fromsympyimportpi,simplifyone_radian_in_degrees=180/pisixty_degrees_in_radians=60*pi/180full_turn_radians=360*pi/180print("1 radian i grader =",one_radian_in_degrees)print("Numerisk verdi =",one_radian_in_degrees.evalf(12))print("60 grader i radianer =",simplify(sixty_degrees_in_radians))print("360 grader i radianer =",simplify(full_turn_radians))
1 radian i grader = 180/pi
Numerisk verdi = 57.2957795131
60 grader i radianer = pi/3
360 grader i radianer = 2*pi
Fasit: Radianmålet er \(\theta=s/r\). Sammenhengen er \(\pi\text{ rad}=180^{\circ}\), og dermed \(1\text{ rad}=180/\pi^{\circ}\).
Vanlig feil: Å si at radian er en lengdeenhet. Radian er dimensjonsløst fordi det er forholdet mellom to lengder.
Sensorpunkt: For full uttelling må definisjonen \(s/r\) og sammenhengen \(2\pi ext{ rad}=360^{\circ}\) forklares, ikke bare oppgis.
Del 1 · Oppgave 1cDifferensiallikning · lineær 1. orden
Oppgave 1c
Oppgave:
Løs differensiallikningen
\[y\prime+2y=3x\qquad\text{når}\qquad y(0)=3.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Likningen er lineær av første orden. Vi finner først den homogene løsningen, deretter en partikulær løsning og bruker initialbetingelsen til å bestemme konstanten.
Steg 1 — Løs den homogene likningen
Den homogene likningen er \(y\prime+2y=0\). Den har løsning
\[y_h=Ce^{-2x}.\]
Steg 2 — Velg form for partikulær løsning
Høyresiden er polynomet \(3x\). Vi prøver derfor \(y_p=ax+b\).
Steg 3 — Sett prøvefunksjonen inn
Da er \(y_p\prime=a\), og
\[a+2(ax+b)=3x.\]
Steg 4 — Sammenlikn koeffisienter
Koeffisienten foran \(x\) gir \(2a=3\), altså \(a=3/2\). Konstantleddet gir \(a+2b=0\), så
Derivasjon og innsetting gir \(y\prime+2y=3x\), og \(y(0)=3\). Begge kravene er oppfylt.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
SolveODE(y' = 3x - 2y, (0, 3))
→\(y=\frac{15}{4}e^{-2x}+\frac32x-\frac34\)
2
Substitute(y, x, 0)
→\(3\)
Tolkning: Løsningen oppfyller både differensiallikningen og startverdien.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,Function,Eq,dsolve,diff,simplifyx=symbols('x',real=True)y=Function('y')ode=Eq(diff(y(x),x)+2*y(x),3*x)solution=dsolve(ode,ics={y(0):3})y_expression=solution.rhsresidual=simplify(diff(y_expression,x)+2*y_expression-3*x)initial_value=simplify(y_expression.subs(x,0))print("Differensiallikning:",ode)print("Løsning:",solution)print("Restledd i likningen:",residual)print("Kontroll av y(0):",initial_value)
Deriverer vi svaret, får vi tilbake de tre delbrøkene og dermed den opprinnelige integranden.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Integral((x^2 - 2x + 4)/(x^3 - x^2 - 4x + 4))
→\(\ln|x+2|-\ln|x-1|+\ln|x-2|\)
Tolkning: CAS kan vise en algebraisk ekvivalent logaritmeform. Derivasjon bekrefter samme integrand.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,integrate,diff,simplify,logx=symbols('x',real=True)integrand=(x**2-2*x+4)/(x**3-x**2-4*x+4)antiderivative=log(x+2)-log(x-1)+log(x-2)cas_result=integrate(integrand,x)control=simplify(diff(antiderivative,x)-integrand)print("Integrand =",integrand)print("SymPy-integral =",cas_result)print("Valgt antiderivert =",antiderivative)print("Derivasjonskontroll =",control)print("Merk: I reell form brukes absoluttverdier i logaritmene.")
Integrand = (x**2 - 2*x + 4)/(x**3 - x**2 - 4*x + 4)
SymPy-integral = -log(x - 1) + log(x**2 - 4)
Valgt antiderivert = log(x - 2) - log(x - 1) + log(x + 2)
Derivasjonskontroll = 0
Merk: I reell form brukes absoluttverdier i logaritmene.
Fasit: \(x=2\), og rekken begynner \(1,4,16\) med kvotient \(4\).
Vanlig feil: Å sette \(a_2-a_1=a_3-a_2\); det er betingelsen for en aritmetisk, ikke geometrisk, følge.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en korrekt geometrisk betingelse og en etterkontroll av kvotienten.
