R2 eksamenHøst 2012

Matematikk R2 eksamen – høst 2012

ifingo
Norsk (Bokmål)

Matematikk R2 — eksamen høst 2012 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

30deloppgaver
30Python-kontroller
30CAS-kontroller
7visualiseringer

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=e^x\cdot\cos x\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av eksponentialfunksjonen og cosinusfunksjonen. Produktregelen er hovedmetoden.

Steg 1 — Identifiser faktorene

Sett \(u(x)=e^x\) og \(v(x)=\cos x\).

Steg 2 — Deriver hver faktor

\[u'(x)=e^x,\qquad v'(x)=-\sin x\]

Steg 3 — Skriv produktregelen

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Steg 4 — Sett inn de deriverte

\[f'(x)=e^x\cos x+e^x(-\sin x)\]

Steg 5 — Faktoriser

\[f'(x)=e^x(\cos x-\sin x)\]

Steg 6 — Kontroller strukturen

Begge ledd har faktoren \(e^x\), og minustegnet kommer fra \((\cos x)'=-\sin x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Derivative(exp(x)*cos(x), x)
Resultat: \(e^x(\cos x-\sin x)\)

CAS bruker produktregelen og gir samme faktoriserte uttrykk.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, cos, sin, diff, factor
x = symbols('x', real=True)
f = exp(x)*cos(x)
derivative = diff(f, x)
expected = exp(x)*(cos(x) - sin(x))
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", derivative)
print("Faktorisert =", factor(derivative))
print("Kontrollforskjell =", (derivative - expected).simplify())

f(x) = exp(x)*cos(x)
f'(x) = -exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
Faktorisert = (-sin(x) + cos(x))*exp(x)
Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(f'(x)=e^x(\cos x-\sin x)\).

Vanlig feil: Å glemme minustegnet når cosinus deriveres, eller å derivere bare én faktor.
Sensorpunkt: Produktregelen må vises, og begge ledd må være med før faktorisering.
Del 1 · Oppgave 1bKjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=5(1+\sin x)^3\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt potensfunksjon. Kjerneregelen må brukes på \((1+\sin x)^3\).

Steg 1 — Velg ytre og indre funksjon

La \(u=1+\sin x\). Da er \(g(x)=5u^3\).

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

\[\frac{d}{du}(5u^3)=15u^2\]

Steg 3 — Deriver kjernen

\[u'=\cos x\]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\[g'(x)=15u^2\cdot u'\]

Steg 5 — Sett tilbake

\[g'(x)=15(1+\sin x)^2\cos x\]

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Eksponenten reduseres fra 3 til 2, og den indre deriverte \(\cos x\) kommer som faktor.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Derivative(5*(1+sin(x))^3, x)
Resultat: \(15(1+\sin x)^2\cos x\)

CAS bekrefter både potensereduksjonen og den indre faktoren.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
g = 5*(1 + sin(x))**3
derivative = diff(g, x)
expected = 15*(1 + sin(x))**2*cos(x)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", derivative)
print("Forventet form =", expected)
print("Kontrollforskjell =", simplify(derivative - expected))

g(x) = 5*(sin(x) + 1)**3
g'(x) = 15*(sin(x) + 1)**2*cos(x)
Forventet form = 15*(sin(x) + 1)**2*cos(x)
Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(g'(x)=15(1+\sin x)^2\cos x\).

Vanlig feil: Å glemme å derivere kjernen \(1+\sin x\), slik at faktoren \(\cos x\) mangler.
Sensorpunkt: Kjerneregelen må komme tydelig fram, ikke bare sluttresultatet.
Del 1 · Oppgave 2aIntegrasjon ved substitusjon

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int \cos x\,(1+\sin x)^3\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden inneholder en sammensatt potens og den deriverte av kjernen. Derfor velger vi substitusjon.

Steg 1 — Velg substitusjon

Sett \(u=1+\sin x\).

Steg 2 — Finn differensialet

\[du=\cos x\,dx\]

Steg 3 — Skriv om integralet

\[\int \cos x(1+\sin x)^3dx=\int u^3du\]

Steg 4 — Integrer potensfunksjonen

\[\int u^3du=\frac{u^4}{4}+C\]

Steg 5 — Sett tilbake

\[\frac{(1+\sin x)^4}{4}+C\]

Steg 6 — Kontroller ved derivasjon

Derivasjon gir \(\frac14\cdot4(1+\sin x)^3\cos x\), som er den opprinnelige integranden.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Integral(cos(x)*(1+sin(x))^3, x)
Resultat: \(\frac14(1+\sin x)^4\)

GeoGebra finner samme stamfunksjon, opp til en vilkårlig konstant.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, sin, cos, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = cos(x)*(1 + sin(x))**3
F = integrate(integrand, x)
check = simplify(diff(F, x) - integrand)
print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon =", F)
print("Derivert kontroll =", diff(F, x))
print("Kontrollforskjell =", check)

Integrand = (sin(x) + 1)**3*cos(x)
Stamfunksjon = sin(x)**4/4 + sin(x)**3 + 3*sin(x)**2/2 + sin(x)
Derivert kontroll = sin(x)**3*cos(x) + 3*sin(x)**2*cos(x) + 3*sin(x)*cos(x) + cos(x)
Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(\displaystyle\int \cos x(1+\sin x)^3dx=\frac14(1+\sin x)^4+C\).

Vanlig feil: Å velge substitusjon, men glemme at \(du=\cos x\,dx\) allerede dekker hele den resterende faktoren.
Sensorpunkt: Riktig substitusjon, korrekt potensintegrasjon og konstanten \(C\).
Del 1 · Oppgave 2bDelvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet \(x\ln x\) egner seg for delvis integrasjon. Vi lar logaritmen være den delen som deriveres.

Steg 1 — Velg deler

Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x\,dx\).

Steg 2 — Finn du og v

\[du=\frac1x dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}\]

Steg 3 — Bruk formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 — Sett inn

\[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx\]

Steg 5 — Finn stamfunksjonen

\[F(x)=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\]

Steg 6 — Sett inn grensene

\[F(e)-F(1)=\frac{e^2}{4}-\left(-\frac14\right)=\frac{e^2+1}{4}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Integral(x*ln(x), x, 1, e)
Resultat: \(\frac{e^2+1}{4}\)

CAS evaluerer det bestemte integralet eksakt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, log, integrate, E, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
integrand = x*log(x)
F = x**2*log(x)/2 - x**2/4
value = integrate(integrand, (x, 1, E))
print("Stamfunksjon F(x) =", F)
print("F'(x) - integrand =", simplify(diff(F, x) - integrand))
print("F(e) =", simplify(F.subs(x, E)))
print("F(1) =", simplify(F.subs(x, 1)))
print("Bestemt integral =", value)

Stamfunksjon F(x) = x**2*log(x)/2 - x**2/4
F'(x) - integrand = 0
F(e) = exp(2)/4
F(1) = -1/4
Bestemt integral = 1/4 + exp(2)/4

Fasit: \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx=\frac{e^2+1}{4}\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil i leddet \(-\int v\,du\), eller å bruke grensene før stamfunksjonen er ferdig.
Sensorpunkt: Valg av \(u\) og \(dv\), komplett delvis integrasjon og korrekt grenseinnsetting.
Del 1 · Oppgave 3aVektorer i rommet

Oppgave 3a

Oppgave: Vi har punktene \(A(1,1,1)\), \(B(2,1,5)\) og \(C(3,7,3)\). Undersøk om \(\triangle ABC\) er rettvinklet.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må undersøke om to sider som møtes i et hjørne, er ortogonale. Det gjøres med skalarprodukt.

Steg 1 — Finn sidevektorene fra A

\[\overrightarrow{AB}=(1,0,4),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,6,2)\]

Steg 2 — Finn den tredje sidevektoren

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(1,6,-2)\]

Steg 3 — Test vinkelen ved A

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\cdot2+0\cdot6+4\cdot2=10\neq0\]

Steg 4 — Test vinkelen ved B

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1,0,-4)\cdot(1,6,-2)=7\neq0\]

Steg 5 — Test vinkelen ved C

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-2,-6,-2)\cdot(-1,-6,2)=34\neq0\]

Steg 6 — Trekk konklusjonen

Ingen av skalarproduktene er null. Dermed finnes det ingen rett vinkel i trekanten.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Vector(A,B)·Vector(A,C)
Resultat: \(10\)
2Vector(B,A)·Vector(B,C)
Resultat: \(7\)
3Vector(C,A)·Vector(C,B)
Resultat: \(34\)

Ingen test gir null, så ingen sidepar er vinkelrett.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix
A = Matrix([1, 1, 1])
B = Matrix([2, 1, 5])
C = Matrix([3, 7, 3])
AB, AC = B - A, C - A
BA, BC = A - B, C - B
CA, CB = A - C, B - C
print("AB =", tuple(AB), "AC =", tuple(AC))
print("AB·AC =", AB.dot(AC))
print("BA·BC =", BA.dot(BC))
print("CA·CB =", CA.dot(CB))
print("Rettvinklet =", any(v == 0 for v in [AB.dot(AC), BA.dot(BC), CA.dot(CB)]))

AB = (1, 0, 4) AC = (2, 6, 2)
AB·AC = 10
BA·BC = 7
CA·CB = 34
Rettvinklet = False

Fasit: Trekanten er ikke rettvinklet.

