R2 eksamenHøst 2015

Matematikk R2 eksamen – høst 2015

ifingo
Norsk (Bokmål)

Matematikk R2 - eksamen høst 2015 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=5\cos(2x)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kjerneregelen. Den ytre funksjonen er cosinus, mens den indre funksjonen er \(2x\).

Steg 1 - Identifiser ytre og indre funksjon

Skriv \(f(x)=5\cos(u)\), der \(u=2x\).

Steg 2 - Deriver den ytre funksjonen

\[\frac{d}{du}\cos u=-\sin u\]

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u\prime=2\]

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[f\prime(x)=5\cdot(-\sin(2x))\cdot 2\]

Steg 5 - Forenkle

\[f\prime(x)=-10\sin(2x)\]

Steg 6 - Kontroller fortegn og faktor

Minusfortegnet kommer fra derivasjonen av cosinus, og faktoren 2 kommer fra den indre funksjonen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(5 cos(2x), x)
Resultat: \(-10\sin(2x)\)

Tolkning: CAS bekrefter både minusfortegnet og faktoren fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, cos, sin, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 5*cos(2*x)
result = diff(f, x)
expected = -10*sin(2*x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", result)
print("Kontroll =", simplify(result - expected))
assert simplify(result - expected) == 0

Utskrift
f(x) = 5*cos(2*x)
f'(x) = -10*sin(2*x)
Kontroll = 0

Fasit: \(f\prime(x)=-10\sin(2x)\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 fra den indre funksjonen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig bruk av kjerneregelen og korrekt fortegn.
Del 1 · Oppgave 1bProduktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=x\sin x\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(\sin x\), så vi bruker produktregelen.

Steg 1 - Navngi faktorene

La \(u(x)=x\) og \(v(x)=\sin x\).

Steg 2 - Deriver den første faktoren

\[u\prime(x)=1\]

Steg 3 - Deriver den andre faktoren

\[v\prime(x)=\cos x\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 5 - Sett inn

\[g\prime(x)=1\cdot\sin x+x\cos x\]

Steg 6 - Skriv ryddig svar

\[g\prime(x)=\sin x+x\cos x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(x sin(x), x)
Resultat: \(\sin x+x\cos x\)

Tolkning: CAS viser at begge leddene fra produktregelen er med.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
g = x*sin(x)
result = diff(g, x)
expected = sin(x) + x*cos(x)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", result)
print("Kontroll =", simplify(result - expected))
assert simplify(result - expected) == 0

Utskrift
g(x) = x*sin(x)
g'(x) = x*cos(x) + sin(x)
Kontroll = 0

Fasit: \(g\prime(x)=\sin x+x\cos x\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte.
Sensorpunkt: Sensor ser etter produktregelen med begge leddene.
Del 1 · Oppgave 1cProduktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=5e^{-x}\sin(2x)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må kombinere produktregelen med kjerneregelen i begge faktorene.

Steg 1 - Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=5e^{-x}\) og \(v(x)=\sin(2x)\).

Steg 2 - Deriver eksponentialfaktoren

\[u\prime(x)=-5e^{-x}\]

Steg 3 - Deriver sinusfaktoren

\[v\prime(x)=2\cos(2x)\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 5 - Sett inn uttrykkene

\[h\prime(x)=-5e^{-x}\sin(2x)+10e^{-x}\cos(2x)\]

Steg 6 - Faktoriser

\[h\prime(x)=5e^{-x}\bigl(2\cos(2x)-\sin(2x)\bigr)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(5 exp(-x) sin(2x), x)
2Factor(5 exp(-x) (2 cos(2x)-sin(2x)))
Resultat: \(5e^{-x}(2\cos(2x)-\sin(2x))\)

Tolkning: Faktoriseringen gjør strukturen i svaret tydelig.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, sin, cos, diff, simplify, factor
x = symbols('x', real=True)
h = 5*exp(-x)*sin(2*x)
result = diff(h, x)
expected = 5*exp(-x)*(2*cos(2*x) - sin(2*x))
print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", factor(result))
print("Kontroll =", simplify(result - expected))
assert simplify(result - expected) == 0

Utskrift
h(x) = 5*exp(-x)*sin(2*x)
h'(x) = 5*(-sin(2*x) + 2*cos(2*x))*exp(-x)
Kontroll = 0

Fasit: \(h\prime(x)=5e^{-x}(2\cos(2x)-\sin(2x))\).

Vanlig feil: Å glemme ett av de to leddene i produktregelen eller faktoren 2.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel, kjerneregel og en ryddig sluttform.
Del 1 · Oppgave 2aBestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^2(x^2-2x+1)\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en antiderivert ledd for ledd og bruke analysens fundamentalteorem.

Steg 1 - Integrer hvert ledd

\[\int(x^2-2x+1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C\]

Steg 2 - Sett opp grenseuttrykket

\[\left[\frac{x^3}{3}-x^2+x\right]_0^2\]

Steg 3 - Sett inn øvre grense

\[\frac{2^3}{3}-2^2+2=\frac83-4+2\]

Steg 4 - Sett inn nedre grense

\[\frac{0^3}{3}-0^2+0=0\]

Steg 5 - Trekk fra

\[\frac83-4+2-0=\frac23\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

Integranden er \((x-1)^2\ge 0\), så integralet skal være positivt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(x^2 - 2x + 1, 0, 2)
Resultat: \(\frac23\)

Tolkning: Resultatet er positivt, som passer med at integranden er et kvadrat.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, integrate, Rational, simplify
x = symbols('x', real=True)
expr = x**2 - 2*x + 1
F = integrate(expr, x)
value = integrate(expr, (x, 0, 2))
print("Integrand =", expr)
print("Antiderivert =", F)
print("Bestemt integral =", value)
print("Kontroll =", simplify(value - Rational(2, 3)))
assert value == Rational(2, 3)

Utskrift
Integrand = x**2 - 2*x + 1
Antiderivert = x**3/3 - x**2 + x
Bestemt integral = 2/3
Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\int_0^2(x^2-2x+1)\,dx=\frac23\).

Vanlig feil: Å glemme å trekke fra verdien ved nedre grense.
Sensorpunkt: Sensor ser etter antiderivert, korrekt grenseinnsetting og eksakt svar.
Del 1 · Oppgave 2bSubstitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{e^x}{(e^x+1)^2}\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren inneholder \(e^x+1\), og den deriverte av dette uttrykket er telleren. Derfor er substitusjon naturlig.

Steg 1 - Velg substitusjon

\[u=e^x+1\]

Steg 2 - Finn differensialet

\[du=e^x\,dx\]

Steg 3 - Skriv integralet i u

\[\int\frac{du}{u^2}=\int u^{-2}\,du\]

Steg 4 - Integrer potensfunksjonen

\[\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C\]

Steg 5 - Sett tilbake

\[-\frac1{e^x+1}+C\]

Steg 6 - Deriver som kontroll

\[\frac{d}{dx}\left(-\frac1{e^x+1}\right)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(exp(x)/(exp(x)+1)^2, x)
Resultat: \(-\frac1{e^x+1}+C\)

Tolkning: CAS bekrefter at substitusjonen gir riktig antiderivert.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
expr = exp(x)/(exp(x) + 1)**2
F = -1/(exp(x) + 1)
cas = integrate(expr, x)
print("Integrand =", expr)
print("Valgt antiderivert =", F)
print("SymPy-antiderivert =", cas)
print("Derivasjonskontroll =", simplify(diff(F, x) - expr))
assert simplify(diff(F, x) - expr) == 0

Utskrift
Integrand = exp(x)/(exp(x) + 1)**2
Valgt antiderivert = -1/(exp(x) + 1)
SymPy-antiderivert = -1/(exp(x) + 1)
Derivasjonskontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle-\frac1{e^x+1}+C\).

Vanlig feil: Å glemme at \(\int u^{-2}du=-u^{-1}+C\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig substitusjon og tilbakeinnsetting.
Del 1 · Oppgave 3Omdreiningsvolum

Oppgave 3

Oppgave: Funksjonen \(f(x)=2e^{-x/2}\), \(x\in[0,\ln3]\), roteres \(360^{\circ}\) om \(x\)-aksen. Vis at volumet blir \(V=\frac{8\pi}{3}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skivemetoden. Radiusen i hver skive er funksjonsverdien \(f(x)\).

