Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt trigonometrisk funksjon. Faktoren 2 står utenfor, mens den indre funksjonen er \(2x\), så kjerneregelen må brukes.

Steg 1 - Identifiser ytre og indre funksjon

Steg 2 - Deriver den ytre funksjonen

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

Steg 5 - Ta med faktoren foran sinus

Steg 6 - Forenkle

from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(2*x)
f_prime = diff(f, x)
expected = 4*cos(2*x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Differanse etter forenkling =", simplify(f_prime - expected))

f(x) = 2*sin(2*x)
f'(x) = 4*cos(2*x)
Forventet uttrykk = 4*cos(2*x)
Differanse etter forenkling = 0

Fasit: \(f\prime(x)=4\cos(2x)\).

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(\cos(2x)\). Vi trenger produktregelen, og den trigonometriske faktoren krever i tillegg kjerneregelen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Steg 2 - Skriv produktregelen

Steg 3 - Deriver \(u\)

Steg 4 - Deriver \(v\) med kjerneregelen

Steg 5 - Sett inn i produktregelen

Steg 6 - Skriv et ryddig sluttresultat

Steg 7 - Eventuell faktorisering

from sympy import symbols, sin, cos, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
g = x**2*cos(2*x)
g_prime = diff(g, x)
expected = 2*x*cos(2*x) - 2*x**2*sin(2*x)

print("g(x) =", g)
print("g'(x) utvidet =", g_prime)
print("g'(x) faktorisert =", factor(g_prime))
print("Kontroll mot forventet uttrykk =", simplify(g_prime - expected))

g(x) = x**2*cos(2*x)
g'(x) utvidet = -2*x**2*sin(2*x) + 2*x*cos(2*x)
g'(x) faktorisert = -2*x*(x*sin(2*x) - cos(2*x))
Kontroll mot forventet uttrykk = 0

Fasit: \(g\prime(x)=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skriver kvadratroten som en potens og bruker kjerneregelen. Samtidig må vi skille mellom definisjonsmengden til funksjonen og til den deriverte.

Steg 1 - Skriv roten som potens

Steg 2 - Deriver den ytre potensfunksjonen

Steg 3 - Deriver kjernen

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

Steg 5 - Forenkle teller og nevner

Steg 6 - Finn definisjonsmengden til \(h\)

Steg 7 - Oppgi hvor den deriverte finnes

from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify, factor, solve_univariate_inequality

x = symbols('x', real=True)
h = sqrt(x**2 - 4*x)/2
h_prime = simplify(diff(h, x))
expected = (x - 2)/(2*sqrt(x**2 - 4*x))
radicand = factor(x**2 - 4*x)

print("h(x) =", h)
print("Faktorisert rotuttrykk =", radicand)
print("h'(x) =", h_prime)
print("Kontroll mot forventet uttrykk =", simplify(h_prime - expected))
print("Omrade der nevneren er reell og ulik null =",
      solve_univariate_inequality(x**2 - 4*x > 0, x))

h(x) = sqrt(x**2 - 4*x)/2
Faktorisert rotuttrykk = x*(x - 4)
h'(x) = (x - 2)/(2*sqrt(x*(x - 4)))
Kontroll mot forventet uttrykk = 0
Omrade der nevneren er reell og ulik null = (4 < x) | (x < 0)

Fasit: \(\displaystyle h\prime(x)=\frac{x-2}{2\sqrt{x^2-4x}}\), for \(x<0\) eller \(x>4\).

Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt der den ene faktoren blir enklere ved derivasjon. Delvis integrasjon er derfor naturlig: vi deriverer \(x\) og integrerer \(e^x\).

Steg 1 - Skriv formelen for delvis integrasjon

Steg 2 - Velg \(u\) og \(dv\)

Steg 3 - Finn \(du\) og \(v\)

Steg 4 - Sett inn i formelen

Steg 5 - Integrer restintegralet

Steg 6 - Skriv sluttresultatet

Steg 7 - Faktoriser om ønskelig

from sympy import symbols, exp, integrate, diff, simplify, factor

x = symbols('x', real=True)
integrand = x*exp(x)
primitive = integrate(integrand, x)
control = simplify(diff(primitive, x) - integrand)

print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", primitive)
print("Faktorisert stamfunksjon =", factor(primitive))
print("Derivert stamfunksjon =", diff(primitive, x))
print("Derivert minus integrand =", control)

Integrand = x*exp(x)
Stamfunksjon fra SymPy = (x - 1)*exp(x)
Faktorisert stamfunksjon = (x - 1)*exp(x)
Derivert stamfunksjon = (x - 1)*exp(x) + exp(x)
Derivert minus integrand = 0

Fasit: \(\displaystyle \int xe^x\,dx=e^x(x-1)+C\).

Hva spør oppgaven om? Nevneren faktoriseres som \((x-3)(x+3)\), og telleren passer ikke direkte til den deriverte av nevneren. Vi deler derfor brøken i to enklere delbrøker.

Steg 1 - Faktoriser nevneren

Steg 2 - Sett opp delbrøkene

Steg 3 - Multipliser med fellesnevneren

Steg 4 - Sammenlikn koeffisienter

Steg 5 - Løs likningssystemet

Steg 6 - Skriv integralet som to logaritmeintegraler

Steg 7 - Integrer

Steg 8 - Husk definisjonsområdet

from sympy import symbols, apart, integrate, diff, simplify, log, Abs

x = symbols('x', real=True)
integrand = (5*x + 3)/(x**2 - 9)
partial_fractions = apart(integrand, x)
primitive = integrate(integrand, x)
manual = 3*log(Abs(x - 3)) + 2*log(Abs(x + 3))

print("Integrand =", integrand)
print("Delbrokoppspalting =", partial_fractions)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", primitive)
print("Manuelt uttrykk =", manual)
print("Kontroll ved derivasjon =", simplify(diff(manual, x) - integrand))

Integrand = (5*x + 3)/(x**2 - 9)
Delbrokoppspalting = 2/(x + 3) + 3/(x - 3)
Stamfunksjon fra SymPy = 3*log(x - 3) + 2*log(x + 3)
Manuelt uttrykk = 3*log(Abs(x - 3)) + 2*log(Abs(x + 3))
Kontroll ved derivasjon = (3*(x - 3)*(x**2 - 9)*Abs((x + 3)/(x - 3)) + 2*(x + 3)*(x**2 - 9)*Abs((x - 3)/(x + 3)) - (5*x + 3)*Abs(x**2 - 9))/((x**2 - 9)*Abs(x**2 - 9))

Fasit: \(\displaystyle \int\frac{5x+3}{x^2-9}\,dx=3\ln|x-3|+2\ln|x+3|+C\).

