ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2017

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1aDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=3\sin x+\cos x\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en lineær kombinasjon av sinus og cosinus ledd for ledd.

Bruk sumregelen
Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.
Deriver første ledd
\(\frac{d}{dx}(3\sin x)=3\cos x\).
Deriver andre ledd
\(\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\).
Sett sammen
\(f\prime(x)=3\cos x-\sin x\).
Kontroller fortegnet
Minusfortegnet kommer fra den deriverte av cosinus.
Skriv endelig svar
\[f\prime(x)=3\cos x-\sin x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(3 sin(x)+cos(x),x)

Resultat: \(3\cos x-\sin x\)

Tolkning: CAS bekrefter at hvert ledd er derivert separat og at cosinusleddet får minusfortegn.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 3*sin(x) + cos(x)
derivative = diff(f, x)
expected = 3*cos(x) - sin(x)
print("Funksjon f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", derivative)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Symbolsk differanse =", simplify(derivative - expected))
print("Kontroll ved x=0 =", derivative.subs(x, 0))
print("Kontroll ved x=pi/2 =", derivative.subs(x, 3.141592653589793/2).evalf())
assert simplify(derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = 3*sin(x) + cos(x)
Derivert f'(x) = -sin(x) + 3*cos(x)
Forventet uttrykk = -sin(x) + 3*cos(x)
Symbolsk differanse = 0
Kontroll ved x=0 = 3
Kontroll ved x=pi/2 = -1.00000000000000

Fasit: \(f\prime(x)=3\cos x-\sin x\).

Vanlig feil: Å skrive \(+\sin x\) fordi minusfortegnet ved derivasjon av cosinus glemmes.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt sumregel, konstantfaktor og fortegn.

Del 1 / Oppgave 1bProduktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x^2\cos 2x\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(\cos(2x)\). Vi trenger både produktregelen og kjerneregelen.

Velg faktorene
Sett \(u=x^2\) og \(v=\cos(2x)\).
Deriver første faktor
\(u\prime=2x\).
Deriver andre faktor
Kjerneregelen gir \(v\prime=-2\sin(2x)\).
Bruk produktregelen
\((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).
Sett inn
\(g\prime(x)=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\).
Faktoriser om ønskelig
\[g\prime(x)=2x\bigl(\cos(2x)-x\sin(2x)\bigr)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(x^2 cos(2x),x)

Resultat: \(2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\)

Tolkning: CAS viser begge produktleddene og faktoren 2 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, diff, factor, simplify
x = symbols('x', real=True)
g = x**2*cos(2*x)
raw_derivative = diff(g, x)
factored_derivative = factor(raw_derivative)
expected = 2*x*cos(2*x) - 2*x**2*sin(2*x)
print("Funksjon g(x) =", g)
print("Derivert, utvidet =", raw_derivative)
print("Derivert, faktorisert =", factored_derivative)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(raw_derivative - expected))
print("Numerisk kontroll ved x=1 =", raw_derivative.subs(x, 1).evalf(12))
assert simplify(raw_derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon g(x) = x**2*cos(2*x)
Derivert, utvidet = -2*x**2*sin(2*x) + 2*x*cos(2*x)
Derivert, faktorisert = -2*x*(x*sin(2*x) - cos(2*x))
Forventet uttrykk = -2*x**2*sin(2*x) + 2*x*cos(2*x)
Symbolsk kontroll = 0
Numerisk kontroll ved x=1 = -2.65088852675

Fasit: \(g\prime(x)=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\).

Vanlig feil: Å derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem, eller å glemme faktoren 2 fra \(2x\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt produktregel og korrekt kjerneregel.

Del 1 / Oppgave 1cKvotientregel og trigonometrisk forenkling

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{2\cos x}{1+\sin x}\). Skriv svaret så enkelt som mulig.

Original poengangivelse: Oppgave 1 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker kvotientregelen og forenkler telleren med identiteten \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

Definer teller og nevner
La \(u=2\cos x\) og \(v=1+\sin x\).
Deriver begge
\(u\prime=-2\sin x\) og \(v\prime=\cos x\).
Bruk kvotientregelen
\(h\prime=(u\prime v-uv\prime)/v^2\).
Sett inn
\[h\prime(x)=\frac{-2\sin x(1+\sin x)-2\cos^2x}{(1+\sin x)^2}\]
Forenkle telleren
Telleren er \(-2(\sin x+\sin^2x+\cos^2x)=-2(1+\sin x)\).
Forkort gyldig faktor
På definisjonsområdet \(1+\sin x\ne0\) får vi \[h\prime(x)=-\frac{2}{1+\sin x}.\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Simplify(Derivative(2 cos(x)/(1+sin(x)),x))

Resultat: \(-2/(1+\sin x)\)

Tolkning: CAS bruker den trigonometriske identiteten og forkorter den felles faktoren.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify, trigsimp
x = symbols('x', real=True)
h = 2*cos(x)/(1 + sin(x))
raw_derivative = diff(h, x)
simplified = trigsimp(raw_derivative)
expected = -2/(1 + sin(x))
print("Funksjon h(x) =", h)
print("Rå derivert =", raw_derivative)
print("Trigonometrisk forenklet =", simplified)
print("Forventet enkel form =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(simplified - expected))
for value in [0, 1, 2]:
    print(f"h'({value}) =", simplified.subs(x, value).evalf(12))
assert simplify(trigsimp(simplified - expected)) == 0

Kjørt utskriftFunksjon h(x) = 2*cos(x)/(sin(x) + 1)
Rå derivert = -2*sin(x)/(sin(x) + 1) - 2*cos(x)**2/(sin(x) + 1)**2
Trigonometrisk forenklet = -2/(sin(x) + 1)
Forventet enkel form = -2/(sin(x) + 1)
Symbolsk kontroll = 0
h'(0) = -2.00000000000
h'(1) = -1.08608825037
h'(2) = -1.04750573268

Fasit: \(h\prime(x)=-\dfrac{2}{1+\sin x}\), der \(1+\sin x\ne0\).

Vanlig feil: Å stoppe med et uforenklet kvotientuttrykk eller forkorte uten å ta hensyn til definisjonsområdet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvotientregel og bruk av \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

Del 1 / Oppgave 2aUbestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(x^2-\frac{2}{x}\right)\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer potensleddet og logaritmeleddet hver for seg.

Del opp integralet
\(\int x^2dx-2\int x^{-1}dx\).
Integrer potensleddet
\(\int x^2dx=x^3/3\).
Integrer \(1/x\)
\(\int x^{-1}dx=\ln|x|\) for \(x\ne0\).
Ta med konstantfaktoren
Det andre leddet blir \(-2\ln|x|\).
Legg til integrasjonskonstant
Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
Skriv svaret
\[\int\left(x^2-\frac2x\right)dx=\frac{x^3}{3}-2\ln|x|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(x^2-2/x,x)

Resultat: \(x^3/3-2\ln|x|\)

Tolkning: CAS gir en stamfunksjon; den generelle løsningen inkluderer \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, integrate, diff, log, Abs, simplify
x = symbols('x', real=True, nonzero=True)
integrand = x**2 - 2/x
antiderivative = integrate(integrand, x)
manual = x**3/3 - 2*log(Abs(x))
print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", antiderivative)
print("Manuell stamfunksjon =", manual)
print("Derivert av manuell stamfunksjon =", simplify(diff(manual, x)))
print("Kontroll mot integranden =", simplify(diff(manual, x) - integrand))
print("Verdi av integranden ved x=2 =", integrand.subs(x, 2))
assert simplify(diff(manual, x) - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = x**2 - 2/x
Stamfunksjon fra SymPy = x**3/3 - 2*log(x)
Manuell stamfunksjon = x**3/3 - 2*log(Abs(x))
Derivert av manuell stamfunksjon = (x**3 - 2)/x
Kontroll mot integranden = 0
Verdi av integranden ved x=2 = 3

Fasit: \(\displaystyle \frac{x^3}{3}-2\ln|x|+C\), for \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å skrive \(\ln x\) uten å angi et positivt domene, eller å glemme faktoren \(-2\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt stamfunksjon, absoluttverdi og integrasjonskonstant.

Del 1 / Oppgave 2bSubstitusjon i integral

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int x\cos(2x^2)\,dx\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kjernen \(2x^2\) har derivert \(4x\), som er proporsjonal med faktoren \(x\) i integralet.

Velg substitusjon
Sett \(u=2x^2\).
Finn differensialet
\(du=4x\,dx\).
Isoler \(x\,dx\)
\(x\,dx=du/4\).
Bytt variabel
\(\int x\cos(2x^2)dx=\frac14\int\cos u\,du\).
Integrer
\(\int\cos u\,du=\sin u\).
Sett tilbake
\[\int x\cos(2x^2)dx=\frac14\sin(2x^2)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(x cos(2x^2),x)

Resultat: \(\sin(2x^2)/4\)

Tolkning: CAS bekrefter substitusjonsfaktoren \(1/4\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, cos, sin, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = x*cos(2*x**2)
antiderivative = integrate(integrand, x)
manual = sin(2*x**2)/4
print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", antiderivative)
print("Manuell stamfunksjon =", manual)
print("Derivert tilbake =", diff(manual, x))
print("Forenklet kontroll =", simplify(diff(manual, x) - integrand))
print("Numerisk kontroll ved x=1 =", diff(manual, x).subs(x, 1).evalf(12))
assert simplify(diff(manual, x) - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = x*cos(2*x**2)
Stamfunksjon fra SymPy = sin(2*x**2)/4
Manuell stamfunksjon = sin(2*x**2)/4
Derivert tilbake = x*cos(2*x**2)
Forenklet kontroll = 0
Numerisk kontroll ved x=1 = -0.416146836547

Fasit: \(\displaystyle \frac14\sin(2x^2)+C\).

Vanlig feil: Å bruke faktoren \(1/2\) i stedet for \(1/4\), eller å glemme \(+C\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter en korrekt substitusjon med full differensial.

Del 1 / Oppgave 3aEkstremalpunkter i trigonometrisk funksjon

Oppgave 3a

Oppgave: Funksjonen er gitt ved \(f(x)=2\sin(2x)-1\), \(x\in[0,2\pi)\). Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til \(f\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner kritiske punkter fra den deriverte og klassifiserer dem ved funksjonsverdier eller fortegn.

