R2 eksamenVår 2014

Matematikk R2 eksamen – vår 2014

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2014

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1aDerivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=\sin(3x)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Den ytre funksjonen er sinus, mens kjernen er \(3x\).

Steg 1 - Finn den ytre funksjonen

Den ytre funksjonen er \(\sin u\), og den har derivert \(\cos u\).

Steg 2 - Finn kjernen

Sett \(u=3x\). Da er \(u\prime=3\).

Steg 3 - Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\cdot u\prime\]

Steg 4 - Sett inn kjernen

\[f\prime(x)=\cos(3x)\cdot3\]

Steg 5 - Skriv svaret ryddig

\[f\prime(x)=3\cos(3x)\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

Ved \(x=0\) er stigningstallet \(3\), som stemmer med at \(\sin(3x)\) vokser tre ganger raskere enn \(\sin x\) rundt origo.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(sin(3x),x)
Resultat: \(3\cos(3x)\)

Tolkning: CAS bekrefter faktoren 3 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = sin(3*x)
derivative = diff(f, x)
expected = 3*cos(3*x)
print("Funksjon:", f)
print("Derivert:", derivative)
print("Forventet:", expected)
print("Symbolsk kontroll:", simplify(derivative - expected))
print("Numerisk kontroll ved x=0:", derivative.subs(x, 0))
assert simplify(derivative - expected) == 0

Funksjon: sin(3*x)
Derivert: 3*cos(3*x)
Forventet: 3*cos(3*x)
Symbolsk kontroll: 0
Numerisk kontroll ved x=0: 3

Fasit: \(f\prime(x)=3\cos(3x)\).

Vanlig feil: A glemme faktoren 3 fra derivasjonen av kjernen \(3x\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter synlig bruk av kjerneregelen og korrekt konstantfaktor.
Del 1 / Oppgave 1bProduktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=e^{2x}\cos x\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt. Eksponentialfaktoren krever samtidig kjerneregelen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=e^{2x}\) og \(v(x)=\cos x\).

Steg 2 - Deriver eksponentialfaktoren

\[u\prime(x)=2e^{2x}\]

Steg 3 - Deriver cosinusfaktoren

\[v\prime(x)=-\sin x\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 5 - Sett inn

\[g\prime(x)=2e^{2x}\cos x-e^{2x}\sin x\]

Steg 6 - Faktoriser

\[g\prime(x)=e^{2x}\bigl(2\cos x-\sin x\bigr)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(exp(2x) cos(x),x)
Resultat: \(e^{2x}(2\cos x-\sin x)\)

Tolkning: CAS viser begge produktleddene og riktig minustegn.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, exp, cos, sin, diff, factor, simplify
x = symbols('x', real=True)
g = exp(2*x)*cos(x)
raw_derivative = diff(g, x)
factored = factor(raw_derivative)
expected = exp(2*x)*(2*cos(x) - sin(x))
print("Funksjon:", g)
print("Derivert, utvidet:", raw_derivative)
print("Derivert, faktorisert:", factored)
print("Forventet:", expected)
print("Symbolsk kontroll:", simplify(raw_derivative - expected))
assert simplify(raw_derivative - expected) == 0

Funksjon: exp(2*x)*cos(x)
Derivert, utvidet: -exp(2*x)*sin(x) + 2*exp(2*x)*cos(x)
Derivert, faktorisert: (-sin(x) + 2*cos(x))*exp(2*x)
Forventet: (-sin(x) + 2*cos(x))*exp(2*x)
Symbolsk kontroll: 0

Fasit: \(g\prime(x)=e^{2x}(2\cos x-\sin x)\).

Vanlig feil: A derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem, i stedet for a bruke produktregelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter produktregelen, faktoren 2 fra kjerneregelen og minustegnet fra cosinus.
Del 1 / Oppgave 2aSubstitusjon

Oppgave 2a

Oppgave: Regn ut integralet \(\displaystyle\int 2x\sin(x^2)\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden inneholder en sammensatt funksjon og den deriverte av kjernen. Substitusjon er derfor naturlig.

Steg 1 - Velg substitusjon

Sett \(u=x^2\).

Steg 2 - Finn differensialet

\[du=2x\,dx\]

Steg 3 - Bytt variabel i integralet

\[\int 2x\sin(x^2)\,dx=\int\sin u\,du\]

Steg 4 - Integrer sinus

\[\int\sin u\,du=-\cos u+C\]

Steg 5 - Sett tilbake

\[-\cos(x^2)+C\]

Steg 6 - Deriver kontrollsvaret

\[\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x^2)\bigr)=2x\sin(x^2)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(2x sin(x^2),x)
Resultat: \(-\cos(x^2)\)

Tolkning: CAS gir en stamfunksjon; den generelle stamfunksjonen inkluderer konstanten \(C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, sin, cos, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = 2*x*sin(x**2)
antiderivative = integrate(integrand, x)
expected = -cos(x**2)
print("Integrand:", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy:", antiderivative)
print("Forventet stamfunksjon:", expected)
print("Derivert av svaret:", diff(expected, x))
print("Kontrollforskjell:", simplify(diff(expected, x) - integrand))
assert simplify(diff(expected, x) - integrand) == 0

Integrand: 2*x*sin(x**2)
Stamfunksjon fra SymPy: -cos(x**2)
Forventet stamfunksjon: -cos(x**2)
Derivert av svaret: 2*x*sin(x**2)
Kontrollforskjell: 0

Fasit: \(\displaystyle\int 2x\sin(x^2)\,dx=-\cos(x^2)+C\).

Vanlig feil: A glemme minustegnet i stamfunksjonen til sinus, eller a unnlate integrasjonskonstanten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter substitusjonen \(u=x^2\), korrekt differensial og \(+C\).
Del 1 / Oppgave 2bDelvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Regn ut integralet \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet \(x\ln x\) passer til delvis integrasjon fordi logaritmen blir enklere nar den deriveres.

Steg 1 - Velg delene

Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x\,dx\).

Steg 2 - Deriver og integrer

\[du=\frac1x\,dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}\]

Steg 3 - Bruk formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 - Finn en stamfunksjon

\[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\]

Steg 5 - Sett inn grensene

\[\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}\right)-\left(0-\frac14\right)\]

Steg 6 - Forenkle

\[\int_1^e x\ln x\,dx=\frac{e^2+1}{4}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(x ln(x),x,1,e)
Resultat: \((e^2+1)/4\)

Tolkning: CAS bekrefter den eksakte verdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, log, E, integrate, simplify, N
x = symbols('x', positive=True)
integrand = x*log(x)
antiderivative = integrate(integrand, x)
value = integrate(integrand, (x, 1, E))
expected = (E**2 + 1)/4
print("Integrand:", integrand)
print("Stamfunksjon:", antiderivative)
print("Bestemt integral:", value)
print("Forventet eksakt verdi:", expected)
print("Desimalverdi:", N(value, 10))
print("Kontrollforskjell:", simplify(value - expected))
assert simplify(value - expected) == 0

Integrand: x*log(x)
Stamfunksjon: x**2*log(x)/2 - x**2/4
Bestemt integral: 1/4 + exp(2)/4
Forventet eksakt verdi: 1/4 + exp(2)/4
Desimalverdi: 2.097264025
Kontrollforskjell: 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{e^2+1}{4}\).

Vanlig feil: A sette grensene inn for tidlig eller a glemme at \(\ln 1=0\) og \(\ln e=1\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter et fornuftig valg av \(u\) og \(dv\), samt korrekt grenseinnsetting.
Del 1 / Oppgave 3Vendepunkt

Oppgave 3

Oppgave: Funksjonen er gitt ved \(f(x)=e^{2x}-4e^x\), \(D_f=\mathbb R\). Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter pa grafen til \(f\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor den andrederiverte skifter fortegn, og deretter beregne funksjonsverdien.

Steg 1 - Deriver en gang

\[f\prime(x)=2e^{2x}-4e^x\]

Steg 2 - Deriver en gang til

\[f\prime\prime(x)=4e^{2x}-4e^x=4e^x(e^x-1)\]

Steg 3 - Los likningen

Siden \(e^x>0\), ma \(e^x-1=0\). Dermed er \(x=0\).

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

For \(x<0\) er \(e^x-1<0\), og for \(x>0\) er \(e^x-1>0\). Dermed skifter \(f\prime\prime\) fortegn.

Steg 5 - Finn y-koordinaten

\[f(0)=e^0-4e^0=1-4=-3\]

Steg 6 - Konkluder

Grafen skifter krumning i punktet \((0,-3)\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(f(x),x,2)
Resultat: \(4e^x(e^x-1)\)
2Solve(4 exp(x)(exp(x)-1)=0,x)
Resultat: \(x=0\)

Tolkning: Den andrederiverte har ett nullpunkt, og fortegnsskiftet bekrefter vendepunktet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = exp(2*x) - 4*exp(x)
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f, x, 2)
solutions = solve(f2, x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
print("Losning av f''(x)=0:", solutions)
print("f(0) =", f.subs(x, 0))
print("Fortegn ved x=-1:", f2.subs(x, -1).evalf())
print("Fortegn ved x=1:", f2.subs(x, 1).evalf())
assert solutions == [0] and f.subs(x, 0) == -3

f(x) = exp(2*x) - 4*exp(x)
f'(x) = 2*exp(2*x) - 4*exp(x)
f''(x) = 4*(exp(x) - 1)*exp(x)
Losning av f''(x)=0: [0]
f(0) = -3
Fortegn ved x=-1: -0.930176631739319
Fortegn ved x=1: 18.6830970818864

Fasit: Vendepunktet er \((0,-3)\).

Vanlig feil: A finne \(f\prime\prime(x)=0\) uten a kontrollere at den andrederiverte faktisk skifter fortegn.
Sensorpunkt: Sensor ser etter andrederivert, fortegnsskifte og korrekt y-koordinat.
Del 1 / Oppgave 4aUendelig geometrisk rekke

Oppgave 4a

Oppgave: En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(s(x)=1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+\cdots\). Bestem konvergensomradet til rekken.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere kvotienten og bruke konvergenskravet for en uendelig geometrisk rekke.

Steg 1 - Identifiser forste ledd

Det forste leddet er \(a_1=1\).

