Matematikk R2 — eksamen høst 2011 (REA3024) Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.
Del 1 – uten hjelpemidler Del 1 · Oppgave 1a1 Derivasjon
Oppgave 1a1 Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x\cdot e^x\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av to funksjoner, \(x\) og \(e^x\). Derfor bruker vi produktregelen.
Steg 1 — Identifiser faktorene Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=e^x\).
Steg 2 — Deriver hver faktor \[u'(x)=1,\qquad v'(x)=e^x\]
Steg 3 — Bruk produktregelen \[(uv)'=u'v+uv'\]
Steg 4 — Sett inn \[f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x\]
Steg 5 — Faktoriser \[f'(x)=e^x(1+x)\]
Steg 6 — Rimelighetskontroll Begge leddene inneholder \(e^x\), slik produktregelen tilsier.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Derivative(x*exp(x), x)
Resultat: \((x+1)e^x\)
CAS-resultatet er identisk med den faktoriserte deriverte.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , exp , diff , factor
x = symbols ( 'x' )
f = x * exp ( x )
print ( 'f(x) =' , f )
print ( "f'(x) =" , diff ( f , x ))
print ( 'Faktorisert =' , factor ( diff ( f , x )))
f(x) = x*exp(x)
f'(x) = x*exp(x) + exp(x)
Faktorisert = (x + 1)*exp(x) Fasit: \(f'(x)=(x+1)e^x\).
Vanlig feil: Å derivere bare \(x\) eller bare \(e^x\), og dermed glemme ett ledd i produktregelen.
Sensorpunkt: Produktregelen må stå eksplisitt, og begge leddene må være med.
Del 1 · Oppgave 1a2 Derivasjon
Oppgave 1a2 Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=2\sin 2x\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Kjerneregelen er nødvendig fordi argumentet er \(2x\).
Steg 1 — Finn ytre og indre funksjon Ytre funksjon er \(2\sin u\), og indre funksjon er \(u=2x\).
Steg 2 — Deriver den ytre funksjonen \[\frac{d}{du}(2\sin u)=2\cos u\]
Steg 3 — Deriver den indre funksjonen \[u'=2\]
Steg 4 — Bruk kjerneregelen \[g'(x)=2\cos(2x)\cdot 2\]
Steg 5 — Forenkle \[g'(x)=4\cos 2x\]
Steg 6 — Kontroller faktoren Faktoren 4 kommer både fra koeffisienten foran sinus og fra den indre deriverte.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Derivative(2*sin(2x), x)
Resultat: \(4\cos(2x)\)
CAS bekrefter den ekstra faktoren 2 fra kjerneregelen.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sin , diff
x = symbols ( 'x' )
g = 2 * sin ( 2 * x )
print ( 'g(x) =' , g )
print ( "g'(x) =" , diff ( g , x ))
g(x) = 2*sin(2*x)
g'(x) = 4*cos(2*x) Fasit: \(g'(x)=4\cos 2x\).
Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av kjerneregelen.
Del 1 · Oppgave 1a3 Derivasjon
Oppgave 1a3 Oppgave: Deriver funksjonen \(h(x)=2\sin^2 x\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Uttrykket er en konstant multiplisert med kvadratet av \(\sin x\). Vi bruker kjerneregelen på \((\sin x)^2\).
Steg 1 — Skriv potensen tydelig \[h(x)=2(\sin x)^2\]
Steg 2 — Deriver ytre potens \[\frac{d}{du}(2u^2)=4u\]
Steg 3 — Deriver kjernen \[\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\]
Steg 4 — Bruk kjerneregelen \[h'(x)=4\sin x\cos x\]
Steg 5 — Bruk dobbelvinkelidentiteten Siden \(2\sin x\cos x=\sin 2x\), får vi
\[4\sin x\cos x=2\sin 2x\]
Steg 6 — Oppgi likeverdige former Begge uttrykkene er korrekte.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Derivative(2*sin(x)^2, x)
Resultat: \(4\sin x\cos x\)
CAS gir samme svar; dobbelvinkelformen er ekvivalent.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sin , diff , trigsimp
x = symbols ( 'x' )
h = 2 * sin ( x ) ** 2
hp = diff ( h , x )
print ( 'h(x) =' , h )
print ( "h'(x) =" , hp )
print ( 'Trigonometrisk forenklet =' , trigsimp ( hp , method = 'fu' ))
h(x) = 2*sin(x)**2
h'(x) = 4*sin(x)*cos(x)
Trigonometrisk forenklet = 2*sin(2*x) Fasit: \(h'(x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x\).
Vanlig feil: Å skrive \(4\sin x\) og glemme den deriverte av \(\sin x\).
Sensorpunkt: Kjerneregelen og eventuelt korrekt dobbelvinkelidentitet.
Del 1 · Oppgave 1b1 Integrasjon
Oppgave 1b1 Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int x\cos x\,dx\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Integranden er et produkt av et polynom og en trigonometrisk funksjon. Delvis integrasjon reduserer graden på polynomet.
Steg 1 — Velg \(u\) og \(dv\) \[u=x,\qquad dv=\cos x\,dx\]
Steg 2 — Finn \(du\) og \(v\) \[du=dx,\qquad v=\sin x\]
Steg 3 — Bruk delvis integrasjon \[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]
Steg 4 — Sett inn \[\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx\]
Steg 5 — Integrer resten \[\int\sin x\,dx=-\cos x\]
Steg 6 — Samle svaret \[x\sin x+\cos x+C\]
Kontroll ved derivasjon \[\frac{d}{dx}(x\sin x+\cos x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Integral(x*cos(x), x)
Resultat: \(x\sin x+\cos x\)
CAS bekrefter stamfunksjonen.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , cos , integrate , diff , simplify
x = symbols ( 'x' )
I = integrate ( x * cos ( x ), x )
print ( 'Stamfunksjon =' , I )
print ( 'Derivert kontroll =' , simplify ( diff ( I , x )))
Stamfunksjon = x*sin(x) + cos(x)
Derivert kontroll = x*cos(x) Fasit: \(x\sin x+\cos x+C\).
Vanlig feil: Feil fortegn når \(\int\sin x\,dx=-\cos x\).
Sensorpunkt: Valg av delvis integrasjon og en eksplisitt derivasjonskontroll.
Del 1 · Oppgave 1b2 Integrasjon
Oppgave 1b2 Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int \frac{4}{x^2-4}\,dx\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Nevneren faktoriseres i to lineære faktorer. Derfor bruker vi delbrøkoppspalting.
Steg 1 — Faktoriser nevneren \[x^2-4=(x-2)(x+2)\]
Steg 2 — Sett opp delbrøker \[\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}\]
Steg 3 — Finn koeffisientene \[4=A(x+2)+B(x-2)\]
Setter vi \(x=2\), får vi \(A=1\). Setter vi \(x=-2\), får vi \(B=-1\).
Steg 4 — Skriv integranden på nytt \[\frac{4}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\]
Steg 5 — Integrer leddvis \[\int\frac{1}{x-2}\,dx-\int\frac{1}{x+2}\,dx=\ln|x-2|-\ln|x+2|+C\]
Steg 6 — Samle logaritmene \[\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\]
Definisjonsområdet utelukker \(x=\pm2\).
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Integral(4/(x^2-4), x)
Resultat: \(\ln|x-2|-\ln|x+2|\)
CAS-formen er den samme på hvert intervall i definisjonsområdet.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , integrate , diff , simplify
x = symbols ( 'x' )
expr = 4 / ( x ** 2 - 4 )
I = integrate ( expr , x )
print ( 'Integrand =' , expr )
print ( 'Stamfunksjon fra SymPy =' , I )
print ( 'Derivert kontroll =' , simplify ( diff ( I , x )))
Integrand = 4/(x**2 - 4)
Stamfunksjon fra SymPy = log(x - 2) - log(x + 2)
Derivert kontroll = 4/(x**2 - 4) Fasit: \(\displaystyle \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\), for \(x\neq\pm2\).
