av stamfunksjonen ved x=1 =", expected.subs(x, 1))
print("Numerisk verdi ved x=2 =", expected.subs(x, 2).evalf(12))

assert simplify(antiderivative - expected) == 0
assert simplify(diff(expected, x) - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = 4*x**2*log(x)
Stamfunksjon fra SymPy = 4*x**3*log(x)/3 - 4*x**3/9
Forventet form = 4*x**3*log(x)/3 - 4*x**3/9
Derivert tilbake = 4*x**2*log(x)
Kontrollforskjell = 0
Verdi av stamfunksjonen ved x=1 = -4/9
Numerisk verdi ved x=2 = 3.83801437042

Fasit: \(\displaystyle\frac43x^3\ln x-\frac49x^3+C\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å velge \(u=x^2\), som gjør integralet vanskeligere, eller å miste faktoren 4.

Sensorpunkt: Sensor ser etter et hensiktsmessig valg i delvis integrasjon, korrekt restintegral og definisjonsområde.

Del 1 / Oppgave 2cSubstitusjon og bestemt integral

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^{\sqrt{12}}\frac{2x}{x^2+4}\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Telleren er den deriverte av uttrykket i nevneren. Substitusjonen \(u=x^2+4\) gjør integralet til et logaritmeintegral.

Velg substitusjon
Sett \(u=x^2+4\).
Finn differensialet
\(du=2x\,dx\).
Endre grensene
Når \(x=0\), er \(u=4\). Når \(x=\sqrt{12}\), er \(u=16\).
Skriv om integralet
\(\int_4^{16}\frac1u\,du\).
Integrer og sett inn grenser
\([\ln u]_4^{16}=\ln16-\ln4\).
Forenkle logaritmen
\[\ln\frac{16}{4}=\ln4\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(2x/(x^2+4),x,0,sqrt(12))

Resultat: \(\ln4\)

Tolkning: CAS gir den eksakte logaritmeverdien; desimalt er den omtrent 1,3863.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sqrt, integrate, log, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
integrand = 2*x/(x**2 + 4)
value = integrate(integrand, (x, 0, sqrt(12)))
expected = log(4)

print("Integrand =", integrand)
print("Nedre grense =", 0)
print("Øvre grense =", sqrt(12))
print("Substitusjonsgrenser: u fra 4 til 16")
print("Bestemt integral =", value)
print("Forventet verdi =", expected)
print("Symbolsk differanse =", simplify(value - expected))
print("Desimalverdi =", N(value, 12))

assert simplify(value - expected) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = 2*x/(x**2 + 4)
Nedre grense = 0
Øvre grense = 2*sqrt(3)
Substitusjonsgrenser: u fra 4 til 16
Bestemt integral = -log(4) + log(16)
Forventet verdi = log(4)
Symbolsk differanse = 0
Desimalverdi = 1.38629436112

Fasit: \(\ln4\approx1{,}3863\).

Vanlig feil: Å glemme å endre grensene ved substitusjon eller å skrive \(\ln16+\ln4\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt substitusjon, nye grenser og logaritmeregning.

Del 1 / Oppgave 3Aritmetisk rekke og sumformel

Oppgave 3

Oppgave: I en aritmetisk rekke \(a_1+a_2+\cdots+a_n\) er \(a_2=4\) og \(a_5=13\). Bestem en eksplisitt formel for summen av rekken.

Original poengangivelse: Oppgave 3 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må først finne differansen og første ledd. Deretter bruker vi standardformelen for summen av de \(n\) første leddene.

Skriv leddene med a1 og d
\(a_2=a_1+d=4\) og \(a_5=a_1+4d=13\).
Finn differansen
Trekk likningene fra hverandre: \(3d=9\), altså \(d=3\).
Finn første ledd
\(a_1=4-d=1\).
Finn det n-te leddet
\(a_n=a_1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2\).
Bruk sumformelen
\(S_n=\frac n2(a_1+a_n)=\frac n2(1+3n-2)\).
Forenkle
\[S_n=\frac{n(3n-1)}2\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve({a+d=4,a+4d=13},{a,d})

Resultat: \(a_1=1,\ d=3\)

Tolkning: CAS bestemmer parameterne i den aritmetiske rekken.

2Simplify(n/2*(1+(3n-2)))

Resultat: \(\frac{n(3n-1)}2\)

Tolkning: Uttrykket er den eksplisitte sumformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify, summation

a, d, n, k = symbols('a d n k', integer=True, positive=True)
solution = solve((Eq(a+d, 4), Eq(a+4*d, 13)), (a, d), dict=True)[0]
a1 = solution[a]
d_value = solution[d]
a_n = simplify(a1 + (n-1)*d_value)
S_formula = simplify(n*(a1+a_n)/2)
S_direct = simplify(summation(a1+(k-1)*d_value, (k,1,n)))

print("Løsning for første ledd og differanse =", solution)
print("a_1 =", a1)
print("d =", d_value)
print("a_n =", a_n)
print("Sumformel S_n =", S_formula)
print("Direkte symbolsk sum =", S_direct)
print("Kontrollforskjell =", simplify(S_formula-S_direct))
print("Kontroll S_5 =", S_formula.subs(n,5))

assert simplify(S_formula - n*(3*n-1)/2) == 0
assert simplify(S_formula-S_direct) == 0

Kjørt utskriftLøsning for første ledd og differanse = {a: 1, d: 3}
a_1 = 1
d = 3
a_n = 3*n - 2
Sumformel S_n = n*(3*n - 1)/2
Direkte symbolsk sum = n*(3*n - 1)/2
Kontrollforskjell = 0
Kontroll S_5 = 35

Fasit: \(\displaystyle S_n=\frac{n(3n-1)}2\).

Vanlig feil: Å finne formelen for \(a_n\) og stoppe der, selv om oppgaven spør etter summen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bestemmelse av \(a_1\), differansen \(d\), og en eksplisitt formel for \(S_n\).

Del 1 / Oppgave 4aSeparerbar differensiallikning

Oppgave 4a

Oppgave: Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen \(y\prime=(\sin x)y^2\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er separerbar. Vi skiller variablene, integrerer begge sider og husker at løsningen \(y=0\) går tapt dersom vi deler på \(y^2\).

Registrer konstant løsning
\(y(x)=0\) gir \(y\prime=0\) og oppfyller likningen.
Separer for y ulik 0
\(y^{-2}dy=\sin x\,dx\).
Integrer venstre side
\(\int y^{-2}dy=-1/y\).
Integrer høyre side
\(\int\sin xdx=-\cos x+C\).
Isoler y
\(-1/y=-\cos x+C\), som kan skrives \(1/y=\cos x+C_1\).
Skriv løsningsfamilien
\[y(x)=\frac1{\cos x+C},\quad\text{eller}\quad y(x)=0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1SolveODE(y\prime=sin(x)*y^2)

Resultat: \(y=1/(c_1+\cos x)\)

Tolkning: GeoGebra gir den ikke-null løsningen; den konstante løsningen \(y=0\) må legges til separat.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Function, diff, sin, cos, simplify

x, C = symbols('x C', real=True)
y = Function('y')
nonzero_family = 1/(cos(x)+C)
residual_family = simplify(diff(nonzero_family,x) - sin(x)*nonzero_family**2)
zero_solution = 0
residual_zero = simplify(diff(zero_solution,x) - sin(x)*zero_solution**2)

print("Differensiallikning: y' = sin(x)*y^2")
print("Ikke-null løsningsfamilie y(x) =", nonzero_family)
print("Residual for familien =", residual_family)
print("Konstant løsning y(x) =", zero_solution)
print("Residual for nulløsningen =", residual_zero)
print("Kontroll for C=2 ved x=0 =", nonzero_family.subs({C:2,x:0}))

assert residual_family == 0
assert residual_zero == 0

Kjørt utskriftDifferensiallikning: y' = sin(x)*y^2
Ikke-null løsningsfamilie y(x) = 1/(C + cos(x))
Residual for familien = 0
Konstant løsning y(x) = 0
Residual for nulløsningen = 0
Kontroll for C=2 ved x=0 = 1/3

Fasit: \(y(x)=0\), eller \(\displaystyle y(x)=\frac1{\cos x+C}\) på intervaller der nevneren ikke er null.

Vanlig feil: Å dele på \(y^2\) uten å nevne at nulløsningen da kan gå tapt.

Sensorpunkt: Sensor ser etter separasjon, korrekt integrasjon, isolering av \(y\), og den konstante løsningen \(y=0\).

Del 1 / Oppgave 4bInitialverdiproblem

Oppgave 4b

Oppgave: Bestem løsningen av differensiallikningen som oppfyller \(y(\pi)=1\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter initialbetingelsen inn i den ikke-null løsningsfamilien og bestemmer konstanten.