Hva spør oppgaven om? Grafen \(y=\sqrt{1-x^2}\) er den øvre halvdelen av enhetssirkelen. Integralets verdi er derfor arealet av en halvsirkel, ikke noe vi trenger å finne med en stamfunksjon.

Steg 1 - Knytt funksjonen til sirkelens likning

Steg 2 - Løs likningen med hensyn på \(y\)

Steg 3 - Velg riktig gren

Steg 4 - Tolk integralet som areal

Steg 5 - Bruk arealformelen for sirkel

Steg 6 - Ta halvparten

Steg 7 - Skriv integralverdien

from sympy import symbols, sqrt, integrate, pi, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
integrand = sqrt(1 - x**2)
value = integrate(integrand, (x, -1, 1))
semicircle_area = pi/2

print("Integrand =", integrand)
print("Bestemt integral =", value)
print("Areal av halvsirkel med radius 1 =", semicircle_area)
print("Differanse =", simplify(value - semicircle_area))
print("Desimalverdi =", N(value, 15))

Integrand = sqrt(1 - x**2)
Bestemt integral = pi/2
Areal av halvsirkel med radius 1 = pi/2
Differanse = 0
Desimalverdi = 1.57079632679490

Fasit: \(\displaystyle \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke et skalarprodukt lik null geometrisk. For to ikke-nullvektorer betyr dette at cosinus til vinkelen mellom dem er null.

Steg 1 - Skriv den geometriske formelen

Steg 2 - Bruk at produktet er null

Steg 3 - Anta at begge vektorene er ikke-null

Steg 4 - Finn vinkelen

Steg 5 - Tolk geometrisk

Steg 6 - Nevn spesialtilfellet

from sympy import Matrix, acos, pi, simplify

a = Matrix([1, 0, 0])
b = Matrix([0, 2, 0])
dot_product = a.dot(b)
angle = acos(dot_product/(a.norm()*b.norm()))

print("a =", a.T)
print("b =", b.T)
print("a dot b =", dot_product)
print("Vinkel i radianer =", angle)
print("Vinkel som andel av pi =", simplify(angle/pi))

a = Matrix([[1, 0, 0]])
b = Matrix([[0, 2, 0]])
a dot b = 0
Vinkel i radianer = pi/2
Vinkel som andel av pi = 1/2

Fasit: For ikke-nullvektorer betyr \(\vec a\cdot\vec b=0\) at \(\vec a\perp\vec b\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke et vektorprodukt lik null. Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet som vektorene spenner opp.

Steg 1 - Skriv formelen for lengden

Steg 2 - Bruk at vektorproduktet er nullvektoren

Steg 3 - Anta at begge vektorene er ikke-null

Steg 4 - Finn mulige vinkler

Steg 5 - Tolk geometrisk

Steg 6 - Arealtolkning

Steg 7 - Nevn spesialtilfellet

from sympy import Matrix

a = Matrix([1, 2, 3])
b = 2*a
cross_product = a.cross(b)

print("a =", a.T)
print("b =", b.T)
print("a kryss b =", cross_product.T)
print("Lengde av kryssproduktet =", cross_product.norm())
print("Er b et skalar multiplum av a?", b == 2*a)

a = Matrix([[1, 2, 3]])
b = Matrix([[2, 4, 6]])
a kryss b = Matrix([[0, 0, 0]])
Lengde av kryssproduktet = 0
Er b et skalar multiplum av a? True

Fasit: For ikke-nullvektorer betyr \(\vec a\times\vec b=\vec0\) at vektorene er parallelle.

Hva spør oppgaven om? Vi finner først de to retningsvektorene og kryssproduktet. Deretter viser vi vinkelretthet ved å beregne to skalarprodukter og få null.

Steg 1 - Finn \(\overrightarrow{AB}\)

Steg 2 - Finn \(\overrightarrow{AC}\)

Steg 3 - Sett opp kryssproduktet

Steg 4 - Regn ut komponentene

Steg 5 - Forenkle kryssproduktet

Steg 6 - Kontroller mot \(\overrightarrow{AB}\)

Steg 7 - Kontroller mot \(\overrightarrow{AC}\)

Steg 8 - Konkluder

from sympy import Matrix

A = Matrix([1, 1, -1])
B = Matrix([2, -1, 3])
C = Matrix([3, 2, 2])
AB = B - A
AC = C - A
normal = AB.cross(AC)

print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("AB kryss AC =", normal.T)
print("(AB kryss AC) dot AB =", normal.dot(AB))
print("(AB kryss AC) dot AC =", normal.dot(AC))

AB = Matrix([[1, -2, 4]])
AC = Matrix([[2, 1, 3]])
AB kryss AC = Matrix([[-10, 5, 5]])
(AB kryss AC) dot AB = 0
(AB kryss AC) dot AC = 0

Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-10,5,5)\), og skalarproduktet med både \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\) er 0.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bevise en påstand for alle positive heltall. Et fullstendig induksjonsbevis har tre tydelige deler: grunntrinn, induksjonshypotese og induksjonssteg.