Steg 2 - Identifiser kvotienten

Hvert ledd multipliseres med \(k=1-x\).

Steg 3 - Skriv konvergenskravet

\[|k|<1\]

Steg 4 - Sett inn kvotienten

\[|1-x|<1\]

Steg 5 - Los dobbeltulikheten

\[-1<1-x<1\quad\Longrightarrow\quad0<x<2\]

Steg 6 - Kontroller endepunktene

Ved \(x=0\) er kvotienten 1, og ved \(x=2\) er den -1. Ingen av endepunktene gir konvergens.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(abs(1-x)<1,x)
Resultat: \(0<x<2\)

Tolkning: CAS gir det samme apne intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Abs, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
condition = Abs(1 - x) < 1
solution = solve_univariate_inequality(condition, x)
print("Kvotient k = 1 - x")
print("Konvergenskrav:", condition)
print("Losningsmengde:", solution)
print("Ved x=0 er |k| =", abs(1 - 0))
print("Ved x=2 er |k| =", abs(1 - 2))
assert str(solution) == "(0 < x) & (x < 2)"

Kvotient k = 1 - x
Konvergenskrav: Abs(x - 1) < 1
Losningsmengde: (0 < x) & (x < 2)
Ved x=0 er |k| = 1
Ved x=2 er |k| = 1

Fasit: Rekken konvergerer for \(0<x<2\).

Vanlig feil: A bruke \(k<1\) i stedet for \(|k|<1\), eller a ta med endepunktene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter absoluttverdikravet og et apent intervall.
Del 1 / Oppgave 4bSum av geometrisk rekke

Oppgave 4b

Oppgave: Los likningene \(s(x)=3\) og \(s(x)=\frac13\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forst finne sumfunksjonen i konvergensomradet og deretter kontrollere at eventuelle losninger ligger i dette omradet.

Steg 1 - Finn sumfunksjonen

\[s(x)=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-(1-x)}=\frac1x,\qquad0<x<2\]

Steg 2 - Los den forste likningen

\[\frac1x=3\quad\Longrightarrow\quad x=\frac13\]

Steg 3 - Kontroller konvergens

\(\frac13\) ligger i intervallet \((0,2)\), sa dette er en gyldig losning.

Steg 4 - Los den andre likningen algebraisk

\[\frac1x=\frac13\quad\Longrightarrow\quad x=3\]

Steg 5 - Kontroller konvergens igjen

\(x=3\) ligger utenfor \((0,2)\). Den opprinnelige rekken divergerer derfor for denne verdien.

Steg 6 - Konkluder med domene

Den forste likningen har losningen \(x=\frac13\), mens den andre ikke har noen gyldig losning for rekken.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(1/x=3,x)
Resultat: \(x=1/3\)
2Solve(1/x=1/3,x)
Resultat: \(x=3\), men utenfor konvergensomradet

Tolkning: CAS finner de algebraiske kandidatene; domenekontrollen avgjor hvilken som er gyldig.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x = symbols('x', real=True)
s = 1/x
first = solve(Eq(s, 3), x)
second = solve(Eq(s, Rational(1, 3)), x)
print("Sumfunksjon s(x) =", s)
print("Gyldig domene: 0 < x < 2")
print("Kandidater fra s(x)=3:", first)
print("Kandidater fra s(x)=1/3:", second)
print("Forste kandidat i domenet:", 0 < first[0] < 2)
print("Andre kandidat i domenet:", 0 < second[0] < 2)
assert first == [Rational(1,3)] and second == [3]

Sumfunksjon s(x) = 1/x
Gyldig domene: 0 < x < 2
Kandidater fra s(x)=3: [1/3]
Kandidater fra s(x)=1/3: [3]
Forste kandidat i domenet: True
Andre kandidat i domenet: False

Fasit: \(s(x)=3\) gir \(x=\frac13\). Likningen \(s(x)=\frac13\) har ingen gyldig losning for den uendelige rekken.

Vanlig feil: A godta \(x=3\) uten a kontrollere konvergensomradet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter bade sumformelen og domenekontrollen.
Del 1 / Oppgave 5aPlan i rommet

Oppgave 5a

Oppgave: Planet \(\alpha\) er gitt ved \(2x+y-2z+3=0\). Vis at punktet \(P(3,4,2)\) ikke ligger i planet \(\alpha\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et punkt ligger i et plan dersom koordinatene oppfyller planlikningen. Vi setter inn punktet.

Steg 1 - Skriv planlikningen

\[2x+y-2z+3=0\]

Steg 2 - Sett inn x-koordinaten

\[2\cdot3+y-2z+3\]

Steg 3 - Sett inn alle koordinatene

\[2\cdot3+4-2\cdot2+3\]

Steg 4 - Regn ut

\[6+4-4+3=9\]

Steg 5 - Sammenlikn med null

Verdien blir 9, ikke 0.

Steg 6 - Konkluder

Dermed oppfyller ikke \(P\) planlikningen, og \(P\notin\alpha\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Substitute({x=3,y=4,z=2},2x+y-2z+3)
Resultat: \(9\)

Tolkning: Resultatet er ikke null, sa punktet ligger ikke i planet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
plane_expression = 2*x + y - 2*z + 3
P = {x: 3, y: 4, z: 2}
value = plane_expression.subs(P)
print("Planuttrykk:", plane_expression)
print("Punkt P:", P)
print("Innsetting i planuttrykket:", value)
print("Ligger P i planet?", value == 0)
assert value == 9

Planuttrykk: 2*x + y - 2*z + 3
Punkt P: {x: 3, y: 4, z: 2}
Innsetting i planuttrykket: 9
Ligger P i planet? False

Fasit: Innsetting gir 9, derfor ligger \(P\) ikke i \(\alpha\).

Vanlig feil: A glemme konstantleddet 3 eller fortegnet foran \(2z\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter direkte innsetting og tydelig konklusjon.
Del 1 / Oppgave 5bNormalvektor og linje

Oppgave 5b

Oppgave: En linje \(\ell\) gar gjennom \(P\) slik at \(\ell\perp\alpha\). Bestem en parameterframstilling for \(\ell\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En linje som star normalt pa planet, ma ha samme retning som en normalvektor til planet.

Steg 1 - Les av normalvektoren

Fra \(2x+y-2z+3=0\) far vi \(\vec n=(2,1,-2)\).

Steg 2 - Bruk punktet pa linjen

Linjen skal ga gjennom \(P=(3,4,2)\).

Steg 3 - Skriv vektorformen

\[\ell:\ (x,y,z)=(3,4,2)+t(2,1,-2)\]

Steg 4 - Skriv koordinatvis

\[x=3+2t,\qquad y=4+t,\qquad z=2-2t\]

Steg 5 - Kontroller retningen

Retningsvektoren er parallell med planens normalvektor, sa linjen er vinkelrett pa planet.

Steg 6 - Oppgi parameteren

Parameteren kan vaere et hvilket som helst reelt tall: \(t\in\mathbb R\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Line(P,(2,1,-2))
Resultat: \((x,y,z)=(3,4,2)+t(2,1,-2)\)

Tolkning: GeoGebra konstruerer normalen gjennom punktet P.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import Matrix, symbols
t = symbols('t', real=True)
P = Matrix([3, 4, 2])
normal = Matrix([2, 1, -2])
line = P + t*normal
print("Punkt pa linjen:", P.T)
print("Normalvektor til planet:", normal.T)
print("Parameterframstilling:", line.T)
print("x(t) =", line[0])
print("y(t) =", line[1])
print("z(t) =", line[2])
assert line.subs(t, 0) == P

Punkt pa linjen: Matrix([[3, 4, 2]])
Normalvektor til planet: Matrix([[2, 1, -2]])
Parameterframstilling: Matrix([[2*t + 3, t + 4, 2 - 2*t]])
x(t) = 2*t + 3
y(t) = t + 4
z(t) = 2 - 2*t

Fasit: \(\ell:\ (x,y,z)=(3,4,2)+t(2,1,-2),\ t\in\mathbb R\).

Vanlig feil: A bruke et punkt i planet som retning, eller a bytte fortegn i bare en komponent.
Sensorpunkt: Sensor ser etter normalvektoren og et korrekt startpunkt.
Del 1 / Oppgave 5cSkjaering mellom linje og plan

Oppgave 5c

Oppgave: Bestem koordinatene til skjaeringspunktet mellom \(\ell\) og \(\alpha\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter parameterframstillingen inn i planlikningen og loser for parameteren.

Steg 1 - Bruk linjen

\[x=3+2t,\quad y=4+t,\quad z=2-2t\]

Steg 2 - Sett inn i planet

\[2(3+2t)+(4+t)-2(2-2t)+3=0\]

Steg 3 - Samle konstantledd

\[6+4-4+3=9\]

Steg 4 - Samle t-ledd

\[4t+t+4t=9t\]

Steg 5 - Los parameterlikningen

\[9+9t=0\quad\Longrightarrow\quad t=-1\]

Steg 6 - Finn punktet

\[(x,y,z)=(3,4,2)-(2,1,-2)=(1,3,4)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Intersect(Line((3,4,2),(5,5,0)),Plane(2x+y-2z+3=0))
Resultat: \((1,3,4)\)

Tolkning: Skjaeringspunktet ligger bade pa linjen og i planet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, solve, Eq, Matrix
t = symbols('t', real=True)
point_on_line = Matrix([3 + 2*t, 4 + t, 2 - 2*t])
plane_value = 2*point_on_line[0] + point_on_line[1] - 2*point_on_line[2] + 3
parameter = solve(Eq(plane_value, 0), t)[0]
intersection = point_on_line.subs(t, parameter)
print("Punkt pa linjen:", point_on_line.T)
print("Planuttrykk etter innsetting:", plane_value.expand())
print("Parameter t:", parameter)
print("Skjaeringspunkt:", intersection.T)
print("Kontroll i planet:", 2*intersection[0] + intersection[1] - 2*intersection[2] + 3)
assert intersection == Matrix([1,3,4])

Punkt pa linjen: Matrix([[2*t + 3, t + 4, 2 - 2*t]])
Planuttrykk etter innsetting: 9*t + 9
Parameter t: -1
Skjaeringspunkt: Matrix([[1, 3, 4]])
Kontroll i planet: 0

Fasit: Skjaeringspunktet er \((1,3,4)\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil i leddet \(-2(2-2t)\), som gir et feil t-ledd.
Sensorpunkt: Sensor ser etter innsetting, parameterlosning og koordinatene til punktet.
Del 1 / Oppgave 5dAvstand fra punkt til plan

Oppgave 5d

Oppgave: Bestem avstanden fra \(P\) til \(\alpha\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Avstanden kan finnes med punkt-plan-formelen eller som lengden fra P til fotpunktet funnet i forrige del.

