R2 eksamenHøst 2020

Matematikk R2 eksamen – høst 2020

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2020

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1aKjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=\sin(2x)+\pi\).
Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Konstanten \(\pi\) får derivert lik 0.

  1. Identifiser kjernen
    Sett \(u=2x\). Da er \(u\prime=2\).
  2. Deriver sinus
    Den deriverte av \(\sin u\) er \(\cos u\).
  3. Bruk kjerneregelen
    \(\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)\).
  4. Deriver konstanten
    \(\frac{d}{dx}\pi=0\).
  5. Samle resultatet
    \[f\prime(x)=2\cos(2x)\]
  6. Kontroller et punkt
    Ved \(x=0\) får vi \(f\prime(0)=2\), som stemmer med den lokale stigningen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Derivative(sin(2x)+pi,x)
Resultat: \(2\cos(2x)\)
Tolkning: CAS bekrefter faktoren 2 fra kjerneregelen og at konstanten forsvinner.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, pi, diff, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
f = sin(2*x) + pi
derivative = diff(f, x)
expected = 2*cos(2*x)

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", derivative)
print("Forventet uttrykk =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(derivative - expected))
print("f'(0) =", derivative.subs(x, 0))
print("Numerisk f'(pi/8) =", N(derivative.subs(x, pi/8), 12))

assert simplify(derivative - expected) == 0

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = sin(2*x) + pi
Derivert f'(x) = 2*cos(2*x)
Forventet uttrykk = 2*cos(2*x)
Symbolsk kontroll = 0
f'(0) = 2
Numerisk f'(pi/8) = 1.41421356237

Fasit: \(f\prime(x)=2\cos(2x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 fra kjerneregelen eller å beholde \(\pi\) i den deriverte.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel og behandling av konstantleddet.
Del 1 / Oppgave 1bProduktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x\cos^2x\).
Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt, og faktoren \(\cos^2x\) er sammensatt. Vi kombinerer produktregelen og kjerneregelen.

  1. Del produktet
    Sett \(u=x\) og \(v=(\cos x)^2\).
  2. Deriver første faktor
    \(u\prime=1\).
  3. Deriver andre faktor
    \(v\prime=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x\).
  4. Bruk produktregelen
    \(g\prime=u\prime v+uv\prime\).
  5. Sett inn
    \(g\prime(x)=\cos^2x-2x\sin x\cos x\).
  6. Alternativ form
    Siden \(2\sin x\cos x=\sin(2x)\), kan svaret også skrives \(\cos^2x-x\sin(2x)\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Derivative(x*cos(x)^2,x)
Resultat: \(\cos^2x-2x\sin x\cos x\)
Tolkning: CAS viser både produktleddet og den indre deriverte av cosinuskvadratet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify, trigsimp, N

x = symbols('x', real=True)
g = x*cos(x)**2
raw = diff(g, x)
expected = cos(x)**2 - 2*x*sin(x)*cos(x)
alternative = cos(x)**2 - x*sin(2*x)

print("Funksjon g(x) =", g)
print("Derivert fra SymPy =", raw)
print("Forventet form =", expected)
print("Alternativ form =", alternative)
print("Kontroll mot forventet =", simplify(raw - expected))
print("Trigonometrisk kontroll =", trigsimp(raw - alternative))
print("Numerisk g'(1) =", N(raw.subs(x, 1), 12))

assert simplify(raw - expected) == 0
assert trigsimp(raw - alternative) == 0

Kjørt utskriftFunksjon g(x) = x*cos(x)**2
Derivert fra SymPy = -2*x*sin(x)*cos(x) + cos(x)**2
Forventet form = -2*x*sin(x)*cos(x) + cos(x)**2
Alternativ form = -x*sin(2*x) + cos(x)**2
Kontroll mot forventet = 0
Trigonometrisk kontroll = 0
Numerisk g'(1) = -0.617370845099

Fasit: \(g\prime(x)=\cos^2x-2x\sin x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere produktet ved å multiplisere de deriverte, eller å glemme minustegnet fra \(\cos x\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter både produktregelen og kjerneregelen.
Del 1 / Oppgave 2aUbestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\left(\cos x+\frac1x\right)dx\).
Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer leddvis og husker at stamfunksjonen til \(1/x\) er \(\ln|x|\) på intervaller som ikke krysser 0.

  1. Del opp integralet
    \(\int\cos x\,dx+\int\frac1x\,dx\).
  2. Integrer cosinus
    \(\int\cos x\,dx=\sin x\).
  3. Integrer 1/x
    \(\int\frac1x\,dx=\ln|x|\).
  4. Samle leddene
    \(F(x)=\sin x+\ln|x|\).
  5. Legg til konstant
    \[\int\left(\cos x+\frac1x\right)dx=\sin x+\ln|x|+C\]
  6. Kontroller ved derivasjon
    På hvert intervall med \(x\ne0\) er \(F\prime(x)=\cos x+1/x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Integral(cos(x)+1/x,x)
Resultat: \(\sin x+\ln|x|\)
Tolkning: CAS gir en stamfunksjon; den generelle stamfunksjonen inkluderer \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, cos, sin, log, Abs, diff, simplify

x = symbols('x', real=True, nonzero=True)
integrand = cos(x) + 1/x
F = sin(x) + log(Abs(x))
back = diff(F, x)

print("Integrand =", integrand)
print("Foreslått stamfunksjon =", F)
print("Derivert tilbake =", back)
print("Kontroll =", simplify(back - integrand))
print("Definisjonskrav: x != 0")

assert simplify(back - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = cos(x) + 1/x
Foreslått stamfunksjon = log(Abs(x)) + sin(x)
Derivert tilbake = cos(x) + sign(x)/Abs(x)
Kontroll = 0
Definisjonskrav: x != 0

Fasit: \(\sin x+\ln|x|+C\), for \(x\ne0\).

Vanlig feil: Å skrive \(\ln x\) uten å kommentere domenet, eller å glemme integrasjonskonstanten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt stamfunksjon, absoluttverdi og \(+C\).
Del 1 / Oppgave 2bDelvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int x e^{2x}\,dx\).
Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en eksponentialfunksjon passer til delvis integrasjon.

  1. Velg u og dv
    Sett \(u=x\) og \(dv=e^{2x}dx\).
  2. Finn du og v
    \(du=dx\) og \(v=\frac12e^{2x}\).
  3. Bruk formelen
    \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).
  4. Sett inn
    \(\int xe^{2x}dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac12\int e^{2x}dx\).
  5. Integrer restleddet
    \(\frac12\int e^{2x}dx=\frac14e^{2x}\).
  6. Faktoriser
    \[\int xe^{2x}dx=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Integral(x*exp(2x),x)
Resultat: \(e^{2x}(2x-1)/4\)
Tolkning: CAS bekrefter resultatet fra delvis integrasjon.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, exp, integrate, diff, simplify, factor

x = symbols('x', real=True)
integrand = x*exp(2*x)
F = integrate(integrand, x)
expected = exp(2*x)*(2*x - 1)/4
back = diff(expected, x)

print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon fra SymPy =", F)
print("Forventet faktorisert form =", expected)
print("Derivert tilbake =", factor(back))
print("Kontroll mellom formene =", simplify(F - expected))
print("Kontroll mot integranden =", simplify(back - integrand))

assert simplify(F - expected) == 0
assert simplify(back - integrand) == 0

Kjørt utskriftIntegrand = x*exp(2*x)
Stamfunksjon fra SymPy = (2*x - 1)*exp(2*x)/4
Forventet faktorisert form = (2*x - 1)*exp(2*x)/4
Derivert tilbake = x*exp(2*x)
Kontroll mellom formene = 0
Kontroll mot integranden = 0

Fasit: \(\dfrac{e^{2x}}4(2x-1)+C\).

Vanlig feil: Å bruke \(v=e^{2x}\) i stedet for \(v=e^{2x}/2\), eller å miste minustegnet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter et korrekt valg i delvis integrasjon og full forenkling.
Del 1 / Oppgave 2cSubstitusjon med logaritme

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{2x-2}{x^2-2x-3}\,dx\).
Original poengangivelse: Oppgave 2 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Telleren er nøyaktig den deriverte av nevneren. Integraltypen er derfor \(u\prime/u\).

  1. Velg substitusjon
    Sett \(u=x^2-2x-3\).
  2. Finn differensialet
    \(du=(2x-2)dx\).
  3. Bytt variabel
    Integral blir \(\int du/u\).
  4. Integrer
    \(\int du/u=\ln|u|+C\).
  5. Sett tilbake
    \[\ln|x^2-2x-3|+C\]
  6. Oppgi domene
    Uttrykket gjelder på intervaller som ikke inneholder nullpunktene \(x=-1\) eller \(x=3\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Integral((2x-2)/(x^2-2x-3),x)
Resultat: \(\ln|x^2-2x-3|\)
Tolkning: CAS gjenkjenner logaritmederivert fordi telleren er nevnerens deriverte.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, log, Abs, diff, simplify, factor

x = symbols('x', real=True)
denominator = x**2 - 2*x - 3
integrand = (2*x - 2)/denominator
F = log(Abs(denominator))
check_F = log(denominator)
back = diff(check_F, x)

print("Nevner =", denominator)
print("Faktorisert nevner =", factor(denominator))
print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon =", F)
print("Derivert av log(u) på hvert gyldig intervall =", back)
print("Kontroll =", simplify(back - integrand))
print("Samme derivert gjelder for log(Abs(u))")
print("Utelatte punkter: x = -1 og x = 3")

assert simplify(back - integrand) == 0

Kjørt utskriftNevner = x**2 - 2*x - 3
Faktorisert nevner = (x - 3)*(x + 1)
Integrand = (2*x - 2)/(x**2 - 2*x - 3)
Stamfunksjon = log(Abs(-x**2 + 2*x + 3))
Derivert av log(u) på hvert gyldig intervall = (2*x - 2)/(x**2 - 2*x - 3)
Kontroll = 0
Samme derivert gjelder for log(Abs(u))
Utelatte punkter: x = -1 og x = 3

Fasit: \(\ln|x^2-2x-3|+C\), på intervaller der \(x\ne-1,3\).