Steg 1 - Formuler påstanden

Steg 2 - Grunntrinn \(n=1\)

Steg 3 - Induksjonshypotese

Steg 4 - Start induksjonssteget

Steg 5 - Bruk induksjonshypotesen

Steg 6 - Skriv på felles brøkstrek

Steg 7 - Samle ledd

Steg 8 - Konkluder

from sympy import symbols, summation, simplify, Eq

j, n, k = symbols('j n k', integer=True, positive=True)
left_general = summation(4**(j - 1), (j, 1, n))
right_general = (4**n - 1)/3
induction_left = (4**k - 1)/3 + 4**k
induction_right = (4**(k + 1) - 1)/3

print("Symbolsk sum =", left_general)
print("Hoyre side =", right_general)
print("Generell differanse =", simplify(left_general - right_general))
print("Induksjonssteg, venstre =", induction_left)
print("Induksjonssteg, hoyre =", induction_right)
print("Differanse i induksjonssteget =", simplify(induction_left - induction_right))
print("Kontroll for n = 1, 2, 3, 4, 5:")
for value in range(1, 6):
    lhs = sum(4**(j_value - 1) for j_value in range(1, value + 1))
    rhs = (4**value - 1)//3
    print(f"n={value}: venstre={lhs}, hoyre={rhs}, lik={lhs == rhs}")

Symbolsk sum = 4**(n + 1)/12 - 1/3
Hoyre side = 4**n/3 - 1/3
Generell differanse = 0
Induksjonssteg, venstre = 4*4**k/3 - 1/3
Induksjonssteg, hoyre = 4**(k + 1)/3 - 1/3
Differanse i induksjonssteget = 0
Kontroll for n = 1, 2, 3, 4, 5:
n=1: venstre=1, hoyre=1, lik=True
n=2: venstre=5, hoyre=5, lik=True
n=3: venstre=21, hoyre=21, lik=True
n=4: venstre=85, hoyre=85, lik=True
n=5: venstre=341, hoyre=341, lik=True

Fasit: Formelen er bevist for alle positive heltall \(n\).

Hva spør oppgaven om? Likningen er lineær med konstant koeffisient. Vi kan løse den ved homogen pluss partikulær løsning, eller med integrerende faktor. Her viser vi begge tankene i en samlet løsning.

Steg 1 - Løs den homogene likningen

Steg 2 - Finn homogen løsning

Steg 3 - Finn en partikulær løsning

Steg 4 - Sett den partikulære løsningen inn

Steg 5 - Bestem konstanten \(A\)

Steg 6 - Kombiner homogen og partikulær del

Steg 7 - Kontroller ved innsetting

from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x) - 2*y(x), 5)
solution = dsolve(ode)
right_side = solution.rhs
residual = simplify(diff(right_side, x) - 2*right_side - 5)

print("Differensiallikning =", ode)
print("Generell losning fra SymPy =", solution)
print("Venstre side minus hoyre side etter innsetting =", residual)

Differensiallikning = Eq(-2*y(x) + Derivative(y(x), x), 5)
Generell losning fra SymPy = Eq(y(x), C1*exp(2*x) - 5/2)
Venstre side minus hoyre side etter innsetting = 0

Fasit: \(\displaystyle y(x)=Ce^{2x}-\frac52\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter startverdien inn i den generelle løsningen og løser den resulterende likningen for konstanten \(C\).

Steg 1 - Skriv den generelle løsningen

Steg 2 - Sett \(x=0\)

Steg 3 - Bruk \(e^0=1\)

Steg 4 - Sett inn startverdien

Steg 5 - Isoler \(C\)

Steg 6 - Skriv den bestemte løsningen

Steg 7 - Kontroller startverdien

from sympy import symbols, Eq, exp, solve, Rational, simplify

x, C = symbols('x C', real=True)
general_solution = C*exp(2*x) - Rational(5, 2)
constant = solve(Eq(general_solution.subs(x, 0), 2), C)[0]
particular_solution = general_solution.subs(C, constant)

print("Generell losning =", general_solution)
print("Likning for C =", Eq(general_solution.subs(x, 0), 2))
print("C =", constant)
print("Bestemt losning =", particular_solution)
print("Kontroll y(0) =", simplify(particular_solution.subs(x, 0)))

Generell losning = C*exp(2*x) - 5/2
Likning for C = Eq(C - 5/2, 2)
C = 9/2
Bestemt losning = 9*exp(2*x)/2 - 5/2
Kontroll y(0) = 2

Fasit: \(C=\frac92\), og \(\displaystyle y(x)=\frac92e^{2x}-\frac52\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter den bestemte løsningen lik \(49/2\), isolerer eksponentialleddet og bruker naturlig logaritme.

Steg 1 - Sett inn verdien av \(y\)

Steg 2 - Legg til \(5/2\) på begge sider

Steg 3 - Forenkle

Steg 4 - Multipliser med \(2/9\)

Steg 5 - Ta naturlig logaritme

Steg 6 - Isoler \(x\)

Steg 7 - Bruk den oppgitte tilnærmingen

Steg 8 - Kontroller

from sympy import symbols, Eq, exp, solve, Rational, log, N, simplify

x = symbols('x', real=True)
y_expression = Rational(9, 2)*exp(2*x) - Rational(5, 2)
solution = solve(Eq(y_expression, Rational(49, 2)), x)[0]

print("Likning =", Eq(y_expression, Rational(49, 2)))
print("Eksakt x =", solution)
print("Forenklet form =", log(6)/2)
print("Desimalverdi =", N(solution, 20))
print("Kontroll y(x) =", simplify(y_expression.subs(x, solution)))

Likning = Eq(9*exp(2*x)/2 - 5/2, 49/2)
Eksakt x = log(6)/2
Forenklet form = log(6)/2
Desimalverdi = 0.89587973461402750041
Kontroll y(x) = 49/2

Fasit: \(\displaystyle x=\frac{\ln6}{2}\approx0{,}9\).

Hva spør oppgaven om? En tangent bestemmes av punkt og stigningstall. Stigningstallet er \(y\prime(0)\), og det kan finnes direkte fra differensiallikningen uten å derivere den eksplisitte løsningen.