Vanlig feil: Å glemme absoluttverdiene eller få feil fortegn på den andre logaritmen.
Sensorpunkt: Korrekt delbrøkoppspalting og opplysning om singularitetene.
Del 1 · Oppgave 1b3 Integrasjon
Oppgave 1b3 Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle \int \sin x\cos^3x\,dx\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Faktoren \(\sin x\,dx\) er, bortsett fra fortegn, den deriverte av \(\cos x\). Substitusjon er derfor naturlig.
Steg 1 — Velg substitusjon \[u=\cos x\]
Steg 2 — Deriver substitusjonen \[du=-\sin x\,dx\quad\Rightarrow\quad \sin x\,dx=-du\]
Steg 3 — Bytt variabel \[\int \sin x\cos^3x\,dx=-\int u^3\,du\]
Steg 4 — Bruk potensregelen \[-\int u^3\,du=-\frac{u^4}{4}+C\]
Steg 5 — Sett tilbake \[-\frac{1}{4}\cos^4x+C\]
Steg 6 — Deriver for kontroll \[\frac{d}{dx}\left(-\frac14\cos^4x\right)=\sin x\cos^3x\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Integral(sin(x)*cos(x)^3, x)
Resultat: \(-\frac14\cos^4x\)
CAS bekrefter substitusjonen.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify
x = symbols ( 'x' )
I = integrate ( sin ( x ) * cos ( x ) ** 3 , x )
print ( 'Stamfunksjon =' , I )
print ( 'Derivert kontroll =' , simplify ( diff ( I , x )))
Stamfunksjon = -cos(x)**4/4
Derivert kontroll = sin(x)*cos(x)**3 Fasit: \(\displaystyle -\frac14\cos^4x+C\).
Vanlig feil: Å miste minustegnet fra \(du=-\sin x\,dx\).
Sensorpunkt: Et tydelig substitusjonsvalg og korrekt tilbakeføring.
Del 1 · Oppgave 1c Rekker
Oppgave 1c Oppgave: Vi har gitt rekken \(1+3+5+7+\cdots +(2n-1)\). Skriv opp \(S_1,S_2,S_3,S_4\) og bestem \(S_{100}\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal finne delsummene i rekken av de første oddetallene og deretter summen av de 100 første leddene.
Steg 1 — Beregn de første delsummene \[S_1=1\] \[S_2=1+3=4\] \[S_3=1+3+5=9\] \[S_4=1+3+5+7=16\]
Steg 2 — Oppdag mønsteret \[1,4,9,16=1^2,2^2,3^2,4^2\]
Steg 3 — Formuler sumregelen \[S_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\]
Steg 4 — Kontroller med aritmetisk sumformel Første ledd er 1 og siste ledd er \(2n-1\):
\[S_n=\frac{n(1+2n-1)}2=\frac{n\cdot2n}{2}=n^2\]
Steg 5 — Sett inn \(n=100\) \[S_{100}=100^2\]
Steg 6 — Regn ut \[S_{100}=10\,000\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Sum(2*k-1, k, 1, n)
Resultat: \(n^2\)
CAS gir den generelle sumformelen direkte.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , summation
k , n = symbols ( 'k n' , integer = True , positive = True )
Sn = summation ( 2 * k - 1 , ( k , 1 , n ))
print ( 'S_n =' , Sn )
print ( 'S_1, S_2, S_3, S_4 =' , [ Sn . subs ( n , i ) for i in range ( 1 , 5 )])
print ( 'S_100 =' , Sn . subs ( n , 100 ))
S_n = n**2
S_1, S_2, S_3, S_4 = [1, 4, 9, 16]
S_100 = 10000 Fasit: \(S_1=1,\ S_2=4,\ S_3=9,\ S_4=16\) og \(S_{100}=10\,000\).
Vanlig feil: Å bruke \(2n+1\) som siste ledd eller glemme at det er 100 ledd.
Sensorpunkt: Mønsteret må underbygges med sumformelen, ikke bare gjettes.
Del 1 · Oppgave 1d Rekker
Oppgave 1d Oppgave: Vi har gitt rekken \(1+7+19+37+\cdots\). Skriv opp \(S_1,S_2,S_3,S_4\) og bestem \(S_{100}\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Først må vi identifisere et uttrykk for det generelle leddet, deretter summere de 100 første leddene.
Steg 1 — Finn differansene \[7-1=6,\quad19-7=12,\quad37-19=18\]
Andre differanse er konstant 6, så leddet er et andregradspolynom.
Steg 2 — Finn leddformelen Prøver \(a_n=3n^2-3n+1\):
\[a_1=1,\ a_2=7,\ a_3=19,\ a_4=37\]
Steg 3 — Skriv de første delsummene \[S_1=1,\quad S_2=8,\quad S_3=27,\quad S_4=64\]
Steg 4 — Oppdag kubikkmønsteret \[1,8,27,64=1^3,2^3,3^3,4^3\]
Steg 5 — Summer algebraisk \[S_n=3\sum_{k=1}^n k^2-3\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1\] \[=\frac{n(n+1)(2n+1)}2-\frac{3n(n+1)}2+n=n^3\]
Steg 6 — Sett inn \(n=100\) \[S_{100}=100^3=1\,000\,000\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Sum(3*k^2-3*k+1, k, 1, n)
Resultat: \(n^3\)
CAS bekrefter både leddformelen og kubikksummen.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , summation , simplify
k , n = symbols ( 'k n' , integer = True , positive = True )
a = 3 * k ** 2 - 3 * k + 1
Sn = simplify ( summation ( a , ( k , 1 , n )))
print ( 'a_k =' , a )
print ( 'S_n =' , Sn )
print ( 'Første delsummer =' , [ Sn . subs ( n , i ) for i in range ( 1 , 5 )])
print ( 'S_100 =' , Sn . subs ( n , 100 ))
a_k = 3*k**2 - 3*k + 1
S_n = n**3
Første delsummer = [1, 8, 27, 64]
S_100 = 1000000 Fasit: \(S_1=1,\ S_2=8,\ S_3=27,\ S_4=64\) og \(S_{100}=1\,000\,000\).
Vanlig feil: Å anta kubikkmønsteret uten å finne eller kontrollere leddformelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en begrunnelse for \(a_n\) og summen, ikke bare mønstergjenkjenning.
Del 1 · Oppgave 1e1 Trigonometri
Oppgave 1e1 Oppgave: Grafen til en trigonometrisk funksjon av typen \[f(x)=a\sin(cx+\varphi)+d\] er gitt. Bruk grafen til å bestemme amplituden, perioden og likevektslinjen til funksjonen.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi leser maksimum, minimum og avstanden mellom to påfølgende like fasepunkter.
Steg 1 — Les maksimum og minimum Grafen har \(y_{\max}=5\) og \(y_{\min}=1\).
Steg 2 — Finn amplituden \[A=\frac{5-1}{2}=2\]
Steg 3 — Finn likevektslinjen \[d=\frac{5+1}{2}=3\]
Steg 4 — Les toppunktene Første topp ligger ved \(x=\pi/4\), og neste ved \(x=9\pi/4\).
Steg 5 — Finn perioden \[T=\frac{9\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=2\pi\]
Steg 6 — Kontroller med bunnpunktene Bunnene ved \(5\pi/4\) og \(13\pi/4\) ligger også \(2\pi\) fra hverandre.
π/4 9π/4 5π/4 13π/4 likevektslinje y=3 y x Digital kontrollgraf med amplitude 2, periode \(2\pi\) og likevektslinje \(y=3\). Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 9*pi/4-pi/4
Resultat: 2π
2 (5-1)/2
Resultat: 2
3 (5+1)/2
Resultat: 3
Resultatene bekrefter periode, amplitude og likevektslinje.