Vanlig feil: Å teste bare vinkelen ved A. En rett vinkel kan i prinsippet ligge ved B eller C.
Sensorpunkt: Alle tre mulige hjørnevinkler må være vurdert, eller en fullstendig Pytagoras-kontroll må vises.
Del 1 · Oppgave 3bParallellogram

Oppgave 3b

Oppgave: Bestem koordinatene til et punkt \(D\) slik at \(ABCD\) blir et parallellogram.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Når hjørnene står i rekkefølgen A-B-C-D, skal diagonalene ha samme midtpunkt. Dermed er \(A+C=B+D\).

Steg 1 — Bruk diagonalregelen

\[\vec A+\vec C=\vec B+\vec D\]

Steg 2 — Isoler D

\[\vec D=\vec A+\vec C-\vec B\]

Steg 3 — Sett inn koordinatene

\[D=(1,1,1)+(3,7,3)-(2,1,5)\]

Steg 4 — Regn komponentvis

\[D=(1+3-2,\;1+7-1,\;1+3-5)\]

Steg 5 — Finn punktet

\[D=(2,7,-1)\]

Steg 6 — Kontroller parallelle sider

\[\overrightarrow{AD}=(1,6,-2)=\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{DC}=(1,0,4)=\overrightarrow{AB}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1A + C - B
Resultat: \((2,7,-1)\)
2Vector(A,D)
Resultat: \((1,6,-2)=\overrightarrow{BC}\)

CAS bekrefter både koordinatene og at motstående sider har samme vektor.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix
A = Matrix([1, 1, 1])
B = Matrix([2, 1, 5])
C = Matrix([3, 7, 3])
D = A + C - B
print("D =", tuple(D))
print("AB =", tuple(B - A))
print("DC =", tuple(C - D))
print("BC =", tuple(C - B))
print("AD =", tuple(D - A))
print("Parallellogramkontroll =", (B - A == C - D) and (C - B == D - A))

D = (2, 7, -1)
AB = (1, 0, 4)
DC = (1, 0, 4)
BC = (1, 6, -2)
AD = (1, 6, -2)
Parallellogramkontroll = True

Fasit: \(D=(2,7,-1)\).

Vanlig feil: Å bruke \(D=B+C-A\), som svarer til en annen hjørnerekkefølge.
Sensorpunkt: Riktig diagonal- eller sidevektorargument og en eksplisitt kontroll av parallellogrammet.
Del 1 · Oppgave 4aDifferensiallikninger

Oppgave 4a

Oppgave: Vi har differensiallikningen \(y''-y=0\). Vis at \(y=C_1e^x+C_2e^{-x}\) er løsning.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må derivere den foreslåtte funksjonen to ganger og sette uttrykkene inn i differensiallikningen.

Steg 1 — Skriv kandidaten

\[y=C_1e^x+C_2e^{-x}\]

Steg 2 — Deriver én gang

\[y'=C_1e^x-C_2e^{-x}\]

Steg 3 — Deriver to ganger

\[y''=C_1e^x+C_2e^{-x}\]

Steg 4 — Sammenlign y og y andre

Vi ser direkte at \(y''=y\).

Steg 5 — Sett inn i likningen

\[y''-y=(C_1e^x+C_2e^{-x})-(C_1e^x+C_2e^{-x})=0\]

Steg 6 — Konkluder

Likningen er oppfylt for alle \(x\) og alle konstanter \(C_1,C_2\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Simplify(Derivative(y,x,2)-y)
Resultat: \(0\)

Restleddet blir identisk null.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x, C1, C2 = symbols('x C1 C2')
y = C1*exp(x) + C2*exp(-x)
y1 = diff(y, x)
y2 = diff(y, x, 2)
residual = simplify(y2 - y)
print("y =", y)
print("y' =", y1)
print("y'' =", y2)
print("y'' - y =", residual)

y = C1*exp(x) + C2*exp(-x)
y' = C1*exp(x) - C2*exp(-x)
y'' = C1*exp(x) + C2*exp(-x)
y'' - y = 0

Fasit: Funksjonen oppfyller \(y''-y=0\) for alle \(C_1\) og \(C_2\).

Vanlig feil: Å få feil fortegn i andrederivert av \(e^{-x}\). Etter to derivasjoner blir fortegnet positivt igjen.
Sensorpunkt: Begge derivasjonene og full innsetting i differensiallikningen må vises.
Del 1 · Oppgave 4bInitialbetingelser

Oppgave 4b

Oppgave: Bestem \(C_1\) og \(C_2\) når \(y(0)=5\) og \(y'(0)=-1\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Initialbetingelsene gir et lineært likningssystem for de to konstantene.

Steg 1 — Bruk y ved null

\[y(0)=C_1+C_2=5\]

Steg 2 — Bruk den deriverte

\[y'=C_1e^x-C_2e^{-x}\]

Steg 3 — Sett x lik null

\[y'(0)=C_1-C_2=-1\]

Steg 4 — Adder likningene

\[(C_1+C_2)+(C_1-C_2)=5+(-1)\Rightarrow2C_1=4\]

Steg 5 — Finn konstantene

\[C_1=2,\qquad C_2=3\]

Steg 6 — Kontroller

\[y(0)=2+3=5,\qquad y'(0)=2-3=-1\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Solve({C1+C2=5,C1-C2=-1},{C1,C2})
Resultat: \(C_1=2,\ C_2=3\)

CAS løser det lineære systemet direkte.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Eq, solve, exp, diff
x, C1, C2 = symbols('x C1 C2')
solution = solve([Eq(C1 + C2, 5), Eq(C1 - C2, -1)], [C1, C2])
y = C1*exp(x) + C2*exp(-x)
y_final = y.subs(solution)
print("Konstanter =", solution)
print("y(x) =", y_final)
print("y(0) =", y_final.subs(x, 0))
print("y'(0) =", diff(y_final, x).subs(x, 0))
print("ODE-rest =", (diff(y_final, x, 2) - y_final).simplify())

Konstanter = {C1: 2, C2: 3}
y(x) = 2*exp(x) + 3*exp(-x)
y(0) = 5
y'(0) = -1
ODE-rest = 0

Fasit: \(C_1=2\), \(C_2=3\), og dermed \(y=2e^x+3e^{-x}\).

Vanlig feil: Å bruke samme likning to ganger og glemme at \(y'(0)=C_1-C_2\).
Sensorpunkt: Et korrekt likningssystem, løsning av begge konstanter og kontroll av begge initialbetingelsene.
Del 1 · Oppgave 5Uendelige rekker

Oppgave 5

Oppgave: Vi har den uendelige rekken \(1+\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots\). Forklar at rekken konvergerer, og bestem summen.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Rekken er geometrisk. Vi må identifisere kvotienten, kontrollere \(|k|<1\) og deretter bruke sumformelen.

Steg 1 — Finn første ledd

\[a_1=1\]

Steg 2 — Finn kvotienten

\[k=\frac{1/3}{1}=\frac13\]

Steg 3 — Kontroller konvergens

\[|k|=\frac13<1\]

Steg 4 — Velg sumformel

\[S=\frac{a_1}{1-k}\]

Steg 5 — Sett inn

\[S=\frac{1}{1-1/3}\]

Steg 6 — Forenkle

\[S=\frac{1}{2/3}=\frac32\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Sum((1/3)^n,n,0,∞)
Resultat: \(\frac32\)

CAS bekrefter at grensesummen er 3/2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, summation, oo, Rational, simplify
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
k = Rational(1, 3)
partial = summation(k**n, (n, 0, 7))
infinite = summation(k**n, (n, 0, oo))
formula = 1/(1 - k)
print("Kvotient k =", k)
print("|k| < 1 =", abs(k) < 1)
print("Partiell sum S_8 =", partial)
print("Uendelig sum =", infinite)
print("Formelkontroll =", simplify(infinite - formula))

Kvotient k = 1/3
|k| < 1 = True
Partiell sum S_8 = 3280/2187
Uendelig sum = 3/2
Formelkontroll = 0

Fasit: Rekken konvergerer fordi \(|k|=1/3<1\), og summen er \(S=3/2\).

Vanlig feil: Å bruke sumformelen uten først å kontrollere konvergenskravet.
Sensorpunkt: Kvotienten og betingelsen \(|k|<1\) må oppgis før summen beregnes.
Del 1 · Oppgave 6Trigonometriske modeller

Oppgave 6

Oppgave: En periodisk funksjon er gitt på formen \(f(x)=a\sin(cx+\varphi)+d\). Grafen går gjennom \(A(0,5)\), har bunnpunkt \(B(3,2)\) og toppunkt \(T(5,8)\). Det er ingen andre ekstrempunkter i intervallet \(\langle3,5\rangle\). Bestem \(a,c,\varphi,d\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker topp- og bunnverdiene til å finne amplitude og likevektslinje, og avstanden fra bunn til topp til å finne perioden.

Steg 1 — Finn likevektslinjen

\[d=\frac{8+2}{2}=5\]

Steg 2 — Finn amplituden

\[|a|=\frac{8-2}{2}=3\]

Steg 3 — Finn halvperioden

Fra bunnpunkt ved \(x=3\) til toppunkt ved \(x=5\) er det en halv periode, altså \(T/2=2\).