Steg 1 - Skriv volumformelen

\[V=\pi\int_0^{\ln3}(f(x))^2\,dx\]

Steg 2 - Kvadrer radiusen

\[(2e^{-x/2})^2=4e^{-x}\]

Steg 3 - Sett inn

\[V=4\pi\int_0^{\ln3}e^{-x}\,dx\]

Steg 4 - Finn antiderivert

\[\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}\]

Steg 5 - Bruk grensene

\[V=4\pi\left[-e^{-x}\right]_0^{\ln3}=4\pi\left(1-e^{-\ln3}\right)\]

Steg 6 - Forenkle

\[e^{-\ln3}=\frac13\quad\Longrightarrow\quad V=4\pi\left(1-\frac13\right)=\frac{8\pi}{3}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1pi Integral((2 exp(-x/2))^2, 0, ln(3))
Resultat: \(\frac{8\pi}{3}\)

Tolkning: CAS bekrefter skiveintegralet og den eksakte verdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, log, pi, integrate, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 2*exp(-x/2)
V = pi*integrate(f**2, (x, 0, log(3)))
expected = 8*pi/3
print("f(x)^2 =", simplify(f**2))
print("Volumintegral = pi*Integral(f(x)^2, (x, 0, log(3)))")
print("V =", simplify(V))
print("Kontroll =", simplify(V - expected))
assert simplify(V - expected) == 0

Utskrift
f(x)^2 = 4*exp(-x)
Volumintegral = pi*Integral(f(x)^2, (x, 0, log(3)))
V = 8*pi/3
Kontroll = 0

Fasit: \(V=\frac{8\pi}{3}\) volumenheter.

Vanlig feil: Å glemme å kvadrere funksjonen i skivemetoden.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt volumformel, riktige grenser og eksakt forenkling.
Del 1 · Oppgave 4aGrafavlesning og den deriverte

Oppgave 4a

Oppgave: Figuren viser grafene til \(F\) og \(f\), og det er gitt at \(F\prime(x)=f(x)\). Bruk figuren til å bestemme \(F\prime(4)\).
Vis løsning
Udir-figuren med grafene til F og f.
Udir-figuren med grafene til F og f.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sammenhengen \(F\prime=f\) og lese funksjonsverdien til den blå grafen ved \(x=4\).

Steg 1 - Bruk opplysningen

\[F\prime(4)=f(4)\]

Steg 2 - Finn x-verdien i figuren

Gå til \(x=4\) på den vannrette aksen.

Steg 3 - Les av den blå grafen

Den blå grafen har verdien \(1\) ved \(x=4\).

Steg 4 - Sett inn

\[F\prime(4)=1\]

Steg 5 - Tolk svaret

Grafen til \(F\) har stigningstall 1 ved \(x=4\).

Steg 6 - Rimelighetskontroll

Den røde grafen er stigende ved \(x=4\), så den deriverte skal være positiv.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1f(4)
Resultat: \(1\)

Tolkning: Avlesningen gir den deriverte direkte fordi F er en antiderivert av f.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import Integer
f_at_4 = Integer(1)
F_prime_at_4 = f_at_4
print("Avlest f(4) =", f_at_4)
print("Siden F'(x) = f(x):")
print("F'(4) =", F_prime_at_4)
print("Fortegn positivt =", F_prime_at_4 > 0)
assert F_prime_at_4 == 1

Utskrift
Avlest f(4) = 1
Siden F'(x) = f(x):
F'(4) = 1
Fortegn positivt = True

Fasit: \(F\prime(4)=1\).

Vanlig feil: Å lese av den røde grafen i stedet for den blå grafen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter at eleven bruker \(F\prime(4)=f(4)\) og leser riktig graf.
Del 1 · Oppgave 4bAreal og fundamentalteoremet

Oppgave 4b

Oppgave: Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.
Vis løsning
Det markerte arealet kan leses via endringen i F.
Det markerte arealet kan leses via endringen i F.

Hva spør oppgaven om? Det markerte arealet ligger over x-aksen under grafen til f. Siden \(F\prime=f\), kan arealet finnes ved endringen i \(F\).

Steg 1 - Les av grensene

Den blå grafen skjærer x-aksen ved omtrent \(x=0{,}5\) og \(x=4{,}5\).

Steg 2 - Skriv arealet som integral

\[A=\int_{0.5}^{4.5}f(x)\,dx\]

Steg 3 - Bruk F som antiderivert

\[A=F(4.5)-F(0.5)\]

Steg 4 - Les av F-verdiene

Av figuren leser vi \(F(4.5)=6\) og \(F(0.5)=-1\).

Steg 5 - Regn differansen

\[A=6-(-1)=7\]

Steg 6 - Kontroller fortegnet

Hele det markerte området ligger over x-aksen, så arealet skal være positivt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1F(4.5) - F(0.5)
Resultat: \(7\)

Tolkning: Fundamentalteoremet omgjør integralet av f til differansen i F.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import Rational
left = Rational(1, 2)
right = Rational(9, 2)
F_left = -1
F_right = 6
area = F_right - F_left
print("Venstre grense =", left)
print("Hoyre grense =", right)
print("F(0.5) =", F_left)
print("F(4.5) =", F_right)
print("Areal =", area)
assert area == 7

Utskrift
Venstre grense = 1/2
Hoyre grense = 9/2
F(0.5) = -1
F(4.5) = 6
Areal = 7

Fasit: Arealet er \(7\) arealenheter.

Vanlig feil: Å regne \(F(0.5)-F(4.5)\), eller å bruke fortegnet areal uten å kontrollere at f er positiv.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig bruk av areal som bestemt integral og korrekt avlesning av F-verdiene.
Del 1 · Oppgave 5aKuleflate

Oppgave 5a

Oppgave: En kuleflate er gitt ved \(x^2-2x+y^2+6y+z^2-4z-11=0\). Vis at \(P(4,1,2)\) ligger på kuleflaten.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter koordinatene til P inn i venstresiden og kontrollerer at resultatet blir 0.

Steg 1 - Sett inn x-koordinaten

\[x^2-2x=4^2-2\cdot4=16-8\]

Steg 2 - Sett inn y-koordinaten

\[y^2+6y=1^2+6\cdot1=1+6\]

Steg 3 - Sett inn z-koordinaten

\[z^2-4z=2^2-4\cdot2=4-8\]

Steg 4 - Ta med konstantleddet

\[16-8+1+6+4-8-11\]

Steg 5 - Regn ut

\[16-8+1+6+4-8-11=0\]

Steg 6 - Konkluder

Koordinatene oppfyller kulelikningen, derfor ligger P på kuleflaten.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Substitute(x^2-2x+y^2+6y+z^2-4z-11,{x=4,y=1,z=2})
Resultat: \(0\)

Tolkning: Punktet ligger på flaten fordi innsetting gir null.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
expr = x**2 - 2*x + y**2 + 6*y + z**2 - 4*z - 11
value = expr.subs({x: 4, y: 1, z: 2})
print("Kuleuttrykk =", expr)
print("Verdi i P(4,1,2) =", value)
print("P ligger pa kuleflaten =", value == 0)
assert simplify(value) == 0

Utskrift
Kuleuttrykk = x**2 - 2*x + y**2 + 6*y + z**2 - 4*z - 11
Verdi i P(4,1,2) = 0
P ligger pa kuleflaten = True

Fasit: Punktet \(P(4,1,2)\) ligger på kuleflaten.

Vanlig feil: Å glemme konstantleddet \(-11\) ved innsetting.
Sensorpunkt: Sensor ser etter full innsetting og konklusjonen \(0=0\).
Del 1 · Oppgave 5bFullstendige kvadrater

Oppgave 5b

Oppgave: Bestem sentrum og radius til kulen \(x^2-2x+y^2+6y+z^2-4z-11=0\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi fullfører kvadratet i x-, y- og z-leddene for å skrive likningen på standardform.

