R2 eksamenVår 2015

Matematikk R2 eksamen – vår 2015

ifingo
Norsk (Bokmål)

Matematikk R2 - eksempelsett vår 2015 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x^2\sin x\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(x^2\) og \(\sin x\), så produktregelen er hovedmetoden.

Steg 1 - Del funksjonen i faktorer

Sett \(u=x^2\) og \(v=\sin x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

\[u\prime=2x,\qquad v\prime=\cos x\]

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 4 - Sett inn

\[f\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x\]

Steg 5 - Faktoriser om ønskelig

\[f\prime(x)=x(2\sin x+x\cos x)\]

Steg 6 - Kontroller strukturen

Begge produktleddene må være med: ett der \(x^2\) deriveres, og ett der sinus deriveres.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(x^2 sin(x),x)
Resultat: \(2x\sin x+x^2\cos x\)

Tolkning: CAS bekrefter begge leddene fra produktregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, sin, cos, diff, simplify, factor
x = symbols('x', real=True)
f = x**2*sin(x)
derivative = diff(f, x)
expected = 2*x*sin(x) + x**2*cos(x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", derivative)
print("Faktorisert =", factor(derivative))
print("Kontroll f' - forventet =", simplify(derivative - expected))
assert simplify(derivative - expected) == 0

Utskrift
f(x) = x**2*sin(x)
f'(x) = x**2*cos(x) + 2*x*sin(x)
Faktorisert = x*(x*cos(x) + 2*sin(x))
Kontroll f' - forventet = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x\).

Vanlig feil: Å multiplisere de deriverte faktorene i stedet for å bruke produktregelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel og tydelig derivasjon av begge faktorene.
Del 1 · Oppgave 1bKjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=e^{\cos(2x)}\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kjerneregelen i flere lag: eksponentialfunksjon, cosinus og den indre funksjonen \(2x\).

Steg 1 - Identifiser lagene

Ytre funksjon er \(e^u\), der \(u=\cos(2x)\).

Steg 2 - Deriver ytre lag

\[\frac{d}{dx}e^u=e^u u\prime\]

Steg 3 - Deriver cosinuslaget

\[u\prime=-\sin(2x)\cdot 2\]

Steg 4 - Sett sammen

\[g\prime(x)=e^{\cos(2x)}\cdot(-2\sin(2x))\]

Steg 5 - Skriv ryddig

\[g\prime(x)=-2\sin(2x)e^{\cos(2x)}\]

Steg 6 - Fortegnskontroll

Minustegnet kommer fra den deriverte av cosinus, mens faktoren 2 kommer fra kjernen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(exp(cos(2x)),x)
Resultat: \(-2e^{\cos(2x)}\sin(2x)\)

Tolkning: CAS viser både minustegn og faktor 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, cos, sin, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
g = exp(cos(2*x))
derivative = diff(g, x)
expected = -2*sin(2*x)*exp(cos(2*x))
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", derivative)
print("Forventet =", expected)
print("Symbolsk differanse =", simplify(derivative - expected))
assert simplify(derivative - expected) == 0

Utskrift
g(x) = exp(cos(2*x))
g'(x) = -2*exp(cos(2*x))*sin(2*x)
Forventet = -2*exp(cos(2*x))*sin(2*x)
Symbolsk differanse = 0

Fasit: \(g\prime(x)=-2\sin(2x)e^{\cos(2x)}\).

Vanlig feil: Å glemme enten minustegnet eller faktoren 2 i den doble kjerneregelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter at alle tre funksjonslagene er håndtert korrekt.
Del 1 · Oppgave 1cKvotientregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{2x-2}\), der \(x\ne1\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en brøk ved hjelp av kvotientregelen og deretter forenkle.

Steg 1 - Definer teller og nevner

Sett \(u=x^2+1\) og \(v=2x-2\).

Steg 2 - Deriver

\[u\prime=2x,\qquad v\prime=2\]

Steg 3 - Bruk kvotientregelen

\[h\prime=\frac{u\prime v-uv\prime}{v^2}\]

Steg 4 - Sett inn

\[h\prime(x)=\frac{2x(2x-2)-2(x^2+1)}{(2x-2)^2}\]

Steg 5 - Forenkle telleren

\[4x^2-4x-2x^2-2=2x^2-4x-2\]

Steg 6 - Forenkle hele uttrykket

\[h\prime(x)=\frac{x^2-2x-1}{2(x-1)^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative((x^2+1)/(2x-2),x)
Resultat: \(\dfrac{x^2-2x-1}{2(x-1)^2}\)

Tolkning: CAS forenkler kvotientuttrykket til samme form.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, diff, simplify, factor
x = symbols('x', real=True)
h = (x**2 + 1)/(2*x - 2)
derivative = simplify(diff(h, x))
expected = (x**2 - 2*x - 1)/(2*(x - 1)**2)
print("h(x) =", h)
print("h'(x), forenklet =", derivative)
print("Faktorisert nevner =", factor(derivative))
print("Kontroll =", simplify(derivative - expected))
assert simplify(derivative - expected) == 0

Utskrift
h(x) = (x**2 + 1)/(2*x - 2)
h'(x), forenklet = (-x**2 + 2*x*(x - 1) - 1)/(2*(x - 1)**2)
Faktorisert nevner = (x**2 - 2*x - 1)/(2*(x - 1)**2)
Kontroll = 0

Fasit: \(h\prime(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{2(x-1)^2}\), \(x\ne1\).

Vanlig feil: Å bytte rekkefølgen i telleren i kvotientregelen eller glemme å kvadrere nevneren.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvotientregel, mellomregning og gyldig definisjonsområde.
Del 1 · Oppgave 2aDelvis integrasjon

Oppgave 2a

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int xe^x\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en eksponentialfunksjon gjør delvis integrasjon naturlig.

Steg 1 - Velg funksjonene

Sett \(u=x\) og \(dv=e^x\,dx\).

Steg 2 - Finn du og v

\[du=dx,\qquad v=e^x\]

Steg 3 - Bruk formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 - Sett inn

\[\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx\]

Steg 5 - Integrer resten

\[xe^x-e^x+C\]

Steg 6 - Faktoriser

\[e^x(x-1)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(x exp(x),x)
Resultat: \(e^x(x-1)\)

Tolkning: CAS utelater integrasjonskonstanten, som må legges til manuelt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = x*exp(x)
F = integrate(integrand, x)
print("Integrand =", integrand)
print("Antiderivert =", F)
print("Derivert av antiderivert =", diff(F, x))
print("Kontroll =", simplify(diff(F, x) - integrand))
assert simplify(diff(F, x) - integrand) == 0

Utskrift
Integrand = x*exp(x)
Antiderivert = (x - 1)*exp(x)
Derivert av antiderivert = (x - 1)*exp(x) + exp(x)
Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\int xe^x\,dx=e^x(x-1)+C\).

Vanlig feil: Å velge \(u=e^x\), som ikke forenkler integralet, eller å glemme minusleddet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig valg av \(u\) og \(dv\), samt konstanten \(C\).
Del 1 · Oppgave 2bSubstitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int 4xe^{x^2}\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kjernen \(x^2\) har derivert \(2x\), som allerede finnes i integranden. Derfor bruker vi substitusjon.

Steg 1 - Velg substitusjon

Sett \(u=x^2\).

Steg 2 - Finn differensialet

\[du=2x\,dx\]

Steg 3 - Tilpass faktoren

\[4x\,dx=2\,du\]

Steg 4 - Bytt variabel

\[\int4xe^{x^2}\,dx=\int2e^u\,du\]

Steg 5 - Integrer

\[2e^u+C\]

Steg 6 - Sett tilbake

\[2e^{x^2}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(4x exp(x^2),x)
Resultat: \(2e^{x^2}\)

Tolkning: CAS bekrefter substitusjonen og faktor 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = 4*x*exp(x**2)
F = integrate(integrand, x)
print("Integrand =", integrand)
print("Antiderivert =", F)
print("Derivert tilbake =", diff(F, x))
print("Kontroll =", simplify(diff(F, x) - integrand))
assert simplify(diff(F, x) - integrand) == 0

Utskrift
Integrand = 4*x*exp(x**2)
Antiderivert = 2*exp(x**2)
Derivert tilbake = 4*x*exp(x**2)
Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\int4xe^{x^2}\,dx=2e^{x^2}+C\).

Vanlig feil: Å sette \(u=x^2\) uten å justere faktoren fra \(du=2x\,dx\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt substitusjon og at \(C\) er med.
Del 1 · Oppgave 2cDelbrøkoppspalting

Oppgave 2c

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int\frac{3x}{x^2-x-2}\,dx\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren kan faktoriseres i to lineære faktorer. Vi bruker delbrøkoppspalting.

Steg 1 - Faktoriser nevneren

\[x^2-x-2=(x-2)(x+1)\]

Steg 2 - Sett opp delbrøker

\[\frac{3x}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\]

Steg 3 - Sammenlign tellere

\[3x=A(x+1)+B(x-2)\]

Steg 4 - Bestem konstantene

Med \(x=2\) får vi \(A=2\), og med \(x=-1\) får vi \(B=1\).

Steg 5 - Integrer hvert ledd

\[\int\left(\frac{2}{x-2}+\frac1{x+1}\right)dx\]

Steg 6 - Skriv svaret

\[2\ln|x-2|+\ln|x+1|+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1PartialFractions(3x/(x^2-x-2))
Resultat: \(\dfrac2{x-2}+\dfrac1{x+1}\)
2Integral(...)
Resultat: \(2\ln|x-2|+\ln|x+1|\)

Tolkning: CAS bekrefter både delbrøkene og antideriverten.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, apart, integrate, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
integrand = 3*x/(x**2 - x - 2)
partial = apart(integrand, x)
F = integrate(integrand, x)
print("Integrand =", integrand)
print("Delbrokoppspalting =", partial)
print("Antiderivert =", F)
print("Kontroll =", simplify(diff(F, x) - integrand))
assert simplify(diff(F, x) - integrand) == 0

Utskrift
Integrand = 3*x/(x**2 - x - 2)
Delbrokoppspalting = 1/(x + 1) + 2/(x - 2)
Antiderivert = 2*log(x - 2) + log(x + 1)
Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\int\frac{3x}{x^2-x-2}\,dx=2\ln|x-2|+\ln|x+1|+C\).