Del 1 · Oppgave 1fRekker og bevis · induksjon
Oppgave 1f
Oppgave:
Summen av de \(n\) første leddene i en generell geometrisk rekke er
\[S_n=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}.\]
Bevis denne formelen ved induksjon.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjennomføre et fullstendig induksjonsbevis for \(k\neq1\): grunntrinn, induksjonshypotese og induksjonssteg må vises eksplisitt.
Vanlig feil: Å bruke koordinatene til punktene direkte uten først å danne vektorene fra samme startpunkt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt subtraksjon av punktkoordinater og komponentvis skalarprodukt.
Del 1 · Oppgave 2bVektorer i rommet · kryssprodukt
Oppgave 2b
Oppgave:
Finn \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker vektorene fra del a og regner kryssproduktet. Resultatet skal stå vinkelrett på både \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\).
Tolkning: De to nullskalarproduktene bekrefter at kryssproduktet er en normalvektor.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportMatrixAB=Matrix([2,1,2])AC=Matrix([1,6,4])cross_product=AB.cross(AC)print("AB × AC =",list(cross_product))print("Kontroll mot AB =",cross_product.dot(AB))print("Kontroll mot AC =",cross_product.dot(AC))print("Lengde av kryssproduktet =",cross_product.norm())
AB × AC = [-8, -6, 11]
Kontroll mot AB = 0
Kontroll mot AC = 0
Lengde av kryssproduktet = sqrt(221)
Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet i den midterste komponenten, eller bytte rekkefølge og få motsatt vektor.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt orientert kryssprodukt. Motsatt fortegn er bare riktig dersom rekkefølgen også er motsatt.
Del 1 · Oppgave 2cPlan i rommet · likning og punktkontroll
Oppgave 2c
Oppgave:
Punktene \(A\), \(B\) og \(C\) ligger i planet \(\alpha\).
Finn likningen til planet \(\alpha\). Undersøk om punktet \(D(2,2,3)\) ligger i planet \(\alpha\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Kryssproduktet fra del b er en normalvektor til planet. Vi bruker punkt-normal-formen og setter deretter inn D.
Steg 1 — Velg normalvektor
Fra del b kan vi bruke \(\mathbf n=(-8,-6,11)\), eller den motsatte vektoren \((8,6,-11)\). Vi velger
\[\mathbf n=(8,6,-11).\]
Steg 2 — Bruk punkt-normal-formen
Planet gjennom \(A(1,1,1)\) oppfyller
\[8(x-1)+6(y-1)-11(z-1)=0.\]
Steg 3 — Utvid parentesene
\[8x-8+6y-6-11z+11=0.\]
Steg 4 — Samle konstantleddene
\[8x+6y-11z-3=0.\]
Steg 5 — Kontroller D
Sett \(D(2,2,3)\) inn i venstresiden:
\[8\cdot2+6\cdot2-11\cdot3-3=16+12-33-3=-8.\]
Steg 6 — Tolk resultatet
Et punkt ligger i planet bare når venstresiden blir \(0\). Her blir den \(-8\), så \(D\notin\alpha\).
Steg 7 — Rimelighetskontroll
Setter vi inn A, B og C, blir venstresiden \(0\) for alle tre. Planlikningen passer dermed de oppgitte punktene.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
A=(1,1,1); B=(3,2,3); C=(2,7,5)
→Punktene er definert.
2
alpha := Plane(A,B,C)
→\(8x+6y-11z=3\)
3
8*2 + 6*2 - 11*3 - 3
→\(-8\)
Tolkning: Siden innsettingsverdien ikke er null, ligger D utenfor planet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportMatrix,symbols,simplifyx,y,z=symbols('x y z',real=True)A=Matrix([1,1,1])B=Matrix([3,2,3])C=Matrix([2,7,5])D=Matrix([2,2,3])normal=(B-A).cross(C-A)plane_expression=8*x+6*y-11*z-3print("Normalvektor fra AB × AC =",list(normal))print("Valgt motsatt normalvektor =",[8,6,-11])print("Planuttrykk =",plane_expression)forname,pointin[('A',A),('B',B),('C',C),('D',D)]:value=simplify(plane_expression.subs({x:point[0],y:point[1],z:point[2]}))print(f"Innsetting av {name} gir",value)
Normalvektor fra AB × AC = [-8, -6, 11]
Valgt motsatt normalvektor = [8, 6, -11]
Planuttrykk = 8*x + 6*y - 11*z - 3
Innsetting av A gir 0
Innsetting av B gir 0
Innsetting av C gir 0
Innsetting av D gir -8
Fasit: \(\alpha:8x+6y-11z-3=0\). Punktet \(D(2,2,3)\) ligger ikke i planet.
