Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.
34deloppgaver løst
Del 1 + Del 2samme rekkefølge som settet
5 visualiseringergrafer og romgeometri
CAS + SymPydigitale kontroller
Del 1 - uten hjelpemidler
Løsningene viser metode, alle sentrale mellomregninger og sensorpunkter. Digitale verktøy brukes kun som etterkontroll.
Oppgave 1a1Derivasjon - kjerneregelen
Oppgave 1a1
Oppgave:
Deriver funksjonen
\[f(x)=3\sin(2x).\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Faktoren 3 beholdes, mens kjerneregelen gir en ekstra faktor fra den indre funksjonen \(2x\).
Steg 1 - Skill mellom konstant og funksjon
Konstanten 3 kan stå foran derivasjonen:
\[f\prime(x)=3\cdot \frac{d}{dx}\sin(2x).\]
Steg 2 - Identifiser den indre funksjonen
Sett \(u(x)=2x\). Da er \(u\prime(x)=2\).
Steg 3 - Deriver den ytre funksjonen
Den deriverte av \(\sin u\) med hensyn på \(u\) er \(\cos u\).
Steg 4 - Bruk kjerneregelen
\[\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot2.\]
Steg 5 - Multipliser med konstanten foran
\[f\prime(x)=3\cdot2\cos(2x).\]
Steg 6 - Forenkle
\[f\prime(x)=6\cos(2x).\]
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Derivative(3 sin(2x),x)
→\(6\cos(2x)\)
Tolkning: CAS bekrefter faktoren 6.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,sin,cos,diff,simplifyx=symbols('x',real=True)f=3*sin(2*x)f_prime=diff(f,x)expected=6*cos(2*x)print("f(x) =",f)print("f'(x) =",f_prime)print("Forventet uttrykk =",expected)print("Differanse etter forenkling =",simplify(f_prime-expected))
Vanlig feil: Å miste minusfortegnet fra den deriverte av cosinus eller faktoren \(\pi/12\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter både minusfortegn og korrekt indre derivert.
Oppgave 1bIntegrasjon - delvis integrasjon
Oppgave 1b
Oppgave:
Bestem integralet
\[\int x e^{2x}\,dx.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt. Faktoren \(x\) blir enklere når den deriveres, mens \(e^{2x}\) er lett å integrere. Derfor velger vi delvis integrasjon.
fromsympyimportsymbols,integrate,log,simplifyx=symbols('x',real=True)integrand=2*x/(x**2-4)value=integrate(integrand,(x,3,7))expected=2*log(3)print("Integrand =",integrand)print("Bestemt integral =",value)print("Forventet verdi =",expected)print("Numerisk verdi =",value.evalf(12))print("Kontroll =",simplify(value-expected))
Integrand = 2*x/(x**2 - 4)
Bestemt integral = -log(5) + log(45)
Forventet verdi = 2*log(3)
Numerisk verdi = 2.19722457734
Kontroll = 0
Vanlig feil: Å beholde de gamle grensene 3 og 7 etter at variabelen er byttet til \(u\), eller å glemme absoluttverdi i den ubestemte logaritmen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt substitusjon, nye grenser og logaritmeregning.
Oppgave 1dDifferensiallikning - lineær 1. orden
Oppgave 1d
Oppgave:
Løs differensiallikningen
\[y\prime-2y=3\qquad\text{når}\qquad y(0)=8.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Likningen er lineær med konstante koeffisienter. Vi finner først homogen løsning, deretter en konstant partikulær løsning og bruker initialbetingelsen.
Vanlig feil: Å finne den homogene løsningen, men glemme partikulærløsningen eller initialbetingelsen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter full løsning med begge deler og korrekt innsetting av \(y(0)=8\).
Oppgave 1e1Uendelig geometrisk rekke
Oppgave 1e1
Oppgave:
Gitt rekken
\[1+e^{-x}+e^{-2x}+\cdots,\qquad x>0.\]
Forklar at rekken er geometrisk, og at den konvergerer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere første ledd og kvotient. Deretter bruker vi konvergenskriteriet \(|k|<1\) for en uendelig geometrisk rekke.
Steg 1 - Finn første ledd
\[a_1=1.\]
Steg 2 - Finn kvotienten fra de to første leddene
\[k=\frac{e^{-x}}1=e^{-x}.\]
Steg 3 - Kontroller neste overgang
\[\frac{e^{-2x}}{e^{-x}}=e^{-x}.\]
Steg 4 - Konkluder at kvotienten er konstant
Alle ledd fås ved å multiplisere forrige ledd med \(e^{-x}\). Rekken er derfor geometrisk.
Steg 5 - Bruk betingelsen \(x>0\)
Når \(x>0\), har vi \(-x<0\), og dermed
\[0
Steg 6 - Sjekk absoluttverdien
\[|k|=|e^{-x}|=e^{-x}<1.\]
Steg 7 - Konkluder konvergens
En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k|<1\). Dermed konvergerer rekken for alle \(x>0\).
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Simplify(exp(-2x)/exp(-x))
→\(e^{-x}\)
2
Assume(x>0); IsDefined(1/(1-exp(-x)))
→\(\text{true}\)
Tolkning: Den konstante kvotienten er \(e^{-x}\), og den har absoluttverdi mindre enn 1.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,exp,simplifyx=symbols('x',positive=True)a1=1term2=exp(-x)term3=exp(-2*x)ratio_1=simplify(term2/a1)ratio_2=simplify(term3/term2)print("Første ledd =",a1)print("Kvotient fra ledd 1 til 2 =",ratio_1)print("Kvotient fra ledd 2 til 3 =",ratio_2)print("Kvotientene er like =",simplify(ratio_1-ratio_2)==0)print("For x > 0 er exp(-x) mellom 0 og 1.")
Første ledd = 1
Kvotient fra ledd 1 til 2 = exp(-x)
Kvotient fra ledd 2 til 3 = exp(-x)
Kvotientene er like = True
For x > 0 er exp(-x) mellom 0 og 1.
Fasit: Rekken er geometrisk med \(a_1=1\) og kvotient \(k=e^{-x}\). Den konvergerer fordi \(00\).
Vanlig feil: Å hevde konvergens uten å bruke forutsetningen \(x>0\), eller å forveksle kvotienten med \(e^x\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig identifikasjon av kvotienten og eksplisitt kontroll av \(|k|<1\).
Oppgave 1e2Uendelig geometrisk rekke - sum
Oppgave 1e2
Oppgave:
Vis at summen av rekken er gitt ved
\[S(x)=\frac{e^x}{e^x-1}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker sumformelen for en uendelig geometrisk rekke og omskriver resultatet ved å multiplisere teller og nevner med \(e^x\).