Steg 1 - Skriv avstandsformelen

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

Steg 2 - Les av koeffisientene

Her er \(A=2\), \(B=1\), \(C=-2\) og \(D=3\).

Steg 3 - Sett inn punktet

\[d=\frac{|2\cdot3+1\cdot4-2\cdot2+3|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}\]

Steg 4 - Regn telleren

\[|6+4-4+3|=9\]

Steg 5 - Regn nevneren

\[\sqrt{4+1+4}=3\]

Steg 6 - Del

\[d=\frac93=3\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Distance((3,4,2),2x+y-2z+3=0)
Resultat: \(3\)

Tolkning: CAS gir samme avstand. Lengden fra P til fotpunktet (1,3,4) er ogsa 3.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import Matrix, sqrt, Abs, simplify
P = Matrix([3, 4, 2])
H = Matrix([1, 3, 4])
normal = Matrix([2, 1, -2])
numerator = Abs(2*P[0] + P[1] - 2*P[2] + 3)
denominator = sqrt(normal.dot(normal))
distance_formula = simplify(numerator/denominator)
distance_vector = simplify((P-H).norm())
print("Teller i avstandsformelen:", numerator)
print("Lengde av normalvektor:", denominator)
print("Avstand fra formelen:", distance_formula)
print("Fotpunkt H:", H.T)
print("Lengde |PH|:", distance_vector)
assert distance_formula == 3 and distance_vector == 3

Teller i avstandsformelen: 9
Lengde av normalvektor: 3
Avstand fra formelen: 3
Fotpunkt H: Matrix([[1, 3, 4]])
Lengde |PH|: 3

Fasit: Avstanden er \(3\).

Vanlig feil: A glemme absoluttverdien i telleren eller a bruke summen av koeffisientene i nevneren.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt avstandsformel eller en likeverdig vektorlengde.
Del 1 / Oppgave 6aTrigonometrisk modell

Oppgave 6a

Oppgave: En funksjon er gitt ved \(f(x)=a\sin(cx+\varphi)+d\). Grafen har toppunkt \((0,7)\), og det naermeste bunnpunktet til hoyre er \((2,3)\). Forklar at \(f(x)=2\sin\left(\frac\pi2x+\frac\pi2\right)+5\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bestemme amplitude, likevektslinje, periode og faseforskyvning fra topp- og bunnpunktet.

Steg 1 - Finn amplituden

\[a=\frac{7-3}{2}=2\]

Steg 2 - Finn likevektslinjen

\[d=\frac{7+3}{2}=5\]

Steg 3 - Finn perioden

Fra et toppunkt til det naermeste bunnpunktet er det en halv periode. Dermed er \(T/2=2\), altsa \(T=4\).

Steg 4 - Finn vinkelfrekvensen

\[c=\frac{2\pi}{T}=\frac\pi2\]

Steg 5 - Finn fasen

Ved \(x=0\) skal sinusverdien vaere 1. Derfor kan vi velge \(\varphi=\frac\pi2\).

Steg 6 - Sett sammen modellen

\[f(x)=2\sin\left(\frac\pi2x+\frac\pi2\right)+5\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1FitSin({(0,7),(2,3)})
Resultat: \(2\sin((\pi/2)x+\pi/2)+5\)

Tolkning: Parametrene gir toppverdi 7 ved x=0 og bunnverdi 3 ved x=2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, pi, sin, simplify
x = symbols('x', real=True)
amplitude = (7 - 3)/2
midline = (7 + 3)/2
period = 2*(2 - 0)
c = 2*pi/period
phi = pi/2
f = 2*sin(pi*x/2 + pi/2) + 5
print("Amplitude a =", amplitude)
print("Likevektslinje d =", midline)
print("Periode T =", period)
print("Vinkelfrekvens c =", c)
print("Fase phi =", phi)
print("f(0) =", simplify(f.subs(x, 0)))
print("f(2) =", simplify(f.subs(x, 2)))
assert f.subs(x,0) == 7 and f.subs(x,2) == 3

Amplitude a = 2.0
Likevektslinje d = 5.0
Periode T = 4
Vinkelfrekvens c = pi/2
Fase phi = pi/2
f(0) = 7
f(2) = 3

Fasit: \(f(x)=2\sin\left(\frac\pi2x+\frac\pi2\right)+5\).

Vanlig feil: A tolke avstanden 2 fra topp til bunn som en hel periode. Den er bare en halv periode.
Sensorpunkt: Sensor ser etter alle fire parametrene og en forklaring av hvorfor perioden er 4.
Del 1 / Oppgave 6bGrafskisse

Oppgave 6b

Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f\) for \(x\in[0,12]\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke perioden og de karakteristiske punktene til a tegne tre hele perioder.

Steg 1 - Marker startpunktet

Ved \(x=0\) er grafen i et toppunkt: \((0,7)\).

Steg 2 - Marker forste bunnpunkt

Etter en halv periode, ved \(x=2\), er grafen i \((2,3)\).

Steg 3 - Bruk perioden

Perioden er 4, sa toppunktene gjentas ved \(x=4,8,12\).

Steg 4 - Marker bunnpunktene

Bunnpunktene ligger ved \(x=2,6,10\), alle med verdi 3.

Steg 5 - Marker likevektslinjen

Grafen krysser \(y=5\) ved \(x=1,3,5,7,9,11\).

Steg 6 - Tegn en jevn sinuskurve

Kurven skal variere mellom 3 og 7 og gjenta seg for hver 4. enhet.

Kontrollskisse av den trigonometriske funksjonen pa intervallet 0 til 12.
Kontrollskisse av den trigonometriske funksjonen pa intervallet 0 til 12.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1f(x)=2 sin((pi/2)x+pi/2)+5
Resultat: Graf med periode 4, maksimum 7 og minimum 3
2Sequence((k,f(k)),k,0,12)
Resultat: Karakteristiske heltallspunkter

Tolkning: Grafen viser tre hele perioder pa intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, pi, sin, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(pi*x/2 + pi/2) + 5
points = [(i, simplify(f.subs(x, i))) for i in range(13)]
print("Funksjon: f(x)=2*sin(pi*x/2 + pi/2)+5")
print("Karakteristiske punkter fra x=0 til x=12:")
for point in points:
    print(point)
maxima = [(i, points[i][1]) for i in [0,4,8,12]]
minima = [(i, points[i][1]) for i in [2,6,10]]
print("Toppunkter:", maxima)
print("Bunnpunkter:", minima)
assert all(value == 7 for _, value in maxima)
assert all(value == 3 for _, value in minima)

Funksjon: f(x)=2*sin(pi*x/2 + pi/2)+5
Karakteristiske punkter fra x=0 til x=12:
(0, 7)
(1, 5)
(2, 3)
(3, 5)
(4, 7)
(5, 5)
(6, 3)
(7, 5)
(8, 7)
(9, 5)
(10, 3)
(11, 5)
(12, 7)
Toppunkter: [(0, 7), (4, 7), (8, 7), (12, 7)]
Bunnpunkter: [(2, 3), (6, 3), (10, 3)]

Fasit: Grafen har toppunkter \((0,7),(4,7),(8,7),(12,7)\), bunnpunkter \((2,3),(6,3),(10,3)\) og likevektslinje \(y=5\).

Vanlig feil: A tegne feil antall perioder eller a la grafen starte i likevektslinjen i stedet for i toppunktet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt amplitude, periode, fase og tydelige karakteristiske punkter.
Del 1 / Oppgave 7Lineaer differensiallikning

Oppgave 7

Oppgave: Los differensiallikningen \(y\prime-3y=2\) nar \(y(0)=\frac13\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den generelle losningen av den lineaere likningen og deretter bruke initialbetingelsen.

Steg 1 - Los den homogene likningen

\[y\prime-3y=0\quad\Longrightarrow\quad y_h=Ce^{3x}\]

Steg 2 - Finn en partikulaar losning

Vi prover en konstant \(y_p=A\). Da er \(y_p\prime=0\), og \(-3A=2\).

Steg 3 - Bestem konstanten i den partikulare losningen

\[A=-\frac23\]

Steg 4 - Skriv generell losning

\[y(x)=Ce^{3x}-\frac23\]

Steg 5 - Bruk initialbetingelsen

\[\frac13=C-\frac23\quad\Longrightarrow\quad C=1\]

Steg 6 - Skriv den spesielle losningen

\[y(x)=e^{3x}-\frac23\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1SolveODE(y\prime-3y=2,y(0)=1/3)
Resultat: \(y=e^{3x}-2/3\)

Tolkning: CAS-losningen oppfyller bade differensiallikningen og initialbetingelsen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, exp, Rational, simplify
x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x) - 3*y(x), 2)
solution = dsolve(ode, ics={y(0): Rational(1,3)})
explicit = exp(3*x) - Rational(2,3)
residual = simplify(diff(explicit, x) - 3*explicit - 2)
print("Differensiallikning:", ode)
print("SymPy-losning:", solution)
print("Eksplisitt losning:", explicit)
print("Initialverdi y(0):", explicit.subs(x, 0))
print("Residual i likningen:", residual)
assert explicit.subs(x,0) == Rational(1,3) and residual == 0

Differensiallikning: Eq(-3*y(x) + Derivative(y(x), x), 2)
SymPy-losning: Eq(y(x), exp(3*x) - 2/3)
Eksplisitt losning: exp(3*x) - 2/3
Initialverdi y(0): 1/3
Residual i likningen: 0

Fasit: \(y(x)=e^{3x}-\frac23\).