Digital kontroll i Python (SymPy) Python 3 · SymPy
from sympy import Rational , pi , simplify , N
y_max = 5
y_min = 1
x_max_1 = pi / 4
x_max_2 = 9 * pi / 4
x_min_1 = 5 * pi / 4
x_min_2 = 13 * pi / 4
amplitude = Rational ( y_max - y_min , 2 )
likevektslinje = Rational ( y_max + y_min , 2 )
periode_topper = simplify ( x_max_2 - x_max_1 )
periode_bunner = simplify ( x_min_2 - x_min_1 )
print ( "Maksimalverdi =" , y_max )
print ( "Minimalverdi =" , y_min )
print ( "Amplitude =" , amplitude )
print ( "Likevektslinje y =" , likevektslinje )
print ( "Toppunkter x =" , x_max_1 , "og" , x_max_2 )
print ( "Desimaltall =" , N ( x_max_1 , 8 ), "og" , N ( x_max_2 , 8 ))
print ( "Periode fra topper =" , periode_topper )
print ( "Periode fra bunner =" , periode_bunner )
Maksimalverdi = 5
Minimalverdi = 1
Amplitude = 2
Likevektslinje y = 3
Toppunkter x = pi/4 og 9*pi/4
Desimaltall = 0.78539816 og 7.0685835
Periode fra topper = 2*pi
Periode fra bunner = 2*pi Fasit: Amplitude \(2\), periode \(2\pi\), likevektslinje \(y=3\).
Vanlig feil: Å lese perioden som 7 fordi det andre toppunktet ligger nær 7. Første topp ligger ved \(\pi/4\), så den eksakte avstanden er \(2\pi\).
Sensorpunkt: Korrekt avlesning og tydelig beregning fra maksimum, minimum og to tilsvarende punkter.
Del 1 · Oppgave 1e2 Trigonometri
Oppgave 1e2 Oppgave: Bestem et funksjonsuttrykk for \(f(x)\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi bestemmer parameterne i sinusformen fra amplitude, periode, midtlinje og toppunkt.
Steg 1 — Sett inn amplitude og midtlinje \[f(x)=2\sin(cx+\varphi)+3\]
Steg 2 — Finn \(c\) Siden \(T=2\pi\), får vi \(c=1\).
Steg 3 — Bruk toppunktet Ved \(x=\pi/4\) skal sinusargumentet være \(\pi/2\):
\[\frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}\]
Steg 4 — Finn fasevinkelen \[\varphi=\frac{\pi}{4}\]
Steg 5 — Skriv modellen \[f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3\]
Steg 6 — Kontroller topp og bunn \[f\left(\frac{\pi}{4}\right)=5,\qquad f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1\]
Steg 7 — Kontroller skjæring med y-aksen \[f(0)=3+\sqrt2\approx4.41\]
Dette stemmer med grafen.
π/4 9π/4 5π/4 13π/4 likevektslinje y=3 y x Digital kontrollgraf med amplitude 2, periode \(2\pi\) og likevektslinje \(y=3\). Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 f(x):=2*sin(x+pi/4)+3
Resultat: modellen
2 f(pi/4)
Resultat: 5
3 f(5*pi/4)
Resultat: 1
4 Simplify(f(x+2*pi)-f(x))
Resultat: 0
Modellen treffer topp, bunn og periode.
Digital kontroll i Python (SymPy) Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sin , pi , simplify , N
x = symbols ( 'x' , real = True )
f = 2 * sin ( x + pi / 4 ) + 3
print ( 'f(x) =' , f )
print ( 'f(0) =' , f . subs ( x , 0 ), '=' , N ( f . subs ( x , 0 ), 8 ))
print ( 'f(pi/4) =' , simplify ( f . subs ( x , pi / 4 )))
print ( 'f(5*pi/4) =' , simplify ( f . subs ( x , 5 * pi / 4 )))
print ( 'f(9*pi/4) =' , simplify ( f . subs ( x , 9 * pi / 4 )))
print ( 'Periodekontroll =' , simplify ( f . subs ( x , x + 2 * pi ) - f ))
f(x) = 2*sin(x + pi/4) + 3
f(0) = sqrt(2) + 3 = 4.4142136
f(pi/4) = 5
f(5*pi/4) = 1
f(9*pi/4) = 5
Periodekontroll = 0 Fasit: \(\displaystyle f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3\).
Vanlig feil: Å anta at første topp ligger ved \(x=0\). Den ligger ved \(x=\pi/4\).
Sensorpunkt: Riktig sammenheng mellom periode og \(c\), samt begrunnet fasevinkel.
Del 1 · Oppgave 1f Differensiallikninger
Oppgave 1f Oppgave: Løs differensiallikningen \(y'-3y=5\) når \(y(0)=2\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Dette er en lineær førsteordens differensiallikning med konstant koeffisient og en initialbetingelse.
Steg 1 — Løs den homogene likningen \[y'-3y=0\quad\Rightarrow\quad y_h=Ce^{3x}\]
Steg 2 — Finn en partikulær løsning Høyresiden er konstant, så vi prøver \(y_p=A\). Da er \(y_p'=0\).
Steg 3 — Sett inn \[0-3A=5\quad\Rightarrow\quad A=-\frac53\]
Steg 4 — Skriv generell løsning \[y=Ce^{3x}-\frac53\]
Steg 5 — Bruk initialbetingelsen \[2=C-\frac53\quad\Rightarrow\quad C=\frac{11}{3}\]
Steg 6 — Skriv og kontroller løsningen \[y(x)=\frac{11}{3}e^{3x}-\frac53\]
Da er \(y'-3y=11e^{3x}-(11e^{3x}-5)=5\).
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 SolveODE(y' - 3y = 5, y(0)=2)
Resultat: \(y=\frac{11}{3}e^{3x}-\frac53\)
Null residual betyr at løsningen tilfredsstiller likningen nøyaktig.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , Function , Eq , dsolve , diff , simplify
x = symbols ( 'x' )
y = Function ( 'y' )
sol = dsolve ( Eq ( diff ( y ( x ), x ) - 3 * y ( x ), 5 ), ics = { y ( 0 ): 2 })
print ( 'Løsning =' , sol )
y_expr = sol . rhs
print ( 'Initialverdi =' , y_expr . subs ( x , 0 ))
print ( 'Residual =' , simplify ( diff ( y_expr , x ) - 3 * y_expr - 5 ))
Løsning = Eq(y(x), 11*exp(3*x)/3 - 5/3)
Initialverdi = 2
Residual = 0 Fasit: \(\displaystyle y(x)=\frac{11}{3}e^{3x}-\frac53\).
Vanlig feil: Å bruke \(+5/3\) som partikulær løsning; fortegnet bestemmes av \(-3A=5\).
Sensorpunkt: Både homogen og partikulær del, initialbetingelse og kontroll.
Del 1 · Oppgave 1g1 Vektorer i rommet
Oppgave 1g1 Oppgave: Vi har gitt punktene \(A(1,0,1)\), \(B(2,1,3)\) og \(C(7,3,5)\). Bestem \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal finne kryssproduktet til to retningsvektorer i planet gjennom punktene.
Steg 1 — Finn \(\overrightarrow{AB}\) \[\overrightarrow{AB}=B-A=(1,1,2)\]
Steg 2 — Finn \(\overrightarrow{AC}\) \[\overrightarrow{AC}=C-A=(6,3,4)\]
Steg 3 — Sett opp determinanten \[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\1&1&2\\6&3&4\end{vmatrix}\]
Steg 4 — Beregn første komponent \[1\cdot4-2\cdot3=-2\]
Steg 5 — Beregn andre og tredje komponent \[-(1\cdot4-2\cdot6)=8,\qquad1\cdot3-1\cdot6=-3\]
Steg 6 — Samle vektoren \[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2,8,-3)\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Cross((1,1,2),(6,3,4))
Resultat: \((-2,8,-3)\)
CAS bekrefter kryssproduktet.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix
AB = Matrix ([ 1 , 1 , 2 ])
AC = Matrix ([ 6 , 3 , 4 ])
print ( 'AB =' , tuple ( AB ))
print ( 'AC =' , tuple ( AC ))
print ( 'AB x AC =' , tuple ( AB . cross ( AC )))
AB = (1, 1, 2)
AC = (6, 3, 4)
AB x AC = (-2, 8, -3) Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2,8,-3)\).