Steg 1 - Bruk resultatet fra del 1
\[a_1=1,\qquad k=e^{-x},\qquad |k|<1.\]
Steg 2 - Skriv sumformelen
\[S=\frac{a_1}{1-k}.\]
Steg 3 - Sett inn første ledd og kvotient
\[S(x)=\frac{1}{1-e^{-x}}.\]
Steg 4 - Skriv \(e^{-x}\) som brøk
\[e^{-x}=\frac1{e^x}.\]
Steg 5 - Sett uttrykket inn i nevneren
\[S(x)=\frac{1}{1-\frac1{e^x}}.\]
Steg 6 - Utvid hovedbrøken med \(e^x\)
\[S(x)=\frac{e^x}{e^x-1}.\]
Steg 7 - Kontroller fortegnet
For \(x>0\) er \(e^x>1\), så nevneren er positiv og summen er veldefinert.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Simplify(1/(1-exp(-x)))
→\(\frac{e^x}{e^x-1}\)
Tolkning: De to formene er algebraisk identiske.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,exp,simplifyx=symbols('x',positive=True)ratio=exp(-x)sum_formula=1/(1-ratio)target=exp(x)/(exp(x)-1)print("Kvotient =",ratio)print("Sum fra geometrisk formel =",sum_formula)print("Omskrevet målform =",target)print("Differanse etter forenkling =",simplify(sum_formula-target))print("Eksempel x = 1, sum =",sum_formula.subs(x,1).evalf(12))
Kvotient = exp(-x)
Sum fra geometrisk formel = 1/(1 - exp(-x))
Omskrevet målform = exp(x)/(exp(x) - 1)
Differanse etter forenkling = 0
Eksempel x = 1, sum = 1.58197670687
Fasit: \(\displaystyle S(x)=\frac{e^x}{e^x-1}\), for \(x>0\).
Vanlig feil: Å bruke den endelige sumformelen eller å gjøre feil når \(1-e^{-x}\) omskrives.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt sumformel og en algebraisk gyldig omskriving til ønsket form.
Skalarproduktet er positivt, så vinkelen mellom vektorene er spiss.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Dot((3,-1,2),(6,4,2))
→\(18\)
Tolkning: CAS bekrefter det håndregnede skalarproduktet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportMatrixa=Matrix([3,-1,2])b=Matrix([6,4,2])dot_product=a.dot(b)component_products=[a[i]*b[i]foriinrange(3)]print("a =",list(a))print("b =",list(b))print("Komponentprodukter =",component_products)print("Skalarprodukt a·b =",dot_product)print("Kontroll, sum av komponentprodukter =",sum(component_products))
a = [3, -1, 2]
b = [6, 4, 2]
Komponentprodukter = [18, -4, 4]
Skalarprodukt a·b = 18
Kontroll, sum av komponentprodukter = 18
Fasit: \(\vec a\cdot\vec b=18\).
Vanlig feil: Å miste minusfortegnet i den andre komponenten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt komponentvis multiplikasjon og summering.
Tolkning: Vektorproduktet er vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportMatrixa=Matrix([3,-1,2])b=Matrix([6,4,2])cross_product=a.cross(b)print("a × b =",list(cross_product))print("(a × b) · a =",cross_product.dot(a))print("(a × b) · b =",cross_product.dot(b))print("b × a =",list(b.cross(a)))print("Summen (a × b) + (b × a) =",list(cross_product+b.cross(a)))
a × b = [-10, 6, 18]
(a × b) · a = 0
(a × b) · b = 0
b × a = [10, -6, -18]
Summen (a × b) + (b × a) = [0, 0, 0]
Fasit: \(\vec a\times\vec b=[-10,6,18]\).
Vanlig feil: Å bytte rekkefølgen. \(\vec b\times\vec a\) får motsatt fortegn.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt orientering og gjerne en ortogonalitetskontroll.
Tolkning: Den direkte og den distributive metoden gir samme svar.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportMatrixa=Matrix([3,-1,2])b=Matrix([6,4,2])difference=a-bvalue_direct=difference.dot(a)value_distributive=a.dot(a)-b.dot(a)print("a - b =",list(difference))print("Direkte skalarprodukt =",value_direct)print("a·a =",a.dot(a))print("b·a =",b.dot(a))print("Distributiv kontroll =",value_distributive)
a - b = [-3, -5, 0]
Direkte skalarprodukt = -4
a·a = 14
b·a = 18
Distributiv kontroll = -4
Fasit: \((\vec a-\vec b)\cdot\vec a=-4\).
Vanlig feil: Å regne \(\vec b-\vec a\) i stedet for \(\vec a-\vec b\), eller å overse at minus ganger minus blir pluss.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt differansevektor og skalarprodukt.
Oppgave 3aFunksjonsanalyse - høyere deriverte
Oppgave 3a
Oppgave:
Vi har gitt funksjonen
\[f(x)=xe^x.\]
Bestem \(f\prime(x)\) og \(f\prime\prime(x)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Begge derivasjonene krever produktregelen, fordi funksjonen og den første deriverte er produkter av et lineært uttrykk og \(e^x\).
Steg 1 - Bruk produktregelen på \(f\)
\[f\prime(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x.\]
Steg 2 - Faktoriser første deriverte
\[f\prime(x)=(x+1)e^x.\]
Steg 3 - Forbered andre derivasjon
Nå er \(f\prime\) produktet av \(x+1\) og \(e^x\).
Steg 4 - Bruk produktregelen igjen
\[f\prime\prime(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x.\]
Steg 5 - Samle leddene
\[f\prime\prime(x)=(x+2)e^x.\]
Steg 6 - Kontroller mønsteret
Hver derivasjon øker konstantleddet i parentesen med 1.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Derivative(x exp(x),x)
→\((x+1)e^x\)
2
Derivative(x exp(x),x,2)
→\((x+2)e^x\)
Tolkning: CAS viser det lineære mønsteret i parentesen.
Fasit: \(f\prime(x)=(x+1)e^x\) og \(f\prime\prime(x)=(x+2)e^x\).
Vanlig feil: Å bruke produktregelen bare første gang og deretter derivere \((x+1)e^x\) feil.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel i begge derivasjoner.
Oppgave 3bFunksjonsanalyse - bunnpunkt og vendepunkt
Oppgave 3b
Oppgave:
Bestem koordinatene til bunnpunkt og vendepunkt på grafen til
\[f(x)=xe^x.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Et bunnpunkt finnes ved å løse \(f\prime(x)=0\) og klassifisere med \(f\prime\prime\). Et vendepunkt finnes ved å løse \(f\prime\prime(x)=0\) og kontrollere fortegnsskifte eller tredje derivert.
Vanlig feil: Å anta at alle løsninger av \(f\prime=0\) er bunnpunkter, eller å kalle \(f\prime\prime=0\) et vendepunkt uten fortegnssjekk.
Sensorpunkt: Sensor ser etter klassifisering, ikke bare x-verdiene.