Steg 1 - Fullfør kvadratet i x

\[x^2-2x=(x-1)^2-1\]

Steg 2 - Fullfør kvadratet i y

\[y^2+6y=(y+3)^2-9\]

Steg 3 - Fullfør kvadratet i z

\[z^2-4z=(z-2)^2-4\]

Steg 4 - Sett inn i likningen

\[(x-1)^2-1+(y+3)^2-9+(z-2)^2-4-11=0\]

Steg 5 - Samle konstantene

\[(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=25\]

Steg 6 - Les av sentrum og radius

\[S=(1,-3,2),\qquad r=\sqrt{25}=5\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1CompleteSquare(x^2-2x+y^2+6y+z^2-4z-11)
Resultat: \((x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=25\)

Tolkning: Standardformen gir sentrum og radius direkte.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, expand, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
original = x**2 - 2*x + y**2 + 6*y + z**2 - 4*z - 11
standard_left = (x-1)**2 + (y+3)**2 + (z-2)**2 - 25
print("Originalt uttrykk =", original)
print("Standardformens venstreside =", standard_left)
print("Utvidet standardform =", expand(standard_left))
print("Kontroll =", simplify(original - standard_left))
print("Sentrum = (1, -3, 2), radius = 5")
assert simplify(original - standard_left) == 0

Utskrift
Originalt uttrykk = x**2 - 2*x + y**2 + 6*y + z**2 - 4*z - 11
Standardformens venstreside = (x - 1)**2 + (y + 3)**2 + (z - 2)**2 - 25
Utvidet standardform = x**2 - 2*x + y**2 + 6*y + z**2 - 4*z - 11
Kontroll = 0
Sentrum = (1, -3, 2), radius = 5

Fasit: Sentrum er \(S(1,-3,2)\), og radiusen er \(5\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil: leddet \((y+3)^2\) gir sentrumsy-koordinat \(-3\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt fullføring av tre kvadrater og standardformen.
Del 1 · Oppgave 5cTangentplan til kule

Oppgave 5c

Oppgave: Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet \(P(4,1,2)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Radiusvektoren fra sentrum til berøringspunktet står normalt på tangentplanet.

Steg 1 - Bruk sentrum fra forrige del

\[S=(1,-3,2)\]

Steg 2 - Finn radiusvektoren

\[\overrightarrow{SP}=(4-1,\,1-(-3),\,2-2)=(3,4,0)\]

Steg 3 - Velg normalvektor

En normalvektor til tangentplanet er derfor \(\mathbf n=(3,4,0)\).

Steg 4 - Bruk punkt-normal-formen

\[3(x-4)+4(y-1)+0(z-2)=0\]

Steg 5 - Utvid

\[3x-12+4y-4=0\]

Steg 6 - Skriv standardform

\[3x+4y-16=0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Plane(P, Vector((3,4,0)))
Resultat: \(3x+4y-16=0\)

Tolkning: Normalvektoren er radiusvektoren til berøringspunktet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, expand, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
S = (1, -3, 2)
P = (4, 1, 2)
normal = tuple(P[i] - S[i] for i in range(3))
plane = normal[0]*(x-P[0]) + normal[1]*(y-P[1]) + normal[2]*(z-P[2])
print("Radiusvektor SP =", normal)
print("Punkt-normal-form =", plane)
print("Utvidet planuttrykk =", expand(plane))
print("P ligger i planet =", simplify(plane.subs({x:4,y:1,z:2})) == 0)
assert expand(plane) == 3*x + 4*y - 16

Utskrift
Radiusvektor SP = (3, 4, 0)
Punkt-normal-form = 3*x + 4*y - 16
Utvidet planuttrykk = 3*x + 4*y - 16
P ligger i planet = True

Fasit: Et tangentplan er \(3x+4y-16=0\).

Vanlig feil: Å bruke \(\overrightarrow{PS}\) uten å være konsekvent med fortegnet i planlikningen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter radiusvektor som normal og korrekt punktinnsetting.
Del 1 · Oppgave 6aTrigonometriske identiteter

Oppgave 6a

Oppgave: Bruk addisjonsformlene til å uttrykke \(\sin(2x)\) og \(\cos(2x)\) ved \(\sin x\) og \(\cos x\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(u=x\) og \(v=x\) i de oppgitte addisjonsformlene.

Steg 1 - Start med sinusformelen

\[\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v\]

Steg 2 - Sett u=v=x

\[\sin(2x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x\]

Steg 3 - Samle like ledd

\[\sin(2x)=2\sin x\cos x\]

Steg 4 - Start med cosinusformelen

\[\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v\]

Steg 5 - Sett u=v=x

\[\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\]

Steg 6 - Oppsummer

Begge dobbeltvinkelformlene er utledet direkte fra addisjonsformlene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1TrigExpand(sin(2x))
2TrigExpand(cos(2x))
Resultat: \(2\sin x\cos x\) og \(\cos^2x-\sin^2x\)

Tolkning: CAS bekrefter de to dobbeltvinkelformlene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, cos, expand_trig, simplify
x = symbols('x', real=True)
s1 = expand_trig(sin(2*x))
c1 = expand_trig(cos(2*x))
print("sin(2x) =", s1)
print("cos(2x) =", c1)
print("Sinus-kontroll =", simplify(s1 - 2*sin(x)*cos(x)))
print("Cosinus-kontroll =", simplify(c1 - (cos(x)**2-sin(x)**2)))
assert simplify(s1 - 2*sin(x)*cos(x)) == 0
assert simplify(c1 - (cos(x)**2-sin(x)**2)) == 0

Utskrift
sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
cos(2x) = 2*cos(x)**2 - 1
Sinus-kontroll = 0
Cosinus-kontroll = 0

Fasit: \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) og \(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\).

Vanlig feil: Å skrive pluss mellom kvadratene i cosinusformelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter innsettingen \(u=v=x\), ikke bare memorert resultat.
Del 1 · Oppgave 6bTrippelvinkelidentitet

Oppgave 6b

Oppgave: Vis at \(\sin(3x)=3\sin x-4(\sin x)^3\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver \(3x=2x+x\), bruker addisjonsformelen og dobbeltvinkelformlene fra del a.

Steg 1 - Bruk addisjonsformelen

\[\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos x+\cos(2x)\sin x\]

Steg 2 - Sett inn dobbeltvinkelformlene

\[\sin(3x)=2\sin x\cos^2x+(\cos^2x-\sin^2x)\sin x\]

Steg 3 - Multipliser ut

\[\sin(3x)=3\sin x\cos^2x-\sin^3x\]

Steg 4 - Bruk \(\cos^2x=1-\sin^2x\)

\[\sin(3x)=3\sin x(1-\sin^2x)-\sin^3x\]

Steg 5 - Multipliser ut igjen

\[\sin(3x)=3\sin x-3\sin^3x-\sin^3x\]

Steg 6 - Samle ledd

\[\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1TrigExpand(sin(3x))
2Simplify(TrigExpand(sin(3x))-(3 sin(x)-4 sin(x)^3))
Resultat: \(0\)

Tolkning: Differansen mellom sidene forenkles til null.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, expand_trig, simplify
x = symbols('x', real=True)
left = sin(3*x)
right = 3*sin(x) - 4*sin(x)**3
expanded = expand_trig(left)
print("Utvidet sin(3x) =", expanded)
print("Hoyreside =", right)
print("Differanse =", simplify(left - right))
assert simplify(left - right) == 0

Utskrift
Utvidet sin(3x) = -4*sin(x)**3 + 3*sin(x)
Hoyreside = -4*sin(x)**3 + 3*sin(x)
Differanse = 0

Fasit: Identiteten \(\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x\) er vist.

Vanlig feil: Å bruke \(\cos^2x=1+\sin^2x\) i stedet for \(1-\sin^2x\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter en sammenhengende utledning med angitt identitet i hvert steg.
Del 1 · Oppgave 7aVektorprodukt

Oppgave 7a

Oppgave: Punktene \(A(1,2,-2)\), \(B(2,-3,4)\) og \(C(-2,3,1)\) er gitt. Bestem \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først de to retningsvektorene fra A og beregner deretter determinantuttrykket for vektorproduktet.