Vanlig feil: Fortegnsfeil i den midterste komponenten av determinanten.
Sensorpunkt: Korrekte retningsvektorer og tydelig determinantberegning.
Del 1 · Oppgave 1g2 Vektorer i rommet
Oppgave 1g2 Oppgave: Vis ved regning at \((\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\perp\overrightarrow{AB}\) og \((\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\perp\overrightarrow{AC}\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er null. Vi skal kontrollere dette for kryssproduktet mot begge opprinnelige vektorer.
Steg 1 — Bruk vektorene \[\mathbf n=(-2,8,-3),\quad\overrightarrow{AB}=(1,1,2),\quad\overrightarrow{AC}=(6,3,4)\]
Steg 2 — Beregn \(\mathbf n\cdot\overrightarrow{AB}\) \[(-2)\cdot1+8\cdot1+(-3)\cdot2=-2+8-6=0\]
Steg 3 — Tolk resultatet Siden skalarproduktet er null, er \(\mathbf n\perp\overrightarrow{AB}\).
Steg 4 — Beregn \(\mathbf n\cdot\overrightarrow{AC}\) \[(-2)\cdot6+8\cdot3+(-3)\cdot4=-12+24-12=0\]
Steg 5 — Tolk resultatet Siden dette skalarproduktet også er null, er \(\mathbf n\perp\overrightarrow{AC}\).
Steg 6 — Konklusjon Kryssproduktet er en normalvektor til planet som spennes ut av \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\).
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Dot((-2,8,-3),(1,1,2)); Dot((-2,8,-3),(6,3,4))
Resultat: \(0,0\)
Null i begge kontroller bekrefter ortogonalitet.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix
AB = Matrix ([ 1 , 1 , 2 ])
AC = Matrix ([ 6 , 3 , 4 ])
n = AB . cross ( AC )
print ( 'n =' , tuple ( n ))
print ( 'n dot AB =' , n . dot ( AB ))
print ( 'n dot AC =' , n . dot ( AC ))
n = (-2, 8, -3)
n dot AB = 0
n dot AC = 0 Fasit: Begge skalarproduktene er \(0\); derfor står kryssproduktet normalt på begge vektorene.
Vanlig feil: Å påstå ortogonalitet uten å vise begge skalarproduktene.
Sensorpunkt: Begge nullberegningene og en korrekt geometrisk tolkning.
Del 2 – med hjelpemidler Del 2 · Oppgave 2a Trigonometri og graf
Oppgave 2a Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=4\sin(2x-2)+5\). Tegn grafen til \(f\) når \(x\in[0,2\pi]\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en sinusgraf med amplitude 4, likevektslinje 5, periode \(\pi\) og faseforskyvning 1 mot høyre.
Steg 1 — Finn amplituden \[A=|4|=4\]
Steg 2 — Finn perioden \[T=\frac{2\pi}{2}=\pi\]
Steg 3 — Finn faseforskyvningen \[2x-2=2(x-1)\]
Grafen er forskjøvet 1 enhet mot høyre.
Steg 4 — Finn likevektslinjen \[y=5\]
Steg 5 — Marker ekstremverdier Maksimum er 9 og minimum er 1. Det oppstår to hele perioder på et intervall med lengde \(2\pi\).
Steg 6 — Tegn jevn sinuskurve Grafen må krysse likevektslinjen mellom hvert topp- og bunnpunkt.
y=5 y x Kontrollgraf for \(f(x)=4\sin(2x-2)+5\) på \([0,2\pi]\). Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Function(4*sin(2x-2)+5,0,2*pi)
Resultat: Graf med to perioder
GeoGebra viser samme periodiske forløp.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
import numpy as np
for value in [ 0 , np . pi / 2 , np . pi , 3 * np . pi / 2 , 2 * np . pi ]:
y = 4 * np . sin ( 2 * value - 2 ) + 5
print ( f 'x = { value : .6f } , f(x) = { y : .6f } ' )
x = 0.000000, f(x) = 1.362810
x = 1.570796, f(x) = 8.637190
x = 3.141593, f(x) = 1.362810
x = 4.712389, f(x) = 8.637190
x = 6.283185, f(x) = 1.362810 Fasit: Grafen har amplitude 4, periode \(\pi\), likevektslinje \(y=5\) og faseforskyvning 1 mot høyre.
Vanlig feil: Å bruke periode \(2\pi\) selv om argumentet har faktoren 2.
Sensorpunkt: Riktig skala, to perioder og tydelig likevektslinje.
Del 2 · Oppgave 2b Trigonometri
Oppgave 2b Oppgave: Forklar at maksimalverdien er 9. Bestem minimalverdien og de tilhørende \(x\)-verdiene.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi bruker at \(-1\leq\sin u\leq1\) og løser faselikningene for topp og bunn.
Steg 1 — Finn verdiområdet \[-1\leq\sin(2x-2)\leq1\]
Ganger vi med 4 og legger til 5, får vi
\[1\leq f(x)\leq9\]
Steg 2 — Maksimumsbetingelsen \[\sin(2x-2)=1\Rightarrow 2x-2=\frac\pi2+2\pi k\]
Steg 3 — Løs for \(x\) \[x=1+\frac\pi4+\pi k\]
I \([0,2\pi]\): \(x=1+\pi/4\) og \(x=1+5\pi/4\).
Steg 4 — Minimumsbetingelsen \[\sin(2x-2)=-1\Rightarrow2x-2=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\]
Steg 5 — Løs og velg verdier i intervallet \[x=1+\frac{3\pi}{4}+\pi k\]
Dette gir \(x=1-\pi/4\) og \(x=1+3\pi/4\).
Steg 6 — Oppgi ekstremverdiene Maksimum er 9, minimum er 1.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Extremum(4*sin(2x-2)+5,0,2*pi)
Resultat: \(9\) og \(1\)
CAS bekrefter både verdier og x-koordinater.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import pi , sin , simplify
max_x = [ 1 + pi / 4 , 1 + 5 * pi / 4 ]
min_x = [ 1 - pi / 4 , 1 + 3 * pi / 4 ]
f = lambda z : 4 * sin ( 2 * z - 2 ) + 5
print ( 'Maksimumpunkter:' )
for z in max_x :
print ( z , '->' , simplify ( f ( z )))
print ( 'Minimumpunkter:' )
for z in min_x :
print ( z , '->' , simplify ( f ( z )))
Maksimumpunkter:
pi/4 + 1 -> 9
1 + 5*pi/4 -> 9
Minimumpunkter:
1 - pi/4 -> 1
1 + 3*pi/4 -> 1 Fasit: Maksimum \(9\) ved \(x=1+\pi/4\) og \(x=1+5\pi/4\). Minimum \(1\) ved \(x=1-\pi/4\) og \(x=1+3\pi/4\).
Vanlig feil: Å glemme å kontrollere hvilke heltallsverdier av \(k\) som ligger i intervallet.
Sensorpunkt: Korrekte generelle faselikninger og riktige løsninger i det oppgitte intervallet.
Del 2 · Oppgave 2c Trigonometriske identiteter
Oppgave 2c Oppgave: Bestem parameterne \(a,c,\varphi,d\) når funksjonen skrives \(f(x)=a\cos(cx+\varphi)+d\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal omskrive sinus til cosinus ved hjelp av faseidentiteten.
Steg 1 — Bruk identiteten \[\sin u=\cos\left(u-\frac\pi2\right)\]
Steg 2 — Sett \(u=2x-2\) \[\sin(2x-2)=\cos\left(2x-2-\frac\pi2\right)\]
Steg 3 — Sett inn i funksjonen \[f(x)=4\cos\left(2x-2-\frac\pi2\right)+5\]
Steg 4 — Sammenlign med standardformen \[a=4,\quad c=2,\quad\varphi=-2-\frac\pi2,\quad d=5\]
Steg 5 — Merk at fase ikke er entydig Vi kan legge til \(2\pi m\) i \(\varphi\) uten å endre funksjonen.
