R2 eksamenHøst 2022

Matematikk R2 eksamen – høst 2022

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2022 (K06)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1aDerivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x^3+\sin(\pi x)\).
Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynomledd og en sammensatt sinusfunksjon.

  1. Deriver polynomleddet
    \(\frac{d}{dx}x^3=3x^2\).
  2. Identifiser kjernen
    I \(\sin(\pi x)\) er kjernen \(u=\pi x\), med \(u\prime=\pi\).
  3. Bruk kjerneregelen
    \[\frac{d}{dx}\sin(\pi x)=\cos(\pi x)\cdot\pi\]
  4. Sett sammen leddene
    \[f\prime(x)=3x^2+\pi\cos(\pi x)\]
  5. Kontroller et enkelt punkt
    Ved \(x=0\) blir \(f\prime(0)=\pi\).
  6. Skriv endelig svar
    Begge leddene skal være med, og faktoren π må stå foran cosinus.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Derivative(x^3+sin(pi*x),x)
Resultat: \(3x^2+\pi\cos(\pi x)\)
Tolkning: CAS bekrefter både potensregelen og faktoren π fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, pi, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = x**3 + sin(pi*x)
derivative = diff(f, x)
expected = 3*x**2 + pi*cos(pi*x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", derivative)
print("Forventet form =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(derivative - expected))
print("Kontroll ved x=0 =", derivative.subs(x, 0))
assert simplify(derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftf(x) = x**3 + sin(pi*x)
f'(x) = 3*x**2 + pi*cos(pi*x)
Forventet form = 3*x**2 + pi*cos(pi*x)
Symbolsk kontroll = 0
Kontroll ved x=0 = pi

Fasit: \(f\prime(x)=3x^2+\pi\cos(\pi x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren π når sinusleddet deriveres.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig potensregel og en eksplisitt kjerneregel.
Del 1 / Oppgave 1bLogaritme og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\ln(2+\cos x)\).
Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en logaritme med en sammensatt indre funksjon.

  1. Sett opp logaritmeregelen
    For \(g(x)=\ln u(x)\) er \(g\prime(x)=u\prime(x)/u(x)\).
  2. Velg den indre funksjonen
    \(u(x)=2+\cos x\).
  3. Deriver den indre funksjonen
    \(u\prime(x)=-\sin x\).
  4. Sett inn i regelen
    \[g\prime(x)=\frac{-\sin x}{2+\cos x}\]
  5. Kontroller definisjonsområdet
    Siden \(2+\cos x\ge1\), er logaritmen definert for alle reelle x.
  6. Skriv svaret ryddig
    \[g\prime(x)=-\frac{\sin x}{2+\cos x}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Derivative(ln(2+cos(x)),x)
Resultat: \(-\sin x/(2+\cos x)\)
Tolkning: CAS bekrefter både nevneren og minustegnet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, log, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
g = log(2 + cos(x))
derivative = diff(g, x)
expected = -sin(x)/(2 + cos(x))
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", derivative)
print("Forventet form =", expected)
print("Kontroll =", simplify(derivative - expected))
print("Minste mulige logaritmeargument =", 1)
assert simplify(derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftg(x) = log(cos(x) + 2)
g'(x) = -sin(x)/(cos(x) + 2)
Forventet form = -sin(x)/(cos(x) + 2)
Kontroll = 0
Minste mulige logaritmeargument = 1

Fasit: \(g\prime(x)=-\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av cosinus er minus sinus.
Sensorpunkt: Sensor ser etter logaritmeregelen og korrekt indrederivert.
Del 1 / Oppgave 2aUbestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(\cos\frac{x}{2}-e^{-x}+1\right)\,dx\).
Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer hvert ledd separat og må håndtere kjernene x/2 og -x korrekt.

  1. Del opp integralet
    \[\int\cos(x/2)dx-\int e^{-x}dx+\int1\,dx\]
  2. Integrer cosinusleddet
    Siden den indre deriverte er \(1/2\), får vi \(2\sin(x/2)\).
  3. Integrer eksponentialleddet
    \(\int e^{-x}dx=-e^{-x}\), så minustegnet foran integralet gir \(+e^{-x}\).
  4. Integrer konstantleddet
    \(\int1\,dx=x\).
  5. Sett sammen
    \[2\sin(x/2)+e^{-x}+x+C\]
  6. Deriver tilbake
    Derivasjon gir \(\cos(x/2)-e^{-x}+1\), som er integranden.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Integral(cos(x/2)-exp(-x)+1,x)
Resultat: \(2\sin(x/2)+e^{-x}+x\)
Tolkning: CAS gir én stamfunksjon; den generelle løsningen inkluderer +C.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, cos, sin, exp, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = cos(x/2) - exp(-x) + 1
F = integrate(integrand, x)
expected = 2*sin(x/2) + exp(-x) + x
print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", F)
print("Forventet form =", expected)
print("Derivert tilbake =", diff(expected, x))
print("Kontroll =", simplify(diff(expected, x) - integrand))
assert simplify(diff(expected, x) - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = cos(x/2) + 1 - exp(-x)
Stamfunksjon fra SymPy = x + 2*sin(x/2) + exp(-x)
Forventet form = x + 2*sin(x/2) + exp(-x)
Derivert tilbake = cos(x/2) + 1 - exp(-x)
Kontroll = 0

Fasit: \(2\sin(x/2)+e^{-x}+x+C\).

Vanlig feil: Å skrive \(-e^{-x}\) i svaret og dermed miste det doble minustegnet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kompensering for begge indrederiverte og +C.
Del 1 / Oppgave 2bBestemt integral og delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin^2x\,dx\).
Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker identiteten for sin²x og viser at cosinusleddet ikke bidrar over intervallet.

  1. Bruk halvvinkelidentiteten
    \[\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\]
  2. Del integralet
    \[\frac12\int_0^\pi x\,dx-\frac12\int_0^\pi x\cos2x\,dx\]
  3. Beregn første integral
    \[\frac12\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^\pi=\frac{\pi^2}{4}\]
  4. Integrer det andre ved deler
    \[\int x\cos2x\,dx=\frac{x\sin2x}{2}+\frac{\cos2x}{4}\]
  5. Sett inn grensene
    Verdien av dette uttrykket er \(1/4-1/4=0\).
  6. Konkluder
    \[\int_0^\pi x\sin^2x\,dx=\frac{\pi^2}{4}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Integral(x*sin(x)^2,x,0,pi)
Resultat: \(\pi^2/4\)
Tolkning: CAS bekrefter den eksakte integralverdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, pi, integrate, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = x*sin(x)**2
value = integrate(integrand, (x, 0, pi))
expected = pi**2/4
auxiliary = integrate(x*__import__('sympy').cos(2*x), (x,0,pi))
print("Integrand =", integrand)
print("Integral av x*cos(2*x) fra 0 til pi =", auxiliary)
print("Bestemt integral =", value)
print("Forventet verdi =", expected)
print("Kontroll =", simplify(value - expected))
print("Desimalverdi =", value.evalf(12))
assert simplify(value - expected) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = x*sin(x)**2
Integral av x*cos(2*x) fra 0 til pi = 0
Bestemt integral = pi**2/4
Forventet verdi = pi**2/4
Kontroll = 0
Desimalverdi = 2.46740110027

Fasit: \(\displaystyle\frac{\pi^2}{4}\).

Vanlig feil: Å erstatte sin²x med \((1-\cos x)/2\) i stedet for \((1-\cos2x)/2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt identitet, grenseinnsetting og eksakt svar.
Del 1 / Oppgave 3aSeparerbar differensiallikning

Oppgave 3a

Oppgave: Løs differensiallikningen \(y\prime=\dfrac{2x^2}{y}\), \(y(0)=3\).
Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi separerer variablene, integrerer og bruker initialbetingelsen til å velge riktig gren.