Steg 4 — Finn c

\[T=4,\qquad c=\frac{2\pi}{T}=\frac\pi2\]

Steg 5 — Bestem faseforskyvningen

Velg \(a=3\). Da gir \(\sin(3\pi/2)=-1\) bunn ved \(x=3\) og \(\sin(5\pi/2)=1\) topp ved \(x=5\). Derfor kan vi velge \(\varphi=0\).

Steg 6 — Kontroller punktet A

\[f(0)=3\sin0+5=5\]
Kontrollgraf for den trigonometriske modellen.
Kontrollgraf for den trigonometriske modellen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1FitSin({(0,5),(3,2),(5,8)})
Resultat: \(f(x)=3\sin(\frac\pi2x)+5\)
2Period(f)
Resultat: \(4\)

Den valgte modellen treffer alle tre oppgitte punkter og har riktig periode.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, sin, pi, simplify
x = symbols('x', real=True)
a, c, phi, d = 3, pi/2, 0, 5
f = a*sin(c*x + phi) + d
print("Modell f(x) =", f)
print("f(0) =", simplify(f.subs(x, 0)))
print("f(3) =", simplify(f.subs(x, 3)))
print("f(5) =", simplify(f.subs(x, 5)))
print("Amplitude =", a)
print("Periode =", simplify(2*pi/c))
print("Likevektslinje =", d)

Modell f(x) = 3*sin(pi*x/2) + 5
f(0) = 5
f(3) = 2
f(5) = 8
Amplitude = 3
Periode = 4
Likevektslinje = 5

Fasit: En mulig standardform er \(f(x)=3\sin(\frac\pi2x)+5\), altså \(a=3\), \(c=\pi/2\), \(\varphi=0\), \(d=5\).

Vanlig feil: Å tolke avstanden 2 fra bunn til topp som en hel periode. Den er en halv periode.
Sensorpunkt: Amplitude, likevektslinje, periode og fase må begrunnes og alle punktene må kontrolleres.
Del 1 · Oppgave 7aFunksjonsdrøfting

Oppgave 7a

Oppgave: Vi har funksjonen \(f(x)=x^2e^{-x}\). Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner kritiske punkter ved å derivere, faktorisere og analysere fortegnet til den deriverte.

Steg 1 — Deriver med produktregelen

\[f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}\]

Steg 2 — Faktoriser

\[f'(x)=xe^{-x}(2-x)\]

Steg 3 — Finn kritiske x-verdier

Siden \(e^{-x}>0\), får vi \(f'(x)=0\) når \(x=0\) eller \(x=2\).

Steg 4 — Lag fortegnslinje

For \(x<0\) er \(f'<0\); for \(0<x<2\) er \(f'>0\); for \(x>2\) er \(f'<0\).

Steg 5 — Klassifiser punktene

Ved \(x=0\) skifter fortegnet fra minus til pluss: bunnpunkt. Ved \(x=2\) skifter det fra pluss til minus: toppunkt.

Steg 6 — Finn y-koordinatene

\[f(0)=0,\qquad f(2)=4e^{-2}=\frac4{e^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Extremum(x^2*exp(-x))
Resultat: \((0,0)\) og \((2,4/e^2)\)

CAS finner de samme stasjonære punktene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, diff, factor, solve, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = x**2*exp(-x)
fp = factor(diff(f, x))
critical = solve(fp, x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("Kritiske x-verdier =", critical)
for value in critical:
    print(f"f({value}) =", simplify(f.subs(x, value)))
print("f'(-1), f'(1), f'(3) =", [diff(f, x).subs(x, v) for v in (-1, 1, 3)])

f(x) = x**2*exp(-x)
f'(x) = -x*(x - 2)*exp(-x)
Kritiske x-verdier = [0, 2]
f(0) = 0
f(2) = 4*exp(-2)
f'(-1), f'(1), f'(3) = [-3*E, exp(-1), -3*exp(-3)]

Fasit: Bunnpunkt \((0,0)\) og toppunkt \((2,4/e^2)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter \(f'(x)=0\) uten å klassifisere punktene med fortegn eller andrederivert.
Sensorpunkt: Kritiske punkter, fortegnsanalyse og korrekte koordinater.
Del 1 · Oppgave 7bGrafskisse

Oppgave 7b

Oppgave: Tegn en skisse av grafen til \(f(x)=x^2e^{-x}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kombinerer ekstrempunktene med endeadferd og fortegn for å lage en kvalitativt korrekt skisse.

Steg 1 — Finn skjæring med aksene

\(f(0)=0\), så grafen berører begge aksene i origo.

Steg 2 — Bruk fortegnet

\(x^2\ge0\) og \(e^{-x}>0\), derfor er \(f(x)\ge0\) for alle \(x\).

Steg 3 — Bruk ekstrempunktene

Grafen avtar fram til \((0,0)\), vokser til \((2,4/e^2)\), og avtar deretter.

Steg 4 — Finn høyre endeadferd

\[\lim_{x\to\infty}x^2e^{-x}=0\]

Steg 5 — Finn venstre endeadferd

\[\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}=\infty\]

Steg 6 — Tegn helheten

Grafen kommer ned fra store positive verdier, berører x-aksen i origo, får en liten topp ved \(x=2\), og nærmer seg x-aksen ovenfra.

Skisse av grafen til \(f(x)=x^2e^{-x}\).
Skisse av grafen til \(f(x)=x^2e^{-x}\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Limit(x^2*exp(-x),x,∞)
Resultat: \(0\)
2Limit(x^2*exp(-x),x,-∞)
Resultat: \(\infty\)

Grenseverdiene og ekstrempunktene bestemmer skissens hovedform.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, limit, oo, diff
x = symbols('x', real=True)
f = x**2*exp(-x)
print("lim x→∞ f(x) =", limit(f, x, oo))
print("lim x→-∞ f(x) =", limit(f, x, -oo))
print("f(0) =", f.subs(x, 0))
print("f(2) =", f.subs(x, 2))
print("f'(1) =", diff(f, x).subs(x, 1))
print("f'(3) =", diff(f, x).subs(x, 3))

lim x→∞ f(x) = 0
lim x→-∞ f(x) = oo
f(0) = 0
f(2) = 4*exp(-2)
f'(1) = exp(-1)
f'(3) = -3*exp(-3)

Fasit: Grafen ligger på eller over x-aksen, har bunnpunkt \((0,0)\), toppunkt \((2,4/e^2)\), og horisontal asymptote \(y=0\) mot høyre.

Vanlig feil: Å tegne grafen under x-aksen eller la den nærme seg null også mot venstre.
Sensorpunkt: Skissen må vise riktige ekstrempunkter, monotoni og begge endeadferdene.
Del 1 · Oppgave 8Induksjonsbevis

Oppgave 8

Oppgave: Bevis ved induksjon påstanden \(P(n):\ 1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6+\cdots+n(n+3)=\frac{n(n+1)(n+5)}3\), \(n\in\mathbb N\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et fullstendig induksjonsbevis krever grunntrinn, induksjonshypotese og et eksplisitt induksjonssteg fra \(k\) til \(k+1\).

Steg 1 — Grunntrinn n=1

\[1\cdot4=4,\qquad \frac{1\cdot2\cdot6}{3}=4\]

Påstanden er sann for \(n=1\).

Steg 2 — Induksjonshypotese

Anta at påstanden gjelder for \(n=k\):

\[1\cdot4+\cdots+k(k+3)=\frac{k(k+1)(k+5)}3\]

Steg 3 — Legg til neste ledd

\[1\cdot4+\cdots+k(k+3)+(k+1)(k+4)\]

Steg 4 — Bruk hypotesen

\[=\frac{k(k+1)(k+5)}3+(k+1)(k+4)\]

Steg 5 — Faktoriser fullstendig

\[=\frac{k+1}{3}\bigl(k(k+5)+3(k+4)\bigr)=\frac{k+1}{3}(k^2+8k+12)\]

Steg 6 — Vis formen for k+1

\[k^2+8k+12=(k+2)(k+6)\]

Dermed får vi \(\frac{(k+1)(k+2)(k+6)}3\), som er høyresiden med \(n=k+1\). Påstanden gjelder derfor for alle \(n\in\mathbb N\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Simplify(k(k+1)(k+5)/3+(k+1)(k+4))
Resultat: \(\frac{(k+1)(k+2)(k+6)}3\)

CAS bekrefter den kritiske faktoriseringen i induksjonssteget.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, summation, simplify, factor
n, k, j = symbols('n k j', integer=True, positive=True)
left = summation(j*(j + 3), (j, 1, n))
right = n*(n + 1)*(n + 5)/3
induction_left = k*(k + 1)*(k + 5)/3 + (k + 1)*(k + 4)
induction_target = (k + 1)*(k + 2)*(k + 6)/3
print("Symbolsk sum =", factor(left))
print("Forskjell mot formelen =", simplify(left - right))
print("Induksjonssteg, venstre =", factor(induction_left))
print("Mål for k+1 =", induction_target)
print("Forskjell i induksjonssteget =", simplify(induction_left - induction_target))

Symbolsk sum = n*(n + 1)*(n + 5)/3
Forskjell mot formelen = 0
Induksjonssteg, venstre = (k + 1)*(k + 2)*(k + 6)/3
Mål for k+1 = (k + 1)*(k + 2)*(k + 6)/3
Forskjell i induksjonssteget = 0

Fasit: Påstanden er bevist for alle \(n\in\mathbb N\).

