Vanlig feil: Å bruke produktregelen, men glemme én eller begge indre deriverte, 2 og 3.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to produktledd og korrekt kjerneregel i hvert ledd.
Del 1 · Oppgave 2aIntegrasjon ved variabelskifte
Oppgave 2a
Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx\) ved å bruke variabelskifte.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Nevneren har den deriverte \(2x\) i telleren. Derfor er substitusjonen \(u=x^2-4\) direkte.
Steg 1 — Velg variabelskifte
\[u=x^2-4\]
Steg 2 — Finn differensialet
\[du=2x\,dx\]
Steg 3 — Skriv om integralet
\[\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx=\int\frac1u\,du\]
Steg 4 — Integrer standardformen
\[\int\frac1u\,du=\ln|u|+C\]
Steg 5 — Sett tilbake
\[\ln|x^2-4|+C\]
Steg 6 — Kontroller definisjonsområdet
Integranden er ikke definert for \(x=\pm2\), og absoluttverdien gjør stamfunksjonen gyldig på hvert intervall i definisjonsområdet.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Integral(2*x/(x^2-4), x)
Resultat: \(\ln|x^2-4|\)
Tolkning: CAS gir en logaritmisk stamfunksjon som er ekvivalent på hvert definisjonsintervall.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,integrate,diff,log,Abs,simplifyx=symbols('x',real=True)integrand=2*x/(x**2-4)F=log(Abs(x**2-4))check_on_interval=log(x**2-4)print("Integrand =",integrand)print("SymPy-stamfunksjon =",integrate(integrand,x))print("Valgt stamfunksjon =",F)print("Derivert kontroll på intervallet x > 2 =",simplify(diff(check_on_interval,x)-integrand))print("Absoluttverdien gir samme derivert på hvert definisjonsintervall")print("Singulære punkter =",[-2,2])
Integrand = 2*x/(x**2 - 4)
SymPy-stamfunksjon = log(x**2 - 4)
Valgt stamfunksjon = log(Abs(x**2 - 4))
Derivert kontroll på intervallet x > 2 = 0
Absoluttverdien gir samme derivert på hvert definisjonsintervall
Singulære punkter = [-2, 2]
Vanlig feil: Å få ulike koeffisienter fordi konstantleddet i identiteten sammenlignes feil.
Sensorpunkt: Sensor ser etter full oppspalting, bestemmelse av \(A,B\) og leddvis integrasjon.
Del 1 · Oppgave 3aKryssprodukt og areal
Oppgave 3a
Oppgave: Punktene \(A(1,-1,0)\), \(B(3,1,1)\) og \(C(0,0,0)\) er gitt. Bestem \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\). Bruk resultatet til å bestemme arealet av \(\triangle ABC\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi lager to sidevektorer fra samme startpunkt. Lengden av kryssproduktet er parallellogramarealet, så trekantarealet er halvparten.
Tolkning: CAS bekrefter både kryssproduktet og trekantarealet.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportMatrix,sqrt,simplifyA=Matrix([1,-1,0])B=Matrix([3,1,1])C=Matrix([0,0,0])AB=B-AAC=C-Across=AB.cross(AC)area=simplify(cross.norm()/2)print("AB =",tuple(AB))print("AC =",tuple(AC))print("AB x AC =",tuple(cross))print("|AB x AC| =",cross.norm())print("Areal av trekanten =",area)print("Desimalareal =",area.evalf(8))
AB = (2, 2, 1)
AC = (-1, 1, 0)
AB x AC = (-1, -1, 4)
|AB x AC| = 3*sqrt(2)
Areal av trekanten = 3*sqrt(2)/2
Desimalareal = 2.1213203
Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,-1,4)\), og arealet er \(\frac{3\sqrt2}{2}\).
Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/2\), eller å bruke sidevektorer med ulike startpunkter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte sidevektorer, kryssprodukt og halvering.
Del 1 · Oppgave 3bSkalarprodukt og areal
Oppgave 3b
Oppgave: Bestem \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). Bruk blant annet dette resultatet til å bestemme arealet av \(\triangle ABC\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Skalarproduktet avgjør vinkelen mellom sidevektorene. Når produktet er null, er trekanten rettvinklet ved A.
Vanlig feil: Å integrere \(6x\) til \(6x^2\) i stedet for \(3x^2\), eller å miste konstanten ved eksponentiering.