Vanlig feil: Å bruke \(D\) som punkt i punkt-normal-formen selv om D ikke er kjent å ligge i planet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter normalvektor fra kryssproduktet, planlikning gjennom et kjent punkt og tydelig innsettingskontroll av D.
Del 1 · Oppgave 2dLinje og plan · skjæringspunkt
Oppgave 2d
Oppgave:
Bestem en parameterframstilling for en linje \(l\) som går gjennom punktet \(D\), og som står vinkelrett på planet \(\alpha\). Finn skjæringspunktet \(S\) mellom \(l\) og \(\alpha\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? En linje vinkelrett på planet har retning lik en normalvektor til planet. Vi setter linjen inn i planlikningen og løser for parameteren.
Steg 1 — Bruk normalvektoren som retningsvektor
Planet har normalvektor \((8,6,-11)\). Linjen gjennom \(D(2,2,3)\) kan derfor skrives
Tolkning: Skjæringspunktet er fotpunktet for normalen fra D til planet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,solve,Matrix,simplifyt=symbols('t',real=True)D=Matrix([2,2,3])normal=Matrix([8,6,-11])point_on_line=D+t*normalplane_value=8*point_on_line[0]+6*point_on_line[1]-11*point_on_line[2]-3t_value=solve(plane_value,t)[0]S=point_on_line.subs(t,t_value)control=simplify(8*S[0]+6*S[1]-11*S[2]-3)print("Punkt på linjen =",list(point_on_line))print("Planuttrykk etter innsetting =",plane_value.expand())print("Parameter t =",t_value)print("Skjæringspunkt S =",list(S))print("Kontroll i planet =",control)
Punkt på linjen = [8*t + 2, 6*t + 2, 3 - 11*t]
Planuttrykk etter innsetting = 221*t - 8
Parameter t = 8/221
Skjæringspunkt S = [506/221, 490/221, 575/221]
Kontroll i planet = 0
Fasit: \(l:(x,y,z)=(2,2,3)+t(8,6,-11)\), og \(\displaystyle S=\left(\frac{506}{221},\frac{490}{221},\frac{575}{221}\right)\).
Vanlig feil: Å bruke en vilkårlig vektor i planet som retningsvektor. En normal linje må ha retning parallell med planetets normalvektor.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt parameterframstilling, innsetting i planlikningen og eksakte koordinater til skjæringspunktet.
Del 2 – med hjelpemidler
Digitale kommandoer er oppgitt sammen med tolkning, og Python-output er generert ved faktisk kjøring av koden.
Del 2 · Oppgave 3aGeometri · Pytagoras og areal
Oppgave 3a
Oppgave:
Vi har en rettvinklet trekant med kateter \(a\) og \(b\), hypotenus \(c\) og høyde \(h\) ned på hypotenusen.
Forklar at \(ab=ch\). Bruk Pytagoras’ setning og vis at
\[\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac1{h^2}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi beregner trekantens areal på to måter for å finne h, og kombinerer dette med Pytagoras’ setning.
Steg 1 — Areal med katetene
Katetene står vinkelrett på hverandre, så arealet er
\[F=\frac{ab}{2}.\]
Steg 2 — Areal med hypotenusen som grunnlinje
Hypotenusen har lengde \(c\), og den tilhørende høyden er \(h\). Dermed
fromsympyimportsymbols,sqrt,simplifya,b=symbols('a b',positive=True)c=sqrt(a**2+b**2)h=a*b/cidentity_control=simplify(1/h**2-1/a**2-1/b**2)area_control=simplify(a*b-c*h)print("c =",c)print("h =",h)print("Kontroll av ab - ch =",area_control)print("Kontroll av identiteten =",identity_control)
c = sqrt(a**2 + b**2)
h = a*b/sqrt(a**2 + b**2)
Kontroll av ab - ch = 0
Kontroll av identiteten = 0
Fasit: \(ab=ch\) og \(\displaystyle \frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac1{h^2}\).
Vanlig feil: Å bruke \(h=(a+b)/c\). Høyden følger av areallikheten, ikke av å summere katetene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to arealuttrykk, bruk av \(c^2=a^2+b^2\) og ryddig brøkforenkling.
Del 2 · Oppgave 3bRomgeometri · kryssprodukt og areal
Oppgave 3b
Oppgave:
I tetraederet \(OABC\) er \(O=(0,0,0)\), \(A=(a,0,0)\), \(B=(0,b,0)\) og \(C=(0,0,c)\).