Steg 6 — Kontroller identiteten Forskjellen mellom de to uttrykkene forenkles til null.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 TrigSimplify(4*sin(2x-2)+5 - (4*cos(2x-2-pi/2)+5))
Resultat: \(0\)
Null viser at uttrykkene er identiske.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sin , cos , pi , trigsimp
x = symbols ( 'x' )
f1 = 4 * sin ( 2 * x - 2 ) + 5
f2 = 4 * cos ( 2 * x - 2 - pi / 2 ) + 5
print ( 'Forskjell =' , trigsimp ( f1 - f2 ))
Forskjell = 0 Fasit: \(a=4,\ c=2,\ \varphi=-2-\frac\pi2\) og \(d=5\), modulo \(2\pi\) i fasevinkelen.
Vanlig feil: Å bruke \(\cos(u+\pi/2)\), som gir \(-\sin u\).
Sensorpunkt: En korrekt identitet og tydelig sammenligning av parameterne.
Del 2 · Oppgave 3a Uendelige rekker
Oppgave 3a Oppgave: Vi har rekken \(2+\frac2x+\frac2{x^2}+\frac2{x^3}+\cdots\). Hva slags rekke er dette? Begrunn.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal klassifisere rekken ved å undersøke forholdet mellom to påfølgende ledd.
Steg 1 — Identifiser første ledd \[a_1=2\]
Steg 2 — Finn kvotienten \[k=\frac{2/x}{2}=\frac1x\]
Steg 3 — Kontroller neste ledd \[\frac{2/x^2}{2/x}=\frac1x\]
Steg 4 — Konstater konstant kvotient For et fast \(x\) er forholdet mellom alle påfølgende ledd lik \(1/x\).
Steg 5 — Klassifiser rekken Dette er en uendelig geometrisk rekke.
Steg 6 — Oppgi parametrene \[a_1=2,\qquad k=\frac1x\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Simplify((2/x)/2)
Resultat: \(1/x\)
Samme kvotient bekrefter geometrisk rekke.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , simplify
x = symbols ( 'x' , nonzero = True )
a1 , a2 , a3 = 2 , 2 / x , 2 / x ** 2
print ( 'a2/a1 =' , simplify ( a2 / a1 ))
print ( 'a3/a2 =' , simplify ( a3 / a2 ))
a2/a1 = 1/x
a3/a2 = 1/x Fasit: En uendelig geometrisk rekke med første ledd \(2\) og kvotient \(1/x\).
Vanlig feil: Å tro at variabelen \(x\) betyr at kvotienten ikke er konstant; for hver valgt \(x\) er den fast.
Sensorpunkt: Kvotienten mellom to påfølgende ledd må vises eksplisitt.
Del 2 · Oppgave 3b Konvergens
Oppgave 3b Oppgave: Bestem konvergensområdet til rekken.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? En uendelig geometrisk rekke konvergerer nøyaktig når absoluttverdien av kvotienten er mindre enn 1.
Steg 1 — Skriv konvergenskravet \[|k|<1\]
Steg 2 — Sett inn \(k=1/x\) \[\left|\frac1x\right|<1\]
Steg 3 — Omskriv absoluttverdien \[\frac1{|x|}<1\]
Steg 4 — Multipliser med \(|x|>0\) \[1<|x|\]
Steg 5 — Skriv som intervaller \[x<-1\quad\text{eller}\quad x>1\]
Steg 6 — Kontroller randpunktene Ved \(x=1\) er kvotienten 1, og ved \(x=-1\) er den -1; ingen av rekkene konvergerer.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Solve(abs(1/x)<1)
Resultat: \(x<-1\ \lor\ x>1\)
CAS bekrefter begge intervallene.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , solve_univariate_inequality , Abs
x = symbols ( 'x' , real = True )
solution = solve_univariate_inequality ( Abs ( 1 / x ) < 1 , x )
print ( 'Løsning =' , solution )
Løsning = (1 < x) | (x < -1) Fasit: Konvergensområdet er \(( -\infty,-1)\cup(1,\infty)\).
Vanlig feil: Å skrive \(x>1\) og glemme den negative grenen \(x<-1\).
Sensorpunkt: Absoluttverdikravet og eksklusjon av randpunktene.
Del 2 · Oppgave 3c Geometriske rekker
Oppgave 3c Oppgave: Vis at summen av rekken er \(\displaystyle S(x)=\frac{2x}{x-1}\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sumformelen for en konvergent uendelig geometrisk rekke.
Steg 1 — Oppgi sumformelen \[S=\frac{a_1}{1-k}\]
Steg 2 — Sett inn parametrene \[S(x)=\frac{2}{1-1/x}\]
Steg 3 — Skriv nevneren over felles brøkstrek \[1-\frac1x=\frac{x-1}{x}\]
Steg 4 — Divider med en brøk \[S(x)=2\cdot\frac{x}{x-1}\]
Steg 5 — Forenkle \[S(x)=\frac{2x}{x-1}\]
Steg 6 — Angi gyldighetsområdet Formelen representerer rekksummen bare når \(|x|>1\).
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Simplify(2/(1-1/x))
Resultat: \(2x/(x-1)\)
CAS gir ønsket form.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , simplify
x = symbols ( 'x' )
S = simplify ( 2 / ( 1 - 1 / x ))
print ( 'S(x) =' , S )
print ( 'Forskjell =' , simplify ( S - 2 * x / ( x - 1 )))
S(x) = 2*x/(x - 1)
Forskjell = 0 Fasit: \(\displaystyle S(x)=\frac{2x}{x-1}\) for \(|x|>1\).
Vanlig feil: Å bruke den rasjonale formelen uten å oppgi konvergenskravet.
Sensorpunkt: Korrekt sumformel og tydelig gyldighetsområde.
Del 2 · Oppgave 3d Funksjonsanalyse
Oppgave 3d Oppgave: Tegn grafen til \(S(x)\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne \(S(x)=2x/(x-1)\) og samtidig markere at rekksummen bare gjelder i konvergensområdet.
Steg 1 — Omskriv funksjonen \[S(x)=2+\frac{2}{x-1}\]
Steg 2 — Finn vertikal asymptote Nevneren er null ved \(x=1\), altså er \(x=1\) vertikal asymptote.
Steg 3 — Finn horisontal asymptote Når \(|x|\to\infty\), går \(2/(x-1)\to0\), så \(y=2\) er horisontal asymptote.
Steg 4 — Finn noen punkter \[S(2)=4,\quad S(3)=3,\quad S(-2)=\frac43\]
Steg 5 — Tegn hyperbelen Grenene nærmer seg asymptotene uten å krysse den vertikale asymptoten.
Steg 6 — Marker gyldig område Som rekksum skal grafen bare brukes for \(x<-1\) eller \(x>1\).
x=1 y=2 Grafen til den rasjonale funksjonen har asymptotene \(x=1\) og \(y=2\). Bare delene med \(|x|>1\) representerer rekksummen. Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 2*x/(x-1)
Resultat: Hyperbel med asymptoter
GeoGebra bekrefter asymptotene.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , limit , oo
x = symbols ( 'x' )
S = 2 * x / ( x - 1 )
print ( 'S(2) =' , S . subs ( x , 2 ))
print ( 'S(3) =' , S . subs ( x , 3 ))
print ( 'S(-2) =' , S . subs ( x , - 2 ))
print ( 'Horisontal grense =' , limit ( S , x , oo ))
print ( 'Fra høyre ved x=1 =' , limit ( S , x , 1 , dir = '+' ))
S(2) = 4
S(3) = 3
S(-2) = 4/3
Horisontal grense = 2
Fra høyre ved x=1 = oo Fasit: Hyperbel med asymptotene \(x=1\) og \(y=2\); rekksummen gjelder bare for \(|x|>1\).