Vanlig feil: A finne bare den homogene losningen og glemme den partikulare konstanten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter generell losning, bruk av initialbetingelsen og kontroll av konstanten.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 / Oppgave 1aVektorer og plan

Oppgave 1a

Oppgave: Punktene \(A(4,3,1)\), \(B(2,2,0)\) og \(C(1,2,-2)\) er gitt. Bruk setningen om at tre punkter som ikke ligger pa en rett linje bestemmer et plan entydig, til a vise at punktene bestemmer et plan \(\alpha\) entydig.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at retningsvektorene fra A til B og fra A til C ikke er parallelle.

Steg 1 - Finn den forste retningsvektoren

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,-1,-1)\]

Steg 2 - Finn den andre retningsvektoren

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(-3,-1,-3)\]

Steg 3 - Test om vektorene er parallelle

Hvis de var parallelle, matte alle komponentforhold vaere like. Her er \((-3)/(-2)=3/2\), mens \((-1)/(-1)=1\).

Steg 4 - Bruk kryssprodukt som ekstra kontroll

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-3,-1)\ne\vec0\]

Steg 5 - Tolk resultatet

Vektorene peker i to forskjellige retninger. Dermed ligger ikke A, B og C pa samme rette linje.

Steg 6 - Bruk setningen

Tre ikke-kollineaere punkter bestemmer derfor planet \(\alpha\) entydig.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Vector(A,B)
Resultat: \((-2,-1,-1)\)
2Vector(A,C)
Resultat: \((-3,-1,-3)\)
3Cross(Vector(A,B),Vector(A,C))
Resultat: \((2,-3,-1)\)

Tolkning: Et ikke-null kryssprodukt viser at vektorene ikke er parallelle.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import Matrix
A = Matrix([4, 3, 1])
B = Matrix([2, 2, 0])
C = Matrix([1, 2, -2])
AB = B - A
AC = C - A
cross = AB.cross(AC)
print("A =", A.T)
print("B =", B.T)
print("C =", C.T)
print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("AB x AC =", cross.T)
print("Er kryssproduktet null?", cross == Matrix([0,0,0]))
assert cross == Matrix([2,-3,-1])

A = Matrix([[4, 3, 1]])
B = Matrix([[2, 2, 0]])
C = Matrix([[1, 2, -2]])
AB = Matrix([[-2, -1, -1]])
AC = Matrix([[-3, -1, -3]])
AB x AC = Matrix([[2, -3, -1]])
Er kryssproduktet null? False

Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-3,-1)\ne\vec0\). Punktene er ikke kollineaere og bestemmer ett plan entydig.

Vanlig feil: A hevde at punktene ikke ligger pa en linje uten a dokumentere det med vektorer eller determinant.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to retningsvektorer og en gyldig ikke-parallellitetskontroll.
Del 2 / Oppgave 1bPlanlikning

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem en likning til planet \(\alpha\) gjennom A, B og C.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kryssproduktet som normalvektor og sette inn ett av punktene.

Steg 1 - Bruk retningsvektorene

\[\overrightarrow{AB}=(-2,-1,-1),\qquad\overrightarrow{AC}=(-3,-1,-3)\]

Steg 2 - Finn en normalvektor

\[\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-3,-1)\]

Steg 3 - Skriv punkt-normal-formen

\[\vec n\cdot((x,y,z)-A)=0\]

Steg 4 - Sett inn A

\[2(x-4)-3(y-3)-(z-1)=0\]

Steg 5 - Utvid

\[2x-8-3y+9-z+1=0\]

Steg 6 - Samle ledd

\[2x-3y-z+2=0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Plane(A,B,C)
Resultat: \(2x-3y-z+2=0\)
2Equation(Plane(A,B,C))
Resultat: \(2x-3y-z+2=0\)

Tolkning: Alle de tre punktene oppfyller planlikningen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import Matrix, symbols, expand
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
A = Matrix([4,3,1]); B = Matrix([2,2,0]); C = Matrix([1,2,-2])
normal = (B-A).cross(C-A)
plane = expand(normal.dot(Matrix([x,y,z]) - A))
print("Normalvektor:", normal.T)
print("Planuttrykk:", plane)
for name, point in [("A",A),("B",B),("C",C)]:
    value = plane.subs({x:point[0], y:point[1], z:point[2]})
    print(f"Kontroll for {name}:", value)
assert plane == 2*x - 3*y - z + 2

Normalvektor: Matrix([[2, -3, -1]])
Planuttrykk: 2*x - 3*y - z + 2
Kontroll for A: 0
Kontroll for B: 0
Kontroll for C: 0

Fasit: \(\alpha:\ 2x-3y-z+2=0\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil nar kryssproduktet eller punkt-normal-formen utvides.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en normalvektor og kontrollert innsetting av et punkt.
Del 2 / Oppgave 1cVolum med determinant

Oppgave 1c

Oppgave: Et punkt \(T\) har koordinatene \((2,5,4t+1)\). Bestem \(t\) slik at volumet av pyramiden \(ABCT\) blir 3.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke absoluttverdien av det skalaere trippelproduktet. En pyramide har en sjettedel av volumet til parallellpipedet.

Steg 1 - Finn vektoren fra A til T

\[\overrightarrow{AT}=(-2,2,4t)\]

Steg 2 - Bruk kryssproduktet fra forrige del

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-3,-1)\]

Steg 3 - Beregn trippelproduktet

\[(2,-3,-1)\cdot(-2,2,4t)=-10-4t\]

Steg 4 - Skriv volumformelen

\[V=\frac16\left|-10-4t\right|\]

Steg 5 - Sett volumet lik 3

\[\frac16|-10-4t|=3\quad\Longrightarrow\quad|-10-4t|=18\]

Steg 6 - Los absoluttverdilikningen

\[-10-4t=18\ \text{eller}\ -10-4t=-18\quad\Longrightarrow\quad t=-7\ \text{eller}\ t=2\]
Grunnflaten ABC og de to mulige plasseringene av T som gir samme pyramidevolum.
Grunnflaten ABC og de to mulige plasseringene av T som gir samme pyramidevolum.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(abs(Determinant({AB,AC,AT}))/6=3,t)
Resultat: \(t=-7\) eller \(t=2\)

Tolkning: Begge verdiene gir volum 3 fordi T kan ligge pa hver sin side av grunnplanet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import Matrix, symbols, Abs, Eq, solve, simplify
t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([4,3,1]); B = Matrix([2,2,0]); C = Matrix([1,2,-2])
T = Matrix([2,5,4*t+1])
AB = B-A; AC = C-A; AT = T-A
triple = simplify(AB.cross(AC).dot(AT))
volume = Abs(triple)/6
solutions = solve(Eq(volume, 3), t)
print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("AT =", AT.T)
print("Skalaert trippelprodukt =", triple)
print("Volumfunksjon =", volume)
print("Losninger for t =", solutions)
for value in solutions:
    print(f"V({value}) =", volume.subs(t, value))
assert set(solutions) == {-7, 2}

AB = Matrix([[-2, -1, -1]])
AC = Matrix([[-3, -1, -3]])
AT = Matrix([[-2, 2, 4*t]])
Skalaert trippelprodukt = -4*t - 10
Volumfunksjon = Abs(4*t + 10)/6
Losninger for t = [-7, 2]
V(-7) = 3
V(2) = 3

Fasit: \(t=-7\) eller \(t=2\).

Vanlig feil: A glemme absoluttverdien og dermed miste den ene geometrisk gyldige losningen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter faktoren \(1/6\), trippelproduktet og begge losningene.
Del 2 / Oppgave 2aKuleflate

Oppgave 2a

Oppgave: En kuleflate er gitt ved \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-6z+2=0\). Vis at punktet \(P(2,3,5)\) ligger pa kuleflaten.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette koordinatene til P inn i venstresiden og kontrollere at resultatet blir null.

Steg 1 - Skriv uttrykket

\[x^2+y^2+z^2-2x-2y-6z+2\]

Steg 2 - Sett inn koordinatene

\[2^2+3^2+5^2-2\cdot2-2\cdot3-6\cdot5+2\]

Steg 3 - Regn kvadratene

\[4+9+25-4-6-30+2\]

Steg 4 - Summer positive ledd

\[4+9+25+2=40\]

Steg 5 - Summer negative ledd

\[-4-6-30=-40\]

Steg 6 - Konkluder

\[40-40=0\]

Punktet oppfyller derfor kulelikningen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Substitute(P,sphereEquation)
Resultat: \(0\)

Tolkning: Nullresultatet betyr at P ligger pa kuleflaten.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
sphere_expression = x**2 + y**2 + z**2 - 2*x - 2*y - 6*z + 2
P = {x:2, y:3, z:5}
value = sphere_expression.subs(P)
print("Kuleuttrykk:", sphere_expression)
print("Punkt P:", P)
print("Verdi etter innsetting:", value)
print("Ligger P pa kuleflaten?", value == 0)
assert value == 0

Kuleuttrykk: x**2 - 2*x + y**2 - 2*y + z**2 - 6*z + 2
Punkt P: {x: 2, y: 3, z: 5}
Verdi etter innsetting: 0
Ligger P pa kuleflaten? True

Fasit: Innsetting gir 0, sa \(P(2,3,5)\) ligger pa kuleflaten.

Vanlig feil: A miste et minusfortegn i de lineaere leddene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter full innsetting og null som resultat.
Del 2 / Oppgave 2bFullstendig kvadrat

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem sentrum og radius til kulen.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fullfore kvadratet i x-, y- og z-leddene og sammenlikne med standardformen.