Finn \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\) uttrykt ved \(a\), \(b\) og \(c\). Finn arealet av trekanten \(ABC\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi danner to sidevektorer fra A. Lengden av kryssproduktet er arealet av parallellogrammet, så trekantarealet er halvparten.
fromsympyimportsymbols,Matrix,simplifya,b,c=symbols('a b c',positive=True)AB=Matrix([-a,b,0])AC=Matrix([-a,0,c])cross_product=AB.cross(AC)triangle_area=simplify(cross_product.norm()/2)print("AB =",list(AB))print("AC =",list(AC))print("AB × AC =",list(cross_product))print("Areal av ABC =",triangle_area)print("Ortogonalitetskontroll mot AB =",simplify(cross_product.dot(AB)))print("Ortogonalitetskontroll mot AC =",simplify(cross_product.dot(AC)))
AB = [-a, b, 0]
AC = [-a, 0, c]
AB × AC = [b*c, a*c, a*b]
Areal av ABC = sqrt(a**2*b**2 + a**2*c**2 + b**2*c**2)/2
Ortogonalitetskontroll mot AB = 0
Ortogonalitetskontroll mot AC = 0
Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(bc,ac,ab)\), og \(\displaystyle F_{ABC}=\frac12\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}\).
Vanlig feil: Å glemme faktoren \(1/2\); kryssproduktets lengde er parallellogramarealet, ikke trekantarealet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige sidevektorer, korrekt kryssprodukt og halvparten av normlengden.
Del 2 · Oppgave 3cRomgeometri · arealsetning
Oppgave 3c
Oppgave:
En arealsetning sier at
\[F_{ABC}^2=F_{OAC}^2+F_{OBC}^2+F_{OAB}^2.\]
Kontroller at arealsetningen er riktig.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker uttrykket for \(F_{ABC}\) fra del b og beregner de tre rettvinklede sideflatene direkte.
Her er \(h\) den vinkelrette avstanden fra O til planet gjennom A, B og C, altså tetraederets høyde når ABC er grunnflaten.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Solve(F*h/3 = a*b*c/6, F)
→\(F=\frac{abc}{2h}\)
Tolkning: CAS-løsningen er bare omformingen av de to like volumene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,Eq,solve,simplifya,b,c,h,F=symbols('a b c h F',positive=True)volume_axes=a*b*c/6volume_base=F*h/3solution_for_area=solve(Eq(volume_base,volume_axes),F)[0]print("Volum fra aksekantene =",volume_axes)print("Volum med ABC som grunnflate =",volume_base)print("Løst for F_ABC =",solution_for_area)print("Kontroll =",simplify(solution_for_area*h/3-volume_axes))
Volum fra aksekantene = a*b*c/6
Volum med ABC som grunnflate = F*h/3
Løst for F_ABC = a*b*c/(2*h)
Kontroll = 0
Fasit: \(\displaystyle F_{ABC}=\frac{abc}{2h}\).
Vanlig feil: Å bruke pyramideformelen uten faktoren \(1/3\), eller forveksle h med en av aksekantene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter de to volumuttrykkene og tydelig likestilling før det løses for \(F_{ABC}\).
Del 2 · Oppgave 3eRomgeometri · tredimensjonal Pytagoras-identitet
Vanlig feil: Å glemme å kvadrere hele uttrykket \(abc/(2h)\), særlig faktoren \(4h^2\) i nevneren.
Sensorpunkt: Sensor ser etter at resultatene fra både c og d brukes, og at divisjonen med \(a^2b^2c^2\) vises.
Oppgave 4 – Alternativ I
Eksamen krever ett alternativ. Her er begge løst for et komplett løsningsforslag.
Del 2 · Oppgave 4a · Alternativ ITrigonometri · periodisk modell
Oppgave 4a – alternativ I
Oppgave:
Vi vil studere en periodisk funksjon
\[f(x)=a\cos(c(x-\varphi))+d,\qquad x\in[0,12).\]
Grafen har toppunkt \((1,6)\), og det nærmeste bunnpunktet er \((3,-1)\).
Forklar at grafen må ha toppunkt også i \((5,6)\). Skriv koordinatene til ett toppunkt og to bunnpunkter til. Bestem funksjonsuttrykket til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Avstanden fra et toppunkt til nærmeste bunnpunkt er en halv periode. Derfra finner vi periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning.
Steg 1 — Finn halvperioden
Fra toppunktet ved \(x=1\) til nærmeste bunnpunkt ved \(x=3\) er avstanden \(2\). Dette er en halv periode:
\[\frac{T}{2}=2.\]
Steg 2 — Finn perioden
\[T=4.\]
Steg 3 — Forklar toppunktet ved x = 5
Toppunkter gjentar seg etter én hel periode. Derfor kommer neste toppunkt ved
\[x=1+4=5,\]
med samme y-verdi \(6\). Altså er \((5,6)\) et toppunkt.