  1. Separer variablene
    \[y\,dy=2x^2\,dx\]
  2. Integrer begge sider
    \[\frac{y^2}{2}=\frac{2x^3}{3}+C\]
  3. Multipliser med 2
    \[y^2=\frac{4x^3}{3}+C_1\]
  4. Bruk initialbetingelsen
    \(9=C_1\), fordi \(y(0)=3\).
  5. Velg fortegn
    \[y=\pm\sqrt{9+\frac{4x^3}{3}}\] og initialverdien krever den positive grenen.
  6. Oppgi løsningen
    \[y(x)=\sqrt{9+\frac{4x^3}{3}}\] på det maksimale intervallet rundt 0 der uttrykket er positivt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1SolveODE(y' = 2x^2 / y, (0, 3))
Resultat: \(y=\sqrt{9+4x^3/3}\)
Tolkning: CAS-løsningen kontrolleres både mot differensiallikningen og initialverdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify, Rational
x = symbols('x', real=True)
y = sqrt(9 + Rational(4,3)*x**3)
residual = simplify(diff(y, x) - 2*x**2/y)
print("Foreslått løsning y(x) =", y)
print("y'(x) =", diff(y, x))
print("Høyreside 2*x**2/y =", simplify(2*x**2/y))
print("ODE-residual =", residual)
print("Initialverdi y(0) =", y.subs(x, 0))
assert residual == 0
assert y.subs(x,0) == 3

Kjørt utskriftForeslått løsning y(x) = sqrt(4*x**3/3 + 9)
y'(x) = 2*x**2/sqrt(4*x**3/3 + 9)
Høyreside 2*x**2/y = 2*sqrt(3)*x**2/sqrt(4*x**3 + 27)
ODE-residual = 0
Initialverdi y(0) = 3

Fasit: \(y(x)=\sqrt{9+\frac{4}{3}x^3}\).

Vanlig feil: Å beholde begge kvadratrøttene selv om initialbetingelsen bestemmer den positive grenen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter separasjon, integrasjonskonstant og bruk av y(0)=3.
Del 1 / Oppgave 3bKontroll av differensiallikning

Oppgave 3b

Oppgave: Avgjør om \(y=2\sin(3x)+x\) er en løsning av \(y\prime\prime+9y=9x\).
Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer to ganger og setter uttrykkene inn i venstresiden.

  1. Deriver én gang
    \[y\prime=6\cos(3x)+1\]
  2. Deriver en gang til
    \[y\prime\prime=-18\sin(3x)\]
  3. Beregn 9y
    \[9y=18\sin(3x)+9x\]
  4. Legg sammen
    \[y\prime\prime+9y=-18\sin(3x)+18\sin(3x)+9x\]
  5. Forenkle
    \[y\prime\prime+9y=9x\]
  6. Konkluder
    Likheten gjelder for alle x, så funksjonen er en løsning.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Simplify(Derivative(2 sin(3x) + x, x, 2) + 9(2 sin(3x) + x))
Resultat: \(9x\)
Tolkning: CAS viser at differensen mellom venstresiden og 9x er identisk null.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
y = 2*sin(3*x) + x
y1 = diff(y, x)
y2 = diff(y, x, 2)
left_side = simplify(y2 + 9*y)
residual = simplify(left_side - 9*x)
print("y(x) =", y)
print("y'(x) =", y1)
print("y''(x) =", y2)
print("y'' + 9*y =", left_side)
print("Residual mot 9*x =", residual)
assert residual == 0

Kjørt utskrifty(x) = x + 2*sin(3*x)
y'(x) = 6*cos(3*x) + 1
y''(x) = -18*sin(3*x)
y'' + 9*y = 9*x
Residual mot 9*x = 0

Fasit: Ja. Funksjonen oppfyller \(y\prime\prime+9y=9x\) for alle x.

Vanlig feil: Å kontrollere bare én enkelt x-verdi; en løsning må oppfylle likningen identisk.
Sensorpunkt: Sensor ser etter andrederivert og full substitusjon.
Del 1 / Oppgave 4aAritmetisk rekke

Oppgave 4a

Oppgave: Bestem \(s_{100}\) når \(a_3=8\) og \(a_{23}=68\).
Original poengangivelse: Oppgave 4 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner differansen og førsteleddet før vi bruker sumformelen.

  1. Skriv leddformelen
    \(a_n=a_1+(n-1)d\).
  2. Bruk de to opplysningene
    \[a_1+2d=8,\qquad a_1+22d=68\]
  3. Trekk likningene fra hverandre
    \(20d=60\Rightarrow d=3\).
  4. Finn førsteleddet
    \(a_1=8-2\cdot3=2\).
  5. Bruk sumformelen
    \[s_{100}=\frac{100}{2}\bigl(2a_1+99d\bigr)\]
  6. Beregn
    \[s_{100}=50(4+297)=15050\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve({a1+2d=8,a1+22d=68},{a1,d})
Resultat: \(a_1=2,d=3\)
2100/2*(2*2+99*3)
Resultat: 15050
Tolkning: CAS bekrefter parameterne og summen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Eq, solve
from fractions import Fraction
a1, d = symbols('a1 d', real=True)
solution = solve([Eq(a1+2*d,8), Eq(a1+22*d,68)], [a1,d], dict=True)[0]
S100 = 100*(2*solution[a1] + 99*solution[d])/2
print("Likningsløsning =", solution)
print("a_1 =", solution[a1])
print("d =", solution[d])
print("a_100 =", solution[a1] + 99*solution[d])
print("s_100 =", S100)
assert S100 == 15050

Kjørt utskriftLikningsløsning = {a1: 2, d: 3}
a_1 = 2
d = 3
a_100 = 299
s_100 = 15050

Fasit: \(s_{100}=15050\).

Vanlig feil: Å tolke a23−a3 som 23 differanser; det er 20 differanser.
Sensorpunkt: Sensor ser etter d=3, a1=2 og korrekt sumformel.
Del 1 / Oppgave 4bAritmetisk rekke

Oppgave 4b

Oppgave: Bestem \(s_{20}\) når \(a_2=a_1+4\) og \(s_{10}=240\).
Original poengangivelse: Oppgave 4 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Opplysningen om a2 gir differansen direkte, og summen av de ti første bestemmer førsteleddet.

  1. Finn differansen
    Fordi \(a_2=a_1+d=a_1+4\), er \(d=4\).
  2. Bruk s10
    \[240=\frac{10}{2}(2a_1+9\cdot4)\]
  3. Forenkle likningen
    \[48=2a_1+36\]
  4. Finn førsteleddet
    \(a_1=6\).
  5. Sett inn i s20
    \[s_{20}=\frac{20}{2}(2\cdot6+19\cdot4)\]
  6. Beregn
    \[s_{20}=10(12+76)=880\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(10/2*(2a1+9*4)=240,a1)
Resultat: \(a_1=6\)
220/2*(2*6+19*4)
Resultat: 880
Tolkning: CAS bekrefter både førsteleddet og s20.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Eq, solve
a1 = symbols('a1', real=True)
d = 4
a1_value = solve(Eq(10*(2*a1 + 9*d)/2, 240), a1)[0]
S20 = 20*(2*a1_value + 19*d)/2
print("Differanse d =", d)
print("Løsning for a_1 =", a1_value)
print("Kontroll s_10 =", 10*(2*a1_value + 9*d)/2)
print("a_20 =", a1_value + 19*d)
print("s_20 =", S20)
assert a1_value == 6
assert S20 == 880

Kjørt utskriftDifferanse d = 4
Løsning for a_1 = 6
Kontroll s_10 = 240
a_20 = 82
s_20 = 880

Fasit: \(s_{20}=880\).

Vanlig feil: Å bruke 20d i stedet for 19d i sumformelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter d=4, a1=6 og korrekt s20.
Del 1 / Oppgave 5aTrigonometrisk modell

Oppgave 5a

Oppgave: Bestem et eksakt funksjonsuttrykk på formen \(f(x)=A\sin(cx+\varphi)+d\) som passer med grafen.
Original poengangivelse: Oppgave 5 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser amplitude, likevektslinje, periode og faseforskyvning fra de markerte punktene.

  1. Finn amplitude
    Maksimum er 3 og minimum er −5, så \(A=(3-(-5))/2=4\).
  2. Finn likevektslinjen
    \(d=(3+(-5))/2=-1\).
  3. Finn perioden
    Minimumspunktene ligger ved \(-\pi/6\) og \(11\pi/6\), en avstand \(2\pi\). Dermed er \(c=1\).
  4. Bruk maksimumspunktet
    Ved \(x=5\pi/6\) skal sinusargumentet være \(\pi/2\).
  5. Finn fasen
    \[\frac{5\pi}{6}+\varphi=\frac\pi2\Rightarrow\varphi=-\frac\pi3\]
  6. Skriv modellen
    \[f(x)=4\sin\left(x-\frac\pi3\right)-1\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1FitSin({(-2pi/3,-1),(-pi/6,-5),(pi/3,-1),(5pi/6,3),(11pi/6,-5)})
Resultat: \(4\sin(x-\pi/3)-1\)
24 sin(5pi/6-pi/3)-1
Resultat: 3
34 sin(-pi/6-pi/3)-1
Resultat: -5
Tolkning: De markerte punktene kontrollerer amplitude, fase og vertikal forskyvning.
Visualisering for Oppgave 5a
Kontrollgraf for funksjonsuttrykket som passer med de oppgitte punktene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, pi, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 4*sin(x - pi/3) - 1
points = [-2*pi/3, -pi/6, pi/3, 5*pi/6, 11*pi/6]
print("Modell f(x) =", f)
for value in points:
    print("f(", value, ") =", simplify(f.subs(x, value)))
print("Amplitude =", 4)
print("Likevektslinje =", -1)
print("Periode =", 2*pi)
assert simplify(f.subs(x,5*pi/6)-3) == 0
assert simplify(f.subs(x,-pi/6)+5) == 0

Kjørt utskriftModell f(x) = -4*cos(x + pi/6) - 1
f( -2*pi/3 ) = -1
f( -pi/6 ) = -5
f( pi/3 ) = -1
f( 5*pi/6 ) = 3
f( 11*pi/6 ) = -5
Amplitude = 4
Likevektslinje = -1
Periode = 2*pi

Fasit: Et mulig uttrykk er \(f(x)=4\sin(x-\pi/3)-1\).