Oppgave 3cMatematisk induksjon - n-te derivert
Oppgave 3c
Oppgave:
Det blir påstått at den \(n\)-te deriverte er gitt ved
\[f^{(n)}(x)=(x+n)e^x.\]
Bevis formelen for den \(n\)-te deriverte ved induksjon.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjennomføre et fullstendig induksjonsbevis: grunntrinn, induksjonshypotese og induksjonssteg. Det avgjørende er å vise at sannhet for \(n=k\) medfører sannhet for \(n=k+1\).
Steg 1 - Formuler påstanden
La \(P(n)\) være påstanden
\[f^{(n)}(x)=(x+n)e^x.\]
Steg 2 - Grunntrinn \(n=1\)
Fra produktregelen får vi
\[f\prime(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x.\]
Dette er nøyaktig formelen med \(n=1\). Dermed er \(P(1)\) sann.
Steg 3 - Skriv induksjonshypotesen
Anta at formelen er sann for et vilkårlig heltall \(k\ge1\):
\[f^{(k)}(x)=(x+k)e^x.\]
Steg 4 - Start induksjonssteget
Den neste deriverte er den deriverte av uttrykket i hypotesen:
Vi har vist at \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\). Siden grunntrinnet er sant, følger formelen for alle heltall \(n\ge1\).
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Derivative(x exp(x),x,n)
→\((x+n)e^x\)
Tolkning: CAS antyder mønsteret, men det erstatter ikke induksjonsbeviset.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,exp,diff,simplifyx=symbols('x',real=True)f=x*exp(x)forninrange(1,7):derivative_n=diff(f,x,n)formula_n=(x+n)*exp(x)difference=simplify(derivative_n-formula_n)print(f"n = {n}: f^({n})(x) = {derivative_n}")print(" kontroll mot (x+n)e^x =",difference)
n = 1: f^(1)(x) = x*exp(x) + exp(x)
kontroll mot (x+n)e^x = 0
n = 2: f^(2)(x) = (x + 2)*exp(x)
kontroll mot (x+n)e^x = 0
n = 3: f^(3)(x) = (x + 3)*exp(x)
kontroll mot (x+n)e^x = 0
n = 4: f^(4)(x) = (x + 4)*exp(x)
kontroll mot (x+n)e^x = 0
n = 5: f^(5)(x) = (x + 5)*exp(x)
kontroll mot (x+n)e^x = 0
n = 6: f^(6)(x) = (x + 6)*exp(x)
kontroll mot (x+n)e^x = 0
Fasit: \(\displaystyle f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\) for alle heltall \(n\ge1\).
Vanlig feil: Å hoppe fra induksjonshypotesen rett til svaret uten å derivere og bruke produktregelen i induksjonssteget.
Sensorpunkt: Sensor ser spesielt etter et fullstendig induksjonssteg og en tydelig konklusjon.
Del 2 - med hjelpemidler
GeoGebra/CAS-kommandoer, tolkning og full Python-kontroll er inkludert der de støtter løsningen.
Oppgave 4aTrigonometrisk modell - innsetting
Oppgave 4a
Oppgave:
En modell for tidspunktet når utelyset slås på, er
\[f(t)=19-4\cos\left(\frac{\pi}{180}t\right),\]
der \(f(t)\) måles i timer etter midnatt og \(t\) er antall dager fra nyttår. Alle måneder regnes som 30 dager.
Når begynner det å mørkne 25. mars, ifølge modellen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi må først oversette datoen til modellens dagtall og deretter sette dette tallet inn i den trigonometriske funksjonen. Desimaltimer omregnes til klokkeslett.
Steg 1 - Finn dagtallet for 25. mars
Januar og februar gir \(30+30=60\) dager. Med 25 dager i mars bruker vi
Modellen sier at lyset slås på omtrent klokken 18.39.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
f(t):=19-4 cos(pi t/180)
→\(19-4\cos(\frac{\pi t}{180})\)
2
f(85)
→\(18.651377\ldots\)
Tolkning: Desimaltiden tilsvarer omtrent 18 timer og 39 minutter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportpi,cos,Nt=30+30+25value=19-4*cos(pi*t/180)decimal_hours=float(N(value,15))hour=int(decimal_hours)minutes_decimal=(decimal_hours-hour)*60minute=int(round(minutes_decimal))print("Dagtall t =",t)print("Eksakt modellverdi =",value)print("Desimaltimer =",N(value,12))print("Minutter etter hel time =",round(minutes_decimal,4))print(f"Klokkeslett ≈ {hour:02d}:{minute:02d}")
Dagtall t = 85
Eksakt modellverdi = 19 - 4*cos(17*pi/36)
Desimaltimer = 18.6513770290
Minutter etter hel time = 39.0826
Klokkeslett ≈ 18:39
Fasit: Lyset slås på omtrent kl. \(18.39\) den 25. mars.
Vanlig feil: Å tolke \(18.65\) som kl. 18.65. Desimaldelen må multipliseres med 60 for å få minutter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt dagtall, innsetting og omregning fra desimaltimer.
Oppgave 4bTrigonometrisk modell - graf og parametere
Oppgave 4b
Oppgave:
Tegn grafen til
\[f(t)=19-4\cos\left(\frac{\pi}{180}t\right).\]
Bestem likevektslinjen, amplituden og perioden. Hva er gjennomsnittlig tidspunkt i løpet av året for når lyset slås på?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi sammenligner funksjonen med standardformen \(d+a\cos(bt+c)\). Konstantleddet gir likevektslinjen, absoluttverdien av koeffisienten foran cosinus gir amplituden, og perioden er \(2\pi/|b|\).
Steg 1 - Identifiser standardformen
\[f(t)=d+a\cos(bt+c)\]
med \(d=19\), \(a=-4\), \(b=\pi/180\) og \(c=0\).
Steg 2 - Finn likevektslinjen
\[y=d=19.\]
Steg 3 - Finn amplituden
\[A=|a|=|-4|=4.\]
Steg 4 - Finn perioden
\[T=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{\pi/180}=360.\]
Steg 5 - Finn største og minste verdi
\[19-4=15,\qquad19+4=23.\]
Steg 6 - Beskriv grafen
Grafen starter i minimum \((0,15)\), krysser likevektslinjen ved \(t=90\), har maksimum \((180,23)\), krysser igjen ved \(t=270\) og er tilbake i minimum ved \(t=360\).
Steg 7 - Finn gjennomsnittstidspunktet
Over en hel periode er gjennomsnittet av cosinusleddet 0. Gjennomsnittsverdien er derfor likevektslinjen:
\[\overline f=19.\]
Steg 8 - Tolk
Gjennomsnittlig tidspunkt for innkobling er klokken 19.00.