Vanlig feil: Å faktorisere unødvendig og miste et ledd, eller å glemme absoluttverdien.
Sensorpunkt: Sensor ser etter substitusjonen \(u=x^2-2x-3\), korrekt logaritme og domene.
Del 1 / Oppgave 3aTrigonometrisk likning

Oppgave 3a

Oppgave: Løs \(\cos(2x)=\frac12\) for \(x\in[0,2\pi]\).
Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser først likningen for vinkelen \(2x\) på intervallet \([0,4\pi]\), og deler deretter på 2.

  1. Utvid intervallet
    Når \(x\in[0,2\pi]\), ligger \(2x\in[0,4\pi]\).
  2. Finn grunnløsninger
    \(\cos\theta=1/2\) når \(\theta=\pi/3\) eller \(5\pi/3\) modulo \(2\pi\).
  3. List løsninger for 2x
    \(2x=\pi/3,5\pi/3,7\pi/3,11\pi/3\).
  4. Del på 2
    \(x=\pi/6,5\pi/6,7\pi/6,11\pi/6\).
  5. Kontroller intervallet
    Alle fire ligger i \([0,2\pi]\).
  6. Skriv løsningsmengden
    \[x\in\left\{\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right\}\]
De fire skjæringspunktene mellom cos(2x) og y=1/2.
De fire skjæringspunktene mellom cos(2x) og y=1/2.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(cos(2x)=1/2,0<=x<=2*pi)
Resultat: \(x=\pi/6,5\pi/6,7\pi/6,11\pi/6\)
Tolkning: CAS finner de fire løsningene i det avgrensede intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, cos, pi, solveset, Interval, S, simplify

x = symbols('x', real=True)
solution = solveset(cos(2*x) - S.Half, x, domain=Interval(0, 2*pi))
expected = {pi/6, 5*pi/6, 7*pi/6, 11*pi/6}

print("Likning: cos(2*x) = 1/2")
print("Domene =", Interval(0, 2*pi))
print("Løsningsmengde fra SymPy =", solution)
for value in sorted(expected, key=lambda z: float(z)):
    print("Kontroll x =", value, ":", simplify(cos(2*value)))

assert set(solution) == expected

Kjørt utskriftLikning: cos(2*x) = 1/2
Domene = Interval(0, 2*pi)
Løsningsmengde fra SymPy = {pi/6, 5*pi/6, 7*pi/6, 11*pi/6}
Kontroll x = pi/6 : 1/2
Kontroll x = 5*pi/6 : 1/2
Kontroll x = 7*pi/6 : 1/2
Kontroll x = 11*pi/6 : 1/2

Fasit: \(x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\).

Vanlig feil: Å løse bare i én periode for \(2x\), slik at to av løsningene mangler.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt intervalltransformasjon og alle fire løsninger.
Del 1 / Oppgave 3bOmskriving til sinus

Oppgave 3b

Oppgave: Løs \(\sqrt3\sin x-\cos x=1\) for \(x\in[0,2\pi]\).
Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi samler sinus- og cosinusleddet til ett sinusuttrykk med amplitude 2.

  1. Finn amplituden
    \(R=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2\).
  2. Finn faseforskyvningen
    \(\sqrt3\sin x-\cos x=2\sin(x-\pi/6)\).
  3. Del likningen på 2
    \(\sin(x-\pi/6)=1/2\).
  4. Bruk sinusløsningene
    \(x-\pi/6=\pi/6+2k\pi\) eller \(5\pi/6+2k\pi\).
  5. Isoler x
    \(x=\pi/3+2k\pi\) eller \(x=\pi+2k\pi\).
  6. Avgrens intervallet
    På \([0,2\pi]\) får vi \[x=\frac\pi3\quad\text{eller}\quad x=\pi.\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(sqrt(3)*sin(x)-cos(x)=1,0<=x<=2*pi)
Resultat: \(x=\pi/3,\pi\)
Tolkning: CAS bekrefter de to løsningene i intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, sqrt, pi, solveset, Interval, simplify

x = symbols('x', real=True)
expr = sqrt(3)*sin(x) - cos(x)
combined = 2*sin(x - pi/6)
solution = [pi/3, pi]

print("Venstreside =", expr)
print("Omskrevet form =", combined)
print("Identitetskontroll =", simplify(expr - combined))
print("Løsninger i [0, 2*pi] =", solution)
for value in solution:
    print("Kontroll x =", value, ":", simplify(expr.subs(x, value)))

assert simplify(expr - combined) == 0
assert all(simplify(expr.subs(x,value)-1) == 0 for value in solution)

Kjørt utskriftVenstreside = sqrt(3)*sin(x) - cos(x)
Omskrevet form = -2*cos(x + pi/3)
Identitetskontroll = 0
Løsninger i [0, 2*pi] = [pi/3, pi]
Kontroll x = pi/3 : 1
Kontroll x = pi : 1

Fasit: \(x=\pi/3\) eller \(x=\pi\).

Vanlig feil: Å bruke amplitude \(\sqrt3-1\), eller å velge feil fortegn i faseforskyvningen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt omskriving til ett trigonometrisk uttrykk og domenekontroll.
Del 1 / Oppgave 4aPunkt og plan

Oppgave 4a

Oppgave: Et plan er gitt ved \(\alpha:2x-3y+z=13\). Begrunn at \(A(4,-2,-1)\) ligger i planet, og at \(P(1,2,3)\) ikke ligger i planet.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter koordinatene inn i venstresiden av planlikningen og sammenligner med 13.

  1. Test punkt A
    \(2\cdot4-3(-2)+(-1)=8+6-1=13\).
  2. Konkluder for A
    Siden venstresiden blir 13, ligger A i \(\alpha\).
  3. Test punkt P
    \(2\cdot1-3\cdot2+3=2-6+3=-1\).
  4. Sammenlign med planet
    \(-1\ne13\).
  5. Konkluder for P
    P ligger derfor ikke i \(\alpha\).
  6. Geometrisk tolkning
    Planlikningen fungerer som en medlemskapstest for hvert punkt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Substitute(2x-3y+z,{x=4,y=-2,z=-1})
Resultat: \(13\)
Tolkning: A tilfredsstiller planlikningen.
2Substitute(2x-3y+z,{x=1,y=2,z=3})
Resultat: \(-1\)
Tolkning: P tilfredsstiller ikke planlikningen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import Matrix

A = Matrix([4, -2, -1])
P = Matrix([1, 2, 3])
n = Matrix([2, -3, 1])
value_A = n.dot(A)
value_P = n.dot(P)

print("Normalvektor n =", n.T)
print("Venstreside for A =", value_A)
print("Venstreside for P =", value_P)
print("A ligger i planet =", value_A == 13)
print("P ligger i planet =", value_P == 13)

assert value_A == 13
assert value_P != 13

Kjørt utskriftNormalvektor n = Matrix([[2, -3, 1]])
Venstreside for A = 13
Venstreside for P = -1
A ligger i planet = True
P ligger i planet = False

Fasit: A ligger i \(\alpha\), mens P ikke ligger i \(\alpha\).

Vanlig feil: Å gjøre fortegnsfeil i leddet \(-3y\), særlig når \(y=-2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt innsetting og tydelige konklusjoner.
Del 1 / Oppgave 4bNormalvektor og parameterlinje

Oppgave 4b

Oppgave: En linje \(\ell\) står vinkelrett på \(\alpha\) og går gjennom P. Bestem en parameterframstilling for \(\ell\), og finn skjæringspunktet S mellom linjen og planet.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En linje som står vinkelrett på planet, kan bruke planetets normalvektor som retningsvektor.

  1. Finn normalvektoren
    Fra planlikningen får vi \(\vec n=(2,-3,1)\).
  2. Bruk punktet P
    Linjen går gjennom \(P=(1,2,3)\).
  3. Skriv parameterframstillingen
    \[(x,y,z)=(1,2,3)+t(2,-3,1).\]
  4. Sett linjen inn i planet
    \(2(1+2t)-3(2-3t)+(3+t)=13\).
  5. Løs for parameteren
    Venstresiden blir \(-1+14t\), så \(t=1\).
  6. Finn skjæringspunktet
    \[S=(1,2,3)+(2,-3,1)=(3,-1,4).\]
Linjen PS står normalt på grunnplanet og gir kjeglens høyde.
Linjen PS står normalt på grunnplanet og gir kjeglens høyde.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(2(1+2t)-3(2-3t)+(3+t)=13,t)
Resultat: \(t=1\)
Tolkning: Parameterverdien gir skjæringspunktet S=(3,-1,4).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Eq, solve, Matrix

t = symbols('t', real=True)
P = Matrix([1, 2, 3])
n = Matrix([2, -3, 1])
point = P + t*n
equation = Eq(2*point[0] - 3*point[1] + point[2], 13)
parameter = solve(equation, t)[0]
S = point.subs(t, parameter)

print("Linje l(t) =", point.T)
print("Likning etter innsetting =", equation)
print("Parameter t =", parameter)
print("Skjæringspunkt S =", S.T)
print("Kontroll i planet =", 2*S[0] - 3*S[1] + S[2])

assert parameter == 1
assert S == Matrix([3, -1, 4])

Kjørt utskriftLinje l(t) = Matrix([[2*t + 1, 2 - 3*t, t + 3]])
Likning etter innsetting = Eq(14*t - 1, 13)
Parameter t = 1
Skjæringspunkt S = Matrix([[3, -1, 4]])
Kontroll i planet = 13

Fasit: \(\ell:(x,y,z)=(1,2,3)+t(2,-3,1)\), og \(S=(3,-1,4)\).