Vanlig feil: Å bruke avstanden fra minimum til maksimum som hele perioden; den er bare en halv periode.
Sensorpunkt: Sensor ser etter amplitude 4, d=−1, periode 2π og riktig fase.
Del 1 / Oppgave 5bTrigonometrisk likning

Oppgave 5b

Oppgave: Løs \(\sin x-\sqrt3\cos x=0\), \(x\in[0,3\pi]\).
Original poengangivelse: Oppgave 5 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi omskriver likningen til en tangentlikning og finner alle løsninger i det lange intervallet.

  1. Flytt cosinusleddet
    \[\sin x=\sqrt3\cos x\]
  2. Kontroller cos x=0
    Når \(\cos x=0\), er \(\sin x=\pm1\), så ingen slike x løser originalen.
  3. Divider med cosinus
    \[\tan x=\sqrt3\]
  4. Skriv generell løsning
    \[x=\frac\pi3+k\pi\]
  5. Avgrens til intervallet
    For \(k=0,1,2\) får vi verdier i \([0,3\pi]\).
  6. List løsningene
    \[x=\frac\pi3,\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(sin(x)-sqrt(3)*cos(x)=0,0<=x<=3*pi)
Resultat: \(\pi/3,4\pi/3,7\pi/3\)
Tolkning: CAS-løsningen er filtrert til det oppgitte intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, sqrt, pi, Eq, solveset, Interval, FiniteSet, simplify
x = symbols('x', real=True)
solution_set = solveset(Eq(sin(x)-sqrt(3)*cos(x),0), x, domain=Interval(0,3*pi))
expected = FiniteSet(pi/3,4*pi/3,7*pi/3)
print("Intervall =", Interval(0,3*pi))
print("Løsningsmengde =", solution_set)
for value in sorted(solution_set, key=lambda z: float(z)):
    print("x =", value, " residual =", simplify(sin(value)-sqrt(3)*cos(value)))
assert solution_set == expected

Kjørt utskriftIntervall = Interval(0, 3*pi)
Løsningsmengde = {pi/3, 4*pi/3, 7*pi/3}
x = pi/3  residual = 0
x = 4*pi/3  residual = 0
x = 7*pi/3  residual = 0

Fasit: \(x\in\{\pi/3,4\pi/3,7\pi/3\}\).

Vanlig feil: Å gi bare x=π/3 og glemme periodisiteten på intervallet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter generell løsning og alle tre intervallverdier.
Del 1 / Oppgave 6aKuleflate

Oppgave 6a

Oppgave: Vis at \(S(2,-1,3)\) er sentrum, og bestem radiusen til \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z=11\).
Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi fullfører kvadratene i alle tre koordinatene.

  1. Samle x-leddene
    \(x^2-4x=(x-2)^2-4\).
  2. Samle y-leddene
    \(y^2+2y=(y+1)^2-1\).
  3. Samle z-leddene
    \(z^2-6z=(z-3)^2-9\).
  4. Sett inn
    \[(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2-14=11\]
  5. Flytt konstanten
    \[(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=25\]
  6. Les av sentrum og radius
    Sentrum er \((2,-1,3)\) og radius er \(\sqrt{25}=5\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Expand((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2)
Resultat: \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=25\)
Tolkning: CAS-bearbeidingen viser standardformen for en kuleflate.
Visualisering for Oppgave 6a
Kuleflaten med tangentplanet α og det parallelle planet β.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, expand, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
standard = (x-2)**2 + (y+1)**2 + (z-3)**2
original_left = x**2+y**2+z**2-4*x+2*y-6*z
print("Standardform venstreside =", standard)
print("Utvidet standardform =", expand(standard))
print("Original venstreside + 14 =", original_left + 14)
print("Kontroll =", simplify(standard-(original_left+14)))
print("Sentrum =", (2,-1,3))
print("Radius =", 5)
assert simplify(standard-(original_left+14)) == 0

Kjørt utskriftStandardform venstreside = (x - 2)**2 + (y + 1)**2 + (z - 3)**2
Utvidet standardform = x**2 - 4*x + y**2 + 2*y + z**2 - 6*z + 14
Original venstreside + 14 = x**2 - 4*x + y**2 + 2*y + z**2 - 6*z + 14
Kontroll = 0
Sentrum = (2, -1, 3)
Radius = 5

Fasit: Sentrum er \(S(2,-1,3)\), og radiusen er \(5\).

Vanlig feil: Å lese fortegnene i sentrum direkte fra de opprinnelige lineærleddene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter fullføring av kvadrater og standardform.
Del 1 / Oppgave 6bTangentplan til kule

Oppgave 6b

Oppgave: Planet \(\alpha\) tangerer kuleflaten i \(P(6,-4,3)\). Bestem en likning for \(\alpha\).
Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusvektoren fra sentrum til tangeringspunktet er normalvektor for tangentplanet.

  1. Finn radiusvektoren
    \[\overrightarrow{SP}=(6-2,-4+1,3-3)=(4,-3,0)\]
  2. Bruk den som normal
    En normalvektor til planet er \(\vec n=(4,-3,0)\).
  3. Bruk punkt-normal-form
    \[4(x-6)-3(y+4)+0(z-3)=0\]
  4. Utvid
    \[4x-24-3y-12=0\]
  5. Forenkle
    \[4x-3y-36=0\]
  6. Kontroller
    P ligger i planet, og avstanden fra S til planet er \(\frac{|4\cdot2-3(-1)-36|}{5}=5\), lik kulens radius.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1alpha = Plane((6,-4,3),(4,-3,0))
Resultat: \(4x-3y-36=0\)
2Distance((2,-1,3),alpha)
Resultat: 5
Tolkning: CAS bekrefter både punktet og riktig tangentavstand.
Visualisering for Oppgave 6b
Kuleflaten med tangentplanet α og det parallelle planet β.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import Matrix, symbols, Abs, sqrt, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
S = Matrix([2,-1,3]); P = Matrix([6,-4,3])
n = P-S
plane_at_P = simplify(4*P[0]-3*P[1]-36)
distance = Abs(4*S[0]-3*S[1]-36)/sqrt(4**2+(-3)**2)
print("Radiusvektor SP =", n.T)
print("Planlikning: 4*x - 3*y - 36 = 0")
print("Innsetting av P =", plane_at_P)
print("Avstand fra S til planet =", distance)
print("Kulens radius =", 5)
assert n == Matrix([4,-3,0])
assert plane_at_P == 0
assert distance == 5

Kjørt utskriftRadiusvektor SP = Matrix([[4, -3, 0]])
Planlikning: 4*x - 3*y - 36 = 0
Innsetting av P = 0
Avstand fra S til planet = 5
Kulens radius = 5

Fasit: \(\alpha:4x-3y-36=0\).

Vanlig feil: Å bruke punktet P som normalvektor i stedet for radiusvektoren SP.
Sensorpunkt: Sensor ser etter radiusvektor som normal og korrekt punktinnsetting.
Del 1 / Oppgave 6cLinje gjennom kule

Oppgave 6c

Oppgave: Linjen gjennom P og S skjærer kuleflaten i et annet punkt Q. Bestem Q.
Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? P og Q ligger på hver sin side av sentrum langs samme diameter.