Grafen viser likevektslinjen 19, amplitude 4 og én periode på 360 dager.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
f(t):=19-4 cos(pi t/180)
→\(f(t)=19-4\cos(\frac{\pi t}{180})\)
2
Period(f)
→\(360\)
3
Extremum(f,0,360)
→\((0,15),(180,23),(360,15)\)
Tolkning: Grafen gjennomfører én hel periode på modellåret på 360 dager.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,pi,cos,integrate,simplifyt=symbols('t',real=True)f=19-4*cos(pi*t/180)period=2*pi/(pi/180)average=simplify(integrate(f,(t,0,period))/period)print("f(t) =",f)print("Likevektslinje = 19")print("Amplitude =",abs(-4))print("Periode =",period)print("Minimum f(0) =",f.subs(t,0))print("Maksimum f(180) =",f.subs(t,180))print("Gjennomsnittsverdi over en periode =",average)
f(t) = 19 - 4*cos(pi*t/180)
Likevektslinje = 19
Amplitude = 4
Periode = 360
Minimum f(0) = 15
Maksimum f(180) = 23
Gjennomsnittsverdi over en periode = 19
Fasit: Likevektslinje \(y=19\), amplitude \(4\) timer, periode \(360\) dager og gjennomsnittlig innkoblingstid kl. \(19.00\).
Vanlig feil: Å kalle koeffisienten \(-4\) amplituden. Amplituden er alltid en ikke-negativ størrelse, altså 4.
Sensorpunkt: Sensor ser etter alle tre parametrene, korrekt periodeformel og en tolkning av gjennomsnittsverdien.
Oppgave 4cTrigonometrisk likning - modell
Oppgave 4c
Oppgave:
Bestem når på året lyset slås på klokken 18.00.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Klokken 18.00 betyr \(f(t)=18\). Vi løser en cosinuslikning i intervallet for ett modellår, \(0\le t\le360\), og gjør dagtallene om til omtrentlige datoer.
Fasit: \(t\approx75.52\) og \(t\approx284.48\), altså omtrent 16. mars og 15. oktober.
Vanlig feil: Å finne bare løsningen fra \(\arccos\) og glemme den andre løsningen i en hel periode.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge løsninger i intervallet og en meningsfull datotolkning.
Oppgave 4dTrigonometrisk modell - maksimum
Oppgave 4d
Oppgave:
Bestem når på året dagslyset varer lengst ifølge modellen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Dagslyset varer lengst når det blir mørkt senest. I modellen betyr dette at \(f(t)\) skal ha størst mulig verdi.
Steg 1 - Formuler optimeringsmålet
Vi søker maksimum til
\[f(t)=19-4\cos\left(\frac{\pi t}{180}\right).\]
Steg 2 - Bruk verdiområdet til cosinus
\[-1\le\cos\theta\le1.\]
Steg 3 - Finn når \(-4\cos heta\) er størst
Uttrykket blir størst når \(\cos\theta=-1\).
Steg 4 - Sett opp vinkellikningen
\[\cos\left(\frac{\pi t}{180}\right)=-1.\]
Steg 5 - Finn vinkelen i ett år
\[\frac{\pi t}{180}=\pi.\]
Steg 6 - Løs for \(t\)
\[t=180.\]
Steg 7 - Finn seneste tidspunkt
\[f(180)=19-4(-1)=23.\]
Steg 8 - Tolk datoen
Dag 180 er etter seks 30-dagersmåneder, altså rundt overgangen 30. juni / 1. juli. Da varer dagslyset lengst i modellen.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Extremum(19-4 cos(pi t/180),0,360)
→\((180,23)\)
Tolkning: Maksimumspunktet ligger midt i modellåret.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,pi,cos,diff,solvet=symbols('t',real=True)f=19-4*cos(pi*t/180)f_prime=diff(f,t)critical=[valueforvalueinsolve(f_prime,t)if0<=value<=360]print("f'(t) =",f_prime)print("Kritiske punkter i [0, 360] =",critical)forvaluein[0,180,360]:print(f"f({value}) =",f.subs(t,value))print("Maksimum oppnås ved t = 180 med verdi 23.")
f'(t) = pi*sin(pi*t/180)/45
Kritiske punkter i [0, 360] = [0, 180]
f(0) = 15
f(180) = 23
f(360) = 15
Maksimum oppnås ved t = 180 med verdi 23.
Fasit: Dagslyset varer lengst ved \(t=180\), rundt 1. juli. Lyset slås da på kl. \(23.00\).
Vanlig feil: Å minimere \(f\) i stedet for å maksimere. Senere mørke betyr større tidspunktverdi.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sammenhengen mellom lengst dagslys og maksimum til modellen.
Oppgave 5aTrigonometri - tangentidentitet
Oppgave 5a
Oppgave:
Bruk formlene for \(\sin(u-v)\) og \(\cos(u-v)\) til å vise at
Hva spør oppgaven om? Vi starter med definisjonen \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\), setter inn differanseformlene og dividerer teller og nevner med \(\cos u\cos v\).
Tolkning: Identiteten gjelder der begge sider er definerte.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,sin,cos,tan,simplify,trigsimpu,v=symbols('u v',real=True)left=tan(u-v)right=(tan(u)-tan(v))/(1+tan(u)*tan(v))expanded=(sin(u)*cos(v)-cos(u)*sin(v))/(cos(u)*cos(v)+sin(u)*sin(v))print("Venstreside =",left)print("Utvidet med sinus/cosinus =",expanded)print("Høyreside =",right)print("Trigonometrisk kontroll =",trigsimp(left-right))print("Kontroll av utvidet form =",simplify(expanded-right))
Vanlig feil: Å bruke feil fortegn i cosinusformelen: \(\cos(u-v)\) har pluss mellom leddene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av begge differanseformlene og en gyldig brøkforenkling.
Oppgave 5bTrigonometri - geometrisk modell
Oppgave 5b
Oppgave:
Et bilde har høyde \(CD=3.0\text{ m}\). Undersiden ligger \(1.0\text{ m}\) over øyenivå. Avstanden til veggen er \(AB=x\). På skissen er \(\angle DAC=\alpha\), \(\angle DAB=u\) og \(\angle CAB=v\). Vi setter \(f(x)=\tan(\alpha)=\tan(u-v)\).
Bruk a) til å vise at
\[f(x)=\frac{3x}{x^2+4}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker \(\tan u\) og \(\tan v\) fra de to rettvinklede trekantene. Deretter setter vi dem inn i tangentformelen fra del a.
Steg 1 - Finn totalhøyden til toppen av bildet
Toppen ligger \(1+3=4\) meter over øyenivå.
Steg 2 - Finn \( an u\)
I trekanten med sikte til toppen er motstående katet 4 og hosliggende katet \(x\):
\[\tan u=\frac4x.\]
Steg 3 - Finn \( an v\)
I trekanten med sikte til undersiden er motstående katet 1:
Fasit: \(\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^2+4}\), for \(x>0\).