Start med generell løsning
\(y(x)=1/(\cos x+C)\).
Sett inn x lik pi
\(y(\pi)=1/(\cos\pi+C)=1/(-1+C)\).
Bruk initialverdien
\(1=1/(C-1)\).
Løs for konstanten
\(C-1=1\), derfor \(C=2\).
Skriv den bestemte løsningen
\(y(x)=1/(\cos x+2)\).
Kontroller
Nevneren ligger mellom 1 og 3, så løsningen er definert for alle reelle \(x\), og \(y(\pi)=1\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(1=1/(cos(pi)+C),C)

Resultat: \(C=2\)

Tolkning: CAS bestemmer integrasjonskonstanten fra initialbetingelsen.

2Simplify(Derivative(1/(cos(x)+2),x)-sin(x)/(cos(x)+2)^2)

Resultat: \(0\)

Tolkning: Residualen er null, så funksjonen oppfyller differensiallikningen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, pi, cos, sin, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
solution = 1/(cos(x)+2)
residual = simplify(diff(solution,x) - sin(x)*solution**2)
initial_value = simplify(solution.subs(x,pi))

print("Bestemt løsning y(x) =", solution)
print("Derivert y'(x) =", diff(solution,x))
print("Høyreside sin(x)*y(x)^2 =", simplify(sin(x)*solution**2))
print("Residual =", residual)
print("Initialverdi y(pi) =", initial_value)
print("Minste mulige nevner cos(x)+2 = 1")
print("Løsningen er derfor definert for alle reelle x")

assert residual == 0
assert initial_value == 1

Kjørt utskriftBestemt løsning y(x) = 1/(cos(x) + 2)
Derivert y'(x) = sin(x)/(cos(x) + 2)**2
Høyreside sin(x)*y(x)^2 = sin(x)/(cos(x) + 2)**2
Residual = 0
Initialverdi y(pi) = 1
Minste mulige nevner cos(x)+2 = 1
Løsningen er derfor definert for alle reelle x

Fasit: \(\displaystyle y(x)=\frac1{\cos x+2}\).

Vanlig feil: Å bruke \(\cos\pi=1\) i stedet for \(\cos\pi=-1\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting av initialbetingelsen, riktig konstant og en eksplisitt kontroll.

Del 1 / Oppgave 5aAreal mellom graf og x-akse

Oppgave 5a

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=1-x^2\). Et flatestykke er avgrenset av x-aksen og grafen til \(f\). Bestem arealet.

Original poengangivelse: Oppgave 5 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først nullpunktene. Mellom nullpunktene ligger grafen over x-aksen, så arealet er et bestemt integral av \(f\).

Finn nullpunktene
\(1-x^2=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Bestem fortegnet
For eksempel er \(f(0)=1>0\), så grafen ligger over x-aksen mellom -1 og 1.
Sett opp arealintegralet
\(A=\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx\).
Finn en stamfunksjon
\(F(x)=x-x^3/3\).
Sett inn grensene
\(A=[x-x^3/3]_{-1}^{1}=2/3-(-2/3)\).
Konkluder
\[A=\frac43\]

Det avgrensede området ligger mellom x=-1 og x=1.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(1-x^2=0,x)

Resultat: \(x=-1\) og \(x=1\)

Tolkning: Nullpunktene gir integrasjonsgrensene.

2Integral(1-x^2,x,-1,1)

Resultat: \(4/3\)

Tolkning: CAS bekrefter det eksakte arealet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, solve, integrate, Rational, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 1 - x**2
zeros = solve(f, x)
area = integrate(f, (x, -1, 1))
expected = Rational(4,3)

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Nullpunkter =", zeros)
print("f(0) =", f.subs(x,0))
print("Arealintegral = Integral(1-x^2, -1, 1)")
print("Eksakt areal =", area)
print("Forventet areal =", expected)
print("Kontrollforskjell =", simplify(area-expected))
print("Desimalverdi =", area.evalf(12))

assert zeros == [-1,1]
assert simplify(area-expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = 1 - x**2
Nullpunkter = [-1, 1]
f(0) = 1
Arealintegral = Integral(1-x^2, -1, 1)
Eksakt areal = 4/3
Forventet areal = 4/3
Kontrollforskjell = 0
Desimalverdi = 1.33333333333

Fasit: \(\displaystyle A=\frac43\) kvadratenheter.

Vanlig feil: Å integrere over feil intervall eller å glemme at areal skal være positivt.

Sensorpunkt: Sensor ser etter nullpunkter, fortegnskontroll og korrekt bestemt integral.

Del 1 / Oppgave 5bVolum av omdreiningslegeme

Oppgave 5b

Oppgave: Flatestykket fra del a dreies \(360^\circ\) om x-aksen. Bestem volumet av omdreiningslegemet.

Original poengangivelse: Oppgave 5 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Når et område under en ikke-negativ graf dreies om x-aksen, bruker vi skivemetoden: \(V=\pi\int f(x)^2dx\).

Bruk grensene fra del a
Omdreiningslegemet går fra \(x=-1\) til \(x=1\).
Finn radiusen
Radiusen til en tverrsnittsskive er \(r(x)=f(x)=1-x^2\).
Sett opp volumet
\(V=\pi\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2dx\).
Utvid kvadratet
\((1-x^2)^2=1-2x^2+x^4\).
Integrer
\(V=\pi[x-\frac23x^3+\frac15x^5]_{-1}^{1}\).
Forenkle
\[V=\frac{16\pi}{15}\]

Omdreiningslegemet har radius 1-x² og spisser ved x=±1.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1pi*Integral((1-x^2)^2,x,-1,1)

Resultat: \(16\pi/15\)

Tolkning: CAS bruker skivemetoden og gir eksakt volum.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, pi, integrate, expand, Rational, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
radius = 1 - x**2
integrand = expand(radius**2)
volume = simplify(pi*integrate(integrand, (x,-1,1)))
expected = Rational(16,15)*pi

print("Radiusfunksjon r(x) =", radius)
print("Kvadrert radius =", integrand)
print("Volumformel = pi * integral_{-1}^{1} r(x)^2 dx")
print("Eksakt volum =", volume)
print("Forventet volum =", expected)
print("Kontrollforskjell =", simplify(volume-expected))
print("Desimalverdi =", N(volume,12))

assert simplify(volume-expected) == 0

Kjørt utskriftRadiusfunksjon r(x) = 1 - x**2
Kvadrert radius = x**4 - 2*x**2 + 1
Volumformel = pi * integral_{-1}^{1} r(x)^2 dx
Eksakt volum = 16*pi/15
Forventet volum = 16*pi/15
Kontrollforskjell = 0
Desimalverdi = 3.35103216383

Fasit: \(\displaystyle V=\frac{16\pi}{15}\approx3{,}351\) kubikkenheter.

Vanlig feil: Å bruke \(\pi\int f(x)dx\) i stedet for å kvadrere radiusen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter skivemetoden, korrekt radiusfunksjon, riktige grenser og eksakt svar.

Del 1 / Oppgave 6aTrigonometriske ekstremalpunkter

Oppgave 6a

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=2\sin\!\left(\frac\pi2(x-1)\right)\), \(x\in[1,9]\). Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter.

Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Amplituden er 2 og perioden er 4. Toppunkter oppstår når sinusverdien er 1, og bunnpunkter når den er -1.

Finn amplituden
Faktoren 2 foran sinus gir maksimalverdi 2 og minimalverdi -2.
Finn toppbetingelsen
\(\sin u=1\) når \(u=\pi/2+2\pi k\).
Løs for x i toppbetingelsen
\(\frac\pi2(x-1)=\frac\pi2+2\pi k\Rightarrow x=2+4k\). På intervallet får vi \(x=2,6\).
Finn bunnbetingelsen
\(\sin u=-1\) når \(u=3\pi/2+2\pi k\).
Løs for x i bunnbetingelsen
\(x=4+4k\). På intervallet får vi \(x=4,8\).
Skriv punktene
Toppunkter: \((2,2)\), \((6,2)\). Bunnpunkter: \((4,-2)\), \((8,-2)\).

Grafen viser toppunkter, bunnpunkter, nullpunkter og linjen y=√3.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Extremum(2*sin(pi/2*(x-1)),1,9)

Resultat: Topper ved \(x=2,6\), bunner ved \(x=4,8\)

Tolkning: Graftegneren viser to hele perioder på intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, pi, diff, solve, Interval, S

x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(pi*(x-1)/2)
fprime = diff(f,x)
critical = solve(fprime, x)
candidates = [2,4,6,8]
values = [(v, f.subs(x,v)) for v in candidates]

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", fprime)
print("Relevante kritiske x-verdier =", candidates)
print("Funksjonsverdier =", values)
print("Toppunkter =", [(2,2),(6,2)])
print("Bunnpunkter =", [(4,-2),(8,-2)])
print("Endepunkter: f(1) =", f.subs(x,1), ", f(9) =", f.subs(x,9))

assert values == [(2,2),(4,-2),(6,2),(8,-2)]

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = 2*sin(pi*(x/2 - 1/2))
Derivert f'(x) = pi*cos(pi*(x/2 - 1/2))
Relevante kritiske x-verdier = [2, 4, 6, 8]
Funksjonsverdier = [(2, 2), (4, -2), (6, 2), (8, -2)]
Toppunkter = [(2, 2), (6, 2)]
Bunnpunkter = [(4, -2), (8, -2)]
Endepunkter: f(1) = 0 , f(9) = 0

Fasit: Toppunktene er \((2,2)\) og \((6,2)\). Bunnpunktene er \((4,-2)\) og \((8,-2)\).

