Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt. Faktoren \(2x\) deriveres direkte, mens \(\cos(3x)\) krever kjerneregelen.

Steg 1 — Identifiser produktet

Steg 2 — Deriver den første faktoren

Steg 3 — Deriver den andre faktoren

Steg 4 — Sett inn i produktregelen

Steg 5 — Forenkle

from sympy import symbols, cos, sin, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*x*cos(3*x)
f_prime = simplify(diff(f, x))
expected = 2*cos(3*x) - 6*x*sin(3*x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Kontroll, differanse =", simplify(f_prime - expected))

f(x) = 2*x*cos(3*x)
f'(x) = -6*x*sin(3*x) + 2*cos(3*x)
Kontroll, differanse = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2\cos(3x)-6x\sin(3x)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt funksjon med tre lag: konstant faktor, andre potens og eksponentialfunksjon.

Steg 1 — Skill ut den ytre konstanten

Steg 2 — Velg indre funksjon

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Steg 4 — Deriver den indre funksjonen

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

Steg 6 — Samle konstantene

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 3*(exp(4*x) + 1)**2
f_prime = factor(diff(f, x))
expected = 24*exp(4*x)*(exp(4*x) + 1)

print("f(x) =", f)
print("Faktorisert derivert =", f_prime)
print("Kontroll, differanse =", simplify(f_prime - expected))

f(x) = 3*(exp(4*x) + 1)**2
Faktorisert derivert = 24*(exp(4*x) + 1)*exp(4*x)
Kontroll, differanse = 0

Fasit: \(f\prime(x)=24e^{4x}\bigl(e^{4x}+1\bigr)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre fortegnet til funksjonsverdien \(f(1)\). En positiv verdi betyr over aksen, mens en negativ verdi betyr under.

Steg 1 — Sett inn \(x=1\)

Steg 2 — Regn potensene

Steg 3 — Samle heltallsleddene

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

Steg 5 — Tolk fortegnet

from sympy import symbols, Rational

x = symbols('x', real=True)
f = Rational(2, 3)*x**3 - 4*x**2 + x + 2
value = f.subs(x, 1)

print("f(x) =", f)
print("f(1) =", value)
print("Fortegn =", "negativ" if value < 0 else "ikke-negativ")

f(x) = 2*x**3/3 - 4*x**2 + x + 2
f(1) = -1/3
Fortegn = negativ

Fasit: Grafen ligger under \(x\)-aksen når \(x=1\), fordi \(f(1)=-\dfrac{1}{3}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fortegnet til \(f\prime(1)\). Negativ derivert betyr at grafen synker.

Steg 1 — Deriver leddvis

Steg 2 — Sett inn \(x=1\)

Steg 3 — Regn ut

Steg 4 — Tolk fortegnet

Steg 5 — Konkluder

from sympy import symbols, Rational, diff

x = symbols('x', real=True)
f = Rational(2, 3)*x**3 - 4*x**2 + x + 2
f_prime = diff(f, x)
slope = f_prime.subs(x, 1)

print("f'(x) =", f_prime)
print("f'(1) =", slope)
print("Grafen =", "synker" if slope < 0 else "stiger eller er horisontal")

f'(x) = 2*x**2 - 8*x + 1
f'(1) = -5
Grafen = synker

Fasit: Grafen synker når \(x=1\), fordi \(f\prime(1)=-5\).

Hva spør oppgaven om? Den momentane veksthastigheten er \(f\prime(x)\). For å avgjøre om denne øker eller minker, undersøker vi den andrederiverte \(f\prime\prime(1)\).

Steg 1 — Start med første derivert

Steg 2 — Deriver én gang til

Steg 3 — Sett inn \(x=1\)

Steg 4 — Tolk fortegnet

Steg 5 — Konkluder

from sympy import symbols, Rational, diff

x = symbols('x', real=True)
f = Rational(2, 3)*x**3 - 4*x**2 + x + 2
f_second = diff(f, x, 2)
value = f_second.subs(x, 1)

print("f''(x) =", f_second)
print("f''(1) =", value)
print("Veksthastigheten =", "minker" if value < 0 else "øker eller er konstant")

f''(x) = 4*(x - 2)
f''(1) = -4
Veksthastigheten = minker

Fasit: Den momentane veksthastigheten minker når \(x=1\), fordi \(f\prime\prime(1)=-4\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen en geometrisk rekke, kontrollere konvergenskravet og bruke sumformelen for en uendelig geometrisk rekke.

