R2 eksamenVår 2009

Matematikk R2 eksamen – vår 2009

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 — eksamen vår 2009 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

29deloppgaver løst
Del 1 + Del 2samme rekkefølge som settet
Beggealternativer i oppgave 4
CAS + SymPydigitale kontroller

Del 1 – uten hjelpemidler

Alle mellomregninger vises. GeoGebra og Python brukes bare som etterkontroll.

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2(\ln x+1)^3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt funksjon. Den ytre funksjonen er en tredje potens, mens den indre funksjonen inneholder \(\ln x\).

Steg 1 — Avklar definisjonsmengden

Fordi uttrykket inneholder \(\ln x\), må \(x>0\). Derivasjonsformelen gjelder derfor på intervallet \((0,\infty)\).

Steg 2 — Velg den indre funksjonen

Sett \(u(x)=\ln x+1\). Da kan funksjonen skrives \(f(x)=2u(x)^3\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Potensregelen gir \(\frac{d}{du}(2u^3)=6u^2\).

Steg 4 — Deriver den indre funksjonen

\[u\prime(x)=\frac{1}{x}.\]

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

\[f\prime(x)=6u(x)^2\cdot u\prime(x)=6(\ln x+1)^2\cdot\frac{1}{x}.\]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

\[f\prime(x)=\frac{6(\ln x+1)^2}{x},\qquad x>0.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
f(x) := 2 (ln(x) + 1)^3
→\(2(\ln x+1)^3\)
2
Derivative(f)
→\(\dfrac{6(\ln x+1)^2}{x}\)

Tolkning: CAS gir samme faktoriserte uttrykk. Resultatet må tolkes med definisjonsmengden x > 0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, log, diff, simplify, factor

x = symbols('x', positive=True)
f = 2*(log(x) + 1)**3
f_prime = factor(diff(f, x))
expected = 6*(log(x) + 1)**2/x
control = simplify(f_prime - expected)

print("Funksjon:", f)
print("Derivert:", f_prime)
print("Forventet form:", expected)
print("Differanse etter forenkling:", control)

Funksjon: 2*(log(x) + 1)**3
Derivert: 6*(log(x) + 1)**2/x
Forventet form: 6*(log(x) + 1)**2/x
Differanse etter forenkling: 0

Fasit: \(f\prime(x)=\dfrac{6(\ln x+1)^2}{x}\) for \(x>0\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/x\), som kommer fra den deriverte av \(\ln x\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter at både potensregelen og kjerneregelen er synlige, og at definisjonskravet \(x>0\) respekteres.
Del 1 · Oppgave 1b1Funksjonsdrøfting · fortegn

Oppgave 1b1

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=x\cos x\).

1) Ligger grafen over eller under \(x\)-aksen når \(x=\pi\)?

(Du kan få bruk for at \(\sin\pi=0\) og \(\cos\pi=-1\).)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke fortegnet til funksjonsverdien \(f(\pi)\). En negativ funksjonsverdi betyr at grafen ligger under \(x\)-aksen.

Steg 1 — Sett inn den aktuelle x-verdien

\[f(\pi)=\pi\cos\pi.\]

Steg 2 — Bruk den oppgitte trigonometriske verdien

Siden \(\cos\pi=-1\), får vi

\[f(\pi)=\pi\cdot(-1)=-\pi.\]

Steg 3 — Vurder fortegnet

Vi har \(-\pi<0\). Funksjonsverdien er derfor negativ.

Steg 4 — Tolk geometrisk

Når \(y=f(x)<0\), ligger punktet på grafen under \(x\)-aksen. Punktet er \((\pi,-\pi)\).

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, cos, pi, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = x*cos(x)
value = simplify(f.subs(x, pi))

print("f(x) =", f)
print("f(pi) =", value)
print("Er f(pi) negativ?", bool(value < 0))
print("Punkt på grafen: (pi,", value, ")")

f(x) = x*cos(x)
f(pi) = -pi
Er f(pi) negativ? True
Punkt på grafen: (pi, -pi )

Fasit: Grafen ligger under \(x\)-aksen når \(x=\pi\), fordi \(f(\pi)=-\pi<0\).

Vanlig feil: Å bruke den deriverte når spørsmålet gjelder om grafen ligger over eller under aksen. Her skal selve funksjonsverdien undersøkes.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting, bruk av \(\cos\pi=-1\) og en tydelig fortolkning av negativ funksjonsverdi.
Del 1 · Oppgave 1b2Funksjonsdrøfting · derivert

Oppgave 1b2

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=x\cos x\).

2) Stiger eller synker grafen når \(x=\pi\)?

(Du kan få bruk for at \(\sin\pi=0\) og \(\cos\pi=-1\).)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bestemme fortegnet til \(f\prime(\pi)\). Negativ derivert betyr at grafen synker.

Steg 1 — Identifiser produktet

Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(\cos x\). Vi bruker produktregelen \((uv)\prime=u\prime v+uv\prime\).

Steg 2 — Deriver faktorene

Den deriverte av \(x\) er \(1\), og den deriverte av \(\cos x\) er \(-\sin x\).

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[f\prime(x)=1\cdot\cos x+x(-\sin x)=\cos x-x\sin x.\]

Steg 4 — Sett inn x = pi

\[f\prime(\pi)=\cos\pi-\pi\sin\pi.\]

Steg 5 — Bruk de oppgitte verdiene

\[f\prime(\pi)=-1-\pi\cdot0=-1.\]

Steg 6 — Tolk fortegnet

Siden \(f\prime(\pi)=-1<0\), er grafen avtakende og synker ved \(x=\pi\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
f(x) := x cos(x)
→\(x\cos x\)
2
Derivative(f)
→\(\cos x-x\sin x\)
3
Substitute(Derivative(f), x, pi)
→\(-1\)

Tolkning: Den deriverte er negativ ved x = pi, så grafen synker der.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, cos, sin, pi, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = x*cos(x)
f_prime = simplify(diff(f, x))
slope_at_pi = simplify(f_prime.subs(x, pi))

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("f'(pi) =", slope_at_pi)
print("Grafen synker ved x = pi:", bool(slope_at_pi < 0))

f(x) = x*cos(x)
f'(x) = -x*sin(x) + cos(x)
f'(pi) = -1
Grafen synker ved x = pi: True

Fasit: Grafen synker når \(x=\pi\), fordi \(f\prime(\pi)=-1<0\).

Vanlig feil: Å bruke fortegnet til \(f(\pi)\) for å avgjøre om grafen stiger eller synker. Vekst bestemmes av den deriverte.
Sensorpunkt: Full uttelling krever korrekt produktregel og eksplisitt sammenheng mellom negativ derivert og synkende graf.
Del 1 · Oppgave 1cUendelig geometrisk rekke

Oppgave 1c

Oppgave:

Bestem summen av den uendelige rekka

\[2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\cdots\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere at rekken er geometrisk og konvergent, og deretter bruke sumformelen for en uendelig geometrisk rekke.

Steg 1 — Finn første ledd

Det første leddet er \(a_1=2\).

Steg 2 — Finn kvotienten

\[k=\frac{2/3}{2}=\frac13.\]

Den samme kvotienten fås mellom alle påfølgende ledd.

Steg 3 — Kontroller konvergens

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k|<1\). Her er \(|1/3|<1\), så rekken har en endelig sum.

Steg 4 — Bruk sumformelen

\[S=\frac{a_1}{1-k}.\]

Steg 5 — Sett inn verdiene

\[S=\frac{2}{1-\frac13}=\frac{2}{\frac23}.\]

Steg 6 — Forenkle

\[S=2\cdot\frac32=3.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
Sum(2 (1/3)^(n - 1), n, 1, infinity)
→\(3\)

Tolkning: CAS summerer den geometriske rekken til 3, i samsvar med sumformelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, Rational, summation, oo, simplify

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a1 = Rational(2, 1)
k = Rational(1, 3)
term = a1*k**(n - 1)
series_sum = summation(term, (n, 1, oo))
formula_sum = a1/(1 - k)

print("Første ledd a1 =", a1)
print("Kvotient k =", k)
print("|k| < 1:", abs(k) < 1)
print("SymPy-sum =", series_sum)
print("Sumformel =", formula_sum)
print("Kontroll, differanse =", simplify(series_sum - formula_sum))

Første ledd a1 = 2
Kvotient k = 1/3
|k| < 1: True
SymPy-sum = 3
Sumformel = 3
Kontroll, differanse = 0

Fasit: Summen er \(S=3\).

Vanlig feil: Å bruke formelen uten først å kontrollere \(|k|<1\), eller å lese kvotienten som \(2/3\) i stedet for \(1/3\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter første ledd, kvotient, konvergenskrav og korrekt sumformel.
Del 1 · Oppgave 1d1Vektorer i rommet · ortogonalitet

Oppgave 1d1

Oppgave:

Gitt punktene \(A(2,3,7)\), \(B(3,5,2)\), \(C(1,1,5)\) og \(D(3,5,t)\).

1) Bestem en verdi for \(t\) slik at \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vektorene fra A og bruke at to vektorer står vinkelrett på hverandre nøyaktig når skalarproduktet er null.

Steg 1 — Finn vektoren AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,\,5-3,\,2-7)=(1,2,-5).\]

Steg 2 — Finn vektoren AD

\[\overrightarrow{AD}=D-A=(3-2,\,5-3,\,t-7)=(1,2,t-7).\]

Steg 3 — Bruk ortogonalitetskravet

Vektorene er vinkelrette når

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0.\]

Steg 4 — Regn ut skalarproduktet

\[(1,2,-5)\cdot(1,2,t-7)=1\cdot1+2\cdot2-5(t-7).\]

Steg 5 — Forenkle likningen

\[1+4-5t+35=0\quad\Longrightarrow\quad40-5t=0.\]

Steg 6 — Løs for t

\[-5t=-40\quad\Longrightarrow\quad t=8.\]

Steg 7 — Kontroller

Når \(t=8\), er \(\overrightarrow{AD}=(1,2,1)\), og

\[(1,2,-5)\cdot(1,2,1)=1+4-5=0.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
u := Vector((2,3,7),(3,5,2))
→\((1,2,-5)\)
2
v := Vector((2,3,7),(3,5,t))
→\((1,2,t-7)\)
3
Solve(Dot(u,v)=0,t)
→\(t=8\)

Tolkning: GeoGebra løser ortogonalitetsbetingelsen og gir t = 8.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import Matrix, symbols, Eq, solve, simplify

t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([2, 3, 7])
B = Matrix([3, 5, 2])
D = Matrix([3, 5, t])
AB = B - A
AD = D - A
dot_product = simplify(AB.dot(AD))
solution = solve(Eq(dot_product, 0), t)

print("AB =", tuple(AB))
print("AD =", tuple(AD))
print("AB · AD =", dot_product)
print("Løsning for t =", solution)
print("Kontroll ved t = 8:", dot_product.subs(t, 8))

AB = (1, 2, -5)
AD = (1, 2, t - 7)
AB · AD = 40 - 5*t
Løsning for t = [8]
Kontroll ved t = 8: 0

Fasit: \(t=8\).