Vanlig feil: Å glemme absoluttverdiene i logaritmene eller å finne feil koeffisienter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering, oppsett av delbrøker og korrekt integrasjon.
Del 1 · Oppgave 3Lineær differensiallikning

Oppgave 3

Oppgave: Bestem den generelle løsningen til \(y\prime+2xy=4x\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Dette er en lineær førsteordens differensiallikning. Vi bruker integrerende faktor.

Steg 1 - Identifiser standardformen

Likningen har formen \(y\prime+p(x)y=q(x)\) med \(p(x)=2x\).

Steg 2 - Finn integrerende faktor

\[\mu(x)=e^{\int2x\,dx}=e^{x^2}\]

Steg 3 - Multipliser hele likningen

\[e^{x^2}y\prime+2xe^{x^2}y=4xe^{x^2}\]

Steg 4 - Gjenkjenn produktderivert

\[(ye^{x^2})\prime=4xe^{x^2}\]

Steg 5 - Integrer

\[ye^{x^2}=2e^{x^2}+C\]

Steg 6 - Isoler y

\[y=2+Ce^{-x^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1SolveODE(y\prime+2xy=4x)
Resultat: \(y=2+C_1e^{-x^2}\)

Tolkning: CAS gir samme generelle løsning.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, Function, Eq, dsolve, diff, exp, simplify
x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
ode = Eq(diff(y(x), x) + 2*x*y(x), 4*x)
solution = dsolve(ode)
print("Differensiallikning:", ode)
print("Generell losning:", solution)
rhs = solution.rhs
residual = simplify(diff(rhs, x) + 2*x*rhs - 4*x)
print("Restledd etter innsetting:", residual)
assert residual == 0

Utskrift
Differensiallikning: Eq(2*x*y(x) + Derivative(y(x), x), 4*x)
Generell losning: Eq(y(x), C1*exp(-x**2) + 2)
Restledd etter innsetting: 0

Fasit: \(y(x)=2+Ce^{-x^2}\).

Vanlig feil: Å multiplisere bare noen ledd med den integrerende faktoren, eller å miste konstanten etter integrasjon.
Sensorpunkt: Sensor ser etter integrerende faktor, produktderivert og korrekt isolering av \(y\).
Del 1 · Oppgave 4AFunksjonsdrøfting

Oppgave 4A

Oppgave: For \(f(x)=-xe^{-x^2}\): Avgjør om \(f(x)>0\iff x\in(-\infty,-1/\sqrt2]\) er sant.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke fortegnet til funksjonen. Eksponentialfaktoren er alltid positiv.

Steg 1 - Analyser faktorene

\(e^{-x^2}>0\) for alle reelle \(x\).

Steg 2 - Reduser fortegnsspørsmålet

\[f(x)>0\iff -x>0\]

Steg 3 - Løs ulikheten

\[-x>0\iff x<0\]

Steg 4 - Sammenlign med påstanden

Påstanden begrenser intervallet til \(x\le-1/\sqrt2\), men funksjonen er også positiv mellom \(-1/\sqrt2\) og 0.

Steg 5 - Gi moteksempel

For eksempel gir \(x=-1/2\) en positiv funksjonsverdi.

Steg 6 - Konkluder

Ekvivalensen er derfor usann.

Grafene til f og f-prime. Fortegn og nullpunkter må ikke blandes.
Grafene til f og f-prime. Fortegn og nullpunkter må ikke blandes.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(-x exp(-x^2)>0,x)
Resultat: \(x<0\)

Tolkning: CAS viser det korrekte fortegnsintervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
f = -x*exp(-x**2)
solution = solve_univariate_inequality(f > 0, x)
print("f(x) =", f)
print("Losning av f(x) > 0:", solution)
print("Moteksempel x=-1/2:", f.subs(x, -1/2).evalf())
assert float(f.subs(x, -1/2)) > 0

Utskrift
f(x) = -x*exp(-x**2)
Losning av f(x) > 0: x < 0
Moteksempel x=-1/2: 0.389400391535702

Fasit: Påstand A er usann; riktig er \(f(x)>0\iff x<0\).

Vanlig feil: Å lese nullpunktene til \(f\prime\) som om de var nullpunkter til \(f\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter fortegnsanalyse og et tydelig argument eller moteksempel.
Del 1 · Oppgave 4BAndrederivert

Oppgave 4B

Oppgave: Avgjør om \(f\prime\prime(x)=0\iff x=-\sqrt{3/2}\ \vee\ x=\sqrt{3/2}\) er sant.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere to ganger og finne alle nullpunktene til andrederiverten.

Steg 1 - Finn førstederiverten

\[f\prime(x)=(2x^2-1)e^{-x^2}\]

Steg 2 - Deriver på nytt

\[f\prime\prime(x)=4xe^{-x^2}-2x(2x^2-1)e^{-x^2}\]

Steg 3 - Faktoriser

\[f\prime\prime(x)=2x(3-2x^2)e^{-x^2}\]

Steg 4 - Bruk at eksponentialfaktoren er positiv

\[f\prime\prime(x)=0\iff 2x(3-2x^2)=0\]

Steg 5 - Finn alle røttene

\[x=0\quad\text{eller}\quad x=\pm\sqrt{3/2}\]

Steg 6 - Konkluder

Påstanden mangler roten \(x=0\), og er derfor usann.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Factor(Derivative(f,x,2))
Resultat: \(2x(3-2x^2)e^{-x^2}\)
2Solve(f\prime\prime=0)
Resultat: \(x=0,\ \pm\sqrt{3/2}\)

Tolkning: CAS viser den manglende løsningen x=0.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, diff, factor, solve, sqrt
x = symbols('x', real=True)
f = -x*exp(-x**2)
second = factor(diff(f, x, 2))
roots = solve(second, x)
print("f''(x) =", second)
print("Nullpunkter til f'' =", roots)
print("Forventet mengde =", [-sqrt(6)/2, 0, sqrt(6)/2])
assert set(roots) == {-sqrt(6)/2, 0, sqrt(6)/2}

Utskrift
f''(x) = -2*x*(2*x**2 - 3)*exp(-x**2)
Nullpunkter til f'' = [0, -sqrt(6)/2, sqrt(6)/2]
Forventet mengde = [-sqrt(6)/2, 0, sqrt(6)/2]

Fasit: Påstand B er usann; \(f\prime\prime(x)=0\) også for \(x=0\).

Vanlig feil: Å lese bare topp- og bunnpunktene til grafen for \(f\prime\) og overse punktet i origo.
Sensorpunkt: Sensor ser etter alle faktorer og alle tre løsninger.
Del 1 · Oppgave 4CImplikasjon

Oppgave 4C

Oppgave: Avgjør om \(f\prime(x)>0\Leftarrow f\prime\prime(x)<0\) er sant.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste om negativ andrederivert alltid tvinger førstederiverten til å være positiv. Ett moteksempel er nok til å avkrefte implikasjonen.

Steg 1 - Tolk premisset

\(f\prime\prime(x)<0\) betyr at \(f\prime\) er avtakende, ikke at \(f\prime\) nødvendigvis er positiv.

Steg 2 - Bruk uttrykkene

\[f\prime=(2x^2-1)e^{-x^2},\qquad f\prime\prime=2x(3-2x^2)e^{-x^2}\]

Steg 3 - Velg et testpunkt

Velg \(x=-1/2\).

Steg 4 - Kontroller andrederiverten

\[f\prime\prime(-1/2)<0\]

Steg 5 - Kontroller førstederiverten

\[f\prime(-1/2)<0\]

Steg 6 - Konkluder

Premisset er sant, men konklusjonen er falsk. Implikasjonen er usann.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Substitute(f\prime,-1/2)
Resultat: negativ
2Substitute(f\prime\prime,-1/2)
Resultat: negativ

Tolkning: CAS gir et direkte moteksempel.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, diff, Rational
x = symbols('x', real=True)
f = -x*exp(-x**2)
first = diff(f, x)
second = diff(f, x, 2)
x0 = Rational(-1, 2)
print("Testpunkt x =", x0)
print("f'(x0) =", first.subs(x, x0), "≈", first.subs(x, x0).evalf())
print("f''(x0) =", second.subs(x, x0), "≈", second.subs(x, x0).evalf())
assert first.subs(x, x0) < 0
assert second.subs(x, x0) < 0

Utskrift
Testpunkt x = -1/2
f'(x0) = -exp(-1/4)/2 ≈ -0.389400391535702
f''(x0) = -5*exp(-1/4)/2 ≈ -1.94700195767851

Fasit: Påstand C er usann.

Vanlig feil: Å tolke \(f\prime\prime<0\) som at \(f\prime>0\); det betyr bare at \(f\prime\) minker.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt logisk tolkning og gjerne et konkret moteksempel.
Del 1 · Oppgave 5aUendelig geometrisk rekke

Oppgave 5a

Oppgave: Rekken \(1-\frac{x}{3}+\frac{x^2}{9}-\frac{x^3}{27}+\cdots\) er gitt. Bestem konvergensområdet.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere kvotienten og bruke konvergenskravet for en uendelig geometrisk rekke.