Steg 1 — Finn første ledd

Steg 2 — Finn kvotienten

Steg 3 — Kontroller konvergens

Steg 4 — Bruk sumformelen

Steg 5 — Sett inn

Steg 6 — Regn ut

from sympy import symbols, Sum, Rational, oo

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a1 = Rational(9, 1)
k = Rational(1, 10)
series_sum = Sum(a1*k**(n - 1), (n, 1, oo)).doit()

print("a1 =", a1)
print("k =", k)
print("|k| < 1 =", abs(k) < 1)
print("Sum =", series_sum)

a1 = 9
k = 1/10
|k| < 1 = True
Sum = 10

Fasit: Summen er \(10\).

Hva spør oppgaven om? Nevneren kan faktoriseres som \((x-1)(x+1)\). Derfor er delbrøkoppspalting en naturlig metode.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

Steg 2 — Sett opp delbrøkene

Steg 3 — Multipliser med fellesnevneren

Steg 4 — Finn konstantene

Steg 5 — Skriv om integranden

Steg 6 — Integrer leddvis

Steg 7 — Samle logaritmene

from sympy import symbols, integrate, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
integrand = 4/(x**2 - 1)
antiderivative = integrate(integrand, x)
check = simplify(diff(antiderivative, x) - integrand)

print("Integrand =", integrand)
print("Stamfunksjon =", antiderivative)
print("Derivasjonskontroll =", check)

Integrand = 4/(x**2 - 1)
Stamfunksjon = 2*log(x - 1) - 2*log(x + 1)
Derivasjonskontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle \int \frac{4}{x^2-1}\,dx=2\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\), for \(x\neq\pm1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punktet på grafen og tangentens stigningstall, og deretter bruke ettpunktsformen for en rett linje.

Steg 1 — Skriv funksjonen som potens

Steg 2 — Finn punktets \(y\)-koordinat

Steg 3 — Deriver

Steg 4 — Finn stigningstallet

Steg 5 — Bruk ettpunktsformen

Steg 6 — Forenkle

from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify

x = symbols('x', positive=True)
f = 24/sqrt(x)
x0 = 4
y0 = simplify(f.subs(x, x0))
slope = simplify(diff(f, x).subs(x, x0))
tangent = simplify(y0 + slope*(x - x0))

print("Punkt =", (x0, y0))
print("Stigningstall =", slope)
print("Tangent y =", tangent)

Punkt = (4, 12)
Stigningstall = -3/2
Tangent y = 18 - 3*x/2

Fasit: Tangenten er \(y=-\dfrac{3}{2}x+18\).

Hva spør oppgaven om? Området ligger mellom funksjonsgrafen og tangenten fra \(x=2\) til tangentpunktet \(x=4\). Vi må først avgjøre hvilken graf som ligger øverst.

Steg 1 — Skriv de to funksjonene

Steg 2 — Bestem integrasjonsgrensene

Steg 3 — Finn hvilken graf som ligger øverst

Steg 4 — Sett opp arealintegralet

Steg 5 — Finn en stamfunksjon

Steg 6 — Sett inn øvre grense

Steg 7 — Sett inn nedre grense

Steg 8 — Trekk fra

from sympy import symbols, sqrt, integrate, simplify, N

x = symbols('x', positive=True)
f = 24/sqrt(x)
tangent = -3*x/2 + 18
area_exact = simplify(integrate(f - tangent, (x, 2, 4)))
area_decimal = N(area_exact, 12)

print("Eksakt areal =", area_exact)
print("Desimaltall =", area_decimal)
print("Positivt areal =", area_exact > 0)

Eksakt areal = 69 - 48*sqrt(2)
Desimaltall = 1.11774900609
Positivt areal = True

Fasit: Arealet er \(69-48\sqrt2\approx1{,}118\) arealenheter.

Hva spør oppgaven om? Vinkelen \(BAC\) har toppunkt i \(A\). Derfor skal vi finne vinkelen mellom vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\).

Steg 1 — Finn vektorene

Steg 2 — Regn skalarproduktet

Steg 3 — Finn lengden av \(\overrightarrow{AB}\)

Steg 4 — Finn lengden av \(\overrightarrow{AC}\)

Steg 5 — Bruk vinkelformelen

Steg 6 — Finn vinkelen

from sympy import Matrix, sqrt, acos, pi, simplify

A = Matrix([1, 1, 1])
B = Matrix([3, 3, 2])
C = Matrix([2, 1, 2])
AB = B - A
AC = C - A
cos_v = simplify(AB.dot(AC)/(AB.norm()*AC.norm()))
angle_deg = simplify(acos(cos_v)*180/pi)

print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("cos(v) =", cos_v)
print("v i grader =", angle_deg)

AB = Matrix([[2, 2, 1]])
AC = Matrix([[1, 0, 1]])
cos(v) = sqrt(2)/2
v i grader = 45

Fasit: \(\angle BAC=45^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Likningen er separabel. Vi flytter alle uttrykk med \(y\) til én side, integrerer og bruker initialbetingelsen til å bestemme konstanten.