Vanlig feil: Å sette skalarproduktet lik 1 eller å bruke punktenes koordinater direkte uten først å danne vektorene fra samme startpunkt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte vektorer, skalarprodukt lik null og en kontroll av funnet verdi.
Del 1 · Oppgave 1d2Vektorer i rommet · parallelle vektorer

Oppgave 1d2

Oppgave:

Gitt punktene \(A(2,3,7)\), \(B(3,5,2)\), \(C(1,1,5)\) og \(D(3,5,t)\).

2) Undersøk om det finnes en verdi for \(t\) slik at \(\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om vektorene kan være skalar multiplum av hverandre. Alle tre koordinatforholdene må gi samme faktor.

Steg 1 — Bruk vektoren AB fra forrige del

\[\overrightarrow{AB}=(1,2,-5).\]

Steg 2 — Finn vektoren CD

\[\overrightarrow{CD}=D-C=(3-1,\,5-1,\,t-5)=(2,4,t-5).\]

Steg 3 — Sett opp parallellitetskravet

Dersom vektorene er parallelle, finnes et tall \(\lambda\) slik at

\[\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{AB}.\]

Steg 4 — Bestem faktoren fra første koordinat

\[2=\lambda\cdot1\quad\Longrightarrow\quad\lambda=2.\]

Steg 5 — Kontroller andre koordinat

\[4=2\cdot2.\]

Den andre koordinaten er forenlig med samme faktor.

Steg 6 — Bruk tredje koordinat

\[t-5=2\cdot(-5)=-10.\]

Steg 7 — Løs og kontroller

\[t=-5.\]

Da blir \(\overrightarrow{CD}=(2,4,-10)=2(1,2,-5)=2\overrightarrow{AB}\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
u := (1,2,-5)
→\(\overrightarrow{AB}\)
2
v := (2,4,t-5)
→\(\overrightarrow{CD}\)
3
Solve(v = lambda u, {t,lambda})
→\(t=-5,\ \lambda=2\)

Tolkning: Resultatet viser både parameterverdien og skalafaktoren mellom vektorene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import Matrix, symbols, Eq, solve

t, lam = symbols('t lam', real=True)
AB = Matrix([1, 2, -5])
CD = Matrix([2, 4, t - 5])
equations = [Eq(CD[i], lam*AB[i]) for i in range(3)]
solution = solve(equations, (t, lam), dict=True)

print("AB =", tuple(AB))
print("CD =", tuple(CD))
print("Koordinatlikninger:")
for equation in equations:
    print(" ", equation)
print("Løsning =", solution)
print("CD ved t = -5:", tuple(CD.subs(t, -5)))
print("2*AB =", tuple(2*AB))

AB = (1, 2, -5)
CD = (2, 4, t - 5)
Koordinatlikninger:
  Eq(2, lam)
  Eq(4, 2*lam)
  Eq(t - 5, -5*lam)
Løsning = [{lam: 2, t: -5}]
CD ved t = -5: (2, 4, -10)
2*AB = (2, 4, -10)

Fasit: Ja. Vektorene er parallelle når \(t=-5\).

Vanlig feil: Å sammenligne bare én koordinat. Parallelle vektorer må ha samme skalafaktor i alle koordinater.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en felles parameter \(\lambda\), kontroll av samtlige koordinater og en eksplisitt konklusjon om at verdien finnes.
Del 1 · Oppgave 1eDifferensiallikning · separasjon

Oppgave 1e

Oppgave:

Løs differensiallikningen \(y\prime+4x\cdot y=0\), der \(y(0)=5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er separabel. Vi flytter leddene slik at alle y-uttrykk står på én side og alle x-uttrykk på den andre, integrerer og bruker initialbetingelsen.

Steg 1 — Isoler den deriverte

\[y\prime=-4xy.\]

Steg 2 — Separer variablene

Siden initialverdien er positiv, kan vi dele på \(y\):

\[\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-4x\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{y}\,dy=-4x\,dx.\]

Steg 3 — Integrer begge sider

\[\int\frac1y\,dy=\int-4x\,dx.\]

Steg 4 — Utfør integrasjonen

\[\ln|y|=-2x^2+C.\]

Steg 5 — Eksponentialiser

\[|y|=e^C e^{-2x^2}.\]

Fortegn og konstant kan samles i én vilkårlig konstant \(A\):

\[y=Ae^{-2x^2}.\]

Steg 6 — Bruk initialbetingelsen

\[y(0)=Ae^0=A=5.\]

Steg 7 — Skriv løsningen

\[y(x)=5e^{-2x^2}.\]

Steg 8 — Kontroller i likningen

Vi får \(y\prime=-20xe^{-2x^2}\). Dermed er

\[y\prime+4xy=-20xe^{-2x^2}+20xe^{-2x^2}=0.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
SolveODE(y' + 4x y = 0, (0,5))
→\(y=5e^{-2x^2}\)

Tolkning: CAS-løsningen oppfyller både differensiallikningen og punktet (0,5).

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, exp, simplify

x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x) + 4*x*y(x), 0)
solution = dsolve(ode, ics={y(0): 5})
explicit = 5*exp(-2*x**2)
residual = simplify(diff(explicit, x) + 4*x*explicit)
initial_control = simplify(explicit.subs(x, 0))

print("Differensiallikning:", ode)
print("SymPy-løsning:", solution)
print("Eksplisitt løsning:", explicit)
print("Restledd i likningen:", residual)
print("Kontroll av y(0):", initial_control)

Differensiallikning: Eq(4*x*y(x) + Derivative(y(x), x), 0)
SymPy-løsning: Eq(y(x), 5*exp(-2*x**2))
Eksplisitt løsning: 5*exp(-2*x**2)
Restledd i likningen: 0
Kontroll av y(0): 5

Fasit: \(y(x)=5e^{-2x^2}\).

Vanlig feil: Å integrere \(-4x\) til \(-4x^2\) i stedet for \(-2x^2\), eller å glemme å bruke initialbetingelsen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter full separasjon, integrasjon, konstantbestemmelse og kontroll mot både likningen og initialbetingelsen.
Del 1 · Oppgave 1f1Integrasjon · delvis integrasjon

Oppgave 1f1

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int x\sin(2x)\,dx\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt av et polynom og en trigonometrisk funksjon. Delvis integrasjon reduserer graden på polynomet og er derfor naturlig.

Steg 1 — Velg u og dv

Vi velger \(u=x\), fordi den deriverte blir enklere, og \(dv=\sin(2x)\,dx\).

Steg 2 — Finn du

\[du=dx.\]

Steg 3 — Finn v

\[v=\int\sin(2x)\,dx=-\frac12\cos(2x).\]

Faktoren \(1/2\) kommer fra kjerneregelen baklengs.

Steg 4 — Bruk formelen

Med \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) får vi

\[\int x\sin(2x)\,dx=-\frac{x}{2}\cos(2x)-\int\left(-\frac12\cos(2x)\right)dx.\]

Steg 5 — Rydd fortegnene

\[=-\frac{x}{2}\cos(2x)+\frac12\int\cos(2x)\,dx.\]

Steg 6 — Integrer restleddet

\[\int\cos(2x)\,dx=\frac12\sin(2x).\]

Steg 7 — Sett sammen

\[\int x\sin(2x)\,dx=-\frac{x}{2}\cos(2x)+\frac14\sin(2x)+C.\]

Steg 8 — Deriver svaret som kontroll

Derivasjon gir \(x\sin(2x)\), så antideriverten er korrekt.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
Integral(x sin(2x))
→\(-\frac{x}{2}\cos(2x)+\frac14\sin(2x)\)

Tolkning: GeoGebra utelater ofte integrasjonskonstanten; i et ubestemt integral skal + C tas med.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, cos, integrate, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
integrand = x*sin(2*x)
antiderivative = integrate(integrand, x)
expected = -x*cos(2*x)/2 + sin(2*x)/4
control = simplify(diff(expected, x) - integrand)

print("Integrand:", integrand)
print("SymPy-antiderivert:", antiderivative)
print("Valgt svar uten C:", expected)
print("Derivert minus integrand:", control)

Integrand: x*sin(2*x)
SymPy-antiderivert: -x*cos(2*x)/2 + sin(2*x)/4
Valgt svar uten C: -x*cos(2*x)/2 + sin(2*x)/4
Derivert minus integrand: 0

Fasit: \(\displaystyle -\frac{x}{2}\cos(2x)+\frac14\sin(2x)+C\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil i formelen for delvis integrasjon eller å glemme faktoren \(1/2\) når \(\sin(2x)\) og \(\cos(2x)\) integreres.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begrunnet metodevalg, korrekt u/dv-tabell og en antiderivert med integrasjonskonstant.
Del 1 · Oppgave 1f2Integrasjon · delbrøkoppspalting

Oppgave 1f2

Oppgave:

Bestem integralet

\[\int\frac{4}{x^2-4}\,dx\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren kan faktoriseres som en differanse av to kvadrater. Vi bruker delbrøkoppspalting før vi integrerer.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]

Steg 2 — Sett opp delbrøkene

\[\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.\]

Steg 3 — Multipliser med fellesnevneren

\[4=A(x+2)+B(x-2).\]

Steg 4 — Bestem A

Sett \(x=2\):

\[4=4A\quad\Longrightarrow\quad A=1.\]