Steg 4 — Finn flere ekstrempunkter
Innenfor \([0,12)\) ligger toppunktene ved \(x=1,5,9\) og bunnpunktene ved \(x=3,7,11\). Ett nytt toppunkt er \((9,6)\), og to nye bunnpunkter er \((7,-1)\) og \((11,-1)\).
Steg 5 — Finn amplituden
\[a=\frac{6-(-1)}{2}=\frac72.\]
Steg 6 — Finn likevektslinjen
\[d=\frac{6+(-1)}{2}=\frac52.\]
Steg 7 — Finn vinkelfrekvensen
\[c=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac\pi2.\]
Steg 8 — Velg faseforskyvning
En cosinus med positiv amplitude har topp når argumentet er \(0\). Toppunktet ved \(x=1\) gir derfor \(\varphi=1\).
Tolkning: Funksjonsverdiene og perioden samsvarer med de oppgitte ekstrempunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,pi,cos,simplify,Rationalx=symbols('x',real=True)f=Rational(7,2)*cos(pi*(x-1)/2)+Rational(5,2)check_points=[1,3,5,7,9,11]print("f(x) =",f)forvalueincheck_points:print(f"f({value}) =",simplify(f.subs(x,value)))print("Kontroll av periode f(x+4)-f(x) =",simplify(f.subs(x,x+4)-f))
Fasit: Perioden er \(4\), og \(\displaystyle f(x)=\frac72\cos\left(\frac\pi2(x-1)\right)+\frac52\). Eksempel på flere punkter: topp \((9,6)\), bunner \((7,-1)\) og \((11,-1)\).
Vanlig feil: Å bruke avstanden 2 som hel periode. Topp til nærmeste bunn er en halv periode.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begrunnelse for perioden, korrekt amplitude og likevektslinje samt en fase som gir topp ved x = 1.
Del 2 · Oppgave 4b · Alternativ ITrigonometri · størst negativ vekst
Oppgave 4b – alternativ I
Oppgave:
Hvor avtar funksjonen raskest?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Funksjonen avtar raskest der den deriverte har sin minste, mest negative verdi.
f'(x) = -7*pi*sin(pi*(x/2 - 1/2))/4
x = 2: f(x) = 5/2 , f'(x) = -7*pi/4
x = 6: f(x) = 5/2 , f'(x) = -7*pi/4
x = 10: f(x) = 5/2 , f'(x) = -7*pi/4
Minste mulig derivert = -7*pi/4
Fasit: Funksjonen avtar raskest ved \(x=2,6,10\), der \(f\prime(x)=-7\pi/4\).
Vanlig feil: Å svare ved bunnpunktene. I et bunnpunkt er den deriverte 0; raskest nedgang skjer ved likevektslinjen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter den deriverte, vurdering av dens minimum og alle relevante x-verdier i definisjonsintervallet.
Del 2 · Oppgave 4c · Alternativ ITrigonometri · likninger
Oppgave 4c – alternativ I
Oppgave:
Finn nullpunktene til funksjonen ved regning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi setter funksjonen lik null, isolerer cosinusverdien og bruker den generelle løsningen for \(\cos u=q\). Deretter velger vi alle løsninger i \([0,12)\).
Tolkning: De numeriske løsningene må kobles til den generelle trigonometriske løsningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,pi,cos,acos,N,simplify,Rationalx=symbols('x',real=True)f=Rational(7,2)*cos(pi*(x-1)/2)+Rational(5,2)alpha=acos(Rational(-5,7))roots=[]forninrange(-1,4):forsignin(-1,1):value=1+sign*2*alpha/pi+4*nnumeric=float(N(value,15))if0<=numeric<12:roots.append(value)roots=sorted(roots,key=lambdavalue:float(N(value)))print("alpha =",N(alpha,12))print("2*alpha/pi =",N(2*alpha/pi,12))print("Nullpunkter i [0, 12):")forrootinroots:print("x =",N(root,12),", f(x) =",N(simplify(f.subs(x,root)),5))
alpha = 2.36639928028
2*alpha/pi = 1.50649657114
Nullpunkter i [0, 12):
x = 2.50649657114 , f(x) = 0
x = 3.49350342886 , f(x) = 0
x = 6.50649657114 , f(x) = 0
x = 7.49350342886 , f(x) = 0
x = 10.5064965711 , f(x) = 0
x = 11.4935034289 , f(x) = 0
Fasit: Nullpunktene er \(\displaystyle x=1\pm\frac{2}{\pi}\arccos(-5/7)+4n\), og i \([0,12)\): \(x\approx2.5065,3.4935,6.5065,7.4935,10.5065,11.4935\).
Vanlig feil: Å bruke bare \(+\arccos\)-grenen. Cosinuslikningen har to løsninger per periode.
Sensorpunkt: Sensor ser etter isolert cosinus, begge løsningsgrenene, periodeleddet og korrekt avgrensning til intervallet.