Vanlig feil: Å bruke 3 meter som høyde til toppen. Toppen ligger 4 meter over øyenivå fordi undersiden allerede ligger 1 meter over.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte tangensforhold og ryddig bruk av identiteten fra del a.
Oppgave 5cFunksjonsdrøfting - maksimum
Oppgave 5c
Oppgave:
Bestem største verdi for
\[f(x)=\frac{3x}{x^2+4}\]
og tilhørende verdi for \(x\), når \(x>0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer den rasjonale funksjonen ved å derivere, finne kritiske punkter og undersøke fortegnet til den deriverte på det fysiske domenet \(x>0\).
Steg 1 - Deriver med kvotientregelen
\[f\prime(x)=\frac{3(x^2+4)-3x(2x)}{(x^2+4)^2}.\]
Steg 2 - Forenkle telleren
\[3x^2+12-6x^2=12-3x^2=3(4-x^2).\]
Steg 3 - Skriv den deriverte ryddig
\[f\prime(x)=\frac{3(4-x^2)}{(x^2+4)^2}.\]
Steg 4 - Finn kritisk punkt
Nevneren er alltid positiv. Vi setter telleren lik null:
\[4-x^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.\]
Steg 5 - Bruk domenet
Avstanden må være positiv, så bare \(x=2\) er aktuell.
Steg 6 - Undersøk fortegnet
For \(00\), så \(f\) øker. For \(x>2\) er \(4-x^2<0\), så \(f\) avtar.
Steg 7 - Konkluder maksimum
Funksjonen går fra økende til avtakende ved \(x=2\). Dette er globalt maksimum på \(x>0\).
Steg 8 - Beregn maksimalverdien
\[f(2)=\frac{3\cdot2}{2^2+4}=\frac68=\frac34.\]
Grafen til f(x)=3x/(x^2+4) har toppunkt i (2, 3/4).
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Extremum(3x/(x^2+4),0,10)
→\((2,\frac34)\)
Tolkning: Grafen øker fram til x = 2 og avtar deretter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,diff,factor,solve,simplifyx=symbols('x',positive=True)f=3*x/(x**2+4)f_prime=factor(diff(f,x))critical=solve(diff(f,x),x)maximum_x=2maximum_value=simplify(f.subs(x,maximum_x))print("f(x) =",f)print("f'(x) =",f_prime)print("Kritiske positive x-verdier =",critical)print("Maksimumspunkt x =",maximum_x)print("Maksimal verdi f(2) =",maximum_value)print("Numerisk maksimalverdi =",maximum_value.evalf(12))
Fasit: Største verdi er \(\frac34\), og den oppnås når \(x=2.0\text{ m}\).
Vanlig feil: Å ta med \(x=-2\), som ikke er en fysisk avstand, eller å stoppe etter \(f\prime=0\) uten å vise at punktet er et maksimum.
Sensorpunkt: Sensor ser etter derivert, domene, fortegnsargument og maksimalverdi.
Oppgave 5dTrigonometri - vinkel fra tangens
Oppgave 5d
Oppgave:
Bestem den største synsvinkelen \(\alpha\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Fra del c vet vi at maksimalverdien av \(\tan\alpha\) er \(3/4\). Vi bruker den inverse tangentfunksjonen og oppgir vinkelen i grader.
Vinkelen er positiv og mindre enn \(90^{\circ}\), som passer med skissen.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
atan(3/4)
→\(0.643501\ldots\)
2
atan(3/4)*180/pi
→\(36.869897\ldots^{\circ}\)
Tolkning: GeoGebra gir både radian- og gradverdien.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportRational,atan,pi,Ntan_alpha=Rational(3,4)alpha_rad=atan(tan_alpha)alpha_deg=alpha_rad*180/piprint("tan(alpha_max) =",tan_alpha)print("alpha_max i radianer =",N(alpha_rad,12))print("alpha_max i grader =",N(alpha_deg,12))print("Avrundet til én desimal =",round(float(alpha_deg),1),"grader")
tan(alpha_max) = 3/4
alpha_max i radianer = 0.643501108793
alpha_max i grader = 36.8698976458
Avrundet til én desimal = 36.9 grader
Fasit: Den største synsvinkelen er omtrent \(36.9^{\circ}\).
Vanlig feil: Å oppgi \(0.6435\) som grader. Kalkulatoren må være i riktig vinkelmodus, eller radianverdien må omregnes.
Sensorpunkt: Sensor ser etter at tangentverdien omgjøres til selve vinkelen og at enheten grader oppgis.
Oppgave 6aDifferensiallikning - separabel modell
Oppgave 6a
Oppgave:
En båt har fart \(25\text{ m/s}\) når motoren stanser. Modellen er
\[y\prime=ky^2,\qquad k<0.\]
Med det samme motoren stanser, er akselerasjonen \(-12\text{ m/s}^2\). Bestem \(k\), og vis at den generelle løsningen kan skrives
\[y=\frac1{0.02x+C}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker startfarten og startakselerasjonen til å finne \(k\). Deretter bruker vi den avrundede verdien \(k\approx-0.02\) i den separable differensiallikningen, slik den oppgitte løsningsformen viser.
Steg 1 - Sett inn startverdiene i modellen
Ved \(x=0\) er \(y=25\) og \(y\prime=-12\). Dermed
\[-12=k\cdot25^2.\]
Steg 2 - Løs for \(k\)
\[k=\frac{-12}{625}=-0.0192.\]
Steg 3 - Avrund i samsvar med oppgavens modell
\[k\approx-0.02.\]
Den oppgitte formen med koeffisienten \(0.02\) bygger på denne avrundingen.
Steg 4 - Skriv den avrundede differensiallikningen
\[\frac{dy}{dx}=-0.02y^2.\]
Steg 5 - Separer variablene
\[\frac{1}{y^2}\,dy=-0.02\,dx.\]
Steg 6 - Integrer begge sider
\[\int y^{-2}\,dy=\int-0.02\,dx\]
Steg 7 - Regn integralene
\[-\frac1y=-0.02x+C_1.\]
Steg 8 - Omskriv konstanten
Multipliser med \(-1\) og kall den nye konstanten \(C\):
\[\frac1y=0.02x+C.\]
Steg 9 - Isoler \(y\)
\[y=\frac1{0.02x+C}.\]
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
k=-12/25^2
→\(-0.0192\)
2
SolveODE(y'=-0.02 y^2)
→\(y=\frac1{0.02x+C}\)
Tolkning: Den eksakte startberegningen gir -0.0192, mens den videre modellen bruker -0.02.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,Function,Eq,diff,dsolve,Rational,simplifyx=symbols('x',real=True)y=Function('y')k_exact=Rational(-12,25**2)k_rounded=Rational(-2,100)ode=Eq(diff(y(x),x),k_rounded*y(x)**2)solution=dsolve(ode)print("Eksakt k fra startdata =",k_exact)print("Desimalverdi =",k_exact.evalf(10))print("Avrundet k brukt videre =",k_rounded)print("Differensiallikning =",ode)print("SymPy-løsning =",solution)trial=1/(Rational(2,100)*x+symbols('C'))print("Kontroll av oppgitt form =",simplify(diff(trial,x)-k_rounded*trial**2))
Eksakt k fra startdata = -12/625
Desimalverdi = -0.01920000000
Avrundet k brukt videre = -1/50
Differensiallikning = Eq(Derivative(y(x), x), -y(x)**2/50)
SymPy-løsning = Eq(y(x), 50/(C1 + x))
Kontroll av oppgitt form = 0
Fasit: \(k=-0.0192\approx-0.02\), og med den avrundede modellen er \(\displaystyle y=\frac1{0.02x+C}\).