Steg 5 — Bestem B

Sett \(x=-2\):

\[4=-4B\quad\Longrightarrow\quad B=-1.\]

Steg 6 — Skriv den oppspaltede integranden

\[\frac{4}{x^2-4}=\frac1{x-2}-\frac1{x+2}.\]

Steg 7 — Integrer leddvis

\[\int\frac{4}{x^2-4}\,dx=\ln|x-2|-\ln|x+2|+C.\]

Steg 8 — Samle logaritmene

\[=\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C,\qquad x\ne\pm2.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
PartialFractions(4/(x^2 - 4))
→\(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\)
2
Integral(4/(x^2 - 4))
→\(\ln|x-2|-\ln|x+2|\)

Tolkning: De to logaritmeformene er algebraisk ekvivalente på hvert intervall i definisjonsmengden.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, apart, integrate, log, Abs, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
integrand = 4/(x**2 - 4)
partial_fractions = apart(integrand, x)
antiderivative = log(Abs(x - 2)) - log(Abs(x + 2))
control = simplify(diff(antiderivative, x) - integrand)

print("Integrand:", integrand)
print("Delbrøkoppspalting:", partial_fractions)
print("SymPy-integral:", integrate(integrand, x))
print("Valgt reell antiderivert:", antiderivative)
print("Derivert minus integrand:", control)
print("Singulariteter: x = -2 og x = 2")

Integrand: 4/(x**2 - 4)
Delbrøkoppspalting: -1/(x + 2) + 1/(x - 2)
SymPy-integral: log(x - 2) - log(x + 2)
Valgt reell antiderivert: log(Abs(x - 2)) - log(Abs(x + 2))
Derivert minus integrand: -sign(x + 2)/Abs(x + 2) + sign(x - 2)/Abs(x - 2) - 4/(x**2 - 4)
Singulariteter: x = -2 og x = 2

Fasit: \(\displaystyle \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\), for \(x\ne\pm2\).

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdiene i logaritmene eller å miste minustegnet foran \(1/(x+2)\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering, korrekt delbrøkoppspalting og absoluttverdi i logaritmesvaret.
Del 1 · Oppgave 2aVektorprodukt · trekantareal

Oppgave 2a

Oppgave:

Vi har gitt punktene \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,2)\), \(C(1,1,2)\) og \(D(4,1,-3)\).

Finn \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\). Vis at arealet av trekanten \(ABC\) er lik \(\frac32\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner to sidevektorer fra samme hjørne. Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet de spenner ut, og trekantarealet er halvparten.

Steg 1 — Finn AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,2,2).\]

Steg 2 — Finn AC

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(0,1,2).\]

Steg 3 — Sett opp vektorproduktet

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\-1&2&2\\0&1&2\end{vmatrix}.\]

Steg 4 — Regn koordinatene

\[=(2\cdot2-2\cdot1,\;2\cdot0-(-1)\cdot2,\;(-1)\cdot1-2\cdot0).\]

Steg 5 — Forenkle vektorproduktet

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,2,-1).\]

Steg 6 — Finn lengden

\[\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt9=3.\]

Steg 7 — Finn trekantarealet

\[A_{ABC}=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\cdot3=\frac32.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
u := (-1,2,2)
→\(\overrightarrow{AB}\)
2
v := (0,1,2)
→\(\overrightarrow{AC}\)
3
Cross(u,v)
→\((2,2,-1)\)
4
Length(Cross(u,v))/2
→\(3/2\)

Tolkning: CAS bekrefter både normalvektoren og arealet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import Matrix, sqrt, simplify

A = Matrix([1, 0, 0])
B = Matrix([0, 2, 2])
C = Matrix([1, 1, 2])
AB = B - A
AC = C - A
cross_product = AB.cross(AC)
cross_length = sqrt(cross_product.dot(cross_product))
triangle_area = simplify(cross_length/2)

print("AB =", tuple(AB))
print("AC =", tuple(AC))
print("AB x AC =", tuple(cross_product))
print("|AB x AC| =", cross_length)
print("Areal av trekanten ABC =", triangle_area)

AB = (-1, 2, 2)
AC = (0, 1, 2)
AB x AC = (2, 2, -1)
|AB x AC| = 3
Areal av trekanten ABC = 3/2

Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,2,-1)\), og \(A_{ABC}=\frac32\).

Vanlig feil: Å bruke hele lengden 3 som trekantareal. Vektorproduktets lengde er parallellogramarealet, så vi må dele på 2.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sidevektorer med samme startpunkt, riktig determinant og tydelig overgang fra parallellogram til trekant.
Del 1 · Oppgave 2bTrippelprodukt · pyramidevolum

Oppgave 2b

Oppgave:

Vi har gitt punktene \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,2)\), \(C(1,1,2)\) og \(D(4,1,-3)\).

Bestem volumet av pyramiden \(ABCD\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Volumet av tetraederet er en sjettedel av absoluttverdien til det skalartrippelproduktet som dannes av tre kantvektorer fra samme hjørne.

Steg 1 — Bruk vektorene fra A

\[\overrightarrow{AB}=(-1,2,2),\qquad\overrightarrow{AC}=(0,1,2).\]

Steg 2 — Finn AD

\[\overrightarrow{AD}=D-A=(3,1,-3).\]

Steg 3 — Bruk vektorproduktet fra a

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,2,-1).\]

Steg 4 — Regn skalartrippelproduktet

\[(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}=(2,2,-1)\cdot(3,1,-3).\]

Steg 5 — Forenkle

\[2\cdot3+2\cdot1+(-1)(-3)=6+2+3=11.\]

Steg 6 — Bruk volumformelen

\[V=\frac16\left|11\right|=\frac{11}{6}.\]

Steg 7 — Knytt til grunnflate og høyde

Faktoren \(1/6\) kan forstås som \(1/3\) for pyramidevolum og \(1/2\) fordi kryssproduktet gir parallellogramareal.

Romskisse av pyramiden ABCD. Skissen brukes som visualisering; beregningen gjøres med vektorer.
Romskisse av pyramiden ABCD. Skissen brukes som visualisering; beregningen gjøres med vektorer.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
u := (-1,2,2)
→\(\overrightarrow{AB}\)
2
v := (0,1,2)
→\(\overrightarrow{AC}\)
3
w := (3,1,-3)
→\(\overrightarrow{AD}\)
4
Abs(Dot(Cross(u,v),w))/6
→\(11/6\)

Tolkning: Skalartrippelproduktet har absoluttverdi 11, og tetraederet har en sjettedel av dette volumet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import Matrix, Abs, Rational, simplify

AB = Matrix([-1, 2, 2])
AC = Matrix([0, 1, 2])
AD = Matrix([3, 1, -3])
triple_product = AB.cross(AC).dot(AD)
volume = simplify(Abs(triple_product)*Rational(1, 6))

print("AB x AC =", tuple(AB.cross(AC)))
print("(AB x AC) · AD =", triple_product)
print("Absoluttverdi =", Abs(triple_product))
print("Volum = |trippelprodukt|/6 =", volume)

AB x AC = (2, 2, -1)
(AB x AC) · AD = 11
Absoluttverdi = 11
Volum = |trippelprodukt|/6 = 11/6

Fasit: Volumet er \(\frac{11}{6}\) volumenheter.

Vanlig feil: Å dele skalartrippelproduktet på 3 i stedet for 6, eller å unnlate absoluttverdien dersom orienteringen gir negativt fortegn.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tre vektorer fra samme punkt og korrekt faktor \(1/6\).
Del 1 · Oppgave 2cPlan i rommet

Oppgave 2c

Oppgave:

Vi har gitt punktene \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,2)\), \(C(1,1,2)\) og \(D(4,1,-3)\).

Finn likningen for planet \(\alpha\) som går gjennom punktene \(A\), \(B\) og \(C\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vektorproduktet fra oppgave 2a er normalt på begge retningene i planet og kan derfor brukes som normalvektor i planlikningen.

Steg 1 — Velg normalvektor

\[\mathbf n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,2,-1).\]

Steg 2 — Bruk punkt-normal-formen

Et plan med normalvektor \((a,b,c)\) gjennom \((x_0,y_0,z_0)\) har likningen

\[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.\]

Steg 3 — Sett inn punktet A

Med \(A(1,0,0)\) får vi

\[2(x-1)+2(y-0)-1(z-0)=0.\]

Steg 4 — Utvid

\[2x-2+2y-z=0.\]

Steg 5 — Skriv standardformen

\[2x+2y-z-2=0.\]

Steg 6 — Kontroller punkt B

\[2\cdot0+2\cdot2-2-2=0.\]

Steg 7 — Kontroller punkt C

\[2\cdot1+2\cdot1-2-2=0.\]

Alle tre punktene ligger dermed i planet.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
Plane((1,0,0),(0,2,2),(1,1,2))
→\(2x+2y-z=2\)

Tolkning: GeoGebra-formen 2x + 2y - z = 2 er identisk med 2x + 2y - z - 2 = 0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import Matrix, symbols, simplify

x, y, z = symbols('x y z', real=True)
A = Matrix([1, 0, 0])
B = Matrix([0, 2, 2])
C = Matrix([1, 1, 2])
normal = (B - A).cross(C - A)
plane_expression = simplify(normal.dot(Matrix([x, y, z]) - A))

print("Normalvektor =", tuple(normal))
print("Planuttrykk =", plane_expression)
for name, point in [('A', A), ('B', B), ('C', C)]:
    value = plane_expression.subs({x: point[0], y: point[1], z: point[2]})
    print(f"Kontroll {name}:", simplify(value))

Normalvektor = (2, 2, -1)
Planuttrykk = 2*x + 2*y - z - 2
Kontroll A: 0
Kontroll B: 0
Kontroll C: 0

Fasit: \(\alpha:\;2x+2y-z-2=0\).

Vanlig feil: Å bruke en sidevektor som normalvektor. Normalvektoren må være vinkelrett på to uavhengige retninger i planet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter normalvektor, punkt-normal-form og kontroll av at A, B og C tilfredsstiller likningen.

Del 2 – med hjelpemidler

Digitale kommandoer er oppgitt sammen med tolkning, og Python-output er generert ved faktisk kjøring av koden.