Vanlig feil: Å glemme faseforskyvningen \(x-1\), slik at alle x-koordinatene forskyves.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av sinusens topp- og bunnverdier og at bare punkter i intervallet tas med.

Del 1 / Oppgave 6bNullpunkter til sinusfunksjon

Oppgave 6b

Oppgave: Bestem nullpunktene til \(f(x)=2\sin\!\left(\frac\pi2(x-1)\right)\) på \([1,9]\).

Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En sinusfunksjon er null når argumentet er et helt multiplum av \(\pi\).

Sett funksjonen lik null
\(2\sin(\frac\pi2(x-1))=0\).
Fjern faktoren 2
\(\sin(\frac\pi2(x-1))=0\).
Bruk nullbetingelsen
\(\frac\pi2(x-1)=k\pi\), der \(k\in\mathbb Z\).
Løs for x
\(x-1=2k\Rightarrow x=1+2k\).
Begrens til intervallet
For \(x\in[1,9]\) kan \(k=0,1,2,3,4\).
Skriv nullpunktene
\[(1,0),(3,0),(5,0),(7,0),(9,0)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solutions(2*sin(pi/2*(x-1))=0,x)

Resultat: \(x=1+2k\)

Tolkning: CAS gir den generelle nullpunktfamilien.

2Sequence(1+2k,k,0,4)

Resultat: \(1,3,5,7,9\)

Tolkning: Sekvenskommandoen avgrenser familien til intervallet [1,9].

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, pi, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(pi*(x-1)/2)
zeros = [1,3,5,7,9]
values = [simplify(f.subs(x,v)) for v in zeros]

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Generell nullpunktformel: x = 1 + 2*k")
print("Tillatte k-verdier på [1,9] =", [0,1,2,3,4])
print("Nullpunktenes x-koordinater =", zeros)
print("Kontrollverdier f(x) =", values)
print("Nullpunkter =", [(v,0) for v in zeros])

assert values == [0,0,0,0,0]

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = 2*sin(pi*(x/2 - 1/2))
Generell nullpunktformel: x = 1 + 2*k
Tillatte k-verdier på [1,9] = [0, 1, 2, 3, 4]
Nullpunktenes x-koordinater = [1, 3, 5, 7, 9]
Kontrollverdier f(x) = [0, 0, 0, 0, 0]
Nullpunkter = [(1, 0), (3, 0), (5, 0), (7, 0), (9, 0)]

Fasit: Nullpunktene er \((1,0)\), \((3,0)\), \((5,0)\), \((7,0)\) og \((9,0)\).

Vanlig feil: Å utelate endepunktene 1 og 9, selv om intervallet er lukket.

Sensorpunkt: Sensor ser etter generell nullpunktlikning og korrekt avgrensning til intervallet.

Del 1 / Oppgave 6cSkisse av sinusgraf

Oppgave 6c

Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f(x)=2\sin\!\left(\frac\pi2(x-1)\right)\) på \([1,9]\).

Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En presis skisse kan bygges fra amplitude, periode, midtlinje og de karakteristiske punktene fra del a og b.

Finn midtlinjen
Det er ikke noe konstantledd, så midtlinjen er \(y=0\).
Finn amplituden
Amplituden er 2.
Finn perioden
Vinkelkoeffisienten er \(\pi/2\), så perioden er \(T=2\pi/(\pi/2)=4\).
Plasser nullpunktene
Marker \(x=1,3,5,7,9\).
Plasser topper og bunner
Marker topper ved \((2,2),(6,2)\) og bunner ved \((4,-2),(8,-2)\).
Tegn jevn sinuskurve
Kurven starter i \((1,0)\) med positiv stigning og følger punktene gjennom to hele perioder.

Kontrollskisse av hele grafen på intervallet [1,9].

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Function(2*sin(pi/2*(x-1)),1,9)

Resultat: Sinuskurve med amplitude 2 og periode 4

Tolkning: Graftegneren skal vise intervallet fra 1 til 9 og y-verdier fra omtrent -2,5 til 2,5.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, pi, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(pi*(x-1)/2)
key_x = list(range(1,10))
key_values = [simplify(f.subs(x,v)) for v in key_x]
initial_slope = simplify(diff(f,x).subs(x,1))

print("Amplitude =", 2)
print("Midtlinje: y = 0")
print("Periode =", 4)
print("Karakteristiske x-verdier =", key_x)
print("Tilhørende f(x)-verdier =", key_values)
print("Startpunkt =", (1, f.subs(x,1)))
print("Stigning ved start =", initial_slope)
print("Sluttpunkt =", (9, f.subs(x,9)))

assert key_values == [0,2,0,-2,0,2,0,-2,0]

Kjørt utskriftAmplitude = 2
Midtlinje: y = 0
Periode = 4
Karakteristiske x-verdier = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Tilhørende f(x)-verdier = [0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0]
Startpunkt = (1, 0)
Stigning ved start = pi
Sluttpunkt = (9, 0)

Fasit: Grafen er en sinuskurve med amplitude 2, midtlinje \(y=0\), periode 4 og de karakteristiske punktene vist i figuren.

Vanlig feil: Å bruke perioden 2 i stedet for 4, eller å starte kurven på feil sted.

Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig skala, korrekt faseforskyvning og en kurve gjennom alle sentrale punkter.

Del 1 / Oppgave 6dTrigonometrisk likning

Oppgave 6d

Oppgave: Løs likningen \(f(x)=\sqrt3\) for \(x\in[1,9]\).

Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deler på amplituden og løser \(\sin u=\sqrt3/2\). I hver periode finnes to løsninger.

Sett inn funksjonen
\(2\sin(\frac\pi2(x-1))=\sqrt3\).
Del på 2
\(\sin(\frac\pi2(x-1))=\sqrt3/2\).
Skriv de to vinkelseriene
\(u=\pi/3+2\pi k\) eller \(u=2\pi/3+2\pi k\).
Løs første serie
\(x=1+\frac{2}{\pi}(\pi/3+2\pi k)=\frac53+4k\).
Løs andre serie
\(x=1+\frac{2}{\pi}(2\pi/3+2\pi k)=\frac73+4k\).
Begrens til intervallet
For \(k=0,1\) får vi \[x=\frac53,\frac73,\frac{17}3,\frac{19}3.\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(2*sin(pi/2*(x-1))=sqrt(3),x)

Resultat: \(x=5/3+4k\) eller \(x=7/3+4k\)

Tolkning: CAS gir de to generelle løsningsfamiliene.

2KeepIf(1<=x<=9,{5/3,7/3,17/3,19/3})

Resultat: \(5/3,7/3,17/3,19/3\)

Tolkning: Intervallkontrollen beholder de fire gyldige løsningene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, pi, sqrt, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(pi*(x-1)/2)
solutions = [
    simplify(5/3), simplify(7/3),
    simplify(17/3), simplify(19/3)
]
from sympy import Rational
solutions = [Rational(5,3), Rational(7,3), Rational(17,3), Rational(19,3)]
checks = [simplify(f.subs(x,v)) for v in solutions]

print("Likning: 2*sin(pi/2*(x-1)) = sqrt(3)")
print("Første løsningsserie: x = 5/3 + 4*k")
print("Andre løsningsserie: x = 7/3 + 4*k")
print("Løsninger på [1,9] =", solutions)
print("Kontrollverdier f(x) =", checks)
print("Målverdi =", sqrt(3))
print("Symbolske kontroller =", [simplify(v-sqrt(3)) for v in checks])

assert all(simplify(v-sqrt(3)) == 0 for v in checks)

Kjørt utskriftLikning: 2*sin(pi/2*(x-1)) = sqrt(3)
Første løsningsserie: x = 5/3 + 4*k
Andre løsningsserie: x = 7/3 + 4*k
Løsninger på [1,9] = [5/3, 7/3, 17/3, 19/3]
Kontrollverdier f(x) = [sqrt(3), sqrt(3), sqrt(3), sqrt(3)]
Målverdi = sqrt(3)
Symbolske kontroller = [0, 0, 0, 0]

Fasit: \(\displaystyle x\in\left\{\frac53,\frac73,\frac{17}3,\frac{19}3\right\}\).

Vanlig feil: Å ta med bare én av de to løsningene i hver periode, eller å glemme intervallet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter begge generelle vinkelserier, korrekt tilbakeføring til x og fire gyldige løsninger.

Del 1 / Oppgave 7aKulelikning og kvadratkomplettering

Oppgave 7a

Oppgave: Kuleflaten er gitt ved \(x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20=0\). Vis at sentrum er \(S(3,-2,4)\), og bestem radien.

Original poengangivelse: Oppgave 7 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kompletterer kvadratet i hver av de tre variablene og skriver likningen på standardform.