Steg 1 - Finn første ledd

\[a_1=1\]

Steg 2 - Finn kvotienten

\[k=-\frac{x}{3}\]

Steg 3 - Bruk konvergenskravet

\[|k|<1\]

Steg 4 - Sett inn kvotienten

\[\left|-\frac{x}{3}\right|<1\]

Steg 5 - Løs absoluttulikheten

\[|x|<3\iff -3<x<3\]

Steg 6 - Konkluder

Endepunktene er ikke med, fordi \(|k|=1\) gir divergens.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(Abs(-x/3)<1,x)
Resultat: \(-3<x<3\)

Tolkning: CAS bekrefter det åpne intervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, Abs, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
k = -x/3
region = solve_univariate_inequality(Abs(k) < 1, x)
print("Kvotient k =", k)
print("Krav |k| < 1 gir:", region)
print("Ved x=3 er k =", k.subs(x, 3))
print("Ved x=-3 er k =", k.subs(x, -3))
assert str(region) == '(-3 < x) & (x < 3)'

Utskrift
Kvotient k = -x/3
Krav |k| < 1 gir: (-3 < x) & (x < 3)
Ved x=3 er k = -1
Ved x=-3 er k = 1

Fasit: Konvergensområdet er \(x\in(-3,3)\).

Vanlig feil: Å bruke \(k<1\) i stedet for \(|k|<1\), eller å ta med endepunktene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter kvotient, absoluttverdi og åpent intervall.
Del 1 · Oppgave 5bRekkesum

Oppgave 5b

Oppgave: Bestem summen \(s(x)\) av rekken i konvergensområdet.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sumformelen for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 1 - Skriv dataene

\[a_1=1,\qquad k=-\frac{x}{3}\]

Steg 2 - Bruk sumformelen

\[s=\frac{a_1}{1-k}\]

Steg 3 - Sett inn

\[s(x)=\frac1{1+x/3}\]

Steg 4 - Utvid nevneren

\[1+\frac{x}{3}=\frac{3+x}{3}\]

Steg 5 - Forenkle

\[s(x)=\frac{3}{3+x}\]

Steg 6 - Oppgi gyldighet

Formelen gjelder bare når \(-3<x<3\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Simplify(1/(1+x/3))
Resultat: \(3/(x+3)\)

Tolkning: CAS forenkler sumformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x', real=True)
a1 = 1
k = -x/3
s = simplify(a1/(1-k))
print("a1 =", a1)
print("k =", k)
print("Sum s(x) =", s)
print("Kontroll ved x=0: s(0) =", s.subs(x, 0))
assert simplify(s - 3/(x+3)) == 0

Utskrift
a1 = 1
k = -x/3
Sum s(x) = 3/(x + 3)
Kontroll ved x=0: s(0) = 1

Fasit: \(s(x)=\dfrac{3}{x+3}\), for \(-3<x<3\).

Vanlig feil: Å glemme at sumformelen bare gjelder i konvergensområdet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt sumformel, forenkling og domene.
Del 1 · Oppgave 5cLikning og domene

Oppgave 5c

Oppgave: Vis at \(s(x)\ne\frac12\) i konvergensområdet.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi løser først likningen formelt og kontrollerer deretter om løsningen ligger i gyldighetsområdet.

Steg 1 - Bruk uttrykket for summen

\[s(x)=\frac3{x+3}\]

Steg 2 - Sett lik en halv

\[\frac3{x+3}=\frac12\]

Steg 3 - Kryssmultipliser

\[6=x+3\]

Steg 4 - Løs

\[x=3\]

Steg 5 - Kontroller domenet

Men konvergensområdet er \(-3<x<3\), så \(x=3\) er ikke tillatt.

Steg 6 - Konkluder

\[s(x)\ne\frac12\quad\text{for alle }x\in(-3,3)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(3/(x+3)=1/2,x)
Resultat: \(x=3\)

Tolkning: CAS finner bare en løsning utenfor konvergensområdet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x = symbols('x', real=True)
s = 3/(x+3)
solutions = solve(Eq(s, Rational(1, 2)), x)
print("Likning: 3/(x+3) = 1/2")
print("Formell losning:", solutions)
print("Konvergensomrade: -3 < x < 3")
valid = [v for v in solutions if -3 < v < 3]
print("Gyldige losninger i konvergensomradet:", valid)
assert valid == []

Utskrift
Likning: 3/(x+3) = 1/2
Formell losning: [3]
Konvergensomrade: -3 < x < 3
Gyldige losninger i konvergensomradet: []

Fasit: Ingen \(x\) i konvergensområdet gir \(s(x)=\frac12\).

Vanlig feil: Å godta \(x=3\) uten å kontrollere konvergensområdet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både likningsløsning og domenekontroll.
Del 1 · Oppgave 6aEkstrempunkter

Oppgave 6a

Oppgave: For \(f(x)=x^4-2x^2+2\): Bestem topp- og bunnpunkter.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne kritiske punkter med førstederiverten og klassifisere dem med fortegn eller andrederivert.

Steg 1 - Deriver

\[f\prime(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\]

Steg 2 - Finn kritiske x-verdier

\[f\prime(x)=0\iff x=-1,0,1\]

Steg 3 - Finn andrederiverten

\[f\prime\prime(x)=12x^2-4\]

Steg 4 - Klassifiser x=0

\[f\prime\prime(0)=-4<0\Rightarrow\text{lokalt toppunkt}\]

Steg 5 - Klassifiser x=±1

\[f\prime\prime(\pm1)=8>0\Rightarrow\text{lokale bunnpunkter}\]

Steg 6 - Finn y-verdiene

\[f(0)=2,\qquad f(\pm1)=1\]
Grafen støtter klassifiseringen av topp- og bunnpunktene.
Grafen støtter klassifiseringen av topp- og bunnpunktene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(Derivative(f,x)=0,x)
Resultat: \(-1,0,1\)
2Evaluate f
Resultat: \(f(0)=2,\ f(\pm1)=1\)

Tolkning: CAS bekrefter kritiske punkter og funksjonsverdier.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x', real=True)
f = x**4 - 2*x**2 + 2
first = diff(f, x)
second = diff(f, x, 2)
critical = solve(first, x)
print("f'(x) =", first)
print("f''(x) =", second)
print("Kritiske x-verdier =", critical)
for value in critical:
    print("x =", value, ": f(x) =", f.subs(x, value), ", f''(x) =", second.subs(x, value))
assert critical == [-1, 0, 1]

Utskrift
f'(x) = 4*x**3 - 4*x
f''(x) = 4*(3*x**2 - 1)
Kritiske x-verdier = [-1, 0, 1]
x = -1 : f(x) = 1 , f''(x) = 8
x = 0 : f(x) = 2 , f''(x) = -4
x = 1 : f(x) = 1 , f''(x) = 8

Fasit: Toppunkt \((0,2)\). Bunnpunkter \((-1,1)\) og \((1,1)\).

Vanlig feil: Å oppgi bare x-verdier når oppgaven spør etter punkter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter kritiske punkter, klassifisering og y-koordinater.
Del 1 · Oppgave 6bInfleksjonspunkter

Oppgave 6b

Oppgave: Bestem eventuelle infleksjonspunkter til \(f(x)=x^4-2x^2+2\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne nullpunkter til andrederiverten og kontrollere at krumningen skifter fortegn.

Steg 1 - Finn andrederiverten

\[f\prime\prime(x)=12x^2-4\]

Steg 2 - Sett lik null

\[12x^2-4=0\]

Steg 3 - Løs

\[x^2=\frac13\Rightarrow x=\pm\frac1{\sqrt3}\]

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

\(f\prime\prime\) er positiv utenfor og negativ mellom disse x-verdiene, så krumningen skifter.

Steg 5 - Finn y-koordinaten

\[f\left(\pm\frac1{\sqrt3}\right)=\frac19-\frac23+2=\frac{13}{9}\]

Steg 6 - Oppgi punktene

\[\left(-\frac1{\sqrt3},\frac{13}{9}\right),\quad\left(\frac1{\sqrt3},\frac{13}{9}\right)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(Derivative(f,x,2)=0,x)
Resultat: \(\pm1/\sqrt3\)

Tolkning: CAS bekrefter x- og y-koordinater.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, diff, solve, simplify, sqrt
x = symbols('x', real=True)
f = x**4 - 2*x**2 + 2
second = diff(f, x, 2)
roots = solve(second, x)
print("f''(x) =", second)
print("Kandidater =", roots)
for value in roots:
    print("Punkt:", (value, simplify(f.subs(x, value))))
assert all(simplify(f.subs(x, v) - 13/9) == 0 for v in roots)

Utskrift
f''(x) = 4*(3*x**2 - 1)
Kandidater = [-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3]
Punkt: (-sqrt(3)/3, 13/9)
Punkt: (sqrt(3)/3, 13/9)

Fasit: Infleksjonspunktene er \(\left(\pm\frac1{\sqrt3},\frac{13}{9}\right)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter \(f\prime\prime=0\) uten å kontrollere fortegnsskifte eller y-verdi.
Sensorpunkt: Sensor ser etter krumningsskifte og komplette koordinater.
Del 1 · Oppgave 6cGrafskisse

Oppgave 6c

Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f(x)=x^4-2x^2+2\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke symmetri, ekstrempunkter, infleksjonspunkter og endeadferd til å tegne en korrekt skisse.

Steg 1 - Symmetri

Funksjonen er jevn fordi bare partallspotenser forekommer. Grafen er symmetrisk om y-aksen.

Steg 2 - Endeadferd

\[f(x)\to\infty\quad\text{når }x\to\pm\infty\]

Steg 3 - Marker ekstrempunktene

Marker bunnpunktene \((-1,1)\), \((1,1)\) og toppunktet \((0,2)\).