  1. Bruk radiusvektoren
    \(\overrightarrow{SP}=(4,-3,0)\).
  2. Utnytt diameteren
    Fra S til det motsatte kulepunktet går vi like langt i motsatt retning.
  3. Finn motsatt radiusvektor
    \(\overrightarrow{SQ}=-(4,-3,0)=(-4,3,0)\).
  4. Beregn Q
    \[Q=S+\overrightarrow{SQ}=(2,-1,3)+(-4,3,0)\]
  5. Forenkle koordinatene
    \[Q=(-2,2,3)\]
  6. Kontroller kulelikningen
    Avstanden SQ er 5, og koordinatene gir 11 i den opprinnelige likningen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Reflect((6,-4,3),(2,-1,3))
Resultat: \((-2,2,3)\)
2Substitute(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z,{x=-2,y=2,z=3})
Resultat: sann
Tolkning: CAS-kontrollen viser at Q ligger på kulen og at S er midtpunkt av PQ.
Visualisering for Oppgave 6c
Kuleflaten med tangentplanet α og det parallelle planet β.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import Matrix, simplify
S = Matrix([2,-1,3]); P = Matrix([6,-4,3])
Q = 2*S - P
print("S =", S.T)
print("P =", P.T)
print("Q = 2*S - P =", Q.T)
print("Midtpunkt av P og Q =", ((P+Q)/2).T)
x,y,z = Q
sphere_value = simplify(x**2+y**2+z**2-4*x+2*y-6*z)
print("Venstreside i kulelikningen =", sphere_value)
assert Q == Matrix([-2,2,3])
assert sphere_value == 11

Kjørt utskriftS = Matrix([[2, -1, 3]])
P = Matrix([[6, -4, 3]])
Q = 2*S - P = Matrix([[-2, 2, 3]])
Midtpunkt av P og Q = Matrix([[2, -1, 3]])
Venstreside i kulelikningen = 11

Fasit: \(Q=(-2,2,3)\).

Vanlig feil: Å legge radiusvektoren til P enda en gang, som gir et punkt utenfor kulen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter diametersymmetri eller korrekt parameterløsning.
Del 1 / Oppgave 6dSnittsirkel i kule

Oppgave 6d

Oppgave: Et plan \(\beta\), parallelt med \(\alpha\), skjærer kulen i en sirkel. Avstanden fra \(\beta\) til Q er 3. Bestem sirkelradiusen.
Original poengangivelse: Oppgave 6 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner planet sin avstand fra sentrum og bruker en rettvinklet trekant i kulen.

  1. Bruk normalretningen
    Q ligger 5 enheter fra S i den negative normalretningen.
  2. Flytt 3 fra Q mot kulen
    Et parallelt plan som faktisk skjærer kulen, ligger 3 enheter fra Q mot S.
  3. Finn sentrumsavstanden
    Da er avstanden fra S til β \(5-3=2\).
  4. Sett opp Pytagoras
    Kulens radius 5, snittradius r og avstand 2 oppfyller \(r^2+2^2=5^2\).
  5. Løs
    \[r^2=25-4=21\]
  6. Konkluder
    \[r=\sqrt{21}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1sqrt(5^2-(5-3)^2)
Resultat: \(\sqrt{21}\)
Tolkning: Den andre parallellplasseringen tre enheter på utsiden av Q skjærer ikke kulen og forkastes.
Visualisering for Oppgave 6d
Kuleflaten med tangentplanet α og det parallelle planet β.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import sqrt, simplify
R = 5
distance_Q_to_plane = 3
distance_center_to_plane = R - distance_Q_to_plane
circle_radius = sqrt(R**2 - distance_center_to_plane**2)
print("Kulens radius =", R)
print("Avstand Q til beta =", distance_Q_to_plane)
print("Avstand S til beta =", distance_center_to_plane)
print("Snittradius =", circle_radius)
print("Kontroll r^2 + d^2 =", simplify(circle_radius**2 + distance_center_to_plane**2))
assert circle_radius == sqrt(21)
assert simplify(circle_radius**2 + distance_center_to_plane**2) == 25

Kjørt utskriftKulens radius = 5
Avstand Q til beta = 3
Avstand S til beta = 2
Snittradius = sqrt(21)
Kontroll r^2 + d^2 = 25

Fasit: Skjæringssirkelen har radius \(\sqrt{21}\).

Vanlig feil: Å bruke avstanden 3 direkte som avstand fra sentrum til planet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sentrumsavstand 2 og Pytagoras i kulen.
Del 1 / Oppgave 7aBestemt integral som funksjon

Oppgave 7a

Oppgave: Oline fikk \(a^3-\ln a+3a-3\) som svar på \(\int_1^a f(x)\,dx\), \(a\ge1\). Forklar hvorfor svaret ikke kan være riktig.
Original poengangivelse: Oppgave 7 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et bestemt integral med like grenser må være null.

  1. Sett a=1
    Når øvre og nedre grense begge er 1, er integralet \(\int_1^1 f(x)dx=0\).
  2. Evaluer Olines uttrykk
    \[1^3-\ln1+3\cdot1-3=1-0+3-3=1\]
  3. Sammenlign
    Olines uttrykk gir 1, men integralet må gi 0.
  4. Identifiser typen feil
    Deriverten av uttrykket kan fortsatt være riktig; feilen kan derfor ligge i konstantleddet.
  5. Bruk fundamentalteoremet
    En funksjon \(F(a)=\int_1^a f(x)dx\) må alltid oppfylle \(F(1)=0\).
  6. Konkluder
    Olines svar bryter denne nødvendige randbetingelsen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Substitute(a^3-ln(a)+3a-3,a=1)
Resultat: 1
Tolkning: CAS-innsettingen avslører umiddelbart motsigelsen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, log, simplify
a = symbols('a', positive=True)
oline = a**3 - log(a) + 3*a - 3
value_at_1 = simplify(oline.subs(a,1))
print("Olines uttrykk =", oline)
print("Verdien ved a=1 =", value_at_1)
print("Krav for integral fra 1 til 1 =", 0)
print("Avvik =", value_at_1 - 0)
assert value_at_1 == 1

Kjørt utskriftOlines uttrykk = a**3 + 3*a - log(a) - 3
Verdien ved a=1 = 1
Krav for integral fra 1 til 1 = 0
Avvik = 1

Fasit: Svaret kan ikke være riktig fordi det gir 1 ved \(a=1\), mens integralet må være 0.

Vanlig feil: Å kontrollere bare ved derivasjon; det oppdager ikke en feil integrasjonskonstant.
Sensorpunkt: Sensor ser etter innsetting av a=1 og begrunnelsen med like integrasjonsgrenser.
Del 1 / Oppgave 7bFundamentalteoremet

Oppgave 7b

Oppgave: Bestem \(f(x)\) når bare konstantleddet \((-3)\) i Olines svar er feil.
Original poengangivelse: Oppgave 7 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi retter konstanten og deriverer integralverdifunksjonen.

  1. Finn riktig konstant
    Vi trenger \(F(1)=0\): \(1-0+3+C=0\Rightarrow C=-4\).
  2. Skriv korrekt integraluttrykk
    \[F(a)=a^3-\ln a+3a-4\]
  3. Bruk fundamentalteoremet
    \[f(a)=F\prime(a)\]
  4. Deriver
    \[F\prime(a)=3a^2-\frac1a+3\]
  5. Bytt variabelnavn
    \[f(x)=3x^2-\frac1x+3\]
  6. Kontroller ved integrasjon
    \(\int_1^a f(x)dx=a^3-\ln a+3a-4\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Derivative(a^3-ln(a)+3a-4,a)
Resultat: \(3a^2-1/a+3\)
2Integral(3x^2-1/x+3,x,1,a)
Resultat: \(a^3-\ln a+3a-4\)
Tolkning: CAS bekrefter både deriverten og den korrigerte bestemte integralformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, log, diff, integrate, simplify
a, x = symbols('a x', positive=True)
F = a**3 - log(a) + 3*a - 4
f = 3*x**2 - 1/x + 3
recovered = integrate(f, (x,1,a))
print("Korrigert F(a) =", F)
print("F(1) =", simplify(F.subs(a,1)))
print("F'(a) =", diff(F,a))
print("f(x) =", f)
print("Integral fra 1 til a =", recovered)
print("Kontroll =", simplify(recovered-F))
assert simplify(F.subs(a,1)) == 0
assert simplify(recovered-F) == 0

Kjørt utskriftKorrigert F(a) = a**3 + 3*a - log(a) - 4
F(1) = 0
F'(a) = 3*a**2 + 3 - 1/a
f(x) = 3*x**2 + 3 - 1/x
Integral fra 1 til a = a**3 + 3*a - log(a) - 4
Kontroll = 0

Fasit: \(f(x)=3x^2-\dfrac1x+3\), for \(x\ge1\).