Vanlig feil: Å skrive «det gjelder også for \(k+1\)» uten å vise faktoriseringen som faktisk gir målformen.
Sensorpunkt: Grunntrinn, tydelig hypotese, tillegg av korrekt neste ledd og full algebra fram til formelen for \(k+1\).

Del 2 – med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1aFunksjonsanalyse

Oppgave 1a

Oppgave: En funksjon er gitt ved \(f(x)=8e^{-x}\sin 2x\). Tegn grafen til \(f\), og bestem eventuelle null-, topp-, bunn- og vendepunkter når \(x\in\langle0,\pi\rangle\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi analyserer funksjonen med nullpunkter, første- og andrederivert. Deretter bruker vi numeriske verdier for koordinatene.

Steg 1 — Finn nullpunktene

Siden \(8e^{-x}>0\), bestemmes nullpunktene av \(\sin2x=0\). På intervallet får vi \(x=0,\pi/2,\pi\).

Steg 2 — Deriver funksjonen

\[f'(x)=8e^{-x}(2\cos2x-\sin2x)\]

Steg 3 — Finn ekstrempunktenes x-verdier

\[2\cos2x-\sin2x=0\iff \tan2x=2\]

Dermed \(x_1=\frac12\arctan2\approx0.5536\) og \(x_2=x_1+\frac\pi2\approx2.1244\).

Steg 4 — Klassifiser ekstrempunktene

Grafen går fra positiv til negativ deriverte ved \(x_1\), så dette er toppunkt. Ved \(x_2\) går den fra negativ til positiv, så dette er bunnpunkt.

Steg 5 — Finn vendepunktene

\[f''(x)=8e^{-x}(-3\sin2x-4\cos2x)\]

Likningen \(3\sin2x+4\cos2x=0\) gir \(x\approx1.1071\) og \(x\approx2.6779\).

Steg 6 — Beregn koordinatene

Toppunkt \(\approx(0.5536,4.1136)\), bunnpunkt \(\approx(2.1244,-0.8551)\), vendepunkter \(\approx(1.1071,2.1152)\) og \(\approx(2.6779,-0.4397)\).

Graf med nullpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter markert.
Graf med nullpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter markert.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Solve(8*exp(-x)*sin(2x)=0,0≤x≤π)
Resultat: \(x=0,\pi/2,\pi\)
2Extremum(8*exp(-x)*sin(2x),0,π)
Resultat: \((0.5536,4.1136),(2.1244,-0.8551)\)
3InflectionPoint(f)
Resultat: \((1.1071,2.1152),(2.6779,-0.4397)\)

GeoGebra-verdiene samsvarer med den analytiske derivasjonen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, sin, cos, diff, atan, pi, N
x = symbols('x', real=True)
f = 8*exp(-x)*sin(2*x)
fp = diff(f, x)
fpp = diff(f, x, 2)
x_top = atan(2)/2
x_bottom = x_top + pi/2
x_inf1 = (pi - atan(4/3))/2
x_inf2 = pi - atan(4/3)/2
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
print("Nullpunkter =", [0, pi/2, pi])
print("Toppunkt ≈", (N(x_top, 7), N(f.subs(x, x_top), 7)))
print("Bunnpunkt ≈", (N(x_bottom, 7), N(f.subs(x, x_bottom), 7)))
print("Vendepunkt 1 ≈", (N(x_inf1, 7), N(f.subs(x, x_inf1), 7)))
print("Vendepunkt 2 ≈", (N(x_inf2, 7), N(f.subs(x, x_inf2), 7)))

f'(x) = -8*exp(-x)*sin(2*x) + 16*exp(-x)*cos(2*x)
f''(x) = -8*(3*sin(2*x) + 4*cos(2*x))*exp(-x)
Nullpunkter = [0, pi/2, pi]
Toppunkt ≈ (0.5535744, 4.113587)
Bunnpunkt ≈ (2.124371, -0.8551307)
Vendepunkt 1 ≈ (1.107149, 2.115200)
Vendepunkt 2 ≈ (2.677945, -0.4397068)

Fasit: Nullpunkter \((0,0)\), \((\pi/2,0)\), \((\pi,0)\); toppunkt \(\approx(0.5536,4.1136)\); bunnpunkt \(\approx(2.1244,-0.8551)\); vendepunkter \(\approx(1.1071,2.1152)\) og \(\approx(2.6779,-0.4397)\).

Vanlig feil: Å bruke bare grafavlesning uten å vise hvilke likninger som bestemmer ekstrem- og vendepunktene.
Sensorpunkt: Nullpunkter, derivertlikninger, klassifisering og tilstrekkelig presise koordinater.
Del 2 · Oppgave 1bIntegrasjon

Oppgave 1b

Oppgave: Bruk formelen \(\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C\) til å bestemme \(\int f(x)\,dx\). Kontroller svaret ved derivasjon.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(a=-1\), \(b=2\) og husker faktoren 8 foran integralet.

Steg 1 — Sett inn parameterne

Her er \(a=-1\), \(b=2\), så \(a^2+b^2=1+4=5\).

Steg 2 — Bruk formelen

\[\int e^{-x}\sin2x\,dx=\frac{e^{-x}}5(-\sin2x-2\cos2x)+C\]

Steg 3 — Ta med faktoren 8

\[\int f(x)dx=-\frac85e^{-x}(\sin2x+2\cos2x)+C\]

Steg 4 — Definer stamfunksjonen

\[F(x)=-\frac85e^{-x}(\sin2x+2\cos2x)\]

Steg 5 — Deriver produktet

\[F'(x)=-\frac85\left[-e^{-x}(\sin2x+2\cos2x)+e^{-x}(2\cos2x-4\sin2x)\right]\]

Steg 6 — Forenkle kontrollen

\[F'(x)=8e^{-x}\sin2x=f(x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Integral(8*exp(-x)*sin(2x),x)
Resultat: \(-\frac85e^{-x}(\sin2x+2\cos2x)\)

CAS gir samme stamfunksjon, og derivasjon returnerer integranden.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, sin, cos, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 8*exp(-x)*sin(2*x)
F = -8*exp(-x)*(sin(2*x) + 2*cos(2*x))/5
F_cas = integrate(f, x)
print("Integrand f(x) =", f)
print("Foreslått F(x) =", F)
print("SymPy-stamfunksjon =", F_cas)
print("F'(x) =", simplify(diff(F, x)))
print("F'(x) - f(x) =", simplify(diff(F, x) - f))

Integrand f(x) = 8*exp(-x)*sin(2*x)
Foreslått F(x) = -8*(sin(2*x) + 2*cos(2*x))*exp(-x)/5
SymPy-stamfunksjon = -8*exp(-x)*sin(2*x)/5 - 16*exp(-x)*cos(2*x)/5
F'(x) = 8*exp(-x)*sin(2*x)
F'(x) - f(x) = 0

Fasit: \(\displaystyle\int f(x)dx=-\frac85e^{-x}(\sin2x+2\cos2x)+C\).

Vanlig feil: Å sette \(a=1\) i stedet for \(a=-1\), eller å miste faktoren 8.
Sensorpunkt: Korrekt parameterinnsetting i den oppgitte formelen og eksplisitt derivasjonskontroll.
Del 2 · Oppgave 1cBestemt integral og areal

Oppgave 1c

Oppgave: Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av x-aksen og grafen til \(f\) når \(x\in[0,\pi]\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Fordi funksjonen skifter fortegn ved \(x=\pi/2\), må integralet deles og den negative delen tas med som absoluttverdi.

Steg 1 — Finn fortegnskiftet

\(f(x)>0\) på \((0,\pi/2)\) og \(f(x)<0\) på \((\pi/2,\pi)\).

Steg 2 — Skriv arealuttrykket

\[A=\int_0^{\pi/2}f(x)dx-\int_{\pi/2}^{\pi}f(x)dx\]

Steg 3 — Bruk stamfunksjonen

\[F(x)=-\frac85e^{-x}(\sin2x+2\cos2x)\]

Steg 4 — Beregn første del

\[A_1=F(\pi/2)-F(0)=\frac{16}{5}(1+e^{-\pi/2})\]

Steg 5 — Beregn den negative delen som areal

\[A_2=-\bigl(F(\pi)-F(\pi/2)\bigr)=\frac{16}{5}(e^{-\pi/2}+e^{-\pi})\]

Steg 6 — Summer og faktoriser

\[A=\frac{16}{5}(1+2e^{-\pi/2}+e^{-\pi})=\frac{16}{5}(1+e^{-\pi/2})^2\approx4.6687\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Integral(abs(8*exp(-x)*sin(2x)),0,π)
Resultat: \(\frac{16}{5}(1+e^{-\pi/2})^2\approx4.6687\)

GeoGebra integrerer absoluttverdien og gir det samme samlede arealet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, sin, pi, integrate, simplify, N
x = symbols('x', real=True)
f = 8*exp(-x)*sin(2*x)
positive = integrate(f, (x, 0, pi/2))
negative_integral = integrate(f, (x, pi/2, pi))
area = simplify(positive - negative_integral)
factor_form = 16*(1 + exp(-pi/2))**2/5
print("Positivt delareal =", positive)
print("Integral på negativ del =", negative_integral)
print("Samlet areal =", area)
print("Faktorisert form =", factor_form)
print("Kontrollforskjell =", simplify(area - factor_form))
print("Desimalverdi ≈", N(area, 10))

Positivt delareal = 16*exp(-pi/2)/5 + 16/5
Integral på negativ del = -16*exp(-pi/2)/5 - 16*exp(-pi)/5
Samlet areal = 16*exp(-pi)/5 + 32*exp(-pi/2)/5 + 16/5
Faktorisert form = 16*(exp(-pi/2) + 1)**2/5
Kontrollforskjell = 0
Desimalverdi ≈ 4.668713827

Fasit: \(A=\frac{16}{5}(1+e^{-\pi/2})^2\approx4.6687\) kvadratenheter.