Vanlig feil: Å bruke punktet A som linjepunkt eller en retningsvektor som ligger i planet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter normalvektoren, korrekt parameterframstilling og skjæringsberegning.
Del 1 / Oppgave 4cVolum av kjegle

Oppgave 4c

Oppgave: I planet ligger en sirkel med sentrum S og radius SA. Sirkelen er grunnflaten i en kjegle med toppunkt P. Regn ut volumet.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusen er avstanden SA, og høyden er avstanden PS fordi linjen PS står vinkelrett på planet.

  1. Finn radiusvektoren
    \(\overrightarrow{SA}=A-S=(1,-1,-5)\).
  2. Beregn radiusen
    \(r=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3\).
  3. Finn høydevektoren
    \(\overrightarrow{SP}=P-S=(-2,3,-1)\).
  4. Beregn høyden
    \(h=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{14}\).
  5. Bruk volumformelen
    \(V=\frac13\pi r^2h\).
  6. Sett inn
    \[V=\frac13\pi\cdot27\cdot\sqrt{14}=9\pi\sqrt{14}.\]
Radius SA ligger i planet, mens høyden PS står normalt på planet.
Radius SA ligger i planet, mens høyden PS står normalt på planet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Distance((3,-1,4),(4,-2,-1))
Resultat: \(3\sqrt3\)
Tolkning: Dette er grunnradiusen.
2Distance((3,-1,4),(1,2,3))
Resultat: \(\sqrt{14}\)
Tolkning: Dette er den vinkelrette høyden.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import Matrix, sqrt, pi, simplify, N

S = Matrix([3, -1, 4])
A = Matrix([4, -2, -1])
P = Matrix([1, 2, 3])
radius = (A - S).norm()
height = (P - S).norm()
volume = simplify(pi*radius**2*height/3)
expected = 9*pi*sqrt(14)

print("Vektor SA =", (A-S).T)
print("Radius SA =", radius)
print("Vektor SP =", (P-S).T)
print("Høyde PS =", height)
print("Volum eksakt =", volume)
print("Volum numerisk =", N(volume, 12))
print("Kontroll =", simplify(volume-expected))

assert simplify(volume-expected) == 0

Kjørt utskriftVektor SA = Matrix([[1, -1, -5]])
Radius SA = 3*sqrt(3)
Vektor SP = Matrix([[-2, 3, -1]])
Høyde PS = sqrt(14)
Volum eksakt = 9*sqrt(14)*pi
Volum numerisk = 105.792870227
Kontroll = 0

Fasit: \(V=9\pi\sqrt{14}\approx105.79\) volumenheter.

Vanlig feil: Å bruke SA som høyde eller å glemme faktoren \(1/3\) i kjeglevolumet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig radius, vinkelrett høyde og volumformel.
Del 1 / Oppgave 5aSinus- og cosinusparametere

Oppgave 5a

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=a\cos\left(\frac\pi2x-b\right)+2\), der \(a>0\) og \(b\in[0,2\pi)\). Grafen har toppunkt i \((3,5)\). Bestem a og b.
Original poengangivelse: Oppgave 5 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Maksimumsverdien bestemmer amplituden, mens x-koordinaten til toppunktet bestemmer faseforskyvningen.

  1. Bruk maksimumsverdien
    For en cosinusfunksjon med \(a>0\) er maksimum \(a+2\).
  2. Finn amplituden
    \(a+2=5\), altså \(a=3\).
  3. Bruk toppunktets x-verdi
    Cosinus er maksimal når argumentet er \(2k\pi\).
  4. Sett inn x=3
    \(\frac\pi2\cdot3-b=2k\pi\).
  5. Bruk intervallet for b
    \(b=\frac{3\pi}{2}-2k\pi\). Den eneste verdien i \([0,2\pi)\) er \(b=3\pi/2\).
  6. Kontroller
    \(f(3)=3\cos0+2=5\), så punktet er et toppunkt.
Toppunktet (3,5) bestemmer både amplitude og fase.
Toppunktet (3,5) bestemmer både amplitude og fase.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve({a+2=5,(pi/2)*3-b=0},{a,b})
Resultat: \(a=3,\ b=3\pi/2\)
Tolkning: CAS bruker hovedrepresentanten for fasebetingelsen; intervallet for b gjør løsningen entydig.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, pi, cos, solve, Eq, simplify

a, b, x = symbols('a b x', real=True)
solution = solve([Eq(a + 2, 5), Eq(3*pi/2 - b, 0)], (a, b), dict=True)[0]
f = solution[a]*cos(pi*x/2 - solution[b]) + 2

print("Løsning for a og b =", solution)
print("Funksjon f(x) =", f)
print("Kontroll f(3) =", simplify(f.subs(x, 3)))
print("Andrederivert i x=3 =", simplify(f.diff(x, 2).subs(x, 3)))
print("Negativ andrederivert bekrefter toppunkt")

assert solution[a] == 3
assert solution[b] == 3*pi/2
assert simplify(f.subs(x,3)-5) == 0
assert f.diff(x,2).subs(x,3) < 0

Kjørt utskriftLøsning for a og b = {a: 3, b: 3*pi/2}
Funksjon f(x) = 2 - 3*sin(pi*x/2)
Kontroll f(3) = 5
Andrederivert i x=3 = -3*pi**2/4
Negativ andrederivert bekrefter toppunkt

Fasit: \(a=3\) og \(b=\frac{3\pi}{2}\).

Vanlig feil: Å sette a lik toppverdien 5 i stedet for avstanden fra midtlinjen y=2.
Sensorpunkt: Sensor ser etter amplitude fra maksimum og korrekt fasebetingelse med domene for b.
Del 1 / Oppgave 5bSkisse av periodisk graf

Oppgave 5b

Oppgave: Tegn en skisse som viser to perioder av grafen til f.
Original poengangivelse: Oppgave 5 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner periode, midtlinje, topp- og bunnpunkter og markerer ett komplett mønster to ganger.

  1. Skriv funksjonen ferdig
    \(f(x)=3\cos\left(\frac\pi2x-\frac{3\pi}{2}\right)+2=3\cos\left(\frac\pi2(x-3)\right)+2\).
  2. Finn perioden
    \(T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\).
  3. Finn midtlinjen
    Midtlinjen er \(y=2\).
  4. Finn toppunkter
    Toppunkter kommer ved \(x=3+4k\), med y-verdi 5.
  5. Finn bunnpunkter
    Bunnpunkter kommer ved \(x=1+4k\), med y-verdi -1.
  6. Tegn to perioder
    For eksempel viser intervallet \([-1,7]\) nøyaktig to perioder.
To perioder med toppunkter ved x=3 og x=7.
To perioder med toppunkter ved x=3 og x=7.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Function(3*cos((pi/2)*(x-3))+2,-1,7)
Resultat: Graf med periode 4, midtlinje 2 og amplitude 3
Tolkning: Graftegneren viser to identiske perioder på intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, pi, cos, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 3*cos(pi*(x-3)/2) + 2
period = 2*pi/(pi/2)
key_points = [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

print("Funksjon f(x) =", f)
print("Amplitude = 3")
print("Midtlinje = 2")
print("Periode =", simplify(period))
for value in key_points:
    print(f"f({value}) =", simplify(f.subs(x, value)))
print("Kontroll f(x+4)-f(x) =", simplify(f.subs(x, x+4)-f))

assert simplify(period-4) == 0
assert simplify(f.subs(x,x+4)-f) == 0

Kjørt utskriftFunksjon f(x) = 3*cos(pi*(x/2 - 3/2)) + 2
Amplitude = 3
Midtlinje = 2
Periode = 4
f(-1) = 5
f(0) = 2
f(1) = -1
f(2) = 2
f(3) = 5
f(4) = 2
f(5) = -1
f(6) = 2
f(7) = 5
Kontroll f(x+4)-f(x) = 0

Fasit: Grafen har amplitude 3, midtlinje \(y=2\), periode 4, toppunkter \((3+4k,5)\) og bunnpunkter \((1+4k,-1)\).

Vanlig feil: Å bruke perioden \(2\pi\) i stedet for å ta hensyn til faktoren \(\pi/2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig skala, midtlinje, amplitude og to fullstendige perioder.
Del 1 / Oppgave 6aAndreordens differensiallikning

Oppgave 6a

Oppgave: Vis at \(y=Ae^x+Bxe^x\) er den generelle løsningen av \(y\prime\prime-2y\prime+y=0\).
Original poengangivelse: Oppgave 6 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan både kontrollere uttrykket ved innsetting og forklare hvorfor det inneholder alle løsninger via den karakteristiske likningen.

  1. Finn karakteristisk likning
    For \(y=e^{rx}\) får vi \(r^2-2r+1=0\).
  2. Faktoriser
    \((r-1)^2=0\), så vi har en dobbeltrot \(r=1\).
  3. Bruk standardformen
    En dobbeltrot gir \(y=(A+Bx)e^{x}\).
  4. Deriver én gang
    \(y\prime=(A+B+Bx)e^x\).
  5. Deriver to ganger
    \(y\prime\prime=(A+2B+Bx)e^x\).
  6. Sett inn
    \(y\prime\prime-2y\prime+y=[A+2B+Bx-2(A+B+Bx)+A+Bx]e^x=0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1SolveODE(y''-2y'+y=0)
Resultat: \(y=c_1e^x+c_2xe^x\)
Tolkning: CAS gir samme to-parameterfamilie som den oppgitte løsningen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Function, Eq, exp, diff, dsolve, simplify

x, A, B = symbols('x A B', real=True)
y = (A + B*x)*exp(x)
y1 = diff(y, x)
y2 = diff(y, x, 2)
residual = simplify(y2 - 2*y1 + y)
Y = Function('Y')
ode = Eq(diff(Y(x),x,2) - 2*diff(Y(x),x) + Y(x), 0)

print("Prøveløsning y =", y)
print("y' =", y1)
print("y'' =", y2)
print("ODE-residual =", residual)
print("Generell løsning fra SymPy =", dsolve(ode))
print("Karakteristisk polynom = (r-1)^2")

assert residual == 0

Kjørt utskriftPrøveløsning y = (A + B*x)*exp(x)
y' = B*exp(x) + (A + B*x)*exp(x)
y'' = (A + B*x + 2*B)*exp(x)
ODE-residual = 0
Generell løsning fra SymPy = Eq(Y(x), (C1 + C2*x)*exp(x))
Karakteristisk polynom = (r-1)^2

Fasit: \(y=Ae^x+Bxe^x\) er den generelle løsningen.