Steg 1 - Bruk differensiallikningen

Steg 2 - Isoler den deriverte

Steg 3 - Sett inn punktets y-verdi

Steg 4 - Bruk punkt-stigning-formen

Steg 5 - Sett inn \((x_0,y_0)=(0,2)\) og \(m=9\)

Steg 6 - Skriv tangentlikningen

Steg 7 - Kontroller med den eksplisitte løsningen

from sympy import symbols, exp, diff, Rational, simplify

x = symbols('x', real=True)
y = Rational(9, 2)*exp(2*x) - Rational(5, 2)
y_prime = diff(y, x)
x0 = 0
y0 = y.subs(x, x0)
slope = y_prime.subs(x, x0)
tangent = simplify(y0 + slope*(x - x0))

print("y(x) =", y)
print("y'(x) =", y_prime)
print("Punkt =", (x0, y0))
print("Stigningstall =", slope)
print("Tangent =", tangent)
print("Kontroll tangent ved x=0 =", tangent.subs(x, 0))

y(x) = 9*exp(2*x)/2 - 5/2
y'(x) = 9*exp(2*x)
Punkt = (0, 2)
Stigningstall = 9
Tangent = 9*x + 2
Kontroll tangent ved x=0 = 2

Fasit: Tangentens likning er \(y=9x+2\).

Hva spør oppgaven om? Funksjonsverdien er radiusen til skaftet. Vi finner derfor maksimum av \(f\) på det lukkede intervallet og dobler maksimal radius for å få diameteren.

Steg 1 - Deriver funksjonen med produktregelen

Steg 2 - Faktoriser den deriverte

Steg 3 - Finn kritiske punkter

Steg 4 - Kontroller endepunkter og kritisk punkt

Steg 5 - Velg maksimal radius

Steg 6 - Regn diameteren

Steg 7 - Tolk plasseringen

from sympy import symbols, exp, diff, solve, Eq, N, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*x*exp(-x/3)
f_prime = simplify(diff(f, x))
critical_points = solve(Eq(f_prime, 0), x)
values = {point: simplify(f.subs(x, point)) for point in [0, 3, 4]}
max_radius = values[3]
diameter = simplify(2*max_radius)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Kritiske punkter =", critical_points)
print("Funksjonsverdier ved 0, 3 og 4 =", values)
print("Maksimal radius =", max_radius, "=", N(max_radius, 15))
print("Maksimal diameter =", diameter, "=", N(diameter, 15))

f(x) = 2*x*exp(-x/3)
f'(x) = 2*(3 - x)*exp(-x/3)/3
Kritiske punkter = [3]
Funksjonsverdier ved 0, 3 og 4 = {0: 0, 3: 6*exp(-1), 4: 8*exp(-4/3)}
Maksimal radius = 6*exp(-1) = 2.20727664702865
Maksimal diameter = 12*exp(-1) = 4.41455329405731

Fasit: Skaftet er bredest ved \(x=3\), og maksimal diameter er \(\displaystyle \frac{12}{e}\approx4{,}42\).

Hva spør oppgaven om? Ved rotasjon rundt x-aksen bruker vi skivemetoden. Tverrsnittsarealet er \(\pi f(x)^2\), og volumet er integralet av disse arealene fra 0 til 4.

Steg 1 - Skriv volumformelen

Steg 2 - Sett inn funksjonen

Steg 3 - Forenkle integranden

Steg 4 - Finn en stamfunksjon digitalt eller ved gjentatt delvis integrasjon

Steg 5 - Sett inn grensene

Steg 6 - Regn ut øvre og nedre verdi

Steg 7 - Beregn numerisk

Steg 8 - Oppgi enhet

from sympy import symbols, exp, pi, integrate, simplify, diff, N

x = symbols('x', real=True)
f = 2*x*exp(-x/3)
cross_section = pi*f**2
volume = simplify(integrate(cross_section, (x, 0, 4)))
primitive_without_pi = (-6*x**2 - 18*x - 27)*exp(-2*x/3)
control = simplify(diff(primitive_without_pi, x) - 4*x**2*exp(-2*x/3))

print("Radius f(x) =", f)
print("Tverrsnittsareal =", cross_section)
print("Kontroll av oppgitt stamfunksjon =", control)
print("Eksakt volum =", volume)
print("Faktorisert volum =", simplify(volume/pi), "* pi")
print("Numerisk volum =", N(volume, 20))

Radius f(x) = 2*x*exp(-x/3)
Tverrsnittsareal = 4*pi*x**2*exp(-2*x/3)
Kontroll av oppgitt stamfunksjon = 0
Eksakt volum = -195*pi*exp(-8/3) + 27*pi
Faktorisert volum = 27 - 195*exp(-8/3) * pi
Numerisk volum = 42.256705164938900135

Fasit: \(\displaystyle V=\pi\left(27-195e^{-8/3}\right)\approx42{,}26\) kubikkenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi finner først arealet av hele trekanten. Hver ny topp-trekant har halv grunnlinje og halv høyde, og dermed en firedel av arealet. Et trapes er forskjellen mellom to påfølgende trekanter.

Steg 1 - Finn arealet av hele trekanten

Steg 2 - Finn arealet av trekanten \(A_1B_1C\)

Steg 3 - Finn det første trapesarealet

Steg 4 - Halver sidene en gang til

Steg 5 - Finn det andre trapesarealet

Steg 6 - Gjenta prosessen

Steg 7 - Skriv rekken

from fractions import Fraction

whole_area = Fraction(1, 2)*8*16
triangle_areas = [whole_area]
for _ in range(5):
    triangle_areas.append(triangle_areas[-1]/4)
trapezoid_areas = [triangle_areas[i] - triangle_areas[i + 1]
                   for i in range(len(triangle_areas) - 1)]

print("Areal av hele trekanten =", whole_area)
print("Arealer av de formlike topp-trekantene =", triangle_areas)
print("Arealer av de forste trapesene =", trapezoid_areas)
print("Forste tre ledd =", trapezoid_areas[:3])

Areal av hele trekanten = 64
Arealer av de formlike topp-trekantene = [Fraction(64, 1), Fraction(16, 1), Fraction(4, 1), Fraction(1, 1), Fraction(1, 4), Fraction(1, 16)]
Arealer av de forste trapesene = [Fraction(48, 1), Fraction(12, 1), Fraction(3, 1), Fraction(3, 4), Fraction(3, 16)]
Forste tre ledd = [Fraction(48, 1), Fraction(12, 1), Fraction(3, 1)]

Fasit: Arealene til trapesene danner rekken \(48+12+3+\cdots\).

Hva spør oppgaven om? Vi beregner forholdet mellom to påfølgende ledd. En uendelig geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien av kvotienten er mindre enn 1.