Vanlig feil: Å beregne bare \(\int_0^\pi f(x)dx\). Det gir fortegnet areal, ikke samlet geometrisk areal.
Sensorpunkt: Oppdeling ved nullpunktet \(\pi/2\), korrekt fortegn og eksakt eller presist numerisk svar.
Del 2 · Oppgave 2aSeparable differensiallikninger

Oppgave 2a

Oppgave: Farten \(v\) oppfyller \(v'=12.0-1.15v\). Løs differensiallikningen og bestem \(v(t)\) når \(v(0)=0\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen er separabel og har en likevektsfart. Vi løser den eksakt med brøkene \(12\) og \(23/20\).

Steg 1 — Skriv likningen eksakt

\[v'=12-\frac{23}{20}v\]

Steg 2 — Separer variablene

\[\frac{dv}{12-\frac{23}{20}v}=dt\]

Steg 3 — Integrer

\[-\frac{20}{23}\ln\left|12-\frac{23}{20}v\right|=t+C\]

Steg 4 — Løs for v

Dette gir standardformen \(v(t)=\frac{240}{23}+Ce^{-23t/20}\).

Steg 5 — Bruk initialbetingelsen

\[0=\frac{240}{23}+C\Rightarrow C=-\frac{240}{23}\]

Steg 6 — Skriv løsningen

\[v(t)=\frac{240}{23}\left(1-e^{-23t/20}\right)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1SolveODE(v'=12-1.15v,v(0)=0)
Resultat: \(v(t)=\frac{240}{23}(1-e^{-23t/20})\)

CAS-løsningen nærmer seg likevektsfarten \(240/23\approx10.435\) m/s.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Function, Eq, Derivative, dsolve, Rational, exp, simplify, limit, oo
t = symbols('t', nonnegative=True)
v = Function('v')
ode = Eq(Derivative(v(t), t), 12 - Rational(23, 20)*v(t))
solution = dsolve(ode, ics={v(0): 0})
formula = Rational(240, 23)*(1 - exp(-Rational(23, 20)*t))
print("Differensiallikning =", ode)
print("SymPy-løsning =", solution)
print("Formel v(t) =", formula)
print("v(0) =", formula.subs(t, 0))
print("ODE-rest =", simplify(formula.diff(t) - (12 - Rational(23,20)*formula)))
print("Grensefart =", limit(formula, t, oo))

Differensiallikning = Eq(Derivative(v(t), t), 12 - 23*v(t)/20)
SymPy-løsning = Eq(v(t), 240/23 - 240*exp(-23*t/20)/23)
Formel v(t) = 240/23 - 240*exp(-23*t/20)/23
v(0) = 0
ODE-rest = 0
Grensefart = 240/23

Fasit: \(v(t)=\frac{240}{23}(1-e^{-23t/20})\) m/s.

Vanlig feil: Å få positiv eksponent. Farten skal nærme seg en endelig likevektsverdi, ikke vokse uten grense.
Sensorpunkt: Full løsning, bruk av \(v(0)=0\) og en fysisk rimelig grensefart.
Del 2 · Oppgave 2bIntegrasjon av fart

Oppgave 2b

Oppgave: Strekningen \(s\) er definert ved \(s'=v\) og \(s(0)=0\). Bestem en formel for \(s(t)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Strekningen finnes ved å integrere fartsløsningen og deretter bruke startbetingelsen.

Steg 1 — Sett inn farten

\[s'(t)=\frac{240}{23}\left(1-e^{-23t/20}\right)\]

Steg 2 — Integrer konstantleddet

\[\int\frac{240}{23}dt=\frac{240}{23}t\]

Steg 3 — Integrer eksponentialleddet

\[-\frac{240}{23}\int e^{-23t/20}dt=\frac{4800}{529}e^{-23t/20}\]

Steg 4 — Skriv generell løsning

\[s(t)=\frac{240}{23}t+\frac{4800}{529}e^{-23t/20}+C\]

Steg 5 — Bruk s(0)=0

\[0=\frac{4800}{529}+C\Rightarrow C=-\frac{4800}{529}\]

Steg 6 — Skriv sluttformen

\[s(t)=\frac{240}{23}t-\frac{4800}{529}\left(1-e^{-23t/20}\right)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Integral((240/23)*(1-exp(-23t/20)),t)
Resultat: \(\frac{240}{23}t+\frac{4800}{529}e^{-23t/20}\)

Derivasjon av sluttformen gir nøyaktig fartsløsningen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Rational, exp, integrate, diff, simplify
t = symbols('t', nonnegative=True)
v = Rational(240, 23)*(1 - exp(-Rational(23, 20)*t))
s = Rational(240, 23)*t - Rational(4800, 529)*(1 - exp(-Rational(23, 20)*t))
print("v(t) =", v)
print("Integral av v =", integrate(v, t))
print("s(t) =", s)
print("s(0) =", s.subs(t, 0))
print("s'(t) =", diff(s, t))
print("s'(t) - v(t) =", simplify(diff(s, t) - v))

v(t) = 240/23 - 240*exp(-23*t/20)/23
Integral av v = 240*t/23 + 4800*exp(-23*t/20)/529
s(t) = 240*t/23 - 4800/529 + 4800*exp(-23*t/20)/529
s(0) = 0
s'(t) = 240/23 - 240*exp(-23*t/20)/23
s'(t) - v(t) = 0

Fasit: \(s(t)=\frac{240}{23}t-\frac{4800}{529}(1-e^{-23t/20})\) meter.

Vanlig feil: Å glemme integrasjonskonstanten og dermed få \(s(0) eq0\).
Sensorpunkt: Riktig integral av eksponentialleddet og eksplisitt bruk av \(s(0)=0\).
Del 2 · Oppgave 2cNumerisk likningsløsning

Oppgave 2c

Oppgave: Hvor lang tid vil sprinteren bruke på 100 m, ifølge modellen?
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(s(t)=100\). Likningen kan ikke løses elementært, så vi bruker numerisk løsning og kontrollerer resultatet.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[\frac{240}{23}t-\frac{4800}{529}(1-e^{-23t/20})=100\]

Steg 2 — Velg startverdi

En sprinter bruker omtrent 10 sekunder, så \(t_0=10\) er en god startverdi for Newton/CAS.

Steg 3 — Løs numerisk

\[t\approx10.452893318\]

Steg 4 — Kontroller strekningen

Innsetting gir \(s(10.452893318)\approx100.0000\) m.

Steg 5 — Kontroller farten ved målgang

\[v(10.4529)\approx10.4347\text{ m/s}\]

Steg 6 — Tolk svaret

Modellen anslår en tid på omtrent \(10.45\) sekunder.

Modellens fart og skalerte strekning. Den stiplede linjen markerer 100 m-tiden.
Modellens fart og skalerte strekning. Den stiplede linjen markerer 100 m-tiden.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1NSolve(s(t)=100,t)
Resultat: \(t\approx10.4529\)

Numerisk kontroll gir 100 m ved den oppgitte tiden.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Rational, exp, nsolve, N
t = symbols('t', positive=True)
v = Rational(240, 23)*(1 - exp(-Rational(23, 20)*t))
s = Rational(240, 23)*t - Rational(4800, 529)*(1 - exp(-Rational(23, 20)*t))
root = nsolve(s - 100, 10)
print("Numerisk løsning t =", N(root, 12))
print("s(t) ved løsningen =", N(s.subs(t, root), 12))
print("v(t) ved målgang =", N(v.subs(t, root), 10))
print("Avvik fra 100 m =", N(s.subs(t, root) - 100, 5))

Numerisk løsning t = 10.4528933181
s(t) ved løsningen = 100.000000000
v(t) ved målgang = 10.43471982
Avvik fra 100 m = 1.4211e-14

Fasit: Sprinteren bruker omtrent \(10.45\) s på 100 m.

Vanlig feil: Å runde tiden for tidlig og ikke kontrollere at den avrundede verdien faktisk gir omtrent 100 m.
Sensorpunkt: Korrekt numerisk likning, fornuftig startverdi, presist svar og innsettingskontroll.
Del 2 · Oppgave 3aVektorrelasjoner

Oppgave 3a

Oppgave: Gitt ikke-nullvektorene \(\vec a\), \(\vec b\) og \(\vec c\). Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre når 1) \(\vec a\cdot\vec b=0\), 2) \(\vec a\times\vec b=\vec0\), 3) \(\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=0\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi tolker skalarprodukt, kryssprodukt og skalartrippelprodukt geometrisk.