Del 2 · Oppgave 3aModellering · derivasjon

Oppgave 3a

Oppgave:

I denne oppgaven skal vi lage en modell for temperaturen i vannet i et badekar. Badekaret er fylt med vann som til å begynne med har temperaturen \(38\,^{\circ}\mathrm C\). Romtemperaturen er konstant lik \(21\,^{\circ}\mathrm C\).

Vi lar \(y(t)\) være vannets temperatur i grader celsius etter \(t\) timer.

Forklar hva \(y\prime(t)\) forteller oss, og hvorfor \(y\prime(t)\) er negativ i denne oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke den deriverte fysisk og knytte fortegnet til at vannet kjøles ned.

Steg 1 — Tolk funksjonen

\(y(t)\) er vanntemperaturen, målt i grader celsius, etter \(t\) timer.

Steg 2 — Tolk den deriverte

\(y\prime(t)\) er den momentane temperaturendringen per time ved tidspunktet \(t\).

Steg 3 — Oppgi enheten

Enheten til \(y\prime(t)\) er grader celsius per time, \(^{\circ}\mathrm C/\mathrm{time}\).

Steg 4 — Sammenlign temperaturene

Vannet starter på \(38\,^{\circ}\mathrm C\), mens rommet er \(21\,^{\circ}\mathrm C\). Vannet er altså varmere enn omgivelsene.

Steg 5 — Beskriv varmeoverføringen

Varme strømmer fra det varme vannet til det kjøligere rommet. Vanntemperaturen avtar.

Steg 6 — Konkluder om fortegnet

Når en funksjon avtar, er den deriverte negativ. Derfor er \(y\prime(t)<0\) så lenge vannet er varmere enn rommet.

Fasit: \(y\prime(t)\) er temperaturendringen i \(^{\circ}\mathrm C\) per time, og den er negativ fordi vannet kjøles ned.

Vanlig feil: Å si at \(y\prime(t)\) er selve temperaturen. Den deriverte er endringsfarten, ikke temperaturverdien.
Sensorpunkt: Sensor ser etter fysisk tolkning, korrekt enhet og sammenheng mellom avkjøling og negativ derivert.
Del 2 · Oppgave 3bDifferensiallikning · Newtons avkjølingslov

Oppgave 3b

Oppgave:

Vi antar at temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen \(y(t)\) og romtemperaturen. Proporsjonalitetskonstanten er \(k\).

Forklar at den differensiallikningen som beskriver denne problemstillingen, er

\[y\prime=k(y-21)\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette den verbale proporsjonaliteten til en matematisk likning og forklare fortegnet til konstanten.

Steg 1 — Identifiser endringsfarten

Temperaturendringen per time uttrykkes ved \(y\prime(t)\).

Steg 2 — Skriv temperaturdifferansen

Forskjellen mellom vannet og rommet er \(y(t)-21\).

Steg 3 — Oversett «proporsjonal med»

Når en størrelse er proporsjonal med en annen, finnes en konstant \(k\) slik at den første er \(k\) ganger den andre.

Steg 4 — Sett sammen modellen

\[y\prime(t)=k\bigl(y(t)-21\bigr).\]

Steg 5 — Vurder fortegnet til k

Mens \(y>21\), er differansen \(y-21\) positiv. Fra a) vet vi at \(y\prime<0\). Derfor må \(k<0\).

Steg 6 — Tolk likevekten

Når \(y=21\), blir høyresiden null. Modellen sier da at temperaturen ikke lenger endres, slik vi forventer ved romtemperatur.

Fasit: Modellen er \(y\prime=k(y-21)\), med \(k<0\).

Vanlig feil: Å skrive \(y\prime=k(21-y)\) og samtidig anta \(k<0\). Den formen kan også brukes, men da må konstantens fortegn endres. Her skal den oppgitte formen forklares.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt temperaturdifferanse, proporsjonalitetsargument og forklaring på hvorfor k er negativ.
Del 2 · Oppgave 3cDifferensiallikning · separasjon

Oppgave 3c

Oppgave:

Forklar hvorfor \(y(0)=38\). Løs differensiallikningen ved regning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke starttemperaturen som initialbetingelse og løse den separable differensiallikningen \(y\prime=k(y-21)\).

Steg 1 — Forklar initialbetingelsen

Variabelen \(t\) måles fra tidspunktet badekaret er fylt. Ved \(t=0\) er temperaturen oppgitt til \(38\,^{\circ}\mathrm C\), altså \(y(0)=38\).

Steg 2 — Separer variablene

\[\frac{dy}{dt}=k(y-21)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{y-21}\,dy=k\,dt.\]

Steg 3 — Integrer begge sider

\[\int\frac{1}{y-21}\,dy=\int k\,dt.\]

Steg 4 — Utfør integrasjonen

\[\ln|y-21|=kt+C.\]

Steg 5 — Eksponentialiser

\[y-21=Ae^{kt}.\]

Konstanten \(A\) inkluderer både \(e^C\) og eventuelt fortegn.

Steg 6 — Skriv den generelle løsningen

\[y(t)=21+Ae^{kt}.\]

Steg 7 — Bruk y(0) = 38

\[38=21+Ae^0=21+A\quad\Longrightarrow\quad A=17.\]

Steg 8 — Skriv den spesielle løsningen

\[y(t)=21+17e^{kt}.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
SolveODE(y' = k(y - 21), (0,38))
→\(y=21+17e^{kt}\)

Tolkning: Løsningen starter i 38 og har likevektsnivå 21.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, simplify

t, k = symbols('t k', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(t), t), k*(y(t) - 21))
solution = dsolve(ode, ics={y(0): 38})
explicit = 21 + 17*__import__('sympy').exp(k*t)
residual = simplify(diff(explicit, t) - k*(explicit - 21))

print("Differensiallikning:", ode)
print("Løsning med y(0)=38:", solution)
print("Eksplisitt modell:", explicit)
print("Kontroll av y(0):", simplify(explicit.subs(t, 0)))
print("Restledd i differensiallikningen:", residual)

Differensiallikning: Eq(Derivative(y(t), t), k*(y(t) - 21))
Løsning med y(0)=38: Eq(y(t), 17*exp(k*t) + 21)
Eksplisitt modell: 17*exp(k*t) + 21
Kontroll av y(0): 38
Restledd i differensiallikningen: 0

Fasit: \(y(t)=21+17e^{kt}\).

Vanlig feil: Å miste likevektstemperaturen 21 og ende med \(y=38e^{kt}\). Det er forskjellen \(y-21\) som følger en eksponentialfunksjon.
Sensorpunkt: Sensor ser etter forklaring av y(0), full separasjon og korrekt bruk av initialbetingelsen.
Del 2 · Oppgave 3dEksponentialmodell · parameterbestemmelse

Oppgave 3d

Oppgave:

Etter 3 timer er vanntemperaturen \(27\,^{\circ}\mathrm C\). Bruk dette til å bestemme \(k\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter målepunktet \((3,27)\) inn i modellen fra c) og løser en eksponentiallikning med naturlig logaritme.

Steg 1 — Bruk modellen

\[y(t)=21+17e^{kt}.\]

Steg 2 — Sett inn t = 3 og y = 27

\[27=21+17e^{3k}.\]

Steg 3 — Isoler eksponentialleddet

\[6=17e^{3k}\quad\Longrightarrow\quad e^{3k}=\frac6{17}.\]

Steg 4 — Ta naturlig logaritme

\[\ln(e^{3k})=\ln\left(\frac6{17}\right).\]

Steg 5 — Bruk ln(e^a) = a

\[3k=\ln\left(\frac6{17}\right).\]

Steg 6 — Løs for k

\[k=\frac13\ln\left(\frac6{17}\right).\]

Steg 7 — Finn desimalverdi

\[k\approx-0{,}34715\ \mathrm{time}^{-1}.\]

Steg 8 — Kontroller fortegnet

Verdien er negativ, som den må være for en avkjølingsprosess når modellen er skrevet \(y\prime=k(y-21)\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
Solve(27 = 21 + 17 exp(3k), k)
→\(k=\frac13\ln(6/17)\)
2
Numeric(%)
→\(-0.347151\)

Tolkning: Den negative konstanten gir en temperatur som avtar mot romtemperaturen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, Eq, exp, log, solve, N, simplify

k = symbols('k', real=True)
equation = Eq(27, 21 + 17*exp(3*k))
solution = solve(equation, k)[0]
decimal_value = N(solution, 12)
model_check = simplify(21 + 17*exp(3*solution))

print("Likning:", equation)
print("Eksakt k =", solution)
print("Desimalverdi k =", decimal_value)
print("Kontroll y(3) =", model_check)
print("Er k negativ?", bool(solution < 0))

Likning: Eq(27, 17*exp(3*k) + 21)
Eksakt k = log(17**(2/3)*6**(1/3)/17)
Desimalverdi k = -0.347151291609
Kontroll y(3) = 27
Er k negativ? True

Fasit: \(\displaystyle k=\frac13\ln\left(\frac6{17}\right)\approx-0{,}347\ \mathrm{time}^{-1}\).

Vanlig feil: Å skrive \(k=\ln(6/17)\) og glemme å dele på 3, eller å runde for tidlig.
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksakt logaritmeform, korrekt enhet og en rimelig negativ desimalverdi.
Del 2 · Oppgave 3eGrenseverdi · modellfortolkning

Oppgave 3e

Oppgave:

Bestem \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)\). Kommenter svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at k er negativ og undersøke hva eksponentialleddet gjør når tiden går mot uendelig.

Steg 1 — Skriv den bestemte modellen

\[y(t)=21+17e^{kt},\qquad k=\frac13\ln\left(\frac6{17}\right)<0.\]

Steg 2 — Vurder eksponentialleddet

Når \(k<0\), går \(kt\to-\infty\) når \(t\to\infty\).

Steg 3 — Bruk eksponentialgrensen

\[\lim_{t\to\infty}e^{kt}=0.\]

Steg 4 — Sett inn i modellen

\[\lim_{t\to\infty}y(t)=21+17\cdot0.\]

Steg 5 — Regn grenseverdien

\[\lim_{t\to\infty}y(t)=21.\]

Steg 6 — Tolk fysisk

Modellen sier at vannets temperatur nærmer seg romtemperaturen \(21\,^{\circ}\mathrm C\). Temperaturen blir ikke lavere enn romtemperaturen i denne idealiserte modellen.