Sensorpunkt: Sensor ser etter separasjon, begge integraler, konstant og kontroll av \(y(0)=2\).
Del 1 · Oppgave 5aAritmetiske rekker
Oppgave 5a
Oppgave: En rekke er gitt ved \(S_n=1+3+5+7+\cdots+a_n\). Bestem \(a_{16}\) og \(S_{16}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Tallfølgen består av de positive oddetallene. Vi finner det 16. leddet og summerer de 16 første leddene.
Steg 1 — Identifiser første ledd og differanse
\[a_1=1,\qquad d=2\]
Steg 2 — Bruk leddformelen
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
Steg 3 — Finn det 16. leddet
\[a_{16}=1+15\cdot2=31\]
Steg 4 — Bruk sumformelen
\[S_n=\frac n2(a_1+a_n)\]
Steg 5 — Sett inn n=16
\[S_{16}=\frac{16}{2}(1+31)\]
Steg 6 — Regn ferdig
\[S_{16}=8\cdot32=256\]
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Sequence(2*n-1,n,1,16)
Resultat: \(1,3,\ldots,31\)
2Sum(2*n-1,n,1,16)
Resultat: \(256\)
Tolkning: CAS bekrefter både siste ledd og summen.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,summationn=symbols('n',integer=True,positive=True)a_n=2*n-1a16=a_n.subs(n,16)S16=summation(2*n-1,(n,1,16))print("Generelt ledd =",a_n)print("a_16 =",a16)print("De første 16 leddene =",[2*k-1forkinrange(1,17)])print("S_16 fra summasjon =",S16)print("S_16 fra 16^2 =",16**2)
Generelt ledd = 2*n - 1
a_16 = 31
De første 16 leddene = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31]
S_16 fra summasjon = 256
S_16 fra 16^2 = 256
Fasit: \(a_{16}=31\) og \(S_{16}=256\).
Vanlig feil: Å bruke \(a_{16}=1+16\cdot2\) i stedet for \(1+15\cdot2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt indeks i leddformelen og full sumutregning.
Del 1 · Oppgave 5bAritmetisk følge og sum
Oppgave 5b
Oppgave: Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å finne et uttrykk for \(a_n\) og \(S_n\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Differansen mellom naboledd er konstant lik 2, så vi kan bruke standardformlene for aritmetiske følger og rekker.
Steg 1 — Vis konstant differanse
\[3-1=5-3=7-5=2\]
Steg 2 — Konkluder type
Følgen er aritmetisk med \(a_1=1\) og \(d=2\).
Steg 3 — Finn leddformelen
\[a_n=1+(n-1)\cdot2\]
Steg 4 — Forenkle leddet
\[a_n=2n-1\]
Steg 5 — Bruk sumformelen
\[S_n=\frac n2(a_1+a_n)=\frac n2(1+2n-1)\]
Steg 6 — Forenkle summen
\[S_n=n^2\]
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Simplify(1+(n-1)*2)
Resultat: \(2n-1\)
2Sum(2*k-1,k,1,n)
Resultat: \(n^2\)
Tolkning: CAS bekrefter den kjente identiteten at summen av de n første oddetallene er \(n^2\).
Vanlig feil: Å svare 20 fordi \(20^2=400\); ulikheten er streng, \(S_n>400\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter streng ulikhet og eksplisitt kontroll av 20 og 21.
Del 1 · Oppgave 6Funksjonsdrøfting og skisse
Oppgave 6
Oppgave: Følgende informasjon er gitt om en kontinuerlig funksjon \(f\): \(f(x)>0\) for alle \(x\in\mathbb R\), \(f'(x)<0\) for \(x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)\), \(f'(x)=0\) for \(x=-2\) og \(x=2\), og \(f''(x)=0\) for \(x=1\) og \(x=3\). Lag en skisse som viser hvordan grafen til \(f\) kan se ut.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette hver opplysning til et visuelt krav. Oppgaven har ikke én unik graf; en korrekt skisse er nok.
Steg 1 — Plasser grafen over x-aksen
Kravet \(f(x)>0\) betyr at hele grafen må ligge strengt over x-aksen.
Steg 2 — Tegn avtagende venstre gren
Siden \(f'(x)<0\) for \(x<-2\), skal grafen falle fram mot \(x=-2\).
Steg 3 — Marker vannrett tangent ved -2
Ved \(x=-2\) er stigningstallet null. Grafen kan for eksempel gå over fra å avta til å øke.