Deriver funksjonen
\(f\prime(x)=4\cos(2x)\).
Sett den deriverte lik null
\(\cos(2x)=0\), altså \(2x=\pi/2+n\pi\).
Løs for x
\(x=\pi/4+n\pi/2\).
Velg punkter i intervallet
\(x=\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4\).
Finn funksjonsverdiene
Ved \(\pi/4\) og \(5\pi/4\) er \(f=1\); ved \(3\pi/4\) og \(7\pi/4\) er \(f=-3\).
Klassifiser
Topppunktene er \((\pi/4,1)\) og \((5\pi/4,1)\). Bunnpunktene er \((3\pi/4,-3)\) og \((7\pi/4,-3)\).

Grafen viser begge periodene på intervallet og markerer ekstremalpunktene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Extremum(2 sin(2x)-1,0,2pi)

Resultat: Topper ved \(x=\pi/4,5\pi/4\), bunner ved \(x=3\pi/4,7\pi/4\)

Tolkning: CAS/graftegner bekrefter amplituden 2, midtlinjen \(-1\) og de fire ekstremalpunktene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, pi, diff, solve, Interval, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(2*x) - 1
f1 = diff(f, x)
candidates = [pi/4, 3*pi/4, 5*pi/4, 7*pi/4]
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f1)
print("Kritiske x-verdier i [0,2*pi) =", candidates)
for point in candidates:
    print("x =", point, ", f(x) =", simplify(f.subs(x, point)))
max_points = [(pi/4,1),(5*pi/4,1)]
min_points = [(3*pi/4,-3),(7*pi/4,-3)]
print("Topppunkter =", max_points)
print("Bunnpunkter =", min_points)
assert all(simplify(f1.subs(x,p)) == 0 for p in candidates)

Kjørt utskriftf(x) = 2*sin(2*x) - 1
f'(x) = 4*cos(2*x)
Kritiske x-verdier i [0,2*pi) = [pi/4, 3*pi/4, 5*pi/4, 7*pi/4]
x = pi/4 , f(x) = 1
x = 3*pi/4 , f(x) = -3
x = 5*pi/4 , f(x) = 1
x = 7*pi/4 , f(x) = -3
Topppunkter = [(pi/4, 1), (5*pi/4, 1)]
Bunnpunkter = [(3*pi/4, -3), (7*pi/4, -3)]

Fasit: Topppunkter: \((\pi/4,1)\) og \((5\pi/4,1)\). Bunnpunkter: \((3\pi/4,-3)\) og \((7\pi/4,-3)\).

Vanlig feil: Å glemme at argumentet er \(2x\), eller å ta med \(x=2\pi\) selv om intervallet er halvåpent.

Sensorpunkt: Sensor ser etter alle fire punktene med både x- og y-koordinat.

Del 1 / Oppgave 3bTrigonometrisk likning

Oppgave 3b

Oppgave: Bestem nullpunktene til \(f(x)=2\sin(2x)-1\) for \(x\in[0,2\pi)\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nullpunktene finnes ved å løse en trigonometrisk likning og velge alle løsninger i det oppgitte intervallet.

Sett funksjonen lik null
\(2\sin(2x)-1=0\).
Isoler sinus
\(\sin(2x)=1/2\).
Skriv grunnløsningene
For vinkelen \(u=2x\) er \(u=\pi/6+2k\pi\) eller \(u=5\pi/6+2k\pi\).
Bruk intervallet for 2x
Siden \(x\in[0,2\pi)\), har vi \(2x\in[0,4\pi)\).
List alle vinkelverdier
\(2x=\pi/6,5\pi/6,13\pi/6,17\pi/6\).
Del på 2
\[x=\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(2 sin(2x)-1=0,0<=x<2pi)

Resultat: \(x=\pi/12,5\pi/12,13\pi/12,17\pi/12\)

Tolkning: CAS returnerer fire røtter fordi funksjonen gjennomfører to perioder på intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, pi, solveset, Interval, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(2*x) - 1
domain = Interval.Ropen(0, 2*pi)
roots = solveset(f, x, domain=domain)
expected = [pi/12, 5*pi/12, 13*pi/12, 17*pi/12]
print("Likning: 2*sin(2*x)-1 = 0")
print("Definisjonsintervall =", domain)
print("Løsningsmengde fra SymPy =", roots)
for root in expected:
    print("x =", root, ", kontroll f(x) =", simplify(f.subs(x, root)))
print("Antall nullpunkter =", len(expected))
assert all(simplify(f.subs(x,r)) == 0 for r in expected)

Kjørt utskriftLikning: 2*sin(2*x)-1 = 0
Definisjonsintervall = Interval.Ropen(0, 2*pi)
Løsningsmengde fra SymPy = {pi/12, 5*pi/12, 13*pi/12, 17*pi/12}
x = pi/12 , kontroll f(x) = 0
x = 5*pi/12 , kontroll f(x) = 0
x = 13*pi/12 , kontroll f(x) = 0
x = 17*pi/12 , kontroll f(x) = 0
Antall nullpunkter = 4

Fasit: Nullpunktene har x-koordinater \(\pi/12,5\pi/12,13\pi/12,17\pi/12\).

Vanlig feil: Å finne bare to røtter og overse at \(2x\) går over intervallet \([0,4\pi)\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter fullstendig løsningsmengde innenfor det halvåpne intervallet.

Del 1 / Oppgave 3cGrafskisse

Oppgave 3c

Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f(x)=2\sin(2x)-1\) for \(x\in[0,2\pi)\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (5 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En korrekt skisse bygges fra amplitude, periode, midtlinje, ekstremalpunkter og nullpunkter.

Finn amplituden
Amplituden er \(2\).
Finn midtlinjen
Den vertikale forskyvningen gir midtlinjen \(y=-1\).
Finn perioden
For \(\sin(2x)\) er perioden \(2\pi/2=\pi\).
Plasser startpunktet
\(f(0)=-1\), og grafen stiger fordi \(f\prime(0)=4>0\).
Marker nøkkelpunkter
Plasser topp-, bunn- og nullpunktene fra del a og b.
Tegn to perioder
Koble punktene med en jevn sinuskurve på \([0,2\pi)\); endepunktet ved \(2\pi\) tas ikke med.

Denne kontrollerte skissen kan brukes som fasit for grafens form og nøkkelpunkter.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1f(x)=2 sin(2x)-1

Resultat: Graf med amplitude 2, periode \(\pi\), midtlinje \(y=-1\)

Tolkning: Graftegneren skal vise nøyaktig to perioder i det gitte intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, pi, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(2*x) - 1
key_x = [0, pi/12, pi/4, 5*pi/12, 3*pi/4, pi, 5*pi/4, 7*pi/4]
print("Amplitude = 2")
print("Midtlinje = y = -1")
print("Periode =", pi)
print("Startverdi f(0) =", f.subs(x, 0))
print("Startstigning f'(0) =", diff(f, x).subs(x, 0))
print("Utvalgte punkter:")
for point in key_x:
    print("  x =", point, "-> f(x) =", simplify(f.subs(x, point)))
print("Grafen gjentar seg etter pi:", simplify(f.subs(x, x+pi) - f))
assert simplify(f.subs(x, x+pi)-f) == 0

Kjørt utskriftAmplitude = 2
Midtlinje = y = -1
Periode = pi
Startverdi f(0) = -1
Startstigning f'(0) = 4
Utvalgte punkter:
  x = 0 -> f(x) = -1
  x = pi/12 -> f(x) = 0
  x = pi/4 -> f(x) = 1
  x = 5*pi/12 -> f(x) = 0
  x = 3*pi/4 -> f(x) = -3
  x = pi -> f(x) = -1
  x = 5*pi/4 -> f(x) = 1
  x = 7*pi/4 -> f(x) = -3
Grafen gjentar seg etter pi: 0

Fasit: En sinuskurve med amplitude 2, midtlinje \(y=-1\), periode \(\pi\), og de markerte punktene fra a og b.

Vanlig feil: Å bruke periode \(2\pi\) eller å tegne grafen symmetrisk om x-aksen i stedet for om \(y=-1\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig form, skala og plassering av alle sentrale punkter.

Del 1 / Oppgave 4aSeparerbar differensiallikning

Oppgave 4a

Oppgave: Differensiallikningen \(y\prime=x\cdot y\) er gitt. Bestem den generelle løsningen.

Original poengangivelse: Oppgave 4 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er separerbar. Vi flytter alle y-ledd til én side og x-ledd til den andre.

Skriv med differensialer
\(dy/dx=xy\).
Separer variablene
For \(y\ne0\): \(dy/y=x\,dx\). Nulløsningen blir inkludert når konstanten settes til 0.
Integrer begge sider
\(\int dy/y=\int x\,dx\).
Beregn integralene
\(\ln|y|=x^2/2+C_1\).
Eksponentier
\(|y|=e^{C_1}e^{x^2/2}\), og fortegn kan absorberes i en konstant \(C\).
Skriv generell løsning
\[y(x)=Ce^{x^2/2},\qquad C\in\mathbb R\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1SolveODE(y\prime=x y)

Resultat: \(y=C_1e^{x^2/2}\)

Tolkning: CAS gir den samme én-parameterfamilien, inkludert nulløsningen for \(C_1=0\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, exp, simplify
x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x), x*y(x))
solution = dsolve(ode)
C = symbols('C', real=True)
manual = C*exp(x**2/2)
residual = simplify(diff(manual, x) - x*manual)
print("Differensiallikning =", ode)
print("Løsning fra SymPy =", solution)
print("Manuell generell løsning =", manual)
print("Derivert av løsningen =", diff(manual, x))
print("Residual y'-x*y =", residual)
print("Nulløsningen fås når C = 0:", manual.subs(C, 0))
assert residual == 0

Kjørt utskriftDifferensiallikning = Eq(Derivative(y(x), x), x*y(x))
Løsning fra SymPy = Eq(y(x), C1*exp(x**2/2))
Manuell generell løsning = C*exp(x**2/2)
Derivert av løsningen = C*x*exp(x**2/2)
Residual y'-x*y = 0
Nulløsningen fås når C = 0: 0

Fasit: \(y(x)=Ce^{x^2/2}\), \(C\in\mathbb R\).