Steg 1 - Finn AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-5,6)\]

Steg 2 - Finn AC

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(-3,1,3)\]

Steg 3 - Sett opp determinanten

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\1&-5&6\\-3&1&3\end{vmatrix}\]

Steg 4 - Regn i-komponenten

\[(-5)\cdot3-6\cdot1=-21\]

Steg 5 - Regn j- og k-komponentene

\[-(1\cdot3-6\cdot(-3))=-21,\qquad 1\cdot1-(-5)(-3)=-14\]

Steg 6 - Skriv vektoren

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-21,-21,-14)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Cross((1,-5,6),(-3,1,3))
Resultat: \((-21,-21,-14)\)

Tolkning: CAS bekrefter alle tre komponentene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import Matrix
AB = Matrix([1, -5, 6])
AC = Matrix([-3, 1, 3])
cross = AB.cross(AC)
print("AB =", tuple(AB))
print("AC =", tuple(AC))
print("AB x AC =", tuple(cross))
print("Ortogonal mot AB =", cross.dot(AB))
print("Ortogonal mot AC =", cross.dot(AC))
assert cross == Matrix([-21, -21, -14])

Utskrift
AB = (1, -5, 6)
AC = (-3, 1, 3)
AB x AC = (-21, -21, -14)
Ortogonal mot AB = 0
Ortogonal mot AC = 0

Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-21,-21,-14)\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil i j-komponenten i determinanten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige retningsvektorer og korrekt vektorprodukt.
Del 1 · Oppgave 7bKollinearitet

Oppgave 7b

Oppgave: Forklar at \(C\) ikke ligger på linjen gjennom \(A\) og \(B\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et punkt C ligger på linjen AB bare dersom \(\overrightarrow{AC}\) er parallell med \(\overrightarrow{AB}\).

Steg 1 - Bruk vektorene

\[\overrightarrow{AB}=(1,-5,6),\qquad\overrightarrow{AC}=(-3,1,3)\]

Steg 2 - Test proporsjonalitet

Hvis vektorene var parallelle, matte samme tall \(k\) oppfylle \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\).

Steg 3 - Sammenlign første komponent

\[-3=k\cdot1\quad\Longrightarrow\quad k=-3\]

Steg 4 - Kontroller andre komponent

\[1\ne(-3)(-5)=15\]

Steg 5 - Bruk alternativ kontroll

Fra del a er vektorproduktet ikke null.

Steg 6 - Konkluder

Vektorene er ikke parallelle, derfor ligger C ikke på linjen gjennom A og B.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1AreParallel((1,-5,6),(-3,1,3))
Resultat: \(false\)

Tolkning: Ikke-null vektorprodukt viser at vektorene ikke er parallelle.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import Matrix
AB = Matrix([1, -5, 6])
AC = Matrix([-3, 1, 3])
cross = AB.cross(AC)
print("AB =", tuple(AB))
print("AC =", tuple(AC))
print("Vektorprodukt =", tuple(cross))
print("Er vektorproduktet null?", cross == Matrix([0,0,0]))
print("C ligger pa linjen AB =", cross == Matrix([0,0,0]))
assert cross != Matrix([0,0,0])

Utskrift
AB = (1, -5, 6)
AC = (-3, 1, 3)
Vektorprodukt = (-21, -21, -14)
Er vektorproduktet null? False
C ligger pa linjen AB = False

Fasit: C ligger ikke på linjen gjennom A og B.

Vanlig feil: Å sammenligne bare én komponent og anta at vektorene er parallelle.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en gyldig parallellitetskontroll og en tydelig konklusjon.
Del 1 · Oppgave 7cPlanlikning

Oppgave 7c

Oppgave: Bestem en likning for planet \(\alpha\) gjennom \(A\), \(B\) og \(C\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vektorproduktet fra del a er normalt på planet. Vi kan forkorte normalvektoren og bruke punkt-normal-formen.

Steg 1 - Velg normalvektor

Fra del a er en normalvektor \((-21,-21,-14)\). Divider med \(-7\):

\[\mathbf n=(3,3,2)\]

Steg 2 - Bruk punktet A

\[3(x-1)+3(y-2)+2(z+2)=0\]

Steg 3 - Multipliser ut

\[3x-3+3y-6+2z+4=0\]

Steg 4 - Samle konstantleddene

\[3x+3y+2z-5=0\]

Steg 5 - Kontroller B

\[3\cdot2+3(-3)+2\cdot4-5=0\]

Steg 6 - Kontroller C

\[3(-2)+3\cdot3+2\cdot1-5=0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Plane((1,2,-2),(3,3,2))
Resultat: \(3x+3y+2z-5=0\)

Tolkning: Både B og C oppfyller planlikningen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
plane = 3*x + 3*y + 2*z - 5
A = {x:1, y:2, z:-2}
B = {x:2, y:-3, z:4}
C = {x:-2, y:3, z:1}
print("Planuttrykk =", plane)
print("Verdi i A =", plane.subs(A))
print("Verdi i B =", plane.subs(B))
print("Verdi i C =", plane.subs(C))
assert all(simplify(plane.subs(P)) == 0 for P in (A,B,C))

Utskrift
Planuttrykk = 3*x + 3*y + 2*z - 5
Verdi i A = 0
Verdi i B = 0
Verdi i C = 0

Fasit: \(\alpha:3x+3y+2z-5=0\).

Vanlig feil: Å bruke en retningsvektor i planet som normalvektor.
Sensorpunkt: Sensor ser etter normalvektor fra vektorproduktet og kontroll av punktene.
Del 1 · Oppgave 7dPunkt i plan

Oppgave 7d

Oppgave: Avgjør om punktet \(D(2,2,3)\) ligger i \(\alpha\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter koordinatene til D inn i planlikningen fra del c.

Steg 1 - Bruk planlikningen

\[3x+3y+2z-5=0\]

Steg 2 - Sett inn D

\[3\cdot2+3\cdot2+2\cdot3-5\]

Steg 3 - Regn hvert bidrag

\[6+6+6-5\]

Steg 4 - Finn verdien

\[6+6+6-5=13\]

Steg 5 - Sammenlign med null

\[13\ne0\]

Steg 6 - Konkluder

D oppfyller ikke likningen og ligger derfor ikke i planet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Substitute(3x+3y+2z-5,{x=2,y=2,z=3})
Resultat: \(13\)

Tolkning: Verdien er ikke null, så punktet ligger utenfor planet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
plane = 3*x + 3*y + 2*z - 5
value = plane.subs({x:2, y:2, z:3})
print("Planuttrykk =", plane)
print("Verdi i D(2,2,3) =", value)
print("D ligger i planet =", value == 0)
assert value == 13

Utskrift
Planuttrykk = 3*x + 3*y + 2*z - 5
Verdi i D(2,2,3) = 13
D ligger i planet = False

Fasit: Punktet D ligger ikke i \(\alpha\).

Vanlig feil: Å konkludere at et punkt ligger i planet uten å kreve at innsettingen gir nøyaktig null.
Sensorpunkt: Sensor ser etter innsetting og korrekt ja/nei-konklusjon.
Del 1 · Oppgave 8Separerbar differensiallikning

Oppgave 8

Oppgave: Løs differensiallikningen \(y^2y\prime=x\), der \(y(0)=2\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er separerbar. Vi samler y-ledd med dy og x-ledd med dx, integrerer og bruker initialbetingelsen.

Steg 1 - Skriv med differensialer

\[y^2\frac{dy}{dx}=x\quad\Longrightarrow\quad y^2\,dy=x\,dx\]

Steg 2 - Integrer begge sider

\[\int y^2\,dy=\int x\,dx\]

Steg 3 - Finn antideriverte

\[\frac{y^3}{3}=\frac{x^2}{2}+C\]

Steg 4 - Multipliser med 3

\[y^3=\frac{3x^2}{2}+C_1\]

Steg 5 - Bruk y(0)=2

\[2^3=0+C_1\quad\Longrightarrow\quad C_1=8\]

Steg 6 - Løs for y

\[y(x)=\sqrt[3]{8+\frac{3x^2}{2}}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1SolveODE(y^2 y\prime = x, y(0)=2)
Resultat: \(y=\sqrt[3]{8+\frac32x^2}\)

Tolkning: CAS-løsningen oppfyller både likningen og startverdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, Rational, real_root, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
y = (8 + Rational(3,2)*x**2)**Rational(1,3)
residual = simplify(y**2*diff(y, x) - x)
initial = simplify(y.subs(x, 0))
print("y(x) =", y)
print("y(0) =", initial)
print("Residual y^2*y' - x =", residual)
assert residual == 0
assert initial == 2

Utskrift
y(x) = (3*x**2/2 + 8)**(1/3)
y(0) = 2
Residual y^2*y' - x = 0

Fasit: \(y(x)=\sqrt[3]{8+\frac32x^2}\).

Vanlig feil: Å glemme integrasjonskonstanten før initialbetingelsen brukes.
Sensorpunkt: Sensor ser etter separasjon, integrasjon, konstantbestemmelse og eksplisitt y-uttrykk.
Del 1 · Oppgave 9Induksjonsbevis

Oppgave 9

Oppgave: Bruk induksjon til å bevise \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\), \(n\in\mathbb N\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise grunntrinnet, formulere induksjonshypotesen og gjennomføre hele algebraen i induksjonssteget.