Steg 4 - Marker infleksjonspunktene

Marker \(x=\pm1/\sqrt3\) med høyde \(13/9\).

Steg 5 - Nullpunkter

Minste funksjonsverdi er 1, så grafen skjærer ikke x-aksen.

Steg 6 - Tegn sammenhengende

Forbind punktene med en glatt, symmetrisk W-form som går mot uendelig i begge retninger.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Plot(x^4-2x^2+2,-2,2)
Resultat: W-formet, symmetrisk graf

Tolkning: Graftegneren viser samme form og punkter.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, minimum, solveset, S
x = symbols('x', real=True)
f = x**4 - 2*x**2 + 2
print("Funksjon =", f)
print("Global minsteverdi =", minimum(f, x, S.Reals))
print("Reelle nullpunkter =", solveset(f, x, domain=S.Reals))
print("Symmetrikontroll f(-x)-f(x) =", (f.subs(x, -x) - f).expand())
assert minimum(f, x, S.Reals) == 1

Utskrift
Funksjon = x**4 - 2*x**2 + 2
Global minsteverdi = 1
Reelle nullpunkter = EmptySet
Symmetrikontroll f(-x)-f(x) = 0

Fasit: Grafen er jevn og W-formet, med minima \((\pm1,1)\), maksimum \((0,2)\) og ingen nullpunkter.

Vanlig feil: Å tegne grafen med x-akseskjæringer selv om minsteverdi er 1.
Sensorpunkt: Sensor ser etter akser, skala, navn og en form som stemmer med drøftingen.
Del 1 · Oppgave 7Trigonometrisk likning

Oppgave 7

Oppgave: Løs \(\left(\sin x-\frac12\right)\left(\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\right)=0\), \(x\in[0^\circ,360^\circ)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Et produkt er null når minst én faktor er null. Vi løser to standard trigonometriske likninger.

Steg 1 - Bruk nullproduktregelen

\[\sin x=\frac12\quad\text{eller}\quad\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\]

Steg 2 - Løs sinuslikningen

\[\sin x=\frac12\Rightarrow x=30^\circ,150^\circ\]

Steg 3 - Løs cosinuslikningen

\[\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=45^\circ,315^\circ\]

Steg 4 - Samle løsningene

\[x\in\{30^\circ,45^\circ,150^\circ,315^\circ\}\]

Steg 5 - Kontroller intervallet

Alle fire ligger i \([0^\circ,360^\circ)\).

Steg 6 - Kontroller i originalen

For hver løsning er minst én av faktorene nøyaktig null.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(sin(x)=1/2,0°,360°)
Resultat: \(30^\circ,150^\circ\)
2Solve(cos(x)=sqrt(2)/2,0°,360°)
Resultat: \(45^\circ,315^\circ\)

Tolkning: CAS gir de samme fire løsningene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import pi, sin, cos, sqrt, simplify
solutions = [pi/6, pi/4, 5*pi/6, 7*pi/4]
print("Losninger i radianer:", solutions)
print("Losninger i grader:", [int(s*180/pi) for s in solutions])
for s in solutions:
    value = simplify((sin(s)-1/2)*(cos(s)-sqrt(2)/2))
    print("Kontroll ved", s, ":", value)
    assert value == 0

Utskrift
Losninger i radianer: [pi/6, pi/4, 5*pi/6, 7*pi/4]
Losninger i grader: [30, 45, 150, 315]
Kontroll ved pi/6 : 0
Kontroll ved pi/4 : 0
Kontroll ved 5*pi/6 : 0
Kontroll ved 7*pi/4 : 0

Fasit: \(x=30^\circ,45^\circ,150^\circ,315^\circ\).

Vanlig feil: Å finne bare hovedverdiene eller å blande grader og radianer.
Sensorpunkt: Sensor ser etter nullproduktregelen og alle løsninger i oppgitt intervall.
Del 1 · Oppgave 8Induksjonsbevis

Oppgave 8

Oppgave: Bruk induksjon og produktregelen til å bevise \(P(n):(x^n)\prime=nx^{n-1}\) for \(n\in\mathbb N\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjennomføre et fullstendig induksjonsbevis med grunntrinn, hypotese og overgang fra k til k+1.

Steg 1 - Grunntrinn n=1

\[(x^1)\prime=x\prime=1=1\cdot x^0\]

Steg 2 - Induksjonshypotese

Anta at påstanden gjelder for et vilkårlig \(k\ge1\):

\[(x^k)\prime=kx^{k-1}\]

Steg 3 - Formuler målet

Vi må vise:

\[(x^{k+1})\prime=(k+1)x^k\]

Steg 4 - Skriv som produkt

\[x^{k+1}=x^k\cdot x\]

Steg 5 - Bruk produktregelen og hypotesen

\[(x^kx)\prime=(x^k)\prime x+x^k x\prime=kx^{k-1}x+x^k\]

Steg 6 - Fullfør induksjonssteget

\[kx^k+x^k=(k+1)x^k\]

Dermed er \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\), og påstanden gjelder for alle naturlige \(n\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1InductionStep
Resultat: \(kx^k+x^k=(k+1)x^k\)

Tolkning: CAS kan kontrollere identiteten for vilkårlige symboler og konkrete n-verdier.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
print("Kontroll av potensregelen for n = 1,...,8")
for n in range(1, 9):
    left = diff(x**n, x)
    right = n*x**(n-1)
    residual = simplify(left - right)
    print(f"n={n}: venstre={left}, hoyre={right}, differanse={residual}")
    assert residual == 0
k = symbols('k', integer=True, positive=True)
print("Induksjonsstegets algebra:", simplify(k*x**k + x**k - (k+1)*x**k))

Utskrift
Kontroll av potensregelen for n = 1,...,8
n=1: venstre=1, hoyre=1, differanse=0
n=2: venstre=2*x, hoyre=2*x, differanse=0
n=3: venstre=3*x**2, hoyre=3*x**2, differanse=0
n=4: venstre=4*x**3, hoyre=4*x**3, differanse=0
n=5: venstre=5*x**4, hoyre=5*x**4, differanse=0
n=6: venstre=6*x**5, hoyre=6*x**5, differanse=0
n=7: venstre=7*x**6, hoyre=7*x**6, differanse=0
n=8: venstre=8*x**7, hoyre=8*x**7, differanse=0
Induksjonsstegets algebra: 0

Fasit: \((x^n)\prime=nx^{n-1}\) for alle \(n\in\mathbb N\).

Vanlig feil: Å skrive at påstanden gjelder for k+1 uten å vise produktregelen og hvor hypotesen brukes.
Sensorpunkt: Sensor ser spesielt etter eksplisitt grunntrinn, induksjonshypotese og komplett overgang.
Del 1 · Oppgave 9Kuleflate

Oppgave 9

Oppgave: Kuleflaten er \(x^2+y^2+z^2+4x-2y-8z-4=0\). Bestem sentrum og radius.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fullføre kvadrater i x-, y- og z-leddene.

Steg 1 - Flytt konstanten

\[x^2+4x+y^2-2y+z^2-8z=4\]

Steg 2 - Fullfør x-kvadratet

\[x^2+4x=(x+2)^2-4\]

Steg 3 - Fullfør y-kvadratet

\[y^2-2y=(y-1)^2-1\]

Steg 4 - Fullfør z-kvadratet

\[z^2-8z=(z-4)^2-16\]

Steg 5 - Samle

\[(x+2)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=25\]

Steg 6 - Les av

Sentrum er \((-2,1,4)\), og radius er \(\sqrt{25}=5\).

Kule med sentrum S=(-2,1,4) og radius 5.
Kule med sentrum S=(-2,1,4) og radius 5.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1CompleteSquare(...)
Resultat: \((x+2)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=25\)

Tolkning: CAS bekrefter standardformen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, expand, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
original = x**2+y**2+z**2+4*x-2*y-8*z-4
standard = (x+2)**2+(y-1)**2+(z-4)**2-25
print("Originalt uttrykk =", original)
print("Standardform =", standard)
print("Utvidet differanse =", simplify(expand(standard-original)))
print("Sentrum = (-2, 1, 4)")
print("Radius = 5")
assert simplify(expand(standard-original)) == 0

Utskrift
Originalt uttrykk = x**2 + 4*x + y**2 - 2*y + z**2 - 8*z - 4
Standardform = (x + 2)**2 + (y - 1)**2 + (z - 4)**2 - 25
Utvidet differanse = 0
Sentrum = (-2, 1, 4)
Radius = 5

Fasit: Sentrum \(S=(-2,1,4)\), radius \(r=5\).

Vanlig feil: Å glemme at radius er kvadratroten av høyresiden.
Sensorpunkt: Sensor ser etter fullstendige kvadrater og korrekt standardform.
Del 1 · Oppgave 10Areal mellom grafer

Oppgave 10

Oppgave: \(f(x)=2x^3-x^2-5x\) og \(g(x)=-x^2+3x\). Vis ved regning at de to avgrensede arealene \(A_1\) og \(A_2\) er like.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktene, bestemme hvilken graf som ligger øverst på hvert intervall, og integrere forskjellen.