Vanlig feil: Å skrive \(e^{x^2}\) og glemme faktoren \(1/2\), eller å miste nulløsningen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt separasjon, integrasjon og konstantbehandling.

Del 1 / Oppgave 4bInitialbetingelse

Oppgave 4b

Oppgave: Bestem den spesielle løsningen av \(y\prime=xy\) når \(y(2)=5\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter initialbetingelsen inn i den generelle løsningen for å bestemme konstanten.

Start med generell løsning
\(y=Ce^{x^2/2}\).
Sett inn x=2
\(y(2)=Ce^{2^2/2}=Ce^2\).
Bruk y(2)=5
\(Ce^2=5\).
Løs for konstanten
\(C=5e^{-2}\).
Sett tilbake
\(y=5e^{-2}e^{x^2/2}\).
Samle eksponenten
\[y(x)=5e^{x^2/2-2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1SolveODE(y\prime=x y,y(2)=5)

Resultat: \(y=5e^{x^2/2-2}\)

Tolkning: CAS-løsningen oppfyller både differensiallikningen og initialbetingelsen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, exp, simplify
x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x), x*y(x))
solution = dsolve(ode, ics={y(2): 5})
manual = 5*exp(x**2/2 - 2)
residual = simplify(diff(manual, x) - x*manual)
print("Differensiallikning =", ode)
print("Initialbetingelse: y(2) = 5")
print("Løsning fra SymPy =", solution)
print("Manuell løsning =", manual)
print("Kontroll y(2) =", simplify(manual.subs(x, 2)))
print("Residual y'-x*y =", residual)
assert simplify(manual.subs(x,2)-5) == 0 and residual == 0

Kjørt utskriftDifferensiallikning = Eq(Derivative(y(x), x), x*y(x))
Initialbetingelse: y(2) = 5
Løsning fra SymPy = Eq(y(x), 5*exp(-2)*exp(x**2/2))
Manuell løsning = 5*exp(x**2/2 - 2)
Kontroll y(2) = 5
Residual y'-x*y = 0

Fasit: \(y(x)=5e^{x^2/2-2}\).

Vanlig feil: Å sette \(x=2\) inn som \(e^2/2\) i stedet for \(e^{2^2/2}=e^2\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bestemmelse av konstanten og kontroll av initialverdien.

Del 1 / Oppgave 5Volum av avkortet kjegle

Oppgave 5

Oppgave: Linjestykket fra \((0,3)\) til \((4,5)\) dreies \(360^\circ\) om x-aksen. Bestem volumet av den avkortede kjeglen.

Original poengangivelse: Oppgave 5 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner linjens funksjonsuttrykk og bruker skivemetoden, eventuelt den kjente formelen for en avkortet kjegle.

Les av målene
Høyden langs x-aksen er \(h=4\). Radiene er \(r=3\) og \(R=5\).
Finn profilfunksjonen
Stigningstallet er \((5-3)/(4-0)=1/2\), altså \(y=3+x/2\).
Sett opp volumet
\(V=\pi\int_0^4(3+x/2)^2dx\).
Utvid kvadratet
\((3+x/2)^2=9+3x+x^2/4\).
Integrer
\(V=\pi[9x+3x^2/2+x^3/12]_0^4\).
Regn ut
\[V=\pi\left(36+24+\frac{16}{3}\right)=\frac{196\pi}{3}\]

Profilen er linjen y=3+x/2 på intervallet [0,4].

Den avkortede kjeglen har høyde 4 og enderadier 3 og 5.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(pi (3+x/2)^2,x,0,4)

Resultat: \(196\pi/3\)

Tolkning: CAS integrerer tverrsnittsarealet \(\pi y^2\) langs hele høyden.

2pi*4/3*(5^2+5*3+3^2)

Resultat: \(196\pi/3\)

Tolkning: Formelen for avkortet kjegle gir samme resultat.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, pi, integrate, simplify, N
x = symbols('x', real=True)
radius = 3 + x/2
cross_section = pi*radius**2
volume_integral = integrate(cross_section, (x, 0, 4))
volume_formula = pi*4*(5**2 + 5*3 + 3**2)/3
print("Radiusfunksjon r(x) =", radius)
print("Tverrsnittsareal A(x) =", cross_section)
print("Volum fra integral =", volume_integral)
print("Volum fra avkortet-kjegle-formel =", volume_formula)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(volume_integral - volume_formula))
print("Desimalverdi =", N(volume_integral, 12))
assert simplify(volume_integral - 196*pi/3) == 0

Kjørt utskriftRadiusfunksjon r(x) = x/2 + 3
Tverrsnittsareal A(x) = pi*(x/2 + 3)**2
Volum fra integral = 196*pi/3
Volum fra avkortet-kjegle-formel = 196*pi/3
Symbolsk kontroll = 0
Desimalverdi = 205.250720035

Fasit: \(\displaystyle V=\frac{196\pi}{3}\approx205{,}25\) volumenheter.

Vanlig feil: Å bruke bare største radius eller å glemme at skivearealet er \(\pi r^2\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt avlesning av radiene, gyldig volumoppsett og eksakt svar.

Del 1 / Oppgave 6aLikning for kuleflate

Oppgave 6a

Oppgave: En kule har sentrum i \(S(1,3,5)\). Punktet \(P(4,-1,5)\) ligger på kuleflaten. Bestem en likning for kuleflaten.

Original poengangivelse: Oppgave 6 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusen er avstanden fra sentrum S til punktet P.

Finn radiusvektoren
\(\overrightarrow{SP}=(4-1,-1-3,5-5)=(3,-4,0)\).
Beregn radiusen
\(r=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=5\).
Bruk standardformen
En kule med sentrum \((a,b,c)\) har likning \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\).
Sett inn sentrum
\((x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=r^2\).
Sett inn radius
\(r^2=25\).
Skriv likningen
\[(x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=25\]

Den store kulen har sentrum S og går gjennom tangentpunktet P.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Distance((1,3,5),(4,-1,5))

Resultat: \(5\)

Tolkning: Avstanden bekrefter radiusen.

2Sphere((1,3,5),5)

Resultat: \((x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=25\)

Tolkning: GeoGebra 3D viser kuleflaten med riktig sentrum og radius.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, symbols, expand, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
S = Matrix([1, 3, 5])
P = Matrix([4, -1, 5])
SP = P - S
radius_squared = simplify(SP.dot(SP))
sphere_left = (x-1)**2 + (y-3)**2 + (z-5)**2
print("Sentrum S =", S.T)
print("Punkt P =", P.T)
print("Radiusvektor SP =", SP.T)
print("Radius^2 =", radius_squared)
print("Radius =", radius_squared**0.5)
print("Kulelikning, venstreside =", sphere_left)
print("Kontroll av P =", simplify(sphere_left.subs({x:4,y:-1,z:5})-radius_squared))
assert radius_squared == 25

Kjørt utskriftSentrum S = Matrix([[1, 3, 5]])
Punkt P = Matrix([[4, -1, 5]])
Radiusvektor SP = Matrix([[3, -4, 0]])
Radius^2 = 25
Radius = 5.00000000000000
Kulelikning, venstreside = (x - 1)**2 + (y - 3)**2 + (z - 5)**2
Kontroll av P = 0

Fasit: \((x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=25\).

Vanlig feil: Å bruke koordinatene til P som sentrum eller å glemme å kvadrere radiusen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter radiusberegning og korrekt standardform.

Del 1 / Oppgave 6bTangentplan til kule

Oppgave 6b

Oppgave: Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten i punktet \(P\). Vis at \(3x-4y=16\) er en likning for planet \(\alpha\).

Original poengangivelse: Oppgave 6 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusen til tangentpunktet står normalt på tangentplanet. Derfor kan \(\overrightarrow{SP}\) brukes som normalvektor.

Finn normalvektoren
Fra del a er \(\overrightarrow{SP}=(3,-4,0)\).
Bruk punkt-normal-form
Planet gjennom P har \(3(x-4)-4(y+1)+0(z-5)=0\).
Utvid
\(3x-12-4y-4=0\).
Samle ledd
\(3x-4y-16=0\).
Skriv ønsket form
\(3x-4y=16\).
Kontroller tangentpunktet
For P får vi \(3\cdot4-4(-1)=12+4=16\), så P ligger i planet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Plane((4,-1,5),(3,-4,0))

Resultat: \(3x-4y=16\)

Tolkning: GeoGebra lager planet gjennom P med radiusvektoren som normal.

2Dot((3,-4,0),Direction(alpha))

Resultat: \(0\)

Tolkning: Alle retningsvektorer i tangentplanet er ortogonale på radiusen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, symbols, expand, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
S = Matrix([1, 3, 5])
P = Matrix([4, -1, 5])
normal = P - S
point_vector = Matrix([x, y, z]) - P
plane_expression = expand(normal.dot(point_vector))
claimed = 3*x - 4*y - 16
print("Normalvektor SP =", normal.T)
print("Punkt-normal-uttrykk =", plane_expression)
print("Påstått planuttrykk =", claimed)
print("Symbolsk differanse =", simplify(plane_expression - claimed))
print("Kontroll P i planet =", claimed.subs({x:4,y:-1,z:5}))
print("Normalens lengde^2 =", normal.dot(normal))
assert simplify(plane_expression - claimed) == 0

Kjørt utskriftNormalvektor SP = Matrix([[3, -4, 0]])
Punkt-normal-uttrykk = 3*x - 4*y - 16
Påstått planuttrykk = 3*x - 4*y - 16
Symbolsk differanse = 0
Kontroll P i planet = 0
Normalens lengde^2 = 25

Fasit: \(\alpha:3x-4y=16\).

Vanlig feil: Å bruke \(\overrightarrow{PS}\) og samtidig få feil konstantledd, eller å glemme at planet må gå gjennom P.

Sensorpunkt: Sensor ser etter radiusvektoren som normal og en eksplisitt punktkontroll.

Del 1 / Oppgave 6cAvstand fra punkt til plan og kulelikning

Oppgave 6c

Oppgave: En annen kule har sentrum i \(Q(2,0,7)\). Planet \(\alpha\) tangerer også denne kuleflaten. Bestem likningen til den nye kuleflaten.

Original poengangivelse: Oppgave 6 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusen til den nye kulen er den vinkelrette avstanden fra Q til tangentplanet.