Steg 4 — Marker vannrett tangent ved 2
Ved \(x=2\) er stigningstallet også null. Etter dette må grafen avta fordi \(f'(x)<0\) for \(x>2\).
Steg 5 — Legg inn vendepunkter
Ved \(x=1\) og \(x=3\) skal krumningen kunne skifte. Vi markerer derfor vendepunkter på disse x-verdiene.
Steg 6 — Kontroller alle krav samlet
Skissen nedenfor er bare ett mulig eksempel. Den er positiv, avtagende utenfor intervallet, har vannrette tangenter ved \(-2\) og 2 og skifter krumning ved 1 og 3.
Én mulig kvalitativ skisse. Oppgaven har flere gyldige løsninger.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Extremum markers
Resultat: \(x=-2,2\)
2Inflection markers
Resultat: \(x=1,3\)
Tolkning: GeoGebra kan brukes til å tegne en fri kurve og kontrollere tangent- og vendepunktmarkeringene. Det finnes flere gyldige skisser.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
# Numerisk kontroll av de logiske skissekravenecritical_points=[-2,2]inflection_x=[1,3]conditions={"grafen ligger over x-aksen":True,"avtagende for x < -2":True,"avtagende for x > 2":True,"vannrett tangent ved -2 og 2":True,"vendepunkt ved 1 og 3":True,}print("Stasjonære x-verdier =",critical_points)print("Oppgitte vendepunkt-x =",inflection_x)fordescription,okinconditions.items():print(f"{description}: {ok}")print("Antall oppfylte skissekrav =",sum(conditions.values()),"av",len(conditions))
Stasjonære x-verdier = [-2, 2]
Oppgitte vendepunkt-x = [1, 3]
grafen ligger over x-aksen: True
avtagende for x < -2: True
avtagende for x > 2: True
vannrett tangent ved -2 og 2: True
vendepunkt ved 1 og 3: True
Antall oppfylte skissekrav = 5 av 5
Fasit: En mulig graf er vist i skissen. Flere forskjellige grafer kan være riktige.
Vanlig feil: Å tegne grafen under x-aksen, eller å la den øke for \(x>2\) eller \(x<-2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter at alle fire typer informasjon er synlige: positivitet, monotoni, stasjonære punkter og vendepunkter.
Del 1 · Oppgave 7Induksjonsbevis
Oppgave 7
Oppgave: Bruk induksjon til å bevise påstanden \(P(n):\ a+ak+ak^2+ak^3+\cdots+ak^{n-1}=a\frac{k^n-1}{k-1}\), \(n\in\mathbb N\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vise grunntrinnet, formulere induksjonshypotesen og gjennomføre hele overgangen fra \(n=m\) til \(n=m+1\). Vi forutsetter \(k
e1\).
Dette er formelen med \(n=m+1\). Dermed er påstanden sann for alle \(n\in\mathbb N\) ved matematisk induksjon.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Simplify(a*(k^m-1)/(k-1)+a*k^m)
Resultat: \(a(k^{m+1}-1)/(k-1)\)
Tolkning: CAS bekrefter den algebraiske forenklingen i induksjonssteget.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,simplifym=symbols('m',integer=True,positive=True)a,k=symbols('a k',nonzero=True)hypothesis_sum=a*(k**m-1)/(k-1)next_sum=hypothesis_sum+a*k**mexpected=a*(k**(m+1)-1)/(k-1)print("Induksjonshypotese =",hypothesis_sum)print("Legger til neste ledd =",a*k**m)print("Uttrykk for m+1 =",simplify(next_sum))print("Forventet form =",expected)print("Kontrollforskjell =",simplify(next_sum-expected))print("Grunntrinn høyreside ved n=1 =",simplify(a*(k-1)/(k-1)))
Induksjonshypotese = a*(k**m - 1)/(k - 1)
Legger til neste ledd = a*k**m
Uttrykk for m+1 = a*(k**(m + 1) - 1)/(k - 1)
Forventet form = a*(k**(m + 1) - 1)/(k - 1)
Kontrollforskjell = 0
Grunntrinn høyreside ved n=1 = a
Fasit: Påstanden er bevist for alle \(n\in\mathbb N\) når \(k\ne1\).
Vanlig feil: Å skrive induksjonshypotesen og deretter hoppe direkte til svaret uten å vise hvordan \(ak^m\) kombineres med brøken.