Vanlig feil: Å endre f når bare konstantleddet er feil; en konstant påvirker ikke deriverten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrigert konstant −4 og bruk av fundamentalteoremet.
Del 1 / Oppgave 8aOmdreiningsvolum

Oppgave 8a

Oppgave: Linjestykket OP går gjennom O og punktet \((2,3)\). Bestem h slik at omdreiningsvolumet om x-aksen blir \(48\pi\).
Original poengangivelse: Oppgave 8 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner linjens likning og integrerer kvadratet av radiusen.

  1. Finn stigningstallet
    Linjen går gjennom \((0,0)\) og \((2,3)\), så \(m=3/2\).
  2. Skriv radiusfunksjonen
    \[y=\frac32x\]
  3. Sett opp skivemetoden
    \[V=\pi\int_0^h\left(\frac32x\right)^2dx\]
  4. Integrer
    \[V=\frac{9\pi}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h=\frac{3\pi h^3}{4}\]
  5. Sett lik 48π
    \[\frac{3h^3}{4}=48\Rightarrow h^3=64\]
  6. Løs
    \[h=4\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(pi*Integral((3x/2)^2,x,0,h)=48*pi,h)
Resultat: 4
Tolkning: CAS-integralet gir samme kubikklikning og positiv løsning.
Visualisering for Oppgave 8a
Linjen gjennom O og (2,3) har stigning 3/2 og danner en kjegle ved rotasjon.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, pi, integrate, Eq, solve, simplify
x, h = symbols('x h', positive=True)
radius = 3*x/2
V = pi*integrate(radius**2, (x,0,h))
solutions = solve(Eq(V,48*pi), h)
print("Radiusfunksjon y(x) =", radius)
print("Volumfunksjon V(h) =", V)
print("Likning =", Eq(V,48*pi))
print("Positive løsninger =", solutions)
print("Kontroll V(4) =", simplify(V.subs(h,4)))
assert solutions == [4]
assert simplify(V.subs(h,4)-48*pi) == 0

Kjørt utskriftRadiusfunksjon y(x) = 3*x/2
Volumfunksjon V(h) = 3*pi*h**3/4
Likning = Eq(3*pi*h**3/4, 48*pi)
Positive løsninger = [4]
Kontroll V(4) = 48*pi

Fasit: \(h=4\).

Vanlig feil: Å bruke y=2x/3 i stedet for y=3x/2.
Sensorpunkt: Sensor ser etter radiusfunksjon, skiveintegral og positiv h-verdi.
Del 1 / Oppgave 8bBevis med integral

Oppgave 8b

Oppgave: Bruk et omdreiningslegeme til å bevise at volumet av en kjegle er \(V=\frac13\pi r^2h\).
Original poengangivelse: Oppgave 8 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi roterer linjen fra (0,0) til (h,r) og beregner volumet med skivemetoden.

  1. Finn linjens likning
    Linjen gjennom \((0,0)\) og \((h,r)\) er \(y=(r/h)x\).
  2. Tolk som radius
    Ved posisjon x har omdreiningsskiven radius \(y(x)=rx/h\).
  3. Sett opp volumet
    \[V=\pi\int_0^h\left(\frac{r}{h}x\right)^2dx\]
  4. Trekk konstanter ut
    \[V=\frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2dx\]
  5. Integrer
    \[V=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3}\]
  6. Forenkle
    \[V=\frac13\pi r^2h\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1pi*Integral((r*x/h)^2,x,0,h)
Resultat: \(\pi r^2h/3\)
Tolkning: CAS utfører det generelle integralet symbolsk.
Visualisering for Oppgave 8b
Linjen gjennom O og (2,3) har stigning 3/2 og danner en kjegle ved rotasjon.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, pi, integrate, simplify
x, r, h = symbols('x r h', positive=True)
y = r*x/h
V = pi*integrate(y**2, (x,0,h))
expected = pi*r**2*h/3
print("Generatrise y(x) =", y)
print("Skiveareal A(x) =", pi*y**2)
print("Volumintegral =", V)
print("Forventet kjegleformel =", expected)
print("Kontroll =", simplify(V-expected))
assert simplify(V-expected) == 0

Kjørt utskriftGeneratrise y(x) = r*x/h
Skiveareal A(x) = pi*r**2*x**2/h**2
Volumintegral = pi*h*r**2/3
Forventet kjegleformel = pi*h*r**2/3
Kontroll = 0

Fasit: \(V=\frac13\pi r^2h\).

Vanlig feil: Å bruke konstant radius r gjennom hele intervallet; da får man volumet av en sylinder.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en lineær radiusfunksjon og korrekt skiveintegral.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 / Oppgave 1aPlan gjennom tre punkter

Oppgave 1a

Oppgave: For \(A(2,-3,0)\), \(B(t,0,2t)\) og \(C(2,-3,t)\), vis at planet kan skrives \(3x+(2-t)y=3t\).
Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner to retningsvektorer i planet og en normalvektor ved kryssprodukt.

  1. Finn AB
    \[\overrightarrow{AB}=(t-2,3,2t)\]
  2. Finn AC
    \[\overrightarrow{AC}=(0,0,t)\]
  3. Ta kryssprodukt
    \[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=t(3,2-t,0)\]
  4. Velg normalvektor
    Siden \(t\ne0\), kan vi bruke \(\vec n=(3,2-t,0)\).
  5. Bruk punkt A
    \[3(x-2)+(2-t)(y+3)=0\]
  6. Forenkle
    \[3x+(2-t)y=3t\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Cross((t-2,3,2t),(0,0,t))
Resultat: \(t(3,2-t,0)\)
2Plane((2,-3,0),(t,0,2t),(2,-3,t))
Resultat: \(3x+(2-t)y=3t\)
Tolkning: CAS bekrefter normalretningen og den forenklede planlikningen.
Visualisering for Oppgave 1a
Pyramiden ABCT illustrert for én av t-verdiene som gir volum 10.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Matrix, factor, simplify
x, y, z, t = symbols('x y z t', real=True, nonzero=True)
A = Matrix([2,-3,0]); B = Matrix([t,0,2*t]); C = Matrix([2,-3,t])
AB = B-A; AC = C-A
cross = AB.cross(AC)
plane = 3*x + (2-t)*y - 3*t
print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("AB x AC =", cross.T)
print("Faktorisert kryssprodukt =", [factor(v) for v in cross])
print("Planresidual i A =", simplify(plane.subs({x:A[0],y:A[1]})))
print("Planresidual i B =", simplify(plane.subs({x:B[0],y:B[1]})))
print("Planresidual i C =", simplify(plane.subs({x:C[0],y:C[1]})))
assert cross == Matrix([3*t,-t*(t-2),0])

Kjørt utskriftAB = Matrix([[t - 2, 3, 2*t]])
AC = Matrix([[0, 0, t]])
AB x AC = Matrix([[3*t, -t*(t - 2), 0]])
Faktorisert kryssprodukt = [3*t, -t*(t - 2), 0]
Planresidual i A = 0
Planresidual i B = 0
Planresidual i C = 0

Fasit: Planet er \(3x+(2-t)y=3t\).

Vanlig feil: Å glemme at t≠0 når kryssproduktet forenkles ved å dele på t.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to planvektorer, kryssprodukt og punkt-normal-form.
Del 2 / Oppgave 1bRettvinklet trekant i rommet

Oppgave 1b

Oppgave: Avgjør om \(\triangle ABC\) er rettvinklet for noen verdier av \(t\ne0\).
Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kontrollerer skalarproduktet mellom sidevektorene ved hvert av de tre hjørnene.