Del 2 · Oppgave 4d · Alternativ IBestemt integral · samlet areal
Oppgave 4d – alternativ I
Oppgave:
Tegn grafen til \(f\). Finn det samlede arealet av flatestykkene som er avgrenset av grafen til \(f\) og linjen \(y=5\), og som ligger på oversiden av linjen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner først skjæringspunktene med \(y=5\). De tre like toppområdene kan deretter integreres ett for ett eller beregnes som tre ganger arealet i én periode.
Grafen til f, linjen y = 5 og de tre skraverte områdene over linjen.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
beta := acos(5/7)
→\(\beta\approx0.7752\)
2
3 Integral(f(x)-5, 1-2 beta/pi, 1+2 beta/pi)
→\(\approx1.954\)
Tolkning: Grafen viser tre kongruente områder over y = 5 i intervallet [0,12).
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,pi,cos,acos,integrate,sqrt,simplify,N,Rationalx=symbols('x',real=True)f=Rational(7,2)*cos(pi*(x-1)/2)+Rational(5,2)beta=acos(Rational(5,7))left=1-2*beta/piright=1+2*beta/pione_area=simplify(integrate(f-5,(x,left,right)))total_area=simplify(3*one_area)closed_form=3*(4*sqrt(6)-10*beta)/piprint("beta =",N(beta,12))print("Venstre grense =",N(left,12))print("Høyre grense =",N(right,12))print("Areal av ett område =",one_area)print("Samlet areal =",total_area)print("Forventet lukket form =",closed_form)print("Differanse =",simplify(total_area-closed_form))print("Numerisk samlet areal =",N(total_area,12))
beta = 0.775193373310
Venstre grense = 0.506496571142
Høyre grense = 1.49350342886
Areal av ett område = 2*(-5*acos(5/7) + 2*sqrt(6))/pi
Samlet areal = 6*(-5*acos(5/7) + 2*sqrt(6))/pi
Forventet lukket form = (-30*acos(5/7) + 12*sqrt(6))/pi
Differanse = 0
Numerisk samlet areal = 1.95381018194
Vanlig feil: Å integrere \(\sqrt{x}\) direkte. Skivens areal er \(\pi r^2\), så funksjonen må kvadreres.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skivemetoden, riktige grenser og faktoren \(\pi\).
Del 2 · Oppgave 4b · Alternativ IIOmdreiningsvolum · forskjøvet akse
Oppgave 4b – alternativ II
Oppgave:
En linje \(l\) er gitt ved \(y=k\), der \(k\in[0,3]\). Forklar at volumet ved rotasjon om \(l\) er gitt ved
\[V(k)=\pi\int_0^9\left(x^{1/2}-k\right)^2\,dx.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? For hvert x er rotasjonsradiusen den loddrette avstanden mellom grafen \(y=\sqrt{x}\) og aksen \(y=k\). Skivens areal er \(\pi\) ganger kvadratet av denne avstanden.
Steg 1 — Finn avstanden til rotasjonsaksen
Grafpunktet har y-koordinat \(\sqrt{x}\), mens aksen har y-koordinat \(k\). Den signerte forskjellen er \(\sqrt{x}-k\).
Steg 2 — Bruk absolutt avstand
\[r(x)=|\sqrt{x}-k|.\]
Steg 3 — Kvadrer radiusen
I skivearealet forsvinner fortegnet:
\[r(x)^2=|\sqrt{x}-k|^2=(\sqrt{x}-k)^2.\]
Steg 4 — Finn tverrsnittsarealet
\[A(x)=\pi r(x)^2=\pi(\sqrt{x}-k)^2.\]
Steg 5 — Integrer over definisjonsintervallet
Grafen er gitt fra \(x=0\) til \(x=9\), derfor
\[V(k)=\int_0^9A(x)\,dx.\]
Steg 6 — Sett inn A(x)
\[V(k)=\pi\int_0^9(\sqrt{x}-k)^2\,dx.\]
Steg 7 — Forklar intervallet for k
For \(k\in[0,3]\) ligger aksen mellom funksjonens minste og største y-verdi. Formelen virker også når forskjellen skifter fortegn, fordi den er kvadrert.
Grafen y = sqrt(x), en eksempelakse y = 2 og den vertikale radiusen mellom dem.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
r(x) := abs(sqrt(x) - k)
→\(|\sqrt{x}-k|\)
2
pi Integral(r(x)^2, 0, 9)
→\(\pi\int_0^9(\sqrt{x}-k)^2dx\)
Tolkning: Kvadratet gjør at samme formel gjelder på begge sider av skjæringspunktet x = k².