Skriv planet på normalform
\(3x-4y-16=0\).
Bruk avstandsformelen
\[r=\frac{|3\cdot2-4\cdot0-16|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\]
Beregn telleren
\(|6-16|=10\).
Beregn nevneren
\(\sqrt{9+16}=5\).
Finn radiusen
\(r=10/5=2\).
Skriv kulelikningen
\[(x-2)^2+y^2+(z-7)^2=4\]

Den lille kulen med sentrum Q har radius 2 og tangerer samme plan.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Distance((2,0,7),3x-4y=16)

Resultat: \(2\)

Tolkning: Avstanden fra sentrum til tangentplanet er kulens radius.

2Sphere((2,0,7),2)

Resultat: \((x-2)^2+y^2+(z-7)^2=4\)

Tolkning: GeoGebra viser den lille kulen tangent til samme plan.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import Matrix, sqrt, Abs, simplify, symbols
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
Q = Matrix([2, 0, 7])
a, b, c, d = 3, -4, 0, -16
numerator = Abs(a*Q[0] + b*Q[1] + c*Q[2] + d)
denominator = sqrt(a**2 + b**2 + c**2)
radius = simplify(numerator/denominator)
sphere_left = (x-2)**2 + y**2 + (z-7)**2
print("Sentrum Q =", Q.T)
print("Avstandsteller =", numerator)
print("Avstandsnevner =", denominator)
print("Radius =", radius)
print("Radius^2 =", radius**2)
print("Ny kulelikning, venstreside =", sphere_left)
print("Kontroll sentrum gir 0 =", sphere_left.subs({x:2,y:0,z:7}))
assert radius == 2

Kjørt utskriftSentrum Q = Matrix([[2, 0, 7]])
Avstandsteller = 10
Avstandsnevner = 5
Radius = 2
Radius^2 = 4
Ny kulelikning, venstreside = y**2 + (x - 2)**2 + (z - 7)**2
Kontroll sentrum gir 0 = 0

Fasit: \((x-2)^2+y^2+(z-7)^2=4\).

Vanlig feil: Å bruke avstanden til punktet P i stedet for avstanden til planet, eller å glemme absoluttverdien.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt punkt-plan-avstand og riktig sentrum.

Del 1 / Oppgave 7aKonvergensområde for geometrisk rekke

Oppgave 7a

Oppgave: Den uendelige geometriske rekken er \(S(x)=1+\ln x+(\ln x)^2+(\ln x)^3+\cdots\). Bestem konvergensområdet.

Original poengangivelse: Oppgave 7 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Rekken har første ledd 1 og kvotient \(k=\ln x\). Den konvergerer når \(|k|<1\), samtidig som \(x>0\).

Identifiser kvotienten
Kvotienten mellom påfølgende ledd er \(k=\ln x\).
Bruk konvergenskravet
\(|\ln x|<1\).
Skriv dobbeltulikheten
\(-1<\ln x<1\).
Eksponentier
Eksponentialfunksjonen er strengt voksende, så \(e^{-1}
Kontroller domenet
Intervallet ligger i \(x>0\), så logaritmen er definert.
Avvis endepunktene
Ved \(x=e^{-1}\) er kvotienten \(-1\), og ved \(x=e\) er den \(1\); rekken divergerer begge steder.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(abs(ln(x))<1,x)

Resultat: \(e^{-1}

Tolkning: CAS løser absoluttverdulikheten og ekskluderer endepunktene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, log, Abs, E, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', positive=True)
condition = Abs(log(x)) < 1
solution = solve_univariate_inequality(condition, x)
print("Kvotient k(x) = log(x)")
print("Konvergenskrav =", condition)
print("Løsningsmengde =", solution)
print("Venstre endepunkt =", 1/E)
print("Høyre endepunkt =", E)
print("|log(1/e)| =", Abs(log(1/E)))
print("|log(e)| =", Abs(log(E)))
assert Abs(log(1/E)) == 1 and Abs(log(E)) == 1

Kjørt utskriftKvotient k(x) = log(x)
Konvergenskrav = Abs(log(x)) < 1
Løsningsmengde = (x < E) & (exp(-1) < x)
Venstre endepunkt = exp(-1)
Høyre endepunkt = E
|log(1/e)| = 1
|log(e)| = 1

Fasit: Rekken konvergerer for \(\displaystyle e^{-1}

Vanlig feil: Å bruke \(\ln x<1\) uten absoluttverdi, eller å ta med endepunktene.

Sensorpunkt: Sensor ser etter både logaritmens domene og det strenge geometriske konvergenskravet.

Del 1 / Oppgave 7bSum av uendelig geometrisk rekke

Oppgave 7b

Oppgave: Bestem et enklere uttrykk for \(S(x)\) når rekken konvergerer.

Original poengangivelse: Oppgave 7 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? For en uendelig geometrisk rekke med første ledd \(a_1=1\) og kvotient \(k=\ln x\) bruker vi sumformelen.

Skriv sumformelen
\(S=a_1/(1-k)\) når \(|k|<1\).
Sett inn første ledd
\(a_1=1\).
Sett inn kvotienten
\(k=\ln x\).
Forenkle
\(S(x)=1/(1-\ln x)\).
Angi gyldighetsområde
Uttrykket representerer rekken bare når \(e^{-1}
Kontroller et punkt
For \(x=1\) er rekken \(1+0+0+\cdots=1\), og formelen gir også 1.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Sum((ln(x))^n,n,0,infinity)

Resultat: \(1/(1-\ln x)\)

Tolkning: CAS-resultatet gjelder under betingelsen \(|\ln x|<1\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, log, summation, oo, simplify
x = symbols('x', positive=True)
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
formal_sum = summation(log(x)**n, (n, 0, oo))
manual = 1/(1-log(x))
print("Rekkeledd = log(x)**n")
print("Symbolsk uendelig sum =", formal_sum)
print("Manuell sumformel =", manual)
print("Kontroll ved x=1 =", manual.subs(x, 1))
print("Første fire ledd ved x=1 =", sum(log(1)**j for j in range(4)))
print("Gyldighetsbetingelse: exp(-1) < x < exp(1)")
assert simplify(manual.subs(x,1)-1) == 0

Kjørt utskriftRekkeledd = log(x)**n
Symbolsk uendelig sum = Piecewise((1/(1 - log(x)), Abs(log(x)) < 1), (Sum(log(x)**n, (n, 0, oo)), True))
Manuell sumformel = 1/(1 - log(x))
Kontroll ved x=1 = 1
Første fire ledd ved x=1 = 1
Gyldighetsbetingelse: exp(-1) < x < exp(1)

Fasit: \(\displaystyle S(x)=\frac{1}{1-\ln x}\) for \(e^{-1}

Vanlig feil: Å oppgi formelen uten konvergensområdet, slik at den brukes der den opprinnelige rekken divergerer.

Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig sumformel og eksplisitt gyldighetsområde.

Del 1 / Oppgave 7cLogaritmelikning

Oppgave 7c

Oppgave: Bestem \(x\) slik at summen av rekken blir 3.

Original poengangivelse: Oppgave 7 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter sumfunksjonen lik 3, løser logaritmelikningen og kontrollerer konvergensområdet.

Sett opp likningen
\(1/(1-\ln x)=3\).
Kryssmultipliser
\(1=3(1-\ln x)\).
Isoler logaritmen
\(3\ln x=2\), så \(\ln x=2/3\).
Eksponentier
\(x=e^{2/3}\).
Kontroller konvergens
Siden \(-1<2/3<1\), ligger \(x\) i \((e^{-1},e)\).
Kontroller summen
\(1/(1-2/3)=3\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(1/(1-ln(x))=3,x)

Resultat: \(x=e^{2/3}\)

Tolkning: CAS-kandidaten ligger i konvergensområdet og er derfor gyldig.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, log, exp, Eq, solve, simplify, N, Rational
x = symbols('x', positive=True)
S = 1/(1-log(x))
solutions = solve(Eq(S, 3), x)
expected = exp(Rational(2,3))
print("Sumfunksjon S(x) =", S)
print("Likning S(x)=3")
print("Løsninger fra SymPy =", solutions)
print("Forventet løsning =", expected)
print("Desimalverdi =", N(expected, 12))
print("Kontroll S(e^(2/3)) =", simplify(S.subs(x, expected)))
print("log(x) =", simplify(log(expected)))
assert simplify(S.subs(x, expected)-3) == 0

Kjørt utskriftSumfunksjon S(x) = 1/(1 - log(x))
Likning S(x)=3
Løsninger fra SymPy = [exp(2/3)]
Forventet løsning = exp(2/3)
Desimalverdi = 1.94773404105
Kontroll S(e^(2/3)) = 3
log(x) = 2/3

Fasit: \(x=e^{2/3}\approx1{,}948\).

Vanlig feil: Å glemme å kontrollere at løsningen ligger i konvergensområdet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt algebra, eksponentiering og domenekontroll.

Del 1 / Oppgave 7dVerdimengde

Oppgave 7d

Oppgave: For hvilke verdier av \(r\) har likningen \(S(x)=r\) løsning?

Original poengangivelse: Oppgave 7 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner verdimengden til \(S(x)=1/(1-\ln x)\) på konvergensintervallet.

Bruk en ny variabel
Sett \(u=\ln x\). På konvergensområdet er \(-1
Skriv funksjonen i u
\(S=1/(1-u)\).
Finn nevnerens intervall
Når \(-1
Ta den inverse
For positive tall snus rekkefølgen: \(1/(1-u)>1/2\).
Undersøk grensene
Når \(u\to-1^+\), går S mot \(1/2\) ovenfra. Når \(u\to1^-\), går S mot uendelig.
Skriv verdimengden
\(S(x)\in(1/2,\infty)\), altså har likningen løsning nøyaktig når \(r>1/2\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1LimitAbove(1/(1-ln(x)),exp(-1))

Resultat: \(1/2\)

Tolkning: Venstre endepunkt nås ikke, så 1/2 er bare en grenseverdi.