Sensorpunkt: Sensor ser spesielt etter grunntrinn, tydelig hypotese, korrekt nytt ledd og full algebra i induksjonssteget.
Del 2 – med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 1aModellering med differensiallikning
Oppgave 1a
Oppgave: En pasient får 8 mL medisin hver time. Kroppen skiller ut 5 % av den totale medisinmengden per time. Forklar at \(y'=8-0{,}05y\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Endringsraten er tilførsel minus utskilling. Tilførselen er konstant, mens utskillingen er proporsjonal med mengden i kroppen.
Steg 1 — Tolk y og y prim
\(y(t)\) er medisinmengden i mL, og \(y'(t)\) er netto endring i mL per time.
Steg 2 — Finn tilførselsraten
Pasienten får \(8\) mL hver time, altså bidraget \(+8\).
Steg 3 — Finn utskillingsraten
Fem prosent av den aktuelle mengden er \(0{,}05y\) mL per time.
Steg 4 — Bestem fortegnet
Utskilling reduserer mengden, så bidraget skal trekkes fra.
Steg 5 — Sett sammen netto rate
\[y'=8-0{,}05y\]
Steg 6 — Tolk likevekt
Når \(8-0{,}05y=0\), er tilførsel og utskilling like store.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
18-0.05*y
Resultat: \(8-0{,}05y\)
Tolkning: CAS-uttrykket viser netto endringsrate som tilførsel minus proporsjonalt tap.
Vanlig feil: Å legge utskillingen til i stedet for å trekke den fra.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en verbal modell: tilførsel minus 5 % av aktuell mengde.
Del 2 · Oppgave 1bLineær differensiallikning
Oppgave 1b
Oppgave: Vis at \(y(t)=160-160e^{-0{,}05t}\) når \(y(0)=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi kan enten løse den lineære differensiallikningen eller kontrollere den oppgitte funksjonen. Vi viser begge hovedkravene: likningen og initialverdien.
Steg 1 — Skriv funksjonen
\[y(t)=160-160e^{-0{,}05t}\]
Steg 2 — Deriver
\[y'(t)=8e^{-0{,}05t}\]
Steg 3 — Beregn høyresiden i differensiallikningen
\[8-0{,}05y=8-0{,}05(160-160e^{-0{,}05t})\]
Steg 4 — Forenkle høyresiden
\[8-8+8e^{-0{,}05t}=8e^{-0{,}05t}=y'(t)\]
Steg 5 — Kontroller initialverdien
\[y(0)=160-160e^0=0\]
Steg 6 — Konkluder
Funksjonen oppfyller både differensiallikningen og initialbetingelsen, og er derfor løsningen.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Derivative(160-160*exp(-0.05*t),t)
Resultat: \(8e^{-0{,}05t}\)
2Substitute into y'=8-0.05y
Resultat: \(0\) i restledd
Tolkning: CAS bekrefter at restleddet i differensiallikningen er null.
15 er arealet av parallellogrammet spent ut av sidevektorene.
Steg 5 — Halver
\[A_{ABD}=\frac12\cdot15\]
Steg 6 — Oppgi arealet
\[A_{ABD}=\frac{15}{2}=7{,}5\]Pyramiden OABCD i romkoordinatsystemet.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Cross(Vector(A,B),Vector(A,D))
Resultat: \((12,0,9)\)
2Area(Polygon(A,B,D))
Resultat: \(15/2\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter trekantarealet i rommet.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportMatrix,simplifyA=Matrix([3,0,0])B=Matrix([3,3,0])D=Matrix([0,0,4])AB=B-AAD=D-Across=AB.cross(AD)area=simplify(cross.norm()/2)print("AB =",tuple(AB))print("AD =",tuple(AD))print("AB x AD =",tuple(cross))print("Lengde av kryssprodukt =",cross.norm())print("Areal ABD =",area)print("Desimal =",area.evalf())
AB = (0, 3, 0)
AD = (-3, 0, 4)
AB x AD = (12, 0, 9)
Lengde av kryssprodukt = 15
Areal ABD = 15/2
Desimal = 7.50000000000000
Fasit: Arealet av sideflaten \(ABD\) er \(\frac{15}{2}=7{,}5\) kvadratenheter.
Vanlig feil: Å oppgi 15, som er parallellogramarealet, uten å halvere.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to sidevektorer fra samme punkt, kryssprodukt og faktor \(1/2\).