Steg 1 - Finn differansen

\[f(x)-g(x)=2x^3-8x=2x(x-2)(x+2)\]

Steg 2 - Finn skjæringspunktene

\[x=-2,0,2\]

Steg 3 - Areal på venstre intervall

\[A_1=\int_{-2}^{0}(f-g)\,dx\]

Steg 4 - Regn A1

\[A_1=\left[\frac12x^4-4x^2\right]_{-2}^{0}=8\]

Steg 5 - Areal på høyre intervall

\[A_2=\int_0^2(g-f)\,dx\]

Steg 6 - Regn A2 og sammenlign

\[A_2=\left[-\frac12x^4+4x^2\right]_0^2=8\Rightarrow A_1=A_2\]
De to skraverte områdene er symmetriske i areal, selv om grafene ikke er speilbilder.
De to skraverte områdene er symmetriske i areal, selv om grafene ikke er speilbilder.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(f=g,x)
Resultat: \(-2,0,2\)
2Integral(f-g,-2,0)
Resultat: \(8\)
3Integral(g-f,0,2)
Resultat: \(8\)

Tolkning: CAS bekrefter skjæringspunkter og begge arealer.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, solve, integrate, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 2*x**3 - x**2 - 5*x
g = -x**2 + 3*x
intersections = solve(f-g, x)
A1 = integrate(f-g, (x, -2, 0))
A2 = integrate(g-f, (x, 0, 2))
print("f-g =", simplify(f-g))
print("Skjaeringspunktenes x-verdier =", intersections)
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
print("A1-A2 =", simplify(A1-A2))
assert A1 == A2 == 8

Utskrift
f-g = 2*x*(x**2 - 4)
Skjaeringspunktenes x-verdier = [-2, 0, 2]
A1 = 8
A2 = 8
A1-A2 = 0

Fasit: \(A_1=A_2=8\) arealenheter.

Vanlig feil: Å integrere samme fortegn på begge intervallene og dermed få negativt areal.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skjæringspunkter, riktig øvre graf og bestemte integraler.
Del 1 · Oppgave 11Omdreiningsvolum

Oppgave 11

Oppgave: \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\), \(x\in[-r,r]\). Grafen dreies \(360^\circ\) om x-aksen. Regn ut volumet.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skivemetoden. Radiusen til hver skive er \(f(x)\).

Steg 1 - Skriv volumformelen

\[V=\pi\int_{-r}^{r}f(x)^2\,dx\]

Steg 2 - Kvadrer radiusen

\[f(x)^2=r^2-x^2\]

Steg 3 - Sett inn

\[V=\pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2)\,dx\]

Steg 4 - Finn antiderivert

\[r^2x-\frac{x^3}{3}\]

Steg 5 - Sett inn grensene

\[V=\pi\left[ r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r}\]

Steg 6 - Forenkle og tolk

\[V=\frac43\pi r^3\]

Omdreiningslegemet er en kule, og vi har utledet kulevolumet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(pi(r^2-x^2),x,-r,r)
Resultat: \(4\pi r^3/3\)

Tolkning: CAS gir den kjente kuleformelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, pi, integrate, simplify
x, r = symbols('x r', positive=True, real=True)
V = integrate(pi*(r**2-x**2), (x, -r, r))
expected = 4*pi*r**3/3
print("Volumintegral = pi*Integral(r^2-x^2, -r, r)")
print("Beregnet volum =", V)
print("Kuleformel =", expected)
print("Kontroll =", simplify(V-expected))
assert simplify(V-expected) == 0

Utskrift
Volumintegral = pi*Integral(r^2-x^2, -r, r)
Beregnet volum = 4*pi*r**3/3
Kuleformel = 4*pi*r**3/3
Kontroll = 0

Fasit: \(V=\dfrac43\pi r^3\). Legemet er en kule.

Vanlig feil: Å integrere \(f(x)\) i stedet for \(f(x)^2\), eller å glemme faktoren \(\pi\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter skivemetoden, korrekte grenser og tolkning.
Del 1 · Oppgave 12aSkalarprodukt

Oppgave 12a

Oppgave: \(\mathbf u=[1,2,-1]\), \(\mathbf v=[-1,1,-2]\). Bestem vinkelen mellom vektorene.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker skalarproduktformelen for vinkelen mellom to vektorer.

Steg 1 - Beregn skalarproduktet

\[\mathbf u\cdot\mathbf v=-1+2+2=3\]

Steg 2 - Beregn lengden av u

\[|\mathbf u|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\]

Steg 3 - Beregn lengden av v

\[|\mathbf v|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6\]

Steg 4 - Bruk vinkelformelen

\[\cos\alpha=\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{|\mathbf u||\mathbf v|}=\frac{3}{6}=\frac12\]

Steg 5 - Finn vinkelen

\[\alpha=\arccos\frac12=60^\circ\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

Positivt skalarprodukt betyr spiss vinkel, i samsvar med \(60^\circ\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Angle(u,v)
Resultat: \(60^\circ\)

Tolkning: CAS bekrefter cosinusverdien 1/2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import Matrix, sqrt, acos, pi, simplify, Rational
u = Matrix([1, 2, -1])
v = Matrix([-1, 1, -2])
dot = u.dot(v)
cos_angle = simplify(dot/(u.norm()*v.norm()))
angle = acos(cos_angle)
print("u dot v =", dot)
print("|u| =", u.norm())
print("|v| =", v.norm())
print("cos(alpha) =", cos_angle)
print("alpha i grader =", simplify(angle*180/pi))
assert cos_angle == Rational(1, 2)

Utskrift
u dot v = 3
|u| = sqrt(6)
|v| = sqrt(6)
cos(alpha) = 1/2
alpha i grader = 60

Fasit: Vinkelen er \(60^\circ\).

Vanlig feil: Å bruke vektorproduktet i stedet for skalarproduktet, eller å glemme vektorlengdene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skalarprodukt, normer og korrekt inverse cosinus.
Del 1 · Oppgave 12bVektorprodukt

Oppgave 12b

Oppgave: Planet \(\beta\) er parallelt med \(\mathbf u\) og \(\mathbf v\). Vis at \(\mathbf n=[-1,1,1]\) er en normalvektor.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En normalvektor må stå vinkelrett på begge retningsvektorene i planet.

Steg 1 - Test mot u

\[\mathbf n\cdot\mathbf u=-1+2-1=0\]

Steg 2 - Test mot v

\[\mathbf n\cdot\mathbf v=1+1-2=0\]

Steg 3 - Tolk nullproduktene

Null skalarprodukt betyr vinkelrett.

Steg 4 - Knytt til planet

Siden både \(\mathbf u\) og \(\mathbf v\) ligger parallelt med planet, står \(\mathbf n\) vinkelrett på planet.

Steg 5 - Alternativ kontroll

\[\mathbf u\times\mathbf v=[-3,3,3]=3[-1,1,1]\]

Steg 6 - Konkluder

Dermed er \(\mathbf n\) en normalvektor til \(\beta\).

Planet gjennom P med retningsvektorene u og v.
Planet gjennom P med retningsvektorene u og v.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Dot(n,u)
Resultat: \(0\)
2Dot(n,v)
Resultat: \(0\)
3Cross(u,v)
Resultat: \([-3,3,3]\)

Tolkning: CAS bekrefter ortogonaliteten og parallelliteten med vektorproduktet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import Matrix
u = Matrix([1, 2, -1])
v = Matrix([-1, 1, -2])
n = Matrix([-1, 1, 1])
print("n dot u =", n.dot(u))
print("n dot v =", n.dot(v))
print("u cross v =", u.cross(v))
print("u cross v = 3n:", u.cross(v) == 3*n)
assert n.dot(u) == 0 and n.dot(v) == 0
assert u.cross(v) == 3*n

Utskrift
n dot u = 0
n dot v = 0
u cross v = Matrix([[-3], [3], [3]])
u cross v = 3n: True

Fasit: \(\mathbf n=[-1,1,1]\) er normalvektor til \(\beta\).

Vanlig feil: Å vise bare at n står vinkelrett på én av de to uavhengige retningsvektorene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to nullskalarprodukter eller korrekt vektorprodukt.
Del 1 · Oppgave 12cPlanlikning

Oppgave 12c

Oppgave: Planet \(\beta\) går gjennom \(P(2,0,1)\) og har normalvektor \([-1,1,1]\). Bestem likningen.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker punkt-normal-formen for et plan.

Steg 1 - Skriv punkt-normal-formen

\[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\]

Steg 2 - Sett inn normalvektoren

\[-1(x-x_0)+1(y-y_0)+1(z-z_0)=0\]

Steg 3 - Sett inn punktet

\[-(x-2)+(y-0)+(z-1)=0\]

Steg 4 - Utvid

\[-x+2+y+z-1=0\]

Steg 5 - Samle konstantene

\[-x+y+z+1=0\]

Steg 6 - Kontroller punktet

Innsetting av \((2,0,1)\) gir \(-2+0+1+1=0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Plane(P,n)
Resultat: \(-x+y+z+1=0\)

Tolkning: CAS bekrefter at P ligger i planet og at u og v er parallelle med planet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, simplify
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
plane = -x + y + z + 1
print("Planlikning:", plane, "= 0")
print("Kontroll P(2,0,1):", plane.subs({x:2,y:0,z:1}))
# Retningsvektorene skal ha null skalarprodukt med normalen.
print("n dot u =", -1*1 + 1*2 + 1*(-1))
print("n dot v =", -1*(-1) + 1*1 + 1*(-2))
assert plane.subs({x:2,y:0,z:1}) == 0

Utskrift
Planlikning: -x + y + z + 1 = 0
Kontroll P(2,0,1): 0
n dot u = 0
n dot v = 0

Fasit: \(\beta:-x+y+z+1=0\).

Vanlig feil: Å bruke punktets koordinater som normalvektor eller å gjøre fortegnsfeil ved utvidelse.
Sensorpunkt: Sensor ser etter punkt-normal-form og en kontroll av at punktet ligger i planet.
Del 1 · Oppgave 13Trigonometrisk identitet

Oppgave 13

Oppgave: Bestem alle eksakte løsninger til \(\cos^2x-3\sin^2x=-2\), \(x\in[0,2\pi)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke identiteten \(\cos^2x=1-\sin^2x\) og løse en standard sinuslikning.