Steg 1 — Skalarprodukt lik null

\(\vec a\cdot\vec b=|a||b|\cos\theta=0\). Siden vektorene ikke er null, må \(\cos\theta=0\), altså er de vinkelrette.

Steg 2 — Kryssprodukt lik null

\(|\vec a\times\vec b|=|a||b|\sin\theta=0\). Dermed er \(\theta=0\) eller \(\pi\), så vektorene er parallelle eller antiparallelle.

Steg 3 — Tolk b kryss c

\(\vec b\times\vec c\) er normalvektor til planet spent ut av \(\vec b\) og \(\vec c\).

Steg 4 — Skalartrippelprodukt lik null

\(\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=0\) betyr at \(\vec a\) er vinkelrett på normalvektoren.

Steg 5 — Geometrisk konsekvens

Da ligger \(\vec a\) i samme plan som \(\vec b\) og \(\vec c\), forutsatt at \(\vec b\) og \(\vec c\) ikke er parallelle.

Steg 6 — Degenerert tilfelle

Hvis \(\vec b\times\vec c=0\), er trippelproduktet automatisk null; også da er de tre vektorene lineært avhengige og kan ligge i ett plan.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Dot(a,b)=0
Resultat: \(\vec a\perp\vec b\)
2Cross(a,b)=0
Resultat: \(\vec a\parallel\vec b\)
3Dot(a,Cross(b,c))=0
Resultat: vektorene er koplanare

GeoGebra tolker de tre standardbetingelsene geometrisk.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix
# Tre konkrete kontroller av de geometriske betingelsene
a1, b1 = Matrix([1, 0, 0]), Matrix([0, 2, 0])
a2, b2 = Matrix([1, 2, 3]), Matrix([-2, -4, -6])
a3, b3, c3 = Matrix([1, 1, 0]), Matrix([1, 0, 0]), Matrix([0, 1, 0])
print("1) a·b =", a1.dot(b1), "og vektorene er ortogonale")
print("2) a×b =", tuple(a2.cross(b2)), "og vektorene er parallelle")
triple = a3.dot(b3.cross(c3))
print("3) b×c =", tuple(b3.cross(c3)))
print("   a·(b×c) =", triple, "og vektorene er koplanare")

1) a·b = 0 og vektorene er ortogonale
2) a×b = (0, 0, 0) og vektorene er parallelle
3) b×c = (0, 0, 1)
   a·(b×c) = 0 og vektorene er koplanare

Fasit: 1) Vinkelrette. 2) Parallelle/antiparallelle. 3) Koplanare (lineært avhengige i rommet).

Vanlig feil: Å si at \(\vec a\times\vec b=0\) betyr vinkelrett. Det er motsatt: kryssprodukt null betyr parallelle retninger.
Sensorpunkt: Korrekt geometrisk tolkning av alle tre produktene, inkludert degenererte tilfeller.
Del 2 · Oppgave 3bVektoridentitet

Oppgave 3b

Oppgave: Bruk definisjonene av \(\vec a\cdot\vec b\) og \(\vec a\times\vec b\) til å vise \((\vec a\times\vec b)^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=|\vec a|^2|\vec b|^2\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker begge produktene ved vinkelen \(\theta\) mellom vektorene og bruker identiteten \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\).

Steg 1 — Skriv skalarproduktet

\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\]

Steg 2 — Kvadrer skalarproduktet

\[(\vec a\cdot\vec b)^2=|\vec a|^2|\vec b|^2\cos^2\theta\]

Steg 3 — Skriv lengden av kryssproduktet

\[|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta\]

Steg 4 — Kvadrer kryssproduktlengden

\[|\vec a\times\vec b|^2=|\vec a|^2|\vec b|^2\sin^2\theta\]

Steg 5 — Adder uttrykkene

\[|\vec a|^2|\vec b|^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\]

Steg 6 — Bruk trigonometrisk identitet

\[\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\Rightarrow |\vec a\times\vec b|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=|\vec a|^2|\vec b|^2\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Simplify(Norm(Cross(a,b))^2+Dot(a,b)^2)
Resultat: \(|a|^2|b|^2\)

CAS-identiteten er Lagranges identitet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Matrix, simplify
# Kontroller identiteten symbolsk i tre dimensjoner
a1, a2, a3, b1, b2, b3 = symbols('a1 a2 a3 b1 b2 b3', real=True)
a = Matrix([a1, a2, a3])
b = Matrix([b1, b2, b3])
left = a.cross(b).dot(a.cross(b)) + a.dot(b)**2
right = a.dot(a)*b.dot(b)
print("Venstreside utvidet =", left.expand())
print("Høyreside utvidet =", right.expand())
print("Forskjell =", simplify(left - right))

Venstreside utvidet = a1**2*b1**2 + a1**2*b2**2 + a1**2*b3**2 + a2**2*b1**2 + a2**2*b2**2 + a2**2*b3**2 + a3**2*b1**2 + a3**2*b2**2 + a3**2*b3**2
Høyreside utvidet = a1**2*b1**2 + a1**2*b2**2 + a1**2*b3**2 + a2**2*b1**2 + a2**2*b2**2 + a2**2*b3**2 + a3**2*b1**2 + a3**2*b2**2 + a3**2*b3**2
Forskjell = 0

Fasit: Identiteten er bevist: \(|\vec a\times\vec b|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=|\vec a|^2|\vec b|^2\).

Vanlig feil: Å skrive \((\vec a\times\vec b)^2\) uten å presisere at det betyr kvadratet av lengden.
Sensorpunkt: Begge definisjonene, kvadrering og eksplisitt bruk av \(\sin^2+\cos^2=1\).
Del 2 · Oppgave 3cAreal med vektorer

Oppgave 3c

Oppgave: Skisse 1 viser en trekant utspent av \(\vec a\) og \(\vec b\). Forklar at arealet er \(F=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}\). Kommenter tilfellene \(\vec a\cdot\vec b=0\) og \(\vec a\times\vec b=\vec0\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Trekantarealet er halvparten av parallellogramarealet. Vi kombinerer dette med identiteten fra forrige del.

Steg 1 — Start med kryssproduktet

Parallellogrammet spent ut av \(\vec a\) og \(\vec b\) har areal \(|\vec a\times\vec b|\).

Steg 2 — Halver for trekanten

\[F=\frac12|\vec a\times\vec b|\]

Steg 3 — Bruk vektoridentiteten

\[|\vec a\times\vec b|^2=|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2\]

Steg 4 — Ta positiv kvadratrot

\[|\vec a\times\vec b|=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}\]

Steg 5 — Sett inn i arealformelen

\[F=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}\]

Steg 6 — Kommenter spesialtilfellene

Hvis \(\vec a\cdot\vec b=0\), er vektorene vinkelrette og \(F=\frac12|a||b|\). Hvis \(\vec a\times\vec b=0\), er de parallelle og trekanten er degenerert med \(F=0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Area(Polygon(O,A,B))
Resultat: \(\frac12|a\times b|\)

GeoGebra-arealet samsvarer med kryssproduktformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, sqrt, simplify
# Et konkret eksempel for å kontrollere begge arealformene
a = Matrix([2, 1, 0])
b = Matrix([1, 3, 2])
cross_area = a.cross(b).norm()/2
dot_area = sqrt(a.dot(a)*b.dot(b) - a.dot(b)**2)/2
print("a =", tuple(a), "b =", tuple(b))
print("a·b =", a.dot(b))
print("a×b =", tuple(a.cross(b)))
print("Areal fra kryssprodukt =", cross_area)
print("Areal fra oppgitt formel =", dot_area)
print("Forskjell =", simplify(cross_area - dot_area))

a = (2, 1, 0) b = (1, 3, 2)
a·b = 5
a×b = (2, -4, 5)
Areal fra kryssprodukt = 3*sqrt(5)/2
Areal fra oppgitt formel = 3*sqrt(5)/2
Forskjell = 0

Fasit: \(F=\frac12\sqrt{|a|^2|b|^2-(a\cdot b)^2}\). Ved vinkelrette vektorer er arealet \(\frac12|a||b|\); ved parallelle vektorer er det 0.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/2\), som skiller trekantareal fra parallellogramareal.
Sensorpunkt: Koblingen mellom kryssprodukt, identiteten i b) og begge spesialtilfellene.
Del 2 · Oppgave 3dRomgeometri

Oppgave 3d

Oppgave: Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av \(\triangle ABC\) for \(A(1,1,1)\), \(B(2,3,4)\), \(C(3,1,5)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi lar sidevektorene fra A spille rollen som \(\vec a\) og \(\vec b\), og setter skalarproduktene inn i arealformelen.