Vanlig feil: Å bare vise at ett bestemt valg av A og B virker, uten å forklare den doble roten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter karakteristisk likning, dobbeltrot og kontroll ved innsetting.
Del 1 / Oppgave 6bInitialbetingelser

Oppgave 6b

Oppgave: Bestem A og B når \(y(0)=3\) og \(y\prime(0)=5\).
Original poengangivelse: Oppgave 6 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter initialverdiene inn i den generelle løsningen og dens deriverte.

  1. Bruk y(0)
    \(y(0)=(A+0)e^0=A=3\).
  2. Deriver løsningen
    \(y\prime=(A+B+Bx)e^x\).
  3. Bruk y'(0)
    \(y\prime(0)=A+B=5\).
  4. Sett inn A
    \(3+B=5\).
  5. Finn B
    \(B=2\).
  6. Skriv den bestemte løsningen
    \[y=(3+2x)e^x.\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve({A=3,A+B=5},{A,B})
Resultat: \(A=3,\ B=2\)
Tolkning: CAS løser det lineære systemet fra initialbetingelsene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, exp, diff, solve, Eq, simplify

x, A, B = symbols('x A B', real=True)
y = (A + B*x)*exp(x)
y1 = diff(y, x)
constants = solve([Eq(y.subs(x,0),3), Eq(y1.subs(x,0),5)], (A,B), dict=True)[0]
solution = simplify(y.subs(constants))

print("Generell løsning =", y)
print("Derivert =", y1)
print("Konstanter =", constants)
print("Bestemt løsning =", solution)
print("Kontroll y(0) =", solution.subs(x,0))
print("Kontroll y'(0) =", diff(solution,x).subs(x,0))
print("ODE-residual =", simplify(diff(solution,x,2)-2*diff(solution,x)+solution))

assert constants == {A:3, B:2}
assert simplify(diff(solution,x,2)-2*diff(solution,x)+solution) == 0

Kjørt utskriftGenerell løsning = (A + B*x)*exp(x)
Derivert = B*exp(x) + (A + B*x)*exp(x)
Konstanter = {A: 3, B: 2}
Bestemt løsning = (2*x + 3)*exp(x)
Kontroll y(0) = 3
Kontroll y'(0) = 5
ODE-residual = 0

Fasit: \(A=3\), \(B=2\), og dermed \(y=(3+2x)e^x\).

Vanlig feil: Å bruke \(y\prime(0)=B\) og glemme at A også inngår i den deriverte.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt derivasjon og bruk av begge initialbetingelsene.
Del 1 / Oppgave 7aKonvergens av geometrisk rekke

Oppgave 7a

Oppgave: En uendelig geometrisk rekke er \(S(x)=1+\frac32\cos x+\frac94\cos^2x+\cdots\). Avgjør om rekken konvergerer for \(x=\pi/6\) og \(x=\pi/3\).
Original poengangivelse: Oppgave 7 (5 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer kvotienten \(q=\frac32\cos x\) og bruker kravet \(|q|<1\).

  1. Identifiser første ledd
    Første ledd er \(a_1=1\).
  2. Identifiser kvotienten
    \(q(x)=\frac32\cos x\).
  3. Test x=π/6
    \(q=\frac32\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}\approx1.299\).
  4. Konkluder første tilfelle
    Siden \(|q|>1\), divergerer rekken.
  5. Test x=π/3
    \(q=\frac32\cdot\frac12=\frac34\).
  6. Konkluder andre tilfelle
    Siden \(|q|=3/4<1\), konvergerer rekken.
Kvotienten ved π/6 ligger utenfor konvergensbåndet, mens kvotienten ved π/3 ligger innenfor.
Kvotienten ved π/6 ligger utenfor konvergensbåndet, mens kvotienten ved π/3 ligger innenfor.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Simplify((3/2)*cos(pi/6))
Resultat: \(3\sqrt3/4>1\)
Tolkning: Rekken divergerer for x=π/6.
2Simplify((3/2)*cos(pi/3))
Resultat: \(3/4\)
Tolkning: Rekken konvergerer for x=π/3.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import pi, cos, sqrt, simplify, N, Rational

q1 = simplify(3*cos(pi/6)/2)
q2 = simplify(3*cos(pi/3)/2)

print("Kvotient q(x) = (3/2)*cos(x)")
print("q(pi/6) =", q1)
print("Numerisk q(pi/6) =", N(q1, 12))
print("|q(pi/6)| < 1 =", abs(float(N(q1))) < 1)
print("q(pi/3) =", q2)
print("|q(pi/3)| < 1 =", abs(float(N(q2))) < 1)

assert q1 == 3*sqrt(3)/4
assert q2 == Rational(3,4)

Kjørt utskriftKvotient q(x) = (3/2)*cos(x)
q(pi/6) = 3*sqrt(3)/4
Numerisk q(pi/6) = 1.29903810568
|q(pi/6)| < 1 = False
q(pi/3) = 3/4
|q(pi/3)| < 1 = True

Fasit: Rekken divergerer for \(x=\pi/6\) og konvergerer for \(x=\pi/3\).

Vanlig feil: Å bruke \(q<1\) i stedet for \(|q|<1\), eller å tolke \(9\cos^2x/4\) som en ny type ledd.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig kvotient og absoluttverdikrav.
Del 1 / Oppgave 7bSum av uendelig geometrisk rekke

Oppgave 7b

Oppgave: Bestem summen av rekken i det eller de tilfellene i oppgave a der rekken konvergerer.
Original poengangivelse: Oppgave 7 (5 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Bare tilfellet \(x=\pi/3\) konvergerer. Da bruker vi sumformelen \(S=a_1/(1-q)\).

  1. Velg gyldig tilfelle
    For \(x=\pi/3\) er \(q=3/4\).
  2. Bruk første ledd
    \(a_1=1\).
  3. Sett inn i sumformelen
    \(S=1/(1-3/4)\).
  4. Forenkle nevneren
    \(1-3/4=1/4\).
  5. Beregn summen
    \(S=1/(1/4)=4\).
  6. Kontroller med delsummer
    Delsummene nærmer seg 4 når antall ledd øker.
Ved kvotient 3/4 nærmer delsummene seg 4.
Ved kvotient 3/4 nærmer delsummene seg 4.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Sum((3/4)^n,n,0,infinity)
Resultat: \(4\)
Tolkning: CAS summerer rekken fra n=0 til uendelig.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, summation, Rational, oo, simplify, N

n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
q = Rational(3,4)
S = summation(q**n, (n,0,oo))
partial_10 = summation(q**n, (n,0,9))
partial_50 = summation(q**n, (n,0,49))

print("Kvotient =", q)
print("Uendelig sum =", S)
print("Delsum med 10 ledd =", N(partial_10, 12))
print("Delsum med 50 ledd =", N(partial_50, 12))
print("Feil etter 50 ledd =", N(S-partial_50, 12))

assert simplify(S-4) == 0

Kjørt utskriftKvotient = 3/4
Uendelig sum = 4
Delsum med 10 ledd = 3.77474594116
Delsum med 50 ledd = 3.99999773471
Feil etter 50 ledd = 2.26528662571e-6

Fasit: For \(x=\pi/3\) er summen \(S=4\).

Vanlig feil: Å forsøke å bruke sumformelen i det divergerende tilfellet \(x=\pi/6\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter at konvergens kontrolleres før sumformelen brukes.
Del 1 / Oppgave 7cVerdiområde for sumfunksjon

Oppgave 7c

Oppgave: For hvilke verdier av r har likningen \(S(x)=r\) løsning?
Original poengangivelse: Oppgave 7 (5 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner verdiområdet til sumfunksjonen når den geometriske rekken konvergerer.

  1. Skriv sumfunksjonen
    Når \(|q|<1\), er \(S=1/(1-q)\), der \(q=\frac32\cos x\).
  2. Finn mulige q-verdier
    Konvergenskravet betyr \(-1
  3. Undersøk nevneren
    Når \(-1
  4. Ta den inverse
    Da ligger \(1/(1-q)\) i \((1/2,\infty)\).
  5. Vurder endepunktet
    Verdien \(1/2\) ville kreve \(q=-1\), men da konvergerer ikke rekken.
  6. Konkluder
    \[S(x)=r\text{ har løsning nøyaktig når }r>\frac12.\]
Sumfunksjonen kan bli vilkårlig stor, men aldri så liten som 1/2.
Sumfunksjonen kan bli vilkårlig stor, men aldri så liten som 1/2.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(1/(1-q)=r,q)
Resultat: \(q=1-1/r\)
Tolkning: Kravet -11/2 når r må være positiv.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, solve, Eq, reduce_inequalities, simplify

q = symbols('q', real=True)
r = symbols('r', positive=True)
q_from_r = solve(Eq(1/(1-q), r), q)[0]
condition = reduce_inequalities([-1 < q_from_r, q_from_r < 1], r)

print("Sumfunksjon S = 1/(1-q)")
print("Løst for q =", q_from_r)
print("Konvergenskrav etter innsetting =", condition)
print("Verdiområde for S er (1/2, infinity)")
print("Kontroll r=1/2 gir q =", simplify(q_from_r.subs(r,1/2)))
print("Kontroll r=4 gir q =", simplify(q_from_r.subs(r,4)))

assert str(condition) == '1/2 < r' 

Kjørt utskriftSumfunksjon S = 1/(1-q)
Løst for q = (r - 1)/r
Konvergenskrav etter innsetting = 1/2 < r
Verdiområde for S er (1/2, infinity)
Kontroll r=1/2 gir q = -1.00000000000000
Kontroll r=4 gir q = 3/4

Fasit: Likningen har løsning for \(r>\frac12\).