Steg 1 - Bytt ut cosinuskvadratet

\[1-\sin^2x-3\sin^2x=-2\]

Steg 2 - Samle

\[1-4\sin^2x=-2\]

Steg 3 - Isoler sinuskvadratet

\[\sin^2x=\frac34\]

Steg 4 - Ta kvadratrot

\[\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\]

Steg 5 - Finn vinklene

\[x=\frac\pi3,\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3,\frac{5\pi}3\]

Steg 6 - Kontroller intervallet

Alle fire ligger i \([0,2\pi)\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(cos(x)^2-3sin(x)^2=-2,0,2pi)
Resultat: \(\pi/3,2\pi/3,4\pi/3,5\pi/3\)

Tolkning: CAS bekrefter alle fire eksakte løsninger.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import pi, sin, cos, simplify
solutions = [pi/3, 2*pi/3, 4*pi/3, 5*pi/3]
print("Eksakte losninger:", solutions)
for value in solutions:
    lhs = simplify(cos(value)**2 - 3*sin(value)**2)
    print("x =", value, ": venstreside =", lhs)
    assert lhs == -2
print("Antall losninger i [0, 2*pi):", len(solutions))

Utskrift
Eksakte losninger: [pi/3, 2*pi/3, 4*pi/3, 5*pi/3]
x = pi/3 : venstreside = -2
x = 2*pi/3 : venstreside = -2
x = 4*pi/3 : venstreside = -2
x = 5*pi/3 : venstreside = -2
Antall losninger i [0, 2*pi): 4

Fasit: \(x=\frac\pi3,\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3,\frac{5\pi}3\).

Vanlig feil: Å ta bare den positive kvadratroten eller å glemme vinkler i tredje og fjerde kvadrant.
Sensorpunkt: Sensor ser etter identiteten, begge fortegn og alle løsninger i intervallet.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1aSinusregresjon

Oppgave 1a

Oppgave: Lag en sinusfunksjon som gir en god modell for måne-dataene. Bestem periode, amplitude og likevektslinje.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sinusregresjon på de oppgitte datapunktene og tolke parameterne i modellen.

Steg 1 - Registrer dataene

Legg døgnnummer i én liste og synlig del i en annen.

Steg 2 - Kjør sinusregresjon

En modell på formen \(d+a\sin(kx-\varphi)\) tilpasses.

Steg 3 - Les av modellen

\[f(x)\approx0.4824+0.4941\sin(0.2121x-2.9234)\]

Steg 4 - Finn amplituden

\[A\approx0.494\]

Steg 5 - Finn perioden

\[T=\frac{2\pi}{0.2121}\approx29.62\text{ døgn}\]

Steg 6 - Finn likevektslinjen

\[y\approx0.482\]
Datapunkter, sinusmodell og linjen y=0,5.
Datapunkter, sinusmodell og linjen y=0,5.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1SinReg(liste_x,liste_y)
Resultat: \(0.4824+0.4941\sin(0.2121x-2.9234)\)

Tolkning: Regresjonen gir en periode nær den astronomiske månemåneden og en synlig andel mellom omtrent 0 og 1.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
x = np.array([1,2,3,4,5,6,10,15,20,21,25,30,35,40,45,50,55,60,65,66], dtype=float)
y = np.array([0.25,0.18,0.11,0.06,0.02,0.00,0.11,0.57,0.99,1.00,0.80,0.32,0.02,0.14,0.64,1.00,0.77,0.31,0.01,0.00])
def model(x, d, a, k, phi):
    return d + a*np.sin(k*x - phi)
parameters, covariance = curve_fit(model, x, y, p0=[0.5,0.5,2*np.pi/29.5,2.9], maxfev=100000)
d, a, k, phi = parameters
period = 2*np.pi/k
residuals = y - model(x, *parameters)
rmse = np.sqrt(np.mean(residuals**2))
print(f"d = {d:.8f}")
print(f"a = {a:.8f}")
print(f"k = {k:.8f}")
print(f"phi = {phi:.8f}")
print(f"Periode = {period:.8f} dogn")
print(f"RMSE = {rmse:.8f}")
assert 29 < period < 30

Utskrift
d = 0.48235597
a = 0.49413361
k = 0.21213623
phi = 2.92337434
Periode = 29.61863393 dogn
RMSE = 0.01981235

Fasit: En god modell er \(f(x)\approx0.4824+0.4941\sin(0.2121x-2.9234)\). Periode \(29.62\) døgn, amplitude \(0.494\), likevektslinje \(y=0.482\).

Vanlig feil: Å lese koeffisienten k som perioden; perioden er \(2\pi/k\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter dokumentert regresjon og korrekt tolkning av alle tre parameterne.
Del 2 · Oppgave 1bGrafisk likningsløsning

Oppgave 1b

Oppgave: Bruk graftegner til å bestemme i hvilke døgn det er halvmåne i perioden.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Halvmåne betyr at omtrent halvparten av månen er synlig, altså \(f(x)=0.5\).

Steg 1 - Tegn modellgrafen

Tegn regresjonsfunksjonen fra del a.

Steg 2 - Tegn referanselinjen

\[g(x)=0.5\]

Steg 3 - Finn skjæringspunktene

Bruk skjæringsverktøy eller løs \(f(x)=0.5\) numerisk.

Steg 4 - Les av x-verdiene

\[x\approx13.95,\ 28.42,\ 43.57,\ 58.04\]

Steg 5 - Rund til døgn

Dette tilsvarer omtrent døgn 14, 28, 44 og 58.

Steg 6 - Tolk

Det oppstår to halvmånefaser per periode: voksende og minkende halvmåne.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Intersect(f,y=0.5)
Resultat: \(x\approx13.95,28.42,43.57,58.04\)

Tolkning: Grafen viser fire skjæringer i dataintervallet.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
d, a, k, phi = 0.48235597, 0.49413361, 0.21213623, 2.92337434
def f(x):
    return d + a*np.sin(k*x - phi)
grid = np.linspace(1, 66, 10000)
roots = []
for left, right in zip(grid[:-1], grid[1:]):
    if (f(left)-0.5)*(f(right)-0.5) < 0:
        root = brentq(lambda t: f(t)-0.5, left, right)
        if not roots or abs(root-roots[-1]) > 1e-5:
            roots.append(root)
print("Skjaeringer med y=0.5:")
for root in roots:
    print(f"x = {root:.6f}, f(x) = {f(root):.9f}")
print("Avrundede dogn:", [round(r) for r in roots])
assert len(roots) == 4

Utskrift
Skjaeringer med y=0.5:
x = 13.949003, f(x) = 0.500000000
x = 28.421606, f(x) = 0.500000000
x = 43.567637, f(x) = 0.500000000
x = 58.040240, f(x) = 0.500000000
Avrundede dogn: [14, 28, 44, 58]

Fasit: Halvmåne omtrent i døgn 14, 28, 44 og 58.

Vanlig feil: Å lete etter maksimum/minimum i stedet for skjæring med \(y=0.5\), eller å runde for tidlig.
Sensorpunkt: Sensor ser etter dokumentert graftegning, skjæringspunkter og tolkning i døgn.
Del 2 · Oppgave 2aLineær funksjon

Oppgave 2a

Oppgave: En linje går gjennom \(A(0,R)\) og \(B(h,r)\). Vis at \(y=\frac{r-R}{h}x+R\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bestemme stigningstall og konstantledd fra to punkter.

Steg 1 - Bruk to-punktsformelen

\[a=\frac{r-R}{h-0}=\frac{r-R}{h}\]

Steg 2 - Finn konstantleddet

Siden linjen går gjennom \((0,R)\), er skjæringen med y-aksen \(b=R\).

Steg 3 - Skriv linjeformen

\[y=ax+b\]

Steg 4 - Sett inn a og b

\[y=\frac{r-R}{h}x+R\]

Steg 5 - Kontroller A

Ved \(x=0\) får vi \(y=R\).

Steg 6 - Kontroller B

Ved \(x=h\) får vi \(y=r-R+R=r\).

Profilen som roteres om x-aksen og danner en rett avkortet kjegle.
Profilen som roteres om x-aksen og danner en rett avkortet kjegle.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Line(A,B)
Resultat: \(y=(r-R)x/h+R\)

Tolkning: CAS bekrefter at begge punktene ligger på linjen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, simplify
x, h, r, R = symbols('x h r R', nonzero=True)
y = (r-R)*x/h + R
print("Linje y(x) =", y)
print("Kontroll A, x=0:", simplify(y.subs(x, 0)))
print("Kontroll B, x=h:", simplify(y.subs(x, h)))
assert simplify(y.subs(x, 0)-R) == 0
assert simplify(y.subs(x, h)-r) == 0

Utskrift
Linje y(x) = R + x*(-R + r)/h
Kontroll A, x=0: R
Kontroll B, x=h: r

Fasit: \(y=\dfrac{r-R}{h}x+R\).

Vanlig feil: Å bruke \(R-r\) i telleren eller å glemme at x-forskjellen er h.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt stigningstall og kontroll av punktene.
Del 2 · Oppgave 2bCAS og omdreiningsvolum

Oppgave 2b

Oppgave: Bruk CAS til å vise at volumet er \(V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal rotere linjen om x-aksen og integrere skivearealet fra 0 til h.

Steg 1 - Skriv radiusfunksjonen

\[y(x)=R+\frac{r-R}{h}x\]

Steg 2 - Skriv volumformelen

\[V=\pi\int_0^h y(x)^2\,dx\]

Steg 3 - Sett inn

\[V=\pi\int_0^h\left(R+\frac{r-R}{h}x\right)^2dx\]

Steg 4 - La CAS integrere

\[V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\]

Steg 5 - Kontroller dimensjon

Uttrykket har dimensjon lengde ganger lengde², altså volum.