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,sqrt,Abs,simplifyx=symbols('x',nonnegative=True)k=symbols('k',real=True)signed_distance=sqrt(x)-kradius=Abs(signed_distance)print("Signert avstand =",signed_distance)print("Radius =",radius)print("Radius^2 forenklet =",simplify(radius**2))print("Integrand uten pi =",(sqrt(x)-k)**2)
Tolkning: Uttrykket er en andregradsfunksjon av k.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,sqrt,pi,integrate,expand,factorx=symbols('x',nonnegative=True)k=symbols('k',real=True)integrand=expand((sqrt(x)-k)**2)V=integrate(pi*integrand,(x,0,9))print("Utvidet integrand =",integrand)print("Integral av x fra 0 til 9 =",integrate(x,(x,0,9)))print("Integral av sqrt(x) fra 0 til 9 =",integrate(sqrt(x),(x,0,9)))print("Integral av 1 fra 0 til 9 =",integrate(1,(x,0,9)))print("V(k) utvidet =",expand(V))print("V(k) faktorisert med pi =",factor(V))
Utvidet integrand = k**2 - 2*k*sqrt(x) + x
Integral av x fra 0 til 9 = 81/2
Integral av sqrt(x) fra 0 til 9 = 18
Integral av 1 fra 0 til 9 = 9
V(k) utvidet = 9*pi*k**2 - 36*pi*k + 81*pi/2
V(k) faktorisert med pi = 9*pi*(2*k**2 - 8*k + 9)/2
Vanlig feil: Å behandle k som integrasjonsvariabel. k er konstant når vi integrerer med hensyn på x.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvadratutvidelse og alle tre bestemte integralene med grenser.
Del 2 · Oppgave 4d · Alternativ IIOptimering · minste volum
Oppgave 4d – alternativ II
Oppgave:
Bestem hvilken verdi for \(k\) som gir det minste volumet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi minimerer andregradsfunksjonen V(k) på intervallet \([0,3]\) ved å bruke den deriverte og kontrollere at kritisk punkt er et minimum.
Når \(t\to\infty\), går \(e^{-t/4}\to0\), så \(v(t)\to40\). Dette stemmer med oppgitt maksimalfart.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
SolveODE(v' = -v/4 + 10, (0, 0))
→\(v(t)=40(1-e^{-t/4})\)
2
Limit(v(t), t, infinity)
→\(40\)
Tolkning: Løsningen starter i 0 og nærmer seg terminalfarten 40.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,Function,Eq,dsolve,diff,simplify,limit,oot=symbols('t',nonnegative=True)v=Function('v')ode=Eq(diff(v(t),t),-v(t)/4+10)solution=dsolve(ode,ics={v(0):0})v_expression=solution.rhsresidual=simplify(diff(v_expression,t)+v_expression/4-10)print("Differensiallikning:",ode)print("Løsning:",solution)print("v(0) =",simplify(v_expression.subs(t,0)))print("Restledd i likningen =",residual)print("Grenseverdi når t går mot uendelig =",limit(v_expression,t,oo))
Differensiallikning: Eq(Derivative(v(t), t), 10 - v(t)/4)
Løsning: Eq(v(t), 40 - 40*exp(-t/4))
v(0) = 0
Restledd i likningen = 0
Grenseverdi når t går mot uendelig = 40
Fasit: \(v(0)=0\), og \(\displaystyle v(t)=40(1-e^{-t/4})\).
Vanlig feil: Å sette \(v(0)=40\). Tallet 40 er terminalfarten, ikke startfarten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter fysisk tolkning av startverdien, full løsning av ODE-en og kontroll mot terminalfarten.
Del 2 · Oppgave 5bIntegrasjon · strekning fra fart
Oppgave 5b
Oppgave:
Etter \(t\) sekunder har ballen falt strekningen \(s\), gitt ved \(s\prime(t)=v(t)\). Finn et uttrykk for \(s(t)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi integrerer farten og bruker at ballen har falt strekning 0 ved start, altså \(s(0)=0\).
Steg 1 — Sett inn fartsfunksjonen
\[s\prime(t)=40(1-e^{-t/4})=40-40e^{-t/4}.\]
Steg 2 — Integrer konstantleddet
\[\int40\,dt=40t.\]
Steg 3 — Integrer eksponentialleddet
Siden \(\int e^{-t/4}dt=-4e^{-t/4}\), får vi
\[\int-40e^{-t/4}dt=160e^{-t/4}.\]
Steg 4 — Skriv generell strekning
\[s(t)=40t+160e^{-t/4}+C.\]
Steg 5 — Bruk s(0) = 0
\[0=0+160+C\quad\Longrightarrow\quad C=-160.\]
Steg 6 — Skriv uttrykket
\[s(t)=40t+160e^{-t/4}-160.\]
Steg 7 — Alternativ faktorform
\[s(t)=40t-160(1-e^{-t/4}).\]
Steg 8 — Deriver som kontroll
\[s\prime(t)=40-40e^{-t/4}=v(t).\]
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Integral(40(1-exp(-t/4)), t)
→\(40t+160e^{-t/4}+C\)
2
Substitute(40t+160exp(-t/4)-160, t, 0)
→\(0\)
Tolkning: Derivasjon av s(t) gir tilbake v(t).