  1. Vinkel ved A
    \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2t^2\ne0\) når \(t\ne0\).
  2. Vinkel ved C
    \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-t^2\ne0\).
  3. Vinkel ved B
    \[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3t^2-4t+13\]
  4. Undersøk andregradspolynomet
    Diskriminanten er \((-4)^2-4\cdot3\cdot13=-140<0\).
  5. Bestem fortegnet
    Ledende koeffisient er positiv, så uttrykket er alltid positivt.
  6. Konkluder
    Ingen av de tre vinklene kan være 90°, for noen tillatt t.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Dot((t-2,3,2t),(0,0,t))
Resultat: \(2t^2\)
2Dot((0,0,-t),(t-2,3,t))
Resultat: \(-t^2\)
3Dot((2-t,-3,-2t),(2-t,-3,-t))
Resultat: \(3t^2-4t+13\)
Tolkning: CAS viser at ingen skalarprodukt kan bli null for reell t≠0.
Visualisering for Oppgave 1b
Pyramiden ABCT illustrert for én av t-verdiene som gir volum 10.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Matrix, discriminant, solve, simplify
t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([2,-3,0]); B = Matrix([t,0,2*t]); C = Matrix([2,-3,t])
AB=B-A; AC=C-A; BA=A-B; BC=C-B; CA=A-C; CB=B-C
dot_A = simplify(AB.dot(AC))
dot_B = simplify(BA.dot(BC))
dot_C = simplify(CA.dot(CB))
print("Skalarprodukt ved A =", dot_A)
print("Skalarprodukt ved B =", dot_B)
print("Skalarprodukt ved C =", dot_C)
print("Diskriminant ved B =", discriminant(dot_B,t))
print("Reelle nullpunkter ved B =", solve(dot_B,t))
assert dot_A == 2*t**2
assert dot_C == -t**2
assert discriminant(dot_B,t) < 0

Kjørt utskriftSkalarprodukt ved A = 2*t**2
Skalarprodukt ved B = 3*t**2 - 4*t + 13
Skalarprodukt ved C = -t**2
Diskriminant ved B = -140
Reelle nullpunkter ved B = []

Fasit: Nei. Trekanten er ikke rettvinklet for noen \(t\ne0\).

Vanlig feil: Å kontrollere bare én av de tre vinklene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skalarprodukt ved alle mulige rettvinkelhjørner.
Del 2 / Oppgave 1cPyramidevolum

Oppgave 1c

Oppgave: Punktene A, B, C og \(T(1,-3,1)\) danner en pyramide. Bestem t slik at volumet er 10.
Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Volumet av et tetraeder er absoluttverdien av et trippelprodukt dividert med 6.

  1. Velg tre vektorer fra A
    \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AT}=(-1,0,1)\).
  2. Bruk determinantformelen
    \[V=\frac16\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AT})\right|\]
  3. Beregn determinanten
    \[\det=-3t\]
  4. Finn volumfunksjonen
    \[V=\frac{|t|}{2}\]
  5. Sett volumet lik 10
    \[\frac{|t|}{2}=10\Rightarrow|t|=20\]
  6. Skriv begge løsninger
    \[t=-20\quad\text{eller}\quad t=20\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1abs(Determinant({{t-2,0,-1},{3,0,0},{2t,t,1}}))/6
Resultat: \(|t|/2\)
2Solve(abs(t)/2=10,t)
Resultat: \(t=\pm20\)
Tolkning: CAS bekrefter determinanten og begge mulige fortegn.
Visualisering for Oppgave 1c
Pyramiden ABCT illustrert for én av t-verdiene som gir volum 10.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Matrix, Abs, Eq, solve, simplify
t = symbols('t', real=True)
AB = Matrix([t-2,3,2*t]); AC = Matrix([0,0,t]); AT = Matrix([-1,0,1])
determinant = Matrix.hstack(AB,AC,AT).det()
volume = Abs(determinant)/6
solutions = solve(Eq(t**2,400),t)
print("Determinant =", determinant)
print("Volum V(t) =", volume)
print("Likning |t|/2 = 10")
print("Løsninger =", solutions)
for sol in solutions:
    print("t =", sol, " gir volum =", volume.subs(t,sol))
assert simplify(determinant + 3*t) == 0
assert solutions == [-20,20]

Kjørt utskriftDeterminant = -3*t
Volum V(t) = Abs(t)/2
Likning |t|/2 = 10
Løsninger = [-20, 20]
t = -20  gir volum = 10
t = 20  gir volum = 10

Fasit: \(t=-20\) eller \(t=20\).

Vanlig feil: Å droppe absoluttverdien og dermed miste løsningen t=−20.
Sensorpunkt: Sensor ser etter trippelprodukt og begge fortegn.
Del 2 / Oppgave 2aTolkning av differensiallikning

Oppgave 2a

Oppgave: Bedriften modellerer antall ansatte med \(A\prime=0{,}1A-1\), og har i dag 158 ansatte. Hvilke antagelser ligger bak modellen?
Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi tolker hvert ledd som en kontinuerlig endringsrate.

  1. Tolk 0,1A
    Bedriften antar en vekst/tilsetting som til enhver tid er proporsjonal med antall ansatte.
  2. Tolk prosentsatsen
    Proporsjonalitetskonstanten 0,1 tilsvarer en kontinuerlig årlig vekstrate på 10 % før fratrekk.
  3. Tolk −1
    Samtidig antar modellen et konstant nettotap på én ansatt per år.
  4. Anta konstante parametere
    Både 0,1 og −1 antas å være uendret over perioden.
  5. Anta kontinuerlig modell
    Ansattallet behandles som en kontinuerlig størrelse, selv om personer i virkeligheten telles heltallig.
  6. Ta med initialverdien
    Modellen må suppleres med \(A0 = 158=158\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1SlopeField(0.1y-1)
Resultat: Likevektsnivå ved A=10
2A0 = 158
Resultat: 158
Tolkning: Det digitale retningsfeltet viser positiv vekst for alle A>10.
Visualisering for Oppgave 2a
Modellen passerer 400 ansatte etter omtrent 9,69 år.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Function, Eq
t = symbols('t', real=True)
A = Function('A')
rate = 0.1*A(t) - 1
print("Differensiallikning:", Eq(A(t).diff(t), rate))
print("Initialverdi: A0 = 158 =", 158)
print("Proporsjonal vekstledd = 0.1*A")
print("Konstant fratrekk = 1 ansatt per år")
print("Likevektsnivå løser 0.1*A-1=0, altså A =", 10)
assert abs(0.1*10-1) < 1e-12

Kjørt utskriftDifferensiallikning: Eq(Derivative(A(t), t), 0.1*A(t) - 1)
Initialverdi: A0 = 158 = 158
Proporsjonal vekstledd = 0.1*A
Konstant fratrekk = 1 ansatt per år
Likevektsnivå løser 0.1*A-1=0, altså A = 10

Fasit: Modellen antar kontinuerlig 10 % proporsjonal vekst, et konstant tap på én ansatt per år, konstante parametere og \(A0 = 158=158\).

Vanlig feil: Å tolke −1 som minus én prosent; leddet har enheten ansatte per år.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tolkning av begge ledd og initialverdien.
Del 2 / Oppgave 2bLineær differensiallikning

Oppgave 2b

Oppgave: Avgjør om bedriften kan bli mer enn 400 ansatte i løpet av 10 år.
Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser initialverdiproblemet og finner både A(10) og tidspunktet da A passerer 400.

  1. Finn likevektsløsningen
    Konstant løsning er \(A=10\).
  2. Løs homogen del
    \(A_h=Ce^{0{,}1t}\).
  3. Skriv generell løsning
    \[A(t)=10+Ce^{0{,}1t}\]
  4. Bruk A0 = 158=158
    \(158=10+C\Rightarrow C=148\).
  5. Beregn A(10)
    \[A(10)=10+148e\approx412{,}3\]
  6. Finn passeringstid
    \[10+148e^{0{,}1t}=400\Rightarrow t=10\ln(390/148)\approx9{,}69\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1SolveODE(y' = 0.1y - 1, (0, 158))
Resultat: \(A=10+148e^{0.1t}\)
2NSolve(10+148 exp(0.1t)=400,t)
Resultat: \(t\approx9.689\)
Tolkning: CAS viser at 400 passeres før ti år, og A(10)>400.
Visualisering for Oppgave 2b
Modellen passerer 400 ansatte etter omtrent 9,69 år.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, exp, log, N, simplify
t = symbols('t', real=True)
A = 10 + 148*exp(t/10)
t_cross = 10*log(390/148)
print("Løsning A(t) =", A)
print("A0 = 158 =", A.subs(t,0))
print("A(10) =", N(A.subs(t,10),15))
print("Tid når A=400 =", N(t_cross,15), "år")
print("Kontroll A(t_cross) =", N(A.subs(t,t_cross),15))
print("Er passeringstiden mindre enn 10?", bool(t_cross < 10))
assert simplify(A.subs(t,0)-158) == 0
assert abs(float(A.subs(t,t_cross))-400) < 1e-10

Kjørt utskriftLøsning A(t) = 148*exp(t/10) + 10
A0 = 158 = 158
A(10) = 412.305710611939
Tid når A=400 = 9.68934465359577 år
Kontroll A(t_cross) = 400.000000000000
Er passeringstiden mindre enn 10? True

Fasit: Ja. Modellen passerer 400 etter omtrent \(9{,}69\) år og gir \(A(10)\approx412{,}3\).