Vanlig feil: Å ta med \(r=1/2\), selv om denne verdien krever kvotient -1 og dermed divergens.
Sensorpunkt: Sensor ser etter verdiområdet til sumfunksjonen under konvergenskravet.
Del 1 / Oppgave 8Induksjonsbevis

Oppgave 8

Oppgave: Bruk induksjon til å bevise \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}3\) for \(n\in\mathbb N\).
Original poengangivelse: Oppgave 8 (3 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi viser først grunnsteget og deretter at sannhet for n=k medfører sannhet for n=k+1.

  1. Grunnsteg n=1
    Venstresiden er \(1^2=1\), og høyresiden er \(1\cdot1\cdot3/3=1\). Påstanden er sann for n=1.
  2. Induksjonsantakelse
    Anta at \(\sum_{i=1}^{k}(2i-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}3\).
  3. Legg til neste ledd
    For n=k+1 blir summen \(\frac{k(2k-1)(2k+1)}3+(2k+1)^2\).
  4. Faktoriser
    \((2k+1)\left(\frac{k(2k-1)}3+2k+1\right)\).
  5. Forenkle parentesen
    \(\frac{2k^2+5k+3}{3}=\frac{(k+1)(2k+3)}3\).
  6. Få ønsket form
    Uttrykket blir \(\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}3\), som er formelen med n=k+1. Dermed gjelder påstanden for alle n.
Delsummen og den lukkede formelen sammenfaller for alle viste n-verdier.
Delsummen og den lukkede formelen sammenfaller for alle viste n-verdier.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Factor(k*(2k-1)*(2k+1)/3+(2k+1)^2)
Resultat: \((k+1)(2k+1)(2k+3)/3\)
Tolkning: CAS bekrefter algebraen i induksjonssteget.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, summation, factor, simplify

n, i, k = symbols('n i k', integer=True, positive=True)
closed_form = n*(2*n-1)*(2*n+1)/3
symbolic_sum = summation((2*i-1)**2, (i,1,n))
induction_left = k*(2*k-1)*(2*k+1)/3 + (2*k+1)**2
induction_target = (k+1)*(2*k+1)*(2*k+3)/3

print("Symbolsk sum =", symbolic_sum)
print("Lukket form =", closed_form)
print("Kontroll av full formel =", simplify(symbolic_sum-closed_form))
print("Induksjonssteg før faktorisering =", induction_left)
print("Faktorisert induksjonssteg =", factor(induction_left))
print("Mål for n=k+1 =", induction_target)
print("Kontroll av induksjonssteg =", simplify(induction_left-induction_target))

assert simplify(symbolic_sum-closed_form) == 0
assert simplify(induction_left-induction_target) == 0

Kjørt utskriftSymbolsk sum = 4*n**3/3 - n/3
Lukket form = n*(2*n - 1)*(2*n + 1)/3
Kontroll av full formel = 0
Induksjonssteg før faktorisering = k*(2*k - 1)*(2*k + 1)/3 + (2*k + 1)**2
Faktorisert induksjonssteg = (k + 1)*(2*k + 1)*(2*k + 3)/3
Mål for n=k+1 = (k + 1)*(2*k + 1)*(2*k + 3)/3
Kontroll av induksjonssteg = 0

Fasit: Påstanden er bevist ved matematisk induksjon.

Vanlig feil: Å kontrollere noen få n-verdier uten å gjennomføre induksjonssteget.
Sensorpunkt: Sensor ser etter grunnsteg, tydelig induksjonsantakelse og korrekt overgang fra k til k+1.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 / Oppgave 1aAritmetisk rekke i modell

Oppgave 1a

Oppgave: I modell 1 er utslippet 5000 kg første år og 2500 kg tiende år, med fast reduksjon i kg. Hvor mye slippes ut til sammen på 10 år?
Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? De årlige utslippene danner en aritmetisk følge. Summen kan finnes direkte fra første og siste ledd.

  1. Identifiser antall ledd
    Det er \(n=10\) år.
  2. Identifiser endelettene
    \(a_1=5000\) og \(a_{10}=2500\).
  3. Bruk sumformelen
    \(S_{10}=\frac{10}{2}(a_1+a_{10})\).
  4. Sett inn
    \(S_{10}=5(5000+2500)\).
  5. Beregn
    \(S_{10}=5\cdot7500=37500\).
  6. Oppgi enhet
    Bedriften slipper ut totalt \(37500\) kg.
Modell 1 reduserer utslippet lineært fra 5000 til 2500 kg.
Modell 1 reduserer utslippet lineært fra 5000 til 2500 kg.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Sum(5000+(n-1)*(2500-5000)/9,n,1,10)
Resultat: \(37500\)
Tolkning: CAS summerer de ti leddene i den aritmetiske følgen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Rational, summation, simplify

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a1 = 5000
a10 = 2500
d = Rational(a10-a1, 9)
a_n = a1 + (n-1)*d
sum_10 = summation(a_n, (n,1,10))
formula = 10*(a1+a10)/2

print("Differanse per år =", d, "kg")
print("Årlig modell a_n =", a_n)
print("Tiende ledd =", a_n.subs(n,10))
print("Sum ved direkte summering =", sum_10)
print("Sum med endepunktsformelen =", formula)
print("Kontroll =", simplify(sum_10-formula))

assert sum_10 == 37500

Kjørt utskriftDifferanse per år = -2500/9 kg
Årlig modell a_n = 47500/9 - 2500*n/9
Tiende ledd = 2500
Sum ved direkte summering = 37500
Sum med endepunktsformelen = 37500.0
Kontroll = 0

Fasit: Bedriften slipper ut \(37500\) kg i løpet av de ti årene.

Vanlig feil: Å multiplisere 5000 med 10 og ignorere reduksjonen, eller å bruke ni år i summen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter aritmetisk modell, ti ledd og korrekt sum.
Del 2 / Oppgave 1bGeometrisk rekke i modell

Oppgave 1b

Oppgave: I modell 2 er utslippet 5000 kg første år og 2500 kg tiende år, med fast årlig prosent. Hvor mye slippes ut til sammen på 10 år?
Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En fast prosent gir en geometrisk følge. Først bestemmer vi vekstfaktoren fra første og tiende ledd.

  1. Sett opp tiende ledd
    \(5000q^9=2500\).
  2. Finn vekstfaktoren
    \(q^9=1/2\), så \(q=2^{-1/9}\approx0.925875\).
  3. Tolk prosentnedgangen
    Den årlige reduksjonen er omtrent \(1-q=7.41\%\).
  4. Bruk sumformelen
    \(S_{10}=5000\frac{1-q^{10}}{1-q}\).
  5. Beregn
    \(S_{10}\approx36226.68\).
  6. Oppgi enhet
    Totalt utslipp er omtrent \(36227\) kg.
Modell 2 ligger under den lineære modellen i de mellomliggende årene.
Modell 2 ligger under den lineære modellen i de mellomliggende årene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1NSolve(5000*q^9=2500,q)
Resultat: \(q\approx0.925875\)
Tolkning: Den positive vekstfaktoren brukes i utslippsmodellen.
25000*(1-q^10)/(1-q)
Resultat: \(36226.68\)
Tolkning: Summen av de ti geometriske leddene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import Rational, root, N, simplify

q = Rational(1,2)**Rational(1,9)
a1 = 5000
n = 10
sum_10 = a1*(1-q**n)/(1-q)
reduction_percent = 100*(1-q)

print("Eksakt vekstfaktor q =", q)
print("Numerisk q =", N(q, 14))
print("Årlig reduksjon i prosent =", N(reduction_percent, 10))
print("Kontroll av tiende ledd =", N(a1*q**9, 14))
print("Sum av 10 år =", N(sum_10, 14), "kg")
print("Avrundet til nærmeste kg =", round(float(N(sum_10))))

assert simplify(a1*q**9-2500) == 0
assert abs(float(N(sum_10))-36226.6819076555) < 1e-8

Kjørt utskriftEksakt vekstfaktor q = 2**(8/9)/2
Numerisk q = 0.92587471228729
Årlig reduksjon i prosent = 7.412528771
Kontroll av tiende ledd = 2500.0000000000
Sum av 10 år = 36226.681907655 kg
Avrundet til nærmeste kg = 36227

Fasit: Totalt utslipp blir omtrent \(36226.68\) kg, altså omtrent \(36227\) kg.

Vanlig feil: Å bruke \(q^{10}=1/2\) i stedet for \(q^9=1/2\), fordi første året allerede er ledd nummer 1.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt geometrisk modell, vekstfaktor og sumformel.
Del 2 / Oppgave 1cUendelig geometrisk rekke

Oppgave 1c

Oppgave: En bedrift slipper ut 5000 kg i år og reduserer deretter med en fast prosent p hvert år. Totalt utslipp fra og med i år må ikke overstige 50000 kg. Bestem laveste p.
Original poengangivelse: Oppgave 1 (6 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Utslippene danner en uendelig geometrisk rekke med vekstfaktor \(q=1-p\).