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,exp,integrate,diff,simplifyt=symbols('t',nonnegative=True)v=40*(1-exp(-t/4))indefinite=integrate(v,t)s=40*t+160*exp(-t/4)-160print("v(t) =",v)print("Ubestemt integral =",indefinite)print("s(t) etter s(0)=0 =",s)print("s(0) =",simplify(s.subs(t,0)))print("s'(t)-v(t) =",simplify(diff(s,t)-v))
Vanlig feil: Å glemme at integralet av \(e^{-t/4}\) gir faktoren \(-4\), eller å utelate startbetingelsen \(s(0)=0\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter integrasjon av hele fartsuttrykket, integrasjonskonstant og bruk av startsituasjonen.
Del 2 · Oppgave 5cNumerisk likning · trefftid og fart
Oppgave 5c
Oppgave:
Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Ballen treffer bakken når den har falt 30 meter. Vi løser derfor \(s(t)=30\) numerisk og setter trefftidspunktet inn i fartsfunksjonen.
Steg 1 — Sett strekningen lik høyden
\[40t+160e^{-t/4}-160=30.\]
Steg 2 — Samle konstantene
\[40t+160e^{-t/4}=190.\]
Steg 3 — Vurder løsningsmetoden
Likningen inneholder både \(t\) og \(e^{-t/4}\), så den kan ikke isoleres med vanlige elementære regneoperasjoner. Vi bruker numerisk løsning.
Steg 4 — Løs digitalt
\[t\approx2.7271522386.\]
Steg 5 — Avrund trefftidspunktet
Ballen treffer bakken etter omtrent \(2.73\) sekunder.
Steg 6 — Sett tiden inn i v(t)
\[v(2.72715)=40\left(1-e^{-2.72715/4}\right).\]
Steg 7 — Beregn farten
\[v\approx19.7715.\]
Steg 8 — Rimelighetskontroll
Farten er positiv og mindre enn terminalfarten 40, slik den må være etter bare 2.73 sekunder.
Strekningen når 30 meter ved t ≈ 2.727 s; samme tidspunkt brukes for å lese farten.
GeoGebra / CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
s(t) := 40t + 160 exp(-t/4) - 160
→Strekningsfunksjonen er definert.
2
Root(s(t)-30, 2, 3)
→\(t\approx2.72715\)
3
40(1-exp(-2.7271522386/4))
→\(\approx19.7715\)
Tolkning: Roten ligger mellom 2 og 3 sekunder. Farten er beregnet ved samme tidspunkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3Kjørt kontroll
fromsympyimportsymbols,exp,nsolve,Nt=symbols('t',real=True)s=40*t+160*exp(-t/4)-160v=40*(1-exp(-t/4))hit_time=nsolve(s-30,2.7)hit_speed=v.subs(t,hit_time)print("Likning som løses: s(t) - 30 =",s-30)print("Trefftid t =",N(hit_time,15))print("Kontroll s(t) =",N(s.subs(t,hit_time),15))print("Fart ved bakken =",N(hit_speed,15))print("Under terminalfarten 40?",bool(hit_speed<40))
Likning som løses: s(t) - 30 = 40*t - 190 + 160*exp(-t/4)
Trefftid t = 2.72715223861484
Kontroll s(t) = 30.0000000000000
Fart ved bakken = 19.7715223861484
Under terminalfarten 40? True
Fasit: Ballen treffer bakken etter \(t\approx2.73\) s, med fart \(v\approx19.77\) m/s nedover.
Vanlig feil: Å sette \(v(t)=30\). Tallet 30 er fallstrekningen i meter, så likningen som skal løses er \(s(t)=30\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt treffbetingelse, en dokumentert numerisk løsning og innsetting i fartsfunksjonen.
Del 2 · Oppgave 5dDifferensiallikning · ukjent startfart
Oppgave 5d
Oppgave:
I stedet for å slippe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten \(v_0\). Hva må \(v_0\) være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi løser den samme differensiallikningen med generell startverdi \(v(0)=v_0\), integrerer til en strekning og bruker kravet \(s(2)=30\).
Steg 1 — Skriv generell fartsfunksjon
Den generelle løsningen er \(v(t)=40+Ce^{-t/4}\). Startbetingelsen \(v(0)=v_0\) gir \(C=v_0-40\):