Steg 6 - Kontroller symmetri

Formelen er symmetrisk i \(R\) og \(r\), som er rimelig fordi endene kan byttes.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Integral(pi*(R+(r-R)x/h)^2,x,0,h)
Resultat: \(\pi h(R^2+Rr+r^2)/3\)

Tolkning: CAS utvider, integrerer og faktoriserer til ønsket form.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, pi, integrate, simplify, factor
x, h, r, R = symbols('x h r R', positive=True)
y = R + (r-R)*x/h
V = factor(integrate(pi*y**2, (x, 0, h)))
expected = pi*h*(R**2+R*r+r**2)/3
print("Radiusfunksjon =", y)
print("Volumintegral beregnet =", V)
print("Onsket form =", expected)
print("Symbolsk kontroll =", simplify(V-expected))
assert simplify(V-expected) == 0

Utskrift
Radiusfunksjon = R + x*(-R + r)/h
Volumintegral beregnet = pi*h*(R**2 + R*r + r**2)/3
Onsket form = pi*h*(R**2 + R*r + r**2)/3
Symbolsk kontroll = 0

Fasit: \(V=\dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\).

Vanlig feil: Å integrere radiusen i stedet for radiusen i andre, eller å glemme π.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt oppsatt integral og dokumentert CAS-resultat.
Del 2 · Oppgave 2cGrensetilfeller

Oppgave 2c

Oppgave: Forklar hvilket omdreiningslegeme vi får når \(r=0\) og når \(r=R\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke geometrien og kontrollere at volumformelen reduseres til kjente formler.

Steg 1 - Sett r=0 geometrisk

Den ene enderadiusen blir null. Profilen går fra radius R til et punkt.

Steg 2 - Tolk r=0

Legemet er en rett kjegle.

Steg 3 - Kontroller volumet

\[V=\frac{\pi hR^2}{3}\]

Steg 4 - Sett r=R geometrisk

Begge ender har samme radius, så profillinjen er horisontal.

Steg 5 - Tolk r=R

Legemet er en rett sylinder.

Steg 6 - Kontroller volumet

\[V=\frac{\pi h}{3}(3R^2)=\pi R^2h\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Substitute(r,0,V)
Resultat: \(\pi R^2h/3\)
2Substitute(r,R,V)
Resultat: \(\pi R^2h\)

Tolkning: CAS viser kjegle- og sylinderformlene.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, pi, simplify
h, r, R = symbols('h r R', positive=True)
V = pi*h*(R**2+R*r+r**2)/3
cone = simplify(V.subs(r, 0))
cylinder = simplify(V.subs(r, R))
print("Nar r=0:", cone, "(rett kjegle)")
print("Nar r=R:", cylinder, "(rett sylinder)")
assert cone == pi*R**2*h/3
assert cylinder == pi*R**2*h

Utskrift
Nar r=0: pi*R**2*h/3 (rett kjegle)
Nar r=R: pi*R**2*h (rett sylinder)

Fasit: \(r=0\): rett kjegle. \(r=R\): rett sylinder.

Vanlig feil: Å beskrive bare formene uten å knytte dem til radiusfunksjonen eller volumformelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt geometrisk tolkning og gjerne formelkontroll.
Del 2 · Oppgave 3aEksponentiell differensiallikning

Oppgave 3a

Oppgave: Kroppstemperaturen følger \(K\prime(t)=-0.012K(t)\), og \(K(0)=37\). Hvor lang tid tar det før \(K=25\)?
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse den separable differensiallikningen og bruke initialbetingelsen.

Steg 1 - Separer variablene

\[\frac{dK}{K}=-0.012\,dt\]

Steg 2 - Integrer

\[\ln K=-0.012t+C\]

Steg 3 - Eksponentialiser

\[K=Ce^{-0.012t}\]

Steg 4 - Bruk K(0)=37

\[C=37\Rightarrow K(t)=37e^{-0.012t}\]

Steg 5 - Sett K=25

\[25=37e^{-0.012t}\]

Steg 6 - Løs for t

\[t=\frac{\ln(37/25)}{0.012}\approx32.7\text{ min}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1SolveODE(K\prime=-0.012K,K(0)=37)
Resultat: \(K=37e^{-0.012t}\)
2Solve(K=25,t)
Resultat: \(t\approx32.7\)

Tolkning: CAS gir omtrent 33 minutter.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, log, exp, N, simplify
t = symbols('t', real=True)
K = 37*exp(-0.012*t)
time = log(37/25)/0.012
print("Temperaturmodell K(t) =", K)
print("Eksakt tid =", time)
print("Tid i minutter =", N(time, 12))
print("Kontroll K(tid) =", N(K.subs(t, time), 12))
assert abs(float(K.subs(t, time))-25) < 1e-10

Utskrift
Temperaturmodell K(t) = 37*exp(-0.012*t)
Eksakt tid = 32.6701739813353
Tid i minutter = 32.6701739813
Kontroll K(tid) = 25.0000000000

Fasit: Det tar ca. \(32.7\) min, altså omtrent \(33\) minutter.

Vanlig feil: Å bruke lineær nedkjøling eller å ta logaritmen med feil fortegn.
Sensorpunkt: Sensor ser etter løsning av differensiallikningen, initialbetingelse og enhet.
Del 2 · Oppgave 3bEndringsfart

Oppgave 3b

Oppgave: Bestem hvor fort kroppstemperaturen endrer seg 20 min etter fallet.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal evaluere \(K\prime(20)\), enten direkte fra modellen eller fra differensiallikningen.

Steg 1 - Bruk modellen

\[K(t)=37e^{-0.012t}\]

Steg 2 - Deriver

\[K\prime(t)=-0.012\cdot37e^{-0.012t}\]

Steg 3 - Sett inn t=20

\[K\prime(20)=-0.444e^{-0.24}\]

Steg 4 - Regn numerisk

\[K\prime(20)\approx-0.349\]

Steg 5 - Tolk fortegnet

Minustegnet betyr at temperaturen synker.

Steg 6 - Oppgi benevning

Temperaturen synker med omtrent \(0.35\ ^\circ\mathrm C\) per minutt.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Derivative(K,t)
Resultat: \(-0.444e^{-0.012t}\)
2Substitute(t,20)
Resultat: \(-0.349\)

Tolkning: CAS bekrefter den negative endringsfarten.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, exp, diff, N
t = symbols('t', real=True)
K = 37*exp(-0.012*t)
rate = diff(K, t)
rate20 = N(rate.subs(t, 20), 12)
print("K(t) =", K)
print("K'(t) =", rate)
print("K(20) =", N(K.subs(t,20), 12))
print("K'(20) =", rate20, "grader C per minutt")
assert float(rate20) < 0

Utskrift
K(t) = 37*exp(-0.012*t)
K'(t) = -0.444*exp(-0.012*t)
K(20) = 29.1052308595
K'(20) = -0.349262770314 grader C per minutt

Fasit: \(K\prime(20)\approx-0.349\ ^\circ\mathrm C/\text{min}\); temperaturen synker med ca. \(0.35\ ^\circ\mathrm C/\text{min}\).

Vanlig feil: Å oppgi temperatur \(K(20)\) når oppgaven spør om endringsfarten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter derivert verdi, fortegn og korrekt enhet.
Del 2 · Oppgave 4aGeometrisk følge

Oppgave 4a

Oppgave: Vis at trekantarealene \(A_1,A_2,A_3,\ldots\) i kvadratspiralen danner en uendelig geometrisk og konvergent følge.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne første areal og forholdet mellom to påfølgende trekanter.

Steg 1 - Finn A1

Første trekant har kateter \(1/2\) og \(1/2\).

\[A_1=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18\]

Steg 2 - Finn arealskaleringen

Hvert nytt kvadrat har halvparten av arealet til det forrige.

Steg 3 - Knytt til trekantene

\[A_{n+1}=\frac12A_n\]

Steg 4 - Skriv de første leddene

\[\frac18,\frac1{16},\frac1{32},\ldots\]

Steg 5 - Identifiser kvotienten

\[k=\frac12\]

Steg 6 - Kontroller konvergens

\[|k|=\frac12<1\Rightarrow\text{følgen og rekken konvergerer}\]
De innskrevne kvadratene og én av de fire trekantspiralene.
De innskrevne kvadratene og én av de fire trekantspiralene.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Sequence(1/8*(1/2)^(n-1),n,1,5)
Resultat: \(1/8,1/16,1/32,1/64,1/128\)

Tolkning: CAS viser konstant kvotient 1/2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import Rational
terms = [Rational(1,8)*Rational(1,2)**n for n in range(6)]
ratios = [terms[i+1]/terms[i] for i in range(len(terms)-1)]
print("Forste seks arealer:", terms)
print("Kvotienter:", ratios)
print("Absoluttverdi av k:", abs(ratios[0]))
assert all(r == Rational(1,2) for r in ratios)
assert abs(ratios[0]) < 1

Utskrift
Forste seks arealer: [1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256]
Kvotienter: [1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2]
Absoluttverdi av k: 1/2

Fasit: \(A_n=\frac18(\frac12)^{n-1}\), med kvotient \(k=\frac12\), så rekken konvergerer.

Vanlig feil: Å forveksle lineær lengdeskala \(1/\sqrt2\) med arealkvotienten \(1/2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter første ledd, konstant kvotient og eksplisitt konvergenssjekk.
Del 2 · Oppgave 4bUendelig rekkesum

Oppgave 4b

Oppgave: Bestem \(A_1+A_2+A_3+\cdots\) både med formel og geometrisk resonnement.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere den geometriske rekken og deretter forklare svaret ved symmetrien i figuren.

Steg 1 - Bruk rekkedataene

\[a_1=\frac18,\qquad k=\frac12\]

Steg 2 - Bruk sumformelen

\[S=\frac{a_1}{1-k}\]

Steg 3 - Regn

\[S=\frac{1/8}{1-1/2}=\frac14\]

Steg 4 - Geometrisk observasjon

De små trekantene kan deles i fire kongruente spiraler.