Kompletter x-leddene
\(x^2-6x=(x-3)^2-9\).
Kompletter y-leddene
\(y^2+4y=(y+2)^2-4\).
Kompletter z-leddene
\(z^2-8z=(z-4)^2-16\).
Sett inn i likningen
\((x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2-9-4-16-20=0\).
Flytt konstantene
\((x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=49\).
Les av sentrum og radius
Sentrum er \(S(3,-2,4)\), og \(r=\sqrt{49}=7\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Expand((x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2-49)

Resultat: \(x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20\)

Tolkning: Utvidingen bekrefter at standardformen er ekvivalent med den opprinnelige kulelikningen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, expand, simplify

x, y, z = symbols('x y z', real=True)
original = x**2-6*x+y**2+4*y+z**2-8*z-20
standard_left = (x-3)**2 + (y+2)**2 + (z-4)**2 - 49

print("Opprinnelig venstreside =", original)
print("Standardform venstreside =", standard_left)
print("Utvidet standardform =", expand(standard_left))
print("Symbolsk differanse =", simplify(original-standard_left))
print("Sentrum S =", (3,-2,4))
print("Radius^2 =", 49)
print("Radius =", 7)

assert simplify(original-standard_left) == 0

Kjørt utskriftOpprinnelig venstreside = x**2 - 6*x + y**2 + 4*y + z**2 - 8*z - 20
Standardform venstreside = (x - 3)**2 + (y + 2)**2 + (z - 4)**2 - 49
Utvidet standardform = x**2 - 6*x + y**2 + 4*y + z**2 - 8*z - 20
Symbolsk differanse = 0
Sentrum S = (3, -2, 4)
Radius^2 = 49
Radius = 7

Fasit: Sentrum er \(S(3,-2,4)\), og radien er \(7\).

Vanlig feil: Å miste fortegnet i y-koordinaten: \((y+2)^2\) gir sentrumskomponent -2.

Sensorpunkt: Sensor ser etter full kvadratkomplettering, standardform, sentrum og positiv radius.

Del 1 / Oppgave 7bAvstand fra punkt til plan

Oppgave 7b

Oppgave: Planet er \(6x-3y+2z-4=0\). Bestem avstanden fra sentrum \(S(3,-2,4)\) til planet.

Original poengangivelse: Oppgave 7 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker avstandsformelen fra punkt til plan. Normalvektoren er \((6,-3,2)\).

Skriv avstandsformelen
For planet \(Ax+By+Cz+D=0\) er \(d=|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}\).
Sett inn koeffisientene
\(A=6\), \(B=-3\), \(C=2\), \(D=-4\).
Sett inn punktet
Telleren blir \(|6\cdot3-3(-2)+2\cdot4-4|\).
Beregn telleren
\(|18+6+8-4|=28\).
Beregn nevneren
\(\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{49}=7\).
Finn avstanden
\[d=28/7=4\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Distance((3,-2,4),6x-3y+2z-4=0)

Resultat: \(4\)

Tolkning: GeoGebra beregner den korteste, vinkelrette avstanden.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import sqrt, Abs, simplify

S = (3,-2,4)
A, B, C, D = 6, -3, 2, -4
numerator = Abs(A*S[0] + B*S[1] + C*S[2] + D)
denominator = sqrt(A**2+B**2+C**2)
distance = simplify(numerator/denominator)

print("Punkt S =", S)
print("Plan: 6*x - 3*y + 2*z - 4 = 0")
print("Normalvektor =", (A,B,C))
print("Absolutt teller =", numerator)
print("Lengde av normalvektor =", denominator)
print("Avstand =", distance)
print("Kontroll: avstand < kuleradius 7 ->", bool(distance < 7))

assert distance == 4

Kjørt utskriftPunkt S = (3, -2, 4)
Plan: 6*x - 3*y + 2*z - 4 = 0
Normalvektor = (6, -3, 2)
Absolutt teller = 28
Lengde av normalvektor = 7
Avstand = 4
Kontroll: avstand < kuleradius 7 -> True

Fasit: Avstanden fra \(S\) til planet er \(4\).

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdien eller å bruke \(6^2-3^2+2^2\) i nevneren.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt avstandsformel, normalvektorlengde og eksakt verdi.

Del 1 / Oppgave 7cSirkel som plansnitt av kule

Oppgave 7c

Oppgave: Skjæringen mellom kuleflaten og planet er en sirkel. Bestem arealet av sirkelen.

Original poengangivelse: Oppgave 7 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kuleradien, avstanden fra sentrum til planet og radiusen i skjæringssirkelen danner en rettvinklet trekant.

Samle kjente størrelser
Kuleradien er \(R=7\), og avstanden til planet er \(d=4\).
Innfør snittradiusen
La \(r\) være radiusen i skjæringssirkelen.
Bruk Pytagoras
\(r^2+d^2=R^2\).
Finn r²
\(r^2=7^2-4^2=49-16=33\).
Finn radiusen
\(r=\sqrt{33}\).
Beregn arealet
\[A=\pi r^2=33\pi\]

Planet skjærer kulen fordi avstanden 4 er mindre enn kuleradien 7.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Sqrt(7^2-4^2)

Resultat: \(\sqrt{33}\)

Tolkning: CAS finner radiusen i plansnittet.

2pi*(7^2-4^2)

Resultat: \(33\pi\)

Tolkning: Arealet kan beregnes direkte fra \(r^2=R^2-d^2\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import sqrt, pi, simplify, N

R = 7
d = 4
r_squared = R**2-d**2
r = sqrt(r_squared)
area = simplify(pi*r_squared)

print("Kuleradius R =", R)
print("Avstand fra sentrum til plan d =", d)
print("Snittradius^2 = R^2 - d^2 =", r_squared)
print("Snittradius =", r)
print("Sirkelareal =", area)
print("Desimalverdi av arealet =", N(area,12))
print("Kontroll av Pytagoras =", simplify(r**2+d**2-R**2))

assert r_squared == 33
assert simplify(r**2+d**2-R**2) == 0

Kjørt utskriftKuleradius R = 7
Avstand fra sentrum til plan d = 4
Snittradius^2 = R^2 - d^2 = 33
Snittradius = sqrt(33)
Sirkelareal = 33*pi
Desimalverdi av arealet = 103.672557568
Kontroll av Pytagoras = 0

Fasit: Radiusen er \(\sqrt{33}\), og sirkelarealet er \(33\pi\).

Vanlig feil: Å bruke kuleradien 7 direkte i sirkelarealet uten å korrigere for avstanden til planet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter den rettvinklede trekanten, \(r^2=R^2-d^2\), og arealet \(\pi r^2\).

Del 1 / Oppgave 8aKonvergens av geometrisk rekke

Oppgave 8a

Oppgave: Den uendelige geometriske rekken er \(S(x)=1-2x+4x^2-8x^3+\cdots\). Bestem konvergensområdet.

Original poengangivelse: Oppgave 8 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Rekken har første ledd 1 og kvotient \(-2x\). En uendelig geometrisk rekke konvergerer akkurat når absoluttverdien av kvotienten er mindre enn 1.

Identifiser første ledd
\(a_1=1\).
Identifiser kvotienten
Fra ett ledd til det neste multipliseres det med \(-2x\), altså \(k=-2x\).
Bruk konvergenskravet
\(|k|<1\).
Sett inn kvotienten
\(|-2x|<1\Rightarrow2|x|<1\).
Løs ulikheten
\(|x|<1/2\).
Skriv intervallet
\[-\frac12

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(abs(-2x)<1,x)

Resultat: \(-1/2

Tolkning: CAS gir det åpne intervallet som sikrer geometrisk konvergens.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Abs, solve_univariate_inequality

x = symbols('x', real=True)
condition = Abs(-2*x) < 1
solution = solve_univariate_inequality(condition, x)

print("Første ledd a_1 = 1")
print("Kvotient k = -2*x")
print("Konvergenskrav =", condition)
print("Løsningsmengde =", solution)
print("Ved x=-1/2 er |k| =", abs(-2*(-0.5)))
print("Ved x=1/2 er |k| =", abs(-2*(0.5)))
print("Endepunktene gir derfor ikke konvergens")

assert str(solution) == "(-1/2 < x) & (x < 1/2)"

Kjørt utskriftFørste ledd a_1 = 1
Kvotient k = -2*x
Konvergenskrav = 2*Abs(x) < 1
Løsningsmengde = (-1/2 < x) & (x < 1/2)
Ved x=-1/2 er |k| = 1.0
Ved x=1/2 er |k| = 1.0
Endepunktene gir derfor ikke konvergens

Fasit: Rekken konvergerer for \(\displaystyle-\frac12

Vanlig feil: Å bruke \(k<1\) i stedet for \(|k|<1\), eller å ta med endepunktene.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvotient, absoluttverdikrav og åpent intervall.

Del 1 / Oppgave 8bVerdimengde til geometrisk sum

Oppgave 8b

Oppgave: For hvilke verdier av \(a\) har likningen \(S(x)=a\) en løsning?