Steg 1 - Grunntrinn n=1

\[1^3=1,\qquad\frac{1^2(1+1)^2}{4}=1\]

Steg 2 - Induksjonshypotese

Anta at påstanden gjelder for \(n=k\):

\[1^3+\cdots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}\]

Steg 3 - Legg til neste ledd

\[1^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3\]

Steg 4 - Faktoriser (k+1)^2

\[=(k+1)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)\]

Steg 5 - Samle parentesen

\[\frac{k^2}{4}+k+1=\frac{k^2+4k+4}{4}=\frac{(k+2)^2}{4}\]

Steg 6 - Fa malen for k+1

\[\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\]

Steg 7 - Konklusjon

Grunntrinn og induksjonssteg er vist. Påstanden gjelder derfor for alle \(n\in\mathbb N\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Factor(k^2(k+1)^2/4 + (k+1)^3)
Resultat: \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)

Tolkning: CAS bekrefter den kritiske faktoriseringen i induksjonssteget.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, factor, simplify
k = symbols('k', integer=True, positive=True)
hypothesis = k**2*(k+1)**2/4
next_sum = hypothesis + (k+1)**3
target = (k+1)**2*(k+2)**2/4
print("Hypotesens sum =", hypothesis)
print("Etter tillegg av (k+1)^3 =", next_sum)
print("Faktorisert =", factor(next_sum))
print("Mal for k+1 =", target)
print("Differanse =", simplify(next_sum - target))
assert simplify(next_sum - target) == 0

Utskrift
Hypotesens sum = k**2*(k + 1)**2/4
Etter tillegg av (k+1)^3 = k**2*(k + 1)**2/4 + (k + 1)**3
Faktorisert = (k + 1)**2*(k + 2)**2/4
Mal for k+1 = (k + 1)**2*(k + 2)**2/4
Differanse = 0

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon.

Vanlig feil: Å hoppe direkte fra hypotesen til sluttformen uten å vise faktoriseringen.
Sensorpunkt: Sensor ser spesielt etter grunntrinn, tydelig hypotese og et komplett induksjonssteg.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1aGraftegning

Oppgave 1a

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=5e^{-x/3}\sin(2x)\), \(x\in[0,\infty)\). Bruk graftegner til å tegne grafen for \(x\in[0,3\pi]\).
Vis løsning
Graf av f(x)=5e^{-x/3}sin(2x) pa [0,3pi].
Graf av f(x)=5e^{-x/3}sin(2x) på [0,3pi].

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en dempet sinuskurve. Faktoren \(e^{-x/3}\) gir en avtakende amplitude.

Steg 1 - Definer funksjonen

\[f(x)=5e^{-x/3}\sin(2x)\]

Steg 2 - Finn startverdien

\[f(0)=0\]

Steg 3 - Finn perioden til sinusdelen

\(\sin(2x)\) har periode \(\pi\).

Steg 4 - Beskriv konvolutten

\[-5e^{-x/3}\le f(x)\le5e^{-x/3}\]

Steg 5 - Velg vindu

Bruk \(0\le x\le3\pi\), for eksempel \(-4\le y\le5\).

Steg 6 - Tolk grafen

Grafen oscillerer rundt x-aksen, mens topp- og bunnverdiene nærmer seg 0.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1f(x):=5 exp(-x/3) sin(2x)
2Function(f,0,3 pi)
Resultat: En dempet sinusgraf på \([0,3\pi]\)

Tolkning: Grafen viser seks halvbølger med avtakende amplitude.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, sin, pi, N
x = symbols('x', real=True)
f = 5*exp(-x/3)*sin(2*x)
sample_points = [0, pi/4, pi/2, 3*pi/4, pi]
print("f(x) =", f)
print("Intervall = [0, 3*pi]")
for p in sample_points:
    print("x =", p, " -> f(x) =", N(f.subs(x, p), 8))
print("Amplitude ved x=3*pi =", N(5*exp(-pi), 8))

Utskrift
f(x) = 5*exp(-x/3)*sin(2*x)
Intervall = [0, 3*pi]
x = 0  -> f(x) = 0
x = pi/4  -> f(x) = 3.8483271
x = pi/2  -> f(x) = 0
x = 3*pi/4  -> f(x) = -2.2796906
x = pi  -> f(x) = 0
Amplitude ved x=3*pi = 0.21606959

Fasit: Grafen er vist i figuren.

Vanlig feil: Å tegne en udempet sinusgraf med konstant amplitude 5.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt funksjon, riktig intervall og synlig eksponentielt avtakende amplitude.
Del 2 · Oppgave 1bTrigonometriske nullpunkter

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem nullpunktene til \(f(x)=5e^{-x/3}\sin(2x)\) i \([0,3\pi]\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Eksponentialfaktoren og konstanten er aldri null. Derfor kommer nullpunktene fra sinusfaktoren.

Steg 1 - Sett f lik null

\[5e^{-x/3}\sin(2x)=0\]

Steg 2 - Forkast faktorer som ikke kan bli null

\(5e^{-x/3}>0\) for alle x.

Steg 3 - Løs sinuslikningen

\[\sin(2x)=0\quad\Longrightarrow\quad2x=n\pi\]

Steg 4 - Løs for x

\[x=\frac{n\pi}{2}\]

Steg 5 - Bruk intervallet

For \(0\le x\le3\pi\) får vi \(n=0,1,2,3,4,5,6\).

Steg 6 - List nullpunktene

\[0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi,\frac{5\pi}{2},3\pi\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(5 exp(-x/3) sin(2x)=0, 0<=x<=3 pi)
Resultat: \(x=n\pi/2,\ n=0,\ldots,6\)

Tolkning: CAS gir de samme syv nullpunktene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, pi
n = symbols('n', integer=True)
zeros = [k*pi/2 for k in range(7)]
print("Generell losning: x = n*pi/2")
print("Tillatte n-verdier:", list(range(7)))
print("Nullpunkter i [0, 3*pi]:")
for z in zeros:
    print(z)
assert zeros[0] == 0 and zeros[-1] == 3*pi

Utskrift
Generell losning: x = n*pi/2
Tillatte n-verdier: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
Nullpunkter i [0, 3*pi]:
0
pi/2
pi
3*pi/2
2*pi
5*pi/2
3*pi

Fasit: Nullpunktene er \(0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi,\frac{5\pi}{2},3\pi\).

Vanlig feil: Å sette eksponentialfaktoren lik null.
Sensorpunkt: Sensor ser etter generell sinusløsning og korrekt avgrensning til intervallet.
Del 2 · Oppgave 1cEkstrempunkter

Oppgave 1c

Oppgave: Bestem topp- og bunnpunktene på grafen til \(f\) i intervallet \(\langle0,3\pi\rangle\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer funksjonen, løser \(f\prime(x)=0\) og klassifiserer punktene etter fortegnet til funksjonsverdien.

Steg 1 - Deriver

\[f\prime(x)=5e^{-x/3}\left(2\cos(2x)-\frac13\sin(2x)\right)\]

Steg 2 - Sett den deriverte lik null

\[2\cos(2x)-\frac13\sin(2x)=0\]

Steg 3 - Omskriv

\[\tan(2x)=6\]

Steg 4 - Skriv generell løsning

\[x_k=\frac{\arctan6+k\pi}{2}\]

Steg 5 - Velg k i intervallet

For \(0<x<3\pi\) får vi \(k=0,1,2,3,4,5\).