  1. Skriv den uendelige summen
    \(S=5000/(1-q)\), for \(0\le q<1\).
  2. Bruk q=1-p
    Da er \(1-q=p\), så \(S=5000/p\).
  3. Sett myndighetskravet
    \(5000/p\le50000\).
  4. Løs ulikheten
    Siden \(p>0\), får vi \(5000\le50000p\).
  5. Finn minste prosent
    \(p\ge0.10\).
  6. Konkluder
    Den laveste årlige reduksjonen er \(10\%\). Ved akkurat 10 % blir totalsummen 50000 kg.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(5000/p<=50000,p)
Resultat: \(p\ge0.10\)
Tolkning: CAS løser ulikheten under forutsetningen p>0.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, solve_univariate_inequality, Rational, simplify

p = symbols('p', positive=True)
q = 1-p
infinite_sum = 5000/(1-q)
condition = solve_univariate_inequality(infinite_sum <= 50000, p)
threshold = Rational(1,10)

print("Vekstfaktor q =", q)
print("Uendelig sum =", simplify(infinite_sum))
print("Løsning av kravet =", condition)
print("Minste p =", threshold)
print("Minste p i prosent =", 100*threshold)
print("Kontroll sum ved p=0.10 =", infinite_sum.subs(p,threshold))

assert simplify(infinite_sum.subs(p,threshold)-50000) == 0

Kjørt utskriftVekstfaktor q = 1 - p
Uendelig sum = 5000/p
Løsning av kravet = 1/10 <= p
Minste p = 1/10
Minste p i prosent = 10
Kontroll sum ved p=0.10 = 50000

Fasit: Den laveste verdien er \(p=0.10\), altså \(10\%\).

Vanlig feil: Å tolke p som vekstfaktor i stedet for reduksjonsandel, eller å summere bare ti år.
Sensorpunkt: Sensor ser etter uendelig geometrisk rekke, ulikhet og korrekt prosenttolkning.
Del 2 / Oppgave 2aInitialbetingelser for pendel

Oppgave 2a

Oppgave: Arne trekker pendelen til vinkelutslaget \(v=0.15\) radianer og slipper den fra ro ved \(t=0\). Forklar at \(v(0)=0.15\) og \(v\prime(0)=0\).
Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi oversetter den fysiske startbeskrivelsen direkte til verdi og endringsfart ved tidspunktet null.

  1. Tolk tidspunktet
    \(t=0\) er øyeblikket kulen slippes.
  2. Tolk vinkelutslaget
    Kulen er trukket til \(0.15\) radianer, derfor er \(v(0)=0.15\).
  3. Tolk den deriverte
    \(v\prime(t)\) er vinkelhastigheten.
  4. Bruk at kulen slippes fra ro
    «I ro» betyr at vinkelhastigheten er null i startøyeblikket.
  5. Skriv andre betingelse
    Dermed er \(v\prime(0)=0\).
  6. Samle betingelsene
    \[v(0)=0.15,\qquad v\prime(0)=0.\]
Pendelen starter i et topputslag med horisontal tangent i v(t)-grafen.
Pendelen starter i et topputslag med horisontal tangent i v(t)-grafen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1v(0)=0.15
Resultat: Startvinkel \(0.15\) rad
Tolkning: Betingelsen kommer direkte fra posisjonen ved slipp.
2v'(0)=0
Resultat: Startfart 0 rad/s
Tolkning: Betingelsen kommer fra at pendelen slippes fra ro.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Function, Eq, Rational

t = symbols('t', real=True)
v = Function('v')
initial_angle = Rational(15,100)
initial_velocity = 0
conditions = {v(0): initial_angle, v(t).diff(t).subs(t,0): initial_velocity}

print("Starttid t = 0")
print("Startvinkel v(0) =", initial_angle, "radianer")
print("Startfart v'(0) =", initial_velocity, "radianer per sekund")
print("Initialbetingelser =", conditions)
print("Fysisk tolkning: ytterstilling og slipp fra ro")

assert initial_angle == Rational(3,20)
assert initial_velocity == 0

Kjørt utskriftStarttid t = 0
Startvinkel v(0) = 3/20 radianer
Startfart v'(0) = 0 radianer per sekund
Initialbetingelser = {v(0): 3/20, Subs(Derivative(v(t), t), t, 0): 0}
Fysisk tolkning: ytterstilling og slipp fra ro

Fasit: Beskrivelsen gir \(v(0)=0.15\) og \(v\prime(0)=0\).

Vanlig feil: Å tolke \(v\prime(0)=0\) som null akselerasjon. Det er hastigheten som er null i ytterstillingen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt fysisk tolkning av funksjonsverdi og derivert.
Del 2 / Oppgave 2bHarmonisk differensiallikning

Oppgave 2b

Oppgave: For \(L=0.20\) m og \(g=9.81\) m/s² gjelder \(v\prime\prime=-(g/L)v\). Bestem et uttrykk for v(t) med startbetingelsene.
Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Differensiallikningen er en harmonisk oscillator. Vi finner vinkelfrekvensen og bestemmer konstantene fra startbetingelsene.

  1. Sett inn g og L
    \(v\prime\prime=-\frac{9.81}{0.20}v=-49.05v\).
  2. Skriv standardformen
    \(v\prime\prime+\omega^2v=0\), der \(\omega=\sqrt{49.05}\).
  3. Skriv generell løsning
    \(v(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\).
  4. Bruk v(0)
    \(v(0)=A=0.15\).
  5. Bruk v'(0)
    \(v\prime(0)=B\omega=0\), så \(B=0\).
  6. Skriv løsningen
    \[v(t)=0.15\cos\left(\sqrt{49.05}\,t\right).\]
Løsningen er en cosinusbevegelse med amplitude 0.15 radianer.
Løsningen er en cosinusbevegelse med amplitude 0.15 radianer.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1SolveODE(v''=-(9.81/0.20)*v,v(0)=0.15,v'(0)=0)
Resultat: \(v(t)=0.15\cos(\sqrt{49.05}\,t)\)
Tolkning: CAS løser oscillatorlikningen med begge initialbetingelsene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Function, Eq, diff, dsolve, Rational, sqrt, cos, simplify, N

t = symbols('t', real=True)
v = Function('v')
omega2 = Rational(981,20)
omega = sqrt(omega2)
ode = Eq(diff(v(t),t,2), -omega2*v(t))
solution = dsolve(ode, ics={v(0):Rational(3,20), diff(v(t),t).subs(t,0):0})
model = Rational(3,20)*cos(omega*t)
residual = simplify(diff(model,t,2)+omega2*model)

print("Differensiallikning =", ode)
print("Omega^2 =", omega2)
print("Omega =", omega)
print("Numerisk omega =", N(omega, 14))
print("Løsning fra SymPy =", solution)
print("Modell v(t) =", model)
print("Kontroll v(0) =", model.subs(t,0))
print("Kontroll v'(0) =", diff(model,t).subs(t,0))
print("ODE-residual =", residual)

assert residual == 0
assert model.subs(t,0) == Rational(3,20)
assert diff(model,t).subs(t,0) == 0

Kjørt utskriftDifferensiallikning = Eq(Derivative(v(t), (t, 2)), -981*v(t)/20)
Omega^2 = 981/20
Omega = 3*sqrt(545)/10
Numerisk omega = 7.0035705179573
Løsning fra SymPy = Eq(v(t), 3*cos(3*sqrt(545)*t/10)/20)
Modell v(t) = 3*cos(3*sqrt(545)*t/10)/20
Kontroll v(0) = 3/20
Kontroll v'(0) = 0
ODE-residual = 0

Fasit: \(v(t)=0.15\cos(\sqrt{49.05}\,t)\approx0.15\cos(7.00357t)\).

Vanlig feil: Å bruke \(49.05\) som vinkelfrekvens i stedet for \(\sqrt{49.05}\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter harmonisk standardform, begge initialbetingelser og korrekt frekvens.
Del 2 / Oppgave 2cSvingetid

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem svingetiden til planpendelen med \(L=0.20\) m.
Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Svingetiden er perioden til cosinusfunksjonen i løsningen.

  1. Identifiser vinkelfrekvensen
    \(\omega=\sqrt{g/L}=\sqrt{49.05}\).
  2. Bruk periodeformelen
    For \(\cos(\omega t)\) er perioden \(T=2\pi/\omega\).
  3. Sett inn
    \(T=2\pi/\sqrt{49.05}\).
  4. Beregn
    \(\sqrt{49.05}\approx7.00357\).
  5. Finn perioden
    \(T\approx0.89714\) s.
  6. Tolk
    Etter omtrent 0.897 s er pendelen tilbake i samme posisjon og bevegelsestilstand.
Den første vertikale markeringen viser én full svingetid.
Den første vertikale markeringen viser én full svingetid.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
12*pi/sqrt(9.81/0.20)
Resultat: \(0.89714\text{ s}\)
Tolkning: CAS beregner perioden fra vinkelfrekvensen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import pi, sqrt, Rational, N, simplify

g = Rational(981,100)
L = Rational(1,5)
omega = sqrt(g/L)
T = 2*pi/omega
alternative = 2*pi*sqrt(L/g)

print("g =", g, "m/s^2")
print("L =", L, "m")
print("Vinkelfrekvens omega =", omega)
print("Eksakt periode T =", T)
print("Numerisk periode =", N(T, 14), "sekunder")
print("Alternativ form =", alternative)
print("Formkontroll =", simplify(T-alternative))

assert simplify(T-alternative) == 0
assert abs(float(N(T))-0.8971402930932747) < 1e-12

Kjørt utskriftg = 981/100 m/s^2
L = 1/5 m
Vinkelfrekvens omega = 3*sqrt(545)/10
Eksakt periode T = 4*sqrt(545)*pi/327
Numerisk periode = 0.89714029309327 sekunder
Alternativ form = 4*sqrt(545)*pi/327
Formkontroll = 0

Fasit: Svingetiden er omtrent \(0.897\) sekunder.

Vanlig feil: Å bruke \(1/\omega\) som periode og glemme faktoren \(2\pi\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter periodeformelen og korrekt enhet.
Del 2 / Oppgave 2dLengde til sekundpendel

Oppgave 2d

Oppgave: En sekundpendel har svingetid 2.0 s. Bestem lengden L.
Original poengangivelse: Oppgave 2 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser periodeformelen \(T=2\pi\sqrt{L/g}\) med hensyn på L.