Original poengangivelse: Oppgave 8 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner sumfunksjonen i konvergensområdet og bestemmer deretter verdimengden dens.

Finn sumfunksjonen
\(S(x)=\frac{a_1}{1-k}=\frac1{1-(-2x)}=\frac1{1+2x}\).
Bruk domenet
Vi må fortsatt ha \(-1/2
Analyser nevneren
Når \(x\in(-1/2,1/2)\), ligger \(1+2x\) i intervallet \((0,2)\).
Finn verdimengden
Resiprokverdien av et tall i \((0,2)\) ligger i \((1/2,\infty)\).
Kontroller algebraisk
Fra \(1/(1+2x)=a\) får vi \(x=(1-a)/(2a)\); denne ligger i domenet akkurat når \(a>1/2\).
Konkluder
\[a>\frac12\]

Sumfunksjonen antar alle verdier større enn 1/2, men aldri 1/2.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Sum((-2x)^n,n,0,infinity)

Resultat: \(1/(1+2x)\)

Tolkning: Formelen gjelder bare når \(|-2x|<1\).

2LimitAbove(1/(1+2x),-1/2)

Resultat: \(+\infty\)

Tolkning: Ved venstre rand vokser sumfunksjonen uten grense.

3LimitBelow(1/(1+2x),1/2)

Resultat: \(1/2\)

Tolkning: Ved høyre rand nærmer funksjonen seg 1/2 ovenfra, men når aldri verdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, simplify, solve, Rational

x, a = symbols('x a', real=True)
S = 1/(1+2*x)
x_candidate = solve(S-a, x)[0]

print("Sumfunksjon S(x) =", S)
print("Gyldig domene: -1/2 < x < 1/2")
print("Løsning av S(x)=a gir x =", x_candidate)
print("Når x nærmer seg -1/2 fra høyre, går S(x) mot +uendelig")
print("Når x nærmer seg 1/2 fra venstre, går S(x) mot 1/2 ovenfra")
print("Verdimengde: (1/2, uendelig)")
print("Tillatte a-verdier: a > 1/2")
print("Kontroll for a=1: x =", simplify(x_candidate.subs(a,1)))
print("Kontroll for a=2: x =", simplify(x_candidate.subs(a,2)))

assert simplify(x_candidate-(1-a)/(2*a)) == 0

Kjørt utskriftSumfunksjon S(x) = 1/(2*x + 1)
Gyldig domene: -1/2 < x < 1/2
Løsning av S(x)=a gir x = (1 - a)/(2*a)
Når x nærmer seg -1/2 fra høyre, går S(x) mot +uendelig
Når x nærmer seg 1/2 fra venstre, går S(x) mot 1/2 ovenfra
Verdimengde: (1/2, uendelig)
Tillatte a-verdier: a > 1/2
Kontroll for a=1: x = 0
Kontroll for a=2: x = -1/4

Fasit: Likningen har løsning akkurat når \(\displaystyle a>\frac12\).

Vanlig feil: Å glemme konvergensområdet og derfor tillate negative a-verdier eller \(a=1/2\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter sumfunksjonen, korrekt verdimengde og en tydelig konklusjon om \(a\).

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 / Oppgave 1aGraftegning og skjæringspunkter

Oppgave 1a

Oppgave: Funksjonene er \(f(x)=-x^2+3x+3\) og \(g(x)=x^2+1\). Bruk graftegner til å tegne grafene i samme koordinatsystem.

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi beskriver begge parablene, finner skjæringspunktene og velger et vindu som viser hele det avgrensede området.

Identifiser grafene
\(f\) er en nedovervendt parabel, mens \(g\) er en oppovervendt parabel.
Finn skjæringslikningen
\(-x^2+3x+3=x^2+1\).
Samle ledd
\(2x^2-3x-2=0\).
Løs likningen
\((2x+1)(x-2)=0\), så \(x=-1/2\) eller \(x=2\).
Finn y-koordinatene
Ved \(x=-1/2\) er \(y=5/4\), og ved \(x=2\) er \(y=5\).
Tegn med egnet vindu
Et vindu omtrent \(-1\le x\le2{,}5\), \(0\le y\le6\) viser begge grafene og det avgrensede flatestykket.

Grafene avgrenser et flatestykke mellom x=-1/2 og x=2.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1f(x)=-x^2+3x+3

Resultat: Nedovervendt parabel

Tolkning: Grafen har toppunkt og åpner nedover.

2g(x)=x^2+1

Resultat: Oppovervendt parabel

Tolkning: Grafen har bunnpunkt \((0,1)\).

3Intersect(f,g)

Resultat: \((-1/2,5/4)\) og \((2,5)\)

Tolkning: Skjæringspunktene avgrenser området.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = -x**2 + 3*x + 3
g = x**2 + 1
intersections_x = solve(Eq(f,g), x)
points = [(v, simplify(f.subs(x,v))) for v in intersections_x]

print("f(x) =", f)
print("g(x) =", g)
print("Skjæringslikning f(x)=g(x)")
print("Løsninger for x =", intersections_x)
print("Skjæringspunkter =", points)
print("Kontroll f(0)-g(0) =", simplify(f.subs(x,0)-g.subs(x,0)))
print("Mellom skjæringspunktene ligger f over g")

assert intersections_x == [Rational(-1,2),2]
assert points == [(Rational(-1,2),Rational(5,4)),(2,5)]

Kjørt utskriftf(x) = -x**2 + 3*x + 3
g(x) = x**2 + 1
Skjæringslikning f(x)=g(x)
Løsninger for x = [-1/2, 2]
Skjæringspunkter = [(-1/2, 5/4), (2, 5)]
Kontroll f(0)-g(0) = 2
Mellom skjæringspunktene ligger f over g

Fasit: Grafene skjærer hverandre i \((-1/2,5/4)\) og \((2,5)\). Mellom disse punktene ligger \(f\) over \(g\).

Vanlig feil: Å tegne grafene uten å vise begge skjæringspunktene eller uten et egnet koordinatvindu.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte grafer, begge skjæringspunktene og tydelig markering av det avgrensede området.

Del 2 / Oppgave 1bAreal mellom to grafer med CAS

Oppgave 1b

Oppgave: Grafene til \(f\) og \(g\) avgrenser et flatestykke med areal \(A\). Bestem \(A\) ved hjelp av CAS.

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer øvre funksjon minus nedre funksjon mellom skjæringspunktene fra del a.

Bruk integrasjonsgrensene
\(a=-1/2\) og \(b=2\).
Finn høydeforskjellen
\(f(x)-g(x)=-2x^2+3x+2\).
Kontroller fortegnet
For \(x=0\) er differansen 2, så \(f\) ligger over \(g\) i området.
Sett opp arealet
\(A=\int_{-1/2}^{2}(-2x^2+3x+2)dx\).
Evaluer integralet i CAS
CAS gir \(125/24\).
Oppgi eksakt og desimalt
\[A=\frac{125}{24}\approx5{,}2083\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral((-x^2+3x+3)-(x^2+1),x,-1/2,2)

Resultat: \(125/24\)

Tolkning: CAS integrerer den positive høydeforskjellen mellom grafene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, Rational, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
f = -x**2+3*x+3
g = x**2+1
a = Rational(-1,2)
b = 2
difference = simplify(f-g)
area = integrate(difference, (x,a,b))
expected = Rational(125,24)

print("Integrasjonsgrenser a, b =", (a,b))
print("f(x)-g(x) =", difference)
print("Kontroll ved x=0: f-g =", difference.subs(x,0))
print("Eksakt areal A =", area)
print("Forventet verdi =", expected)
print("Symbolsk differanse =", simplify(area-expected))
print("Desimalverdi =", N(area,12))

assert simplify(area-expected) == 0

Kjørt utskriftIntegrasjonsgrenser a, b = (-1/2, 2)
f(x)-g(x) = -2*x**2 + 3*x + 2
Kontroll ved x=0: f-g = 2
Eksakt areal A = 125/24
Forventet verdi = 125/24
Symbolsk differanse = 0
Desimalverdi = 5.20833333333

Fasit: \(\displaystyle A=\frac{125}{24}\approx5{,}2083\).

Vanlig feil: Å integrere \(g-f\) og få et negativt resultat, eller å bruke feil skjæringsgrenser.

Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig funksjonsrekkefølge, korrekt CAS-integral og eksakt verdi.

Del 2 / Oppgave 1cTyngdepunkt ved integralmomenter

Oppgave 1c

Oppgave: Tyngdepunktet er \(T=(M/A,N/A)\), der de oppgitte integralene definerer \(M\) og \(N\). Bestem koordinatene til \(T\) ved hjelp av CAS.

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker de samme grensene og beregner de to momentene nøyaktig før vi deler på arealet.