Steg 1 - Grupper variablene

\[(x^2-2x)+(y^2-2y)+(z^2-6z)+2=0\]

Steg 2 - Fullfor x-kvadratet

\[x^2-2x=(x-1)^2-1\]

Steg 3 - Fullfor y-kvadratet

\[y^2-2y=(y-1)^2-1\]

Steg 4 - Fullfor z-kvadratet

\[z^2-6z=(z-3)^2-9\]

Steg 5 - Sett sammen

\[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2-1-1-9+2=0\]

Steg 6 - Skriv standardformen

\[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=9\]

Sentrum er \((1,1,3)\), og radius er 3.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1CompleteSquare(sphereEquation)
Resultat: \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=9\)

Tolkning: Standardformen viser sentrum og radius direkte.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, expand, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
original = x**2+y**2+z**2-2*x-2*y-6*z+2
standard_left = (x-1)**2 + (y-1)**2 + (z-3)**2
print("Opprinnelig uttrykk:", original)
print("Standardformens venstreside:", standard_left)
print("Utvidet standardform minus 9:", expand(standard_left - 9))
print("Kontrollforskjell:", simplify(original - (standard_left - 9)))
print("Sentrum S = (1, 1, 3)")
print("Radius r = 3")
assert simplify(original - (standard_left - 9)) == 0

Opprinnelig uttrykk: x**2 - 2*x + y**2 - 2*y + z**2 - 6*z + 2
Standardformens venstreside: (x - 1)**2 + (y - 1)**2 + (z - 3)**2
Utvidet standardform minus 9: x**2 - 2*x + y**2 - 2*y + z**2 - 6*z + 2
Kontrollforskjell: 0
Sentrum S = (1, 1, 3)
Radius r = 3

Fasit: Sentrum er \(S(1,1,3)\), og radius er \(r=3\).

Vanlig feil: A flytte konstantene feil og fa \(r=9\) i stedet for \(r=3\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter standardformen og at radius er kvadratroten av 9.
Del 2 / Oppgave 2cTangentplan til kule

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet \(P\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusvektoren fra sentrum til beroringspunktet star normalt pa tangentplanet.

Steg 1 - Bruk sentrum og punkt

\[S=(1,1,3),\qquad P=(2,3,5)\]

Steg 2 - Finn radiusvektoren

\[\overrightarrow{SP}=P-S=(1,2,2)\]

Steg 3 - Bruk den som normalvektor

Tangentplanet har normalvektor \((1,2,2)\).

Steg 4 - Skriv punkt-normal-formen

\[(1,2,2)\cdot(x-2,y-3,z-5)=0\]

Steg 5 - Utvid

\[(x-2)+2(y-3)+2(z-5)=0\]

Steg 6 - Samle ledd

\[x+2y+2z-18=0\]
Kulen, radiusvektoren SP og tangentplanet i P.
Kulen, radiusvektoren SP og tangentplanet i P.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Tangent(P,Sphere(S,3))
Resultat: \(x+2y+2z-18=0\)

Tolkning: Normalen til planet er parallell med radiusen SP.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import Matrix, symbols, expand
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
S = Matrix([1,1,3]); P = Matrix([2,3,5])
normal = P-S
plane = expand(normal.dot(Matrix([x,y,z])-P))
print("Sentrum S:", S.T)
print("Beroringspunkt P:", P.T)
print("Radiusvektor SP:", normal.T)
print("Tangentplan:", plane, "= 0")
print("Kontroll P i planet:", plane.subs({x:2,y:3,z:5}))
print("Lengde SP:", normal.norm())
assert plane == x+2*y+2*z-18 and normal.norm() == 3

Sentrum S: Matrix([[1, 1, 3]])
Beroringspunkt P: Matrix([[2, 3, 5]])
Radiusvektor SP: Matrix([[1, 2, 2]])
Tangentplan: x + 2*y + 2*z - 18 = 0
Kontroll P i planet: 0
Lengde SP: 3

Fasit: Tangentplanet er \(x+2y+2z-18=0\).

Vanlig feil: A bruke sentrum som punkt i tangentplanet; planet skal ga gjennom P.
Sensorpunkt: Sensor ser etter radiusvektoren som normal og korrekt punkt-normal-form.
Del 2 / Oppgave 3aNewtons avkjolingslov

Oppgave 3a

Oppgave: Ifolge Newtons avkjolingslov er temperaturendringen per time proporsjonal med differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen. Forklar at dette gir \(y\prime=-k(y-22)\), der \(k>0\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette den verbale loven til en differensiallikning og forklare minustegnet.

Steg 1 - Tolk temperaturendringen

Temperaturendringen per time er den deriverte \(y\prime(t)\).

Steg 2 - Finn temperaturforskjellen

Kroppen er \(y-22\) grader varmere enn rommet.

Steg 3 - Bruk proporsjonalitet

Newtons lov sier at endringsfarten er proporsjonal med denne forskjellen.

Steg 4 - Forklar fortegnet

Nar \(y>22\), skal temperaturen synke, sa \(y\prime<0\). Derfor trengs et minustegn.

Steg 5 - Innfør positiv konstant

La proporsjonalitetskonstanten vaere \(k>0\).

Steg 6 - Skriv modellen

\[y\prime=-k(y-22)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1ODE:y\prime=-k(y-22)
Resultat: For \(y>22\) og \(k>0\) blir \(y\prime<0\)

Tolkning: Fortegnet gir fysisk korrekt avkjoling mot romtemperaturen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols
k, y = symbols('k y', positive=True, real=True)
rate = -k*(y-22)
print("Modellert endringsfart:", rate)
print("Eksempel med y=30 og k=0.2:", rate.subs({y:30,k:0.2}))
print("Eksempel med y=22:", rate.subs({y:22,k:0.2}))
print("Nar y>22 blir endringsfarten negativ.")
assert rate.subs({y:30,k:1}) == -8
assert rate.subs({y:22,k:1}) == 0

Modellert endringsfart: -k*(y - 22)
Eksempel med y=30 og k=0.2: -1.60000000000000
Eksempel med y=22: 0
Nar y>22 blir endringsfarten negativ.

Fasit: \(y\prime=-k(y-22)\), med \(k>0\).

Vanlig feil: A skrive \(y\prime=k(y-22)\), som ville gitt oppvarming nar kroppen er varmere enn rommet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter forklaring av bade proporsjonaliteten og minustegnet.
Del 2 / Oppgave 3bSeparerbar differensiallikning

Oppgave 3b

Oppgave: Forklar at \(y(0)=30\), og los differensiallikningen ved regning.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Tiden t=0 er tidspunktet den dode ble funnet. Da var temperaturen 30 C. Vi separerer differensiallikningen.

Steg 1 - Bruk initialverdien

Temperaturen ble malt til 30 C da kroppen ble funnet, og dette er definert som \(t=0\). Derfor er \(y(0)=30\).

Steg 2 - Separer variablene

\[\frac{dy}{y-22}=-k\,dt\]

Steg 3 - Integrer begge sider

\[\ln|y-22|=-kt+C\]

Steg 4 - Eksponentialiser

\[y-22=Ae^{-kt}\]

Steg 5 - Bruk initialbetingelsen

\[30-22=Ae^0\quad\Longrightarrow\quad A=8\]

Steg 6 - Skriv losningen

\[y(t)=22+8e^{-kt}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1SolveODE(y\prime=-k(y-22),y(0)=30)
Resultat: \(y=22+8e^{-kt}\)

Tolkning: Losningen starter pa 30 og naermer seg 22 for voksende t.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, exp, simplify
t = symbols('t', real=True)
k = symbols('k', positive=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(t), t), -k*(y(t)-22))
solution = dsolve(ode, ics={y(0):30})
explicit = 22 + 8*exp(-k*t)
residual = simplify(diff(explicit,t) + k*(explicit-22))
print("Differensiallikning:", ode)
print("SymPy-losning:", solution)
print("Eksplisitt losning:", explicit)
print("Initialverdi y(0):", explicit.subs(t,0))
print("Residual:", residual)
assert explicit.subs(t,0) == 30 and residual == 0

Differensiallikning: Eq(Derivative(y(t), t), -k*(y(t) - 22))
SymPy-losning: Eq(y(t), 22 + 8*exp(-k*t))
Eksplisitt losning: 22 + 8*exp(-k*t)
Initialverdi y(0): 30
Residual: 0

Fasit: \(y(t)=22+8e^{-kt}\).

Vanlig feil: A glemme romtemperaturen 22 og lose modellen som ren eksponentialnedgang mot 0.
Sensorpunkt: Sensor ser etter separasjon, integrasjon, konstantbestemmelse og korrekt likevektsnivaa.
Del 2 / Oppgave 3cParameterbestemmelse

Oppgave 3c

Oppgave: En time etter at den dode ble funnet, ble kroppstemperaturen malt til 28 C. Bruk dette til a bestemme konstanten \(k\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter punktet \((1,28)\) inn i temperaturmodellen og loser en eksponentiallikning.

Steg 1 - Bruk modellen

\[y(t)=22+8e^{-kt}\]

Steg 2 - Sett inn t=1 og y=28

\[28=22+8e^{-k}\]

Steg 3 - Trekk fra 22

\[6=8e^{-k}\]

Steg 4 - Del pa 8

\[e^{-k}=\frac34\]

Steg 5 - Ta naturlig logaritme

\[-k=\ln\left(\frac34\right)\]

Steg 6 - Los for k

\[k=-\ln\left(\frac34\right)=\ln\left(\frac43\right)\approx0.2877\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(28=22+8 exp(-k),k)
Resultat: \(k=\ln(4/3)\)

Tolkning: Konstanten er positiv, slik modellen krever.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Eq, exp, solve, log, N, simplify, Rational
k = symbols('k', positive=True)
equation = Eq(28, 22 + 8*exp(-k))
solution = solve(equation, k)[0]
expected = log(Rational(4,3))
print("Likning:", equation)
print("Losning for k:", solution)
print("Forventet form ln(4/3):", expected)
print("Desimalverdi:", N(solution, 10))
print("Kontroll i modellen:", simplify(22+8*exp(-solution)))
assert simplify(solution - expected) == 0

Likning: Eq(28, 22 + 8*exp(-k))
Losning for k: log(4/3)
Forventet form ln(4/3): log(4/3)
Desimalverdi: 0.2876820725
Kontroll i modellen: 28

Fasit: \(k=\ln(4/3)\approx0.2877\ \text{per time}\).

Vanlig feil: A fa negativ k fordi minustegnet foran k i eksponenten handteres feil.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt logaritmeregning og en positiv konstant.
Del 2 / Oppgave 3dTilbakeberegning med modell

Oppgave 3d

Oppgave: Vi antar at drapsofferet hadde kroppstemperatur 37 C like etter at doden inntraff. Bruk \(y(t)\) til a ansla nar drapet ble utfort.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi loser modellen for tidspunktet da temperaturen var 37 C. Dette tidspunktet ma ligge for t=0.