Steg 7 — Presiser modellens betydning

Matematisk når eksponentialmodellen normalt ikke 21 på et endelig tidspunkt; forskjellen blir bare stadig mindre.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
Limit(21 + 17 exp(k t), t, infinity)
→\(21\), når \(k<0\)

Tolkning: Grenseverdien er modellens horisontale asymptote og har klar fysisk betydning.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, log, Rational, limit, oo, simplify

t = symbols('t', positive=True)
k = log(Rational(6, 17))/3
y = 21 + 17*exp(k*t)
limit_value = limit(y, t, oo)

print("k =", k)
print("k som desimaltall =", k.evalf(10))
print("y(t) =", y)
print("Grenseverdi når t går mot uendelig =", limit_value)
print("Kontroll, grenseverdi minus 21 =", simplify(limit_value - 21))

k = log(6/17)/3
k som desimaltall = -0.3471512916
y(t) = 17*exp(t*log(6/17)/3) + 21
Grenseverdi når t går mot uendelig = 21
Kontroll, grenseverdi minus 21 = 0

Fasit: \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=21\,^{\circ}\mathrm C\).

Vanlig feil: Å la hele uttrykket gå mot 0. Det er bare eksponentialleddet \(17e^{kt}\) som går mot 0; likevektsleddet 21 blir stående.
Sensorpunkt: Sensor ser etter bruk av k < 0 og en fysisk kommentar om at vannet nærmer seg romtemperaturen.

Oppgave 4 – Alternativ I

Eksamen krever ett alternativ. Her er begge løst for et komplett løsningsforslag.

Del 2 · Oppgave 4 I aTrigonometri · graf

Oppgave 4, alternativ I a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=2(\sin x)^2\).

Tegn grafen til \(f\) når \(x\in[0,2\pi)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sentrale punkter, periode og verdimengde før grafen tegnes.

Steg 1 — Finn verdimengden

Siden \(0\le \sin^2x\le1\), får vi \(0\le f(x)\le2\).

Steg 2 — Finn perioden

\(\sin(x+\pi)=-\sin x\), og kvadrering fjerner fortegnet. Derfor er perioden \(\pi\).

Steg 3 — Finn nullpunktene

\(f(x)=0\) når \(\sin x=0\), altså ved \(x=0\) og \(x=\pi\) i det oppgitte halvåpne intervallet.

Steg 4 — Finn toppunktene

\(f(x)=2\) når \(|\sin x|=1\), altså ved \(x=\pi/2\) og \(x=3\pi/2\).

Steg 5 — Finn midtlinjepunkter

Når \(\sin^2x=1/2\), er \(f(x)=1\). Dette skjer ved \(x=\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4\).

Steg 6 — Tegn en jevn periodisk kurve

Kurven starter i \((0,0)\), går opp til 2, ned til 0 og gjentar dette én gang til før \(2\pi\), som ikke er med i intervallet.

Grafen til f(x)=2 sin²x på intervallet [0, 2π).
Grafen til f(x)=2 sin²x på intervallet [0, 2π).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
f(x) := 2 sin(x)^2
→\(2\sin^2x\)
2
Function(f,0,2pi)
→Graf på \([0,2\pi]\)

Tolkning: I den endelige skissen skal punktet ved x = 2pi markeres som ikke inkludert.

Fasit: Grafen har periode \(\pi\), nullpunkter \(0\) og \(\pi\), og toppunkter \((\pi/2,2)\) og \((3\pi/2,2)\) på \([0,2\pi)\).

Vanlig feil: Å tegne grafen med periode \(2\pi\). Kvadreringen halverer perioden fra \(2\pi\) til \(\pi\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig periode, amplitudespenn 0 til 2 og korrekt behandling av at 2π ikke er med.
Del 2 · Oppgave 4 I bTrigonometrisk modell · avlesning

Oppgave 4, alternativ I b

Oppgave:

Grafen er en sinuskurve. Bruk grafen til å vise at vi tilnærmet kan lese av at \(f\) kan skrives på formen

\[f(x)=\sin\left(2x-\frac\pi2\right)+1\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av midtlinje, amplitude, periode og faseforskyvning fra grafen og knytte dem til standardformen \(A\sin(bx+c)+d\).

Steg 1 — Les av maksimum og minimum

Grafen har maksimum 2 og minimum 0.

Steg 2 — Finn midtlinjen

\[d=\frac{2+0}{2}=1.\]

Sinuskurven svinger rundt linjen \(y=1\).

Steg 3 — Finn amplituden

\[A=\frac{2-0}{2}=1.\]

Steg 4 — Finn perioden

Avstanden mellom to nabotopper er \(\pi\), så perioden er \(T=\pi\).

Steg 5 — Finn frekvensfaktoren

For \(\sin(bx)\) er perioden \(2\pi/b\). Dermed

\[\frac{2\pi}{b}=\pi\quad\Longrightarrow\quad b=2.\]

Steg 6 — Finn faseleddet

Ved \(x=0\) har grafen minimum 0. Sinusdelen må derfor være \(-1\), som fås når vinkelen er \(-\pi/2\).

Steg 7 — Skriv modellen

\[f(x)=\sin\left(2x-\frac\pi2\right)+1.\]

Steg 8 — Kontroller noen punkter

Ved \(x=0\) får vi 0, og ved \(x=\pi/2\) får vi 2, i samsvar med grafen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, pi, simplify

x = symbols('x', real=True)
original = 2*sin(x)**2
model = sin(2*x - pi/2) + 1
control = simplify(original - model)
check_points = [0, pi/2, pi, 3*pi/2]

print("Original funksjon:", original)
print("Avlest sinusmodell:", model)
print("Symbolsk differanse:", control)
for point in check_points:
    print("x =", point, "original =", simplify(original.subs(x, point)),
          "modell =", simplify(model.subs(x, point)))

Original funksjon: 2*sin(x)**2
Avlest sinusmodell: 1 - cos(2*x)
Symbolsk differanse: 0
x = 0 original = 0 modell = 0
x = pi/2 original = 2 modell = 2
x = pi original = 0 modell = 0
x = 3*pi/2 original = 2 modell = 2

Fasit: Grafavlesningen gir \(f(x)=\sin(2x-\pi/2)+1\).

Vanlig feil: Å tolke tallet 2 som amplitude. Amplituden er halvparten av avstanden mellom maksimum og minimum, altså 1.
Sensorpunkt: Sensor ser etter avlesning av amplitude, midtlinje, periode og fase - ikke bare at uttrykket oppgis.
Del 2 · Oppgave 4 I cTrigonometriske identiteter

Oppgave 4, alternativ I c

Oppgave:

Bruk formelen for \(\sin(u-v)\) til å vise at uttrykket i b) stemmer med \(f(x)=2(\sin x)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal starte med uttrykket fra b), bruke differanseformelen for sinus og deretter en dobbeltvinkelidentitet.

Steg 1 — Start med uttrykket fra b

\[\sin\left(2x-\frac\pi2\right)+1.\]

Steg 2 — Skriv differanseformelen

\[\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v.\]

Steg 3 — Sett u = 2x og v = pi/2

\[\sin\left(2x-\frac\pi2\right)=\sin(2x)\cos\frac\pi2-\cos(2x)\sin\frac\pi2.\]

Steg 4 — Bruk spesialverdiene

\(\cos(\pi/2)=0\) og \(\sin(\pi/2)=1\), så

\[\sin\left(2x-\frac\pi2\right)=-\cos(2x).\]

Steg 5 — Legg til 1

\[\sin\left(2x-\frac\pi2\right)+1=1-\cos(2x).\]

Steg 6 — Bruk dobbeltvinkelidentiteten

Fra \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\) får vi

\[1-\cos(2x)=1-(1-2\sin^2x)=2\sin^2x.\]

Steg 7 — Konkluder

\[\sin\left(2x-\frac\pi2\right)+1=2(\sin x)^2=f(x).\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
TrigExpand(sin(2x - pi/2) + 1)
→\(1-\cos(2x)\)
2
TrigSimplify(1 - cos(2x))
→\(2\sin^2x\)

Tolkning: CAS utfører de samme identitetsomformingene som den manuelle løsningen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, cos, pi, expand_trig, trigsimp, simplify

x = symbols('x', real=True)
left_side = sin(2*x - pi/2) + 1
expanded = expand_trig(left_side)
right_side = 2*sin(x)**2
trig_simplified = trigsimp(left_side)
control = simplify(left_side - right_side)

print("Venstreside:", left_side)
print("Utvidet med sin(u-v):", expanded)
print("Trigonometrisk forenklet:", trig_simplified)
print("Høyreside:", right_side)
print("Differanse:", control)

Venstreside: 1 - cos(2*x)
Utvidet med sin(u-v): 2 - 2*cos(x)**2
Trigonometrisk forenklet: 2*sin(x)**2
Høyreside: 2*sin(x)**2
Differanse: 0

Fasit: Uttrykkene er identiske: \(\sin(2x-\pi/2)+1=2\sin^2x\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil i differanseformelen. Leddet med cos u skal trekkes fra.
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av sin(u-v), spesialverdiene og dobbeltvinkelidentiteten.
Del 2 · Oppgave 4 I dDerivasjon · ekstrem- og vendepunkter

Oppgave 4, alternativ I d

Oppgave:

Bestem ved regning koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til \(f\) når \(x\in(3\pi,4\pi)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke første derivert til å finne ekstrempunkter og andre derivert til å finne vendepunkter. Endepunktene er ikke med fordi intervallet er åpent.

Steg 1 — Deriver funksjonen

Med \(f(x)=1-\cos(2x)\) får vi

\[f\prime(x)=2\sin(2x).\]

Steg 2 — Finn stasjonære punkter

\[2\sin(2x)=0\quad\Longrightarrow\quad2x=n\pi\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{n\pi}{2}.\]

Steg 3 — Velg løsningen i intervallet

I \((3\pi,4\pi)\) er den eneste stasjonære x-verdien

\[x=\frac{7\pi}{2}.\]

Steg 4 — Klassifiser ekstrempunktet

Andrederivert er

\[f\prime\prime(x)=4\cos(2x).\]

Ved \(x=7\pi/2\) får vi \(f\prime\prime=4\cos(7\pi)=-4<0\), så punktet er et toppunkt.