Bruk tidligere verdier
\(a=-1/2\), \(b=2\) og \(A=125/24\).
Beregn M
\(M=\int_{-1/2}^{2}x(f-g)dx=125/32\).
Beregn N
\(N=\frac12\int_{-1/2}^{2}(f^2-g^2)dx=3125/192\).
Finn x-koordinaten
\(\bar x=M/A=(125/32)/(125/24)=3/4\).
Finn y-koordinaten
\(\bar y=N/A=(3125/192)/(125/24)=25/8\).
Skriv tyngdepunktet
\[T=\left(\frac34,\frac{25}{8}\right)\]

Tyngdepunktet T=(0,75,3,125) ligger inne i flatestykket.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1M=Integral(x*(f(x)-g(x)),x,-1/2,2)

Resultat: \(125/32\)

Tolkning: Første moment gir x-koordinaten når det deles på A.

2N=1/2*Integral(f(x)^2-g(x)^2,x,-1/2,2)

Resultat: \(3125/192\)

Tolkning: Andre moment gir y-koordinaten når det deles på A.

3{M/A,N/A}

Resultat: \(\{3/4,25/8\}\)

Tolkning: CAS forenkler koordinatene eksakt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, Rational, simplify, N as Num

x = symbols('x', real=True)
f = -x**2+3*x+3
g = x**2+1
a, b = Rational(-1,2), 2
A = integrate(f-g, (x,a,b))
M = integrate(x*(f-g), (x,a,b))
N_moment = Rational(1,2)*integrate(f**2-g**2, (x,a,b))
T = (simplify(M/A), simplify(N_moment/A))

print("A =", A)
print("M =", M)
print("N =", N_moment)
print("M/A =", T[0])
print("N/A =", T[1])
print("Tyngdepunkt T =", T)
print("Desimalkoordinater =", (Num(T[0],10),Num(T[1],10)))
print("Kontroll: x-koordinaten ligger mellom grensene ->", bool(a < T[0] < b))

assert A == Rational(125,24)
assert M == Rational(125,32)
assert N_moment == Rational(3125,192)
assert T == (Rational(3,4),Rational(25,8))

Kjørt utskriftA = 125/24
M = 125/32
N = 3125/192
M/A = 3/4
N/A = 25/8
Tyngdepunkt T = (3/4, 25/8)
Desimalkoordinater = (0.7500000000, 3.125000000)
Kontroll: x-koordinaten ligger mellom grensene -> True

Fasit: \(\displaystyle T=\left(\frac34,\frac{25}{8}\right)=(0{,}75,3{,}125)\).

Vanlig feil: Å bytte om M og N, eller å glemme faktoren \(1/2\) i uttrykket for N.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av de oppgitte momentformlene og eksakt divisjon med A.

Del 2 / Oppgave 2aAreal av trekant i rommet

Oppgave 2a

Oppgave: Punktene er \(A(0,0,0)\), \(B(1,t+2,3t)\) og \(C(0,4,t+1)\). Bestem arealet av trekanten \(ABC\) for \(t=2\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Arealet av en trekant i rommet er halvparten av lengden til kryssproduktet av to sidevektorer.

Sett inn t=2
\(B=(1,4,6)\) og \(C=(0,4,3)\).
Finn sidevektorene
Siden \(A=(0,0,0)\), er \(\overrightarrow{AB}=(1,4,6)\) og \(\overrightarrow{AC}=(0,4,3)\).
Beregn kryssproduktet
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-12,-3,4)\).
Finn lengden
\(\sqrt{(-12)^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{169}=13\).
Del på 2
Trekantarealet er halvparten av parallellogramarealet.
Konkluder
\[A_{ABC}=\frac{13}{2}=6{,}5\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Length(Cross((1,4,6),(0,4,3)))/2

Resultat: \(13/2\)

Tolkning: CAS beregner kryssproduktets lengde og halverer den.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, sqrt, simplify, Rational

A = Matrix([0,0,0])
B = Matrix([1,4,6])
C = Matrix([0,4,3])
AB = B-A
AC = C-A
cross = AB.cross(AC)
length = sqrt(cross.dot(cross))
area = simplify(length/2)

print("A =", tuple(A))
print("B =", tuple(B))
print("C =", tuple(C))
print("Vektor AB =", tuple(AB))
print("Vektor AC =", tuple(AC))
print("Kryssprodukt AB x AC =", tuple(cross))
print("Lengde av kryssprodukt =", length)
print("Trekantareal =", area)

assert cross == Matrix([-12,-3,4])
assert area == Rational(13,2)

Kjørt utskriftA = (0, 0, 0)
B = (1, 4, 6)
C = (0, 4, 3)
Vektor AB = (1, 4, 6)
Vektor AC = (0, 4, 3)
Kryssprodukt AB x AC = (-12, -3, 4)
Lengde av kryssprodukt = 13
Trekantareal = 13/2

Fasit: Arealet av trekanten \(ABC\) er \(\displaystyle\frac{13}{2}=6{,}5\).

Vanlig feil: Å bruke lengden av kryssproduktet direkte uten å dele på 2.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte sidevektorer, kryssprodukt og halvparten av parallellogramarealet.

Del 2 / Oppgave 2bParameterlikning for trekantareal

Oppgave 2b

Oppgave: Bruk CAS til å bestemme \(t\) slik at arealet av trekanten \(ABC\) blir 6, for \(0\le t\le10\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker kryssproduktets norm som funksjon av t, setter halvparten av normen lik 6 og løser den resulterende fjerdegradslikningen numerisk.

Finn sidevektorene
\(\overrightarrow{AB}=(1,t+2,3t)\) og \(\overrightarrow{AC}=(0,4,t+1)\).
Beregn kryssproduktet
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(t^2-9t+2,-t-1,4)\).
Kvadrer lengden
\(\|AB\times AC\|^2=t^4-18t^3+86t^2-34t+21\).
Sett arealet lik 6
\(\frac12\sqrt{\cdots}=6\Rightarrow t^4-18t^3+86t^2-34t-123=0\).
Løs i CAS
Likningen har fire reelle røtter, men den negative roten forkastes av domenet.
Oppgi gyldige løsninger
\[t\approx1{,}8003,\quad7{,}8462,\quad9{,}2907\]

Den horisontale linjen areal=6 skjærer arealfunksjonen tre ganger i domenet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(sqrt((t^2-9t+2)^2+(t+1)^2+16)/2=6,t)

Resultat: \(t\approx-0.9372,1.8003,7.8462,9.2907\)

Tolkning: Domenet \(0\le t\le10\) fjerner den negative roten.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Matrix, expand, nroots, N

t = symbols('t', real=True)
AB = Matrix([1,t+2,3*t])
AC = Matrix([0,4,t+1])
cross = AB.cross(AC)
norm_squared = expand(cross.dot(cross))
polynomial = expand(norm_squared-144)
all_roots = nroots(polynomial, n=15, maxsteps=100)
real_roots = sorted(float(root.as_real_imag()[0]) for root in all_roots if abs(float(root.as_real_imag()[1])) < 1e-10)
valid_roots = [root for root in real_roots if 0 <= root <= 10]

print("AB x AC =", cross)
print("Kvadrert lengde =", norm_squared)
print("Likning etter kvadrering =", polynomial, "= 0")
print("Alle reelle røtter =", [round(v,12) for v in real_roots])
print("Gyldige røtter på [0,10] =", [round(v,12) for v in valid_roots])
for value in valid_roots:
    area = 0.5*float(norm_squared.subs(t,value))**0.5
    print(f"Kontroll t={value:.12f}: areal={area:.12f}")

assert len(valid_roots) == 3
assert all(abs(0.5*float(norm_squared.subs(t,v))**0.5-6) < 1e-8 for v in valid_roots)

Kjørt utskriftAB x AC = Matrix([[-12*t + (t + 1)*(t + 2)], [-t - 1], [4]])
Kvadrert lengde = t**4 - 18*t**3 + 86*t**2 - 34*t + 21
Likning etter kvadrering = t**4 - 18*t**3 + 86*t**2 - 34*t - 123 = 0
Alle reelle røtter = [-0.937235915628, 1.800309750982, 7.84619081624, 9.290735348406]
Gyldige røtter på [0,10] = [1.800309750982, 7.84619081624, 9.290735348406]
Kontroll t=1.800309750982: areal=6.000000000000
Kontroll t=7.846190816240: areal=6.000000000000
Kontroll t=9.290735348406: areal=6.000000000000

Fasit: \(t\approx1{,}8003\), \(t\approx7{,}8462\) eller \(t\approx9{,}2907\).

Vanlig feil: Å oppgi den negative CAS-roten, eller å anta at likningen bare kan ha én løsning.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt arealuttrykk, alle CAS-røtter og domenekontroll.

Del 2 / Oppgave 2cMaksimering av pyramidevolum

Oppgave 2c

Oppgave: Punktet \(D=(t-3,8,1)\). Bestem \(t\) slik at volumet av pyramiden \(ABCD\) blir størst mulig.

Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Siden A er origo, er seks ganger det orienterte volumet determinanten av kolonnene B, C og D. Vi maksimerer absoluttverdien på det lukkede intervallet.