Steg 1 — Isoler den deriverte

Steg 2 — Separer variablene

Steg 3 — Skriv på differensialform

Steg 4 — Integrer begge sider

Steg 5 — Eksponentialiser

Steg 6 — Bruk initialbetingelsen

Steg 7 — Skriv løsningen

Steg 8 — Kontroller

from sympy import symbols, Function, Eq, cos, sin, exp, dsolve, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x) + cos(x)*y(x), 0)
solution = dsolve(ode, ics={y(0): 4})
residual = simplify(diff(4*exp(-sin(x)), x) + cos(x)*4*exp(-sin(x)))

print("Differensiallikning =", ode)
print("Løsning =", solution)
print("Residual =", residual)

Differensiallikning = Eq(y(x)*cos(x) + Derivative(y(x), x), 0)
Løsning = Eq(y(x), 4*exp(-sin(x)))
Residual = 0

Fasit: \(y(x)=4e^{-\sin x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker den rekursive definisjonen gjentatte ganger. For å finne \(a_{n+1}\) setter vi inn riktig verdi av \(n\) og det forrige leddet.

Steg 1 — Første ledd

Steg 2 — Andre ledd

Steg 3 — Tredje ledd

Steg 4 — Fjerde ledd

Steg 5 — Femte ledd

Steg 6 — Skriv rekken samlet

a = 2
terms = [a]

for n in range(1, 5):
    a = a + n + 2
    terms.append(a)
    print(f"a_{n + 1} = {a}")

print("De fem første leddene =", terms)

a_2 = 5
a_3 = 9
a_4 = 14
a_5 = 20
De fem første leddene = [2, 5, 9, 14, 20]

Fasit: De fem første leddene er \(2,5,9,14,20\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjennomføre et fullstendig induksjonsbevis med grunntrinn, induksjonshypotese og induksjonssteg.

Steg 1 — Formuler påstanden

Steg 2 — Grunntrinn \(n=1\)

Steg 3 — Induksjonshypotese

Steg 4 — Start induksjonssteget

Steg 5 — Bruk induksjonshypotesen

Steg 6 — Skriv med felles nevner

Steg 7 — Faktoriser

Steg 8 — Sammenlign med formelen

Steg 9 — Konklusjon

from sympy import symbols, simplify, factor

k = symbols('k', integer=True, positive=True)
induction_hypothesis = k*(k + 3)/2
next_from_recursion = induction_hypothesis + k + 2
next_formula = (k + 1)*(k + 4)/2

print("a_k antatt =", induction_hypothesis)
print("a_(k+1) fra rekursjonen =", factor(next_from_recursion))
print("Formel for k+1 =", next_formula)
print("Differanse =", simplify(next_from_recursion - next_formula))

a_k antatt = k*(k + 3)/2
a_(k+1) fra rekursjonen = (k + 1)*(k + 4)/2
Formel for k+1 = (k + 1)*(k + 4)/2
Differanse = 0

Fasit: \(a_n=\dfrac{n(n+3)}{2}\) for alle \(n\in\mathbb N\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne funksjonen på det oppgitte intervallet og løse likningen \(3\sin^3x=0\).

Steg 1 — Løs nullpunktslikningen

Steg 2 — Bruk generell løsning

Steg 3 — Avgrens til intervallet

Steg 4 — Finn sentrale grafpunkter

Steg 5 — Tolk formen

Steg 6 — Tegn grafen

from sympy import symbols, sin, pi, solveset, Interval

x = symbols('x', real=True)
f = 3*sin(x)**3
interval = Interval(-pi/2, 3*pi/2)
zeros = solveset(f, x, domain=interval)
key_points = [(-pi/2, f.subs(x, -pi/2)),
              (0, f.subs(x, 0)),
              (pi/2, f.subs(x, pi/2)),
              (pi, f.subs(x, pi)),
              (3*pi/2, f.subs(x, 3*pi/2))]

print("Nullpunkter x =", zeros)
print("Nøkkelpunkter =", key_points)

Nullpunkter x = {0, pi}
Nøkkelpunkter = [(-pi/2, -3), (0, 0), (pi/2, 3), (pi, 0), (3*pi/2, -3)]

Fasit: Nullpunktene er \((0,0)\) og \((\pi,0)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere, finne alle steder der den deriverte er null, analysere fortegnet og klassifisere punktene.