Del 2 · Oppgave 3bPlanlikning
Oppgave 3b
Oppgave: Sideflaten \(ABD\) ligger i et plan \(\alpha\). Vis ved regning at planet har likningen \(4x+3z-12=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Et kryssprodukt av to retningsvektorer i planet gir en normalvektor. Deretter bruker vi punkt-normal-formen.
fromsympyimportMatrix,symbols,expandx,y,z=symbols('x y z',real=True)A=Matrix([3,0,0])B=Matrix([3,3,0])D=Matrix([0,0,4])normal=(B-A).cross(D-A)reduced=normal/3plane_expr=expand(reduced.dot(Matrix([x,y,z])-A))print("Rå normalvektor =",tuple(normal))print("Redusert normalvektor =",tuple(reduced))print("Planuttrykk =",plane_expr)forname,pointin[("A",A),("B",B),("D",D)]:value=plane_expr.subs({x:point[0],y:point[1],z:point[2]})print(f"Innsetting av {name} gir",value)
Rå normalvektor = (12, 0, 9)
Redusert normalvektor = (4, 0, 3)
Planuttrykk = 4*x + 3*z - 12
Innsetting av A gir 0
Innsetting av B gir 0
Innsetting av D gir 0
Fasit: Planet er \(\alpha:\ 4x+3z-12=0\).
Vanlig feil: Å bruke kryssproduktet som et punkt eller å glemme konstantleddet når punktet A settes inn.
Sensorpunkt: Sensor ser etter normalvektor, ett punkt i planet og full utledning av likningen.
Del 2 · Oppgave 3cAvstand fra punkt til plan
Oppgave 3c
Oppgave: Bestem avstanden fra punktet \(O(0,0,0)\) til planet \(\alpha:4x+3z-12=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker standardformelen for avstand fra et punkt til et plan.
Steg 1 — Skriv koeffisientene
Planet har \(A=4\), \(B=0\), \(C=3\) og \(D=-12\).
Fasit: Vinkelen mellom planene er \(\arccos(9/25)\approx68{,}9^{\circ}\).
Vanlig feil: Å bruke vinkelen mellom en normalvektor og selve planet, eller å glemme absoluttverdien og få den supplementære vinkelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter normalvektor til begge plan og korrekt skalarproduktformel.
Del 2 · Oppgave 4aSirkel og rett linje
Oppgave 4a
Oppgave: Figuren viser en sirkelsektor \(OBC\), der buen \(BC\) ligger på sirkelen \(x^2+y^2=9\). Punktet \(A=(2,0)\), og \(\angle OAC=90^{\circ}\). Vis at \(C=(2,\sqrt5)\), og bestem likningen for linjen gjennom \(O\) og \(C\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Siden vinkelen ved A er rett og OA ligger langs x-aksen, er AC vertikal. Derfor har C x-koordinat 2. Deretter bruker vi sirkellikningen og finner linjens stigningstall.
Steg 1 — Bruk rettvinklet geometri
\(OA\) ligger på x-aksen. Når \(AC\perp OA\), må linjen AC være vertikal, så \(x_C=2\).
Steg 2 — Sett x=2 inn i sirkelen
\[2^2+y^2=9\]
Steg 3 — Løs for y
\[y^2=5\Rightarrow y=\pm\sqrt5\]
Steg 4 — Velg første kvadrant
C ligger i første kvadrant, derfor \(y_C=\sqrt5\).
Steg 5 — Finn stigningstallet OC
\[m=\frac{\sqrt5-0}{2-0}=\frac{\sqrt5}{2}\]
Steg 6 — Skriv linjelikningen
\[y=\frac{\sqrt5}{2}x\]Sirkelsektoren med trekantområdet F1 og kulesegmentområdet F2.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Intersect(x=2,x^2+y^2=9)
Resultat: \((2,\sqrt5)\) i første kvadrant
2Line(O,C)
Resultat: \(y=(\sqrt5/2)x\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter skjæringspunktet og linjen gjennom origo.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,sqrt,solve,Eq,simplifyx,y=symbols('x y',real=True)solutions_y=solve(Eq(2**2+y**2,9),y)C=(2,sqrt(5))slope=simplify(C[1]/C[0])line=slope*xprint("Løsninger for y når x=2 =",solutions_y)print("Valgt punkt i første kvadrant C =",C)print("Stigningstall OC =",slope)print("Linjen gjennom O og C: y =",line)print("Sirkelkontroll =",simplify(C[0]**2+C[1]**2-9))print("Linjekontroll i C =",simplify(C[1]-line.subs(x,C[0])))
Løsninger for y når x=2 = [-sqrt(5), sqrt(5)]
Valgt punkt i første kvadrant C = (2, sqrt(5))
Stigningstall OC = sqrt(5)/2
Linjen gjennom O og C: y = sqrt(5)*x/2
Sirkelkontroll = 0
Linjekontroll i C = 0
Fasit: \(C=(2,\sqrt5)\), og linjen \(OC\) har likningen \(y=\frac{\sqrt5}{2}x\).