Steg 5 — Finn y-koordinaten til toppen

\[f\left(\frac{7\pi}{2}\right)=2\sin^2\left(\frac{7\pi}{2}\right)=2.\]

Steg 6 — Undersøk bunnpunkter

Funksjonen nærmer seg 0 ved begge ender, men \(3\pi\) og \(4\pi\) er ikke med i intervallet. Det finnes derfor ikke noe bunnpunkt i det åpne intervallet.

Steg 7 — Finn mulige vendepunkter

\[f\prime\prime(x)=0\quad\Longrightarrow\quad\cos(2x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac\pi4+\frac{n\pi}{2}.\]

Steg 8 — Velg og beregn vendepunktene

I intervallet får vi \(x=13\pi/4\) og \(x=15\pi/4\). Begge har

\[f(x)=1-\cos(2x)=1.\]

Andrederiverten skifter fortegn i begge punktene.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
f(x) := 2 sin(x)^2
→\(2\sin^2x\)
2
Solve(f'(x)=0, 3pi < x < 4pi)
→\(x=7\pi/2\)
3
Solve(f''(x)=0, 3pi < x < 4pi)
→\(x=13\pi/4,\ 15\pi/4\)

Tolkning: CAS finner kandidater; klassifiseringen og intervalltolkningen må fortsatt forklares.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, diff, pi, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(x)**2
f_prime = simplify(diff(f, x))
f_second = simplify(diff(f, x, 2))
critical = 7*pi/2
inflections = [13*pi/4, 15*pi/4]

print("f'(x) =", f_prime)
print("f''(x) =", f_second)
print("Toppkandidat x =", critical)
print("f(x) =", simplify(f.subs(x, critical)))
print("f''(x) =", simplify(f_second.subs(x, critical)))
for point in inflections:
    print("Vendepunktkandidat:", point, "y =", simplify(f.subs(x, point)))
print("Endepunktene 3*pi og 4*pi er ikke med i intervallet.")

f'(x) = 2*sin(2*x)
f''(x) = 4*cos(2*x)
Toppkandidat x = 7*pi/2
f(x) = 2
f''(x) = -4
Vendepunktkandidat: 13*pi/4 y = 1
Vendepunktkandidat: 15*pi/4 y = 1
Endepunktene 3*pi og 4*pi er ikke med i intervallet.

Fasit: Toppunkt: \((7\pi/2,2)\). Ingen bunnpunkt i \((3\pi,4\pi)\). Vendepunkter: \((13\pi/4,1)\) og \((15\pi/4,1)\).

Vanlig feil: Å ta med \((3\pi,0)\) og \((4\pi,0)\) som bunnpunkter selv om endepunktene ikke ligger i det åpne intervallet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter intervallkontroll, klassifisering med fortegn/andrederivert og kontroll av krumningsskifte ved vendepunktene.

Oppgave 4 – Alternativ II

Del 2 · Oppgave 4 II aDempet svingning · graf

Oppgave 4, alternativ II a

Oppgave:

Gitt funksjonen

\[f(x)=4e^{-0{,}2x}\bigl(4\sin(2x)+3\cos(2x)\bigr)\quad\text{når }x\in(0,5\pi).\]

Skisser, eller ta en utskrift av, grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forstå funksjonen som en trigonometrisk svingning multiplisert med en avtakende eksponentialfaktor.

Steg 1 — Identifiser svingningen

Uttrykket \(4\sin(2x)+3\cos(2x)\) er periodisk med periode \(\pi\), fordi vinkelfaktoren er 2.

Steg 2 — Finn maksimal trigonometrisk amplitude

\[\sqrt{4^2+3^2}=5.\]

Parentesen kan derfor skrives som en sinusfunksjon med amplitude 5.

Steg 3 — Ta med faktoren 4

Uten demping ville svingningen ha amplitude \(4\cdot5=20\).

Steg 4 — Tolk eksponentialfaktoren

Faktoren \(e^{-0{,}2x}\) avtar mot 0. Svingningens amplitude begrenses derfor av konvoluttene

\[y=\pm20e^{-0{,}2x}.\]

Steg 5 — Finn startnivået som støttepunkt

Selv om \(x=0\) ikke er med i det åpne intervallet, er grenseverdien fra høyre

\[f(0)=4(0+3)=12.\]

Steg 6 — Beskriv langtidsatferden

Når \(x\) øker, fortsetter grafen å krysse aksen omtrent hver halve periode, men utslagene blir mindre og nærmer seg 0.

Steg 7 — Tegn grafen digitalt

GeoGebra-kommandoen nedenfor gir grafen på det oppgitte intervallet. Endepunktene skal ikke markeres som inkludert.

Grafen til den dempede svingningen på intervallet (0, 5π).
Grafen til den dempede svingningen på intervallet (0, 5π).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
f(x) := 4 exp(-0.2x) (4 sin(2x) + 3 cos(2x))
→Funksjonen definert
2
Function(f,0,5pi)
→Graf på ønsket område

Tolkning: Grafvinduet bør vise både positive og negative utslag og hele intervallet frem til 5pi.

Fasit: Grafen er en dempet sinuskurve med periode \(\pi\) og konvolutter \(y=\pm20e^{-0{,}2x}\).

Vanlig feil: Å tegne konstant amplitude. Eksponentialfaktoren gjør at utslagene avtar med x.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt periodisk form, avtakende amplitude og graf på hele intervallet (0,5π).
Del 2 · Oppgave 4 II bDigital funksjonsanalyse

Oppgave 4, alternativ II b

Oppgave:

Finn nullpunktene, topp-, bunn- og vendepunktene på grafen til \(f\) når \(x\in(0,\pi)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner nullpunkter fra f = 0, ekstrempunkter fra f′ = 0 og vendepunkter fra f″ = 0. Deretter klassifiserer og beregner vi koordinatene numerisk.

Steg 1 — Finn nullpunktslikningen

Eksponentialfaktoren og faktoren 4 er aldri null. Derfor må

\[4\sin(2x)+3\cos(2x)=0.\]

Steg 2 — Løs nullpunktene digitalt

På \((0,\pi)\) gir CAS

\[x\approx1{,}24905\quad\text{og}\quad x\approx2{,}81984.\]

Steg 3 — Deriver for ekstrempunkter

Produktregelen gir

\[f\prime(x)=\frac45e^{-x/5}\bigl(37\cos(2x)-34\sin(2x)\bigr).\]

Steg 4 — Løs f′ = 0

CAS gir \(x\approx0{,}413813\) og \(x\approx1{,}984610\).

Steg 5 — Beregn og klassifiser ekstrempunktene

Funksjonsverdiene er henholdsvis

\[f(0{,}413813)\approx18{,}3200,\qquad f(1{,}984610)\approx-13{,}3810.\]

Den første er et toppunkt og den andre et bunnpunkt.

Steg 6 — Finn andrederiverten

\[f\prime\prime(x)=-\frac4{25}e^{-x/5}\bigl(377\cos(2x)+336\sin(2x)\bigr).\]

Steg 7 — Løs f″ = 0

På intervallet får vi \(x\approx1{,}149377\) og \(x\approx2{,}720173\).

Steg 8 — Finn vendepunktenes koordinater

\[f(1{,}149377)\approx3{,}14706,\qquad f(2{,}720173)\approx-2{,}29862.\]

Fortegnet til \(f\prime\prime\) skifter i begge punktene.

Nullpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter på intervallet (0, π).
Nullpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter på intervallet (0, π).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
f(x) := 4 exp(-0.2x) (4 sin(2x) + 3 cos(2x))
→Funksjonen definert
2
NSolve(f(x)=0, 0 < x < pi)
→\(x\approx1.24905,\ 2.81984\)
3
NSolve(f'(x)=0, 0 < x < pi)
→\(x\approx0.413813,\ 1.984610\)
4
NSolve(f''(x)=0, 0 < x < pi)
→\(x\approx1.149377,\ 2.720173\)

Tolkning: Etter at CAS har funnet x-verdiene, må y-verdiene beregnes med f(x) og punktene klassifiseres.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, sin, cos, diff, nsolve, pi, N

x = symbols('x', real=True)
f = 4*exp(-x/5)*(4*sin(2*x) + 3*cos(2*x))
f_prime = diff(f, x)
f_second = diff(f, x, 2)

zero_guesses = [1.2, 2.8]
extreme_guesses = [0.4, 2.0]
inflection_guesses = [1.15, 2.72]
zeros = [nsolve(f, guess) for guess in zero_guesses]
extrema = [nsolve(f_prime, guess) for guess in extreme_guesses]
inflections = [nsolve(f_second, guess) for guess in inflection_guesses]

print("f'(x) =", f_prime.simplify())
print("f''(x) =", f_second.simplify())
print("Nullpunkter:")
for root in zeros:
    print("  x =", N(root, 9), "y =", N(f.subs(x, root), 9))
print("Ekstrempunkter:")
for root in extrema:
    print("  x =", N(root, 9), "y =", N(f.subs(x, root), 9),
          "f'' =", N(f_second.subs(x, root), 9))
print("Vendepunkter:")
for root in inflections:
    print("  x =", N(root, 9), "y =", N(f.subs(x, root), 9))

f'(x) = 4*(-34*sin(2*x) + 37*cos(2*x))*exp(-x/5)/5
f''(x) = -(1344*sin(2*x) + 1508*cos(2*x))*exp(-x/5)/25
Nullpunkter:
  x = 1.24904577 y = -1.38369214e-15
  x = 2.81984210 y = -1.01065247e-15
Ekstrempunkter:
  x = 0.413813283 y = 18.3200200 f'' = -74.0128808
  x = 1.98460961 y = -13.3809919 f'' = 54.0592073
Vendepunkter:
  x = 1.14937712 y = 3.14705976
  x = 2.72017345 y = -2.29862092

Fasit: Nullpunkter: \((1{,}24905,0)\), \((2{,}81984,0)\). Toppunkt: \((0{,}413813,18{,}3200)\). Bunnpunkt: \((1{,}984610,-13{,}3810)\). Vendepunkter: \((1{,}149377,3{,}14706)\), \((2{,}720173,-2{,}29862)\).