Sett opp determinanten
\(\det(B,C,D)=t^3-12t^2+21t-10\).
Faktoriser
\(\det(B,C,D)=(t-10)(t-1)^2\).
Skriv volumet på domenet
For \(0\le t\le10\) er determinanten ikke-positiv, så \(V(t)=\frac16(10-t)(t-1)^2\).
Deriver
\(V\prime(t)=\frac16(t-1)(21-3t)\).
Finn kandidater
Kritiske punkter er \(t=1\) og \(t=7\), sammen med endepunktene 0 og 10.
Sammenlign volumene
\(V(0)=5/3\), \(V(1)=0\), \(V(7)=18\), \(V(10)=0\). Maksimum fås ved \(t=7\).

Volumfunksjonen har sitt globale maksimum V=18 ved t=7.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Factor(Determinant({B,C,D}))

Resultat: \((t-10)(t-1)^2\)

Tolkning: Faktoriseringen gjør fortegnet på intervallet tydelig.

2Extremum((10-t)(t-1)^2/6,0,10)

Resultat: Maksimum ved \((7,18)\)

Tolkning: Graf/CAS bekrefter globalt maksimum på det lukkede intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Matrix, factor, diff, solve, simplify, Rational

t = symbols('t', real=True)
B = Matrix([1,t+2,3*t])
C = Matrix([0,4,t+1])
D = Matrix([t-3,8,1])
determinant = simplify(Matrix.hstack(B,C,D).det())
factored = factor(determinant)
volume = simplify((10-t)*(t-1)**2/6)
derivative = factor(diff(volume,t))
critical = solve(diff(volume,t),t)
candidates = [0,1,7,10]
values = [(v,simplify(volume.subs(t,v))) for v in candidates]

print("Determinant =", determinant)
print("Faktorisert determinant =", factored)
print("Volumfunksjon på [0,10] =", volume)
print("Derivert volumfunksjon =", derivative)
print("Kritiske punkter =", critical)
print("Kandidatverdier (t,V) =", values)
print("Største volum =", max(v for _,v in values))
print("Maksimum oppnås ved t = 7")

assert factored == (t-10)*(t-1)**2
assert values[2] == (7,18)

Kjørt utskriftDeterminant = t**3 - 12*t**2 + 21*t - 10
Faktorisert determinant = (t - 10)*(t - 1)**2
Volumfunksjon på [0,10] = (10 - t)*(t - 1)**2/6
Derivert volumfunksjon = -(t - 7)*(t - 1)/2
Kritiske punkter = [1, 7]
Kandidatverdier (t,V) = [(0, 5/3), (1, 0), (7, 18), (10, 0)]
Største volum = 18
Maksimum oppnås ved t = 7

Fasit: Volumet blir størst når \(t=7\). Maksimalvolumet er \(18\) volumenheter.

Vanlig feil: Å maksimere den orienterte determinanten uten absoluttverdi, eller å glemme endepunktene.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt determinantformel, absolutt volum, kritiske punkter og global sammenligning.

Del 2 / Oppgave 3aModellering med differensiallikning

Oppgave 3a

Oppgave: I en by med 12 000 innbyggere er vekstfarten i antall smittede proporsjonal med antall som ennå ikke er smittet. Sett opp en differensiallikning for antall smittede \(y(t)\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Antall ikke-smittede er totalbefolkningen minus antall smittede. Proporsjonalitet med dette antallet gir en lineær førsteordens modell.

Definer y
La \(y(t)\) være antall smittede t uker etter at sykdommen ble oppdaget.
Finn antall ikke-smittede
Byen har 12 000 innbyggere, så antall ikke-smittede er \(12000-y(t)\).
Tolk vekstfarten
Vekstfarten er \(y\prime(t)\).
Bruk proporsjonaliteten
\(y\prime(t)=k(12000-y(t))\).
Angi tegn for k
For en sykdom som sprer seg, er \(k>0\).
Kontroller enheten
Hvis t måles i uker, har k enhet per uke.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1y\prime(t)=k*(12000-y(t))

Resultat: Differensiallikning for smittespredning

Tolkning: Vekstfarten går mot null når alle 12 000 er smittet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Function, Eq, diff

t = symbols('t', nonnegative=True)
k = symbols('k', positive=True)
y = Function('y')
not_infected = 12000-y(t)
model = Eq(diff(y(t),t), k*not_infected)

print("y(t) = antall smittede etter t uker")
print("Totalt innbyggertall = 12000")
print("Antall ikke-smittede =", not_infected)
print("Proporsjonalitetskonstant k > 0")
print("Differensiallikning =", model)
print("Ved y=12000 blir høyresiden =", model.rhs.subs(y(t),12000))
print("Ved y<12000 og k>0 er vekstfarten positiv")

assert model.rhs.subs(y(t),12000) == 0

Kjørt utskrifty(t) = antall smittede etter t uker
Totalt innbyggertall = 12000
Antall ikke-smittede = 12000 - y(t)
Proporsjonalitetskonstant k > 0
Differensiallikning = Eq(Derivative(y(t), t), k*(12000 - y(t)))
Ved y=12000 blir høyresiden = 0
Ved y<12000 og k>0 er vekstfarten positiv

Fasit: \(\displaystyle y\prime(t)=k\bigl(12000-y(t)\bigr)\), der \(k>0\).

Vanlig feil: Å bruke \(y\prime=ky\), som gjør veksten proporsjonal med de allerede smittede i stedet for de ikke-smittede.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt uttrykk for ikke-smittede og en tydelig definisjon av variabler og parameter.

Del 2 / Oppgave 3bLøsning av lineær differensiallikning

Oppgave 3b

Oppgave: Da sykdommen ble oppdaget, var 100 personer smittet. Vis at \(y(t)=12000-11900e^{-kt}\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser differensiallikningen og bruker initialbetingelsen \(y(0)=100\).

Omskriv med restpopulasjonen
Sett \(u(t)=12000-y(t)\). Da er \(u\prime=-y\prime\).
Finn likningen for u
Fra \(y\prime=ku\) får vi \(u\prime=-ku\).
Løs den eksponentielle likningen
\(u(t)=Ce^{-kt}\).
Gå tilbake til y
\(y(t)=12000-Ce^{-kt}\).
Bruk y(0)=100
\(100=12000-C\Rightarrow C=11900\).
Skriv løsningen
\[y(t)=12000-11900e^{-kt}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1SolveODE(y\prime=k*(12000-y),y(0)=100)

Resultat: \(y=12000-11900e^{-kt}\)

Tolkning: CAS løser både differensiallikningen og initialbetingelsen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, exp, diff, simplify

t, k = symbols('t k', positive=True)
model = 12000-11900*exp(-k*t)
residual = simplify(diff(model,t)-k*(12000-model))
initial = simplify(model.subs(t,0))
limit_level = 12000

print("Foreslått løsning y(t) =", model)
print("Derivert y'(t) =", diff(model,t))
print("Høyreside k*(12000-y) =", simplify(k*(12000-model)))
print("Residual =", residual)
print("Initialverdi y(0) =", initial)
print("Langtidsnivå =", limit_level)
print("12000-y(t) =", simplify(12000-model))

assert residual == 0
assert initial == 100

Kjørt utskriftForeslått løsning y(t) = 12000 - 11900*exp(-k*t)
Derivert y'(t) = 11900*k*exp(-k*t)
Høyreside k*(12000-y) = 11900*k*exp(-k*t)
Residual = 0
Initialverdi y(0) = 100
Langtidsnivå = 12000
12000-y(t) = 11900*exp(-k*t)

Fasit: \(\displaystyle y(t)=12000-11900e^{-kt}\).

Vanlig feil: Å få fortegnet i eksponenten positivt, som ville gi en ubegrenset og fysisk urimelig løsning.

Sensorpunkt: Sensor ser etter løsningsmetode, korrekt initialkonstant og verifikasjon mot modellen.

Del 2 / Oppgave 3cBestemmelse av modellparameter

Oppgave 3c

Oppgave: Etter 10 uker var 4 000 personer smittet. Bruk dette til å bestemme \(k\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(t=10\) og \(y=4000\) inn i den bestemte løsningen og isolerer k med logaritmer.

Sett inn data
\(4000=12000-11900e^{-10k}\).
Isoler eksponentialleddet
\(11900e^{-10k}=8000\).
Del på 11900
\(e^{-10k}=8000/11900=80/119\).
Ta naturlig logaritme
\(-10k=\ln(80/119)\).
Isoler k
\(k=-\frac1{10}\ln(80/119)=\frac1{10}\ln(119/80)\).
Beregn
\[k\approx0{,}0397097\ \text{per uke}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(4000=12000-11900*exp(-10k),k)

Resultat: \(k=\ln(119/80)/10\)

Tolkning: CAS gir en positiv proporsjonalitetskonstant.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import log, Rational, N, exp, simplify

k = log(Rational(119,80))/10
check = simplify(12000-11900*exp(-10*k))

print("Eksakt k =", k)
print("Alternativ form = -log(80/119)/10")
print("Numerisk k =", N(k,15))
print("Enhet: per uke")
print("Kontroll e^(-10k) =", simplify(exp(-10*k)))
print("Kontroll y(10) =", check)
print("Avvik fra 4000 =", simplify(check-4000))

assert simplify(exp(-10*k)-Rational(80,119)) == 0
assert check == 4000

Kjørt utskriftEksakt k = log(119/80)/10
Alternativ form = -log(80/119)/10
Numerisk k = 0.0397096858437648
Enhet: per uke
Kontroll e^(-10k) = 80/119
Kontroll y(10) = 4000
Avvik fra 4000 = 0

Fasit: \(\displaystyle k=\frac1{10}\ln\!\left(\frac{119}{80}\right)\approx0{,}03971\) per uke.