Steg 1 — Deriver med kjerneregel

Steg 2 — Finn stasjonære punkter

Steg 3 — Analyser fortegnet

Steg 4 — Klassifiser \(x=\pi/2\)

Steg 5 — Klassifiser \(x=0\)

Steg 6 — Klassifiser \(x=\pi\)

Steg 7 — Vurder endepunktene

from sympy import symbols, sin, cos, diff, pi, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 3*sin(x)**3
f_prime = simplify(diff(f, x))
critical = [-pi/2, 0, pi/2, pi, 3*pi/2]
values = [(point, simplify(f.subs(x, point))) for point in critical]

print("f'(x) =", f_prime)
print("Stasjonære/endepunkter med verdier =", values)
print("Fortegn bestemmes av cos(x), siden sin(x)^2 >= 0")

f'(x) = 9*sin(x)**2*cos(x)
Stasjonære/endepunkter med verdier = [(-pi/2, -3), (0, 0), (pi/2, 3), (pi, 0), (3*pi/2, -3)]
Fortegn bestemmes av cos(x), siden sin(x)^2 >= 0

Fasit: Toppunkt: \(\left(\dfrac\pi2,3\right)\). Terrassepunkter: \((0,0)\) og \((\pi,0)\). Absolutte bunnpunkter på intervallet: \(\left(-\dfrac\pi2,-3\right)\) og \(\left(\dfrac{3\pi}{2},-3\right)\).

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer den oppgitte stamfunksjonsformen og sammenligner den med \(f(x)=3\sin^3x\).

Steg 1 — Deriver stamfunksjonsformen

Steg 2 — Faktoriser

Steg 3 — Skriv \(f\) med \(\cos^2x\)

Steg 4 — Sammenlign koeffisienten til \(\sin x\cos^2x\)

Steg 5 — Sammenlign koeffisienten til \(\sin x\)

Steg 6 — Skriv stamfunksjonen

Steg 7 — Kontroller ved derivasjon

from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
F = cos(x)**3 - 3*cos(x)
f = 3*sin(x)**3
residual = simplify(diff(F, x) - f)

print("F(x) =", F)
print("F'(x) =", simplify(diff(F, x)))
print("F'(x) - f(x) =", residual)

F(x) = cos(x)**3 - 3*cos(x)
F'(x) = 3*sin(x)**3
F'(x) - f(x) = 0

Fasit: \(a=1\) og \(b=-3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne intervallet der funksjonen er positiv, og bruke stamfunksjonen fra c) til å beregne arealet.

Steg 1 — Finn det positive området

Steg 2 — Sett opp integralet

Steg 3 — Bruk stamfunksjonen fra c)

Steg 4 — Evaluer ved \(x=\pi\)

Steg 5 — Evaluer ved \(x=0\)

Steg 6 — Trekk fra

Steg 7 — Tolk

from sympy import symbols, sin, pi, integrate

x = symbols('x', real=True)
f = 3*sin(x)**3
area = integrate(f, (x, 0, pi))

print("Integrasjonsintervall = [0, pi]")
print("Areal =", area)

Integrasjonsintervall = [0, pi]
Areal = 4

Fasit: Arealet er \(4\) arealenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal plassere punktene på koordinataksene og bruke avstandsformelen i rommet.

Steg 1 — Plasser punktene

Steg 2 — Finn vektoren fra \(A\) til \(B\)

Steg 3 — Bruk lengdeformelen

Steg 4 — Regn ut

Steg 5 — Tolk

from sympy import Matrix

A = Matrix([3, 0, 0])
B = Matrix([0, 4, 0])
AB = B - A
distance = AB.norm()

print("AB-vektor =", AB.T)
print("Avstand AB =", distance)

AB-vektor = Matrix([[-3, 4, 0]])
Avstand AB = 5

Fasit: \(AB=5\) lengdeenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi finner først vektorproduktet, som er normal på trekanten \(ABC\), og bruker deretter trippelproduktet for tetraedervolum.