Steg 6 - Klassifiser

Partall k gir topppunkter og oddetall k gir bunnpunkter. Numerisk blir punktene:
topp: \((0.703,3.902)\), \((3.844,1.369)\), \((6.986,0.480)\)
bunn: \((2.274,-2.311)\), \((5.415,-0.811)\), \((8.557,-0.285)\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Extremum(5 exp(-x/3) sin(2x),0,3 pi)
Resultat: Seks ekstrempunkter

Tolkning: CAS bekrefter tre toppunkter og tre bunnpunkter i det åpne intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, sin, cos, pi, atan, N, diff
x = symbols('x', real=True)
f = 5*exp(-x/3)*sin(2*x)
alpha = atan(6)
points = []
for k in range(6):
    xk = (alpha + k*pi)/2
    yk = f.subs(x, xk)
    kind = "topp" if k % 2 == 0 else "bunn"
    points.append((xk, yk, kind))
print("f'(x) =", diff(f, x))
print("alpha = atan(6)")
for xk, yk, kind in points:
    print(kind, "x =", N(xk, 8), "y =", N(yk, 8))
assert len(points) == 6

Utskrift
f'(x) = -5*exp(-x/3)*sin(2*x)/3 + 10*exp(-x/3)*cos(2*x)
alpha = atan(6)
topp x = 0.70282383 y = 3.9019008
bunn x = 2.2736202 y = -2.3114269
topp x = 3.8444165 y = 1.3692543
bunn x = 5.4152128 y = -0.81112548
topp x = 6.9860091 y = 0.48049845
bunn x = 8.5568055 y = -0.28464000

Fasit: Topp- og bunnpunktene er de seks punktene listet ovenfor.

Vanlig feil: Å løse \( an(2x)=6\) uten å dele vinkelen med 2, eller å glemme periodiske løsninger.
Sensorpunkt: Sensor ser etter derivert, generell løsning, intervallkontroll og klassifisering.
Del 2 · Oppgave 1dAreal med bestemt integral

Oppgave 1d

Oppgave: Bestem arealet begrenset av grafen til \(f\) og x-aksen mellom \(x=0\) og \(x=\pi/2\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? På intervallet er \(\sin(2x)\ge0\), så arealet er det bestemte integralet av f uten absoluttverdi.

Steg 1 - Kontroller fortegnet

Når \(0\le x\le\pi/2\), er \(0\le2x\le\pi\), derfor er \(f(x)\ge0\).

Steg 2 - Sett opp integralet

\[A=\int_0^{\pi/2}5e^{-x/3}\sin(2x)\,dx\]

Steg 3 - Bruk en antiderivert

\[F(x)=-\frac{15}{37}e^{-x/3}\sin(2x)-\frac{90}{37}e^{-x/3}\cos(2x)\]

Steg 4 - Sett inn øvre grense

\[F(\pi/2)=\frac{90}{37}e^{-\pi/6}\]

Steg 5 - Sett inn nedre grense

\[F(0)=-\frac{90}{37}\]

Steg 6 - Trekk fra

\[A=\frac{90}{37}\left(1+e^{-\pi/6}\right)\approx3.873\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(5 exp(-x/3) sin(2x),0,pi/2)
Resultat: \(\frac{90}{37}(1+e^{-\pi/6})\)

Tolkning: CAS gir både eksakt og numerisk areal.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, sin, pi, integrate, simplify, N
x = symbols('x', real=True)
f = 5*exp(-x/3)*sin(2*x)
area = integrate(f, (x, 0, pi/2))
expected = 90*(1 + exp(-pi/6))/37
print("Arealintegral =", area)
print("Forenklet =", simplify(area))
print("Desimaltall =", N(area, 10))
print("Kontroll =", simplify(area - expected))
assert simplify(area - expected) == 0

Utskrift
Arealintegral = 90*exp(-pi/6)/37 + 90/37
Forenklet = 90*exp(-pi/6)/37 + 90/37
Desimaltall = 3.873368547
Kontroll = 0

Fasit: \(A=\frac{90}{37}(1+e^{-\pi/6})\approx3.873\) arealenheter.

Vanlig feil: Å bruke en negativ verdi eller glemme å kontrollere fortegnet før areal beregnes.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig integral, eksakt evaluering og positivt areal.
Del 2 · Oppgave 2Andreordens differensiallikning

Oppgave 2

Oppgave: Vis at \(f(x)=5e^{-x/3}\sin(2x)\) er en løsning av \(9y\prime\prime+6y\prime+37y=0\), \(y(0)=0\), \(y\prime(0)=10\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må kontrollere både differensiallikningen og de to initialbetingelsene.

Steg 1 - Finn første derivert

\[y\prime=5e^{-x/3}\left(2\cos(2x)-\frac13\sin(2x)\right)\]

Steg 2 - Finn andre derivert

\[y\prime\prime=5e^{-x/3}\left(-\frac43\cos(2x)-\frac{35}{9}\sin(2x)\right)\]

Steg 3 - Sett inn i venstresiden

\[9y\prime\prime+6y\prime+37y\]

Steg 4 - Samle cosinusleddene

Cosinuskoeffisienten blir \(-12+12=0\).

Steg 5 - Samle sinusleddene

Sinuskoeffisienten blir \(-35-2+37=0\).

Steg 6 - Kontroller initialbetingelsene

\[y(0)=0,\qquad y\prime(0)=5\cdot2=10\]

Steg 7 - Konkluder

Funksjonen oppfyller både likningen og begge initialbetingelsene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Simplify(9 Derivative(f,x,2)+6 Derivative(f,x)+37 f)
2f(0)
3Derivative(f,x)(0)
Resultat: \(0,0,10\)

Tolkning: Residualen er null, og initialbetingelsene er riktige.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, Function, exp, sin, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
y = 5*exp(-x/3)*sin(2*x)
y1 = diff(y, x)
y2 = diff(y, x, 2)
residual = simplify(9*y2 + 6*y1 + 37*y)
print("y(x) =", y)
print("y'(x) =", y1)
print("y''(x) =", y2)
print("Residual =", residual)
print("y(0) =", y.subs(x, 0))
print("y'(0) =", y1.subs(x, 0))
assert residual == 0 and y.subs(x,0) == 0 and y1.subs(x,0) == 10

Utskrift
y(x) = 5*exp(-x/3)*sin(2*x)
y'(x) = -5*exp(-x/3)*sin(2*x)/3 + 10*exp(-x/3)*cos(2*x)
y''(x) = -5*(35*sin(2*x) + 12*cos(2*x))*exp(-x/3)/9
Residual = 0
y(0) = 0
y'(0) = 10

Fasit: Funksjonen er en løsning av initialverdiproblemet.

Vanlig feil: Å bare kontrollere differensiallikningen og glemme initialbetingelsene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to deriverte, null residual og begge startverdiene.
Del 2 · Oppgave 3aAritmetisk tallfølge

Oppgave 3a

Oppgave: Vis at nullpunktene til f danner en aritmetisk tallfølge \(a_1,a_2,a_3,\ldots\). Bestem \(a_{20}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nullpunktene er allerede funnet som multipler av \(\pi/2\). Vi organiserer dem som en følge.

Steg 1 - Skriv nullpunktene

\[x=\frac{n\pi}{2},\qquad n=0,1,2,\ldots\]

Steg 2 - Velg indeksering

\[a_1=0,\quad a_2=\frac\pi2,\quad a_3=\pi\]

Steg 3 - Finn differansen

\[d=a_{n+1}-a_n=\frac\pi2\]

Steg 4 - Skriv leddformelen

\[a_n=a_1+(n-1)d=(n-1)\frac\pi2\]

Steg 5 - Sett inn n=20

\[a_{20}=19\cdot\frac\pi2\]

Steg 6 - Skriv svaret

\[a_{20}=\frac{19\pi}{2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1a(n):=(n-1) pi/2
2a(20)
Resultat: \(19\pi/2\)

Tolkning: Konstant differanse viser at følgen er aritmetisk.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, pi, simplify
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a_n = (n-1)*pi/2
difference = simplify(a_n.subs(n,n+1) - a_n)
a20 = simplify(a_n.subs(n,20))
print("a_n =", a_n)
print("Fast differanse =", difference)
print("a_20 =", a20)
assert difference == pi/2
assert a20 == 19*pi/2

Utskrift
a_n = pi*(n - 1)/2
Fast differanse = pi/2
a_20 = 19*pi/2

Fasit: \(a_{20}=\frac{19\pi}{2}\).

Vanlig feil: Å starte følgen med \(a_1=\pi/2\) og dermed forskyve indeksen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig første ledd, fast differanse og korrekt leddformel.
Del 2 · Oppgave 3bGeometrisk tallfølge

Oppgave 3b

Oppgave: Vis at maksimalverdiene til f danner en geometrisk tallfølge \(b_1,b_2,b_3,\ldots\). Bestem \(b_5\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Maksimumpunktene ligger én hel sinusperiode \(\pi\) fra hverandre. Eksponentialfaktoren gir derfor en konstant kvotient.

Steg 1 - Finn første maksimumsvinkel

La \(\alpha=\arctan6\). Første toppunkt har \(x_1=\alpha/2\).