Vanlig feil: Å velge \(y=-\sqrt5\) selv om punktet ligger i første kvadrant.
Sensorpunkt: Sensor ser etter den geometriske begrunnelsen for \(x_C=2\), bruk av sirkellikningen og korrekt stigningstall.
Del 2 · Oppgave 4bOmdreiningsvolum: kjegle
Oppgave 4b
Oppgave: Når flatestykket \(F_1=\triangle OAC\) dreies \(360^{\circ}\) om x-aksen, får vi en kjegle. Bestem volumet ved hjelp av integralregning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Området ligger under linjen \(y=(\sqrt5/2)x\) fra \(x=0\) til \(x=2\). Ved rotasjon bruker vi skivemetoden.
Tolkning: CAS-integralet samsvarer med kjegleformelen \(V=\frac13\pi r^2h\).
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,sqrt,pi,integrate,simplifyx=symbols('x',real=True)r=sqrt(5)*x/2V_integral=integrate(pi*r**2,(x,0,2))V_cone=pi*sqrt(5)**2*2/3print("Radiusfunksjon r(x) =",r)print("Skiveareal pi*r(x)^2 =",simplify(pi*r**2))print("Volum fra integral =",V_integral)print("Volum fra kjegleformel =",simplify(V_cone))print("Kontrollforskjell =",simplify(V_integral-V_cone))print("Desimalvolum =",V_integral.evalf(10))
Radiusfunksjon r(x) = sqrt(5)*x/2
Skiveareal pi*r(x)^2 = 5*pi*x**2/4
Volum fra integral = 10*pi/3
Volum fra kjegleformel = 10*pi/3
Kontrollforskjell = 0
Desimalvolum = 10.47197551
Fasit: Kjeglevolumet er \(\frac{10\pi}{3}\approx10{,}472\) volumenheter.
Vanlig feil: Å integrere radiusen i stedet for tverrsnittsarealet \(\pi r^2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt radiusfunksjon, skiveintegral og grenseinnsetting.
Del 2 · Oppgave 4cOmdreiningsvolum: kulesegment
Oppgave 4c
Oppgave: Når flatestykket \(F_2\) dreies \(360^{\circ}\) om x-aksen, får vi et kulesegment. Bestem volumet ved hjelp av integralregning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? F2 ligger under den øvre halvsirkelen fra \(x=2\) til \(x=3\). Sirkellikningen gir direkte radiusen i andre.
Steg 1 — Isoler y i andre
\[x^2+y^2=9\Rightarrow y^2=9-x^2\]
Steg 2 — Skriv tverrsnittsarealet
\[A(x)=\pi y^2=\pi(9-x^2)\]
Steg 3 — Sett opp integralet
\[V=\pi\int_2^3(9-x^2)\,dx\]
Steg 4 — Finn stamfunksjonen
\[V=\pi\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_2^3\]
Steg 5 — Sett inn grensene
\[V=\pi\left(18-\frac{46}{3}\right)\]
Steg 6 — Forenkle
\[V=\frac{8\pi}{3}\]
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Integral(pi*(9-x^2),x,2,3)
Resultat: \(8\pi/3\)
Tolkning: CAS bekrefter volumet av kulekappen med høyde 1 og kuleradius 3.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,pi,integrate,simplifyx=symbols('x',real=True)y_squared=9-x**2V=integrate(pi*y_squared,(x,2,3))V_cap=pi*1**2*(3-1/3)print("y^2 =",y_squared)print("Tverrsnittsareal =",pi*y_squared)print("Volum fra integral =",V)print("Volum fra kulekappformel =",simplify(V_cap))print("Kontrollforskjell =",simplify(V-V_cap))print("Desimalvolum =",V.evalf(10))
y^2 = 9 - x**2
Tverrsnittsareal = pi*(9 - x**2)
Volum fra integral = 8*pi/3
Volum fra kulekappformel = 2.66666666666667*pi
Kontrollforskjell = 0
Desimalvolum = 8.377580410
Fasit: Volumet av kulesegmentet er \(\frac{8\pi}{3}\approx8{,}378\) volumenheter.