Steg 1 - Sett inn den bestemte konstanten

\[y(t)=22+8e^{-\ln(4/3)t}\]

Steg 2 - Sett temperaturen lik 37

\[37=22+8e^{-\ln(4/3)t}\]

Steg 3 - Isoler eksponentialleddet

\[15=8e^{-\ln(4/3)t}\quad\Longrightarrow\quad e^{-\ln(4/3)t}=\frac{15}{8}\]

Steg 4 - Ta logaritmen

\[-\ln(4/3)t=\ln(15/8)\]

Steg 5 - Los for t

\[t=-\frac{\ln(15/8)}{\ln(4/3)}\approx-2.185\]

Steg 6 - Tolk klokkeslettet

Doden inntraff omtrent 2 timer og 11 minutter for kl. 11.00, altsa rundt kl. 08.49.

Temperaturmodellen med malepunktene og det tilbakeberegnede dodstidspunktet.
Temperaturmodellen med malepunktene og det tilbakeberegnede dodstidspunktet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(37=22+8 exp(-ln(4/3)t),t)
Resultat: \(t\approx-2.185\)

Tolkning: Det negative tidspunktet betyr at hendelsen skjedde for kroppen ble funnet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Eq, exp, log, solve, N, Rational
t = symbols('t', real=True)
k = log(Rational(4,3))
equation = Eq(37, 22 + 8*exp(-k*t))
solution = solve(equation, t)[0]
hours_before = -solution
minutes_before = N(hours_before*60, 8)
print("Temperaturmodell: y(t)=22+8*exp(-ln(4/3)*t)")
print("Likning for 37 C:", equation)
print("Eksakt tidspunkt t:", solution)
print("Desimaltimer:", N(solution, 10))
print("Minutter for funn:", minutes_before)
print("Anslatt klokkeslett: omtrent 08:49")
assert N(solution,6) < -2.18 and N(solution,6) > -2.19

Temperaturmodell: y(t)=22+8*exp(-ln(4/3)*t)
Likning for 37 C: Eq(37, 22 + 8*exp(-t*log(4/3)))
Eksakt tidspunkt t: log((8/15)**(1/log(4/3)))
Desimaltimer: -2.185081100
Minutter for funn: 131.10487
Anslatt klokkeslett: omtrent 08:49

Fasit: Drapet skjedde omtrent \(2.19\) timer for funnet, altsa cirka kl. 08.49.

Vanlig feil: A tolke \(t=-2.185\) som 2.185 timer etter kl. 11 i stedet for for kl. 11.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt eksponentiallikning, negativ tid og et fornuftig klokkeslett.
Del 2 / Oppgave 4aGeometrisk rekke

Oppgave 4a

Oppgave: En uendelig rekke er gitt ved \(1+x+x^2+x^3+\cdots\). Vis at \(1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac1{1-x}\) nar \(x\in(-1,1)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sumformelen for en uendelig geometrisk rekke og begrunne konvergenskravet.

Steg 1 - Identifiser forste ledd

Rekken har forste ledd \(a_1=1\).

Steg 2 - Identifiser kvotienten

Kvotienten mellom to pafolgende ledd er \(k=x\).

Steg 3 - Kontroller konvergens

En uendelig geometrisk rekke konvergerer nar \(|k|<1\), altsa nar \(|x|<1\).

Steg 4 - Bruk sumformelen

\[S=\frac{a_1}{1-k}\]

Steg 5 - Sett inn

\[S=\frac1{1-x}\]

Steg 6 - Konkluder med intervallet

\[1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac1{1-x},\qquad x\in(-1,1)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Sum(x^n,n,0,infinity)
Resultat: \(1/(1-x)\), for \(|x|<1\)

Tolkning: CAS gir sumfunksjonen med samme konvergensvilkar.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, summation, oo, simplify, Rational
x = symbols('x', real=True)
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
series_sum = summation(x**n, (n, 0, oo))
expected = 1/(1-x)
print("Rekke: sum(x**n, n=0..infinity)")
print("SymPy-sum:", series_sum)
print("Forventet sumfunksjon:", expected)
print("Kontroll ved x=1/2:", series_sum.subs(x, Rational(1,2)))
print("Konvergensvilkar: |x| < 1")
assert series_sum.args[0][0] == expected

Rekke: sum(x**n, n=0..infinity)
SymPy-sum: Piecewise((1/(1 - x), Abs(x) < 1), (Sum(x**n, (n, 0, oo)), True))
Forventet sumfunksjon: 1/(1 - x)
Kontroll ved x=1/2: 2
Konvergensvilkar: |x| < 1

Fasit: \(\displaystyle1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac1{1-x}\) for \(-1<x<1\).

Vanlig feil: A utelate konvergenskravet eller a bruke formelen ved \(|x|\ge1\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter identifikasjon av geometrisk rekke og korrekt interval.
Del 2 / Oppgave 4bDerivasjon av potensrekke

Oppgave 4b

Oppgave: Det kan vises at rekken kan deriveres leddvis. Vis at \(1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac1{(1-x)^2}\) nar \(x\in(-1,1)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere begge sider av identiteten fra del a ledd for ledd.

Steg 1 - Start med identiteten

\[1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac1{1-x}\]

Steg 2 - Deriver venstresiden

\[(1)\prime+(x)\prime+(x^2)\prime+(x^3)\prime+\cdots=0+1+2x+3x^2+\cdots\]

Steg 3 - Skriv rekken ryddig

\[1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\]

Steg 4 - Deriver hoyresiden

\[\left((1-x)^{-1}\right)\prime=(1-x)^{-2}\]

Steg 5 - Bruk kjerneregelen korrekt

De to minustegnene fra potensregelen og \((1-x)\prime=-1\) opphever hverandre.

Steg 6 - Konkluder

\[1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac1{(1-x)^2},\qquad x\in(-1,1)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(1/(1-x),x)
Resultat: \(1/(1-x)^2\)
2Sum((n+1)x^n,n,0,infinity)
Resultat: \(1/(1-x)^2\)

Tolkning: CAS bekrefter bade derivasjonen og summen av den deriverte rekken.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
original_sum = 1/(1-x)
derivative = diff(original_sum, x)
expected = 1/(1-x)**2
partial_original = sum(x**j for j in range(6))
partial_derivative = diff(partial_original, x)
print("Opprinnelig sumfunksjon:", original_sum)
print("Derivert sumfunksjon:", derivative)
print("Forventet uttrykk:", expected)
print("Forste seks ledd i originalrekken:", partial_original)
print("Leddvis derivert:", partial_derivative)
print("Kontrollforskjell:", simplify(derivative-expected))
assert simplify(derivative-expected) == 0

Opprinnelig sumfunksjon: 1/(1 - x)
Derivert sumfunksjon: (1 - x)**(-2)
Forventet uttrykk: (1 - x)**(-2)
Forste seks ledd i originalrekken: x**5 + x**4 + x**3 + x**2 + x + 1
Leddvis derivert: 5*x**4 + 4*x**3 + 3*x**2 + 2*x + 1
Kontrollforskjell: 0

Fasit: \(\displaystyle1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac1{(1-x)^2}\) for \(-1<x<1\).

Vanlig feil: A fa et minustegn ved derivasjon av \((1-x)^{-1}\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter leddvis derivasjon og korrekt bruk av kjerneregelen.
Del 2 / Oppgave 4cUendelig rekke

Oppgave 4c

Oppgave: Bruk resultatet i oppgave b til a vise at \(1+\frac2{2^1}+\frac3{2^2}+\frac4{2^3}+\cdots=4\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen rekken som uttrykket fra del b med \(x=\frac12\).

Steg 1 - Skriv rekken fra del b

\[1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac1{(1-x)^2}\]

Steg 2 - Velg x-verdien

Sett \(x=\frac12\). Da blir \(2x=2/2^1\), \(3x^2=3/2^2\), og sa videre.

Steg 3 - Sett inn i venstresiden

\[1+\frac2{2^1}+\frac3{2^2}+\frac4{2^3}+\cdots\]

Steg 4 - Sett inn i hoyresiden

\[\frac1{(1-1/2)^2}\]

Steg 5 - Regn nevneren

\[(1-1/2)^2=(1/2)^2=1/4\]

Steg 6 - Finn summen

\[\frac1{1/4}=4\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Substitute(x=1/2,1/(1-x)^2)
Resultat: \(4\)

Tolkning: Verdien x=1/2 ligger i konvergensintervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Rational, summation, oo, simplify
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
series_value = summation(n/Rational(2)**(n-1), (n,1,oo))
formula_value = 1/(1-Rational(1,2))**2
print("Rekkeledd: n/2**(n-1)")
print("Uendelig sum fra SymPy:", series_value)
print("Verdi fra sumfunksjonen:", formula_value)
print("Forste seks ledd:", [Rational(j,2**(j-1)) for j in range(1,7)])
print("Kontrollforskjell:", simplify(series_value-formula_value))
assert series_value == 4

Rekkeledd: n/2**(n-1)
Uendelig sum fra SymPy: 4
Verdi fra sumfunksjonen: 4
Forste seks ledd: [1, 1, 3/4, 1/2, 5/16, 3/16]
Kontrollforskjell: 0

Fasit: Summen er \(4\).

Vanlig feil: A sette x=2 i stedet for x=1/2 fordi nevnerne er potenser av 2.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig substitusjon \(x=1/2\) og korrekt evaluering.
Del 2 / Oppgave 4dInduksjonsbevis

Oppgave 4d

Oppgave: Bruk induksjon til a bevise \(P(n):\ 1+\frac2{2^1}+\frac3{2^2}+\cdots+\frac n{2^{n-1}}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}\), \(n\in\mathbb N\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise grunntrinnet, formulere induksjonshypotesen og gjennomfore hele overgangen fra k til k+1.

Steg 1 - Grunntrinn n=1

\[\text{Venstre side}=1,\qquad\text{hoyre side}=4-\frac3{2^0}=1\]

Dermed er \(P(1)\) sann.