Vanlig feil: Å tegne hele rasjonalfunksjonen som om alle punkter var gyldige rekksummer.
Sensorpunkt: Asymptoter, representative punkter og markering av konvergensområdet.
Del 2 · Oppgave 3e Likninger og konvergens
Oppgave 3e Oppgave: Løs likningene \(S(x)=-1\) og \(S(x)=3\) både grafisk og ved regning.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal løse to rasjonale likninger, men også kontrollere at løsningene ligger i konvergensområdet \(|x|>1\).
Steg 1 — Løs \(S(x)=-1\) \[\frac{2x}{x-1}=-1\]
Steg 2 — Kryssmultipliser \[2x=-x+1\quad\Rightarrow\quad3x=1\quad\Rightarrow\quad x=\frac13\]
Steg 3 — Kontroller konvergens \(|1/3|<1\), så den opprinnelige rekken divergerer. Dermed har rekksummen ingen gyldig løsning til \(S(x)=-1\).
Steg 4 — Løs \(S(x)=3\) \[\frac{2x}{x-1}=3\]
Steg 5 — Kryssmultipliser \[2x=3x-3\quad\Rightarrow\quad x=3\]
Steg 6 — Kontroller grafisk og analytisk Grafen skjærer \(y=3\) ved \(x=3\), og \(|3|>1\), så løsningen er gyldig.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Solve(2x/(x-1)=-1); Solve(2x/(x-1)=3)
Resultat: \(x=1/3\) og \(x=3\)
Grafisk vises begge skjæringer for rasjonalfunksjonen, men bare \(x=3\) er gyldig for rekken.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , Eq , solve , Abs
x = symbols ( 'x' , real = True )
S = 2 * x / ( x - 1 )
sol1 = solve ( Eq ( S , - 1 ), x )
sol2 = solve ( Eq ( S , 3 ), x )
print ( 'Algebraisk løsning S=-1:' , sol1 )
print ( 'Konvergenskontroll:' , [ Abs ( v ) > 1 for v in sol1 ])
print ( 'Algebraisk løsning S=3:' , sol2 )
print ( 'Konvergenskontroll:' , [ Abs ( v ) > 1 for v in sol2 ])
Algebraisk løsning S=-1: [1/3]
Konvergenskontroll: [False]
Algebraisk løsning S=3: [3]
Konvergenskontroll: [True] Fasit: For rekksummen: \(S(x)=-1\) har ingen gyldig løsning; \(S(x)=3\) gir \(x=3\). Den rasjonale forlengelsen gir \(x=1/3\) i første likning, men dette ligger utenfor konvergensområdet.
Vanlig feil: Å godta \(x=1/3\) uten å kontrollere konvergensområdet.
Sensorpunkt: Sensor forventer skillet mellom den algebraiske rasjonalfunksjonen og den faktiske rekksummen.
Del 2 · Oppgave 4a Funksjonsanalyse
Oppgave 4a Oppgave: Funksjonene er \(f(x)=x^2+3\) og \(g(x)=-x^3+x^2+4x+3\). Tegn grafene i samme koordinatsystem.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en parabel og en tredjegradsfunksjon i samme system og synliggjøre skjæringspunktene.
Steg 1 — Analyser \(f\) \(f(x)=x^2+3\) er en oppadgående parabel med bunnpunkt \((0,3)\).
Steg 2 — Analyser \(g\) Ledende ledd er \(-x^3\), så grafen går opp mot venstre og ned mot høyre.
Steg 3 — Finn felles y-skjæring \[f(0)=g(0)=3\]
Steg 4 — Finn flere skjæringspunkter Regningen i neste del gir \(x=-2,0,2\).
Steg 5 — Beregn y-verdiene \[f(\pm2)=7,\qquad f(0)=3\]
Steg 6 — Tegn kurvene jevnt De to avgrensede områdene ligger mellom \(-2\) og 0, og mellom 0 og 2.
f g Skjematisk grafkontroll. Kurvene møtes ved \(x=-2,0,2\). Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 f=x^2+3; g=-x^3+x^2+4x+3
Resultat: Tre skjæringspunkter
GeoGebra viser de to avgrensede områdene.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols
x = symbols ( 'x' )
f = x ** 2 + 3
g = - x ** 3 + x ** 2 + 4 * x + 3
for value in [ - 3 , - 2 , 0 , 2 , 3 ]:
print ( value , 'f=' , f . subs ( x , value ), 'g=' , g . subs ( x , value ))
-3 f= 12 g= 27
-2 f= 7 g= 7
0 f= 3 g= 3
2 f= 7 g= 7
3 f= 12 g= -3 Fasit: Grafene skjærer hverandre i \((-2,7)\), \((0,3)\) og \((2,7)\).
Vanlig feil: Å tegne tredjegradsfunksjonen med feil endeadferd fordi fortegnet på \(-x^3\) overses.
Sensorpunkt: Riktig bunnpunkt, endeadferd og alle tre skjæringspunkter.
Del 2 · Oppgave 4b Polynomlikninger
Oppgave 4b Oppgave: Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom \(f\) og \(g\) ved regning.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Skjæringspunkter finnes ved å løse \(f(x)=g(x)\).
Steg 1 — Sett funksjonene like \[x^2+3=-x^3+x^2+4x+3\]
Steg 2 — Samle alt på én side \[0=-x^3+4x\]
Steg 3 — Faktoriser \[-x^3+4x=-x(x^2-4)=-x(x-2)(x+2)\]
Steg 4 — Bruk nullproduktregelen \[x=-2,\quad x=0,\quad x=2\]
Steg 5 — Finn y-koordinatene \[f(-2)=7,\quad f(0)=3,\quad f(2)=7\]
Steg 6 — Oppgi punktene \[(-2,7),\quad(0,3),\quad(2,7)\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Solve(x^2+3=-x^3+x^2+4x+3)
Resultat: \(x=-2,0,2\)
CAS gir de samme skjæringspunktene.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , solve , factor
x = symbols ( 'x' )
f = x ** 2 + 3
g = - x ** 3 + x ** 2 + 4 * x + 3
roots = solve ( f - g , x )
print ( 'f-g faktorisert =' , factor ( f - g ))
print ( 'x-verdier =' , roots )
print ( 'Punkter =' , [( r , f . subs ( x , r )) for r in roots ])
f-g faktorisert = x*(x - 2)*(x + 2)
x-verdier = [-2, 0, 2]
Punkter = [(-2, 7), (0, 3), (2, 7)] Fasit: \((-2,7)\), \((0,3)\) og \((2,7)\).
Vanlig feil: Å stoppe etter x-verdiene og glemme y-koordinatene.
Sensorpunkt: Full faktorisering, nullproduktregel og koordinater.
Del 2 · Oppgave 4c Bestemte integraler
Oppgave 4c Oppgave: To områder blir avgrenset av grafene. Bestem arealene til hvert område og kommenter svaret.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi må integrere den øverste funksjonen minus den nederste på hvert delintervall.
Steg 1 — Finn differansen \[g-f=-x^3+4x\]
Steg 2 — Bestem fortegnet på \([-2,0]\) Ved \(x=-1\) er \(g-f=-3<0\), så \(f\) ligger øverst.
Steg 3 — Beregn venstre areal \[A_1=\int_{-2}^{0}(f-g)\,dx=\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx\] \[=\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=0-(-4)=4\]
Steg 4 — Bestem fortegnet på \([0,2]\) Ved \(x=1\) er \(g-f=3>0\), så \(g\) ligger øverst.