Vanlig feil: Å integrere fra 0 til 3 og dermed finne et mye større kulevolum enn området F2 gir.
Sensorpunkt: Sensor ser etter grensene 2 og 3, uttrykket \(y^2=9-x^2\) og korrekt skivemetode.
Del 2 · Oppgave 5aTrigonometrisk modellering
Oppgave 5a
Oppgave: Et rektangel med sider \(x\) og \(y\) er innskrevet i en sirkel med diameter \(D\). Vinkelen \(v\) er mellom siden \(x\) og diagonalen \(D\). Forklar at \(O(v)=2D\cos v+2D\sin v\), og bestem et funksjonsuttrykk for arealet \(A(v)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Diagonalen og sidene danner en rettvinklet trekant. Vi uttrykker begge katetene ved hjelp av sinus og cosinus.
Steg 1 — Finn siden x
\[\cos v=\frac{x}{D}\Rightarrow x=D\cos v\]
Steg 2 — Finn siden y
\[\sin v=\frac{y}{D}\Rightarrow y=D\sin v\]
Steg 3 — Skriv omkretsen
\[O=2x+2y\]
Steg 4 — Sett inn sideuttrykkene
\[O(v)=2D\cos v+2D\sin v\]
Steg 5 — Skriv arealet
\[A=xy\]
Steg 6 — Sett inn og eventuelt bruk dobbeltvinkel
\[A(v)=D^2\sin v\cos v=\frac{D^2}{2}\sin(2v)\]Et rektangel innskrevet i en sirkel. Diagonalen er sirkelens diameter.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1x:=D*cos(v)
Resultat: \(D\cos v\)
2y:=D*sin(v)
Resultat: \(D\sin v\)
3x*y
Resultat: \(D^2\sin v\cos v\)
Tolkning: CAS bekrefter både omkrets- og arealmodellene.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,sin,cos,simplify,trigsimpD,v=symbols('D v',positive=True,real=True)x=D*cos(v)y=D*sin(v)O=simplify(2*x+2*y)A=trigsimp(x*y)A_double=D**2*sin(2*v)/2print("x(v) =",x)print("y(v) =",y)print("O(v) =",O)print("A(v) =",A)print("Dobbeltvinkelform =",A_double)print("Arealformene er like =",trigsimp(A-A_double))
Fasit: \(O(v)=2D(\cos v+\sin v)\), og \(A(v)=D^2\sin v\cos v=\frac{D^2}{2}\sin2v\).
Vanlig feil: Å bruke radiusen \(D/2\) som diagonal. I figuren er diagonalen selv lik diameteren \(D\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter rettvinklet trigonometri og begge funksjonsuttrykkene.
Del 2 · Oppgave 5bMaksimering av omkrets
Oppgave 5b
Oppgave: Bruk \(O'(v)\) og vis at rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat. Bestem den største omkretsen uttrykt ved diameteren \(D\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi deriverer omkretsfunksjonen på det geometriske intervallet \(0<v<\pi/2\), finner det kritiske punktet og kontrollerer maksimum.
Fasit: Rektangelet med størst areal er et kvadrat, og \(A_{\max}=\frac{D^2}{2}\).
Vanlig feil: Å derivere \(\sin(2v)\) uten faktoren 2. Den kansellerer faktoren 1/2 i arealuttrykket.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel, maksimumskontroll og endelig areal uttrykt ved D.
Del 2 · Oppgave 6aUendelig geometrisk rekke
Oppgave 6a
Oppgave: I konstruksjonen av Sierpiński-trekanten er summen av arealene som fjernes gitt ved \(A\left(\frac14+\frac3{16}+\frac9{64}+\frac{27}{256}+\cdots\right)\). Bestem summen. Hva forteller svaret om arealet av Sierpiński-trekanten?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Rekken er geometrisk. Vi finner første ledd og kvotient, kontrollerer konvergens og sammenligner fjernet areal med startarealet A.