Steg 2 - Skriv toppunktenes x-verdier

\[x_m=\frac\alpha2+(m-1)\pi\]

Steg 3 - Bruk sinusverdien

\[\sin\alpha=\frac6{\sqrt{37}}\]

Steg 4 - Finn maksimalverdiene

\[b_m=5e^{-x_m/3}\frac6{\sqrt{37}}=\frac{30}{\sqrt{37}}e^{-\alpha/6}\left(e^{-\pi/3}\right)^{m-1}\]

Steg 5 - Identifiser kvotienten

\[q=e^{-\pi/3}\]

Steg 6 - Finn femte ledd

\[b_5=\frac{30}{\sqrt{37}}e^{-\alpha/6-4\pi/3}\approx0.05917\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1alpha:=atan(6)
2b(n):=30/sqrt(37) exp(-alpha/6) (exp(-pi/3))^(n-1)
3b(5)
Resultat: \(\approx0.05917\)

Tolkning: CAS bekrefter leddformel og femte maksimalverdi.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import atan, exp, pi, sqrt, N, simplify
alpha = atan(6)
b1 = 30/sqrt(37)*exp(-alpha/6)
q = exp(-pi/3)
b5 = simplify(b1*q**4)
print("alpha = atan(6)")
print("b_1 =", b1)
print("Kvotient q =", q)
print("b_5 =", b5)
print("b_5 desimaltall =", N(b5, 10))
assert simplify(b5 - 30/sqrt(37)*exp(-alpha/6-4*pi/3)) == 0

Utskrift
alpha = atan(6)
b_1 = 30*sqrt(37)*exp(-atan(6)/6)/37
Kvotient q = exp(-pi/3)
b_5 = 30*sqrt(37)*exp(-4*pi/3 - atan(6)/6)/37
b_5 desimaltall = 0.05917084227

Fasit: \(b_5=\frac{30}{\sqrt{37}}e^{-\arctan(6)/6-4\pi/3}\approx0.05917\).

Vanlig feil: Å bruke avstanden \(\pi/2\) mellom alle ekstrempunkter i stedet for avstanden \(\pi\) mellom maksimalpunktene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter konstant kvotient og korrekt indeksering av toppverdiene.
Del 2 · Oppgave 3cUendelig geometrisk rekke

Oppgave 3c

Oppgave: Begrunn at \(b_1+b_2+b_3+\cdots\) konvergerer. Bestem summen.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Følgen fra del b er geometrisk med positiv kvotient mindre enn 1, så den tilhørende rekken konvergerer.

Steg 1 - Bruk kvotienten

\[q=e^{-\pi/3}\]

Steg 2 - Kontroller konvergenskravet

\[0<e^{-\pi/3}<1\]

Steg 3 - Bruk sumformelen

\[S=\frac{b_1}{1-q}\]

Steg 4 - Sett inn b1

\[S=\frac{\frac{30}{\sqrt{37}}e^{-\arctan(6)/6}}{1-e^{-\pi/3}}\]

Steg 5 - Skriv ryddig

\[S=\frac{30e^{-\arctan(6)/6}}{\sqrt{37}(1-e^{-\pi/3})}\]

Steg 6 - Beregn numerisk

\[S\approx6.01143\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
130 exp(-atan(6)/6)/(sqrt(37)(1-exp(-pi/3)))
Resultat: \(\approx6.01143\)

Tolkning: Kvotienten har absoluttverdi mindre enn 1.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import atan, exp, pi, sqrt, N
b1 = 30/sqrt(37)*exp(-atan(6)/6)
q = exp(-pi/3)
S = b1/(1-q)
print("b_1 =", b1)
print("q =", q)
print("0 < q < 1 =", bool(0 < float(q.evalf()) < 1))
print("Sum S =", S)
print("S desimaltall =", N(S, 10))
assert 0 < float(q.evalf()) < 1

Utskrift
b_1 = 30*sqrt(37)*exp(-atan(6)/6)/37
q = exp(-pi/3)
0 < q < 1 = True
Sum S = 30*sqrt(37)*exp(-atan(6)/6)/(37*(1 - exp(-pi/3)))
S desimaltall = 6.011431000

Fasit: \(S=\frac{30e^{-\arctan(6)/6}}{\sqrt{37}(1-e^{-\pi/3})}\approx6.01143\).

Vanlig feil: Å bruke sumformelen uten å kontrollere \(|q|<1\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt konvergensbegrunnelse og korrekt sumformel.
Del 2 · Oppgave 4Linje og kule

Oppgave 4

Oppgave: Kulen K har sentrum \(S(-1,0,1)\) og radius \(\sqrt{21}\). Linjen \(\ell\) går gjennom \(A(7,-2,5)\) og \(B(15,-4,9)\). Bestem skjæringspunktene.
Vis løsning
Linjen skjærer kulen i to punkter.
Linjen skjærer kulen i to punkter.

Hva spør oppgaven om? Vi parametriserer linjen, setter den inn i kulelikningen og løser den resulterende andregradslikningen.

Steg 1 - Finn retningsvektor

\[\overrightarrow{AB}=(8,-2,4)=2(4,-1,2)\]

Steg 2 - Parametriser linjen

\[\ell:\ (x,y,z)=(7,-2,5)+t(4,-1,2)\]

Steg 3 - Skriv kulelikningen

\[(x+1)^2+y^2+(z-1)^2=21\]

Steg 4 - Sett inn parameteruttrykkene

\[(8+4t)^2+(-2-t)^2+(4+2t)^2=21\]

Steg 5 - Forenkle likningen

\[21t^2+84t+63=0\quad\Longrightarrow\quad t^2+4t+3=0\]

Steg 6 - Løs for t

\[t=-1\quad\text{eller}\quad t=-3\]

Steg 7 - Finn punktene

\[t=-1:\ (3,-1,3),\qquad t=-3:\ (-5,1,-1)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1IntersectPath(Line((7,-2,5),(15,-4,9)),Sphere((-1,0,1),sqrt(21)))
Resultat: \((-5,1,-1)\) og \((3,-1,3)\)

Tolkning: Begge punktene oppfyller både linjen og kulen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, solve, expand, simplify
t = symbols('t', real=True)
x = 7 + 4*t
y = -2 - t
z = 5 + 2*t
equation = expand((x+1)**2 + y**2 + (z-1)**2 - 21)
roots = solve(equation, t)
points = [(simplify(x.subs(t,r)), simplify(y.subs(t,r)), simplify(z.subs(t,r))) for r in roots]
print("Kulelikning etter innsetting =", equation)
print("Parameterverdier =", roots)
print("Skjaeringspunkter =", points)
for P in points:
    assert simplify((P[0]+1)**2 + P[1]**2 + (P[2]-1)**2 - 21) == 0

Utskrift
Kulelikning etter innsetting = 21*t**2 + 84*t + 63
Parameterverdier = [-3, -1]
Skjaeringspunkter = [(-5, 1, -1), (3, -1, 3)]

Fasit: Skjæringspunktene er \((-5,1,-1)\) og \((3,-1,3)\).

Vanlig feil: Å bruke retningsvektoren som et punkt eller å glemme å kontrollere begge røttene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter parameterframstilling, andregradslikning og begge koordinatpunktene.
Del 2 · Oppgave 5aAndregradsformelen og rotorden

Oppgave 5a

Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=ax^2+bx+c\), der \(a<0\) og \(c>0\). Forklar at grafen skjærer x-aksen i de oppgitte punktene P og Q, der P ligger til venstre for Q.
Vis løsning
Skjematisk figur med røttene P og Q og toppunktet R.
Skjematisk figur med røttene P og Q og toppunktet R.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker andregradsformelen og fortegnet til nevneren for å forklare både røttene og rekkefølgen.

Steg 1 - Sett f lik null

\[ax^2+bx+c=0\]

Steg 2 - Bruk andregradsformelen

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Steg 3 - Kontroller diskriminanten

Siden \(a<0\) og \(c>0\), er \(-4ac>0\), så \(b^2-4ac>0\). Det finnes to reelle røtter.

Steg 4 - Skriv P og Q

\[P\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0\right),\quad Q\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0\right)\]

Steg 5 - Forklar rekkefølgen

Telleren med pluss er størst, men nevneren \(2a\) er negativ. Ulikheten snur derfor ved divisjon.