Steg 5 - Bruk symmetri

De fire spiralene fyller hele enhetskvadratet uten overlapp.

Steg 6 - Konkluder geometrisk

\[S=\frac14\cdot1=\frac14\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Sum(1/8*(1/2)^(n-1),n,1,infinity)
Resultat: \(1/4\)

Tolkning: CAS og geometrien gir samme sum.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, summation, oo, Rational, simplify
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
term = Rational(1,8)*Rational(1,2)**(n-1)
S = summation(term, (n,1,oo))
print("Generelt ledd A_n =", term)
print("Uendelig sum =", S)
print("Fire spiraler gir totalt =", 4*S)
assert S == Rational(1,4)
assert simplify(4*S-1) == 0

Utskrift
Generelt ledd A_n = 2**(1 - n)/8
Uendelig sum = 1/4
Fire spiraler gir totalt = 1

Fasit: \(A_1+A_2+A_3+\cdots=\frac14\).

Vanlig feil: Å summere til \(1/2\) fordi man overser at første ledd er \(1/8\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge metodene: korrekt rekkesum og et tydelig geometrisk argument.
Del 2 · Oppgave 5aModellering med geometri

Oppgave 5a

Oppgave: Vis at tiden kan beskrives av \(T(\theta)=\frac{10\theta}{k}+\frac{40\sin((\pi-\theta)/2)}{k}\), \(0\le\theta\le\pi\).
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne løpetid langs buen AC og svømmetid langs korden CB.

Steg 1 - Finn buelengden AC

\[s=r\theta=20\theta\]

Steg 2 - Finn løpetiden

\[T_1=\frac{20\theta}{2k}=\frac{10\theta}{k}\]

Steg 3 - Finn halvkorden

I den rettvinklede trekanten er \(BM=20\sin((\pi-\theta)/2)\).

Steg 4 - Finn hele korden

\[BC=40\sin\left(\frac{\pi-\theta}{2}\right)\]

Steg 5 - Finn svømmetiden

\[T_2=\frac{BC}{k}=\frac{40\sin((\pi-\theta)/2)}{k}\]

Steg 6 - Summer

\[T(\theta)=T_1+T_2\]
Geometrien i svømmebassengmodellen.
Geometrien i svømmebassengmodellen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Simplify(sin((pi-theta)/2))
Resultat: \(\cos(\theta/2)\)

Tolkning: CAS bekrefter den ekvivalente formen \(T=(10 heta+40\cos( heta/2))/k\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, pi, sin, cos, simplify
th, k = symbols('theta k', positive=True)
T_given = 10*th/k + 40*sin((pi-th)/2)/k
T_equiv = 10*th/k + 40*cos(th/2)/k
print("Oppgitt modell =", T_given)
print("Ekvivalent modell =", T_equiv)
print("Forskjell etter forenkling =", simplify(T_given-T_equiv))
print("T(0) =", simplify(T_given.subs(th,0)))
print("T(pi) =", simplify(T_given.subs(th,pi)))
assert simplify(T_given-T_equiv) == 0

Utskrift
Oppgitt modell = 10*theta/k + 40*cos(theta/2)/k
Ekvivalent modell = 10*theta/k + 40*cos(theta/2)/k
Forskjell etter forenkling = 0
T(0) = 40/k
T(pi) = 10*pi/k

Fasit: \(T(\theta)=\dfrac{10\theta}{k}+\dfrac{40\sin((\pi-\theta)/2)}{k}\).

Vanlig feil: Å bruke diameteren 40 som radius i buelengden, eller å glemme at løpefarten er \(2k\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter separat beregning av bue, korde og tid.
Del 2 · Oppgave 5bOptimering

Oppgave 5b

Oppgave: Bruk blant annet \(T\prime(\theta)\) til å avgjøre den raskeste ruten fra A til B.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne indre kritiske punkter og sammenligne med begge endepunktene.

Steg 1 - Bruk forenklet modell

\[T(\theta)=\frac{10\theta+40\cos(\theta/2)}{k}\]

Steg 2 - Deriver

\[T\prime(\theta)=\frac{10-20\sin(\theta/2)}{k}\]

Steg 3 - Finn kritisk punkt

\[T\prime=0\iff\sin(\theta/2)=\frac12\iff\theta=\frac\pi3\]

Steg 4 - Klassifiser

\[T\prime\prime(\theta)=-\frac{10\cos(\theta/2)}{k}<0\]

Det kritiske punktet er et lokalt maksimum.

Steg 5 - Sammenlign endepunktene

\[T(0)=\frac{40}{k},\qquad T(\pi)=\frac{10\pi}{k}\]

Steg 6 - Velg minimum

Siden \(10\pi<40\), er \(T(\pi)<T(0)\). Thomas bør løpe hele veien langs kanten.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Solve(T\prime=0,theta)
Resultat: \(\theta=\pi/3\)
2Compare(T(0),T(pi))
Resultat: \(10\pi/k<40/k\)

Tolkning: CAS viser at det indre punktet er maksimum og at minste endepunkt er θ=π.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, pi, cos, sin, diff, solve, simplify, N
th, k = symbols('theta k', positive=True)
T = (10*th + 40*cos(th/2))/k
first = diff(T, th)
second = diff(T, th, 2)
critical = solve(first, th)
print("T(theta) =", T)
print("T'(theta) =", first)
print("T''(theta) =", second)
print("Kritisk punkt =", critical)
print("T(0) =", T.subs(th,0))
print("T(pi/3) =", simplify(T.subs(th,pi/3)), "≈", N(T.subs({th:pi/3,k:1}),8))
print("T(pi) =", T.subs(th,pi), "≈", N(T.subs({th:pi,k:1}),8))
assert float(N(T.subs({th:pi,k:1}))) < float(N(T.subs({th:0,k:1})))

Utskrift
T(theta) = (10*theta + 40*cos(theta/2))/k
T'(theta) = (10 - 20*sin(theta/2))/k
T''(theta) = -10*cos(theta/2)/k
Kritisk punkt = [pi/3, 5*pi/3]
T(0) = 40/k
T(pi/3) = 10*(pi + 6*sqrt(3))/(3*k) ≈ 45.112992
T(pi) = 10*pi/k ≈ 31.415927

Fasit: Raskest er \(\theta=\pi\): Thomas løper hele halvsirkelen fra A til B.

Vanlig feil: Å anta at et punkt med \(T\prime=0\) automatisk er minimum, uten klassifisering og endepunktskontroll.
Sensorpunkt: Sensor ser etter derivert, klassifisering og sammenligning med begge endepunkter.
Del 2 · Oppgave 6CAS og generelt areal

Oppgave 6

Oppgave: For \(f(x)=ax^2+bx+c\) og sekantlinjen gjennom punktene med x-koordinater p og q: Vis at arealet bare avhenger av a og differansen mellom p og q.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sekantlinjen symbolsk, trekke parabolen fra linjen og integrere mellom p og q.

Steg 1 - Skriv sekantlinjen

\[L(x)=f(p)+\frac{f(q)-f(p)}{q-p}(x-p)\]

Steg 2 - Forenkle forskjellen

\[f(x)-L(x)=a(x-p)(x-q)\]

Steg 3 - Bestem fortegn

Mellom p og q har \((x-p)(x-q)\) negativt fortegn. Arealet krever absoluttverdi.

Steg 4 - Sett opp arealet

\[A=\int_p^q|a(x-p)(x-q)|\,dx\]

Steg 5 - La CAS integrere

\[A=\frac{|a|}{6}|q-p|^3\]

Steg 6 - Tolk

Koeffisientene b og c forsvinner. Arealet avhenger bare av krumningen a og avstanden mellom skjæringspunktene.

Parabel, sekantlinje og området mellom dem.
Parabel, sekantlinje og området mellom dem.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GGeoGebra / CAS
1Factor(f-L)
Resultat: \(a(x-p)(x-q)\)
2Integral(abs difference,p,q)
Resultat: \(|a||q-p|^3/6\)

Tolkning: CAS viser eksplisitt at b og c kanselleres.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll
from sympy import symbols, simplify, factor, integrate
x, a, b, c, p, q = symbols('x a b c p q', real=True)
f = a*x**2 + b*x + c
fp = f.subs(x,p)
fq = f.subs(x,q)
L = simplify(fp + (fq-fp)/(q-p)*(x-p))
difference = factor(f-L)
signed_integral = factor(integrate(difference, (x,p,q)))
print("f(x) =", f)
print("Sekant L(x) =", L)
print("f(x)-L(x) =", difference)
print("Orientert integral fra p til q =", signed_integral)
print("Areal = Abs(a)*Abs(q-p)^3/6")
print("Kontroll av faktorisering =", simplify(difference-a*(x-p)*(x-q)))
assert simplify(difference-a*(x-p)*(x-q)) == 0

Utskrift
f(x) = a*x**2 + b*x + c
Sekant L(x) = -a*p*q + a*p*x + a*q*x + b*x + c
f(x)-L(x) = a*(-p + x)*(-q + x)
Orientert integral fra p til q = a*(p - q)**3/6
Areal = Abs(a)*Abs(q-p)^3/6
Kontroll av faktorisering = 0

Fasit: \(A=\dfrac{|a|}{6}|q-p|^3\). For \(q>p\) og \(a<0\) blir dette \(-\dfrac{a}{6}(q-p)^3\).

Vanlig feil: Å oppgi et orientert integral som kan være negativt, selv om oppgaven spør etter areal.
Sensorpunkt: Sensor ser etter symbolsk sekant, kansellering av b og c, og korrekt absoluttverdi.