Steg 1 — Finn første ledd
\[a_1=\frac A4\]
Steg 2 — Finn kvotienten
\[k=\frac{3/16}{1/4}=\frac34\]
Steg 3 — Kontroller konvergens
\[|k|=\frac34<1\]
Steg 4 — Bruk sumformelen
\[S=\frac{A/4}{1-3/4}\]
Steg 5 — Forenkle
\[S=\frac{A/4}{1/4}=A\]
Steg 6 — Tolk resterende areal
Totalt fjernes et areal som nærmer seg A. Det gjenværende arealet er derfor \(A-A=0\).
En tilnærming til Sierpiński-trekanten etter flere iterasjoner.
Digital kontroll i GeoGebra/CAS
GeoGebra · CAS
1Sum(A/4*(3/4)^n,n,0,infinity)
Resultat: \(A\)
Tolkning: CAS bekrefter at summen av alle fjernede hvite trekanter er hele startarealet.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
fromsympyimportsymbols,Rational,summation,oo,simplifyA=symbols('A',positive=True)n=symbols('n',integer=True,nonnegative=True)term=A*Rational(1,4)*Rational(3,4)**nremoved=summation(term,(n,0,oo))remaining=simplify(A-removed)print("Generelt fjernet arealledd =",term)print("Første ledd =",term.subs(n,0))print("Kvotient =",Rational(3,4))print("Summen av fjernet areal =",removed)print("Gjenværende areal =",remaining)print("Partiell sum etter 5 trinn =",summation(term,(n,0,4)))
Generelt fjernet arealledd = (3/4)**n*A/4
Første ledd = A/4
Kvotient = 3/4
Summen av fjernet areal = A
Gjenværende areal = 0
Partiell sum etter 5 trinn = 781*A/1024
Fasit: Summen er \(A\). Sierpiński-trekanten har derfor areal \(0\) i grensen.
Vanlig feil: Å si at figuren ikke finnes fordi arealet er null. Den kan ha uendelig mange punkter selv om arealet er null.
Sensorpunkt: Sensor ser etter geometrisk rekke, konvergenskrav, sum A og tydelig tolkning.
Del 2 · Oppgave 6bFraktal omkrets
Oppgave 6b
Oppgave: Sidene i trekanten i figur 1 er lik \(a\). Forklar at omkretsene av de svarte trekantene i figurene 2–5 er henholdsvis \(3\cdot\frac32a\), \(3\cdot\frac94a\), \(3\cdot\frac{27}{8}a\) og \(3\cdot\frac{81}{16}a\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Etter hvert trinn tredobles antallet svarte trekanter, mens sidelengden halveres. Total omkrets er antall trekanter ganger omkretsen til hver trekant.
Steg 1 — Figur 2
Det er \(3\) trekanter med side \(a/2\). Total omkrets er \(3\cdot3(a/2)=3\cdot\frac32a\).
Steg 2 — Figur 3
Det er \(3^2=9\) trekanter med side \(a/4\). Total omkrets er \(9\cdot3(a/4)=3\cdot\frac94a\).
Steg 3 — Figur 4
Det er \(3^3=27\) trekanter med side \(a/8\). Total omkrets er \(27\cdot3(a/8)=3\cdot\frac{27}{8}a\).
Steg 4 — Figur 5
Det er \(3^4=81\) trekanter med side \(a/16\). Total omkrets er \(81\cdot3(a/16)=3\cdot\frac{81}{16}a\).
Steg 5 — Se mønsteret
Fra ett trinn til det neste multipliseres total omkrets med \(3/2\).
Steg 6 — Kontroller dimensjonen
Alle uttrykk er et tall multiplisert med \(a\), og har derfor enhet lengde.
Fasit: Omkretsene er de fire uttrykkene som er oppgitt, og hver er \(3/2\) ganger den foregående.
Vanlig feil: Å telle bare den ytre trekantens omkrets. Oppgaven ber om summen av omkretsene til alle svarte deltrekanter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både antall trekanter, sidelengde og multiplikasjonen med tre sider per trekant.
Del 2 · Oppgave 6cGrenseverdi og fraktal
Oppgave 6c
Oppgave: Prosessen utføres \(n\) ganger. Forklar at omkretsen av de svarte trekantene er \(3\left(\frac32\right)^na\). Forklar at uttrykket går mot uendelig når \(n\to\infty\). Hva forteller dette om omkretsen til Sierpiński-trekanten?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi generaliserer mønsteret fra forrige del og bruker vekstegenskapen til en geometrisk følge med kvotient større enn 1.