2LimitBelow(1/(1-ln(x)),exp(1))

Resultat: \(+\infty\)

Tolkning: Funksjonen er ubegrenset ovenfra når x nærmer seg e fra venstre.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, log, exp, limit, oo, diff, simplify, Rational
x = symbols('x', positive=True)
S = 1/(1-log(x))
left_limit = limit(S, x, exp(-1), dir='+')
right_limit = limit(S, x, exp(1), dir='-')
derivative = simplify(diff(S, x))
print("S(x) =", S)
print("S'(x) =", derivative)
print("Venstre grenseverdi =", left_limit)
print("Høyre grenseverdi =", right_limit)
print("S er voksende fordi teller og nevner i S' er positive i intervallet")
print("Verdimengde: (1/2, infinity)")
print("Betingelse for S(x)=r: r > 1/2")
assert left_limit == Rational(1,2) and right_limit == oo

Kjørt utskriftS(x) = 1/(1 - log(x))
S'(x) = 1/(x*(log(x) - 1)**2)
Venstre grenseverdi = 1/2
Høyre grenseverdi = oo
S er voksende fordi teller og nevner i S' er positive i intervallet
Verdimengde: (1/2, infinity)
Betingelse for S(x)=r: r > 1/2

Fasit: Likningen \(S(x)=r\) har løsning akkurat for \(r>\frac12\).

Vanlig feil: Å ta med \(r=1/2\), selv om endepunktet \(x=e^{-1}\) ikke er med i konvergensområdet.

Sensorpunkt: Sensor ser etter en korrekt verdimengde med åpne endepunkter.

Del 1 / Oppgave 8Matematisk induksjon

Oppgave 8

Oppgave: Vis ved hjelp av induksjon at \(\displaystyle P(n):\frac1{2!}+\frac2{3!}+\frac3{4!}+\cdots+\frac{n-1}{n!}=\frac{n!-1}{n!}\) for \(n\in\{2,3,4,\ldots\}\).

Original poengangivelse: Oppgave 8 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi verifiserer startverdien, antar påstanden for n og viser at den da gjelder for n+1.

Startsteg n=2
Venstresiden er \(1/2! =1/2\), og høyresiden er \((2!-1)/2!=1/2\). Påstanden er sann for n=2.
Induksjonsantakelse
Anta at \(\sum_{j=1}^{n-1}j/(j+1)!=(n!-1)/n!\).
Skriv uttrykket for n+1
Vi legger til neste ledd \(n/(n+1)!\).
Sett inn antakelsen
\[\frac{n!-1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}\]
Få felles nevner
\[\frac{(n+1)(n!-1)+n}{(n+1)!}=\frac{(n+1)n!-1}{(n+1)!}\]
Bruk fakultetsidentiteten
Siden \((n+1)n!=(n+1)!\), får vi \(\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!}\). Dermed gjelder P(n+1), og induksjonen er fullført.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Simplify((n!-1)/n!+n/(n+1)!)

Resultat: \(((n+1)!-1)/(n+1)!\)

Tolkning: CAS bekrefter det algebraiske induksjonssteget.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, factorial, summation, simplify
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
j = symbols('j', integer=True, positive=True)
base_left = simplify(1/factorial(2))
base_right = simplify((factorial(2)-1)/factorial(2))
induction_left = (factorial(n)-1)/factorial(n) + n/factorial(n+1)
induction_target = (factorial(n+1)-1)/factorial(n+1)
print("Startsteg venstre =", base_left)
print("Startsteg høyre =", base_right)
print("Induksjonssteg før forenkling =", induction_left)
print("Mål for P(n+1) =", induction_target)
print("Symbolsk differanse =", simplify(induction_left - induction_target))
for value in range(2, 8):
    lhs = summation(j/factorial(j+1), (j, 1, value-1))
    rhs = (factorial(value)-1)/factorial(value)
    print(f"n={value}: venstre={lhs}, høyre={rhs}, differanse={simplify(lhs-rhs)}")
assert base_left == base_right and simplify(induction_left-induction_target) == 0

Kjørt utskriftStartsteg venstre = 1/2
Startsteg høyre = 1/2
Induksjonssteg før forenkling = n/factorial(n + 1) + (factorial(n) - 1)/factorial(n)
Mål for P(n+1) = (factorial(n + 1) - 1)/factorial(n + 1)
Symbolsk differanse = 0
n=2: venstre=1/2, høyre=1/2, differanse=0
n=3: venstre=5/6, høyre=5/6, differanse=0
n=4: venstre=23/24, høyre=23/24, differanse=0
n=5: venstre=119/120, høyre=119/120, differanse=0
n=6: venstre=719/720, høyre=719/720, differanse=0
n=7: venstre=5039/5040, høyre=5039/5040, differanse=0

Fasit: Påstanden er sann for n=2 og går fra n til n+1; derfor gjelder den for alle \(n\ge2\).

Vanlig feil: Å legge til feil neste ledd, for eksempel \((n+1)/(n+1)!\), eller å hoppe over startsteget.

Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig startsteg, induksjonsantakelse og et fullført n→n+1-steg.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 / Oppgave 1aGraftegning og polynomfunksjon

Oppgave 1a

Oppgave: Funksjonen er gitt ved \(f(x)=x^4+7x^3+15x^2+9x\). Bruk graftegner til å tegne grafen til \(f\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal framstille grafen med et vindu som viser nullpunkter, ekstremalpunkter og den karakteristiske dobbelroten.

Faktoriser funksjonen
\(f(x)=x(x+1)(x+3)^2\).
Finn nullpunktene
Nullpunktene er \(x=-3\) (dobbelrot), \(x=-1\) og \(x=0\).
Tolk dobbelroten
Grafen tangerer x-aksen ved \(x=-3\), mens den krysser ved \(-1\) og 0.
Finn kritiske punkter
\(f\prime(x)=(x+3)(4x^2+9x+3)\), så grafen har tre stasjonære punkter.
Velg grafvindu
Et vindu omtrent \(-4{,}2\le x\le0{,}8\) og \(-4\le y\le8\) viser de sentrale trekkene.
Tegn og kontroller
Grafen går mot \(+\infty\) i begge ender fordi ledende ledd er \(x^4\).

Den heltrukne kurven er f. Den stiplede linjen brukes i de neste deloppgavene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1f(x)=x^4+7x^3+15x^2+9x

Resultat: Graf med nullpunkter \(-3,-1,0\)

Tolkning: Graftegneren viser tangering ved den doble roten \(-3\) og kryssing ved de enkle røttene.

2Factor(f)

Resultat: \(x(x+1)(x+3)^2\)

Tolkning: Faktoriseringen forklarer grafens kontakt med x-aksen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, factor, diff, solve, N
x = symbols('x', real=True)
f = x**4 + 7*x**3 + 15*x**2 + 9*x
factored = factor(f)
f1 = factor(diff(f, x))
zeros = solve(f, x)
critical = solve(diff(f, x), x)
print("f(x) =", f)
print("Faktorisert f(x) =", factored)
print("f'(x), faktorisert =", f1)
print("Nullpunkter =", zeros)
print("Stasjonære x-verdier =", critical)
for point in critical:
    print("  x =", point, ", f(x) =", N(f.subs(x, point), 12))
print("Ledende koeffisient = 1, derfor f(x) -> +infinity i begge retninger")
assert factor(f - x*(x+1)*(x+3)**2) == 0

Kjørt utskriftf(x) = x**4 + 7*x**3 + 15*x**2 + 9*x
Faktorisert f(x) = x*(x + 1)*(x + 3)**2
f'(x), faktorisert = (x + 3)*(4*x**2 + 9*x + 3)
Nullpunkter = [-3, -1, 0]
Stasjonære x-verdier = [-3, -9/8 - sqrt(33)/8, -9/8 + sqrt(33)/8]
  x = -3 , f(x) = 0
  x = -9/8 - sqrt(33)/8 , f(x) = 2.07979069664
  x = -9/8 + sqrt(33)/8 , f(x) = -1.62275944664
Ledende koeffisient = 1, derfor f(x) -> +infinity i begge retninger

Fasit: Grafen er vist i figuren; den har nullpunktene \(-3\) (dobbel), \(-1\) og 0.

Vanlig feil: Å bruke et for smalt grafvindu slik at viktige punkter eller grafens endeadferd skjules.

Sensorpunkt: Sensor ser etter en lesbar graf med korrekt skala og sentrale trekk.

Del 2 / Oppgave 1bVendepunkter og linjelikning

Oppgave 1b

Oppgave: Grafen til \(f\) har to vendepunkter, \(A\) og \(B\). Linjen gjennom \(A\) og \(B\) har likningen \(y=g(x)\). Bestem uttrykket \(g(x)\).

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner vendepunktene ved å løse \(f\prime\prime(x)=0\), beregner koordinatene og bestemmer linjen gjennom dem.

Finn andrederiverten
\(f\prime\prime(x)=12x^2+42x+30=6(2x^2+7x+5)\).
Finn x-koordinatene
\(2x^2+7x+5=(2x+5)(x+1)=0\), altså \(x=-5/2\) og \(x=-1\).
Finn punktene
\(A=(-5/2,15/16)\) og \(B=(-1,0)\).
Beregn stigningstallet
\[m=\frac{0-15/16}{-1-(-5/2)}=-\frac58\]
Finn konstantleddet
Fra \(0=(-5/8)(-1)+b\) får vi \(b=-5/8\).
Skriv linjen
\[g(x)=-\frac58x-\frac58=-\frac58(x+1)\]

A og B er vendepunktene; den stiplede linjen er g.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(f\prime\prime(x)=0,x)

Resultat: \(x=-5/2,-1\)

Tolkning: Dette gir de to vendepunktenes x-koordinater.

2Line((-5/2,15/16),(-1,0))

Resultat: \(y=-5x/8-5/8\)

Tolkning: GeoGebra bestemmer linjen gjennom A og B.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, diff, solve, simplify, Rational, factor
x = symbols('x', real=True)
f = x**4 + 7*x**3 + 15*x**2 + 9*x
f2 = factor(diff(f, x, 2))
inflection_x = solve(f2, x)
points = [(p, simplify(f.subs(x, p))) for p in inflection_x]
A, B = points
slope = simplify((B[1]-A[1])/(B[0]-A[0]))
intercept = simplify(A[1]-slope*A[0])
g = simplify(slope*x + intercept)
print("f''(x) =", f2)
print("Vendepunktenes x-verdier =", inflection_x)
print("A =", A)
print("B =", B)
print("Stigningstall =", slope)
print("Konstantledd =", intercept)
print("g(x) =", g)
print("Kontroll g(A_x)-A_y =", simplify(g.subs(x,A[0])-A[1]))
print("Kontroll g(B_x)-B_y =", simplify(g.subs(x,B[0])-B[1]))
assert slope == -Rational(5,8) and intercept == -Rational(5,8)

Kjørt utskriftf''(x) = 6*(x + 1)*(2*x + 5)
Vendepunktenes x-verdier = [-5/2, -1]
A = (-5/2, 15/16)
B = (-1, 0)
Stigningstall = -5/8
Konstantledd = -5/8
g(x) = -5*x/8 - 5/8
Kontroll g(A_x)-A_y = 0
Kontroll g(B_x)-B_y = 0

Fasit: \(\displaystyle g(x)=-\frac58x-\frac58\).