Vanlig feil: Å miste minusfortegnet og få en negativ k, eller å bruke tierlogaritme uten korrekt omforming.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting, logaritmeregning, positiv parameter og passende enhet.

Del 2 / Oppgave 3dTidspunkt fra eksponentiell modell

Oppgave 3d

Oppgave: Ved hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerne i byen smittet?

Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Halvparten av 12 000 er 6 000. Vi setter modellen lik 6 000 og bruker den bestemte k-verdien.

Sett målverdien
\(y(t)=6000\).
Sett inn modellen
\(6000=12000-11900e^{-kt}\).
Isoler eksponentialleddet
\(e^{-kt}=6000/11900=60/119\).
Ta logaritmen
\(-kt=\ln(60/119)\).
Isoler t
\(t=\ln(119/60)/k\).
Sett inn k og beregn
\[t\approx17{,}245\ \text{uker}\]

Modellen passerer 6000 smittede etter omtrent 17,24 uker.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(6000=12000-11900*exp(-k*t),t)

Resultat: \(t=\ln(119/60)/k\)

Tolkning: Etter innsetting av k blir tidspunktet omtrent 17,24 uker.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import log, Rational, exp, simplify, N

k = log(Rational(119,80))/10
t_half = log(Rational(119,60))/k
y_half = simplify(12000-11900*exp(-k*t_half))

print("k =", k)
print("Eksakt tidspunkt t =", t_half)
print("Numerisk tidspunkt =", N(t_half,15), "uker")
print("Kontroll e^(-k*t) =", simplify(exp(-k*t_half)))
print("Kontroll y(t) =", y_half)
print("Halvparten av 12000 =", 6000)
print("Avvik =", simplify(y_half-6000))

assert y_half == 6000
assert abs(float(t_half)-17.2446322941) < 1e-9

Kjørt utskriftk = log(119/80)/10
Eksakt tidspunkt t = 10*log(119/60)/log(119/80)
Numerisk tidspunkt = 17.2446322940868 uker
Kontroll e^(-k*t) = 60/119
Kontroll y(t) = 6000
Halvparten av 12000 = 6000
Avvik = 0

Fasit: Halvparten var smittet etter omtrent \(17{,}24\) uker.

Vanlig feil: Å sette halvparten lik 4 000 eller å bruke t=10 fra forrige del uten å løse en ny likning.

Sensorpunkt: Sensor ser etter målverdien 6 000, korrekt isolering av eksponentialleddet og fornuftig avrunding.

Del 2 / Oppgave 4aInduksjonsbevis

Oppgave 4a

Oppgave: Femkanttallene oppfyller \(P_{n+1}=P_n+3n+1\), \(P_1=1\). Vis ved induksjon at \(P_n=(3n^2-n)/2\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et induksjonsbevis består av et startsteg, en induksjonsantakelse og et overgangssteg fra n til n+1.

Startsteg n=1
Formelen gir \((3\cdot1^2-1)/2=1=P_1\).
Induksjonsantakelse
Anta at \(P_n=(3n^2-n)/2\) for et bestemt \(n\ge1\).
Bruk rekursjonen
\(P_{n+1}=P_n+3n+1\).
Sett inn antakelsen
\(P_{n+1}=\frac{3n^2-n}{2}+3n+1\).
Forenkle
\(P_{n+1}=\frac{3n^2+5n+2}{2}\).
Sammenlign med ønsket form
\(\frac{3(n+1)^2-(n+1)}2=\frac{3n^2+5n+2}{2}\). Dermed gjelder formelen for \(n+1\), og induksjonen er fullført.

Formelen gir følgen 1, 5, 12, 22, 35, ...

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Simplify((3n^2-n)/2+3n+1-(3(n+1)^2-(n+1))/2)

Resultat: \(0\)

Tolkning: CAS bekrefter at overgangsuttrykkene er identiske.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, simplify, factor

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
formula_n = (3*n**2-n)/2
recursive_next = simplify(formula_n+3*n+1)
formula_next = simplify((3*(n+1)**2-(n+1))/2)
base_left = (3*1**2-1)/2

print("Startsteg: formelen ved n=1 =", base_left)
print("Oppgitt P_1 =", 1)
print("Induksjonsantakelse P_n =", formula_n)
print("Rekursjonen gir P_(n+1) =", recursive_next)
print("Ønsket formel ved n+1 =", formula_next)
print("Forenklet differanse =", simplify(recursive_next-formula_next))
print("Faktorisert uttrykk ved n+1 =", factor(formula_next))

assert base_left == 1
assert simplify(recursive_next-formula_next) == 0

Kjørt utskriftStartsteg: formelen ved n=1 = 1.0
Oppgitt P_1 = 1
Induksjonsantakelse P_n = 3*n**2/2 - n/2
Rekursjonen gir P_(n+1) = 3*n**2/2 + 5*n/2 + 1
Ønsket formel ved n+1 = -n/2 + 3*(n + 1)**2/2 - 1/2
Forenklet differanse = 0
Faktorisert uttrykk ved n+1 = (n + 1)*(3*n + 2)/2

Fasit: Formelen \(\displaystyle P_n=\frac{3n^2-n}{2}\) er bevist for alle \(n\ge1\) ved matematisk induksjon.

Vanlig feil: Å kontrollere bare noen få n-verdier uten å gjennomføre overgangssteget.

Sensorpunkt: Sensor ser etter startsteg, tydelig induksjonsantakelse og korrekt bevis av overgangen til \(n+1\).

Del 2 / Oppgave 4bFigurbevis med trekanttall

Oppgave 4b

Oppgave: Trekanttall nummer n er \(T_n=1+2+\cdots+n\). Bruk Mathias sin oppdeling i tre trekanttall til å utlede formelen for \(P_n\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppdelingen består av ett trekanttall med side n og to trekanttall med side n-1. Vi summerer de tre lukkede formlene.

Skriv trekanttallformelen
\(T_n=n(n+1)/2\).
Tolk oppdelingen
Figuren viser ett område med \(T_n\) punkter og to områder med \(T_{n-1}\) punkter.
Skriv summen
\(P_n=T_n+2T_{n-1}\).
Sett inn formlene
\(P_n=\frac{n(n+1)}2+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}\).
Samle over felles nevner
\(P_n=\frac{n(n+1)+2n(n-1)}2\).
Forenkle
\[P_n=\frac{n(3n-1)}2=\frac{3n^2-n}{2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Simplify(n(n+1)/2+2*(n-1)n/2)

Resultat: \((3n^2-n)/2\)

Tolkning: CAS bekrefter at de tre trekanttallene gir femkanttallformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, simplify, expand

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
T_n = n*(n+1)/2
T_previous = (n-1)*n/2
P_decomposition = simplify(T_n+2*T_previous)
P_formula = (3*n**2-n)/2

print("T_n =", T_n)
print("T_(n-1) =", T_previous)
print("Mathias' oppdeling: P_n = T_n + 2*T_(n-1)")
print("Sum av de tre trekanttallene =", P_decomposition)
print("Utvidet uttrykk =", expand(P_decomposition))
print("Målformel =", P_formula)
print("Symbolsk differanse =", simplify(P_decomposition-P_formula))
print("Kontroll ved n=5: P_5 =", P_decomposition.subs(n,5))

assert simplify(P_decomposition-P_formula) == 0
assert P_decomposition.subs(n,5) == 35

Kjørt utskriftT_n = n*(n + 1)/2
T_(n-1) = n*(n - 1)/2
Mathias' oppdeling: P_n = T_n + 2*T_(n-1)
Sum av de tre trekanttallene = n*(3*n - 1)/2
Utvidet uttrykk = 3*n**2/2 - n/2
Målformel = 3*n**2/2 - n/2
Symbolsk differanse = 0
Kontroll ved n=5: P_5 = 35

Fasit: \(\displaystyle P_n=T_n+2T_{n-1}=\frac{3n^2-n}{2}\).

Vanlig feil: Å bruke tre like trekanttall \(3T_n\); figuren viser ett \(T_n\) og to \(T_{n-1}\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt tolkning av oppdelingen og algebraisk utledning av den lukkede formelen.

Matematikk R2 eksamen – vår 2018

Matematikk R2 - eksamen vår 2018

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 4a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 4b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 5a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 5b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6d

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 8a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 8b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3a