Vanlig feil: Å overse at \(k\) først blir \(-0.0192\). Oppgaven bruker deretter avrundingen \(-0.02\) for å få den angitte løsningsformen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bestemmelse av \(k\), tydelig separasjon og full integrasjon med konstant.
Oppgave 6bDifferensiallikning - initialbetingelse
Oppgave 6b
Oppgave:
Bestem konstanten \(C\) og farten til båten 3 s etter motorstansen, når
Hva spør oppgaven om? Vi setter inn startbetingelsen for å finne \(C\), og deretter setter vi \(x=3\) i den bestemte fartsfunksjonen.
Steg 1 - Sett inn \(x=0\)
\[25=\frac1{0.02\cdot0+C}.\]
Steg 2 - Forenkle
\[25=\frac1C.\]
Steg 3 - Løs for \(C\)
\[C=\frac1{25}=0.04.\]
Steg 4 - Skriv den bestemte løsningen
\[y(x)=\frac1{0.02x+0.04}.\]
Steg 5 - Sett inn \(x=3\)
\[y(3)=\frac1{0.02\cdot3+0.04}.\]
Steg 6 - Regn nevneren
\[0.02\cdot3+0.04=0.06+0.04=0.10.\]
Steg 7 - Finn farten
\[y(3)=\frac1{0.10}=10.\]
Steg 8 - Tolk
Etter 3 sekunder har farten falt fra 25 m/s til 10 m/s.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve(25=1/C,C)
→\(C=0.04\)
2
1/(0.02*3+0.04)
→\(10\)
Tolkning: Fartsverdien følger direkte av den initialtilpassede modellen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,Eq,solve,Rational,simplifyC=symbols('C',real=True)solution_C=solve(Eq(25,1/C),C)[0]x=symbols('x',real=True)y=1/(Rational(2,100)*x+solution_C)y_at_3=simplify(y.subs(x,3))print("Likning for C: 25 = 1/C")print("C =",solution_C)print("Fartsfunksjon y(x) =",y)print("y(0) =",y.subs(x,0))print("y(3) =",y_at_3)print("Farten etter 3 s =",float(y_at_3),"m/s")
Likning for C: 25 = 1/C
C = 1/25
Fartsfunksjon y(x) = 1/(x/50 + 1/25)
y(0) = 25
y(3) = 10
Farten etter 3 s = 10.0 m/s
Fasit: \(C=0.04\), og farten etter 3 s er \(10\text{ m/s}\).
Vanlig feil: Å sette \(C=25\) i stedet for \(C=1/25\), eller å glemme enheten m/s.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av initialbetingelsen og tydelig innsetting av \(x=3\).
Oppgave 6cIntegrasjon - strekning fra fart
Oppgave 6c
Oppgave:
Strekningen båten forflytter seg, er \(s(x)\) meter, og \(s\prime=y\). Bestem hvor langt båten forflytter seg i løpet av de tre første sekundene etter motorstansen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Siden den deriverte av strekningen er farten, er tilbakelagt strekning det bestemte integralet av fartsfunksjonen fra 0 til 3 sekunder.
Båten beveger seg omtrent 45.8 meter de første tre sekundene.
Fartsgrafen og arealet under grafen de første tre sekundene.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Integral(1/(0.02x+0.04),0,3)
→\(50\ln(2.5)\approx45.8145\)
Tolkning: Arealet under fartsgrafen fra 0 til 3 er strekningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,Rational,integrate,log,simplify,Nx=symbols('x',real=True)y=1/(Rational(2,100)*x+Rational(4,100))distance=integrate(y,(x,0,3))expected=50*log(Rational(5,2))print("Fartsfunksjon y(x) =",y)print("Bestemt integral fra 0 til 3 =",distance)print("Forventet eksakt form =",expected)print("Kontroll =",simplify(distance-expected))print("Numerisk strekning =",N(distance,12),"m")
Fartsfunksjon y(x) = 1/(x/50 + 1/25)
Bestemt integral fra 0 til 3 = -50*log(2) + 50*log(5)
Forventet eksakt form = 50*log(5/2)
Kontroll = 0
Numerisk strekning = 45.8145365937 m
Vanlig feil: Å bruke sluttfart ganger tid. Farten varierer, så strekningen må finnes ved integrasjon.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bestemt integral, grenser og enhet.
Oppgave 7aRekker og areal - trappefigur
Oppgave 7a
Oppgave:
En figur består av \(n\) søyler med kvadratiske ruter med side \(1/n\). Søylenummer \(j\) inneholder \(j\) ruter. Figuren er tegnet for \(n=5\).
Bestem arealet av figuren.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? For \(n=5\) teller vi antall små kvadrater og multipliserer med arealet av ett kvadrat.
Steg 1 - Finn siden i hver rute
\[\frac1n=\frac15.\]
Steg 2 - Finn arealet av én rute
\[\left(\frac15\right)^2=\frac1{25}.\]
Steg 3 - Tell rutene i søylene
Søylene inneholder henholdsvis \(1,2,3,4,5\) ruter.
Steg 4 - Finn totalt antall ruter
\[1+2+3+4+5=15.\]
Steg 5 - Multipliser antall med ruteareal
\[A=15\cdot\frac1{25}.\]
Steg 6 - Forkort brøken
\[A=\frac{15}{25}=\frac35.\]
Steg 7 - Oppgi desimalverdi
\[\frac35=0.6.\]
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Sum(k*(1/5)^2,k,1,5)
→\(\frac35\)
Tolkning: Summen av arealene i de fem søylene er 0.6.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportRationaln=5side=Rational(1,n)area_one_square=side**2squares_per_column=list(range(1,n+1))total_squares=sum(squares_per_column)total_area=total_squares*area_one_squareprint("n =",n)print("Sidelengde per rute =",side)print("Areal per rute =",area_one_square)print("Ruter per søyle =",squares_per_column)print("Totalt antall ruter =",total_squares)print("Totalt areal =",total_area,"=",float(total_area))
n = 5
Sidelengde per rute = 1/5
Areal per rute = 1/25
Ruter per søyle = [1, 2, 3, 4, 5]
Totalt antall ruter = 15
Totalt areal = 3/5 = 0.6
Fasit: Arealet er \(\frac35=0.6\) kvadratenheter.