Vanlig feil: Å bruke en diskret 10 %-modell direkte; oppgaven gir en kontinuerlig differensiallikning.
Sensorpunkt: Sensor ser etter løst initialverdiproblem og en tydelig tidskonklusjon.
Del 2 / Oppgave 3aGeometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave: Første halvkvadrat har samlet sidelengde 24, og hver ny figur skaleres med \(3/4\). Bestem summen for de fire første.
Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Den samlede sidelengden per halvkvadrat danner en geometrisk rekke.

  1. Identifiser førsteledd
    \(a_1=24\).
  2. Identifiser kvotient
    Alle lineære mål skaleres med \(q=3/4\), så også summen av sidelengdene.
  3. Skriv de fire leddene
    \[24,\ 18,\ 13{,}5,\ 10{,}125\]
  4. Bruk sumformelen
    \[S_4=24\frac{1-(3/4)^4}{1-3/4}\]
  5. Forenkle eksakt
    \[S_4=96\left(1-\frac{81}{256}\right)=\frac{525}{8}\]
  6. Oppgi desimal
    \[S_4=65{,}625\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Sum(24*(3/4)^k,k,0,3)
Resultat: \(525/8=65.625\)
Tolkning: CAS bekrefter både brøk og desimalverdi.
Visualisering for Oppgave 3a
Hvert nytt halvkvadrat er en skalafaktor 3/4 av det forrige.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import Rational, summation, symbols, simplify
k = symbols('k', integer=True, nonnegative=True)
q = Rational(3,4)
S4 = summation(24*q**k, (k,0,3))
terms = [24*q**i for i in range(4)]
print("Første fire ledd =", terms)
print("S_4 =", S4)
print("Desimalverdi =", float(S4))
print("Sumformelkontroll =", simplify(S4-24*(1-q**4)/(1-q)))
assert S4 == Rational(525,8)

Kjørt utskriftFørste fire ledd = [24, 18, 27/2, 81/8]
S_4 = 525/8
Desimalverdi = 65.625
Sumformelkontroll = 0

Fasit: \(S_4=\frac{525}{8}=65{,}625\).

Vanlig feil: Å bruke arealkvotienten 9/16 i en oppgave om sidelengder.
Sensorpunkt: Sensor ser etter førsteledd 24, kvotient 3/4 og korrekt fireleddet sum.
Del 2 / Oppgave 3bGeometrisk sum og ulikhet

Oppgave 3b

Oppgave: Hvor mange halvkvadrater trengs minst for at den samlede sidelengden skal bli større enn 90?
Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser en ulikhet for den geometriske delsummen og kontrollerer naboverdiene.

  1. Skriv delsummen
    \[S_n=24\frac{1-(3/4)^n}{1/4}=96\left(1-(3/4)^n\right)\]
  2. Sett opp ulikheten
    \[96(1-(3/4)^n)>90\]
  3. Forenkle
    \[(3/4)^n<1/16\]
  4. Bruk logaritmer
    \[n>\frac{\ln(1/16)}{\ln(3/4)}\approx9{,}638\]
  5. Velg minste heltall
    \(n=10\).
  6. Kontroller
    \(S_9\approx88{,}79<90\), mens \(S_{10}\approx90{,}59>90\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(96*(1-(3/4)^n)>90,n)
Resultat: \(n>9.63768\)
296*(1-(3/4)^10)
Resultat: \(90.5939\)
Tolkning: Numerisk kontroll av n=9 og n=10 bekrefter minimumet.
Visualisering for Oppgave 3b
Den samlede sidelengden passerer 90 ved n=10 og nærmer seg 96.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import Rational, log, N
q = Rational(3,4)
threshold = log(Rational(1,16))/log(q)
def S(n):
    return 96*(1-q**n)
print("Logaritmisk grense for n =", N(threshold,15))
print("S_9 =", N(S(9),15))
print("96*(1-(3/4)^10) =", N(S(10),15))
minimum = next(n for n in range(1,100) if S(n) > 90)
print("Minste heltall n =", minimum)
assert minimum == 10
assert S(9) < 90 < S(10)

Kjørt utskriftLogaritmisk grense for n = 9.63768335861284
S_9 = 88.7918701171875
96*(1-(3/4)^10) = 90.5939025878906
Minste heltall n = 10

Fasit: Minst \(10\) halvkvadrater.

Vanlig feil: Å runde 9,638 ned til 9; ulikheten krever et heltall større enn grensen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter ulikhet, logaritme og nabokontroll.
Del 2 / Oppgave 3cGeometrisk rekke og skalering

Oppgave 3c

Oppgave: Bestem sidelengdene i det første halvkvadratet når summen av sidelengdene i de 20 første skal være 120.
Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først den samlede sidelengden i første figur og bruker at et halvkvadrat har sideforhold 2:1.

  1. La L være første samlede sidelengde
    For den tegnede halve kvadratformen består den av to korte sider a og én lang side 2a, slik at \(L=4a\).
  2. Skriv S20
    \[120=L\frac{1-(3/4)^{20}}{1-3/4}\]
  3. Løs for L
    \[L=\frac{30}{1-(3/4)^{20}}\approx30{,}09544\]
  4. Finn kortsidene
    \[a=L/4\approx7{,}52386\]
  5. Finn langsiden
    \[2a=L/2\approx15{,}04772\]
  6. Kontroller
    De tre tegnede sidene summerer til \(a+2a+a=4a=L\), og den geometriske 20-leddssummen blir 120.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(L*(1-(3/4)^20)/(1-3/4)=120,L)
Resultat: \(L=30/(1-(3/4)^{20})\)
Tolkning: CAS beregner både første totalsum og de to sidelengdene.
Visualisering for Oppgave 3c
Hvert nytt halvkvadrat er en skalafaktor 3/4 av det forrige.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import Rational, N, simplify
q = Rational(3,4)
L = 30/(1-q**20)
short_side = L/4
long_side = L/2
S20 = L*(1-q**20)/(1-q)
print("Samlet sidelengde i første halvkvadrat L =", N(L,15))
print("Hver kortside a =", N(short_side,15))
print("Langside 2a =", N(long_side,15))
print("Kontroll a+2a+a =", N(4*short_side,15))
print("Kontroll S_20 =", simplify(S20))
assert simplify(S20-120) == 0

Kjørt utskriftSamlet sidelengde i første halvkvadrat L = 30.0954390155135
Hver kortside a = 7.52385975387836
Langside 2a = 15.0477195077567
Kontroll a+2a+a = 30.0954390155135
Kontroll S_20 = 120

Fasit: Kortsidene må være ca. \(7{,}524\), og langsiden ca. \(15{,}048\).

Vanlig feil: Å tolke 120 som førsteledd i stedet for summen av 20 ledd.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sumformel, første total L og geometrisk sideforhold.
Del 2 / Oppgave 3dUendelig geometrisk arealrekke

Oppgave 3d

Oppgave: Første halvkvadrat har areal 72. Bestem summen av arealene for uendelig mange halvkvadrater.
Original poengangivelse: Oppgave 3 (8 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Når lengder skaleres med 3/4, skaleres arealene med kvadratet av denne faktoren.

  1. Finn arealkvotienten
    \[q_A=(3/4)^2=9/16\]
  2. Kontroller konvergens
    \(|9/16|<1\), så den uendelige rekken konvergerer.
  3. Bruk sumformelen
    \[S_\infty=\frac{72}{1-9/16}\]
  4. Forenkle nevneren
    \[1-9/16=7/16\]
  5. Beregn
    \[S_\infty=72\cdot\frac{16}{7}=\frac{1152}{7}\]
  6. Oppgi tilnærming
    \[S_\infty\approx164{,}57\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
172/(1-(3/4)^2)
Resultat: \(1152/7\)
Tolkning: CAS bekrefter den konvergente uendelige summen.
Visualisering for Oppgave 3d
Hvert nytt halvkvadrat er en skalafaktor 3/4 av det forrige.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import Rational, simplify, N
length_ratio = Rational(3,4)
area_ratio = length_ratio**2
S_inf = 72/(1-area_ratio)
print("Lengdekvotient =", length_ratio)
print("Arealkvotient =", area_ratio)
print("Uendelig arealsum =", S_inf)
print("Desimalverdi =", N(S_inf,15))
print("Kontroll (1-q)*S =", simplify((1-area_ratio)*S_inf))
assert S_inf == Rational(1152,7)

Kjørt utskriftLengdekvotient = 3/4
Arealkvotient = 9/16
Uendelig arealsum = 1152/7
Desimalverdi = 164.571428571429
Kontroll (1-q)*S = 72

Fasit: \(S_\infty=\frac{1152}{7}\approx164{,}57\).