Vanlig feil: Å bruke bare x-koordinatene og glemme å beregne funksjonsverdiene til vendepunktene.

Sensorpunkt: Sensor ser etter begge vendepunktene og en dokumentert linjeberegning.

Del 2 / Oppgave 1cSkjæringspunkter, integral og geometrisk tolkning

Oppgave 1c

Oppgave: Linjen skjærer grafen til \(f\) også i \(C(a,f(a))\) og \(D(b,f(b))\). Bestem \(\displaystyle\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx\). Gi en geometrisk tolkning av svaret.

Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner de to ytre skjæringspunktene, beregner det fortegnede integralet og tolker kanselleringen mellom områdene.

Sett grafene lik hverandre
Vi løser \(f(x)-g(x)=0\).
Faktoriser differansen
\[f-g=\frac18(x+1)(2x+5)(4x^2+14x+1)\]
Finn de nye røttene
Kvadratet gir \(a=(-7-3\sqrt5)/4\) og \(b=(-7+3\sqrt5)/4\).
Sett opp integralet
\(I=\int_a^b(f-g)dx\).
Beregn integralet
Symbolsk integrasjon gir \(I=0\).
Tolk geometrisk
Mellom a og b ligger ett område der f er over g og to sideområder der f er under g. Det positive arealet er \(243/160\), mens de to negative bidragene er \(-243/320\) hver. De fortegnede arealene kansellerer.

De to negative sidebidragene har til sammen samme størrelse som det positive midtbidraget.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Factor(f(x)-g(x))

Resultat: \((x+1)(2x+5)(4x^2+14x+1)/8\)

Tolkning: Faktoriseringen viser alle fire skjæringspunktene.

2Integral(f-g,a,b)

Resultat: \(0\)

Tolkning: Integralverdien er null selv om det geometriske arealet mellom kurvene ikke er null.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sqrt, factor, solve, integrate, simplify, Rational, N
x = symbols('x', real=True)
f = x**4 + 7*x**3 + 15*x**2 + 9*x
g = -Rational(5,8)*x - Rational(5,8)
h = factor(f-g)
roots = solve(h, x)
a = -Rational(7,4) - 3*sqrt(5)/4
b = -Rational(7,4) + 3*sqrt(5)/4
integral_value = simplify(integrate(h, (x, a, b)))
subintervals = [(a,-Rational(5,2)),(-Rational(5,2),-1),(-1,b)]
print("f(x)-g(x), faktorisert =", h)
print("Alle skjæringspunktenes x-verdier =", roots)
print("a =", a, "≈", N(a,10))
print("b =", b, "≈", N(b,10))
print("Integral fra a til b =", integral_value)
for left, right in subintervals:
    value = simplify(integrate(h, (x,left,right)))
    print("Bidrag på", (left,right), "=", value, "≈", N(value,10))
absolute_area = Rational(243,80)
print("Samlet geometrisk areal =", absolute_area)
assert integral_value == 0

Kjørt utskriftf(x)-g(x), faktorisert = (x + 1)*(2*x + 5)*(4*x**2 + 14*x + 1)/8
Alle skjæringspunktenes x-verdier = [-5/2, -1, -7/4 - 3*sqrt(5)/4, -7/4 + 3*sqrt(5)/4]
a = -7/4 - 3*sqrt(5)/4 ≈ -3.427050983
b = -7/4 + 3*sqrt(5)/4 ≈ -0.07294901688
Integral fra a til b = 0
Bidrag på (-7/4 - 3*sqrt(5)/4, -5/2) = -243/320 ≈ -0.7593750000
Bidrag på (-5/2, -1) = 243/160 ≈ 1.518750000
Bidrag på (-1, -7/4 + 3*sqrt(5)/4) = -243/320 ≈ -0.7593750000
Samlet geometrisk areal = 243/80

Fasit: \(\displaystyle\int_a^b(f-g)dx=0\), der \(a=\frac{-7-3\sqrt5}{4}\) og \(b=\frac{-7+3\sqrt5}{4}\). De positive og negative fortegnede arealene er like store.

Vanlig feil: Å tolke integralverdien 0 som at kurvene ikke omslutter noe areal.

Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige grenser, eksakt integral og en presis fortegnet arealtolkning.

Del 2 / Oppgave 2aVektorprodukt og trekantareal

Oppgave 2a

Oppgave: Punktene er \(A(3,2,t)\), \(B(4,-3,3)\) og \(C(8,3,5)\), der \(t\in\mathbb R\). Bruk CAS til å vise at arealet av \(\triangle ABC\) kan uttrykkes som \(f(t)=\sqrt{13(t^2-8t+30)}\).

Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Arealfunksjonen finnes som halvparten av lengden til kryssproduktet \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\).

Finn sidevektorene
\(\overrightarrow{AB}=(1,-5,3-t)\) og \(\overrightarrow{AC}=(5,1,5-t)\).
Beregn kryssproduktet
\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6t-28,10-4t,26)\]
Bruk arealformelen
\(A=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\).
Kvadrer lengden
\((6t-28)^2+(10-4t)^2+26^2=52t^2-416t+1560\).
Ta halvparten
\[A=\frac12\sqrt{52t^2-416t+1560}\]
Faktoriser
\[A=\sqrt{13(t^2-8t+30)}\]

Ved t=4 ligger A i posisjonen som gir det minste trekantarealet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Cross((1,-5,3-t),(5,1,5-t))

Resultat: \((6t-28,10-4t,26)\)

Tolkning: CAS beregner en normalvektor til trekantplanet.

2Simplify(Length(cross)/2)

Resultat: \(\sqrt{13(t^2-8t+30)}\)

Tolkning: Halvparten av parallellogramarealet er trekantarealet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Matrix, sqrt, simplify, factor, expand
t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([3, 2, t])
B = Matrix([4, -3, 3])
C = Matrix([8, 3, 5])
AB = B - A
AC = C - A
cross = AB.cross(AC)
length_squared = expand(cross.dot(cross))
area = simplify(sqrt(length_squared)/2)
expected = sqrt(13*(t**2 - 8*t + 30))
print("A =", A.T)
print("B =", B.T)
print("C =", C.T)
print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("AB x AC =", cross.T)
print("|AB x AC|^2 =", length_squared)
print("Trekantareal =", area)
print("Forventet form =", expected)
print("Kvadrert kontroll =", simplify(area**2 - expected**2))
assert simplify(area**2-expected**2) == 0

Kjørt utskriftA = Matrix([[3, 2, t]])
B = Matrix([[4, -3, 3]])
C = Matrix([[8, 3, 5]])
AB = Matrix([[1, -5, 3 - t]])
AC = Matrix([[5, 1, 5 - t]])
AB x AC = Matrix([[6*t - 28, 10 - 4*t, 26]])
|AB x AC|^2 = 52*t**2 - 416*t + 1560
Trekantareal = sqrt(13*t**2 - 104*t + 390)
Forventet form = sqrt(13*t**2 - 104*t + 390)
Kvadrert kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle A(t)=\sqrt{13(t^2-8t+30)}\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/2\) når parallellogramarealet omgjøres til trekantareal.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte sidevektorer, kryssprodukt og norm.

Del 2 / Oppgave 2bMinimering av areal

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem det minste arealet som \(\triangle ABC\) kan ha.

Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Fordi kvadratroten er voksende, minimerer vi andregraduttrykket inne i roten.

Skriv arealfunksjonen
\(A(t)=\sqrt{13(t^2-8t+30)}\).
Fullfør kvadratet
\(t^2-8t+30=(t-4)^2+14\).
Finn minimumspunktet
Kvadratet \((t-4)^2\) er minst 0, og minimum oppnås for \(t=4\).
Finn minste innvendige verdi
Uttrykket blir \(13\cdot14=182\).
Ta kvadratroten
\(A_{\min}=\sqrt{182}\).
Gi desimalverdi
\(\sqrt{182}\approx13{,}49\) arealenheter.

Arealfunksjonen har sitt entydige minimum ved t=4.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Derivative(sqrt(13(t^2-8t+30)),t)

Resultat: \(13(t-4)/\sqrt{13(t^2-8t+30)}\)

Tolkning: Den deriverte har samme fortegn som t-4.

2Solve(Derivative(sqrt(13(t^2-8t+30)),t)=0,t)

Resultat: \(t=4\)

Tolkning: Innsetting gir minimumsarealet \(\sqrt{182}\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sqrt, diff, solve, simplify, N

t = symbols('t', real=True)
area = sqrt(13*(t**2 - 8*t + 30))
derivative = simplify(diff(area, t))
critical = solve(derivative, t)
minimum_t = 4
minimum_area = simplify(area.subs(t, minimum_t))
completed_square = (t-4)**2 + 14
print("A(t) =", area)
print("A'(t) =", derivative)
print("Kritiske t-verdier =", critical)
print("t^2-8t+30 =", completed_square)
print("Minimum oppnås ved t =", minimum_t)
print("Minste areal =", minimum_area)
print("Desimalverdi =", N(minimum_area, 12))
print("Kontroll A'(4) =", simplify(derivative.subs(t,4)))
assert minimum_area == sqrt(182)

Kjørt utskriftA(t) = sqrt(13*t**2 - 104*t + 390)
A'(t) = sqrt(13)*(t - 4)/sqrt(t**2 - 8*t + 30)
Kritiske t-verdier = [4]
t^2-8t+30 = (t - 4)**2 + 14
Minimum oppnås ved t = 4
Minste areal = sqrt(182)
Desimalverdi = 13.4907375632
Kontroll A'(4) = 0

Fasit: Det minste arealet er \(\sqrt{182}\approx13{,}49\), og det oppnås når \(t=4\).