Vanlig feil: Å bruke sidelengden \(1/5\) som areal. Arealet av hver rute er \((1/5)^2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter både riktig antall ruter og korrekt ruteareal.
Hva spør oppgaven om? Søyle nummer \(j\) har \(j\) ruter, og hver rute har areal \(1/n^2\). Vi faktoriserer ut det felles rutearealet og bruker formelen for summen \(1+2+\cdots+n\).
Vanlig feil: Å bruke \(n\) som arealet av en søyle uten å multiplisere med \(1/n^2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter en klar kobling mellom geometrien, summetegnet og den aritmetiske sumformelen.
Oppgave 7cRekker - innsetting og kontroll
Oppgave 7c
Oppgave:
Bruk rekken til å bestemme \(S_5\). Kommenter svaret.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi setter \(n=5\) i den generelle formelen og sammenligner med den direkte arealberegningen i del a.
Steg 1 - Bruk formelen
\[S_n=\frac{n+1}{2n}.\]
Steg 2 - Sett inn \(n=5\)
\[S_5=\frac{5+1}{2\cdot5}.\]
Steg 3 - Regn telleren
\[5+1=6.\]
Steg 4 - Regn nevneren
\[2\cdot5=10.\]
Steg 5 - Forkort
\[S_5=\frac6{10}=\frac35.\]
Steg 6 - Sammenlign med del a
I del a fant vi arealet direkte til \(3/5\). Resultatene er identiske.
Steg 7 - Kommenter betydningen
Den generelle rekken beskriver altså nøyaktig arealet av den konkrete trappefiguren for \(n=5\).
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
((5+1)/(2*5))
→\(\frac35\)
Tolkning: Formelen reproduserer det direkte telte arealet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromfractionsimportFractionn=5S5=Fraction(n+1,2*n)direct_area=Fraction(1+2+3+4+5,n**2)print("S_5 fra generell formel =",S5)print("Areal ved direkte telling =",direct_area)print("Desimalverdi =",float(S5))print("Resultatene er like =",S5==direct_area)
S_5 fra generell formel = 3/5
Areal ved direkte telling = 3/5
Desimalverdi = 0.6
Resultatene er like = True
Fasit: \(S_5=\frac35=0.6\), i samsvar med arealet i del a.
Vanlig feil: Å sette \(n=5\) bare i telleren eller bare i nevneren.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting og en eksplisitt sammenligning med del a.
Oppgave 7dGrenser og geometrisk resonnering
Oppgave 7d
Oppgave:
Vis at
\[\lim_{n\to\infty}S_n=\frac12.\]
Bruk også et geometrisk resonnement til å begrunne at svaret er riktig.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi beregner først grensen algebraisk fra den lukkede formelen. Deretter tolker vi trappefigurene som rektangelsummer som nærmer seg trekanten under linjen \(y=x\) i en enhetskvadrat.
Steg 1 - Bruk den lukkede formen
\[S_n=\frac{n+1}{2n}.\]
Steg 2 - Del teller og nevner på \(n\)
\[S_n=\frac{1+1/n}{2}.\]
Steg 3 - Bruk standardgrensen
\[\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.\]
Steg 4 - Beregn grensen
\[\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1+0}{2}=\frac12.\]
Steg 5 - Se figuren som en Riemann-sum
Søyle \(j\) har bredde \(1/n\) og høyde \(j/n\). Arealet er
\[\frac1n\cdot\frac jn=\frac j{n^2}.\]
Steg 6 - Identifiser grensefiguren
Når \(n\) blir stor, følger trappetrinnene linjen \(y=x\) på intervallet \([0,1]\).
Steg 7 - Finn trekantarealet
Området under \(y=x\) er en rettvinklet trekant med grunnlinje 1 og høyde 1:
\[A=\frac12\cdot1\cdot1=\frac12.\]
Steg 8 - Mål overskuddsarealet
\[S_n-\frac12=\frac1{2n}\to0.\]
Trappefigurens ekstra areal over trekanten forsvinner.
Trappefiguren nærmer seg trekanten under y=x, som har areal 1/2.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Limit((n+1)/(2n),n,infinity)
→\(\frac12\)
2
Simplify((n+1)/(2n)-1/2)
→\(\frac1{2n}\)
Tolkning: Avviket fra trekantarealet er nøyaktig 1/(2n).
Fasit: \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac12\), som er arealet av trekanten under \(y=x\) i enhetskvadratet.
Vanlig feil: Å bare skrive grensen uten det etterspurte geometriske argumentet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både algebraisk grenseberegning og en presis geometrisk forklaring.
Oppgave 8aRomgeometri - planlikning
Oppgave 8a
Oppgave:
I et koordinatsystem er det gitt et punkt \(P(5,-1,4)\) og et plan
\[\alpha:\ 2x-2y+z+2=0.\]
Punktene \(A(0,0,4)\), \(B(2,0,0)\) og \(C(1,1,4)\) ligger i et annet plan \(\beta\).
Bestem likningen til \(\beta\), og forklar at \(\alpha\parallel\beta\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner to retningsvektorer i planet \(\beta\), tar vektorproduktet for å få en normalvektor og bruker ett av punktene til å bestemme konstantleddet.
AB = [2, 0, -4]
AC = [1, 1, 0]
AB × AC = [4, -4, 2]
Forkortet normalvektor = [2, -2, 1]
Kontroll n·AB = 0
Kontroll n·AC = 0
Plan beta: 2x - 2y + z - 4 = 0
Fasit: \(\beta:\ 2x-2y+z-4=0\), og \(\alpha\parallel\beta\) fordi planene har parallelle, faktisk identiske, normalvektorer.
Vanlig feil: Å bruke \(\overrightarrow{AB}\) eller \(\overrightarrow{AC}\) direkte som normalvektor. De ligger i planet og er derfor ikke normale på det.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to retningsvektorer, vektorprodukt og begrunnelse for parallellitet.
Hva spør oppgaven om? Planene er parallelle og skrevet med samme normalvektor. Da kan avstandsformelen bruke forskjellen mellom konstantleddene delt på lengden av normalvektoren.