Steg 1 — Finn sidevektorene

\[\overrightarrow{AB}=(1,2,3),\qquad\overrightarrow{AC}=(2,0,4)\]

Steg 2 — Finn kvadrerte lengder

\[|AB|^2=1^2+2^2+3^2=14,\qquad |AC|^2=2^2+0^2+4^2=20\]

Steg 3 — Finn skalarproduktet

\[AB\cdot AC=1\cdot2+2\cdot0+3\cdot4=14\]

Steg 4 — Sett inn i formelen

\[F=\frac12\sqrt{14\cdot20-14^2}\]

Steg 5 — Forenkle

\[F=\frac12\sqrt{84}=\sqrt{21}\]

Steg 6 — Gi desimalverdi

\[F\approx4.5826\]
Trekanten med de tre oppgitte punktene i rommet.
Trekanten med de tre oppgitte punktene i rommet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Area(Polygon(A,B,C))
Resultat: \(\sqrt{21}\approx4.5826\)

GeoGebra beregner samme trekantareal i rommet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, sqrt, simplify, N
A = Matrix([1, 1, 1])
B = Matrix([2, 3, 4])
C = Matrix([3, 1, 5])
AB, AC = B - A, C - A
area_formula = sqrt(AB.dot(AB)*AC.dot(AC) - AB.dot(AC)**2)/2
area_cross = AB.cross(AC).norm()/2
print("AB =", tuple(AB), "AC =", tuple(AC))
print("|AB|² =", AB.dot(AB), "|AC|² =", AC.dot(AC))
print("AB·AC =", AB.dot(AC))
print("AB×AC =", tuple(AB.cross(AC)))
print("Areal =", simplify(area_formula))
print("Desimal ≈", N(area_formula, 8))
print("Kryssproduktkontroll =", simplify(area_formula - area_cross))

AB = (1, 2, 3) AC = (2, 0, 4)
|AB|² = 14 |AC|² = 20
AB·AC = 14
AB×AC = (8, 2, -4)
Areal = sqrt(21)
Desimal ≈ 4.5825757
Kryssproduktkontroll = 0

Fasit: \(F=\sqrt{21}\approx4.583\) kvadratenheter.

Vanlig feil: Å bruke punktkoordinatene direkte i stedet for sidevektorene fra samme startpunkt.
Sensorpunkt: Korrekte sidevektorer, alle tre skalarstørrelsene og eksakt forenkling.
Del 2 · Oppgave 4aAritmetiske rekker

Oppgave 4a

Oppgave: Vi har rekken \(1+3+5+\cdots+(2n-1)\). Bestem et uttrykk for summen \(S_n\) av de \(n\) første leddene, og bestem hvor mange ledd vi må ta med for at \(S_n=1600\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Rekken er aritmetisk med første ledd 1 og differanse 2. Vi bruker sumformelen og løser deretter en enkel likning.

Steg 1 — Identifiser rekken

Første ledd er \(a_1=1\), differansen er \(d=2\), og det n-te leddet er \(a_n=2n-1\).

Steg 2 — Bruk sumformelen

\[S_n=\frac n2(a_1+a_n)\]

Steg 3 — Sett inn leddene

\[S_n=\frac n2(1+2n-1)\]

Steg 4 — Forenkle

\[S_n=\frac n2\cdot2n=n^2\]

Steg 5 — Sett summen lik 1600

\[n^2=1600\]

Steg 6 — Velg gyldig løsning

\(n=\pm40\), men antall ledd må være positivt. Derfor \(n=40\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Sum(2k-1,k,1,n)
Resultat: \(n^2\)
2Solve(n^2=1600,n)
Resultat: \(n=40\)

CAS bekrefter både sumformelen og antall ledd.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, summation, solve, Eq, factor
k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True)
Sn = summation(2*k - 1, (k, 1, n))
solutions = solve(Eq(Sn, 1600), n)
print("Symbolsk sum S_n =", factor(Sn))
print("Likning S_n = 1600 gir =", solutions)
print("Kontroll S_40 =", Sn.subs(n, 40))
print("S_39 =", Sn.subs(n, 39))
print("S_41 =", Sn.subs(n, 41))

Symbolsk sum S_n = n**2
Likning S_n = 1600 gir = [40]
Kontroll S_40 = 1600
S_39 = 1521
S_41 = 1681

Fasit: \(S_n=n^2\), og vi må ta med \(40\) ledd.

Vanlig feil: Å bruke siste ledd \(2n+1\) i stedet for \(2n-1\), eller å beholde den negative løsningen.
Sensorpunkt: Korrekt aritmetisk sumformel, forenkling til \(n^2\) og riktig positiv løsning.
Del 2 · Oppgave 4bGeometriske rekker

Oppgave 4b

Oppgave: En uendelig rekke er gitt ved \(1+\frac1{2^2}+\frac1{4^2}+\frac1{8^2}+\cdots\). Forklar at dette er en konvergent geometrisk rekke. Bestem summen.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver leddene som 1, 1/4, 1/16, 1/64, ... og finner den konstante kvotienten.

Steg 1 — Skriv de første leddene

\[1+\frac14+\frac1{16}+\frac1{64}+\cdots\]

Steg 2 — Finn kvotienten

\[k=\frac{1/4}{1}=\frac14\]

Steg 3 — Kontroller geometrisk struktur

Hvert nytt ledd fås ved å multiplisere det forrige med \(1/4\).

Steg 4 — Kontroller konvergens

\[|k|=\frac14<1\]

Steg 5 — Bruk sumformelen

\[S=\frac{a_1}{1-k}=\frac1{1-1/4}\]

Steg 6 — Forenkle

\[S=\frac1{3/4}=\frac43\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Sum((1/4)^n,n,0,∞)
Resultat: \(4/3\)

CAS bekrefter den uendelige summen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Rational, summation, oo, simplify
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
k = Rational(1, 4)
series_sum = summation(k**n, (n, 0, oo))
formula = 1/(1-k)
print("Kvotient =", k)
print("Konvergenskrav |k| < 1 =", abs(k) < 1)
print("Første fire ledd =", [k**j for j in range(4)])
print("Uendelig sum =", series_sum)
print("Formelverdi =", formula)
print("Forskjell =", simplify(series_sum - formula))

Kvotient = 1/4
Konvergenskrav |k| < 1 = True
Første fire ledd = [1, 1/4, 1/16, 1/64]
Uendelig sum = 4/3
Formelverdi = 4/3
Forskjell = 0

Fasit: Rekken er geometrisk med \(k=1/4\), den konvergerer, og summen er \(4/3\).

Vanlig feil: Å tolke nevnerne 2, 4, 8 som kvotient 1/2 uten å ta hensyn til kvadreringen.
Sensorpunkt: Omskriving av leddene, korrekt kvotient og eksplisitt konvergenskontroll.
Del 2 · Oppgave 5aEllipse

Oppgave 5a

Oppgave: En ellipse er gitt ved \(\left(\frac xa\right)^2+\left(\frac yb\right)^2=1\). Vis at likningen kan omformes til \(y^2=b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi isolerer leddet med y og multipliserer med \(b^2\).

Steg 1 — Skriv likningen med brøker

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Steg 2 — Flytt x-leddet

\[\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\]

Steg 3 — Multipliser med b i andre

\[y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\]

Steg 4 — Distribuer

\[y^2=b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}\]

Steg 5 — Kontroller endepunktene

Ved \(x=\pm a\) blir \(y^2=0\), slik figuren viser.

Steg 6 — Kontroller toppunktet

Ved \(x=0\) blir \(y^2=b^2\), og øvre halvdel har \(y=b\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Solve((x/a)^2+(y/b)^2=1,y^2)
Resultat: \(y^2=b^2-b^2x^2/a^2\)

CAS isolerer y-kvadratet og gir samme uttrykk.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
a, b, x, y = symbols('a b x y', nonzero=True)
equation = Eq((x/a)**2 + (y/b)**2, 1)
y2 = b**2*(1 - x**2/a**2)
print("Ellipse-likning =", equation)
print("Isolert y² =", y2.expand())
print("Kontroll ved innsetting =", simplify(x**2/a**2 + y2/b**2 - 1))
print("Ved x=a blir y² =", simplify(y2.subs(x, a)))
print("Ved x=0 blir y² =", simplify(y2.subs(x, 0)))

Ellipse-likning = Eq(y**2/b**2 + x**2/a**2, 1)
Isolert y² = b**2 - b**2*x**2/a**2
Kontroll ved innsetting = 0
Ved x=a blir y² = 0
Ved x=0 blir y² = b**2

Fasit: \(y^2=b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}\).

Vanlig feil: Å ta kvadratroten for tidlig og dermed måtte håndtere både positiv og negativ gren unødvendig.
Sensorpunkt: Ren algebraisk isolering av \(y^2\) og korrekt behandling av nevnerne.
Del 2 · Oppgave 5bOmdreiningsvolum

Oppgave 5b

Oppgave: Bruk integrasjon for å vise at volumet av ellipsoiden som oppstår når øvre halvdel roteres om x-aksen, er \(\frac43\pi ab^2\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Ved skivemetoden er tverrsnittsarealet \(\pi y^2\). Vi integrerer fra \(-a\) til \(a\).