Vanlig feil: Å minimere selve kvadratroten numerisk uten å se at det er nok å minimere andregradsuttrykket.

Sensorpunkt: Sensor ser etter både minimumsarealet og hvilken t-verdi som gir det.

Del 2 / Oppgave 3Volum av omdreiningslegeme med parameter

Oppgave 3

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=2\sin(\pi x+\pi/2)+d\), \(1\le x\le2\), \(d\in\mathbb R\). Grafen roteres \(360^\circ\) om x-aksen. Bestem mulige verdier for \(d\) slik at volumet blir \(6\pi\).

Original poengangivelse: Oppgave 3 (3 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Volumet er \(\pi\int_1^2 f(x)^2dx\). Vi beregner integralet som en andregradslikning i d.

Skriv volumformelen
\(V=\pi\int_1^2[2\sin(\pi x+\pi/2)+d]^2dx\).
Bruk cosinusformen
\(\sin(\pi x+\pi/2)=\cos(\pi x)\), så \(f=2\cos(\pi x)+d\).
Utvid kvadratet
\(f^2=4\cos^2(\pi x)+4d\cos(\pi x)+d^2\).
Integrer leddene
På intervallet av lengde 1 er \(\int_1^2\cos(\pi x)dx=0\) og \(\int_1^2\cos^2(\pi x)dx=1/2\).
Finn volumet
\(V=\pi(2+d^2)\).
Løs volumkravet
\(\pi(2+d^2)=6\pi\Rightarrow d^2=4\Rightarrow d=\pm2\).

Profilene for d=2 og d=-2 er speilvendte og gir samme volum.

Omdreiningslegemet for d=2; d=-2 gir det speilvendte legemet om x=1,5.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Integral(pi*(2 sin(pi x+pi/2)+d)^2,x,1,2)

Resultat: \(\pi(d^2+2)\)

Tolkning: CAS reduserer volumet til et polynom i d.

2Solve(pi(d^2+2)=6pi,d)

Resultat: \(d=-2\) eller \(d=2\)

Tolkning: Profilene gir speilvendte omdreiningslegemer om \(x=1{,}5\), men integralet av radiuskvadratet og dermed volumet er det samme.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, sin, cos, pi, integrate, solve, Eq, simplify
x, d = symbols('x d', real=True)
f = 2*sin(pi*x + pi/2) + d
cos_form = simplify(f.rewrite(cos))
volume = simplify(pi*integrate(f**2, (x, 1, 2)))
solutions = solve(Eq(volume, 6*pi), d)
print("f(x) =", f)
print("Omskrevet med cosinus =", cos_form)
print("Integral av cos(pi*x) =", integrate(cos(pi*x),(x,1,2)))
print("Integral av cos(pi*x)^2 =", integrate(cos(pi*x)**2,(x,1,2)))
print("Volum V(d) =", volume)
print("Likning V(d)=6*pi")
print("Løsninger for d =", solutions)
for value in solutions:
    print("Kontroll d =", value, "gir V =", simplify(volume.subs(d,value)))
assert solutions == [-2,2]

Kjørt utskriftf(x) = d + 2*cos(pi*x)
Omskrevet med cosinus = d + 2*cos(pi*x)
Integral av cos(pi*x) = 0
Integral av cos(pi*x)^2 = 1/2
Volum V(d) = pi*(d**2 + 2)
Likning V(d)=6*pi
Løsninger for d = [-2, 2]
Kontroll d = -2 gir V = 6*pi
Kontroll d = 2 gir V = 6*pi

Fasit: \(d=-2\) eller \(d=2\).

Vanlig feil: Å glemme at radiusen kvadreres, eller å forkaste d=-2 bare fordi funksjonsverdiene er negative.

Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt volumoppsett, CAS-integrasjon og begge parameterverdiene.

Del 2 / Oppgave 4aTo geometriske rekker og ligningssystem

Oppgave 4a

Oppgave: \(S=a+ak+ak^2+\cdots\) og \(T=a+2ak+4ak^2+\cdots\), med \(a\ne0\). Bestem \(a\) og \(k\) når \(S=6\) og \(T=12\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker sumformlene for begge rekker og beholder det strengeste konvergensvilkåret.

Finn kvotientene
Rekken S har kvotient k, mens T har kvotient 2k.
Angi konvergens
Begge må konvergere, så \(|2k|<1\), altså \(|k|<1/2\).
Skriv sumformlene
\(S=a/(1-k)\) og \(T=a/(1-2k)\).
Sett inn summene
\(a/(1-k)=6\) og \(a/(1-2k)=12\).
Løs systemet
Fra \(a=6(1-k)=12(1-2k)\) får vi \(k=1/3\).
Finn a og kontroller
\(a=6(1-1/3)=4\). Dessuten \(|1/3|<1/2\), så begge rekker konvergerer.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve({a/(1-k)=6,a/(1-2k)=12},{a,k})

Resultat: \(a=4,\ k=1/3\)

Tolkning: CAS-løsningen oppfyller både ligningene og konvergensvilkåret.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify

a, k = symbols('a k', real=True)
S = a/(1-k)
T = a/(1-2*k)
solutions = solve([Eq(S,6), Eq(T,12)], [a,k], dict=True)
print("Sumformel S =", S)
print("Sumformel T =", T)
print("Konvergenskrav for begge: Abs(k) < 1/2")
print("CAS-løsninger =", solutions)
valid = []
for solution in solutions:
    kval = solution[k]
    print("Kandidat =", solution)
    print("  S =", simplify(S.subs(solution)))
    print("  T =", simplify(T.subs(solution)))
    print("  |k| < 1/2 =", abs(float(kval)) < 0.5)
    if abs(float(kval)) < 0.5:
        valid.append(solution)
assert valid == [{a:4,k:Rational(1,3)}]

Kjørt utskriftSumformel S = a/(1 - k)
Sumformel T = a/(1 - 2*k)
Konvergenskrav for begge: Abs(k) < 1/2
CAS-løsninger = [{a: 4, k: 1/3}]
Kandidat = {a: 4, k: 1/3}
  S = 6
  T = 12
  |k| < 1/2 = True

Fasit: \(a=4\) og \(k=1/3\).

Vanlig feil: Å kontrollere bare \(|k|<1\) og overse at rekken T krever \(|2k|<1\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter begge sumformlene og en eksplisitt konvergenskontroll.

Del 2 / Oppgave 4bKonvergenskontroll etter algebraisk løsning

Oppgave 4b

Oppgave: Undersøk om det er mulig å finne en verdi for \(k\) slik at \(S=-2T\).

Original poengangivelse: Oppgave 4 (4 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser relasjonen mellom sumformlene og vurderer deretter om den algebraiske kandidaten er tillatt for begge rekker.

Bruk sumformlene
For konvergerende rekker er \(S=a/(1-k)\) og \(T=a/(1-2k)\).
Sett inn relasjonen
\(a/(1-k)=-2a/(1-2k)\).
Forkort a
Siden \(a\ne0\), kan a forkortes.
Løs likningen
\(1-2k=-2(1-k)\Rightarrow1-2k=-2+2k\Rightarrow k=3/4\).
Kontroller konvergens
For T må \(|2k|<1\). Ved \(k=3/4\) er \(|2k|=3/2>1\).
Konkluder
Den algebraiske kandidaten gjør rekken T divergent. Det finnes derfor ingen k-verdi som oppfyller kravet for to konvergerende uendelige rekker.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(1/(1-k)=-2/(1-2k),k)

Resultat: \(k=3/4\)

Tolkning: CAS gir en algebraisk kandidat.

2abs(2*(3/4))<1

Resultat: false

Tolkning: Kandidaten avvises fordi T ikke konvergerer.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify
k = symbols('k', real=True)
equation = Eq(1/(1-k), -2/(1-2*k))
solutions = solve(equation, k)
print("Likning etter forkorting av a =", equation)
print("Algebraiske løsninger =", solutions)
for candidate in solutions:
    print("Kandidat k =", candidate)
    print("|k| =", abs(float(candidate)))
    print("|2k| =", abs(float(2*candidate)))
    print("S konvergerer =", abs(float(candidate)) < 1)
    print("T konvergerer =", abs(float(2*candidate)) < 1)
print("Konklusjon: Ingen gyldig k for begge konvergerende rekker")
assert solutions == [Rational(3,4)]
assert not (abs(float(2*solutions[0])) < 1)

Kjørt utskriftLikning etter forkorting av a = Eq(1/(1 - k), -2/(1 - 2*k))
Algebraiske løsninger = [3/4]
Kandidat k = 3/4
|k| = 0.75
|2k| = 1.5
S konvergerer = True
T konvergerer = False
Konklusjon: Ingen gyldig k for begge konvergerende rekker

Fasit: Det er ikke mulig. Likningen gir \(k=3/4\), men da divergerer T.

Vanlig feil: Å godta \(k=3/4\) uten å kontrollere at begge uendelige rekker konvergerer.

Sensorpunkt: Sensor ser etter forskjellen mellom en algebraisk kandidat og en gyldig rekkeparameter.

Del 2 / Oppgave 5aModellering med differensiallikning

Oppgave 5a

Oppgave: En pasient får tilført 3,0 mg medisin per time, mens kroppen skiller ut 30 % av den totale medisinmengden per time. Forklar at modellen blir \(y\prime=-0{,}30y+3{,}0\), \(y(0)=0\).

Original poengangivelse: Oppgave 5 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Endringsraten er tilførsel minus utskilling. Initialbetingelsen beskriver at pasienten starter uten medisin.

Definer størrelsen
\(y(t)\) er medisinmengden i mg etter t timer.
Finn tilførselsraten
Kontinuerlig tilførsel gir \(+3{,}0\) mg/time.
Finn utskillingsraten
30 % av aktuell mengde per time gir \(0{,}30y\) mg/time ut av kroppen.
Bruk fortegn
Utskilling reduserer mengden og bidrar derfor med \(-0{,}30y\).
Sett sammen netto endring
\(y\prime=3{,}0-0{,}30y\).
Angi startverdien
Pasienten har 0 mg ved oppstart, så \(y(0)=0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1y\prime(t)=3-0.30 y(t)

Resultat: \(y\prime=-0{,}30y+3{,}0\)

Tolkning: Likningen uttrykker netto tilførsel per tidsenhet.