Steg 1 — Finn vektorene

Steg 2 — Sett opp vektorproduktet

Steg 3 — Regn komponentene

Steg 4 — Velg tredje vektor

Steg 5 — Beregn trippelproduktet

Steg 6 — Bruk tetraederformelen

Steg 7 — Tolk

from sympy import Matrix, Abs

O = Matrix([0, 0, 0])
A = Matrix([3, 0, 0])
B = Matrix([0, 4, 0])
C = Matrix([0, 0, 5])
AB = B - A
AC = C - A
AO = O - A
cross = AB.cross(AC)
volume = Abs(cross.dot(AO))/6

print("AB x AC =", cross.T)
print("Trippelprodukt =", cross.dot(AO))
print("Volum =", volume)

AB x AC = Matrix([[20, 15, 12]])
Trippelprodukt = -60
Volum = 10

Fasit: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(20,15,12)\), og \(V=10\) volumenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi beregner hvert trekantareal med halvparten av lengden til et passende vektorprodukt og sammenligner kvadratene.

Steg 1 — Arealet av \(ABC\)

Steg 2 — Arealet av \(AOC\)

Steg 3 — Arealet av \(BOC\)

Steg 4 — Arealet av \(OAB\)

Steg 5 — Kvadrer venstresiden

Steg 6 — Kvadrer og summer høyresiden

Steg 7 — Konkluder

from sympy import Matrix, simplify

O = Matrix([0, 0, 0])
A = Matrix([3, 0, 0])
B = Matrix([0, 4, 0])
C = Matrix([0, 0, 5])

def triangle_area(P, Q, R):
    return (Q - P).cross(R - P).norm()/2

F_ABC = triangle_area(A, B, C)
F_AOC = triangle_area(A, O, C)
F_BOC = triangle_area(B, O, C)
F_OAB = triangle_area(O, A, B)
check = simplify(F_ABC**2 - F_AOC**2 - F_BOC**2 - F_OAB**2)

print("F_ABC =", F_ABC)
print("F_AOC =", F_AOC)
print("F_BOC =", F_BOC)
print("F_OAB =", F_OAB)
print("Kontroll =", check)

F_ABC = sqrt(769)/2
F_AOC = 15/2
F_BOC = 10
F_OAB = 6
Kontroll = 0

Fasit: \(F_{ABC}=\dfrac{\sqrt{769}}{2}\), \(F_{AOC}=\dfrac{15}{2}\), \(F_{BOC}=10\), \(F_{OAB}=6\), og setningen stemmer.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker normalvektoren fra vektorproduktet og punkt-normal-formen for et plan.

Steg 1 — Finn en normalvektor

Steg 2 — Bruk punkt-normal-formen

Steg 3 — Utvid

Steg 4 — Samle konstanten

Steg 5 — Kontroller punkt \(B\)

Steg 6 — Kontroller punkt \(C\)

from sympy import Matrix, symbols, expand

x, y, z = symbols('x y z', real=True)
A = Matrix([3, 0, 0])
B = Matrix([0, 4, 0])
C = Matrix([0, 0, 5])
normal = (B - A).cross(C - A)
point = Matrix([x, y, z])
plane_expression = expand(normal.dot(point - A))

print("Normalvektor =", normal.T)
print("Planuttrykk =", plane_expression)
print("Planlikning: 20*x + 15*y + 12*z = 60")

Normalvektor = Matrix([[20, 15, 12]])
Planuttrykk = 20*x + 15*y + 12*z - 60
Planlikning: 20*x + 15*y + 12*z = 60

Fasit: \(\alpha:20x+15y+12z=60\), ekvivalent med \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}=1\).

Hva spør oppgaven om? Vinkelen mellom to plan er den spisse vinkelen mellom normalvektorene deres.

Steg 1 — Skriv normalvektorene

Steg 2 — Regn skalarproduktet

Steg 3 — Finn lengdene

Steg 4 — Bruk absoluttverdi

Steg 5 — Finn vinkelen numerisk

Steg 6 — Tolk

from sympy import Matrix, acos, pi, N

n_alpha = Matrix([20, 15, 12])
n_beta = Matrix([1, 1, -1])
cos_angle = abs(n_alpha.dot(n_beta))/(n_alpha.norm()*n_beta.norm())
angle_deg = acos(cos_angle)*180/pi

print("cos(v) =", cos_angle)
print("v i grader =", N(angle_deg, 12))

cos(v) = 23*sqrt(2307)/2307
v i grader = 61.3893521858

Fasit: Vinkelen mellom planene er omtrent \(61{,}39^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne planlikningen når skjæringen med z-aksen er parameteren \(t\), og omskrive til skjæringsform.