Steg 2 - Induksjonshypotese

Anta at \(P(k)\) er sann for et vilkarlig \(k\ge1\):

\[1+\frac2{2^1}+\cdots+\frac k{2^{k-1}}=4-\frac{k+2}{2^{k-1}}\]

Steg 3 - Bygg summen for k+1

\[S_{k+1}=S_k+\frac{k+1}{2^k}\]

Steg 4 - Bruk hypotesen

\[S_{k+1}=4-\frac{k+2}{2^{k-1}}+\frac{k+1}{2^k}\]

Steg 5 - Fa felles nevner

\[S_{k+1}=4-\frac{2(k+2)}{2^k}+\frac{k+1}{2^k}=4-\frac{k+3}{2^k}\]

Steg 6 - Sammenlikn med pastanden

For \(n=k+1\) er hoyresiden \(4-\frac{(k+1)+2}{2^{(k+1)-1}}=4-\frac{k+3}{2^k\!}\). Dermed er \(P(k+1)\) sann, og pastanden gjelder for alle \(n\in\mathbb N\).

Delsummene og den lukkede formelen naermer seg grenseverdien 4.
Delsummene og den lukkede formelen naermer seg grenseverdien 4.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Simplify(4-(k+2)/2^(k-1)+(k+1)/2^k)
Resultat: \(4-(k+3)/2^k\)

Tolkning: CAS bekrefter den algebraiske kjernen i induksjonssteget.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Rational, summation, simplify
n, k, j = symbols('n k j', integer=True, positive=True)
base_left = Rational(1,1)
base_right = 4 - Rational(3,1)
induction_hypothesis = 4 - (k+2)/2**(k-1)
next_sum = induction_hypothesis + (k+1)/2**k
target = 4 - (k+3)/2**k
closed_form_check = simplify(summation(j/2**(j-1),(j,1,n)) - (4-(n+2)/2**(n-1)))
print("Grunntrinn, venstre:", base_left)
print("Grunntrinn, hoyre:", base_right)
print("Uttrykk i induksjonssteget:", next_sum)
print("Forenklet uttrykk:", simplify(next_sum))
print("Mal for P(k+1):", target)
print("Forskjell i induksjonssteget:", simplify(next_sum-target))
print("Direkte symbolsk sumsjekk:", closed_form_check)
assert base_left == base_right and simplify(next_sum-target) == 0

Grunntrinn, venstre: 1
Grunntrinn, hoyre: 1
Uttrykk i induksjonssteget: -2**(1 - k)*(k + 2) + 4 + (k + 1)/2**k
Forenklet uttrykk: (2**(k + 2) - k - 3)/2**k
Mal for P(k+1): 4 - (k + 3)/2**k
Forskjell i induksjonssteget: 0
Direkte symbolsk sumsjekk: 0

Fasit: Pastanden er bevist for alle \(n\in\mathbb N\).

Vanlig feil: A skrive induksjonshypotesen, men hoppe direkte til svaret uten a vise hvordan det nye leddet kombineres med hypotesen.
Sensorpunkt: Sensor ser spesielt etter grunntrinn, eksplisitt hypotese, nytt ledd og full algebra i induksjonssteget.
Del 2 / Oppgave 4eGrenseverdi

Oppgave 4e

Oppgave: Bruk det du har funnet ovenfor til a bestemme \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2^{n-1}}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner formelen for delsummen med den uendelige summen 4.

Steg 1 - Bruk delsumsformelen

\[S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}\]

Steg 2 - Bruk den uendelige summen

Fra del c vet vi at \(S_n\to4\).

Steg 3 - Ta grenseverdi pa begge sider

\[4=4-\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2^{n-1}}\]

Steg 4 - Trekk fra 4

\[0=-\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2^{n-1}}\]

Steg 5 - Multipliser med -1

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2^{n-1}}=0\]

Steg 6 - Tolk veksten

Eksponentialfunksjonen i nevneren vokser raskere enn den lineaere telleren.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Limit((n+2)/2^(n-1),n,infinity)
Resultat: \(0\)

Tolkning: CAS bekrefter at eksponentialveksten dominerer.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, limit, oo, N
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
expression = (n+2)/2**(n-1)
limit_value = limit(expression, n, oo)
print("Uttrykk:", expression)
print("Verdier for noen n:")
for value in [5,10,20,40]:
    print(f"n={value:2d} ->", N(expression.subs(n,value), 12))
print("Grenseverdi:", limit_value)
assert limit_value == 0

Uttrykk: 2**(1 - n)*(n + 2)
Verdier for noen n:
n= 5 -> 0.437500000000
n=10 -> 0.0234375000000
n=20 -> 4.19616699219e-5
n=40 -> 7.63975549489e-11
Grenseverdi: 0

Fasit: Grenseverdien er \(0\).

Vanlig feil: A tro at en teller som gar mot uendelig automatisk gir uendelig grenseverdi, uten a sammenlikne veksthastighetene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter koblingen mellom delsummen og den uendelige summen, eller en gyldig vekstargumentasjon.
Del 2 / Oppgave 5aSirkelsektor

Oppgave 5a

Oppgave: Et rektangel ABCD er innskrevet i en sirkel med sentrum O og radius 10. Vi setter \(\angle COD=v\), der \(0<v<\pi\). Vis ved regning at arealet F av sirkelsektoren COD er \(F(v)=50v\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sektorformelen med v malt i radianer.

Steg 1 - Skriv sektorformelen

\[F=\frac12r^2v\]

Steg 2 - Bruk radiusen

Her er \(r=10\).

Steg 3 - Sett inn

\[F(v)=\frac12\cdot10^2\cdot v\]

Steg 4 - Regn kvadratet

\[10^2=100\]

Steg 5 - Multipliser

\[F(v)=\frac12\cdot100v\]

Steg 6 - Forenkle

\[F(v)=50v\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1SectorArea(10,v)
Resultat: \(50v\)

Tolkning: GeoGebra bruker radianformelen for sektorareal.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, Rational, simplify
v = symbols('v', positive=True)
r = 10
sector_area = Rational(1,2)*r**2*v
expected = 50*v
print("Radius r =", r)
print("Vinkel v er malt i radianer")
print("Sektorformel: (1/2)*r^2*v")
print("Beregnet areal:", sector_area)
print("Forventet areal:", expected)
print("Kontrollforskjell:", simplify(sector_area-expected))
assert simplify(sector_area-expected) == 0

Radius r = 10
Vinkel v er malt i radianer
Sektorformel: (1/2)*r^2*v
Beregnet areal: 50*v
Forventet areal: 50*v
Kontrollforskjell: 0

Fasit: \(F(v)=50v\).

Vanlig feil: A bruke gradformelen \(v/360\) selv om v er malt i radianer.
Sensorpunkt: Sensor ser etter radianformelen og korrekt innsetting av radius 10.
Del 2 / Oppgave 5bSammensatt areal

Oppgave 5b

Oppgave: Vis ved regning at arealet T av det fargelagte omradet kan skrives \(T(v)=50(v+3\sin v)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Det fargelagte omradet bestar av rektangelet og sirkelsegmentet over korden DC.

Steg 1 - Finn trekanten COD

\[A_{\triangle COD}=\frac12\cdot10\cdot10\sin v=50\sin v\]

Steg 2 - Finn sirkelsegmentet

\[A_{\text{segment}}=F-A_{\triangle COD}=50v-50\sin v\]

Steg 3 - Finn rektangelets bredde

Halv bredde er \(10\sin(v/2)\), sa bredden er \(20\sin(v/2)\).

Steg 4 - Finn rektangelets hoyde

Hoyden er \(20\cos(v/2)\).

Steg 5 - Finn rektangelarealet

\[A_{ABCD}=400\sin(v/2)\cos(v/2)=200\sin v\]

Steg 6 - Legg sammen

\[T(v)=200\sin v+50v-50\sin v=50(v+3\sin v)\]
Geometrisk oppdeling av det fargelagte omradet i rektangel og sirkelsegment.
Geometrisk oppdeling av det fargelagte omradet i rektangel og sirkelsegment.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Simplify(200 sin(v)+50v-50 sin(v))
Resultat: \(50(v+3\sin v)\)

Tolkning: CAS forenkler summen av rektangelet og sirkelsegmentet til det oppgitte uttrykket.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, sin, cos, simplify, trigsimp
v = symbols('v', real=True)
rectangle = (20*sin(v/2))*(20*cos(v/2))
sector = 50*v
triangle = 50*sin(v)
segment = sector - triangle
total = trigsimp(rectangle + segment)
expected = 50*(v + 3*sin(v))
print("Rektangelareal for trig-forenkling:", rectangle)
print("Forenklet rektangelareal:", trigsimp(rectangle))
print("Sektorareal:", sector)
print("Trekantareal:", triangle)
print("Sirkelsegment:", segment)
print("Totalt fargelagt areal:", total)
print("Kontrollforskjell:", simplify(total-expected))
assert simplify(total-expected) == 0

Rektangelareal for trig-forenkling: 400*sin(v/2)*cos(v/2)
Forenklet rektangelareal: 200*sin(v)
Sektorareal: 50*v
Trekantareal: 50*sin(v)
Sirkelsegment: 50*v - 50*sin(v)
Totalt fargelagt areal: 50*v + 150*sin(v)
Kontrollforskjell: 0

Fasit: \(T(v)=50(v+3\sin v)\).

Vanlig feil: A legge til hele sektoren uten a trekke fra trekanten COD, slik at et omrade telles dobbelt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig oppdeling i rektangel og sirkelsegment.
Del 2 / Oppgave 5cGrafisk optimering

Oppgave 5c

Oppgave: Bestem v grafisk slik at T blir storst mulig. Bestem \(T_{\max}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne T pa intervallet \(0<v<\pi\), lese av maksimumet og kontrollere det analytisk.

Steg 1 - Bruk arealfunksjonen

\[T(v)=50(v+3\sin v)\]

Steg 2 - Tegn grafen pa riktig intervall

Grafen tegnes for \(0<v<\pi\).

Steg 3 - Les av toppunktet

Grafen har maksimum omtrent ved \(v\approx1.91\) radianer.