2y(0)=0

Resultat: Startbetingelse

Tolkning: Initialverdien svarer til at kroppen ikke inneholder medisin ved t=0.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Function, Eq, Rational, diff

t = symbols('t', nonnegative=True)
y = Function('y')
input_rate = Rational(3,1)
elimination_fraction = Rational(30,100)
model = Eq(diff(y(t), t), input_rate - elimination_fraction*y(t))
print("Tilførselsrate =", input_rate, "mg/time")
print("Utskilt andel per time =", elimination_fraction)
print("Utskillingsterm =", -elimination_fraction*y(t))
print("Netto differensiallikning =", model)
print("Initialbetingelse: y(0) = 0")
print("Ved y=0 er startfarten =", model.rhs.subs(y(t),0), "mg/time")
print("Ved y=10 er nettofarten =", model.rhs.subs(y(t),10), "mg/time")
assert model.rhs.subs(y(t),10) == 0

Kjørt utskriftTilførselsrate = 3 mg/time
Utskilt andel per time = 3/10
Utskillingsterm = -3*y(t)/10
Netto differensiallikning = Eq(Derivative(y(t), t), 3 - 3*y(t)/10)
Initialbetingelse: y(0) = 0
Ved y=0 er startfarten = 3 mg/time
Ved y=10 er nettofarten = 0 mg/time

Fasit: \(y\prime=-0{,}30y+3{,}0\), med \(y(0)=0\).

Vanlig feil: Å bruke \(-0{,}30\) som en konstant utskillingsrate i stedet for \(-0{,}30y\).

Sensorpunkt: Sensor ser etter enheter, fortegn og forklaring av begge leddene.

Del 2 / Oppgave 5bLøsning av lineær differensiallikning

Oppgave 5b

Oppgave: Bruk CAS til å løse \(y\prime=-0{,}30y+3{,}0\), \(y(0)=0\).

Original poengangivelse: Oppgave 5 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser den lineære differensiallikningen med initialbetingelsen og kontrollerer residualen.

Skriv standardformen
\(y\prime+0{,}30y=3\).
Finn likevektsløsningen
En konstant løsning oppfyller \(0=-0{,}30y+3\), så \(y=10\).
Løs den homogene likningen
\(y_h=Ce^{-0{,}30t}\).
Sett sammen
\(y=10+Ce^{-0{,}30t}\).
Bruk startverdien
\(0=10+C\), så \(C=-10\).
Skriv løsningen
\[y(t)=10\bigl(1-e^{-0{,}30t}\bigr)\]

Den første pasientens kurve starter i 0 og nærmer seg likevekten 10 mg.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1SolveODE(y\prime=-0.30y+3,y(0)=0)

Resultat: \(y=10(1-e^{-0{,}30t})\)

Tolkning: CAS bestemmer konstanten fra initialbetingelsen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, exp, Rational, simplify

t = symbols('t', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(t), t), -Rational(3,10)*y(t) + 3)
solution = dsolve(ode, ics={y(0):0})
manual = 10*(1-exp(-Rational(3,10)*t))
residual = simplify(diff(manual,t) - (-Rational(3,10)*manual+3))
print("Differensiallikning =", ode)
print("Initialbetingelse: y(0)=0")
print("CAS-løsning =", solution)
print("Manuell form =", manual)
print("Kontroll y(0) =", simplify(manual.subs(t,0)))
print("Residual =", residual)
for hour in [1,3,6,12]:
    print(f"y({hour}) =", manual.subs(t,hour).evalf(12), "mg")
assert residual == 0 and manual.subs(t,0) == 0

Kjørt utskriftDifferensiallikning = Eq(Derivative(y(t), t), 3 - 3*y(t)/10)
Initialbetingelse: y(0)=0
CAS-løsning = Eq(y(t), 10 - 10*exp(-3*t/10))
Manuell form = 10 - 10*exp(-3*t/10)
Kontroll y(0) = 0
Residual = 0
y(1) = 2.59181779318 mg
y(3) = 5.93430340259 mg
y(6) = 8.34701111778 mg
y(12) = 9.72676277553 mg

Fasit: \(\displaystyle y(t)=10(1-e^{-0{,}30t})\) mg.

Vanlig feil: Å glemme initialbetingelsen og bare oppgi den generelle løsningen.

Sensorpunkt: Sensor ser etter CAS-løsning, bestemt konstant og korrekt enhet.

Del 2 / Oppgave 5cGrenseverdi og likevekt

Oppgave 5c

Oppgave: Hvor mye medisin har pasienten i kroppen når behandlingen har pågått i lang tid?

Original poengangivelse: Oppgave 5 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner grenseverdien til løsningen når \(t\to\infty\), eller bruker likevektsbetingelsen \(y\prime=0\).

Bruk løsningen
\(y(t)=10(1-e^{-0{,}30t})\).
Undersøk eksponentialleddet
Når \(t\to\infty\), går \(e^{-0{,}30t}\to0\).
Ta grenseverdien
\(\lim_{t\to\infty}y(t)=10(1-0)=10\).
Kontroller med likevekt
Sett \(y\prime=0\): \(-0{,}30y+3=0\).
Løs likevektslikningen
\(y=3/0{,}30=10\).
Tolk
På lang sikt balanserer tilførselen 3 mg/time nøyaktig utskillingen 30 % av 10 mg, som også er 3 mg/time.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Limit(10(1-exp(-0.30t)),t,infinity)

Resultat: \(10\)

Tolkning: CAS viser den langsiktige medisinmengden.

2Solve(-0.30y+3=0,y)

Resultat: \(y=10\)

Tolkning: Likevektsberegningen gir samme verdi.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, exp, Rational, limit, oo, solve, Eq, simplify

t, Y = symbols('t Y', real=True)
y = 10*(1-exp(-Rational(3,10)*t))
long_time = limit(y, t, oo)
equilibrium = solve(Eq(-Rational(3,10)*Y + 3, 0), Y)
print("Løsning y(t) =", y)
print("Grenseverdi når t -> infinity =", long_time)
print("Likevektslikning: -0.30*Y+3=0")
print("Likevektsløsning =", equilibrium)
print("Tilførsel ved likevekt = 3 mg/time")
print("Utskilling ved 10 mg =", Rational(3,10)*10, "mg/time")
print("Kontroll =", simplify(long_time-equilibrium[0]))
assert long_time == 10 and equilibrium == [10]

Kjørt utskriftLøsning y(t) = 10 - 10*exp(-3*t/10)
Grenseverdi når t -> infinity = 10
Likevektslikning: -0.30*Y+3=0
Likevektsløsning = [10]
Tilførsel ved likevekt = 3 mg/time
Utskilling ved 10 mg = 3 mg/time
Kontroll = 0

Fasit: Pasienten nærmer seg \(10\) mg medisin i kroppen.

Vanlig feil: Å tro at mengden fortsetter å vokse lineært fordi medisinen tilføres hele tiden.

Sensorpunkt: Sensor ser etter en grenseverdi eller likevektsargument med korrekt tolkning.

Del 2 / Oppgave 5dBestemmelse av ukjent initialverdi

Oppgave 5d

Oppgave: En annen pasient følger samme modell, men har ukjent startmengde \(y_0\). Etter 6 timer har hun 9,17 mg. Bestem \(y_0\).

Original poengangivelse: Oppgave 5 (7 poeng).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker den generelle løsningen med vilkårlig startverdi og setter inn målingen ved t=6.

Skriv generell løsning
\(y(t)=10+Ce^{-0{,}30t}\).
Knytt C til startverdien
Ved t=0 er \(y_0=10+C\), så \(C=y_0-10\).
Skriv løsningen med y0
\(y(t)=10+(y_0-10)e^{-0{,}30t}\).
Sett inn målingen
\(9{,}17=10+(y_0-10)e^{-1{,}8}\).
Isoler startverdien
\(y_0=10+(9{,}17-10)e^{1{,}8}\).
Beregn
\(y_0\approx4{,}9788\), altså omtrent \(4{,}98\) mg.

Den andre kurven starter ved omtrent 4,98 mg og går gjennom punktet (6,9,17).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS

1Solve(9.17=10+(y0-10)exp(-0.30*6),y0)

Resultat: \(y_0\approx4{,}98\)

Tolkning: CAS finner startmengden som gir den observerte verdien etter seks timer.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

from sympy import symbols, exp, Eq, solve, Rational, N, simplify

y0 = symbols('y0', real=True)
t = symbols('t', real=True)
model = 10 + (y0-10)*exp(-Rational(3,10)*t)
equation = Eq(model.subs(t,6), Rational(917,100))
solutions = solve(equation, y0)
start_value = solutions[0]
print("Modell med ukjent startverdi =", model)
print("Likning ved t=6 =", equation)
print("Eksakt løsning for y0 =", start_value)
print("Desimalverdi y0 =", N(start_value, 14), "mg")
check_value = simplify(model.subs({t:6,y0:start_value}))
print("Kontroll y(6) =", check_value, "mg")
print("Avrundet til to desimaler =", round(float(start_value),2), "mg")
print("Avvik fra oppgitt 9.17 etter innsetting =", N(check_value-Rational(917,100),8))
assert check_value == Rational(917,100)

Kjørt utskriftModell med ukjent startverdi = (y0 - 10)*exp(-3*t/10) + 10
Likning ved t=6 = Eq((y0 - 10)*exp(-9/5) + 10, 917/100)
Eksakt løsning for y0 = 10 - 83*exp(9/5)/100
Desimalverdi y0 = 4.9787926045373 mg
Kontroll y(6) = 917/100 mg
Avrundet til to desimaler = 4.98 mg
Avvik fra oppgitt 9.17 etter innsetting = 0

Fasit: \(y_0\approx4{,}98\) mg.

Vanlig feil: Å bruke løsningen fra pasienten som startet med 0 mg, eller å flytte eksponentialfaktoren feil vei.

Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig generell løsning, innsetting ved t=6 og rimelig avrunding.

Matematikk R2 eksamen – vår 2017

Matematikk R2 - eksamen vår 2017

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 4a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 4b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 5

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 6c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 7d

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 8

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 1c

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2a

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 2b

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 3

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

Digital kontroll i Python (SymPy)

Oppgave 4a