Steg 1 — Finn vektorene

Steg 2 — Finn normalvektoren

Steg 3 — Bruk punktet \(A\)

Steg 4 — Utvid

Steg 5 — Divider med \(12t\)

Steg 6 — Tolk skjæringsformen

from sympy import Matrix, symbols, factor, simplify

x, y, z, t = symbols('x y z t', real=True, nonzero=True)
A = Matrix([3, 0, 0])
B = Matrix([0, 4, 0])
C = Matrix([0, 0, t])
P = Matrix([x, y, z])
normal = (B - A).cross(C - A)
plane = factor(normal.dot(P - A))
intercept_form = simplify(plane/(12*t))

print("Normalvektor =", normal.T)
print("Planuttrykk =", plane)
print("Normalisert uttrykk =", intercept_form)

Normalvektor = Matrix([[4*t, 3*t, 12]])
Planuttrykk = 4*t*x + 3*t*y - 12*t + 12*z
Normalisert uttrykk = x/3 + y/4 - 1 + z/t

Fasit: \(\alpha:\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{t}=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi tar grensen i planlikningen fra f). Når \(t\) blir stor, går koeffisienten foran \(z\) mot null.

Steg 1 — Start med planfamilien

Steg 2 — Ta grensen til z-leddet

Steg 3 — Finn grenseplanet

Steg 4 — Skriv uten brøker

Steg 5 — Finn normalvektoren

Steg 6 — Tolk planet

from sympy import symbols, limit, oo

x, y, z, t = symbols('x y z t', real=True)
left_side = x/3 + y/4 + z/t
limit_left = limit(left_side, t, oo)

print("Venstreside =", left_side)
print("Grense når t -> oo =", limit_left)
print("Grenseplan: 4*x + 3*y = 12")

Venstreside = x/3 + y/4 + z/t
Grense når t -> oo = x/3 + y/4
Grenseplan: 4*x + 3*y = 12

Fasit: Grenseplanet er \(4x+3y=12\). Det er parallelt med \(z\)-aksen.

Hva spør oppgaven om? Vi velger positiv retning nedover, summerer kreftene med fortegn og bruker at akselerasjonen er \(v\prime(t)\).

Steg 1 — Velg positiv retning

Steg 2 — Skriv kraftsummen

Steg 3 — Skriv akselerasjonen

Steg 4 — Bruk Newtons 2. lov

Steg 5 — Flytt luftmotstandsleddet

Steg 6 — Divider med massen

Fasit: \(v\prime(t)+\dfrac{k_1}{m}v(t)=g\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter parameterne inn i differensiallikningen, deriverer den foreslåtte funksjonen og kontrollerer både likningen og initialbetingelsen.

Steg 1 — Sett inn parameterne

Steg 2 — Deriver den foreslåtte løsningen

Steg 3 — Regn ut \(0{,}2v(t)\)

Steg 4 — Sett inn i venstresiden

Steg 5 — Sammenlign med høyresiden

Steg 6 — Kontroller initialbetingelsen

Steg 7 — Konkluder

from sympy import symbols, exp, diff, simplify

t = symbols('t', real=True)
v = 50 - 50*exp(-t/5)
residual = simplify(diff(v, t) + v/5 - 10)

print("v(t) =", v)
print("v'(t) =", diff(v, t))
print("Residual =", residual)
print("v(0) =", v.subs(t, 0))

v(t) = 50 - 50*exp(-t/5)
v'(t) = 10*exp(-t/5)
Residual = 0
v(0) = 0

Fasit: \(v(t)=50-50e^{-0{,}2t}\) er en løsning med \(v(0)=0\).

Hva spør oppgaven om? Farten finnes ved å sette \(t=4\) inn i \(v(t)\). Akselerasjonen er den deriverte \(v\prime(t)\).

Steg 1 — Skriv fartsfunksjonen

Steg 2 — Sett inn \(t=4\)

Steg 3 — Regn farten numerisk

Steg 4 — Deriver farten

Steg 5 — Sett inn \(t=4\)

Steg 6 — Regn akselerasjonen numerisk

Steg 7 — Tolk

from sympy import symbols, exp, diff, N

t = symbols('t', real=True)
v = 50 - 50*exp(-t/5)
a = diff(v, t)

print("v(4) eksakt =", v.subs(t, 4))
print("v(4) numerisk =", N(v.subs(t, 4), 12))
print("a(4) eksakt =", a.subs(t, 4))
print("a(4) numerisk =", N(a.subs(t, 4), 12))

v(4) eksakt = 50 - 50*exp(-4/5)
v(4) numerisk = 27.5335517941
a(4) eksakt = 10*exp(-4/5)
a(4) numerisk = 4.49328964117

Fasit: Farten er omtrent \(27{,}53\ \text{m/s}\), og akselerasjonen er omtrent \(4{,}49\ \text{m/s}^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker samme positive retning nedover. Massen er fortsatt 80 kg, men luftmotstanden er nå proporsjonal med farten i andre potens.