Steg 6 - Konkluder

x-koordinaten til P er mindre enn x-koordinaten til Q, så P ligger til venstre.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(a x^2+b x+c=0,x)
Resultat: \(x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)\)

Tolkning: CAS gir de to røttene; fortegnet til a bestemmer rekkefølgen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, solve, sqrt, simplify
a, b, c, x = symbols('a b c x', real=True)
D = b**2 - 4*a*c
roots = solve(a*x**2 + b*x + c, x)
xP = (-b + sqrt(D))/(2*a)
xQ = (-b - sqrt(D))/(2*a)
print("Diskriminant D =", D)
print("SymPy-rotter =", roots)
print("x_P =", xP)
print("x_Q =", xQ)
print("x_Q - x_P =", simplify(xQ - xP))

Utskrift
Diskriminant D = -4*a*c + b**2
SymPy-rotter = [(-b - sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), (-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)]
x_P = (-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)
x_Q = (-b - sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)
x_Q - x_P = -sqrt(-4*a*c + b**2)/a

Fasit: P og Q har koordinatene som oppgitt, og P ligger til venstre for Q.

Vanlig feil: Å overse at \(a<0\), slik at fortegnet på nevneren snur rekkefølgen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter andregradsformelen, positiv diskriminant og en eksplisitt ordensbegrunnelse.
Del 2 · Oppgave 5bAreal av trekant med CAS

Oppgave 5b

Oppgave: Bruk CAS til å vise at arealet \(T_1\) til trekanten PQR er \(\displaystyle T_1=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{8a^2}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner grunnlinjen PQ og høyden fra toppunktet R, og bruker trekantformelen.

Steg 1 - Innfør diskriminanten

\[D=b^2-4ac\]

Steg 2 - Finn grunnlinjen

\[PQ=x_Q-x_P=\frac{-b-\sqrt D}{2a}-\frac{-b+\sqrt D}{2a}=-\frac{\sqrt D}{a}\]

Steg 3 - Finn toppunktets x-koordinat

\[x_R=-\frac b{2a}\]

Steg 4 - Finn toppunktets høyde

\[y_R=f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac D{4a}\]

Steg 5 - Bruk trekantareal

\[T_1=\frac12\cdot PQ\cdot y_R\]

Steg 6 - Sett inn og forenkle

\[T_1=\frac12\left(-\frac{\sqrt D}{a}\right)\left(-\frac D{4a}\right)=\frac{D\sqrt D}{8a^2}\]

Steg 7 - Sett tilbake D

\[T_1=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{8a^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1D:=b^2-4 a c
2Simplify(1/2*((-b-sqrt(D))/(2a)-(-b+sqrt(D))/(2a))*(-D/(4a)))
Resultat: \(D\sqrt D/(8a^2)\)

Tolkning: CAS forenkler grunnlinje ganger høyde til målformen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, sqrt, simplify, factor
a, b, c = symbols('a b c', real=True, nonzero=True)
D = b**2 - 4*a*c
xP = (-b + sqrt(D))/(2*a)
xQ = (-b - sqrt(D))/(2*a)
base = simplify(xQ - xP)
height = -D/(4*a)
T1 = simplify(base*height/2)
target = D*sqrt(D)/(8*a**2)
print("D =", D)
print("PQ =", base)
print("Hoyde =", height)
print("T1 =", T1)
print("Kontroll =", simplify(T1-target))
assert simplify(T1-target) == 0

Utskrift
D = -4*a*c + b**2
PQ = -sqrt(-4*a*c + b**2)/a
Hoyde = (4*a*c - b**2)/(4*a)
T1 = (-4*a*c + b**2)**(3/2)/(8*a**2)
Kontroll = 0

Fasit: \(T_1=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{8a^2}\).

Vanlig feil: Å bruke hele avstanden mellom røttene som høyde eller å miste et minusfortegn.
Sensorpunkt: Sensor ser etter uttrykk for grunnlinje, toppunkthøyde og trekantformelen.
Del 2 · Oppgave 5cAreal under parabel

Oppgave 5c

Oppgave: Bestem arealet \(T_2\) mellom grafen til f og x-aksen.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer parabelen mellom røttene. En symmetrisk toppunktsform gjør algebraen oversiktlig.

Steg 1 - Bruk diskriminanten

\[D=b^2-4ac\]

Steg 2 - Skriv toppunktsform

\[f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac D{4a}\]

Steg 3 - Flytt origo til toppunktet

Sett \(u=x+\frac b{2a}\). Røttene svarer til \(u=\pm w\), der \(w=-\frac{\sqrt D}{2a}>0\).

Steg 4 - Sett opp symmetrisk integral

\[T_2=\int_{-w}^{w}\left(au^2-\frac D{4a}\right)du\]

Steg 5 - Utnytt symmetri

\[T_2=2\left[\frac{au^3}{3}-\frac{Du}{4a}\right]_0^w\]

Steg 6 - Sett inn w og forenkle

\[T_2=\frac{D\sqrt D}{6a^2}\]

Steg 7 - Sett tilbake D

\[T_2=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{6a^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1D:=b^2-4 a c
2Integral(a x^2+b x+c,(-b+sqrt(D))/(2a),(-b-sqrt(D))/(2a))
3Simplify(Integral(a x^2+b x+c,(-b+sqrt(D))/(2a),(-b-sqrt(D))/(2a)))
Resultat: \(D\sqrt D/(6a^2)\)

Tolkning: CAS integrerer mellom røttene og gir positivt areal.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, sqrt, integrate, simplify
a, b, c, x = symbols('a b c x', real=True, nonzero=True)
D = b**2 - 4*a*c
xP = (-b + sqrt(D))/(2*a)
xQ = (-b - sqrt(D))/(2*a)
f = a*x**2 + b*x + c
T2 = simplify(integrate(f, (x, xP, xQ)))
target = D*sqrt(D)/(6*a**2)
print("x_P =", xP)
print("x_Q =", xQ)
print("Integral mellom rottene =", T2)
print("Mal =", target)
print("Kontroll =", simplify(T2-target))
assert simplify(T2-target) == 0

Utskrift
x_P = (-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)
x_Q = (-b - sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)
Integral mellom rottene = (-4*a*c + b**2)**(3/2)/(6*a**2)
Mal = (-4*a*c + b**2)**(3/2)/(6*a**2)
Kontroll = 0

Fasit: \(T_2=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{6a^2}\).

Vanlig feil: Å integrere i motsatt retning eller å glemme at arealet skal være positivt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige integrasjonsgrenser og en gyldig forenkling.
Del 2 · Oppgave 5dArealforhold

Oppgave 5d

Oppgave: Bestem forholdet \(T_1/T_2\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi dividerer de to uttrykkene. Alle parameteravhengige faktorer forkortes.

Steg 1 - Skriv T1

\[T_1=\frac{D\sqrt D}{8a^2}\]

Steg 2 - Skriv T2

\[T_2=\frac{D\sqrt D}{6a^2}\]

Steg 3 - Sett opp forholdet

\[\frac{T_1}{T_2}=\frac{D\sqrt D}{8a^2}\div\frac{D\sqrt D}{6a^2}\]

Steg 4 - Gjør divisjon om til multiplikasjon

\[=\frac{D\sqrt D}{8a^2}\cdot\frac{6a^2}{D\sqrt D}\]

Steg 5 - Forkort

\[=\frac68\]

Steg 6 - Forenkle

\[\frac{T_1}{T_2}=\frac34\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Simplify((D sqrt(D)/(8a^2))/(D sqrt(D)/(6a^2)))
Resultat: \(3/4\)

Tolkning: Alle faktorer med a, b og c forkortes.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, sqrt, simplify, Rational
a = symbols('a', real=True, nonzero=True)
D = symbols('D', positive=True)
T1 = D*sqrt(D)/(8*a**2)
T2 = D*sqrt(D)/(6*a**2)
ratio = simplify(T1/T2)
print("T1 =", T1)
print("T2 =", T2)
print("T1/T2 =", ratio)
print("Desimaltall =", float(ratio))
assert ratio == Rational(3,4)

Utskrift
T1 = D**(3/2)/(8*a**2)
T2 = D**(3/2)/(6*a**2)
T1/T2 = 3/4
Desimaltall = 0.75

Fasit: \(\frac{T_1}{T_2}=\frac34\).

Vanlig feil: Å invertere forholdet og svare \(4/3\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig rekkefølge på forholdet og full forkorting.