  1. Skriv periodeformelen
    \(T=2\pi\sqrt{L/g}\).
  2. Sett inn T=2
    \(2=2\pi\sqrt{L/9.81}\).
  3. Del på 2π
    \(1/\pi=\sqrt{L/9.81}\).
  4. Kvadrer
    \(1/\pi^2=L/9.81\).
  5. Isoler L
    \(L=9.81/\pi^2\).
  6. Beregn
    \[L\approx0.99396\text{ m}\approx0.994\text{ m}.\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Solve(2=2*pi*sqrt(L/9.81),L)
Resultat: \(L=9.81/\pi^2\approx0.99396\)
Tolkning: CAS isolerer pendellengden fra periodeformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Eq, solve, pi, Rational, sqrt, N, simplify

L = symbols('L', positive=True)
g = Rational(981,100)
T = 2*pi*sqrt(L/g)
solution = solve(Eq(T,2),L)[0]
expected = g/pi**2

print("Periodeformel T(L) =", T)
print("Likning T=2 sekunder")
print("Løsning L =", solution)
print("Forventet form =", expected)
print("Numerisk lengde =", N(solution, 14), "meter")
print("Kontroll av perioden =", simplify(T.subs(L,solution)))

assert simplify(solution-expected) == 0
assert simplify(T.subs(L,solution)-2) == 0

Kjørt utskriftPeriodeformel T(L) = 20*sqrt(109)*pi*sqrt(L)/327
Likning T=2 sekunder
Løsning L = 981/(100*pi**2)
Forventet form = 981/(100*pi**2)
Numerisk lengde = 0.99396081153133 meter
Kontroll av perioden = 2

Fasit: \(L=\dfrac{9.81}{\pi^2}\approx0.994\) m.

Vanlig feil: Å sette L direkte lik perioden eller å glemme å kvadrere når roten fjernes.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt omforming av periodeformelen og rimelig lengdeenhet.
Del 2 / Oppgave 3aAvstand fra punkt til plan

Oppgave 3a

Oppgave: Planet \(\alpha:2x-3y+7z=5\). En kuleflate med sentrum \(S(8,5,0)\) tangerer planet. Bestem radiusen.
Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusen er den vinkelrette avstanden fra kulesenteret til tangentplanet.

  1. Skriv planet på standardform
    \(2x-3y+7z-5=0\).
  2. Bruk avstandsformelen
    \(d=|2x_0-3y_0+7z_0-5|/\sqrt{2^2+(-3)^2+7^2}\).
  3. Sett inn S
    Telleren blir \(|16-15+0-5|=|-4|=4\).
  4. Beregn nevneren
    \(\sqrt{4+9+49}=\sqrt{62}\).
  5. Skriv eksakt radius
    \(r=4/\sqrt{62}=2\sqrt{62}/31\).
  6. Beregn numerisk
    \(r\approx0.508\).
Radiusen står vinkelrett på tangentplanet.
Radiusen står vinkelrett på tangentplanet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Distance((8,5,0),2x-3y+7z=5)
Resultat: \(4/\sqrt{62}\)
Tolkning: Avstanden fra sentrum til planet er kulens radius.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import Matrix, sqrt, Rational, simplify, N

S = Matrix([8,5,0])
n = Matrix([2,-3,7])
d = -5
numerator = abs(n.dot(S) + d)
radius = simplify(numerator/n.norm())
rationalized = simplify(2*sqrt(62)/31)

print("Normalvektor =", n.T)
print("Planuttrykk i S =", n.dot(S)+d)
print("Absolutt teller =", numerator)
print("Normalvektorens lengde =", n.norm())
print("Radius eksakt =", radius)
print("Rasjonalisert form =", rationalized)
print("Radius numerisk =", N(radius, 14))

assert simplify(radius-rationalized) == 0

Kjørt utskriftNormalvektor = Matrix([[2, -3, 7]])
Planuttrykk i S = -4
Absolutt teller = 4
Normalvektorens lengde = sqrt(62)
Radius eksakt = 2*sqrt(62)/31
Rasjonalisert form = 2*sqrt(62)/31
Radius numerisk = 0.50800050800076

Fasit: \(r=\frac4{\sqrt{62}}=\frac{2\sqrt{62}}{31}\approx0.508\).

Vanlig feil: Å bruke det fortegnede planuttrykket -4 som radius uten absoluttverdi.
Sensorpunkt: Sensor ser etter punkt-plan-avstand med korrekt normalvektorlengde.
Del 2 / Oppgave 3bTangentplan til kule

Oppgave 3b

Oppgave: Planet \(\beta\) går gjennom \(A(1,2,-5)\), \(B(5,-2,1)\) og \(C(t,1,4)\). En kule har sentrum \(T(7,6,-3)\) og radius 2. Bestem eksakte t-verdier slik at \(\beta\) tangerer kuleflaten.
Original poengangivelse: Oppgave 3 (4 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner en normalvektor til planet som avhenger av t, og setter punkt-plan-avstanden fra T lik radius 2.

  1. Finn to retningsvektorer
    \(\overrightarrow{AB}=(4,-4,6)\) og \(\overrightarrow{AC}=(t-1,-1,9)\).
  2. Finn normalvektoren
    Kryssproduktet kan forenkles til \(\vec n=(-30,6t-42,4t-8)\).
  3. Skriv avstandstelleren
    \(|\vec n\cdot(T-A)|=|4(8t-91)|\).
  4. Skriv normkvadratet
    \(|\vec n|^2=4(13t^2-142t+682)\).
  5. Sett avstanden lik 2
    \(\frac{|4(8t-91)|}{\sqrt{4(13t^2-142t+682)}}=2\).
  6. Kvadrer og løs
    Likningen gir \[t=17\quad\text{eller}\quad t=\frac{149}{17}.\] Begge gir gyldige plan.
Et tangentplan har avstand nøyaktig lik radiusen fra kulesenteret.
Et tangentplan har avstand nøyaktig lik radiusen fra kulesenteret.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1Cross((4,-4,6),(t-1,-1,9))
Resultat: \((-30,6t-42,4t-8)\)
Tolkning: Dette er en normalvektor til planet β.
2Solve(Distance(T,beta)=2,t)
Resultat: \(t=17,149/17\)
Tolkning: Begge parameterverdiene gir tangentavstand lik radius 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, Matrix, Eq, solve, simplify, factor, sqrt, Rational

t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([1,2,-5])
B = Matrix([5,-2,1])
C = Matrix([t,1,4])
T = Matrix([7,6,-3])
AB = B-A
AC = C-A
normal = AB.cross(AC)
numerator = simplify(normal.dot(T-A))
denominator_sq = simplify(normal.dot(normal))
equation = Eq(numerator**2, 4*denominator_sq)
solutions = solve(equation,t)

print("Vektor AB =", AB.T)
print("Vektor AC =", AC.T)
print("Normalvektor n =", normal.T)
print("Fortegnet avstandsteller =", factor(numerator))
print("Normkvadrat =", factor(denominator_sq))
print("Kvadrert tangentlikning =", equation)
print("Eksakte t-verdier =", solutions)
for value in solutions:
    distance = simplify(abs(normal.subs(t,value).dot(T-A))/sqrt(denominator_sq.subs(t,value)))
    print("Avstand for t =", value, "er", distance)

assert set(solutions) == {17, Rational(149,17)}

Kjørt utskriftVektor AB = Matrix([[4, -4, 6]])
Vektor AC = Matrix([[t - 1, -1, 9]])
Normalvektor n = Matrix([[-30, 6*t - 42, 4*t - 8]])
Fortegnet avstandsteller = 4*(8*t - 91)
Normkvadrat = 4*(13*t**2 - 142*t + 682)
Kvadrert tangentlikning = Eq((32*t - 364)**2, 208*t**2 - 2272*t + 10912)
Eksakte t-verdier = [149/17, 17]
Avstand for t = 149/17 er 2
Avstand for t = 17 er 2

Fasit: \(t=17\) eller \(t=\frac{149}{17}\).

Vanlig feil: Å sette planavstanden lik 4 fordi avstandsformelen senere kvadreres, eller å miste en løsning ved å fjerne absoluttverdien.
Sensorpunkt: Sensor ser etter kryssprodukt, avstandsformel, kvadrering og kontroll av begge løsninger.
Del 2 / Oppgave 4aOmdreiningsvolum

Oppgave 4a

Oppgave: Innsideflaten til et stettglass fås ved å rotere \(f(x)=-0.3\sin(1.9x-4.1)+0.25\), \(x\in[0,1.5]\), om x-aksen. Hvor mye vann rommer glasset når det fylles helt?
Original poengangivelse: Oppgave 4 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vannvolumet er volumet av omdreiningslegemet med radius f(x). En dm³ er én liter.

  1. Bruk skivemetoden
    Et tverrsnitt ved x har areal \(\pi f(x)^2\).
  2. Sett opp integralet
    \(V=\pi\int_0^{1.5}f(x)^2dx\).
  3. Kontroller enheten
    x og f(x) er målt i dm, så integralet gir dm³.
  4. Beregn digitalt
    Numerisk integrasjon gir \(V\approx0.714623\) dm³.
  5. Konverter til liter
    \(1\text{ dm}^3=1\) liter.
  6. Konkluder
    Glasset rommer omtrent \(0.715\) liter, altså \(715\) mL.
Innsideprofilen f(x) bestemmer vannvolumet.
Innsideprofilen f(x) bestemmer vannvolumet.
Rotasjon av profilen gir glassformen.
Rotasjon av profilen gir glassformen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1pi*Integral((-0.3*sin(1.9x-4.1)+0.25)^2,0,1.5)
Resultat: \(0.714623\text{ dm}^3\)
Tolkning: CAS beregner skiveintegralet for innsidevolumet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, pi, Rational, integrate, N

x = symbols('x', real=True)
f = -Rational(3,10)*sin(Rational(19,10)*x-Rational(41,10)) + Rational(1,4)
volume = pi*integrate(f**2, (x,0,Rational(3,2)))

print("Innsidefunksjon f(x) =", f)
print("Volumintegral = pi*Integral(f(x)^2, 0, 1.5)")
print("Eksakt SymPy-uttrykk =", volume)
print("Volum i dm^3 =", N(volume, 15))
print("Volum i liter =", N(volume, 15))
print("Volum i milliliter =", N(1000*volume, 12))

assert abs(float(N(volume))-0.714623259672670) < 1e-12

Kjørt utskriftInnsidefunksjon f(x) = 1/4 - 3*sin(19*x/10 - 41/10)/10
Volumintegral = pi*Integral(f(x)^2, 0, 1.5)
Eksakt SymPy-uttrykk = pi*(-9*sin(41/10)*cos(41/10)/380 + 27*cos(5/4)**2/400 + 9*sin(5/4)*cos(5/4)/380 + 3*cos(5/4)/38 - 3*cos(41/10)/38 + 27*sin(5/4)**2/400 + 3/32)
Volum i dm^3 = 0.714623259672670
Volum i liter = 0.714623259672670
Volum i milliliter = 714.623259673

Fasit: Glasset rommer omtrent \(0.7146\) L, altså omtrent \(715\) mL.