Steg 1 - Identifiser koeffisientene
\[a=2,\qquad b=-2,\qquad c=1.\]
Steg 2 - Identifiser konstantleddene
\[d_1=2,\qquad d_2=-4.\]
Steg 3 - Skriv avstandsformelen
\[D=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]
Steg 4 - Sett inn konstantleddene
\[|2-(-4)|=6.\]
Steg 5 - Finn lengden av normalvektoren
\[\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt9=3.\]
Steg 6 - Divider
\[D=\frac63=2.\]
Steg 7 - Tolk
Den korteste avstanden mellom de parallelle planene er 2 lengdeenheter.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Distance(2x-2y+z+2=0,2x-2y+z-4=0)
→\(2\)
Tolkning: Avstanden er konstant fordi planene er parallelle.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsqrt,Abs,simplifya,b,c=2,-2,1d1,d2=2,-4normal_length=sqrt(a**2+b**2+c**2)distance=simplify(Abs(d1-d2)/normal_length)print("Normalvektor =",[a,b,c])print("Lengde av normalvektor =",normal_length)print("Forskjell mellom konstantledd =",Abs(d1-d2))print("Avstand mellom planene =",distance)print("Numerisk avstand =",float(distance))
Normalvektor = [2, -2, 1]
Lengde av normalvektor = 3
Forskjell mellom konstantledd = 6
Avstand mellom planene = 2
Numerisk avstand = 2.0
Fasit: Avstanden mellom \(\alpha\) og \(\beta\) er \(2\).
Vanlig feil: Å bruke forskjellen mellom konstantleddene uten absoluttverdi, eller å glemme å dividere på normalvektorens lengde.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt normalisering i avstandsformelen.
Oppgave 8cRomgeometri - parameterframstilling
Oppgave 8c
Oppgave:
Planene \(\alpha\) og \(\beta\) er tangentplan til en kule. Sentrum \(S\) og tangeringspunktene \(D\) og \(E\) ligger på en rett linje \(l\) gjennom punktet \(P(5,-1,4)\).
Sett opp en parameterframstilling for \(l\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Linjen gjennom tangeringspunktene og kulens sentrum står vinkelrett på begge tangentplanene. Retningsvektoren til linjen kan derfor velges lik planenens normalvektor.
Steg 1 - Finn normalvektoren til planene
\[\vec n=[2,-2,1].\]
Steg 2 - Bruk geometrien
En radius til et tangeringspunkt står vinkelrett på tangentplanet. Linjen \(l\) gjennom \(D,S,E\) er derfor parallell med \(\vec n\).
Retningsvektoren er identisk med normalvektoren, så linjen er vinkelrett på begge plan.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Line((5,-1,4),Vector((2,-2,1)))
→\((x,y,z)=(5,-1,4)+t(2,-2,1)\)
Tolkning: Linjen er normal på begge parallelle plan.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,Matrixt=symbols('t',real=True)P=Matrix([5,-1,4])normal=Matrix([2,-2,1])point_on_line=P+t*normalprint("P =",list(P))print("Retningsvektor =",list(normal))print("Parameterframstilling =",list(point_on_line))print("Punkt for t = 0 =",list(point_on_line.subs(t,0)))print("Punkt for t = 1 =",list(point_on_line.subs(t,1)))
P = [5, -1, 4]
Retningsvektor = [2, -2, 1]
Parameterframstilling = [2*t + 5, -2*t - 1, t + 4]
Punkt for t = 0 = [5, -1, 4]
Punkt for t = 1 = [7, -3, 5]
Avstanden \(|DE|=2\), som stemmer med avstanden mellom planene.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Intersect(Line((5,-1,4),(7,-3,5)),2x-2y+z+2=0)
→\((1,3,2)\)
2
Intersect(Line((5,-1,4),(7,-3,5)),2x-2y+z-4=0)
→\((\frac73,\frac53,\frac83)\)
Tolkning: Skjæringspunktene ligger på samme normallinje.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,solve,Matrix,Rational,sqrt,simplifyt=symbols('t',real=True)point=Matrix([5+2*t,-1-2*t,4+t])alpha_expr=2*point[0]-2*point[1]+point[2]+2beta_expr=2*point[0]-2*point[1]+point[2]-4t_D=solve(alpha_expr,t)[0]t_E=solve(beta_expr,t)[0]D=point.subs(t,t_D)E=point.subs(t,t_E)distance_DE=simplify((D-E).norm())print("Parameter for D =",t_D)print("D =",list(D))print("Kontroll D i alpha =",alpha_expr.subs(t,t_D))print("Parameter for E =",t_E)print("E =",list(E))print("Kontroll E i beta =",beta_expr.subs(t,t_E))print("Avstand |DE| =",distance_DE)
Parameter for D = -2
D = [1, 3, 2]
Kontroll D i alpha = 0
Parameter for E = -4/3
E = [7/3, 5/3, 8/3]
Kontroll E i beta = 0
Avstand |DE| = 2
Fasit: \(D=(1,3,2)\) og \(\displaystyle E=\left(\frac73,\frac53,\frac83\right)\).
Vanlig feil: Å sette koordinatene inn i feil plan eller gjøre fortegnsfeil i uttrykket for \(y=-1-2t\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge parameterlikningene, eksakte koordinater og gjerne en kontroll.
Oppgave 8eRomgeometri - kulelikning
Oppgave 8e
Oppgave:
Bestem likningen til kula som har \(\alpha\) og \(\beta\) som tangentplan.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Kulesenteret ligger midt mellom tangeringspunktene \(D\) og \(E\), fordi de parallelle tangentplanene ligger på hver sin side av kula. Radius er halvparten av avstanden mellom planene, eller avstanden fra sentrum til ett tangeringspunkt.
Avstanden fra \(S\) til hvert av planene er 1, lik radiusen. Dermed er begge plan tangentplan.
Kula ligger mellom de parallelle tangentplanene, med sentrum på normallinjen gjennom P.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Midpoint((1,3,2),(7/3,5/3,8/3))
→\((\frac53,\frac73,\frac73)\)
2
Sphere((5/3,7/3,7/3),1)
→\((x-\frac53)^2+(y-\frac73)^2+(z-\frac73)^2=1\)
Tolkning: Sentrum ligger på normallinjen og én radius fra hvert plan.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportMatrix,Rational,simplifyD=Matrix([1,3,2])E=Matrix([Rational(7,3),Rational(5,3),Rational(8,3)])S=simplify((D+E)/2)radius=simplify((D-E).norm()/2)normal=Matrix([2,-2,1])alpha_distance=simplify(abs(2*S[0]-2*S[1]+S[2]+2)/normal.norm())beta_distance=simplify(abs(2*S[0]-2*S[1]+S[2]-4)/normal.norm())print("D =",list(D))print("E =",list(E))print("Sentrum S =",list(S))print("Radius =",radius)print("Avstand fra S til alpha =",alpha_distance)print("Avstand fra S til beta =",beta_distance)print("Kule: (x-5/3)^2 + (y-7/3)^2 + (z-7/3)^2 = 1")
D = [1, 3, 2]
E = [7/3, 5/3, 8/3]
Sentrum S = [5/3, 7/3, 7/3]
Radius = 1
Avstand fra S til alpha = 1
Avstand fra S til beta = 1
Kule: (x-5/3)^2 + (y-7/3)^2 + (z-7/3)^2 = 1