Steg 1 - Finn kvotienten fra første til andre ledd

Steg 2 - Kontroller neste ledd

Steg 3 - Konkluder at rekken er geometrisk

Steg 4 - Skriv det generelle leddet

Steg 5 - Skriv konvergenskriteriet

Steg 6 - Kontroller kriteriet

Steg 7 - Konkluder

from sympy import Rational, Abs

terms = [48, 12, 3, Rational(3, 4)]
ratios = [Rational(terms[i + 1], terms[i]) for i in range(len(terms) - 1)]
k = Rational(1, 4)

print("Ledd =", terms)
print("Kvotienter mellom naboledd =", ratios)
print("Felles kvotient k =", k)
print("Absoluttverdi av k =", Abs(k))
print("Konvergerer fordi |k| < 1?", Abs(k) < 1)

Ledd = [48, 12, 3, 3/4]
Kvotienter mellom naboledd = [1/4, 1/4, 1/4]
Felles kvotient k = 1/4
Absoluttverdi av k = 1/4
Konvergerer fordi |k| < 1? True

Fasit: Rekken er geometrisk med kvotient \(k=1/4\), og den konvergerer fordi \(|k|<1\).

Hva spør oppgaven om? Vi beregner først summen med formelen for en konvergent geometrisk rekke. Deretter viser vi at trapesene til sammen fyller hele trekanten.

Steg 1 - Identifiser første ledd og kvotient

Steg 2 - Bruk sumformelen

Steg 3 - Sett inn

Steg 4 - Forenkle

Steg 5 - Geometrisk resonnement

Steg 6 - Vurder restarealet

Steg 7 - Finn trekantarealet

Steg 8 - Sammenlikn metodene

from sympy import symbols, Rational, summation, oo, simplify, limit

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
k = Rational(1, 4)
infinite_sum = summation(48*k**(n - 1), (n, 1, oo))
triangle_area = Rational(1, 2)*8*16
rest_area = 64*k**n

print("Sum av den uendelige geometriske rekken =", infinite_sum)
print("Areal av hele trekanten =", triangle_area)
print("Differanse mellom metodene =", simplify(infinite_sum - triangle_area))
print("Restareal etter n trapeser =", rest_area)
print("Grenseverdi for restarealet =", limit(rest_area, n, oo))

Sum av den uendelige geometriske rekken = 64
Areal av hele trekanten = 64
Differanse mellom metodene = 0
Restareal etter n trapeser = 64/4**n
Grenseverdi for restarealet = 0

Fasit: Summen er \(S=64\) kvadratenheter.

Hva spør oppgaven om? Et punkt ligger i xy-planet når \(z=0\), og i xz-planet når \(y=0\). Vi finner derfor to parameterverdier og bruker deretter avstandsformelen i rommet.

Steg 1 - Finn skjæringen med xy-planet

Steg 2 - Finn punktet \(A\)

Steg 3 - Finn skjæringen med xz-planet

Steg 4 - Finn punktet \(B\)

Steg 5 - Finn vektoren \(\overrightarrow{AB}\)

Steg 6 - Bruk lengdeformelen

Steg 7 - Kontroller at punktene ligger i riktige plan

from sympy import symbols, Matrix, solve, Eq, sqrt, simplify

t = symbols('t', real=True)
point_l = Matrix([5 - 2*t, 3 + t, 4 + 2*t])
t_xy = solve(Eq(point_l[2], 0), t)[0]
t_xz = solve(Eq(point_l[1], 0), t)[0]
A = point_l.subs(t, t_xy)
B = point_l.subs(t, t_xz)
AB = B - A
distance = simplify(sqrt(AB.dot(AB)))

print("Parameterpunkt pa l =", point_l.T)
print("t for xy-planet =", t_xy, "og A =", A.T)
print("t for xz-planet =", t_xz, "og B =", B.T)
print("AB-vektor =", AB.T)
print("Avstand AB =", distance)

Parameterpunkt pa l = Matrix([[5 - 2*t, t + 3, 2*t + 4]])
t for xy-planet = -2 og A = Matrix([[9, 1, 0]])
t for xz-planet = -3 og B = Matrix([[11, 0, -2]])
AB-vektor = Matrix([[2, -1, -2]])
Avstand AB = 3

Fasit: \(A=(9,1,0)\), \(B=(11,0,-2)\), og \(AB=3\).

Hva spør oppgaven om? To linjer er parallelle dersom retningsvektorene er proporsjonale. Vi sammenlikner derfor komponentene i de to retningsvektorene.

Steg 1 - Les av retningsvektoren til \(l\)

Steg 2 - Les av retningsvektoren til \(m\)

Steg 3 - Test om det finnes en skalar \(k\)

Steg 4 - Bruk x-komponenten

Steg 5 - Kontroller y-komponenten

Steg 6 - Konkluder

Steg 7 - Alternativ kontroll

from sympy import Matrix

u = Matrix([-2, 1, 2])
v = Matrix([1, -1, 1])
cross_product = u.cross(v)

print("Retningsvektor for l =", u.T)
print("Retningsvektor for m =", v.T)
print("Komponentforhold der de er definert =",
      [u[i]/v[i] for i in range(3)])
print("u kryss v =", cross_product.T)
print("Er kryssproduktet nullvektoren?", cross_product == Matrix([0, 0, 0]))

Retningsvektor for l = Matrix([[-2, 1, 2]])
Retningsvektor for m = Matrix([[1, -1, 1]])
Komponentforhold der de er definert = [-2, -1, 2]
u kryss v = Matrix([[3, 4, 1]])
Er kryssproduktet nullvektoren? False

Fasit: Linjenes retningsvektorer \((-2,1,2)\) og \((1,-1,1)\) er ikke proporsjonale, så linjene er ikke parallelle.

Hva spør oppgaven om? Vi skriver koordinatene til et generelt punkt på hver linje. Vektoren fra \(P\) til \(Q\) er alltid sluttpunkt minus startpunkt.