Steg 4 - Kontroller med den deriverte

\[T\prime(v)=50(1+3\cos v)=0\quad\Longrightarrow\quad\cos v=-\frac13\]

Steg 5 - Finn den eksakte vinkelen

\[v=\arccos\left(-\frac13\right)\approx1.9106\]

Steg 6 - Beregn maksimalarealet

\[T_{\max}=50\left(\arccos(-1/3)+2\sqrt2\right)\approx236.95\]
Grafisk kontroll av maksimumet til T(v).
Grafisk kontroll av maksimumet til T(v).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Extremum(50(v+3 sin(v)),0,pi)
Resultat: \(v\approx1.9106,\ T\approx236.95\)

Tolkning: Grafen og den deriverte gir samme toppunkt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, sin, cos, diff, solve, acos, Rational, sqrt, N, pi, simplify
v = symbols('v', real=True)
T = 50*(v + 3*sin(v))
derivative = diff(T, v)
vmax = acos(-Rational(1,3))
Tmax = simplify(T.subs(v, vmax))
print("Arealfunksjon T(v) =", T)
print("Derivert T'(v) =", derivative)
print("Kritisk vinkel:", vmax)
print("Kritisk vinkel, desimal:", N(vmax, 10))
print("Eksakt maksimalareal:", Tmax)
print("Maksimalareal, desimal:", N(Tmax, 10))
print("Andrederivert i maksimum:", N(diff(T,v,2).subs(v,vmax), 10))
assert N(diff(T,v,2).subs(v,vmax)) < 0

Arealfunksjon T(v) = 50*v + 150*sin(v)
Derivert T'(v) = 150*cos(v) + 50
Kritisk vinkel: acos(-1/3)
Kritisk vinkel, desimal: 1.910633236
Eksakt maksimalareal: 50*acos(-1/3) + 100*sqrt(2)
Maksimalareal, desimal: 236.9530181
Andrederivert i maksimum: -141.4213562

Fasit: \(v\approx1.91\) rad og \(T_{\max}\approx236.95\) kvadratenheter.

Vanlig feil: A bruke grader i sinusfunksjonen eller a oppgi et punkt uten a kontrollere at det er et maksimum.
Sensorpunkt: Sensor ser etter graf pa riktig intervall, avlest v-verdi og tilhorende maksimalareal.
Del 2 / Oppgave 6aOmdreiningsvolum

Oppgave 6a

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=1/x\), \(x\in[1,a]\). Grafen dreies 360 grader om x-aksen. Bestem volumet \(V(a)\) av omdreiningslegemet.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skivemetoden. Radiusen til en skive er f(x).

Steg 1 - Skriv volumformelen

\[V(a)=\pi\int_1^a f(x)^2\,dx\]

Steg 2 - Sett inn f

\[V(a)=\pi\int_1^a\frac1{x^2}\,dx\]

Steg 3 - Skriv som potens

\[\frac1{x^2}=x^{-2}\]

Steg 4 - Finn stamfunksjonen

\[\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac1x\]

Steg 5 - Sett inn grensene

\[V(a)=\pi\left[-\frac1x\right]_1^a=\pi\left(-\frac1a+1\right)\]

Steg 6 - Skriv sluttformen

\[V(a)=\pi\left(1-\frac1a\right)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(pi*(1/x)^2,x,1,a)
Resultat: \(\pi(1-1/a)\)

Tolkning: CAS bekrefter skiveintegralet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, pi, integrate, simplify
a = symbols('a', positive=True)
x = symbols('x', positive=True)
f = 1/x
integrand = pi*f**2
volume = integrate(integrand, (x,1,a))
expected = pi*(1-1/a)
print("Profilfunksjon f(x) =", f)
print("Skiveareal pi*f(x)^2 =", integrand)
print("Volumintegral fra 1 til a:", volume)
print("Forventet uttrykk:", expected)
print("Kontrollforskjell:", simplify(volume-expected))
print("Eksempel V(10) =", volume.subs(a,10))
assert simplify(volume-expected) == 0

Profilfunksjon f(x) = 1/x
Skiveareal pi*f(x)^2 = pi/x**2
Volumintegral fra 1 til a: pi - pi/a
Forventet uttrykk: pi*(1 - 1/a)
Kontrollforskjell: 0
Eksempel V(10) = 9*pi/10

Fasit: \(V(a)=\pi\left(1-\frac1a\right)\).

Vanlig feil: A integrere f(x) i stedet for \(\pi f(x)^2\) nar volumet beregnes.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skivemetoden, kvadrering av radiusen og korrekt grenseinnsetting.
Del 2 / Oppgave 6bIntegral og overflate

Oppgave 6b

Oppgave: Bestem \(\displaystyle\int_1^a f(x)\,dx\). Omdreiningslegemet har overflateareal \(O(a)\). Forklar at \(O(a)>\int_1^a f(x)\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi beregner arealet under grafen og sammenlikner det med formelen for rotasjonsoverflaten.

Steg 1 - Beregn integralet

\[\int_1^a\frac1x\,dx=[\ln x]_1^a=\ln a\]

Steg 2 - Skriv overflateformelen

\[O(a)=2\pi\int_1^a f(x)\sqrt{1+(f\prime(x))^2}\,dx\]

Steg 3 - Bruk positiviteten

For \(x\ge1\) er \(f(x)>0\), og \(\sqrt{1+(f\prime)^2}\ge1\).

Steg 4 - Sammenlikn integrandene

\[2\pi f(x)\sqrt{1+(f\prime(x))^2}>f(x)\]

Steg 5 - Integrer ulikheten

\[O(a)>\int_1^a f(x)\,dx\]

Steg 6 - Sett inn resultatet

\[O(a)>\ln a\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(1/x,x,1,a)
Resultat: \(\ln a\)
2Surface(1/x,1,a)
Resultat: \(2\pi\int_1^a\frac1x\sqrt{1+1/x^4}\,dx\)

Tolkning: Overflateintegranden er punktvis storre enn f(x).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, log, integrate, diff, sqrt, pi, simplify
x, a = symbols('x a', positive=True)
f = 1/x
area_under = integrate(f, (x,1,a))
fprime = diff(f,x)
surface_integrand = 2*pi*f*sqrt(1+fprime**2)
ratio = simplify(surface_integrand/f)
print("Integral av f fra 1 til a:", area_under)
print("f'(x) =", fprime)
print("Overflateintegrand:", surface_integrand)
print("Forhold overflateintegrand / f(x):", ratio)
print("For x>=1 er forholdet storre enn 2*pi og dermed storre enn 1.")
print("Konklusjon: O(a) > ln(a)")
assert area_under == log(a)

Integral av f fra 1 til a: log(a)
f'(x) = -1/x**2
Overflateintegrand: 2*pi*sqrt(1 + x**(-4))/x
Forhold overflateintegrand / f(x): 2*pi*sqrt(x**4 + 1)/x**2
For x>=1 er forholdet storre enn 2*pi og dermed storre enn 1.
Konklusjon: O(a) > ln(a)

Fasit: \(\displaystyle\int_1^a f(x)\,dx=\ln a\), og \(O(a)>\ln a\).

Vanlig feil: A blande sammen volumformelen og overflateformelen, eller a overse faktoren \(2\pi\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter integralet \(\ln a\) og en matematisk begrunnelse for ulikheten.
Del 2 / Oppgave 6cUegentlige integraler

Oppgave 6c

Oppgave: Vi lar \(a\to\infty\). Omdreiningslegemet kalles Gabriels horn. Bestem \(\lim_{a\to\infty}O(a)\) og \(\lim_{a\to\infty}V(a)\), dersom grenseverdiene eksisterer. Kommenter svarene.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker volumformelen og ulikheten fra del b for a avgjore de to grenseverdiene.

Steg 1 - Ta volumgrensen

\[\lim_{a\to\infty}V(a)=\lim_{a\to\infty}\pi\left(1-\frac1a\right)=\pi\]

Steg 2 - Bruk ulikheten for overflaten

\[O(a)>\ln a\]

Steg 3 - Ta grensen av den nedre grensen

\[\lim_{a\to\infty}\ln a=\infty\]

Steg 4 - Bruk sammenlikning

Siden O(a) er storre enn en funksjon som gar mot uendelig, ma ogsa \(O(a)\to\infty\).

Steg 5 - Oppgi begge resultatene

\[\lim_{a\to\infty}V(a)=\pi,\qquad\lim_{a\to\infty}O(a)=\infty\]

Steg 6 - Kommenter paradokset

Hornet har endelig volum, men uendelig overflateareal. Ideelt kan det fylles med et endelig volum maling, men hele innsiden kan ikke dekkes med et endelig malingslag.

Profilen til Gabriels horn: radiusen gar mot null, men hornet fortsetter uendelig langt.
Profilen til Gabriels horn: radiusen gar mot null, men hornet fortsetter uendelig langt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Limit(pi*(1-1/a),a,infinity)
Resultat: \(\pi\)
2Limit(ln(a),a,infinity)
Resultat: \(\infty\), derfor \(O(a)\to\infty\)

Tolkning: Volumet konvergerer, mens overflaten divergerer.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy
from sympy import symbols, pi, log, limit, oo, N
a = symbols('a', positive=True)
volume = pi*(1-1/a)
volume_limit = limit(volume, a, oo)
lower_bound_surface = log(a)
surface_lower_limit = limit(lower_bound_surface, a, oo)
print("Volumfunksjon V(a) =", volume)
print("Grense for volum:", volume_limit)
print("Nedre grense for overflate O(a) >", lower_bound_surface)
print("Grense for ln(a):", surface_lower_limit)
for value in [10,100,1000]:
    print(f"a={value}: V(a)=", N(volume.subs(a,value),10), "  ln(a)=", N(log(value),10))
assert volume_limit == pi and surface_lower_limit == oo

Volumfunksjon V(a) = pi*(1 - 1/a)
Grense for volum: pi
Nedre grense for overflate O(a) > log(a)
Grense for ln(a): oo
a=10: V(a)= 2.827433388   ln(a)= 2.302585093
a=100: V(a)= 3.110176727   ln(a)= 4.605170186
a=1000: V(a)= 3.138451061   ln(a)= 6.907755279

Fasit: \(\displaystyle\lim_{a\to\infty}V(a)=\pi\), mens \(\displaystyle\lim_{a\to\infty}O(a)=\infty\).

Vanlig feil: A anta at endelig volum automatisk betyr endelig overflateareal.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge grenseverdiene og en tydelig kommentar til kontrasten.