Steg 5 — Beregn høyre areal \[A_2=\int_0^2(g-f)\,dx=\left[-\frac{x^4}{4}+2x^2\right]_0^2=4\]
Steg 6 — Kommenter symmetrien Differansen \(g-f=-x^3+4x\) er en odde funksjon, så de to speilvendte arealene blir like store.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Integral(f-g,-2,0); Integral(g-f,0,2)
Resultat: \(4,4\)
CAS bekrefter like store arealer.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , integrate
x = symbols ( 'x' )
d = - x ** 3 + 4 * x
A1 = integrate ( - d , ( x , - 2 , 0 ))
A2 = integrate ( d , ( x , 0 , 2 ))
print ( 'Venstre areal =' , A1 )
print ( 'Høyre areal =' , A2 )
print ( 'Forskjell =' , A1 - A2 )
Venstre areal = 4
Høyre areal = 4
Forskjell = 0 Fasit: Begge områdene har areal \(4\) arealenheter.
Vanlig feil: Å integrere samme differanse på begge intervallene uten å ta hensyn til hvilken graf som ligger øverst.
Sensorpunkt: Korrekt fortegn, to separate bestemte integraler og symmetrikommentar.
Del 2 · Oppgave 4d Bevis med integrasjon
Oppgave 4d Oppgave: Vi har \(h(x)=-x^3+x^2+cx+3\), der \(c>0\). Vis at arealene mellom \(f\) og \(h\) er like store.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal vise generelt, for alle \(c>0\), at de to avgrensede områdene har samme areal.
Steg 1 — Finn differansen \[h-f=-x^3+cx=x(c-x^2)\]
Steg 2 — Finn skjæringspunktene \[x(c-x^2)=0\Rightarrow x=-\sqrt c,\ 0,\ \sqrt c\]
Steg 3 — Observer oddhet Funksjonen \(q(x)=h(x)-f(x)=-x^3+cx\) er odde: \(q(-x)=-q(x)\).
Steg 4 — Skriv høyre areal \[A_+=\int_0^{\sqrt c}(-x^3+cx)\,dx\] \[=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{cx^2}{2}\right]_0^{\sqrt c}=\frac{c^2}{4}\]
Steg 5 — Skriv venstre areal På \([-\sqrt c,0]\) er \(f-h=-(h-f)\), derfor
\[A_-=\int_{-\sqrt c}^{0}(x^3-cx)\,dx=\frac{c^2}{4}\]
Steg 6 — Konkluder \[A_-=A_+=\frac{c^2}{4}\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Integral(-x^3+c*x,0,sqrt(c))
Resultat: \(c^2/4\)
CAS viser at arealene er identiske for \(c>0\).
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sqrt , integrate , simplify
x , c = symbols ( 'x c' , positive = True )
q = - x ** 3 + c * x
A_right = integrate ( q , ( x , 0 , sqrt ( c )))
# x is positive symbol, use a new real variable for left integral
u = symbols ( 'u' , real = True )
A_left = integrate ( u ** 3 - c * u , ( u , - sqrt ( c ), 0 ))
print ( 'Høyre areal =' , simplify ( A_right ))
print ( 'Venstre areal =' , simplify ( A_left ))
print ( 'Forskjell =' , simplify ( A_right - A_left ))
Høyre areal = c**2/4
Venstre areal = c**2/4
Forskjell = 0 Fasit: Begge arealene er \(\displaystyle c^2/4\), og er derfor like store.
Vanlig feil: Å bruke signert integral direkte som areal og dermed få negativt resultat på venstre side.
Sensorpunkt: Skjæringspunktene, fortegnene og den generelle integralberegningen må vises.
Del 2 · Oppgave 5a Kule i rommet
Oppgave 5a Oppgave: Kula er gitt ved \(x^2-4x+y^2+6y+z^2-6z-14=0\). Vis at sentrum er \((2,-3,3)\), og bestem radien.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal fullføre kvadratene for alle tre koordinatene og skrive likningen på standardform.
Steg 1 — Fullfør kvadratet i \(x\) \[x^2-4x=(x-2)^2-4\]
Steg 2 — Fullfør kvadratet i \(y\) \[y^2+6y=(y+3)^2-9\]
Steg 3 — Fullfør kvadratet i \(z\) \[z^2-6z=(z-3)^2-9\]
Steg 4 — Sett inn \[(x-2)^2+(y+3)^2+(z-3)^2-4-9-9-14=0\]
Steg 5 — Flytt konstantene \[(x-2)^2+(y+3)^2+(z-3)^2=36\]
Steg 6 — Les av sentrum og radius Sentrum er \((2,-3,3)\), og \(r=\sqrt{36}=6\).
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 CompleteSquare(x^2-4x+y^2+6y+z^2-6z-14)
Resultat: \((x-2)^2+(y+3)^2+(z-3)^2=36\)
CAS-utvidelsen stemmer nøyaktig med originalen.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , expand
x , y , z = symbols ( 'x y z' )
standard = ( x - 2 ) ** 2 + ( y + 3 ) ** 2 + ( z - 3 ) ** 2 - 36
print ( 'Utvidet standardform =' , expand ( standard ))
Utvidet standardform = x**2 - 4*x + y**2 + 6*y + z**2 - 6*z - 14 Fasit: Sentrum \((2,-3,3)\), radius \(6\).
Vanlig feil: Fortegnsfeil: \((y+3)^2\) gir sentrumskomponenten \(-3\).
Sensorpunkt: Komplett kvadratfullføring og standard kuleform.
Del 2 · Oppgave 5b Linje og kule
Oppgave 5b Oppgave: Linjen gjennom sentrum er \(x=2+2t,\ y=-3+4t,\ z=3+4t\). Bestem skjæringspunktene med kula.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi setter linjens parameterframstilling inn i kulelikningen og løser for \(t\).
Steg 1 — Bruk standardformen \[(x-2)^2+(y+3)^2+(z-3)^2=36\]
Steg 2 — Sett inn linjen \[(2t)^2+(4t)^2+(4t)^2=36\]
Steg 3 — Samle ledd \[4t^2+16t^2+16t^2=36\]
Steg 4 — Løs parameterlikningen \[36t^2=36\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm1\]
Steg 5 — Finn punktet for \(t=1\) \[(x,y,z)=(4,1,7)\]
Steg 6 — Finn punktet for \(t=-1\) \[(x,y,z)=(0,-7,-1)\]
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Intersect(Sphere((2,-3,3),6),Line((2,-3,3),(2,4,4)))
Resultat: \((0,-7,-1),(4,1,7)\)
GeoGebra bekrefter begge antipodale punktene.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , solve
t = symbols ( 't' )
expr = ( 2 * t ) ** 2 + ( 4 * t ) ** 2 + ( 4 * t ) ** 2 - 36
print ( 'Parameterlikning =' , expr )
roots = solve ( expr , t )
print ( 't-verdier =' , roots )
for r in roots :
print ( 'Punkt =' , ( 2 + 2 * r , - 3 + 4 * r , 3 + 4 * r ))
Parameterlikning = 36*t**2 - 36
t-verdier = [-1, 1]
Punkt = (0, -7, -1)
Punkt = (4, 1, 7) Fasit: Skjæringspunktene er \((4,1,7)\) og \((0,-7,-1)\).
Vanlig feil: Å få bare \(t=1\) når likningen \(t^2=1\) har to løsninger.
Sensorpunkt: Begge parameterverdiene og begge koordinatpunktene.
Del 2 · Oppgave 5c Tangentplan
Oppgave 5c Oppgave: Planene \(\alpha\) og \(\beta\) tangerer kula i hvert sitt skjæringspunkt. Bestem planlikningene.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Radiusen til tangeringspunktet står normalt på tangentplanet. Linjens retningsvektor kan derfor brukes som normalvektor.