Vanlig feil: Å rapportere bare x-verdier når oppgaven ber om punkter. Koordinatene må inneholde både x og y, og ekstrempunktene må klassifiseres.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig digital metode, tilstrekkelig presisjon, punktkoordinater og kontroll av intervall og klassifisering.
Del 2 · Oppgave 4 II cTrigonometrisk omskriving

Oppgave 4, alternativ II c

Oppgave:

Funksjonsuttrykket til \(f\) kan skrives på formen

\[f(x)=K e^{-0{,}2x}\sin(2x+\varphi).\]

Finn konstantene \(K\) og \(\varphi\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi sammenligner koeffisientene etter å ha utvidet sinus av en sum.

Steg 1 — Utvid standardformen

\[K e^{-0{,}2x}\sin(2x+\varphi)=K e^{-0{,}2x}\bigl(\sin(2x)\cos\varphi+\cos(2x)\sin\varphi\bigr).\]

Steg 2 — Skriv originalen med koeffisienter

\[f(x)=16e^{-0{,}2x}\sin(2x)+12e^{-0{,}2x}\cos(2x).\]

Steg 3 — Sammenlign sinuskoeffisienten

\[K\cos\varphi=16.\]

Steg 4 — Sammenlign cosinuskoeffisienten

\[K\sin\varphi=12.\]

Steg 5 — Finn K ved å kvadrere og addere

\[K^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=16^2+12^2=400.\]

Med positiv amplitude velger vi \(K=20\).

Steg 6 — Finn cosinus og sinus til fasen

\[\cos\varphi=\frac{16}{20}=\frac45,\qquad\sin\varphi=\frac{12}{20}=\frac35.\]

Steg 7 — Finn fasen

Begge verdier er positive, så \(\varphi\) ligger i første kvadrant:

\[\varphi=\arctan\left(\frac34\right)\approx0{,}643501.\]

Steg 8 — Kontroller omskrivingen

\[20\sin(2x+\varphi)=20\left(\frac45\sin2x+\frac35\cos2x\right)=16\sin2x+12\cos2x.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
K := 4 sqrt(4^2 + 3^2)
→\(20\)
2
phi := atan(3/4)
→\(0.643501\)
3
TrigExpand(K exp(-0.2x) sin(2x + phi))
→Originaluttrykket

Tolkning: Fasevinkelen kan oppgis modulo 2pi. Valget over gir positiv amplitude.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, sin, cos, atan, Rational, sqrt, expand_trig, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
K = 4*sqrt(4**2 + 3**2)
phi = atan(Rational(3, 4))
original = 4*exp(-x/5)*(4*sin(2*x) + 3*cos(2*x))
rewritten = K*exp(-x/5)*sin(2*x + phi)
control = simplify(expand_trig(rewritten) - original)

print("K =", K)
print("phi =", phi)
print("phi som desimaltall =", N(phi, 10))
print("cos(phi) =", simplify(__import__('sympy').cos(phi)))
print("sin(phi) =", simplify(__import__('sympy').sin(phi)))
print("Omskrevet funksjon:", rewritten)
print("Differanse fra originalen:", control)

K = 20
phi = atan(3/4)
phi som desimaltall = 0.6435011088
cos(phi) = 4/5
sin(phi) = 3/5
Omskrevet funksjon: 20*exp(-x/5)*sin(2*x + atan(3/4))
Differanse fra originalen: 0

Fasit: \(K=20\) og \(\displaystyle\varphi=\arctan(3/4)\approx0{,}6435\) radianer, modulo \(2\pi\).

Vanlig feil: Å finne amplituden til bare parentesen som 5 og oppgi K = 5. Faktoren 4 utenfor parentesen gjør at den totale amplituden er 20.
Sensorpunkt: Sensor ser etter koeffisientsammenligning, Pytagoras-identiteten og riktig kvadrant for fasevinkelen.
Del 2 · Oppgave 4 II dAndreordens differensiallikning

Oppgave 4, alternativ II d

Oppgave:

\(y=f(x)\), der \(f(x)\) er funksjonen ovenfor, er en løsning av differensiallikningen

\[y\prime\prime+ay\prime+by=0.\]

Bestem konstantene \(a\) og \(b\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er en dempet sinus med eksponentialfaktor \(e^{-x/5}\) og vinkelfrekvens 2. Vi bruker de komplekse røttene til den karakteristiske likningen.

Steg 1 — Les av standardformen

Fra c) har vi

\[y=20e^{-x/5}\sin(2x+\varphi).\]

Steg 2 — Identifiser rotens real- og imaginærdel

En løsning \(e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\) svarer til røttene

\[r=\alpha\pm i\beta.\]

Her er \(\alpha=-1/5\) og \(\beta=2\).

Steg 3 — Skriv røttene

\[r_1=-\frac15+2i,\qquad r_2=-\frac15-2i.\]

Steg 4 — Bygg det karakteristiske polynomet

\[(r-r_1)(r-r_2)=r^2-(r_1+r_2)r+r_1r_2.\]

Steg 5 — Finn summen av røttene

\[r_1+r_2=-\frac25.\]

Dermed er koeffisienten foran \(r\)

\[-(r_1+r_2)=\frac25.\]

Steg 6 — Finn produktet av røttene

\[r_1r_2=\left(-\frac15\right)^2+2^2=\frac1{25}+4=\frac{101}{25}.\]

Steg 7 — Sammenlign med r² + ar + b

\[r^2+\frac25r+\frac{101}{25}=0.\]

Steg 8 — Les av konstantene

\[a=\frac25=0{,}4,\qquad b=\frac{101}{25}=4{,}04.\]

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
a := 2/5
→\(0.4\)
2
b := 101/25
→\(4.04\)
3
Simplify(f'' + a f' + b f)
→\(0\)

Tolkning: Direkte innsetting av funksjonen og dens deriverte gir restledd 0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, sin, cos, diff, Rational, simplify

x = symbols('x', real=True)
a = Rational(2, 5)
b = Rational(101, 25)
y = 4*exp(-x/5)*(4*sin(2*x) + 3*cos(2*x))
y_prime = diff(y, x)
y_second = diff(y, x, 2)
residual = simplify(y_second + a*y_prime + b*y)

print("a =", a, "=", a.evalf())
print("b =", b, "=", b.evalf())
print("y'(x) =", simplify(y_prime))
print("y''(x) =", simplify(y_second))
print("y'' + a*y' + b*y =", residual)

a = 2/5 = 0.400000000000000
b = 101/25 = 4.04000000000000
y'(x) = 4*(-34*sin(2*x) + 37*cos(2*x))*exp(-x/5)/5
y''(x) = -(1344*sin(2*x) + 1508*cos(2*x))*exp(-x/5)/25
y'' + a*y' + b*y = 0

Fasit: \(a=\frac25=0{,}4\) og \(b=\frac{101}{25}=4{,}04\).

Vanlig feil: Å bruke \(b=2^2=4\) og glemme bidraget \(\alpha^2=(1/5)^2\), eller å få feil fortegn på a.
Sensorpunkt: Sensor ser etter koblingen mellom dempet sinus, komplekse røtter og koeffisientene i det karakteristiske polynomet.

Oppgave 5 – trekanttall og induksjon

Del 2 · Oppgave 5aFølger og summer · trekanttall

Oppgave 5a

Oppgave:

Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekantfigur. Figuren viser de tre første trekanttallene \(a_1\), \(a_2\) og \(a_3\).

\(S_n\) er summen av de \(n\) første trekanttallene.

Skriv opp de fem første trekanttallene \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\) og de fem første summene \(S_1,S_2,S_3,S_4,S_5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bygger hvert trekanttall ved å legge til en ny rad med n elementer og summerer deretter trekanttallene kumulativt.

Steg 1 — Finn a1

Den første figuren har én golfball: \(a_1=1\).

Steg 2 — Finn a2 og a3

Vi legger til henholdsvis 2 og 3 golfballer:

\[a_2=1+2=3,\qquad a_3=1+2+3=6.\]

Steg 3 — Finn a4

\[a_4=a_3+4=6+4=10.\]

Steg 4 — Finn a5

\[a_5=a_4+5=10+5=15.\]

Steg 5 — Finn de første delsummene

\[S_1=1,\qquad S_2=1+3=4,\qquad S_3=1+3+6=10.\]

Steg 6 — Finn S4 og S5

\[S_4=10+10=20,\qquad S_5=20+15=35.\]

Steg 7 — Presenter oversiktlig

n12345
\(a_n\)1361015
\(S_n\)14102035

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from itertools import accumulate

n_values = list(range(1, 6))
triangle_numbers = [n*(n + 1)//2 for n in n_values]
partial_sums = list(accumulate(triangle_numbers))

print("n-verdier:", n_values)
print("Trekanttall a_n:", triangle_numbers)
print("Summer S_n:", partial_sums)
print("S_5 kontroll:", sum(triangle_numbers))

n-verdier: [1, 2, 3, 4, 5]
Trekanttall a_n: [1, 3, 6, 10, 15]
Summer S_n: [1, 4, 10, 20, 35]
S_5 kontroll: 35

Fasit: \(a_1,\ldots,a_5=1,3,6,10,15\), og \(S_1,\ldots,S_5=1,4,10,20,35\).

Vanlig feil: Å forveksle trekanttallet \(a_n\) med summen \(S_n\). \(S_n\) summerer flere trekanttall.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt rekursiv oppbygging og at både a- og S-rekken oppgis tydelig.
Del 2 · Oppgave 5bAritmetisk rekke · trekanttall

Oppgave 5b

Oppgave:

Forklar at \(a_n=1+2+3+\cdots+n\). Bruk dette til å vise at

\[a_n=\frac{n(n+1)}{2}.\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi tolker det n-te trekanttallet som n rader og bruker sumformelen for den aritmetiske rekken 1 + 2 + ... + n.

Steg 1 — Tolk figuren

Den n-te trekantfiguren består av rader med 1, 2, 3, ..., n golfballer.

Steg 2 — Skriv summen

\[a_n=1+2+3+\cdots+n.\]

Steg 3 — Identifiser en aritmetisk rekke

Første ledd er \(a_1=1\), siste ledd er \(a_n=n\), og antall ledd er \(n\).