Steg 1 - Skriv punktet \(P\) på \(l\)

Steg 2 - Skriv punktet \(Q\) på \(m\)

Steg 3 - Bruk definisjonen av \(\overrightarrow{PQ}\)

Steg 4 - Regn x-komponenten

Steg 5 - Regn y-komponenten

Steg 6 - Regn z-komponenten

Steg 7 - Samle komponentene

from sympy import symbols, Matrix, simplify

s, t = symbols('s t', real=True)
P = Matrix([5 - 2*t, 3 + t, 4 + 2*t])
Q = Matrix([s, 1 - s, 1 + s])
PQ = simplify(Q - P)
expected = Matrix([s + 2*t - 5, -s - t - 2, s - 2*t - 3])

print("P =", P.T)
print("Q =", Q.T)
print("Q - P =", PQ.T)
print("Forventet vektor =", expected.T)
print("Komponentvis differanse =", (PQ - expected).T)

P = Matrix([[5 - 2*t, t + 3, 2*t + 4]])
Q = Matrix([[s, 1 - s, s + 1]])
Q - P = Matrix([[s + 2*t - 5, -s - t - 2, s - 2*t - 3]])
Forventet vektor = Matrix([[s + 2*t - 5, -s - t - 2, s - 2*t - 3]])
Komponentvis differanse = Matrix([[0, 0, 0]])

Fasit: \(\overrightarrow{PQ}=(s+2t-5,-s-t-2,s-2t-3)\).

Hva spør oppgaven om? Vektoren \(\overrightarrow{PQ}\) skal ha skalarprodukt null med begge retningsvektorene. Dette gir et lineært likningssystem i parameterne \(s\) og \(t\).

Steg 1 - Skriv retningsvektorene

Steg 2 - Bruk uttrykket for \(\overrightarrow{PQ}\)

Steg 3 - Krev vinkelretthet på \(l\)

Steg 4 - Utvid første skalarprodukt

Steg 5 - Krev vinkelretthet på \(m\)

Steg 6 - Utvid andre skalarprodukt

Steg 7 - Løs systemet

Steg 8 - Finn punktene

Steg 9 - Kontroller normaliteten

from sympy import symbols, Matrix, Eq, solve, simplify

s, t = symbols('s t', real=True)
u = Matrix([-2, 1, 2])
v = Matrix([1, -1, 1])
PQ = Matrix([s + 2*t - 5, -s - t - 2, s - 2*t - 3])
conditions = [Eq(PQ.dot(u), 0), Eq(PQ.dot(v), 0)]
solution = solve(conditions, (s, t), dict=True)[0]
P = Matrix([5 - 2*t, 3 + t, 4 + 2*t]).subs(solution)
Q = Matrix([s, 1 - s, 1 + s]).subs(solution)
connector = Q - P

print("Vinkelretthetslikninger =", conditions)
print("Losning for parameterne =", solution)
print("P =", P.T)
print("Q =", Q.T)
print("PQ =", connector.T)
print("PQ dot u =", connector.dot(u))
print("PQ dot v =", connector.dot(v))

Vinkelretthetslikninger = [Eq(-s - 9*t + 2, 0), Eq(3*s + t - 6, 0)]
Losning for parameterne = {s: 2, t: 0}
P = Matrix([[5, 3, 4]])
Q = Matrix([[2, -1, 3]])
PQ = Matrix([[-3, -4, -1]])
PQ dot u = 0
PQ dot v = 0

Fasit: \(P=(5,3,4)\) og \(Q=(2,-1,3)\).

Hva spør oppgaven om? Avstanden er lengden av den forbindelsesvektoren som står vinkelrett på begge linjene. Fra forrige del har vi \(\overrightarrow{PQ}=(-3,-4,-1)\).

Steg 1 - Bruk de nærmeste punktene

Steg 2 - Finn forbindelsesvektoren

Steg 3 - Skriv lengdeformelen

Steg 4 - Regn kvadratene

Steg 5 - Forenkle

Steg 6 - Beregn desimalverdi

Steg 7 - Tolk

from sympy import Matrix, sqrt, N, simplify

P = Matrix([5, 3, 4])
Q = Matrix([2, -1, 3])
PQ = Q - P
distance = simplify(sqrt(PQ.dot(PQ)))

print("P =", P.T)
print("Q =", Q.T)
print("PQ =", PQ.T)
print("PQ dot PQ =", PQ.dot(PQ))
print("Eksakt avstand =", distance)
print("Numerisk avstand =", N(distance, 20))

P = Matrix([[5, 3, 4]])
Q = Matrix([[2, -1, 3]])
PQ = Matrix([[-3, -4, -1]])
PQ dot PQ = 26
Eksakt avstand = sqrt(26)
Numerisk avstand = 5.0990195135927848300

Fasit: Avstanden mellom linjene er \(\sqrt{26}\approx5{,}10\).

Hva spør oppgaven om? Vi skriver summen av sinus og cosinus som ett sinusuttrykk. Da kan amplituden og perioden leses direkte, og omskrivingen gir samtidig en kontroll av grafen.

Steg 1 - Sett en felles vinkel

Steg 2 - Bruk faseforskyvningsidentiteten

Steg 3 - Skriv funksjonen på standardform

Steg 4 - Les av amplituden

Steg 5 - Finn vinkelhastigheten

Steg 6 - Bruk periodeformelen

Steg 7 - Kontroller intervallet

from sympy import symbols, sin, cos, pi, sqrt, simplify, trigsimp, N

x = symbols('x', real=True)
theta = pi*x/12
f = 5*sin(theta) - 5*cos(theta)
combined = 5*sqrt(2)*sin(theta - pi/4)
amplitude = 5*sqrt(2)
period = 2*pi/(pi/12)

print("f(x) =", f)
print("Kombinert sinusform =", combined)
print("Differanse mellom formene =", trigsimp(f - combined))
print("Amplitude =", amplitude, "=", N(amplitude, 15))
print("Periode =", simplify(period))

f(x) = 5*sin(pi*x/12) - 5*cos(pi*x/12)
Kombinert sinusform = -5*sqrt(2)*cos(pi*x/12 + pi/4)
Differanse mellom formene = 0
Amplitude = 5*sqrt(2) = 7.07106781186548
Periode = 24

Fasit: Amplituden er \(5\sqrt2\approx7{,}07\), og perioden er \(24\).

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer, finner nullpunktene til den deriverte og analyserer fortegnet på delintervallene. Fortegnsskiftet avgjør om punktene er topp- eller bunnpunkter.