Steg 1 — Skriv kraftsummen

Steg 2 — Bruk Newtons 2. lov

Steg 3 — Sett inn tall

Steg 4 — Forenkle høyresiden

Steg 5 — Divider med 80

Steg 6 — Faktoriser

Steg 7 — Tolk terminalfarten

Fasit: \(\displaystyle v\prime(t)=10-\frac{v(t)^2}{10}\).

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer uttrykket \(100-v^2\) og viser at summen av de to brøkene er den faktoren som trengs for å separere variablene.

Steg 1 — Start med likningen fra d)

Steg 2 — Faktoriser

Steg 3 — Summer brøkene

Steg 4 — Forenkle telleren

Steg 5 — Multipliser med \(dv/dt\)

Steg 6 — Sett inn differensiallikningen

Steg 7 — Konkluder

from sympy import symbols, simplify

v = symbols('v', real=True)
partial_sum = 1/(10 - v) + 1/(10 + v)
dv_dt = (100 - v**2)/10
product = simplify(partial_sum*dv_dt)

print("Brøksum =", simplify(partial_sum))
print("dv/dt =", dv_dt)
print("Produkt =", product)

Brøksum = -20/(v**2 - 100)
dv/dt = 10 - v**2/10
Produkt = 2

Fasit: Likningen kan skrives som \(\left(\dfrac{1}{10-v}+\dfrac{1}{10+v}\right)\dfrac{dv}{dt}=2\).

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer den separerte likningen. Siden farten ved \(t=5\) er større enn 10 m/s, bruker vi initialverdien fra den første fasen og velger den løsningen som nærmer seg terminalfarten ovenfra.

Steg 1 — Skriv likningen på separert form

Steg 2 — Integrer venstresiden

Steg 3 — Samle logaritmene

Steg 4 — Bruk farten ved åpningstidspunktet

Steg 5 — Tilpass formen for \(v>10\)

Steg 6 — Løs algebraisk for \(v\)

Steg 7 — Skriv en numerisk praktisk form

Steg 8 — Kontroller initialverdien og grensen

from sympy import symbols, exp, diff, simplify, limit, oo, N

t = symbols('t', real=True)
v5 = 50*(1 - exp(-1))
q = simplify((v5 - 10)/(v5 + 10))
v = 10*(1 + q*exp(-2*(t - 5)))/(1 - q*exp(-2*(t - 5)))
residual = simplify(diff(v, t) - (10 - v**2/10))

print("v(5) fra første fase =", N(v5, 12))
print("q =", N(q, 12))
print("v(5) fra ny løsning =", N(v.subs(t, 5), 12))
print("Residual =", residual)
print("Grense når t -> oo =", simplify(limit(v, t, oo)))

v(5) fra første fase = 31.6060279414
q = 0.519300423771
v(5) fra ny løsning = 31.6060279414
Residual = 0
Grense når t -> oo = 10

Fasit: For \(t\geq5\): \(\displaystyle v(t)=10\frac{1+q e^{-2(t-5)}}{1-q e^{-2(t-5)}}\), der \(q=\dfrac{50(1-e^{-1})-10}{50(1-e^{-1})+10}\approx0{,}5193004\).

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer funksjonen og setter både \(y\) og \(y\prime\) inn i differensiallikningen. Intervallet sikrer at roten er reell og nevneren ikke er null.

Steg 1 — Skriv løsningen

Steg 2 — Deriver med kjerneregel

Steg 3 — Regn det andre leddet

Steg 4 — Sett inn i venstresiden

Steg 5 — Kontroller domenet

Steg 6 — Konkluder

from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify

x, C = symbols('x C', real=True)
y = C*sqrt(1 - x**2)
residual = simplify(diff(y, x) - x/(x**2 - 1)*y)

print("y(x) =", y)
print("y'(x) =", diff(y, x))
print("Residual =", residual)

y(x) = C*sqrt(1 - x**2)
y'(x) = -C*x/sqrt(1 - x**2)
Residual = 0

Fasit: \(y=C\sqrt{1-x^2}\) oppfyller differensiallikningen for \(-1

Hva spør oppgaven om? Vi setter inn de to konstantene og kjenner igjen øvre og nedre halvdel av enhetssirkelen.