Vanlig feil: Å bruke 3/4 som arealkvotient; areal skaleres med kvadratet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter q=9/16 og korrekt uendelig sum.
Del 2 / Oppgave 4aOmdreiningsvolum

Oppgave 4a

Oppgave: For \(f(x)=2\sin(x+\pi/6)+5\), \(x\in[0,2\pi]\), bestem volumet når grafen roteres om x-aksen.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker skivemetoden og utnytter integraler over en hel periode.

  1. Sett opp skiveintegralet
    \[V=\pi\int_0^{2\pi}f(x)^2dx\]
  2. Kvadrer funksjonen
    \[f^2=25+20\sin(x+\pi/6)+4\sin^2(x+\pi/6)\]
  3. Integrer sinusleddet
    Over en hel periode er integralet av sinus lik 0.
  4. Integrer sin²-leddet
    Over en hel periode er \(\int_0^{2\pi}\sin^2(x+\pi/6)dx=\pi\).
  5. Finn integralet av f²
    \[25\cdot2\pi+4\pi=54\pi\]
  6. Multipliser med π
    \[V=54\pi^2\ \text{dm}^3\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1pi*Integral((2*sin(x+pi/6)+5)^2,x,0,2*pi)
Resultat: \(54\pi^2\)
Tolkning: CAS utfører kvadreringen og integralet eksakt.
Visualisering for Oppgave 4a
Omdreiningslegemet som oppstår når f roteres rundt x-aksen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, pi, integrate, expand_trig, simplify, N
x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(x+pi/6) + 5
integral_f2 = integrate(f**2, (x,0,2*pi))
V = pi*integral_f2
print("f(x) =", f)
print("Integral av f(x)^2 =", integral_f2)
print("Volum V =", V)
print("Desimalverdi =", N(V,15), "dm^3")
print("Kontroll mot 54*pi^2 =", simplify(V-54*pi**2))
assert simplify(V-54*pi**2) == 0

Kjørt utskriftf(x) = 2*sin(x + pi/6) + 5
Integral av f(x)^2 = 54*pi
Volum V = 54*pi**2
Desimalverdi = 532.958637658825 dm^3
Kontroll mot 54*pi^2 = 0

Fasit: \(V=54\pi^2\ \text{dm}^3\).

Vanlig feil: Å integrere f(x) i stedet for πf(x)².
Sensorpunkt: Sensor ser etter skivemetoden, kvadrert radius og korrekt enhet.
Del 2 / Oppgave 4bKjegle i omdreiningslegeme

Oppgave 4b

Oppgave: Avgjør om en kjegle med samme høyde som krukken og radius 5 dm får plass når spissen treffer bunnen.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kjegleradiusen øker lineært fra 0 ved x=0 til 5 ved x=2π, og må være mindre enn krukkeradiusen overalt.

  1. Skriv kjegleprofilen
    \[g(x)=\frac{5}{2\pi}x\]
  2. Finn krukkens minimum
    \(f(x)\) har minimum 3 når \(x+\pi/6=3\pi/2\), altså ved \(x=4\pi/3\).
  3. Beregn kjegleradiusen der
    \[g(4\pi/3)=\frac5{2\pi}\cdot\frac{4\pi}{3}=\frac{10}{3}\]
  4. Sammenlign
    \[\frac{10}{3}>3=f(4\pi/3)\]
  5. Tolk geometrisk
    Kjeglen stikker gjennom krukkeveggen rundt det smaleste partiet.
  6. Konkluder
    Kjeglen med radius 5 får ikke plass.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1g(x)=5x/(2pi)
Resultat: Lineær kjegleprofil
25*(4pi/3)/(2pi)-(2sin(4pi/3+pi/6)+5)
Resultat: \(1/3>0\)
Tolkning: Et positivt profilavvik betyr at kjeglen er bredere enn krukken.
Visualisering for Oppgave 4b
Kjeglen med radius 5 blir for bred nær x=4π/3.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, pi, simplify, Rational
x = symbols('x', real=True)
f = 2*sin(x+pi/6) + 5
g = 5*x/(2*pi)
x_test = 4*pi/3
print("Krukkeprofil f(x) =", f)
print("Kjegleprofil g(x) =", g)
print("Testpunkt x =", x_test)
print("f(4*pi/3) =", simplify(f.subs(x,x_test)))
print("g(4*pi/3) =", simplify(g.subs(x,x_test)))
print("Avvik g-f =", simplify((g-f).subs(x,x_test)))
assert simplify(f.subs(x,x_test)) == 3
assert simplify((g-f).subs(x,x_test)) == Rational(1,3)

Kjørt utskriftKrukkeprofil f(x) = 2*sin(x + pi/6) + 5
Kjegleprofil g(x) = 5*x/(2*pi)
Testpunkt x = 4*pi/3
f(4*pi/3) = 3
g(4*pi/3) = 10/3
Avvik g-f = 1/3

Fasit: Nei. Ved \(x=4\pi/3\) er kjegleradiusen \(10/3\), mens krukkeradiusen bare er 3.

Vanlig feil: Å sammenligne bare radiusene ved krukkens åpning. Kjeglen må få plass i hvert tverrsnitt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en lineær kjegleprofil og minst ett presist moteksempel.
Del 2 / Oppgave 4cNumerisk optimering og tangent

Oppgave 4c

Oppgave: Bestem den største radiusen en kjegle med høyde \(2\pi\) kan ha og fortsatt få plass i krukken.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer slutt-radiusen R under kravet om at den lineære kjegleprofilen aldri overstiger f.

  1. Skriv profilkravet
    \[\frac{R}{2\pi}x\le f(x)\quad(0<x\le2\pi)\]
  2. Isoler R
    \[R\le\frac{2\pi f(x)}{x}\]
  3. Formuler maksimumet
    Den største mulige radiusen er minimumsverdien til \(H(x)=2\pi f(x)/x\).
  4. Finn kritisk betingelse
    \[H\prime(x)=0\Longleftrightarrow xf\prime(x)-f(x)=0\]
  5. Løs numerisk
    Likningen \(2x\cos(x+\pi/6)-2\sin(x+\pi/6)-5=0\) gir \(x\approx4{,}53980\).
  6. Beregn radiusen
    \[R_{\max}=\frac{2\pi f(x)}x\approx4{,}32085\ \text{dm}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1NSolve(2x*cos(x+pi/6)-(2sin(x+pi/6)+5)=0,x)
Resultat: \(x\approx4.53980\)
2Substitute(2pi*(2sin(x+pi/6)+5)/x,x=4.539795546)
Resultat: \(R\approx4.32085\)
Tolkning: Den optimale kjeglelinjen tangerer krukkeprofilen i det kritiske punktet.
Visualisering for Oppgave 4c
Den største kjeglen tangerer krukkeprofilen i ett kritisk punkt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, pi, diff, nsolve, N
x = symbols('x', positive=True)
f = 2*sin(x+pi/6) + 5
H = 2*pi*f/x
condition = x*diff(f,x) - f
x_star = nsolve(condition, 4.5)
R_star = H.subs(x,x_star)
print("Krukkeprofil f(x) =", f)
print("Radiusgrense H(x) =", H)
print("Tangentbetingelse x*f'(x)-f(x) =", condition)
print("Kontaktpunkt x* =", N(x_star,16))
print("f(x*) =", N(f.subs(x,x_star),16))
print("Største radius R* =", N(R_star,16), "dm")
print("Kontroll H'(x*) =", N(diff(H,x).subs(x,x_star),12))
assert abs(float(diff(H,x).subs(x,x_star))) < 1e-10
assert abs(float(R_star)-4.320846311985448) < 1e-10

Kjørt utskriftKrukkeprofil f(x) = 2*sin(x + pi/6) + 5
Radiusgrense H(x) = 2*pi*(2*sin(x + pi/6) + 5)/x
Tangentbetingelse x*f'(x)-f(x) = 2*x*cos(x + pi/6) - 2*sin(x + pi/6) - 5
Kontaktpunkt x* = 4.539795546353742
f(x*) = 3.121944982462359
Største radius R* = 4.320846311985448 dm
Kontroll H'(x*) = -7.15593866978e-16

Fasit: Den største radiusen er omtrent \(4{,}321\ \text{dm}\).

Vanlig feil: Å anta at begrensningen alltid oppstår nøyaktig ved minimumspunktet til f; kjegleradiusen varierer også med x.
Sensorpunkt: Sensor ser etter globalt profilkrav, tangentbetingelse og dokumentert numerisk løsning.