Steg 1 - Deriver begge trigonometriske ledd

Steg 2 - Faktoriser

Steg 3 - Finn kritiske punkter

Steg 4 - Finn løsningene i \([0,2\pi]\)

Steg 5 - Gå tilbake til \(x\)

Steg 6 - Lag fortegnslinjen

Steg 7 - Klassifiser punktene

Steg 8 - Finn funksjonsverdiene

from sympy import symbols, sin, cos, pi, diff, solve, Eq, simplify, sqrt

x = symbols('x', real=True)
f = 5*sin(pi*x/12) - 5*cos(pi*x/12)
f_prime = simplify(diff(f, x))
critical_points = [9, 21]
values = {point: simplify(f.subs(x, point)) for point in critical_points}
test_points = [1, 12, 23]
signs = {point: f_prime.subs(x, point).evalf() for point in test_points}

print("f'(x) =", f_prime)
print("Kritiske punkter i intervallet =", critical_points)
print("Funksjonsverdier =", values)
print("Testverdier for f' ved x=1, 12 og 23 =", signs)
print("Toppverdi stemmer med 5*sqrt(2)?", simplify(values[9] - 5*sqrt(2)) == 0)
print("Bunnverdi stemmer med -5*sqrt(2)?", simplify(values[21] + 5*sqrt(2)) == 0)

f'(x) = 5*sqrt(2)*pi*sin(pi*(x/12 + 1/4))/12
Kritiske punkter i intervallet = [9, 21]
Funksjonsverdier = {9: 5*sqrt(2), 21: -5*sqrt(2)}
Testverdier for f' ved x=1, 12 og 23 = {1: 1.60318728770233, 12: -1.30899693899575, 23: 0.925600612116326}
Toppverdi stemmer med 5*sqrt(2)? True
Bunnverdi stemmer med -5*sqrt(2)? True

Fasit: Toppunkt \((9,5\sqrt2)\) og bunnpunkt \((21,-5\sqrt2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi kombinerer sinus- og cosinusleddene til ett sinusuttrykk. Da ser vi direkte maksimal og minimal verdi og kan løse for tidspunktene.

Steg 1 - Sett \( heta=\pi x/12\)

Steg 2 - Bruk identiteten

Steg 3 - Skriv modellen på standardform

Steg 4 - Finn laveste temperatur

Steg 5 - Finn tidspunktet for minimum

Steg 6 - Finn høyeste temperatur

Steg 7 - Finn tidspunktet for maksimum

Steg 8 - Beregn desimalverdier

Steg 9 - Tolk klokkeslett

from sympy import symbols, sin, cos, pi, sqrt, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
g = 22 - 5*sin(pi*x/12) - 5*cos(pi*x/12)
minimum = simplify(g.subs(x, 3))
maximum = simplify(g.subs(x, 15))

print("g(x) =", g)
print("g(3) =", minimum)
print("g(15) =", maximum)
print("Laveste temperatur numerisk =", N(minimum, 15))
print("Hoyeste temperatur numerisk =", N(maximum, 15))
print("Kontroll mot 22 - 5*sqrt(2) =", simplify(minimum - (22 - 5*sqrt(2))))
print("Kontroll mot 22 + 5*sqrt(2) =", simplify(maximum - (22 + 5*sqrt(2))))

g(x) = -5*sin(pi*x/12) - 5*cos(pi*x/12) + 22
g(3) = 22 - 5*sqrt(2)
g(15) = 5*sqrt(2) + 22
Laveste temperatur numerisk = 14.9289321881345
Hoyeste temperatur numerisk = 29.0710678118655
Kontroll mot 22 - 5*sqrt(2) = 0
Kontroll mot 22 + 5*sqrt(2) = 0

Fasit: Lavest temperatur er \(22-5\sqrt2\approx14{,}9^{\circ}\mathrm C\) kl. 03.00. Høyest er \(22+5\sqrt2\approx29{,}1^{\circ}\mathrm C\) kl. 15.00.

Hva spør oppgaven om? Vi analyserer noen grunnleggende egenskaper før vi tegner: funksjonen er positiv for \(x>0\), nærmer seg 0 ved begge yttergrensene og har ett toppunkt.

Steg 1 - Vurder fortegnet

Steg 2 - Vurder grensen mot venstre

Steg 3 - Vurder grensen mot høyre

Steg 4 - Finn et sentralt punkt

Steg 5 - Beskriv grafens form

Steg 6 - Tegn med passende vindu

from sympy import symbols, exp, limit, oo, N

x = symbols('x', positive=True)
f = 5*x**2*exp(-x)
left_limit = limit(f, x, 0, dir='+')
right_limit = limit(f, x, oo)
top_value = f.subs(x, 2)

print("f(x) =", f)
print("Grenseverdi nar x gar mot 0 fra hoyre =", left_limit)
print("Grenseverdi nar x gar mot uendelig =", right_limit)
print("f(2) =", top_value)
print("f(2) numerisk =", N(top_value, 15))
print("Eksempelverdier:")
for value in [0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8]:
    print(f"x={value:>4}: f(x)={float(f.subs(x, value)):.8f}")

f(x) = 5*x**2*exp(-x)
Grenseverdi nar x gar mot 0 fra hoyre = 0
Grenseverdi nar x gar mot uendelig = 0
f(2) = 20*exp(-2)
f(2) numerisk = 2.70670566473225
Eksempelverdier:
x=0.25: f(x)=0.24337524
x= 0.5: f(x)=0.75816332
x=   1: f(x)=1.83939721
x=   2: f(x)=2.70670566
x=   4: f(x)=1.46525111
x=   8: f(x)=0.10734804

Fasit: Grafen ligger over x-aksen, har toppunkt ved \(x=2\) og nærmer seg 0 når \(x\to0^+\) og \(x\to\infty\).

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(5x^2\) og \(e^{-x}\). Vi bruker produktregelen, og eksponentialleddet krever kjerneregelen.