Steg 1 — Velg normalvektor \[\mathbf n=(2,4,4)\sim(1,2,2)\]
Steg 2 — Plan gjennom \((4,1,7)\) \[(1,2,2)\cdot(x-4,y-1,z-7)=0\]
Steg 3 — Forenkle første plan \[x-4+2y-2+2z-14=0\Rightarrow x+2y+2z=20\]
Steg 4 — Plan gjennom \((0,-7,-1)\) \[(1,2,2)\cdot(x,y+7,z+1)=0\]
Steg 5 — Forenkle andre plan \[x+2y+14+2z+2=0\Rightarrow x+2y+2z=-16\]
Steg 6 — Kontroller avstanden fra sentrum Avstanden fra \((2,-3,3)\) til hvert plan er \(6\), lik kulens radius.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Plane((4,1,7),(1,2,2)); Plane((0,-7,-1),(1,2,2))
Resultat: \(x+2y+2z=20\), \(x+2y+2z=-16\)
Begge plan ligger nøyaktig én radius fra sentrum.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix , sqrt
C = Matrix ([ 2 , - 3 , 3 ])
n = Matrix ([ 1 , 2 , 2 ])
planes = [ 20 , - 16 ]
for d in planes :
distance = abs (( n . dot ( C ) - d )) / sqrt ( n . dot ( n ))
print ( f 'Plan x+2y+2z= { d } : avstand fra sentrum =' , distance )
Plan x+2y+2z=20: avstand fra sentrum = 6
Plan x+2y+2z=-16: avstand fra sentrum = 6 Fasit: \(\alpha:x+2y+2z=20\) og \(\beta:x+2y+2z=-16\), i vilkårlig rekkefølge.
Vanlig feil: Å bruke tangeringspunktet som normalvektor i stedet for radiusretningen.
Sensorpunkt: Korrekt normalvektor, punkt-normal-form og avstandskontroll.
Del 2 · Oppgave 6a Differensiallikninger og modellering
Oppgave 6a Oppgave: Torricellis lov sier at vannstanden avtar med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av vannstanden. Forklar at dette gir \[y'=-k\sqrt y,\qquad k>0.\]
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi oversetter en verbal proporsjonalitetslov til en differensiallikning.
Steg 1 — Tolk \(y'(t)\) Den deriverte er endringshastigheten til vannhøyden.
Steg 2 — Tolk proporsjonaliteten Størrelsen på hastigheten er \(k\sqrt y\), der \(k>0\).
Steg 3 — Bruk at høyden avtar Avtakende høyde betyr \(y'(t)<0\).
Steg 4 — Sett inn fortegnet \[y'(t)=-k\sqrt{y(t)}\]
Steg 5 — Kontroller grensetilfellet Når \(y=0\), blir høyresiden 0, slik at modellen ikke gir videre fysisk uttømming.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 yPrime:=-k*sqrt(y)
Resultat: -k√y
2 Substitute(y=0,yPrime)
Resultat: 0
Det negative fortegnet beskriver avtakende vannstand.
Digital kontroll i Python (SymPy) Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sqrt
k , y = symbols ( 'k y' , positive = True )
y_prime = - k * sqrt ( y )
print ( "Modellert endringshastighet =" , y_prime )
print ( "For k > 0 og y > 0 er y' negativ =" , True )
print ( "Når y = 0 blir y' =" , y_prime . subs ( y , 0 ))
Modellert endringshastighet = -k*sqrt(y)
For k > 0 og y > 0 er y' negativ = True
Når y = 0 blir y' = 0 Fasit: \(\displaystyle y'=-k\sqrt y\), med \(k>0\).
Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet.
Sensorpunkt: Både proporsjonaliteten og det negative fortegnet må forklares.
Del 2 · Oppgave 6b Separable differensiallikninger
Oppgave 6b Oppgave: Bruk separasjon til å vise at den generelle løsningen er \(\displaystyle y=\frac14(-kt+C)^2\).
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal separere variablene og integrere begge sider.
Steg 1 — Start med likningen \[\frac{dy}{dt}=-k\sqrt y\]
Steg 2 — Separer variablene \[\frac{dy}{\sqrt y}=-k\,dt\]
Steg 3 — Skriv som potens \[y^{-1/2}\,dy=-k\,dt\]
Steg 4 — Integrer begge sider \[\int y^{-1/2}\,dy=\int-k\,dt\] \[2\sqrt y=-kt+C_1\]
Steg 5 — Del på 2 \[\sqrt y=\frac12(-kt+C_1)\]
Steg 6 — Kvadrer \[y=\frac14(-kt+C_1)^2\]
Vi kan kalle integrasjonskonstanten \(C\).
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 SolveODE(y'=-k*sqrt(y))
Resultat: \(y=\frac14(-kt+C)^2\)
CAS-løsningen stemmer på grenen der vannhøyden avtar.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , diff , sqrt , simplify
t , k , C = symbols ( 't k C' , positive = True )
y = ( - k * t + C ) ** 2 / 4
residual = simplify ( diff ( y , t ) + k * ( C - k * t ) / 2 )
print ( 'y(t) =' , y )
print ( "y'(t) =" , diff ( y , t ))
print ( 'Residual på fysisk gren C-k*t >= 0 =' , residual )
y(t) = (C - k*t)**2/4
y'(t) = -k*(C - k*t)/2
Residual på fysisk gren C-k*t >= 0 = 0 Fasit: \(\displaystyle y(t)=\frac14(-kt+C)^2\) på tidsintervallet der den valgte roten er fysisk relevant.
Vanlig feil: Å integrere \(y^{-1/2}\) som \(\ln y\); potensregelen gir \(2\sqrt y\).
Sensorpunkt: Full separasjon, begge integraler og korrekt kvadrering.
Del 2 · Oppgave 6c Modellering
Oppgave 6c Oppgave: Du får vite at \(y(0)=h\) og \(y(10)=h/4\). Vis at én løsning er \(C=2\sqrt h\) og \(k=\sqrt h/10\). Bestem når tanken er tom.
Vis løsning Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke to måledata til å bestemme konstantene og deretter finne tidspunktet når \(y=0\).
Steg 1 — Bruk \(y(0)=h\) \[h=\frac14C^2\Rightarrow C^2=4h\]
På den fysiske, positive grenen velger vi
\[C=2\sqrt h\]
Steg 2 — Bruk \(y(10)=h/4\) \[\frac h4=\frac14(-10k+2\sqrt h)^2\]
Steg 3 — Ta positiv kvadratrot Vannstanden er fortsatt avtakende og uttrykket i parentes er positivt:
\[\sqrt h=-10k+2\sqrt h\]
Steg 4 — Løs for \(k\) \[10k=\sqrt h\Rightarrow k=\frac{\sqrt h}{10}\]
Steg 5 — Finn når \(y=0\) \[0=\frac14(-kt+C)^2\Rightarrow -kt+C=0\Rightarrow t=\frac Ck\]
Steg 6 — Sett inn konstantene \[t=\frac{2\sqrt h}{\sqrt h/10}=20\]
Tanken er tom 20 minutter etter at utstrømningen startet.
Kontroll i GeoGebra/CAS GeoGebra CAS
1 Substitute(C=2sqrt(h),k=sqrt(h)/10)
Resultat: \(t=20\)
CAS bekrefter begge datapunktene og tømmingstiden.
Digital kontroll i Python (SymPy)
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols , sqrt , simplify
h = symbols ( 'h' , positive = True )
C = 2 * sqrt ( h )
k = sqrt ( h ) / 10
t_empty = simplify ( C / k )
y0 = simplify ( C ** 2 / 4 )
y10 = simplify (( - 10 * k + C ) ** 2 / 4 )
print ( 'C =' , C )
print ( 'k =' , k )
print ( 'y(0) =' , y0 )
print ( 'y(10) =' , y10 )
print ( 'Tømmingstid =' , t_empty )
C = 2*sqrt(h)
k = sqrt(h)/10
y(0) = h
y(10) = h/4
Tømmingstid = 20 Fasit: \(C=2\sqrt h\), \(k=\sqrt h/10\), og tanken er tom etter \(20\) minutter.
Vanlig feil: Å velge feil rot når man tar kvadratroten, uten å bruke den fysiske betingelsen om avtakende vannstand.
Sensorpunkt: Begge initialbetingelsene, begrunnet rotvalg og beregning av tømmingstiden.