Steg 1 — Skriv radiusen i andre

\[y^2=b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}\]

Steg 2 — Skriv skivearealet

\[A(x)=\pi y^2=\pi\left(b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}\right)\]

Steg 3 — Sett opp volumet

\[V=\pi\int_{-a}^{a}\left(b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}\right)dx\]

Steg 4 — Finn stamfunksjonen

\[V=\pi b^2\left[x-\frac{x^3}{3a^2}\right]_{-a}^{a}\]

Steg 5 — Sett inn grensene

\[V=\pi b^2\left(\frac{2a}{3}-\left(-\frac{2a}{3}\right)\right)\]

Steg 6 — Forenkle

\[V=\frac43\pi ab^2\]
Øvre halvdel av ellipsen som roteres om x-aksen.
Øvre halvdel av ellipsen som roteres om x-aksen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Integral(π*(b^2-b^2*x^2/a^2),x,-a,a)
Resultat: \(\frac43\pi ab^2\)

GeoGebra utfører skiveintegralet symbolsk.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, pi, integrate, simplify
x = symbols('x', real=True)
a, b = symbols('a b', positive=True)
y_squared = b**2 - b**2*x**2/a**2
cross_section = pi*y_squared
volume = integrate(cross_section, (x, -a, a))
expected = 4*pi*a*b**2/3
print("y² =", y_squared)
print("Tverrsnittsareal A(x) =", cross_section)
print("Volumintegral =", volume)
print("Forventet formel =", expected)
print("Kontrollforskjell =", simplify(volume - expected))

y² = b**2 - b**2*x**2/a**2
Tverrsnittsareal A(x) = pi*(b**2 - b**2*x**2/a**2)
Volumintegral = 4*pi*a*b**2/3
Forventet formel = 4*pi*a*b**2/3
Kontrollforskjell = 0

Fasit: \(V=\frac43\pi ab^2\).

Vanlig feil: Å integrere \(y\) i stedet for \(\pi y^2\). Volumskiver bruker arealet av sirkelen.
Sensorpunkt: Korrekt skiveareal, riktige grenser og full evaluering av det bestemte integralet.
Del 2 · Oppgave 6aTangent og derivasjon

Oppgave 6a

Oppgave: Grafen til \(f(x)=\sqrt{x-2}\) har tangent i \(P(a,f(a))\). Vis at tangenten har likning \(y=\frac{1}{2\sqrt{a-2}}x+\frac{a-4}{2\sqrt{a-2}}\). Bestem koordinatene til \(A\), \(B\) og \(C\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner den deriverte og bruker ettpunktsformelen for tangent. Deretter finner vi skjæringene med x-aksen og den loddrette projeksjonen.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f'(x)=\frac1{2\sqrt{x-2}}\]

Steg 2 — Finn stigningstallet i P

\[f'(a)=\frac1{2\sqrt{a-2}}\]

Steg 3 — Bruk tangentformelen

\[y-\sqrt{a-2}=\frac1{2\sqrt{a-2}}(x-a)\]

Steg 4 — Omskriv konstantleddet

\[y=\frac{x}{2\sqrt{a-2}}+\frac{2(a-2)-a}{2\sqrt{a-2}}=\frac{x}{2\sqrt{a-2}}+\frac{a-4}{2\sqrt{a-2}}\]

Steg 5 — Finn A og B

For tangenten setter vi \(y=0\): \(x_A=4-a\), så \(A=(4-a,0)\). Grafen starter ved \(x=2\), så \(B=(2,0)\).

Steg 6 — Finn C

Punktet P har x-koordinat \(a\), og C er den loddrette projeksjonen på x-aksen. Derfor \(C=(a,0)\).

Eksempel med \(a=6\): graf, tangent og punktene A, B, C og P.
Eksempel med \(a=6\): graf, tangent og punktene A, B, C og P.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Tangent(sqrt(x-2),(a,sqrt(a-2)))
Resultat: \(y=\frac{x+a-4}{2\sqrt{a-2}}\)
2Intersect(tangent,xAxis)
Resultat: \(A=(4-a,0)\)

GeoGebra bekrefter tangentlikningen og skjæringspunktet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify, solve, Eq
x, a = symbols('x a', real=True, positive=True)
f = sqrt(x - 2)
slope = diff(f, x).subs(x, a)
tangent = simplify(sqrt(a - 2) + slope*(x - a))
x_intercept = solve(Eq(tangent, 0), x)[0]
expected = x/(2*sqrt(a - 2)) + (a - 4)/(2*sqrt(a - 2))
print("f'(x) =", diff(f, x))
print("Stigning i P =", slope)
print("Tangent =", tangent)
print("Forventet form =", expected)
print("Kontrollforskjell =", simplify(tangent - expected))
print("x-skjæring A =", x_intercept)
print("B = (2, 0), C = (a, 0)")

f'(x) = 1/(2*sqrt(x - 2))
Stigning i P = 1/(2*sqrt(a - 2))
Tangent = (a + x - 4)/(2*sqrt(a - 2))
Forventet form = x/(2*sqrt(a - 2)) + (a - 4)/(2*sqrt(a - 2))
Kontrollforskjell = 0
x-skjæring A = 4 - a
B = (2, 0), C = (a, 0)

Fasit: Tangenten er \(y=\frac{x}{2\sqrt{a-2}}+\frac{a-4}{2\sqrt{a-2}}\). Punktene er \(A=(4-a,0)\), \(B=(2,0)\), \(C=(a,0)\).

Vanlig feil: Å bruke \(f(a)\) som stigningstall eller å glemme at \(a>2\) for at tangenten skal være definert.
Sensorpunkt: Derivert, ettpunktsform, korrekt algebra og alle tre koordinatene.
Del 2 · Oppgave 6bAreal med integral

Oppgave 6b

Oppgave: Vis at arealet av området som er avgrenset av grafen til \(f\) og x-aksen fra \(B\) til \(C\), er \(\frac23(a-2)^{3/2}\). Bestem også arealet av \(\triangle ACP\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Første areal finnes med et bestemt integral. Trekantarealet finnes fra grunnlinje og høyde.

Steg 1 — Sett opp integralet

\[A_{BC}=\int_2^a\sqrt{x-2}\,dx\]

Steg 2 — Substituer u=x-2

\[A_{BC}=\int_0^{a-2}u^{1/2}du\]

Steg 3 — Integrer

\[A_{BC}=\left[\frac23u^{3/2}\right]_0^{a-2}=\frac23(a-2)^{3/2}\]

Steg 4 — Finn trekantens grunnlinje

\[AC=a-(4-a)=2a-4=2(a-2)\]

Steg 5 — Finn høyden

\[CP=f(a)=\sqrt{a-2}\]

Steg 6 — Beregn trekantarealet

\[A_{\triangle ACP}=\frac12\cdot2(a-2)\cdot\sqrt{a-2}=(a-2)^{3/2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Integral(sqrt(x-2),x,2,a)
Resultat: \(\frac23(a-2)^{3/2}\)
2Area(Triangle(A,C,P))
Resultat: \((a-2)^{3/2}\)

CAS bekrefter både integralet og trekantarealet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, sqrt, integrate, simplify
x, a = symbols('x a', real=True, positive=True)
curve_area = integrate(sqrt(x - 2), (x, 2, a))
base = a - (4 - a)
height = sqrt(a - 2)
triangle_area = simplify(base*height/2)
print("Areal under grafen =", curve_area)
print("Grunnlinje AC =", base)
print("Høyde CP =", height)
print("Areal av trekanten =", triangle_area)
print("Forhold grafareal/trekant =", simplify(curve_area/triangle_area))

Areal under grafen = 2*(a - 2)**(3/2)/3
Grunnlinje AC = 2*a - 4
Høyde CP = sqrt(a - 2)
Areal av trekanten = (a - 2)**(3/2)
Forhold grafareal/trekant = 2/3

Fasit: Områdearealet er \(\frac23(a-2)^{3/2}\), og trekantarealet er \((a-2)^{3/2}\).

Vanlig feil: Å bruke grunnlinjen \(a-2\). Trekanten går fra A til C, og \(AC=2(a-2)\).
Sensorpunkt: Riktig integral, korrekt grunnlinje og høyde, og eksakte uttrykk.
Del 2 · Oppgave 6cArealforhold

Oppgave 6c

Oppgave: Grafen til \(f\) deler \(\triangle ACP\) i to områder. Vis at arealet til det ene området er dobbelt så stort som arealet til det andre.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi sammenligner arealet under grafen med resten av trekantarealet.

Steg 1 — Navngi totalarealet

\[T=(a-2)^{3/2}\]

Steg 2 — Bruk arealet under grafen

\[U=\frac23(a-2)^{3/2}=\frac23T\]

Steg 3 — Finn det andre området

\[O=T-U=T-\frac23T=\frac13T\]

Steg 4 — Sammenlign

\[U=\frac23T=2\cdot\frac13T=2O\]

Steg 5 — Tolk geometrisk

Området under grafen mellom B og C er det store området. Området mellom grafen og tangenten er det lille.

Steg 6 — Konkluder uavhengig av a

Forholdet er alltid \(2:1\) for alle \(a>2\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra · CAS
1Simplify((2/3*T)/(T-2/3*T))
Resultat: \(2\)

CAS gir arealforholdet 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Rational, simplify
T = symbols('T', positive=True)
large = Rational(2, 3)*T
small = T - large
ratio = simplify(large/small)
print("Totalt trekantareal =", T)
print("Stort område =", large)
print("Lite område =", small)
print("Arealforhold stort/lite =", ratio)
print("Kontroll: stort - 2*lite =", simplify(large - 2*small))

Totalt trekantareal = T
Stort område = 2*T/3
Lite område = T/3
Arealforhold stort/lite = 2
Kontroll: stort - 2*lite = 0

Fasit: Det store området har areal \(\frac23T\), det lille \(\frac13T\), så forholdet er \(2:1\).

Vanlig feil: Å sammenligne integralarealet med hele trekanten i stedet for med restarealet.
Sensorpunkt: Tydelig definisjon av totalareal, restareal og en eksplisitt ratio eller likhet.