Steg 1 - Del funksjonen i faktorer

Steg 2 - Skriv produktregelen

Steg 3 - Deriver polynomfaktoren

Steg 4 - Deriver eksponentialfaktoren med kjerneregelen

Steg 5 - Sett inn

Steg 6 - Samle ledd

Steg 7 - Faktoriser

Steg 8 - Navngi reglene

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 5*x**2*exp(-x)
f_prime = diff(f, x)
f_prime_factored = factor(f_prime)
expected = 5*(2*x - x**2)*exp(-x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) utvidet =", f_prime)
print("f'(x) faktorisert =", f_prime_factored)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Differanse etter forenkling =", simplify(f_prime - expected))

f(x) = 5*x**2*exp(-x)
f'(x) utvidet = -5*x**2*exp(-x) + 10*x*exp(-x)
f'(x) faktorisert = -5*x*(x - 2)*exp(-x)
Forventet uttrykk = (-5*x**2 + 10*x)*exp(-x)
Differanse etter forenkling = 0

Fasit: \(f\prime(x)=5(2x-x^2)e^{-x}\). Regler: produktregelen, kjerneregelen og potensregelen.

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer den deriverte. Siden eksponentialfaktoren alltid er positiv, bestemmes fortegnet av \(x(2-x)\) på definisjonsområdet \(x>0\).

Steg 1 - Faktoriser den deriverte videre

Steg 2 - Finn nullpunktene til den deriverte

Steg 3 - Analyser faktorenes fortegn

Steg 4 - Lag fortegnslinjen

Steg 5 - Bestem monotoni

Steg 6 - Klassifiser ekstremalpunktet

Steg 7 - Finn toppverdien

Steg 8 - Vurder bunnpunkt

from sympy import symbols, exp, diff, factor, N, limit, oo

x = symbols('x', positive=True)
f = 5*x**2*exp(-x)
f_prime = factor(diff(f, x))
critical_x = 2
top_value = f.subs(x, critical_x)

print("f'(x) faktorisert =", f_prime)
print("Test f'(1) =", f_prime.subs(x, 1))
print("Test f'(3) =", f_prime.subs(x, 3))
print("Toppunkt x-verdi =", critical_x)
print("Toppverdi =", top_value, "=", N(top_value, 15))
print("Grense mot 0 fra hoyre =", limit(f, x, 0, dir='+'))
print("Grense mot uendelig =", limit(f, x, oo))

f'(x) faktorisert = -5*x*(x - 2)*exp(-x)
Test f'(1) = 5*exp(-1)
Test f'(3) = -15*exp(-3)
Toppunkt x-verdi = 2
Toppverdi = 20*exp(-2) = 2.70670566473225
Grense mot 0 fra hoyre = 0
Grense mot uendelig = 0

Fasit: \(f\) vokser på \((0,2)\), avtar på \((2,\infty)\), og har toppunkt \(\left(2,\frac{20}{e^2}\right)\). Ingen bunnpunkt.

Hva spør oppgaven om? For å vise at et uttrykk er en stamfunksjon, deriverer vi hele høyre side og kontrollerer at resultatet blir \(f(x)=5x^2e^{-x}\).

Steg 1 - Definer stamfunksjonskandidaten

Steg 2 - Deriver første ledd med produktregelen

Steg 3 - Deriver andre ledd

Steg 4 - Deriver tredje ledd

Steg 5 - Legg sammen alle deriverte

Steg 6 - Kanseller ledd

Steg 7 - Stå igjen med integranden

Steg 8 - Konkluder

from sympy import symbols, exp, diff, simplify, expand

x = symbols('x', real=True)
f = 5*x**2*exp(-x)
F1 = -5*x**2*exp(-x)
F2 = -10*x*exp(-x)
F3 = -10*exp(-x)
F = F1 + F2 + F3

print("F(x) =", F)
print("Derivert av forste ledd =", diff(F1, x))
print("Derivert av andre ledd =", diff(F2, x))
print("Derivert av tredje ledd =", diff(F3, x))
print("F'(x) samlet =", simplify(diff(F, x)))
print("F'(x) - f(x) =", simplify(diff(F, x) - f))

F(x) = -5*x**2*exp(-x) - 10*x*exp(-x) - 10*exp(-x)
Derivert av forste ledd = 5*x**2*exp(-x) - 10*x*exp(-x)
Derivert av andre ledd = 10*x*exp(-x) - 10*exp(-x)
Derivert av tredje ledd = 10*exp(-x)
F'(x) samlet = 5*x**2*exp(-x)
F'(x) - f(x) = 0

Fasit: Ved derivasjon får vi \(F\prime(x)=5x^2e^{-x}=f(x)\), så formelen er riktig.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker stamfunksjonen fra forrige del, setter inn grensene 0 og \(a\), og bruker de oppgitte grenseverdiene på hvert eksponentialledd.

Steg 1 - Bruk stamfunksjonen

Steg 2 - Anvend analysens fundamentalteorem

Steg 3 - Beregn \(F(a)\)

Steg 4 - Beregn \(F(0)\)

Steg 5 - Skriv det bestemte integralet

Steg 6 - Bruk den oppgitte grenseverdien

Steg 7 - Ta grensen

Steg 8 - Tolk resultatet

from sympy import symbols, exp, integrate, limit, oo, simplify, N

x, a = symbols('x a', positive=True)
f = 5*x**2*exp(-x)
partial_integral = simplify(integrate(f, (x, 0, a)))
limit_value = limit(partial_integral, a, oo)
direct_improper = integrate(f, (x, 0, oo))

print("f(x) =", f)
print("Integral fra 0 til a =", partial_integral)
print("Grenseverdi nar a gar mot uendelig =", limit_value)
print("Direkte beregnet uegentlig integral =", direct_improper)
print("Differanse mellom metodene =", simplify(limit_value - direct_improper))
print("Numerisk verdi =", N(limit_value, 20))

f(x) = 5*x**2*exp(-x)
Integral fra 0 til a = 5*(-a**2 - 2*a + 2*exp(a) - 2)*exp(-a)
Grenseverdi nar a gar mot uendelig = 10
Direkte beregnet uegentlig integral = 10
Differanse mellom metodene = 0
Numerisk verdi = 10.000000000000000000

Fasit: \(\displaystyle \lim_{a\to\infty}\int_0^a f(x)dx=10\).