Steg 4 — Bruk sumformelen

For en aritmetisk rekke er summen antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd:

\[a_n=n\cdot\frac{1+n}{2}.\]

Steg 5 — Skriv standardformen

\[a_n=\frac{n(n+1)}{2}.\]

Steg 6 — Alternativ paringsforklaring

Skriver vi summen forlengs og baklengs, blir hvert par \(n+1\). Det er \(n\) par i den doble summen, så \(2a_n=n(n+1)\).

Steg 7 — Kontroller med n = 5

\[a_5=\frac{5\cdot6}{2}=15,\]

som stemmer med del a).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
Sum(j,j,1,n)
→\(\frac{n(n+1)}2\)

Tolkning: CAS bekrefter formelen, men forklaringen med aritmetisk rekke er selve begrunnelsen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, summation, simplify, factor

j, n = symbols('j n', integer=True, positive=True)
direct_sum = summation(j, (j, 1, n))
formula = n*(n + 1)/2
control = simplify(direct_sum - formula)

print("Symbolsk sum 1 + 2 + ... + n =", direct_sum)
print("Foreslått formel =", factor(formula))
print("Differanse =", control)
for value in range(1, 6):
    print(f"n = {value}: sum =", sum(range(1, value + 1)),
          "formel =", value*(value + 1)//2)

Symbolsk sum 1 + 2 + ... + n = n**2/2 + n/2
Foreslått formel = n*(n + 1)/2
Differanse = 0
n = 1: sum = 1 formel = 1
n = 2: sum = 3 formel = 3
n = 3: sum = 6 formel = 6
n = 4: sum = 10 formel = 10
n = 5: sum = 15 formel = 15

Fasit: \(\displaystyle a_n=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\).

Vanlig feil: Å bruke n+1 som antall ledd. Rekken fra 1 til n har n ledd.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både den geometriske tolkningen av radene og en gyldig algebraisk utledning av sumformelen.
Del 2 · Oppgave 5cPolynomregresjon · kubisk modell

Oppgave 5c

Oppgave:

Bruk regresjon på de fem første summene \(S_1,S_2,S_3,S_4,S_5\) til å finne et tredjegradsuttrykk for \(S_n\). Vis at tredjegradsuttrykket er en tilnærming av

\[S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}6.\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi legger inn datapunktene fra a), utfører tredjegradsregresjon og sammenligner koeffisientene med den faktoriserte formelen.

Steg 1 — Lag datapunktene

Fra a) har vi

\[(1,1),(2,4),(3,10),(4,20),(5,35).\]

Steg 2 — Velg tredjegradsmodell

\[S_n\approx an^3+bn^2+cn+d.\]

Steg 3 — Utfør regresjonen

GeoGebra gir, med avrundede desimaltall,

\[S_n\approx0{,}166667n^3+0{,}500000n^2+0{,}333333n+0.\]

Steg 4 — Gjenkjenn brøkene

\[0{,}166667\approx\frac16,\qquad0{,}5=\frac12,\qquad0{,}333333\approx\frac13.\]

Steg 5 — Skriv polynomet eksakt

\[S_n\approx\frac16n^3+\frac12n^2+\frac13n.\]

Steg 6 — Faktoriser uttrykket

\[\frac16n^3+\frac12n^2+\frac13n=\frac{n(n^2+3n+2)}6.\]

Steg 7 — Faktoriser andregradsuttrykket

\[n^2+3n+2=(n+1)(n+2).\]

Steg 8 — Sammenlign med ønsket formel

\[S_n\approx\frac{n(n+1)(n+2)}6.\]

Regresjonen treffer alle fem datapunktene nøyaktig innenfor numerisk avrunding.

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
L := {(1,1),(2,4),(3,10),(4,20),(5,35)}
→Datapunktene
2
p(x) := FitPoly(L,3)
→\(0.166667x^3+0.5x^2+0.333333x\)
3
Factor(p(x))
→\(x(x+1)(x+2)/6\)

Tolkning: Regresjonen gir avrundede koeffisienter; faktorformen avdekker de eksakte brøkene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
import numpy as np
from sympy import symbols, interpolate, factor, expand, simplify

n = symbols('n')
x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5], dtype=float)
y_data = np.array([1, 4, 10, 20, 35], dtype=float)
coefficients = np.polyfit(x_data, y_data, 3)
points = [(1, 1), (2, 4), (3, 10), (4, 20), (5, 35)]
exact_polynomial = expand(interpolate(points, n))
formula = n*(n + 1)*(n + 2)/6

print("Numeriske regresjonskoeffisienter [n^3, n^2, n, 1]:")
print(coefficients)
print("Eksakt interpolasjonspolynom:", exact_polynomial)
print("Faktorisert form:", factor(exact_polynomial))
print("Oppgitt formel:", formula)
print("Differanse:", simplify(exact_polynomial - formula))
print("Regresjonsverdier:", np.polyval(coefficients, x_data))

Numeriske regresjonskoeffisienter [n^3, n^2, n, 1]:
[1.66666667e-01 5.00000000e-01 3.33333333e-01 2.56221140e-14]
Eksakt interpolasjonspolynom: n**3/6 + n**2/2 + n/3
Faktorisert form: n*(n + 1)*(n + 2)/6
Oppgitt formel: n*(n + 1)*(n + 2)/6
Differanse: 0
Regresjonsverdier: [ 1.  4. 10. 20. 35.]

Fasit: \(\displaystyle S_n\approx\frac16n^3+\frac12n^2+\frac13n=\frac{n(n+1)(n+2)}6\).

Vanlig feil: Å tro at regresjon alene beviser formelen for alle n. Den viser bare at et kubisk uttrykk passer de fem datapunktene; generell gyldighet bevises i d).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt dataliste, tredjegradsregresjon, koeffisienter og algebraisk sammenligning med faktorformen.
Del 2 · Oppgave 5dInduksjonsbevis

Oppgave 5d

Oppgave:

Bruk induksjon til å bevise at formelen

\[S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}6\]

er riktig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjennomføre alle tre delene av et induksjonsbevis: grunntrinn, induksjonshypotese og induksjonssteg.

Steg 1 — Formuler påstanden

La \(P(n)\) være påstanden

\[S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac{n(n+1)(n+2)}6.\]

Steg 2 — Grunntrinn n = 1

Venstresiden er \(S_1=a_1=1\). Høyresiden er

\[\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.\]

Dermed er \(P(1)\) sann.

Steg 3 — Induksjonshypotese

Anta at formelen gjelder for et vilkårlig positivt heltall \(k\):

\[S_k=\frac{k(k+1)(k+2)}6.\]

Dette er en antakelse som bare brukes i induksjonssteget.

Steg 4 — Skriv S_{k+1}

Den neste summen er den forrige summen pluss det neste trekanttallet:

\[S_{k+1}=S_k+a_{k+1}.\]

Steg 5 — Finn det neste trekanttallet

Fra b) er

\[a_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)}2.\]

Steg 6 — Sett inn induksjonshypotesen

\[S_{k+1}=\frac{k(k+1)(k+2)}6+\frac{(k+1)(k+2)}2.\]

Steg 7 — Faktoriser uten å hoppe over mellomregningen

\[S_{k+1}=(k+1)(k+2)\left(\frac{k}{6}+\frac{3}{6}\right)\] \[=(k+1)(k+2)\frac{k+3}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}6.\]

Steg 8 — Sammenlign med formelen for k + 1

Når \(n=k+1\), er høyresiden i påstanden

\[\frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}6=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}6.\]

Dette er nøyaktig uttrykket vi fikk for \(S_{k+1}\).

Steg 9 — Induksjonskonklusjon

Vi har vist at \(P(1)\) er sann, og at \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\). Ved induksjonsprinsippet gjelder formelen for alle positive heltall \(n\).

GeoGebra / CAS-kontroll

GeoGebra · CAS
1
Simplify(k(k+1)(k+2)/6 + (k+1)(k+2)/2)
→\((k+1)(k+2)(k+3)/6\)

Tolkning: CAS kontrollerer algebraen i induksjonssteget, men selve bevisstrukturen må skrives eksplisitt.

Python-kontroll med SymPy

Python 3Kjørt kontroll
from sympy import symbols, simplify, factor

k = symbols('k', integer=True, positive=True)
S_k = k*(k + 1)*(k + 2)/6
a_k_plus_1 = (k + 1)*(k + 2)/2
S_k_plus_1_from_hypothesis = simplify(S_k + a_k_plus_1)
target = (k + 1)*(k + 2)*(k + 3)/6

print("Induksjonshypotese S_k =", S_k)
print("Neste trekanttall a_(k+1) =", a_k_plus_1)
print("S_(k+1) før faktorisering =", S_k + a_k_plus_1)
print("S_(k+1) forenklet =", factor(S_k_plus_1_from_hypothesis))
print("Måluttrykk =", target)
print("Differanse =", simplify(S_k_plus_1_from_hypothesis - target))
print("Grunntrinn n=1, høyreside =", (1*2*3)//6)

Induksjonshypotese S_k = k*(k + 1)*(k + 2)/6
Neste trekanttall a_(k+1) = (k + 1)*(k + 2)/2
S_(k+1) før faktorisering = k*(k + 1)*(k + 2)/6 + (k + 1)*(k + 2)/2
S_(k+1) forenklet = (k + 1)*(k + 2)*(k + 3)/6
Måluttrykk = (k + 1)*(k + 2)*(k + 3)/6
Differanse = 0
Grunntrinn n=1, høyreside = 1

Fasit: \(\displaystyle S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}6\) for alle \(n\in\mathbb N\), \(n\ge1\).

Vanlig feil: Å skrive at formelen «tydeligvis» gjelder for k+1 uten å legge til \(a_{k+1}\) og faktorisere helt fram til målet. Dette hullet i induksjonssteget koster ofte full uttelling.
Sensorpunkt: Sensor ser spesielt etter et korrekt grunntrinn, tydelig formulert hypotese og at induksjonssteget ender i nøyaktig formelen med n erstattet av k+1.

Sluttsjekk

Løsningsforslaget er utarbeidet for ifingo med mål om høy måloppnåelse i Matematikk R2.