Vanlig feil: Å integrere f(x) i stedet for \(\pi f(x)^2\), eller å konvertere dm³ feil.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skivemetoden, riktig intervall og enhet.
Del 2 / Oppgave 4bVolum mellom omdreiningsflater

Oppgave 4b

Oppgave: Glasset er 3 mm tykt. Ytterflaten tilnærmes av \(g(x)=f(x)+0.03\). Bestem volumet av glassmaterialet uten stett.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Materialvolumet er forskjellen mellom det ytre og indre omdreiningsvolumet.

  1. Kontroller tykkelsen
    3 mm = 0.03 dm, derfor er \(g=f+0.03\).
  2. Skriv ytre volum
    \(V_y=\pi\int_0^{1.5}g(x)^2dx\).
  3. Skriv indre volum
    \(V_i=\pi\int_0^{1.5}f(x)^2dx\).
  4. Trekk fra
    \(V_m=\pi\int_0^{1.5}(g^2-f^2)dx\).
  5. Beregn
    \(V_m\approx0.101420\) dm³.
  6. Konverter
    Volumet er omtrent \(101.42\) cm³.
Det skraverte båndet mellom g og f representerer glasstykkelsen i profil.
Det skraverte båndet mellom g og f representerer glasstykkelsen i profil.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
1pi*Integral(g(x)^2-f(x)^2,0,1.5)
Resultat: \(0.101420\text{ dm}^3\)
Tolkning: CAS beregner volumet mellom ytter- og innsideflatene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, pi, Rational, integrate, N, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = -Rational(3,10)*sin(Rational(19,10)*x-Rational(41,10)) + Rational(1,4)
g = f + Rational(3,100)
outer_volume = pi*integrate(g**2, (x,0,Rational(3,2)))
inner_volume = pi*integrate(f**2, (x,0,Rational(3,2)))
material_volume = simplify(outer_volume-inner_volume)

print("f(x) =", f)
print("g(x) =", g)
print("Ytre volum =", N(outer_volume, 15), "dm^3")
print("Indre volum =", N(inner_volume, 15), "dm^3")
print("Materialvolum =", N(material_volume, 15), "dm^3")
print("Materialvolum =", N(1000*material_volume, 12), "cm^3")
print("Kontroll ytre-indre =", N(outer_volume-inner_volume-material_volume, 5))

assert abs(float(N(material_volume))-0.101419925780485) < 1e-12

Kjørt utskriftf(x) = 1/4 - 3*sin(19*x/10 - 41/10)/10
g(x) = 7/25 - 3*sin(19*x/10 - 41/10)/10
Ytre volum = 0.816043185453155 dm^3
Indre volum = 0.714623259672670 dm^3
Materialvolum = 0.101419925780485 dm^3
Materialvolum = 101.419925780 cm^3
Kontroll ytre-indre = -0.e-125

Fasit: Materialvolumet er omtrent \(0.10142\) dm³, altså \(101.42\) cm³.

Vanlig feil: Å legge sammen indre og ytre volum i stedet for å ta differansen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skiveforskjell, korrekt tykkelse i dm og enhetskonvertering.
Del 2 / Oppgave 4cTynnskallstilnærming

Oppgave 4c

Oppgave: Bruk svaret i b til å bestemme en tilnærmet verdi for overflatearealet på utsiden av glasset uten stett.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? For et tynt lag er volum omtrent lik overflateareal multiplisert med tykkelse.

  1. Bruk tilnærmingen
    \(V\approx O\cdot d\), der d er tykkelsen.
  2. Sett inn tykkelsen
    \(d=0.03\) dm.
  3. Isoler arealet
    \(O\approx V/d\).
  4. Sett inn materialvolumet
    \(O\approx0.1014199258/0.03\).
  5. Beregn
    \(O\approx3.38066\) dm².
  6. Konverter om ønskelig
    \(3.38066\) dm² = \(338.07\) cm².
Når laget er tynt, er volumet omtrent tykkelsen ganger overflatearealet.
Når laget er tynt, er volumet omtrent tykkelsen ganger overflatearealet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
10.101419925780485/0.03
Resultat: \(3.38066\text{ dm}^2\)
Tolkning: Volum delt på tykkelse gir et tilnærmet areal for et tynt skall.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import Rational, N

material_volume = 0.101419925780485
thickness = Rational(3,100)
approx_area = material_volume/thickness

print("Materialvolum =", material_volume, "dm^3")
print("Tykkelse =", thickness, "dm")
print("Tilnærming V = O*d")
print("Overflateareal O = V/d =", N(approx_area, 14), "dm^2")
print("Overflateareal =", N(100*approx_area, 12), "cm^2")
print("Dette er en tynnskallstilnærming")

assert abs(float(approx_area)-3.380664192682833) < 1e-10

Kjørt utskriftMaterialvolum = 0.101419925780485 dm^3
Tykkelse = 3/100 dm
Tilnærming V = O*d
Overflateareal O = V/d = 3.3806641926828 dm^2
Overflateareal = 338.066419268 cm^2
Dette er en tynnskallstilnærming

Fasit: Tilnærmet utvendig overflateareal er \(3.38\) dm², altså omtrent \(338\) cm².

Vanlig feil: Å dele på 3 i stedet for 0.03 dm, eller å blande cm³ og dm i samme beregning.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sammenhengen volum = areal · tykkelse og konsekvente enheter.
Del 2 / Oppgave 4dOverflate av omdreiningslegeme

Oppgave 4d

Oppgave: Bruk formelen \(O=2\pi\int_a^b h(x)\sqrt{1+(h\prime(x))^2}\,dx\) til å bestemme overflatearealet på utsiden av glasset uten stett.
Original poengangivelse: Oppgave 4 (7 poeng).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Utsiden beskrives av g(x), så vi setter g og den deriverte inn i formelen og integrerer numerisk.

  1. Velg riktig funksjon
    Ytterflaten er \(g(x)=f(x)+0.03\).
  2. Deriver g
    \(g\prime(x)=-0.57\cos(1.9x-4.1)\).
  3. Sett opp integralet
    \[O=2\pi\int_0^{1.5}g(x)\sqrt{1+(g\prime(x))^2}\,dx.\]
  4. Bruk digitale verktøy
    Integralet har ikke en hensiktsmessig elementær stamfunksjon, så vi beregner numerisk.
  5. Beregn
    \(O\approx3.748403859\) dm².
  6. Konverter og sammenlign
    Dette er \(374.84\) cm², noe større enn tynnskallstilnærmingen i c.
Ytterprofilen g(x) brukes i overflateformelen.
Ytterprofilen g(x) brukes i overflateformelen.
Den beregnede flaten er den roterte ytterprofilen uten stett.
Den beregnede flaten er den roterte ytterprofilen uten stett.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS
12*pi*Integral(g(x)*sqrt(1+(Derivative(g(x),x))^2),0,1.5)
Resultat: \(3.74840\text{ dm}^2\)
Tolkning: CAS utfører numerisk buelengdebasert overflateintegrasjon.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt
from sympy import symbols, sin, cos, pi, Rational, diff, sqrt, Integral, N

x = symbols('x', real=True)
f = -Rational(3,10)*sin(Rational(19,10)*x-Rational(41,10)) + Rational(1,4)
g = f + Rational(3,100)
g_prime = diff(g,x)
integrand = 2*pi*g*sqrt(1+g_prime**2)
area = Integral(integrand, (x,0,Rational(3,2))).evalf(18)

print("Ytterfunksjon g(x) =", g)
print("Derivert g'(x) =", g_prime)
print("Integrand =", integrand)
print("Integrasjonsintervall = [0, 1.5]")
print("Overflateareal =", area, "dm^2")
print("Overflateareal =", N(100*area, 14), "cm^2")
print("Forskjell fra del c =", N(area-3.38066419268282, 12), "dm^2")

assert abs(float(area)-3.748403859275869) < 1e-11

Kjørt utskriftYtterfunksjon g(x) = 7/25 - 3*sin(19*x/10 - 41/10)/10
Derivert g'(x) = -57*cos(19*x/10 - 41/10)/100
Integrand = 2*pi*(7/25 - 3*sin(19*x/10 - 41/10)/10)*sqrt(3249*cos(19*x/10 - 41/10)**2/10000 + 1)
Integrasjonsintervall = [0, 1.5]
Overflateareal = 3.74840385927586872 dm^2
Overflateareal = 374.84038592759 cm^2
Forskjell fra del c = 0.367739666593 dm^2

Fasit: Overflatearealet er omtrent \(3.7484\) dm², altså \(374.84\) cm².

Vanlig feil: Å bruke innsidefunksjonen f i stedet for ytterfunksjonen g, eller å glemme kvadratet av den deriverte.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig funksjon, derivert, integraloppsett, numerisk verdi og enhet.