Steg 1 — Sett \(C=1\)

Steg 2 — Kvadrer likningen

Steg 3 — Sett \(C=-1\)

Steg 4 — Kvadrer og bruk fortegnet

Steg 5 — Marker endepunktene

Steg 6 — Tegn

Fasit: For \(C=1\) får vi øvre halvsirkel, og for \(C=-1\) får vi nedre halvsirkel.

Hva spør oppgaven om? Vi undersøker hvordan parameteren \(C\) skalerer og speiler løsningskurven.

Steg 1 — Skriv familien

Steg 2 — Kvadrer for \(C\neq0\)

Steg 3 — Tolk absoluttverdien

Steg 4 — Tolk fortegnet

Steg 5 — Nulløsningen

Steg 6 — Felles egenskaper

Fasit: Kurvene er øvre eller nedre halvellipser. \(|C|\) bestemmer høyden, fortegnet bestemmer hvilken side av \(x\)-aksen kurven ligger på, og \(C=0\) gir \(y=0\).

Hva spør oppgaven om? Vi verifiserer løsningen på intervallene der \(x^2-1>0\), altså utenfor de to singulære punktene.

Steg 1 — Skriv kandidaten

Steg 2 — Deriver

Steg 3 — Regn koeffisientleddet

Steg 4 — Sett inn

Steg 5 — Kontroller domenet

Steg 6 — Konkluder

from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify

x, C = symbols('x C', real=True)
y = C*sqrt(x**2 - 1)
residual = simplify(diff(y, x) - x/(x**2 - 1)*y)

print("y(x) =", y)
print("y'(x) =", diff(y, x))
print("Residual =", residual)

y(x) = C*sqrt(x**2 - 1)
y'(x) = C*x/sqrt(x**2 - 1)
Residual = 0

Fasit: \(y=C\sqrt{x^2-1}\) er en løsning for \(x<-1\) og for \(x>1\).

Hva spør oppgaven om? Vi omskriver kurvefamilien for å kjenne igjen hyperbler og undersøker effekten av parameteren.

Steg 1 — Skriv familien

Steg 2 — Kvadrer for \(C\neq0\)

Steg 3 — Skriv standardform

Steg 4 — Tolk formen

Steg 5 — Tolk fortegnet til \(C\)

Steg 6 — Tolk størrelsen

Steg 7 — Nulløsningen

Fasit: Kurvene er hyperbelgrener på \(( -\infty,-1)\) og \((1,\infty)\). Fortegnet til \(C\) speiler grafen, og \(|C|\) bestemmer vertikal skalering.

Hva spør oppgaven om? Vi løser den nye separable differensiallikningen på intervallet som inneholder startpunktet 0, altså \((-1,1)\), og bruker initialverdien.

Steg 1 — Isoler \(y\prime\)

Steg 2 — Separer variablene

Steg 3 — Delbrøkoppspalt

Steg 4 — Integrer

Steg 5 — Eksponentialiser

Steg 6 — Bruk initialverdien

Steg 7 — Skriv løsningen

Steg 8 — Angi maksimalintervallet

Steg 9 — Kontroller

from sympy import symbols, Function, Eq, diff, dsolve, simplify

x, C = symbols('x C', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x) - 2/(x**2 - 1)*y(x), 0)
solution = C*(1 - x)/(1 + x)
residual = simplify(diff(solution, x) - 2/(x**2 - 1)*solution)

print("Differensiallikning =", ode)
print("Løsning =", solution)
print("y(0) =", simplify(solution.subs(x, 0)))
print("Residual =", residual)

Differensiallikning = Eq(Derivative(y(x), x) - 2*y(x)/(x**2 - 1), 0)
Løsning = C*(1 - x)/(x + 1)
y(0) = C
Residual = 0

Fasit: \(\displaystyle y(x)=C\frac{1-x}{1+x}\) for \(-1

Hva spør oppgaven om? Vi analyserer hvordan konstanten skalerer den grunnleggende løsningen \((1-x)/(1+x)\) på intervallet \((-1,1)\).

Steg 1 — Skriv løsningsfamilien

Steg 2 — Finn verdien ved startpunktet

Steg 3 — Undersøk venstre grense

Steg 4 — Undersøk høyre grense

Steg 5 — Tolk fortegnet

Steg 6 — Tolk skaleringen

Steg 7 — Tegn representative kurver

Fasit: Kurvene er vertikale skaleringer av \((1-x)/(1+x)\), går gjennom \((0,C)\), har vertikal asymptote ved \(x=-1\) og nærmer seg 0 når \(x\to1^-\).